liber mesuesi matematika 7

LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 7

BOTIME

Edmond Lulja Neritan Babamusta

BOTIME

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2012Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese

“Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi.

Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 [email protected] i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73

Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 [email protected]

PËRMBAJTJA

I. PROGRAMI I MATEMATIKËS SË KLASËS SË SHTATË 5

II. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI 13

II.1 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive

kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore,

komunikimi matematik) 16

II.2 Shpërndarja e orëve në tekst sipas krerëve dhe sipas linjave

(e nënlinjave) 17

Plami mësimor 18

II.4 Objektivat sipas krerëve në tre nivele 27

III. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE 41

III.1. Matematika në jetën e përditshme 41

III.2. Matematika si lëndë shkollore 41

III.3. Dy nga komponentët e mësimit të matematikës 43

III.3.1 Arsyetimi 43

II.3. 2 Komunikimi 46

III.4 Planifikimi i mësimit 48

III.5. Mbi organizimin e punës në klasë 52

III. 6 Vlerësimi i nxënësve 54

III. 7 Metodika e zgjidhjes së problemeve në matematikë 69

III. 8 Puna mbi projektet kurrikulare 86

III. 9 Qëndrimi ndaj matematikës 91

III. 10 Aftësitë ndërkurrikulare 94

IV. ZBËRTHIMI METODIK I NJË KREU 104

V. MËSIME MODEL 112

VI. HORIZONTI I MËSUESIT 169

5LIBËR PËR MËSUESIN

I. PROGRAMI I MATEMATIKËS SË KLASËS SË SHTATË

1.1. Të përgjithshme• Mësimi i matematikës në klasën e shtatë të arsimit 9-vjeçar zhvillohet në:

35 javë mësimore me 4 orë/javë Gjithsej: 35 javë x 4 orë/javë= 140 orë vjetore

• 14%-20% e kohës mësimore (20-28 orë gjatë vitit) lihet në dispozicion të mësuesit. Ato mund të përdoren prej tij për përsëritje, kontrolle (testime) ose për qëllime të tjera të arsyeshme që mendohen të nevojshme për mbarëvajtjen e procesit mësimor.

1.2. Synimi

Programi i matematikës për klasën e shtatë dhe zbatimi i tij synojnë të jenë një nga hallkat që mundësojnë realizimin e mësimit të matematikës fillimisht në ciklin e mesëm të ulët (kl. 6-9) dhe më tej në ciklin e mesëm të lartë. Programi synon të jetë në vazhdim të programit të klasës së gjashtë lidhur me koherencën konceptuale e duke respektuar parimin spiral të dhënies së njohurive.Nëpërmjet tij formohen shprehi matematike që përdoren jo vetëm gjatë periudhës shkollore aktuale dhe në vazhdimësi, por edhe në situata të ndryshme të jetës së përditshme. Bosht i programit janë linjat dhe nënlinjat e përmbajtjes, të cilat përshkojnë të gjithë kursin e matematikës në arsimin e detyruar.

1.3. Linjat e nënlinjat kryesoreProgrami i paraqitur në vijim është konceptuar sipas linjave dhe nënlinjave të përmbajtjes:

Numri1. Kuptimi i numrit2. Veprime me numra

Matja1. Kuptimi i matjes2. Njehsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit

Gjeometria1. Gjeometria në plan2. Gjeometria në hapësirë3. Shndërrimet gjeometrike

6 MATEMATIKA 7

Algjebra dhe funksioni1. Kuptimi i shprehjeve shkronjore2. Shndërrime të shprehjeve shkronjore3. Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve4. Funksioni.

Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti1. Statistikë2. Probabilitet.

1.4. Objektivat, konceptet e shprehitë kryesore sipas linjave e nënlinjave

Synimi i programit të matematikës për klasën e shtatë mishërohet në objektiva për secilën linjë e nënlinjë. Në përputhje me objektivat, përcaktohen edhe konceptet e shprehitë përkatëse.

1.4.1. Numri Kuptimi i numritObjektivat:

• Të lexojnë dhe të shkruajnë numra dhjetorë duke përdorur kuptimin e vendvlerës.• Të dallojnë numrat dhjetorë periodikë.• Të kuptojnë dhe të zbatojnë lidhjen ndërmjet thyesës dhe pjesëtimit.• Të përdorin përqindjen në situata të ndryshme. • Të dallojnë numërorët që tregojnë të njëjtën sasi. • Të bëjnë krahasime të ndërthurura (thyesa me përqindje etj.).• Të kuptojnë dhe të shkruajnë fuqi të thjeshta me eksponent natyror.• Të krahasojnë dy numra me shenjë.• Të kuptojnë dhe të përdorin raportin.

Konceptet dhe shprehitë kryesore

Numri dhjetor; lidhja ndërmjet vijës thyesore dhe pjesëtimit (43

; 3:4); numri thyesor dhe

lidhja me përqindjen e me numrin dhjetor(0,25; 41

; 25%); përdorimi i përqindjes(p.sh.,

veprime me interesin bankar); krahasimi i numrave me shenjë; kuptimi i termave: bazë, eksponent (natyror), fuqi; llogaritja e fuqive me eksponent natyror; raporti dhe lidhja e tij me pjesëtimin e thyesën


Veprime me numraObjektivat:

• Të mbledhin e të zbresin numra dhjetorë.• Të shumëzojnë e të pjesëtojnë dy numra dhjetorë (pjesëtuesi me jo më shumë se dy

shifra pas presjes dhjetore).• Të kryejnë veprime me mend me numra thyesorë, dhjetorë, përqindje.• Të zbatojnë radhën e veprimeve të një shprehjeje numerike për të gjetur vlerën e saj.• Të përdorin vetitë e veprimeve për shndërrimin e një shprehjeje dhe gjetjen e vlerës

së saj.• Të dinë të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë e të pjesëtojnë me makinën llogaritëse. • Të përdorin makinën llogaritëse për të verifikuar kryerjen e veprimeve me numra.• Të njehsojnë vlerën e shprehjeve të thjeshta me mbledhje dhe zbritje të numrave

me shenjë.• Të zbatojnë formula duke i dhënë vlera ndryshorit; të veçojnë ndryshorin në formula

të thjeshta. • Të përdorin përqindjen në situata konkrete (përfshirë shprehjen e një sasie si

përqindje të një sasie tjetër).• Të kryejnë rrumbullakime të numrave natyrorë, dhjetorë e negativë dhe t`i përdorin

në parashikimin me përafërsi të përfundimit të veprimeve.• Të kuptojnë përpjesëtimin dhe ta zbatojnë në gjetjen e të katërtës përpjesëtimore.• Të shkruajnë me simbole matematike (përfshirë barazime e mosbarazime)

marrëdhënie të përshkruara me fjalë.• Të përdorin kuptimin e veprimeve aritmetike (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim

në bashkësinë përkatëse të numrave) në situata të thjeshta dhe të ndërthurura të jetës së përditshme.

Konceptet dhe shprehitë kryesoreMbledhja e zbritja e numrave dhjetorë sipas kuptimit të vendvlerës; shumëzimi e pjesëtimi i numrave dhjetorë (3,45:0.15), radha e veprimeve dhe ndikimi i kllapave në të; gjetja e vlerës së një shprehjeje pas shndërrimeve: 32⋅3+ 48⋅3 (32+48)⋅3; përdorimi i makinës llogaritëse pasi të jenë mësuar algoritmet me shkrim; shprehje me mbledhje e zbritje numrash me shenjë; veprime me mend me thyesa, numra dhjetorë e përqindje; gjetja e përqindjes, shprehja e një madhësie me përqindje kundrejt një madhësie tjetër (p.sh., sa % e 90 është 45), gjetja e numrit kur dihet përqindja etj.; gjetja e të katërtës përpjesëtimore; shkrimi me simbole matematike (p.sh., dyfishi i treshit plus katërfishin e dy të katërtave; trefishi i a-së më i vogël se pesë); llogaritja e vlerës në një formulë të dhënë duke i dhënë vlera ndryshorit dhe veçimi i ndryshorit në formula të thjeshta (P= 4a, a=P:4; S= 3,14r2).

1.4.2 Matja

Kuptimi dhe përdorimi i matjesObjektivat:

• Të këmbejnë njësitë e matjes (gjatësi, sipërfaqe, vëllim, kohë) nga njësi më të mëdha në më të vogla dhe anasjellas (përfshirë njësi të përziera duke përdorur edhe numrat dhjetorë).

8 MATEMATIKA 7

• Të përdorin përafrimin në matje duke zgjedhur njësitë e përshtatshme të matjes në situata të ndryshme.

• Të kuptojnë dhe të përdorin intervalet kohore në situata jetësore • Të zgjidhin problema praktike që përfshijnë njësi të ndryshme matjeje

Njehsimi i gjatësisë, sipërfaqes, vëllimitObjektivat:

• Të njehsojnë me formulë:-perimetrin e disa figurave të thjeshta, si, p.sh., shumëkëndëshi barabrinjës,-perimetrin e rrethit,-sipërfaqen e trapezit, të paralelogramit, rrethit (qarkut),-vëllimin e prizmit të drejtë.• Të gjejnë në mënyrë jo të drejtpërdrejt përmasa, duke e vizatuar figurën në shkallë

zvogëlimi.• Të gjejnë masën e këndeve të figurave gjeometrike.• Të zbatojnë njohuritë e matjes në zgjidhjen e problemave në situata konkrete.

Konceptet dhe shprehitë kryesore (për të tria nënlinjat)Formula e perimetrit të rrethit, formula e perimetrit të shumëkëndëshit barabrinjës; formula e vëllimit të prizmit të drejtë; figurat me sipërfaqe të barabarta; matja e këndeve të një figure gjeometrike me raportor.

