15. CAPACIDAD ÓPTIMA PARA UN SOLO PRODUCTO

Referente a calcular el tamaño óptimo de una planta de procesos en el caso sencillo de un solo producto para obtener uno o varios insumos y cuando hay economías de escala (beneficio que una empresa obtiene gracias a la expansión, es decir, crece la producción y los costos bajan).

En este tema se plantea como ejemplo a una empresa Z teniendo en cuenta los siguientes datos:

Precio del producto a la puerta de la fábrica: p. Proyección fututa del mercado previsible y accesible: M(t), de t=0 a t=T. Vida útil de la planta: T. Precios de insumos: q1 , q2 , q3 . Tipo de interés bancario: i, o también 100xi%. Costo de oportunidad del dinero a largo plazo: r, o también 100xr% Función de supervivencia de la fábrica frente a riesgos técnicos y económicos: E(t). Función de supervivencia descontada al momento de arranque de Z; ɛ(t) = e−rt . Valor agregado del producto por unidad de cantidad: v. Momento en que Z quedará copada por la demanda previsible: t=τ Coeficiente de depreciación, como fracción del valor de los activos a que se aplique: d(t). d(g): Tiempo futuro en la planta. En el caso para edificios es g<20, por ello tomo T=20 años

como horizonte de tiempo futuro de la planta. Para maquinarias y equipo con g<10 años; g<5 años para muebles y máquinas menores; o para tierra y 0 para capital de trabajo.

Como Z será una planta nueva, cada activo tendrá la edad: g=t.

Luego tendremos la ley de Williams en el mercado de fábricas de tipo de Z:K1=AQɑ, en donde:

Q = Capacidad que adopta la planta. A y ɑ = Coeficientes numéricos, propios de la naturaleza tecnológica de Z, Que se obtienen

el estudio del mercado de este tipo de plantas. K1 = Costos de la inversión en Z que dependan de Q. Serán dados por la ley de Williams.

Valor de las inversiones en la plata independientes de Q (capacidad):

K2 = Determinada por el análisis de ingenieros y contadores sobre la compra de bienes que son necesarias para la construcción de Z.

Costos y gastos fijos que son independientes del tamaño de Z y sus niveles de producción P(t): F.

Valor que se invierta en la tierra: W. Plazo que se dará para el cobro de ventas a clientes: β. Coeficientes de insumos:α 11 , α21 , α31 . Valor agregado por unidad de producto:

p-q1 . a11−q2 . a21−q3 . a31−i . Β.p = v = (1-i. β)p-q1 . a11−q2 . a21−q3 . a31.

Producción del producto en unidades físicas por tiempo: P(t). Capital del trabajo a edad t: C(t) = β.P(t). Gastos variables que sean crecientes con la producción o con las ventas.

El criterio que genere de manera óptima la capacidad que debe tener, es decir, para que Q le dé su máximo valor a la función:

R(Q)=(1-x)∫0

τ

M ( t ) . v . ɛ (t ) . d ( t )+v∫τ

T

Q .ɛ ( t ) .d ( t )−∫0

Ƭ

[Ƌ . (AQɑ+K2 )+G ( t )+F ]. ɛ ( t ) .dt

Ƭ (A Qɑ+K2+W+C0)

Para esta fórmula, se tiene en cuenta que la historia futura de la producción va a estar descrita por la función:

P(t){M (t ) para0< t<τ (conplantaholgada )Q para τ<t<T (con plantacopada)

Para localizar el máximo de R(Q) es necesario y suficiente que la primera derivada sea igual a cero y la segunda derivada de ésta sea menor a cero.

Si llamamos (1-x).Nu al numerador del quebrado que expresa R(Q); y llamamos T.De al denominador, se tiene:

R(Q) = [ (1−x )T ] Nu(Q)

De (Q)

Para encontrar el tamaño óptimo de Q es necesario que cumpla las condiciones:

R’(Q) = 0 ❑⇔De (Q ) Nu ' (Q )−Nu (Q ) .D e ' (Q )=0 y que

R’’(Q) < 0 ❑⇔De (Q ) Nu ' ' (Q )−Nu (Q ) .D e ' ' (Q )<0❑

⇔Nu (Q )<H . Nu' ' /De' '

Nu(Q): Utilidad esperada para toda la vida útil del proyecto

De(Q): Inversión total H(Q).

*Recordar que la ecuación de Leibniz, según la cual:

Con esta fórmula calculamos las derivadas que se requieren en nuestro problema:

En donde hemos designado con el símbolo al integral

Notamos que la función es menor que 1/r y que t para todo calor de t, porque:

De donde:

Y también:

Porque E(u) es menor que 1 para todo su dominio de definición.

Como la fórmula de depreciación d(t) cumple con:

Entonces:

La condición R’(Q) resulta equivalente a la ecuación:

En esta ecuación, todos los símbolos representan valores numéricos, excepto Q y τ . Este último valor se calcula de la ecuación:

M(τ ¿=Q

Donde se deduce que:

τ=M−1(Q)

M−1: Función inversa de M

Con todo ello ya es posible encontrar el valor numérico de Q resolviendo la ecuación que se acab de escribir. Dicha solución se obtiene usando los métodos clásicos como el método de Newton, el de la Regua Falsis o el de bisección, o usando algún programa de computadora como Matlab. El resultado se indica con Q*.

La rentabilidad óptima de R(Q*) que se obtendrá es:

De donde Q debe de leerse como Q*.