1.4.3. Gjeometria

Gjeometria në planObjektivat:Të ndërtojnë dhe të matin kënde.Të ndërtojnë drejtëza paralele, drejtëza pingule dhe drejtëza që priten.Të ndërtojnë përmesoren e segmentit.Të zbatojnë në situata të thjeshta deduktive vetinë e përmesores së segmentit.Të njohin veti të paralelogramit e llojeve të tij dhe t’i përdorin këto veti (përfshirë diagonalet e këndet): - për të përshkruar figura; - për t’i ndarë ato sipas llojit; - për të zgjidhur situata problemore të thjeshta që kërkojnë arsyetim deduktiv.Të zbatojnë teoremën e Taletit në problema të thjeshta.Të vizatojnë trekëndëshin kur jepen tri elemente të tij.Konceptet dhe shprehitë kryesoreMatja e këndeve; ndërtimi i këndeve me masë të dhënë; ndërtimi i drejtëzave paralele, pingule, prerëse (me vizore); lartësia e trekëndëshit; lartësitë e paralelogramit; këndet e kundërta në kulm, këndet komplementare; ndërtimi i përmesores së segmentit me kompas e vizore; zbatimi i vetisë së përmesores në situata të thjeshta deduktive; lartësia e trekëndëshit; lartësitë e paralelogramit; vetitë e paralelogramit, të rombit, drejtkëndëshit, katrorit dhe zbatimi i tyre në problema me deduksion të thjeshtë; teorema e Taletit për


segmentet e përpjesshme dhe zbatime të saj; vizatimi i trekëndëshit kur njihen tri brinjët (BBB), dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre (BKB), dy kënde dhe brinja ndërmjet tyre (KBK).

Gjeometria në hapësirëObjektivat:Të përshkruajnë trupa gjeometrikë sipas vetive të tyre.Të ndërtojnë trupa gjeometrikë pasi të kenë vizatuar hapjet e tyre.

Konceptet dhe shprehitë kryesorePërshkrimi i një trupi gjeometrik duke ju referuar vetive të elementeve të tij (p.sh., kubi ka 6 faqe, 12 brinjë etj.); vizatimi i hapjeve të trupave gjeometrikë në bazë të përfytyrimit dhe ndërtimi i tyre.

Shndërrimet gjeometrikeObjektivat:Të gjejnë koordinatat e një pike ose të caktojnë pozicionin e një pike sipas koordinatave të dhëna.Të zhvendosin paralelisht figura të thjeshta në rrjetin koordinativ.Të përdorin koordinatat karteziane për të përcaktuar zhvendosjen në situata konkrete.Të zmadhojnë ose të zvogëlojnë një figurë të dhënë në rrjetin koordinativ; të gjejnë koeficientin e zmadhimit ose të zvogëlimit dhe lidhjen e tij me përmasat e figurave.Të vizatojnë me vegla simetrikun (p.sh., të një segmenti) në një simetri sipas një pike.Të dallojnë figura me drejtëz apo qendër simetrie.Të zbulojnë vetitë e trekëndëshit dybrinjënjëshëm dhe barabrinjës duke përdorur simetrinë.Të gjejnë saktësisht drejtëzën e simetrisë për figura të thjeshta gjeometrike.Të njohin dhe të përdorin pohime gjeometrike në situata problemore.

Konceptet dhe shprehitë kryesoreGjetja e koordinatave; përcaktimi i pozicionit të pikës duke u nisur nga koordinatat; zhvendosja paralele në rrjet koordinativ; zhvendosja e dhënë në rrjet të përcaktohet duke përdorur koordinatat; simetria sipas një pike; figura me qendër simetrie; figura me drejtëz simetrie; lartësia e trekëndëshit dybrinjënjëshëm si drejtëz simetrie; pika e prerjes së lartësive të trekëndëshit barabrinjës si qendër simetrie.

1.4.4. Algjebra dhe funksioni

Kuptimi i shprehjes shkronjoreObjektivat:Të modelojnë marrëdhënie numerike (përfshirë edhe ato të dhëna me fjalë), duke përdorur shkronja.Të njehsojnë vlerën numerike të një shprehjeje shkronjore, me ose pa kllapa.

10 MATEMATIKA 7

Shndërrime të shprehjeve shkronjore Objektivat:Të shndërrojnë shprehje shkronjore jo të ndërlikuara në shprehje identike me to me anë të zbërthimit, faktorizimit dhe reduktimit.Të përdorin termin shprehje të njëvlershme.

Zgjidhja e ekuacioneve, e inekuacioneve Objektivat:Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore duke mbledhur, duke zbritur, duke shumëzuar e duke pjesëtuar të dyja anët e tij me të njëjtin numër.Të gjejnë zgjidhje të inekuacioneve të thjeshta.

FunksioniObjektivatTë zbulojnë, nëpërmjet shembujve konkretë, cilësi të sjelljes së një funksioni duke vrojtuar grafikun e tij. Të gjejnë çiftet e renditura nga një grafik i dhënë.Të ndërtojnë grafikun e funksioneve drejtvizore x→x+a; x→kx; x→kx+a.Të kuptojnë intuitivisht, me diagrame shigjetore, për marrëdhënie të thjeshta, kuptimin e pohimit dhe funksionit të anasjellë.

Konceptet dhe shprehitë kryesore (për të tria nënlinjat)Shndërrime të shprehjeve shkronjore: p.sh., 3(0,5x+9)→1,5x+27; 6x+2,4x→ x(6+2,4); 3 2 54 4 4

a a a+ = ; zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë me një ndryshore;

zgjidhja e inekuacioneve të thjeshta; grafikë të funksioneve, që paraqesin situata konkrete të përshkruara me fjalë, të zbulojnë sjellje të funksionit (p.sh., në një grafik temperature në varësi të kohës të zbulojnë kur ka qenë temperatura më e ulët etj.); ndërtimi i drejtëzave të fuqisë së parë; kuptimi intuitiv me anë të shembujve të thjeshtë i pohimit të anasjellë dhe i funksionit të anasjellë; çiftet e renditura të nxjerra nga paraqitja analitike ose grafike e funksionit.

1.4.5. Mbledhja, organizimi dhe interpretimi i të dhënave, probabiliteti

ObjektivatTë mbledhin të dhëna sipas një qëllimi të paracaktuar e t’i paraqesin me tabela të dendurive ose diagrame të ndryshme.Të gjejnë mesataren aritmetike, modën dhe mesoren.Të interpretojnë të dhëna të gatshme duke përdorur mesataren, modën dhe mesoren.Të klasifikojnë duke paraqitur në tabelë, një bashkësi sipas kritereve që lidhen me cilësitë e elementeve të saj.Të paraqesin me tabela të dendurive, me diagrame, të dhëna të gatshme apo të grumbulluara nëpërmjet anketave të thjeshta.


Të diskutojnë probabilitetin në situata të jetës së përditshme.Të parashikojnë përfundimet e favorshme nga një numër total përfundimesh të mundshme (në ngjarje të thjeshta nga jeta e përditshme).

Konceptet dhe shprehitë kryesoreTabela statistikore; mesatarja aritmetike, moda, mesorja; paraqitja në një tabelë e një grupi elementesh pas klasifikimit sipas 1 ose 2 cilësive; diagrame të llojeve të ndryshme që ndeshen në jetën e përditshme; probabiliteti në situata të jetës së përditshme; parashikimi i përfundimeve të favorshme.

3.5. Programi analitikNë klasën e shtatë të arsimit 9-vjeçar, lënda e matematikës do të zhvillohet në 35 javë mësimore me 4 orë në javë. 35 javë x 4 orë/javë = 140 orë

Linjat dhe nënlinjat Sasia e orëve

Numri 43

Kuptimi i numrit 18

Veprimet me numra 25

Matja 16

Kuptimi dhe përdorimi i matjes 6

Njehsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit 10

Gjeometria 35

Gjeometria në plan 16

Gjeometria në hapësirë 5

Shndërrimet gjeometrike 14

Algjebra dhe funksioni 16

Kuptimi i shprehjes shkronjore 4

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve 6

Funksioni 6

Mbledhja, organizimi dhe përpunimi të dhënave; probabiliteti 10

Statistikë 6

Probabilitet 4

Orë të lira 20

12 MATEMATIKA 7

Gjatë shtjellimit linear të lëndës (që mishërohet në tekst), konceptet e shprehitë e secilës linjë apo nënlinjë ndërthuren me ato të linjave e nënlinjave të tjera dhe zënë vend atje ku e kërkon trajtimi sa më i qartë i një koncepti të ri në përputhje me objektivat e detyrueshëm.

1.6. Metodologjia e zbatimit të programit

Programi i mësipërm kërkon që:Zbatimi i tij të bazohet në parimin spiral. Konceptet kryesore të shtrihen pothuajse gjatë të gjithë lëndës dhe nxënësi të punojë me to për një kohë të gjatë duke i rimarrë. Kjo bëhet për shkak të nevojës që kanë trajtimet matematike për t’u bazuar në konceptet kryesore, si dhe për të siguruar një përvetësim të tyre sa më të plotë nga nxënësit. Formimi i koncepteve të realizohet në përputhje me veçoritë e zhvillimit mendor të moshës së nxënësve të klasës së shtatë.Një rëndësi e veçantë t’u kushtohet problemave, llojshmërisë së strategjive për zgjidhjen e tyre dhe veshjes me informacion nga jeta reale dhe mjedisi rrethues.Për zotërimin e koncepteve, t’i jepet rëndësi larmisë së rrugëve për të arritur tek ato; po ashtu edhe larmisë së interpretimeve dhe zbatimeve të tyre.Larmia e detyrave të jetë e tillë që t’i japë mundësi çdo nxënësi të gëzojë suksesin e tij në matematikë.Realizimi i lidhjes ndërlëndore nëpërmjet bashkërendimit të veprimtarive në lëndë të tjera me veprimtaritë në mësimin e matematikës të jetë në vëmendje të zbatuesit.Për zbatimin e programit përdoren mjete vetjake të nxënësit, si: veglat gjeometrike (vizore, kompas raportor) dhe është mirë mundësisht edhe pajisja me makina llogaritëse.Për të plotësuar nevojat dhe interesat e nxënësve, mund të përdoren edhe materiale ndihmëse, të cilat plotësojnë kriteret dhe ndihmojnë në arritjen e objektivave. Realizimi i programit të matematikës të mbështetet në dokumentacionin bazë të miratuar nga organet përkatëse.


II. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI

Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 7 është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse . Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime.

Së pari, programet e matematikës duke filluar nga klasa e parë fillore janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur është i ndarë në 13 kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje, si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës.

Së dyti, kujdesi për arsyetimin deduktiv, pa synuar vërtetime rigoroze në klasën e shtatë.Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa fjali e përfundime, ndërsa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat fjali të argumentojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë fjali të mos argumentohet!

Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend dhe përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt.

Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “zbulon” në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese në miniaturë.Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim.Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime. Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi

14 MATEMATIKA 7

i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “ më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshëm” tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla.

Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim.

Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është i ndarë pikërisht në 120 njësi mësimore .Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr.35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “ Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë të përdorë sipas gjykimit të tij orët në dispozicion që janë 20.

Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet.

Së teti, objektivat e linjave i përmban programi.

Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët.

Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin.

Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse.


E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit.

Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to.Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve

Komponenti Përshkrimi i komponentit

Niveli I-rë i arritjeve

Niveli i II-të i arritjeve

Niveli i III-të i arritjeve

Njohuritë matematike

Terminologjia dhe simbolika.Përkufizimet e koncepteve.Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla).Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit).

Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj

Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë.

Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme.

Aftësitë matematike

Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim.

Shfaqje e kufizuar e aftësive.

Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të njohura.

Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situara të reja, në mënyrë të pavarur.

Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike

Për të kryer:Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë

Shfaqje të kufizuara.

Shfaqje solide.

Shfaqje të avancuara.

16 MATEMATIKA 7

Qëndrimet dhe vlerat

Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave.

Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave.

Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore.

Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.

II.1 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik)Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit; - me anën e një numri të kufizuar metodash; - me gabime ose me mangësi të shumta.Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me ndihmën e mësuesit; - që janë nga më të thjeshtat; - me gabime ose mangësi.Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - me ndihmën e mësuesit; - me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë. - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike.Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit; - me anën e një numri jo të madh strategjish bazale; - me gabime ose me mangësi të pjesshme.Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me një ndihmë të kufizuar të mësuesit, - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve, - me disa gabime ose mangësi të vogla.Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - me një farë qartësie e saktësie në terminologji; - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.


Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur, - duke zgjedhur strategji e duke krijuar - strategji që janë të reja për të, zakonisht me saktësi,Nxënësi përdor arsyetime matematike: - në mënyrë të pavarur, - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve - madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë,Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur, - qartë dhe saktë, - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.

18

PL

AN

I M

ËS

IMO

RL

ËN

DA

: MA

TE

MA

TIK

AK

lasa

: VI

P

rogr

ami s

inte

tik

Javë

mës

imor

e

35 ja

vë x

4 o

rë

=

14

0 or

ëN

johu

ri të

reja

86 o

rëU

shtri

me

dhe

prob

lem

a

25 o

rëTe

stim

e

9

orë

Orë

të li

ra (u

shtri

me

për v

etëk

ontro

ll)

9

orë

O

rë të

lira

(rre

th h

isto

rikut

të m

atem

atik

ës)

3

orë

Orë

të li

ra (p

roje

kte

kurr

ikul

are,

kon

kurs

e et

j.)

8 o

rë

19

1

I. Num

rat e

pl

otë

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

përd

orin

sakt

ë sh

ënim

et

Za∈

, Z

a∉

. • T

ë kr

ahas

ojnë

dy

num

ra të

plo

të m

e tr

i shi

fra, d

uke

përd

orur

sakt

ë sh

ënim

et <

, >, =

. • T

ë pa

raqi

tin n

umra

t e p

lotë

në

bosh

tin n

umer

ik.

• Të

mbl

edhi

n e

të zb

resin

dy

num

ra të

plo

të tr

i shi

frorë

. • T

ë sh

umëz

ojnë

dy

num

ra të

plo

të të

tillë

. • T

ë pj

esët

ojnë

dy

num

ra të

plo

të (p

jesë

tues

i të

jetë

me

1-2

shifr

a).

• Të

zgjid

hin

ekua

cion

e të

traj

tës:

ba

x=

±;

a-x=

b; a·x

=b;

x:a=

b;

a:x=

b, m

e nu

mra

të p

lotë

dy

shifr

orë.

• T

ë heq

in k

llapë

n, k

ur b

rend

a saj

ësht

ë një

shum

ë alg

jebr

ike n

umra

sh

të p

lotë

dhe

par

a sa

j ës

htë

shen

ja (+

) ose

(-).

• Të n

jehs

ojnë

vle

rën

e një

shpr

ehje

me 2

-3 ve

prim

e, m

e ose

pa k

llapa

, m

e nu

mra

të p

lotë

të v

egjë

l. • T

ë zg

jidhi

n pr

oble

ma

shum

ë të

thje

shta

me

num

ra të

plo

të.

1.1

Kup

timi i

num

rit të

plo

të (p

ërsë

ritje

)Te

ksti

i kl

asës

VII

21.

2 U

shtr

ime

31.

3 Sh

umëz

imi i

num

rave

të p

lotë

41.

4 Pj

esët

imi i

num

rave

të p

lotë

51.

5 Sh

preh

je n

umer

ike

me

4 ve

prim

e m

e nu

mra

të

plot

ë

6U

shtr

ime

për

vetë

kont

roll

(orë

e li

rë 1

)

71.

6 Te

st p

ër k

reun

Nr.

1

8

II.

Thye

sat

dhe

num

rat

dhje

torë

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

shpr

ehin

sasi

me

anë

të th

yesa

ve d

he të

num

rave

dhj

etor

ë.

• Të

lexo

jnë

e të

shkr

uajn

ë nj

ë nu

mër

dhj

etor

me

tri s

hifra

pas

pre

sjes

dhje

tore

. • T

ë gj

ejnë

P.M

.P. d

he S

h.V.

P. të

dy

num

rave

të v

egjë

l. • T

ë kt

hejn

ë në

em

ërue

s të

përb

ashk

ët d

y th

yesa

me

emër

ues t

ë til

lë.

• Të

krah

asoj

në d

y th

yesa

të ti

lla.

• Të

mbl

edhi

n e

të zb

resin

dy

thye

sa të

tilla

. • T

ë sh

umëz

ojnë

e të

pje

sëto

jnë

dy th

yesa

. • T

ë gj

ejnë

pje

sën

e së

tërë

s. • T

ë sh

krua

jnë

një

num

ër d

hjet

or si

thye

së.

• Të

rrum

bulla

kojn

ë nj

ë nu

mër

dhj

etor

der

i tek

të m

ijtat

. • T

ë kra

haso

jnë d

y nu

mra

dhj

etor

ë, m

e të s

hum

tën

tri s

hifra

dhj

etor

e.

• Të

mbl

edhi

n e

të z

bres

in d

y nu

mra

dhj

etor

ë, m

e të

shu

mtë

n tr

i sh

ifra

pas p

resje

s dhj

etor

e.

• Të

shu

mëz

ojnë

dy

num

ra d

hjet

orë,

me

të s

hum

tën

dy s

hifra

pas

pr

esje

s dhj

etor

e.

• Të

pjes

ëtoj

në d

y nu

mra

dhj

etor

ë (p

jesë

tues

i me

1-2

shifr

a).

• Të

kthe

jnë

një

thye

së të

zak

onsh

me

(me

emër

ues m

e 1-

2 sh

ifra)

në

thye

së d

hjet

ore,

kur

kjo

ësh

të e

mun

dur.

• Të

dallo

jnë,

nës

e th

yesa

me

emër

ues m

e 1-

2 sh

ifra

ësht

ë pe

riodi

ke,

në ra

st se

po,

të g

jejn

ë pe

riodë

n.

• Të s

hkru

ajnë

për

qind

jen

si th

yesë

e za

kons

hme d

he si

num

ër d

hjet

or.

• Të

gje

jnë

përq

indj

en e

një

sas

ie t

ë dh

ënë,

në

situa

ta s

hum

ë të

th

jesh

ta.

2.1

Pjes

ëtue

s dhe

shum

ëfish

a të

num

rave

92.

2 Ve

tia th

emel

ore

e th

yesa

ve

102.

3 K

thim

i i th

yesa

ve n

ë em

ërue

s të

njëj

të. K

raha

simi

i thy

esav

e11

2.4

Mbl

edhj

a dh

e zb

ritja

e th

yesa

ve

122.

5 Sh

umëz

imi d

he p

jesë

timi i

thye

save

132.

6 G

jetja

e p

jesë

s dhe

e së

tërë

s

142.

7 Sh

preh

je n

umer

ike

me

thye

sa

152.

8 K

uptim

i i n

umrit

dhj

etor

162.

9 M

bled

hja

dhe

zbrit

ja e

num

rave

dhj

etor

ë17

2.10

Shu

mëz

imi i

num

rave

dhj

etor

ë

182.

11 P

jesë

timi i

num

rave

dhj

etor

ë19

2.12

Për

dorim

i i m

akin

ës ll

ogar

itëse

202.

13 U

shtr

ime

212.

14 K

thim

i i th

yesë

s së

zako

nshm

e në

thye

së22

2.15

Thye

sa d

hjet

ore

perio

dike

232.

16 P

ërqi

ndja

242.

17 U

shtr

ime

për p

ërsë

ritje

25U

shtr

ime

për

vetë

kont

roll

(orë

e li

rë 2

)26

2.18

Tes

t për

kre

un N

r. 2

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

20

27

III

Num

rat

raci

onal

ë

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

shpr

ehin

sasi

me

anë

të n

umra

ve ra

cion

alë.

• T

ë le

xojn

ë e

të sh

krua

jnë

num

ra ra

cion

alë

nega

tivë.

•

Për ç

do n

umër

raci

onal

të g

jejn

ë të

kun

dërt

in e

tij.

• Të

zbat

ojnë

lirs

hëm

mar

rëve

shje

n +a

=a;

-(-a

)=a.

• T

ë kr

ahas

ojnë

dy

num

ra ra

cion

alë

çfar

ëdo,

duk

e tre

guar

poz

icio

nin

reci

prok

të p

ikav

e pë

rgje

gjës

e në

bos

htin

num

erik

. • T

ë m

bled

hin

apo

të zb

resin

dy

num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të.

• Të

zba

tojn

ë rr

egul

lën

për

hapj

en e

klla

pës,

që p

ërm

ban

një

shum

ë al

gjeb

rike,

kur

par

a ka

shen

jën

(+) o

se sh

enjë

n (-

). • T

ë sh

umëz

ojnë

dy

num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të.