Para la segunda condición que R’’(Q*)<0, después de ejecutar operaciones y de simplificar:

Y más simple:

En la desigualdad anterior se debe de entender que Q≡Q*, es decir, que se trata de la ecuación de la raíz que se resolvió anteriormente.

Ya conocida Q* la podemos valorar numéricamente la máxima rentabilidad esperable del proyecto de Z, que nos referimos a R(Q*).

La parte de la inversión que depende del tamaño del proyecto ya se puede resolver con:

K1=AQɑ

Se observa también que R(Q*) tiene una cota superior que no debe de sobrepasarse:

Pero De(Q).Nu’’(Q) < Nu(Q).De’’(Q). Recordando que De’’(Q) = -α (1−α)AQɑ−2(negativo) se divide por De’’ y se tiene

Entendiendo que Q≡Q*.

16. LAS DEPRECIACIONES

La depreciación de una planta Z resulta:

∫0

T

D ( t ) . e−rt . E ( t ) . dt

Teniendo en cuenta que la depreciación está dada en una fecha t posterior a su iniciación durante un lapso dt que será D(t) . dt.

Tenemos en cuenta que la depreciación se aplica a cuatro tipos de inversiones:

*K e=Inversiones de edificios a una tasa de de=1T e

= 120años

.

*Kq=Inversiones en máquinas y equipos a una tasa de dq=1T q

= 110años

.

*Km=Inversiones en activos menores a una tasa de dm=1T m

= 15 años

.

*K p=Inversiones de edificios a una tasa de 1

5años

Siendo todos ellos activos activos fijos despreciables que llamaremos K:

K=Km+K p+K q+K e

Y las tasas, en promedio, será designada como d , y será:

Llamando:

Vamos a obtener la tasa global promedia depreciación:

En la mayoría de los casos de la vida industrial en que se puede usar como función el modelo exponencial negativo, la función gamma valdrá:

17. TRES TIPOS DE CRECIEMIENTO DEL MERCADO

Para los productos que responden a estos modelos como el caso de Colombia, el crecimiento de la demanda en varios casos es descrita por la siguiente función exponencial o crecimiento geométrico como:

M ( t )=M 0 . ekt

O por la función lineal o crecimiento aritmético:

M (t )=M 0+γ . t

O como también por la forma de la parábola ascendente de la forma:

M ( t )=M 0+M 1 t+M 2 t2

*En el crecimiento geométrico vemos que:

M (τ )=M 0 . ekτ=Q

De donde:

τ=( 1k ) ln( QM 0

)Y:

dτ /dQ=1/k(Q)

*En el crecimiento aritmético vemos que:

M (τ )=M 0+γ . τ=Q

De donde:

τ=(Q−M 0

γ )Y:

dτ /dQ=1/γ

* En el crecimiento parabólico vemos que:

M (τ )=M 0+M 1 τ+M 2 τ2=Q

Por lo tanto:

τ=−M 1+√M 1

2+4M 2(Q−M 0)2M 2

Expresiones que se necesitan para sustituirlas en la siguiente ecuación:

Que nos dará como resultado el Q* óptimo.

18. VALOR DE SALVAMIENTO DE LA PLANTA

Hay numerosos tipos de planta, que esperamos que cuando llegan a su tiempo T sigan en condiciones de seguir trabajando. Entonces, puede preverse que esas edad tiene un valor de salvamiento importante que se debe de considerarse y valorarse desde que se está planificando.

En la industria hay dos criterios usados para estimar dicho valor a la edad t=T: El del potencial de generación de fondos y el de la valoración de activos y pasivos.

Potencial de generación de fondos

La planta ya estará copada y su potencial de generación de fondos desde t=T será:

Donde:

ω: Es la fecha futura que corresponda a la más larga vida útil que pueda generarse en la planta.

Es valor de salvamiento de una planta será calculado:

Valoración de activos y pasivos

Sencillamente es valorar los activos como la tierra (W) y el capital de trabajo C(T) y restarle los pasivos (capital de trabajo):

S2 (T )=W .ε (T )

Los activos fijos puede que conserven a la edad T algún valor comercial.

Si se decide hacer el análisis por el primer método, la ecuación que da la capacidad óptima será:

Al escribir esta ecuación, se ha tenido en cuenta que el valor de salvamiento solamente se percibirá a la edad t=T de Z y será tributariamente grabado como “utilidad ocasional”.

19. OPTIMIZACIÓN POR VALOR PRESENTE NETO DE Z

El tamaño óptimo se calcula también usando el criterio del máximo valor presente neto o máxima generación de fondos.

La función que da la generación neta de fondos futuros, en el valor presente:

El óptimo de la capacidad de la planta Q* será según este otro criterio el que hace:

N’(Q)=0 ; N’’(Q*)<0

N’(Q)=0 Da lugar al tamaño óptimo, que luego resulta ser:

Para resolver esta ecuación se ponen todos sus símbolos en términos de números y unidades de medida y se resuelve con la ayuda de un computador o por métodos numéricos como el de Newton, el de Regula Falsis o el de bisección. Puesto que M(0)<Q*<M(T) empezará ensayando los dos valores M(0) Y M(T) como puntos de partida.

Para comprobar que Q* así obtenido es un máximo para N(Q), averiguamos cuando N’’(Q) es negativo. Se obtiene que es negativa si y solo si:

Es decir, si y solo si:

El lado derecho de esta desigualdad es positivo porque

α−1<0 ;d . Γ (T )<1 ; x<1 y ( dτdQ )>0ν: significa que existe un tamaño óptimo desde el criterio del valor presente neto.