• Të

pjes

ëtoj

në d

y nu

mra

raci

onal

ë sh

umë

të th

jesh

të.

• Të

gje

jnë

vler

ën e

një

shp

rehj

e nu

mer

ike,

me

dy-tr

e ve

prim

e ar

itmet

ike,

me

ose

pa k

llapa

, me

num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të.

• Të

zgjid

hin

prob

lem

a sh

umë

të th

jesh

ta m

e nu

mra

raci

onal

ë.

• Të

verifi

kojn

ë sa

ktës

inë

e kr

yerje

s së

vepr

imit,

duk

e kr

yer v

eprim

in

e ku

ndër

t (m

e nu

mra

raci

onal

ë të

thje

shtë

).

3.1

Kup

timi i

num

rit ra

cion

alTe

ksti

i kl

asës

VII

283.

2 K

raha

simi i

num

rave

raci

onal

ë

293.

3 M

bled

hja

dhe

zbrit

ja e

num

rave

303.

4 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

313.

5 Sh

umëz

imi d

he p

jesë

timi i

dy

num

rave

raci

onal

ë

323.

6 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

33U

shtr

ime

për

vetë

kont

roll

(orë

e li

rë 3

)

343.

7 Te

st p

ër k

reun

nr.

3

35

IV Fuqi

të

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

gje

jnë

fuqi

në e

një

num

ri ra

cion

al t

ë dh

ënë,

me

eksp

onen

t na

tyro

r të

dhën

ë.

• Të

për

dorin

sak

të t

erm

at f

uqi,

bazë

, ek

spon

ent

në s

hkrim

in d

he

lexi

min

e n

jë fu

qie.

• T

ë zb

atoj

në 5

vet

itë e

fuqi

ve n

ë nj

ehsim

e ko

nkre

te d

irekt

e.

• Ta

shkr

uajn

ë fu

qinë

si p

rodh

im d

he p

rodh

imin

e fa

ktor

ëve

të

bara

bart

ë, si

fuqi

.

4.1

Kup

timi i

fuqi

sëTe

ksti

i kl

asës

VII

Mje

tet

(vizo

re,

laps

, go

më,

vi

zore

tre

kën-

dësh

etj)

364.

2 Fu

qitë

e n

umrit

10

374.

3 Ve

titë

e fu

qive

384.

4 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

39

V Mat

ja e

m

adhë

sive

. N

jësi

të e

m

atje

s

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

zgje

dhin

një

sitë

dhe

vegl

at e

për

shta

tshm

e, p

ër të

kry

er m

atje

të

drej

tpër

drej

ta (t

ë gj

atës

isë, k

ëndi

t, ko

hës,

mas

ës).

• Të

vler

ësoj

në m

e sy

një

gja

tësi

ose

një

kënd

të d

hënë

. • T

ë m

asin

me

përa

fërs

inë

që le

jon

shka

lla e

apa

ratit

një

mad

hësi

(në

mat

jet d

irekt

e).

• Të

për

dorin

ske

mën

për

kal

imin

nga

një

një

si m

atës

e (e

gja

tësis

ë,

sipër

faqe

s, vë

llim

it e k

ëndi

t, ko

hës,

mas

ës) n

ë një

sinë p

araa

rdhë

se d

he

në n

jësin

ë pa

sard

hëse

. •

Të k

ryej

në v

eprim

e m

e m

asat

e m

adhë

sive,

kur

ato

shp

rehe

n m

e nu

mra

dy

emër

orë.

5.1

Një

sitë

e gj

atës

isëM

jete

t(v

izore

, la

ps,

gom

ë,

vizo

re

trekë

n-dë

sh e

tj)

405.

2 N

jësit

ë e

sipër

faqe

s

415.

3 N

jësit

ë e

kohë

s

425.

4 Pë

rafri

met

në

mat

je. R

rum

bulla

kim

i i n

umra

ve

435.

5 U

shtr

ime

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

21

44

VI

Rap

orte

dhe

pë

rpje

stim

e

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

gjej

në ra

port

in e

dy

num

rave

. •T

ë gj

ejnë

rap

ortin

e d

y m

adhë

sive,

kur

vle

rat

jepe

n m

e të

një

jtën

njës

i mat

je.

• Të

dallo

jnë

shpe

jtësin

ë, si

rapo

rt të

rrug

ës m

e ko

hën.

• T

ë da

llojn

ë çm

imin

, si r

apor

t të

vler

ës së

mal

lit m

e sa

sinë

e tij

. • T

ë sh

preh

in ra

port

in si

për

qind

je.

• Të

nda

jnë

në r

aste

shu

më

të t

hjes

hta,

një

mad

hësi

në r

apor

t të

dh

ënë.

• T

ë da

llojn

ë, n

ëse

një

bara

zim ra

port

esh

ësht

ë pë

rpje

sëtim

. • T

ë da

llojn

ë te

rmat

e li

dhur

a m

e pë

rpje

sëtim

in.

• Të s

hkru

ajnë

një

për

pjes

ëtim

të d

hënë

në t

rajtë

tjet

ër, d

uke p

ërdo

rur

vetit

ë e

përp

jesë

timev

e.

• Të

gjej

në k

ufizë

n e

panj

ohur

në

një

përp

jesë

tim të

dhë

në.

• Të k

onsta

tojn

ë, n

ëse s

ipas

një

tabe

le v

lera

sh p

ërgj

egjë

se, d

y m

adhë

si ja

në n

ë pë

rpje

sëtim

të d

rejtë

apo

jo.

• Të

japi

n sh

embu

j mad

hësis

h në

për

pjes

ëtim

të d

rejtë

.

6.1

Kup

timi i

rapo

rtit

Teks

ti i

klas

ës V

IIM

jete

t(v

izore

, la

ps,

gom

ë,

vizo

re

trekë

n-dë

sh e

tj)

456.

2 Z

batim

e

466.

3 Sh

preh

ja e

rapo

rtit

në p

ërqi

ndje

476.

4 Pë

rpje

sëtim

et

486.

5 Ve

ti të

tjer

a të

për

pjes

ëtim

eve

496.

6 G

jetja

e k

ufizë

s së

panj

ohur

në

një

përp

jesë

tim

506.

7 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

51U

shtr

ime

për v

etëk

ontro

ll (o

rë e

lirë

4)

526.

8 Te

st pë

r kre

un N

r. 4

53

VII

Figu

rat

gjeo

met

rike

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

dallo

jnë,

në

një

situa

të të

dhë

në, l

loje

t e k

ënde

ve d

he të

zbat

ojnë

ve

ti fil

lesta

re të

tyre

. • T

ë m

atin

mas

ën e

një

kën

di m

e ra

port

or.

• Të

ndër

tojn

ë, m

e ra

port

or, k

ënde

me

një

brin

jë të

dhë

në e

mas

ë të

dh

ënë.

• T

ë nd

ërto

jnë

përg

jysm

oren

e n

jë k

ëndi

me

anë

të ra

port

orit.

• T

ë ja

pin

shem

buj a

ksio

mas

h e

shem

buj t

eore

mas

h.

• Të

ndër

tojn

ë, m

e an

ë të

rapo

rtor

it ap

o tre

kënd

ëshi

t të

viza

timit,

dy

drej

tëza

pin

gule

. •

Të n

dërt

ojnë

dre

jtëza

par

alel

e, m

e an

ë të

vizo

res

dhe

trekë

ndës

hit

të v

izatim

it.

• Të d

allo

jnë n

ëse d

y kën

de ja

në p

ërgj

egjë

s apo

ndë

rrue

s të b

rend

shëm

. •

Të p

ërdo

rin,

në r

aste

dire

kte,

bar

azim

in e

dy

kënd

eve

përg

jegj

ës

(ndë

rrue

s të

bre

ndsh

ëm),

të f

orm

uar

nga

prer

ja e

dy

drej

tëza

ve

para

lele

me

një

të tr

etë.

• T

ë nd

ërto

jnë

proj

eksio

nin

e nj

ë pi

ke m

bi n

jë d

rejtë

z. • T

ë m

atin

larg

esën

e n

jë p

ike

nga

një

drej

tëz.

• Të

dallo

jnë

lloje

t e tr

ekën

dësh

ave

sipas

brin

jëve

e k

ënde

ve.

• Të

gjej

në m

asën

e n

jë k

ëndi

të tr

ekën

dësh

it, k

ur n

jihen

mas

at e

dy

kënd

eve

të tj

erë.

7.1

Përs

ëritj

e. K

ënde

t dhe

mat

ja e

tyre

Teks

ti i

klas

ës V

IIM

jete

t(v

izore

, la

ps,

gom

ë,

vizo

re

trekë

n-dë

sh e

tj)

547.

2 N

dërt

ime

me

rapo

rtor

, Kom

pas,

Vizo

re

557.

3 Fj

alitë

mat

emat

ike.

Teo

rem

at. K

ënde

t e k

undë

rta

në k

ulm

567.

4 D

rejtë

za p

ingu

le

577.

5 D

rejtë

za p

aral

ele

587.

6 K

ënde

t që

form

ohen

në

dy d

rejtë

za p

aral

ele,

kur

at

o pr

iten

nga

një

drej

tëz e

tret

ë.

597.

7 La

rges

a. P

roje

ksio

ni i

pikë

s dhe

i se

gmen

tit n

ë dr

ejtë

z

60M

bi z

hvill

imin

e g

jeom

etris

ë. T

eore

ma

e Pi

tago

rës.

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

27

III

Num

rat

raci

onal

ë

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

shpr

ehin

sasi

me

anë

të n

umra

ve ra

cion

alë.

• T

ë le

xojn

ë e

të sh

krua

jnë

num

ra ra

cion

alë

nega

tivë.

•

Për ç

do n

umër

raci

onal

të g

jejn

ë të

kun

dërt

in e

tij.

• Të

zbat

ojnë

lirs

hëm

mar

rëve

shje

n +a

=a;

-(-a

)=a.

• T

ë kr

ahas

ojnë

dy

num

ra ra

cion

alë

çfar

ëdo,

duk

e tre

guar

poz

icio

nin

reci

prok

të p

ikav

e pë

rgje

gjës

e në

bos

htin

num

erik

. • T

ë m

bled

hin

apo

të zb

resin

dy

num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të.

• Të

zba

tojn

ë rr

egul

lën

për

hapj

en e

klla

pës,

që p

ërm

ban

një

shum

ë al

gjeb

rike,

kur

par

a ka

shen

jën

(+) o

se sh

enjë

n (-

). • T

ë sh

umëz

ojnë

dy

num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të.

• Të

pjes

ëtoj

në d

y nu

mra

raci

onal

ë sh

umë

të th

jesh

të.

• Të

gje

jnë

vler

ën e

një

shp

rehj

e nu

mer

ike,

me

dy-tr

e ve

prim

e ar

itmet

ike,

me

ose

pa k

llapa

, me

num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të.

• Të

zgjid

hin

prob

lem

a sh

umë

të th

jesh

ta m

e nu

mra

raci

onal

ë.

• Të

verifi

kojn

ë sa

ktës

inë

e kr

yerje

s së

vepr

imit,

duk

e kr

yer v

eprim

in

e ku

ndër

t (m

e nu

mra

raci

onal

ë të

thje

shtë

).

3.1

Kup

timi i

num

rit ra

cion

alTe

ksti

i kl

asës

VII

283.

2 K

raha

simi i

num

rave

raci

onal

ë

293.

3 M

bled

hja

dhe

zbrit

ja e

num

rave

303.

4 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

313.

5 Sh

umëz

imi d

he p

jesë

timi i

dy

num

rave

raci

onal

ë

323.

6 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

33U

shtr

ime

për

vetë

kont

roll

(orë

e li

rë 3

)

343.

7 Te

st p

ër k

reun

nr.

3

35

IV Fuqi

të

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

gje

jnë

fuqi

në e

një

num

ri ra

cion

al t

ë dh

ënë,

me

eksp

onen

t na

tyro

r të

dhën

ë.

• Të

për

dorin

sak

të t

erm

at f

uqi,

bazë

, ek

spon

ent

në s

hkrim

in d

he

lexi

min

e n

jë fu

qie.

• T

ë zb

atoj

në 5

vet

itë e

fuqi

ve n

ë nj

ehsim

e ko

nkre

te d

irekt

e.

• Ta

shkr

uajn

ë fu

qinë

si p

rodh

im d

he p

rodh

imin

e fa

ktor

ëve

të

bara

bart

ë, si

fuqi

.

4.1

Kup

timi i

fuqi

sëTe

ksti

i kl

asës

VII

Mje

tet

(vizo

re,

laps

, go

më,

vi

zore

tre

kën-

dësh

etj)

364.

2 Fu

qitë

e n

umrit

10

374.

3 Ve

titë

e fu

qive

384.

4 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

39

V Mat

ja e

m

adhë

sive

. N

jësi

të e

m

atje

s

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

zgje

dhin

një

sitë

dhe

vegl

at e

për

shta

tshm

e, p

ër të

kry

er m

atje

të

drej

tpër

drej

ta (t

ë gj

atës

isë, k

ëndi

t, ko

hës,

mas

ës).

• Të

vler

ësoj

në m

e sy

një

gja

tësi

ose

një

kënd

të d

hënë

. • T

ë m

asin

me

përa

fërs

inë

që le

jon

shka

lla e

apa

ratit

një

mad

hësi

(në

mat

jet d

irekt

e).

• Të

për

dorin

ske

mën

për

kal

imin

nga

një

një

si m

atës

e (e

gja

tësis

ë,

sipër

faqe

s, vë

llim

it e k

ëndi

t, ko

hës,

mas

ës) n

ë një

sinë p

araa

rdhë

se d

he

në n

jësin

ë pa

sard

hëse

. •

Të k

ryej

në v

eprim

e m

e m

asat

e m

adhë

sive,

kur

ato

shp

rehe

n m

e nu

mra

dy

emër

orë.

5.1

Një

sitë

e gj

atës

isëM

jete

t(v

izore

, la

ps,

gom

ë,

vizo

re

trekë

n-dë

sh e

tj)

405.

2 N

jësit

ë e

sipër

faqe

s

415.

3 N

jësit

ë e

kohë

s

425.

4 Pë

rafri

met

në

mat

je. R

rum

bulla

kim

i i n

umra

ve

435.

5 U

shtr

ime

22

61• T

ë nd

ërto

jnë,

me

mje

te të

thje

shta

, mes

oret

, lar

tësit

ë, p

ërgj

ysm

oret

e

trekë

ndës

hit.

• Të

për

dorin

, në

ras

te s

hum

ë të

thj

esht

a, v

eti

të t

rekë

ndës

hit

dybr

injë

njës

hëm

. • T

ë em

ërto

jnë

figur

a gj

eom

etrik

e sh

umëk

ëndo

re.

• Të

për

dorin

kon

grue

ncën

e n

johu

r të

dy

figur

ave,

për

të

bara

zuar

el

emen

të h

omol

ogë

në to

. • T

ë pë

rdor

in, n

ë ra

ste d

irekt

e, v

etin

ë e

përm

esor

es së

segm

entit

. • T

ë pë

rshk

ruaj

në k

uptim

in e

trap

ezit.

• T

ë lis

tojn

ë ve

ti të

trap

ezit

dybr

injë

njës

hëm

. • T

ë pë

rshk

ruaj

në k

uptim

in e

par

alel

ogra

mit.

• T

ë nd

ërto

jnë,

me

mje

te të

thje

shta

, par

alel

ogra

min

dhe

trap

ezin

. • T

ë lis

tojn

ë di

sa v

eti t

ë th

jesh

ta të

par

alel

ogra

mit

dhe

t’i p

ërdo

rin n

ë ra

ste d

irekt

e.

• Të

përs

hkru

ajnë

kup

timin

e d

rejtk

ëndë

shit,

rom

bit,

katro

rit.

• Të

listo

jnë

veti

të th

jesh

ta të

tyre

dhe

t’i p

ërdo

rin n

ë ra

ste d

irekt

e.

• Të

përd

orin

në

raste

dire

kte

teor

emën

e T

ales

it.

7.8

Shum

ëkën

dësh

at. S

hum

ëkën

dësh

at e

rreg

ullt

Mje

tet

(vizo

re,

laps

, go

më,

vi

zore

627.

9 Tr

ekën

dësh

i

637.

10 N

dërt

imi i

trek

ëndë

shit,

kur

janë

dhë

në d

y br

injë

dhe

kën

di i

përfs

hirë

ndë

rmje

t tyr

e. R

asti

i pa

rë i

kong

ruen

cës s

ë tre

kënd

ësha

ve

647.

11 N

dërt

imi i

trek

ëndë

shit

kur j

epen

një

brin

jë

dhe

dy k

ënde

t e a

nësh

krua

ra k

ësaj

brin

je. R

asti

i dyt

ë i k

ongr

uenc

ës së

trek

ëndë

shav

e.

657.

12 N

dërt

imi i

trek

ëndë

shit

kur j

epen

tri b

rinjë

t e

tij. R

asti

i tre

të i

kong

ruen

cës s

ë tre

kënd

ësha

ve

667.

13 Z

batim

e. V

etia

e p

ërm

esor

es së

segm

entit

. Ve

tia e

për

gjys

mor

es së

kën

dit

677.

14 K

atër

kënd

ësha

t. Tr

apez

at

687.

15 P

aral

elog

ram

i. Ve

ti të

par

alel

ogra

mit

697.

16 D

rejtk

ëndë

shi.

Rom

bi. K

atro

ri

707.

17 T

eore

ma

e Tal

esit

717.

18 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

727.

19 U

shtr

ime

për p

ërsë

ritje

73U

shtr

ime

për

vetë

kont

roll

(orë

e li

rë 6

)

747.

20 T

est p

ër k

reun

Nr.

5

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

23

75

VII

ISh

preh

jet m

e nd

rysh

ore

dhe

ekua

cion

et

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të g

jejn

ë vle

rën

e një

shpr

ehje

shum

ë të t

hjes

htë,

me n

jë n

drys

hore

, pë

r një

vle

rë të

thje

shtë

të n

drys

hore

s. •

Të h

eqin

klla

pat,

kur

bren

da t

yre

qënd

ron

një

shum

ë al

gjeb

rike,

ku

rse

para

tyre

shen

ja +

ose

-.

• Të p

ërdo

rin ve

tinë e

për

dasim

it pë

r shp

rehj

e të t

rajtë

s )

(cy

bxa

±. • T

ë fa

ktor

izojn

ë sh

preh

je të

traj

tës

ayax

±.

• Të

dal

lojn

ë në

një

shu

më

algj

ebrik

e m

onom

esh,

mon

omet

e

ngja

shëm

të tr

ajtë

s së

rreg

ullt.

• T

ë red

ukto

jnë s

hum

ën ap

o nd

rysh

esën

e dy

mon

omev

e të n

gjas

hëm

, të

traj

tës s

ë rr

egul

lt.

• Të d

allo

jnë,

nës

e një

vle

rë e

thje

shtë

e nd

rysh

ores

ësht

ë ap

o jo

rrën

jë

e ek

uaci

onit

ax+b

=c;

ax2 =

b.

• Të

ja

pin

shem

buj

ekua

cion

esh

të

njëv

lers

hëm

dh

e sh

embu

j ek

uaci

ones

h jo

të n

jëvl

ersh

ëm.

• Të

zgjid

hin

ekua

cion

in e

traj

tës a

x=b,

me

koefi

cien

të n

umer

ikë,

në

seci

lin p

rej t

re ra

steve

të m

unds

hëm

. • T

ë zg

jidhi

n pr

oble

ma

shum

ë të

thje

shta

, me

anë

të e

kuac

ione

ve m

e nj

ë nd

rysh

ore.

•

Të d

allo

jnë

nëse

një

vle

rë e

thj

esht

ë e

ndry

shor

es ë

shtë

zgj

idhj

e e

inek

uaci

onit

të tr

ajtë

s ax+

b>c (

ax+b

<c).

• Të

zgj

idhi

n in

ekua

cion

in e

traj

tës a

x+b>

c (a

x+b<

c), m

e ko

efici

entë

nu

mer

ikë

të th

jesh

të, d

uke

e sje

llë a

të n

ë tr

ajtë

n x>

d (x

<d).

8.1

Shpr

ehje

me

ndry

shor

e. S

hpre

hjet

iden

tike

Teks

ti i

klas

ës V

IIM

jete

t (v

izore

, la

ps,

gom

ë,

vizo

re

768.

2 M

onom

i. Re

dukt

imi i

mon

omev

e të

ngj

ashm

e

778.

3 N

xjer

rja n

ë du

kje

e fa

ktor

it të

për

bash

kët

788.

4 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

798.

5 Ek

uaci

one

me

një

ndry

shor

e.

Ekua

cion

e të

një

vler

ëshm

e

808.

6 Ek

uaci

oni i

traj

tës A

.X =

B d

he e

kuac

ione

që

sille

n në

kët

ë tr

ajtë

me

shnd

ërrim

e të

një

vler

shm

e

818.

7 Pr

oble

ma

që zg

jidhe

n m

e ek

uaci

one

me

një

ndry

shor

e

82Si

mbo

lika

algj

ebrik

e. E

kuac

ione

t. Pr

oble

me

të v

jetr

a të

alg

jebr

ës (o

rë e

lirë

7)

838.

8 In

ekua

cion

e m

e nj

ë nd

rysh

ore

848.

9 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e

85U

shtr

ime

për

vetë

kont

roll

(orë

e li

rë 8

)

868.

10 T

est p

ër k

reun

Nr.

6

87

IX Peri

met

ri d

he

sipë

rfaq

ja e

fig

urav

e

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

nje

hsoj

në, d

uke

përd

orur

for

mul

at, p

erim

etrin

dhe

sip

ërfa

qen

e di

sa fi

gura

ve t

ë th

jesh

ta (

trekë

ndës

h, p

aral

elog

ram

, tr

apez

, rr

eth,

qa

rk),

duke

për

doru

r të

dhën

a të

dre

jtpër

drej

ta a

po d

uke

i mat

ur a

to.

• Të

gje

jnë

perim

etrin

e sh

umëk

ëndë

shit

të rr

egul

lt, k

ur je

pet b

rinja

e

tij d

he a

nasje

llas.

• Të p

ërdo

rin fo

rmul

at p

ër zg

jidhj

en e

prob

lem

ave s

hum

ë të t

hjes

hta,

m

e nj

ehsim

.

9.1

Perim

etri

i shu

mëk

ëndë

sitTe

ksti

i kl

asës

VII

Mje

tet

(vizo

re,

laps

, go

më,

vi

zore

889.

2 Pe

rimet

ri i r

reth

it89

9.3

Ush

trim

e 90

9.4

Sipë

rfaqj

a e

para

lelo

gram

it

919.

5 Si

përfa

qja

e tr

apez

it

929.

6 Si

përfa

qja

e qa

rkut

939.

7 U

shtr

ime

për p

ërpu

nim

in e

njo

huriv

e94

Ush

trim

e pë

r ve

tëko

ntro

ll (o

rë e

lirë

9)

959.

8 Te

st p

ër k

reun

Nr.

7

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

24

96

X Gje

omet

ria

në h

apës

irë

Në

fund

të k

apit

ullit

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

dal

lojn

ë e

të e

mër

tojn

ë, n

ë nj

ë gr

up t

rupa

sh t

ë dh

ënë

po t

ë vi

zatu

ar, k

ubin

, kub

oidi

n, p

rizm

in (e

dre

jtë),

pira

mid

ën, c

ilind

rin (e

dr

ejtë

rret

hor)

. • T

ë lis

tojn

ë ve

ti të

thje

shta

të k

ëtyr

e tr

upav

e.

• Të

dallo

jnë

në n

jë h

apje

të d

hënë

, të

një

trup

i të

tillë

, llo

jin e

trup

it dh

e el

emen

te të

tij.

• Të

lex

ojnë

sak

të e

mër

timet

e k

ulm

eve

e br

injë

ve,

faqe

ve t

ë nj

ë sh

umëf

aqës

hi (k

uboi

d, p

rizëm

). • T

ë sk

icoj

në k

ubin

e k

uboi

din.

• T

ë ja

pin

hapj

en e

një

kub

i; të

mod

eloj

në n

jë k

ub si

pas h

apje

s së

tij.

• Të

përs

hkru

ajnë

kup

timin

e la

rtës

isë së

priz

mit

e të

cili

ndrit

. • T

ë nj

ehso

jnë

vëlli

min

e p

rizm

it (të

dre

jtë),

duke

për

doru

r të

dhën

a të

dre

jtpër

drej

ta, p

ër si

përfa

qen

e ba

zës d

he la

rtës

inë.

10.1

Shu

mëf

aqës

hat.

Kub

oidi

. Kub

i

Teks

ti i

klas

ës V

II

9710

.2 U

shtr

ime

9810

.3 P

rizm

i i d

rejtë

9910

.4 C

ilind

ri

100

10.5

Ush

trim

e pë

r për

puni

min

e n

johu

rive

101

XI.

Fu

nksi

oni

Në

fund

të k

apit

ullit

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

dal

lojn

ë, n

ëse

çifti

mi

i dy

bas

hkës

ive

të f

undm

e, d

hënë

me

diag

ram

shig

jeto

r apo

me

tabe

lë, ë

shtë

funk

sion.

•

Për

një

funk

sion

të fu

ndm

ë, d

hënë

me

diag

ram

shi

gjet

or a

po m

e ta

belë

, të

shkr

uajn

ë gj

ithë

çifte

t e re

nditu

r (fy

tyrë

, shë

mbë

llim

). •

Për n

jë fu

nksio

n të

tillë

, të

japi

n gr

afiku

n e

tij.

• Të

gje

jnë

vler

ën e

një

fun

ksio

ni, t

ë dh

ënë

me

form

ulë

shum

ë të

th

jesh

të, p

ër n

jë v

lerë

të th

jesh

të të

ndr

ysho

res d

he të

ndë

rtoj

në p

ikën

pë

rgje

gjës

e të

gra

fikut

. • T

ë da

llojn

ë në

se p

ika,

me

koor

dina

ta të

dhë

na të

thje

shta

, ndo

dhet

në

gra

fikun

e fu

nksio

nit:

y=kx

, y=

x+a,

y=a

x+b.

• P

ër n

jë fu

nksio

n m

e gra

fik të

dhë

në, t

ë gje

jnë v

lerë

n e f

unks

ioni

t për

çd

o vl

erë

të a

bshi

sës.

• Të

ndë

rtoj

në g

rafik

un e

fun

ksio

nit

y=kx

, për

vle

ra k

onkr

ete

të k

, du

ke p

ërdo

rur f

aktin

, që

ai k

alon

nëp

ër o

rigjin

ë.

• Të n

dërt

ojnë

, me d

y pi

ka, g

rafik

un e

funk

sioni

t: y=

x+a,

y=a

x+b,

me

koefi

cien

të të

dhë

në.

• Të

japi

n fja

linë

e an

asje

llë të

një

fjal

ie të

thje

shtë

të d

hënë

.

Mbi

kup

timin

e fu

nksio

nit.

Mbi

met

odën

ko

ordi

nativ

e (o

rë e

lirë

10)

Teks

ti i k

lasë

s V

II d

he

mat

eria

le

të tj

era

burim

ore

nga

inte

rnet

i os

e të

sig

urua

ra

nga

nxën

ësit

Mje

tet

(vizo

re,

laps

, go

më,

vi

zore

102

11.1

Për

sërit

je. F

unks

ioni

dhe

mën

yrat

e d

hëni

es së

tij

103

11.2

Fun

ksio

ni Y

= K

X

104

11.3

Fun

ksio

ni Y

= X

+A

105

11.4

Fun

ksin

i Y =

AX

+ B

106

11.5

Fja

lia e

ana

sjellt

ë. F

unks

ioni

i an

asje

llë

107

11.6

Ush

trim

e pë

r për

puni

min

e n

johu

rive

108

Ush

trim

e pë

r ve

tëko

ntro

ll (o

rë e

lirë

11)

109

11.7

Tes

t për

kre

un N

r 8

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

25

110

XII

.Sh

ndër

rim

et

gjeo

met

rike

Në

fund

të k

apit

ullit

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

përs

hkru

ajnë

kup

timin

e b

osht

it ko

ordi

nativ

. •

Të g

jejn

ë ko

ordi

natë

n e

një

pike

në

bosh

t; të

tre

gojn

ë ve

nd-

ndod

hjen

e p

ikës

në

bosh

t, ku

r nj

ihet

koo

rdin

ata

e sa

j (n

umër

ra

cion

al i

thje

shtë

). • T

ë gj

ejnë

koo

rdin

atat

e p

ikës

së d

hënë

në

plan

in xO

y. •

Të n

dërt

ojnë

pik

ën n

ë pl

anin

xO

y, ku

r nj

ihen

koo

rdin

atat

e s

aj

(num

ra ra

cion

alë

të th

jesh

të).

• Të

japi

n ko

ordi

nata

t e

shëm

bëlli

mit

të n

jë p

ike,

të

njoh

ur n

ë nj

ë zh

vend

osje

par

alel

e të

dhë

në;

të j

apin

koo

rdin

atat

e f

ytyr

ës,

kur

njih

en a

to të

shëm

bëlli

mit.

•

Të g

jejn

ë sh

ëmbë

llim

in e

seg

men

tit n

ë nj

ë zh

vend

osje

par

alel

e të

dh

ënë.

•

Të s

hkru

ajnë

koo

rdin

atat

e s

hëm

bëlli

mit

të n

jë p

ike,

në

një

zmad

him

të d

hënë

(O, k

); të

japi

n ko

ordi

nata

t e fy

tyrë

s, ku

r nj

ihen

at

o të

shëm

bëlli

mit.

• T

ë gj

ejnë

shëm

bëlli

min

e n

jë se

gmen

ti në

zmad

him

in (O

,k).

• Të

gjej

në sh

ëmbë

llim

in e

një

pik

e dh

e të

një

segm

enti

në si

met

rinë

qend

rore

. • T

ë gj

ejnë

shëm

bëlli

min

e n

jë p

ike

dhe

të n

jë se

gmen

ti në

sim

etrin

ë bo

shto

re.

• Të

jap

in k

oord

inat

at e

shë

mbë

llim

it të

një

pik

e në

sim

etrin

ë m

e qe

ndër

O;

të j

apin

koo

rdin

atat

e f

ytyr

ës,

kur

njih

en a

to t

ë sh

ëmbë

llim

it.

• Të j

apin

koo

rdin

atat

e sh

ëmbë

llim

it të

një

pik

e në s

imet

rinë n

daj O

x dh

e në

sim

etrin

ë nd

aj O

y. •

Të d

allo

jnë

qend

ra s

imet

rie n

ë fig

ura

shum

ë të

thje

shta

(se

gmen

t, rr

eth,

kat

ror)

. •

Të d

allo

jnë

bosh

te s

imet

rie n

ë fig

ura

shum

ë të

thj

esht

a (s

egm

ent,

rret

h, k

atro

r, tre

kënd

ësh

dybr

injë

njës

hëm

). • T

ë vi

zato

jnë

figur

a, q

ë ka

në q

endë

r sim

etrie

; të

viza

tojn

ë fig

ura,

që

nuk

kanë

qen

dër s

imet

rie.

• Të

viza

tojn

ë fig

ura,

që

kanë

bos

ht s

imet

rie; t

ë vi

zato

jnë

figur

a, q

ë nu

k ka

në b

osht

sim

etrie

.

12.1

Koo

rdin

atat

e p

ikës

në

plan

Teks

ti i

klas

ës V

II

111

12.2

Ush

trim

e

112

12.3

Zhv

endo

sja p

aral

ele

e pi

kës

113

12.4

Zhv

endo

sja p

aral

ele

e fig

urës

114

12.5

Zm

adhi

mi d

he zv

ogël

imi i

figu

rave

115

12.6

Zba

time.

Par

aqitj

a e

obje

ktiv

ave

me

shka

llë

zvog

ëlim

i dhe

zmad

him

i

116

12.7

Sim

etria

sipa

s një

pik

e (s

imet

ria q

endr

ore)

117

12.8

Fig

ura

me

qend

ër si

met

rie

118

12.9

Sim

etria

sipa

s një

dre

jtëz (

simet

ria b

osht

ore)

119

12.1

0 D

rejtë

za e

sim

etris

ë e

trekë

ndës

hit

dybr

injë

njës

hëm

120

12.1

1 U

shtr

ime

121

Ush

trim

e pë

r ve

tëko

ntro

ll (o

rë e

lirë

12)

122

12.1

2 Te

st p

ër k

reun

Nr.

9

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore

26

123

XII

ISt

atis

tikë

dhe

pr

obab

ilite

t

Në

fund

të k

reut

nxë

nësi

duh

et të

jetë

i af

të:

• Të

mbl

edhi

n të

dhë

na,

sipas

një

qël

limi

të p

ërca

ktua

r, dh

e t’i

pa

raqe

sin a

to m

e ta

bela

të e

fekt

ivav

e, a

po m

e di

agra

me

me

shty

lla.

• Të

gru

mbu

llojn

ë dh

e të

kla

sifiko

jnë

të d

hëna

nga

bur

ime

të

ndry

shm

e, p

ërfsh

irë a

nket

at, d

he t’

i par

aqes

in a

to m

e ta

bela

ose

me

diag

ram

e m

e sh

tylla

. •

Të k

aloj

në n

ga t

abel

a e

efek

tivav

e në

dia

gram

ën m

e sh

tylla

e

anas

jella

s. • T

ë gj

ejnë

mes

atar

en a

ritm

etik

e, m

odën

dhe

mes

oren

në

një

varg

të

fund

më

vler

ash,

të ti

parit

sasio

r disk

ret.

• Të

gje

jnë

num

rin e

rez

ulta

teve

të

mun

dshm

e në

një

eks

perim

ent

shum

ë të

thje

shtë

. •

Të g

jejn

ë nu

mrin

e r

ezul

tate

ve t

ë fa

vors

hme,

për

një

ngj

arje

të

cakt

uar,

në n

jë e

kspe

rimen

t të

tillë

. •

Të g

jejn

ë pr

obab

ilite

tin e

një

ngj

arje

në

një

eksp

erim

ent s

hum

ë të

th

jesh

të.

• Të

dal

lojn

ë në

një

eks

perim

ent

të t

hjes

htë,

ngj

arje

të

pam

undu

ra

dhe

ngja

rje të

sigu

rta.

13.1

Mbl

edhj

a dh

e pa

raqi

tja e

të d

hëna

veTe

ksti

i kl

asës

VII

124

13.2

Para

qitja

gra

fike

125

13.3

Dia

gram

i rre

thor

. Ush

trim

e

126

13.4

Tabe

lat e

den

duriv

e

127

13.5

Mes

atar

et

128

13.6

Ush

trim

e

129

13.7

Prob

abili

teti

i ngj

arje

s

130

13.8

Ngj

arje

e si

gurt

. Ngj

arje

e p

amun

dur

131

13.9

Ush

trim

e

132

13.1

0U

shtr

ime

për k

reun

133

Orë

të li

ra

134

Orë

të li

ra

135

Orë

të li

ra

136

Orë

të li

ra

137

Orë

të li

ra13

8O

rë të

lira

139

Orë

të li

ra14

0O

rë të

lira

Rek

oman

dim

e:

• O

rët e

lira

(8 o

rë) m

und

të p

ërdo

ren

në p

roje

kte

kurr

ikul

are,

kon

kurs

e në

niv

el k

lase

, dep

arta

men

ti os

e në

niv

el sh

kolle

.•

Tek

rubr

ika

“M

ater

iali

burim

or”

, për

veç

teks

tit m

ësim

or m

und

të p

ërdo

ret d

he li

tera

turë

tjet

ër e

cila

mun

d të

jetë

nga

teks

te të

sh

krua

ra o

se n

ga in

tern

eti p

ër të

traj

tuar

një

obj

ektiv

të c

aktu

ar të

pro

gram

it.•

Tek

rubr

ika

Obj

ektiv

at m

inim

alë

të k

apitu

llit j

anë

përc

aktu

ar n

ga o

bjek

tivat

e p

rogr

amit

të lë

ndës

. Obj

ektiv

at e

niv

elit

mes

atar

dhe

të

lartë

jan

ë pë

rcak

tuar

në

librin

për

katë

s të

mës

uesi

t.

Orë

Kre

uO

bjek

tiva

t e K

reut

Tem

a m

ësim

ore

për

çdo

orë

mës

imi

Mat

eria

libu

rim

orM

jete

t m

ësim

ore


II.4 Objektivat sipas krerëve (në tre nivele)

Kreu 1: Numrat e plotë

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përdorin saktë shënimet Za∈ , Za∉ . • Të krahasojnë dy numra të plotë me tri shifra, duke përdorur saktë shënimet <, >, =. • Të paraqitin numrat e plotë në boshtin numerik. • Të mbledhin e të zbresin dy numra të plotë tri shifrorë. • Të shumëzojnë dy numra të plotë të tillë. • Të pjesëtojnë dy numra të plotë (pjesëtuesi të jetë me 1-2 shifra). • Të zgjidhin ekuacione të trajtës: bax =± ; a-x=b; a·x=b; x:a=b; a:x=b, me numra të plotë dy shifrorë. • Të heqin kllapën, kur brenda saj është një shumë algjebrike numrash të plotë dhe para saj është shenja (+) ose (-). • Të njehsojnë vlerën e një shprehje me 2-3 veprime, me ose pa kllapa, me numra të plotë të vegjël. • Të zgjidhin problema shumë të thjeshta me numra të plotë.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të shprehin me fjalë rregullën, për krahasimin e dy numrave të plotë. • Të shprehin me fjalë rregullën, për gjetjen e shumës apo të ndryshesës së dy numrave të plotë. • Të shprehin me fjalë rregullën, për gjetjen e prodhimit apo të herësit të dy numrave të plotë. • Duke përdorur vetitë e veprimeve, të zgjidhin ekuacione që, sillen në trajtat:

bax =± ; a-x=b; a·x=b; x:a=b; a:x=b, me numra të plotë. • Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike, me disa prej katër veprimeve aritmetike, me 1-2 kllapa, me numra të plotë. • Të zgjidhin problema të thjeshta me numra të plotë.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të kryejnë me lehtësi, duke dhënë shpjegime të plota, algoritmet për kryerjen e katër veprimeve aritmetike me numra të plotë. • Të përkthejnë e të zgjidhin situata komplekse, të shprehura me fjalë, me të dhëna të plota, të tepërta apo të mangëta, me numra të plotë. • Të paraqesin, me anë numrash të plotë, të dhëna praktike. • Të zgjidhin situata problemore të reja, me numra të plotë.

28 MATEMATIKA 7

Kreu 2: Thyesat dhe numrat dhjetorëNiveli I

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin sasi me anë të thyesave dhe të numrave dhjetorë. • Të lexojnë e të shkruajnë një numër dhjetor me tri shifra pas presjes dhjetore. • Të gjejnë P.M.P. dhe Sh.V.P. të dy numrave të vegjël. • Të kthejnë në emërues të përbashkët dy thyesa me emërues të tillë. • Të krahasojnë dy thyesa të tilla. • Të mbledhin e të zbresin dy thyesa të tilla. • Të shumëzojnë e të pjesëtojnë dy thyesa. • Të gjejnë pjesën e së tërës. • Të shkruajnë një numër dhjetor si thyesë. • Të rrumbullakojnë një numër dhjetor deri tek të mijtat. • Të krahasojnë dy numra dhjetorë, me të shumtën tri shifra dhjetore. • Të mbledhin e të zbresin dy numra dhjetorë, me të shumtën tri shifra pas presjes dhjetore. • Të shumëzojnë dy numra dhjetorë, me të shumtën dy shifra pas presjes dhjetore. • Të pjesëtojnë dy numra dhjetorë (pjesëtuesi me 1-2 shifra). • Të kthejnë një thyesë të zakonshme (me emërues me 1-2 shifra) në thyesë dhjetore, kur kjo është e mundur. • Të dallojnë, nëse thyesa me emërues me 1-2 shifra është periodike, në rast se po, të gjejnë periodën. • Të shkruajnë përqindjen si thyesë e zakonshme dhe si numër dhjetor. • Të gjejnë përqindjen e një sasie të dhënë, në situata shumë të thjeshta.


• Të gjejnë P.M.P. dhe Sh.V.P. e dy numrave natyrorë (deri dy shiforë). • Të kthejnë në emërues të përbashkët dhe të krahasojnë dy thyesa me emërues të tillë. • Të mbledhin e të zbresin dy thyesa. • Të shumëzojnë e të pjesëtojnë dy thyesa, duke kryer thjeshtime. • Të gjejnë pjesën e të tërës dhe të tërën, kur njihet një pjesë e saj (thyesë me emërues deri dyshifror). • Të rrumbullakojnë një numër dhjetor, deri në një rend të caktuar. • Të krahasojnë dy numra dhjetorë çfarëdo. • Të mbledhin e të zbresin dy numra dhjetorë çfarëdo. • Të shumëzojnë dy numra dhjetorë çfarëdo. • Të pjesëtojnë dy numra dhjetorë çfarëdo (pjesëtuesi me jo më shumë se dy shifra). • Të kthejnë një thyesë të zakonshme (emëruesi jo më tepër se dy shifra) në thyesë dhjetore, kur kjo është e mundur. • Të shkruajnë thyesën e zakonshme si përqindje. • Të gjejnë përqindjen e një sasie, në situata praktike. • Të njehsojnë, me makinë llogaritëse, vlerën e një shprehje numerike me disa


veprime, me numra dhjetorë, duke përdorur edhe tastet e memorizimit. • Të përdorin rrumbullakime për gjetjen, me përafërsi, të përfundimit të veprimit. • Të përdorin mënyra të thjeshta për: a) Parashikimin e rrumbullakosur të përfundimit. b) Kontrollin e përfundimit. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave: bax =± ; a-x=b; a·x=b; x:a=b; a:x=b, me thyesa apo me numra dhjetorë.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë saktë algoritmet e veprimeve me thyesa e numra dhjetorë, me disa mënyra, duke argumentuar. • Të zgjidhin situata të reja me thyesa, numra dhjetorë apo përqindje. • Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike me kllapa, me të katër veprimet aritmetike, me thyesa apo me numra dhjetorë çfarëdo. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtat:

bax =± ; a-x=b; a·x=b; x:a=b; a:x=b, me thyesa të zakonshme apo numra dhjetorë. • Të përdorin në situata problemore trajtat e njëvlershme të kthimit të një numri. • Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit, në situata praktike. • Të përdorin rrumbullakimin për zgjidhjen e përafërt të një probleme matematike.

Kreu 3: Numrat racionalë


• Të shprehin sasi me anë të numrave racionalë. • Të lexojnë e të shkruajnë numra racionalë negativë. • Për çdo numër racional të gjejnë të kundërtin e tij. • Të zbatojnë lirshëm marrëveshjen +a=a; -(-a)=a. • Të krahasojnë dy numra racionalë çfarëdo, duke treguar pozicionin reciprok të pikave përgjegjëse në boshtin numerik. • Të mbledhin apo të zbresin dy numra racionalë të thjeshtë. • Të zbatojnë rregullën për hapjen e kllapës, që përmban një shumë algjebrike, kur para ka shenjën (+) ose shenjën (-). • Të shumëzojnë dy numra racionalë të thjeshtë. • Të pjesëtojnë dy numra racionalë shumë të thjeshtë. • Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike, me dy-tre veprime aritmetike, me ose pa kllapa, me numra racionalë të thjeshtë. • Të zgjidhin problema shumë të thjeshta me numra racionalë. • Të verifikojnë saktësinë e kryerjes së veprimit, duke kryer veprimin e kundërt (me numra racionalë të thjeshtë).

30 MATEMATIKA 7


• Të shprehin me fjalë rregullën, për gjetjen e shumës (ndryshesës) së dy numrave racionalë të thjeshtë. • Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike, me disa veprime aritmetike, me 1-2 kllapa, me numra racionalë të thjeshtë. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtat: bax =± ; a-x=b; a·x=b; x:a=b; a:x=b, duke zbatuar vetitë e veprimeve me numra racionalë të thjeshtë. • Të shprehin me fjalë e shkronja rregullën për shumëzimin dhe për pjesëtimin e dy numrave racionalë. • Të formojnë mosbarazime të vërteta, duke përzgjedhur numra racionalë, ndër disa të dhënë. • Të “përkthejnë” e të zgjidhin situata të thjeshta me numra racionalë, dhënë me fjalë apo me modele të tjera. • Të zgjidhin probleme të thjeshta praktike me numra racionalë.


• Të japin shpjegime të plota dhe të sakta për veprimtarinë që kryejnë. • Të zgjidhin probleme me situata komplekse, apo të reja, me numra racionalë.

Kreu 4: Fuqitë


• Të gjejnë fuqinë e një numri racional të dhënë, me eksponent natyror të dhënë. • Të përdorin saktë termat fuqi, bazë, eksponent në shkrimin dhe leximin e një fuqie. • Të zbatojnë 5 vetitë e fuqive në njehsime konkrete direkte. • Ta shkruajnë fuqinë si prodhim dhe prodhimin e faktorëve të barabartë, si fuqi.


• Të shprehin me fjalë e shkronja përkufizimin e ( na ). • Të përdorin saktë marrëveshjen për a1 . • Të shprehin saktë me fjalë e shkronja 5 vetitë e fuqive, me eksponent natyror. • Të shkruajnë numra, që kanë si faktorë fuqi të dhjetës, në trajtën . • Të përdorin kuptimin e fuqisë për zgjidhjen e problemave të thjeshta.


• Të kryejnë veprime me fuqitë në situata problemore, duke zbatuar vetitë.


Kreu 5: Matjet e madhësive. Njësitë e matjes


• Të zgjedhin njësitë dhe veglat e përshtatshme, për të kryer matje të drejtpërdrejta (të gjatësisë, këndit, kohës, masës). • Të vlerësojnë me sy një gjatësi ose një kënd të dhënë. • Të masin me përafërsinë që lejon shkalla e aparatit një madhësi (në matjet direkte). • Të përdorin skemën për kalimin nga një njësi matëse (e gjatësisë, sipërfaqes, vëllimit e këndit, kohës, masës) në njësinë paraardhëse dhe në njësinë pasardhëse. • Të kryejnë veprime me masat e madhësive, kur ato shprehen me numra dy emërorë.


• Të kenë përfytyrimin për masën e një madhësie, si rezultat i krahasimit të saj me madhësinë e zgjedhur si njësi. • Të kalojnë nga një njësi matëse e madhësive (gjatësi, sipërfaqe, kënd, kohë, masë) në një tjetër, duke përdorur edhe numrat dhjetorë. • Të përdorin njësitë e ndryshme të matjes sipas situatave praktike. • Të kryejnë veprime me masat e madhësive, kur ato shprehen me numra tri-emërorë.


• Të gjejnë, në situata problemore, një gjatësi të kërkuar, që nuk mund të matet direkt. • Të përdorin përafrimin gjatë matjeve në situata të reja.

Kreu 6: Raporte e përpjesëtime


• Të gjejnë raportin e dy numrave. • Të gjejnë raportin e dy madhësive, kur vlerat jepen me të njëjtën njësi matje. • Të dallojnë shpejtësinë, si raport të rrugës me kohën. • Të dallojnë çmimin, si raport të vlerës së mallit me sasinë e tij. • Të shprehin raportin si përqindje. • Të ndajnë në raste shumë të thjeshta, një madhësi në raport të dhënë. • Të dallojnë, nëse një barazim raportesh është përpjesëtim. • Të dallojnë termat e lidhura me përpjesëtimin. • Të shkruajnë një përpjesëtim të dhënë në trajtë tjetër, duke përdorur vetitë e përpjesëtimeve. • Të gjejnë kufizën e panjohur në një përpjesëtim të dhënë. • Të konstatojnë, nëse sipas një tabele vlerash përgjegjëse, dy madhësi janë në përpjesëtim të drejtë apo jo.

32 MATEMATIKA 7

• Të japin shembuj madhësish në përpjesëtim të drejtë .


• Të gjejnë raportin e dy madhësive, kur vlerat e tyre jepen me njësi të ndryshme matje. • Të dallojnë madhësi të tjera (p.sh., denduria), që janë raport dy madhësish fillestare. • Të formulojnë me fjalë e shkronja vetinë themelore të raportit. • Të ndajnë një madhësi në raport të dhënë, në situata praktike. • Të shprehin me fjalë e shkronja vetinë themelore dhe veti të tjera të përpjesëtimeve. • T’i përdorin këto veti në situata të thjeshta, konkrete apo të simuluara. • Në një përpjesëtim të dhënë, të përdorin gjetjen e kufizës së panjohur, për zgjidhjen e problemeve të thjeshta. • Të gjejnë të katërtin e përpjesshëm në një treshe të radhitur numrash. • Të dallojnë, nëse dy madhësi konkrete janë apo jo në përpjesëtim të drejtë. • Të zgjidhin probleme të thjeshta, me madhësi që janë në përpjesëtim të drejtë • Të formulojnë kuptimin e shkallës së hartës. • Për hartën me shkallë të dhënë, të gjejnë largesën ndërmjet dy pikave, kur njihet largesa ndërmjet pikave përgjegjëse në terren dhe anasjellas. • Të gjejnë shkallën e hartës, kur kanë të dhëna të mjaftueshme. • Të përcaktojnë shkallën e zvogëlimit, të vlershme për një situatë praktike. • Të interpretojnë tabela e formula, që japin situata përpjesëtimore.


• Të përdorin ndarjen e një madhësie në raport të dhënë, në situata komplekse apo të reja. • Nga vetia themelore, të nxjerrin me argumentim, vetitë e tjera të përpjesëtimeve. • Të përdorin vetitë e përpjesëtimeve në situata komplekse apo të reja. • Të zgjidhin problema nga situata komplekse apo të reja, me madhësi në përpjesëtim të drejtë.

Kreu 7: Figurat gjeometrike


• Të dallojnë, në një situatë të dhënë, llojet e këndeve dhe të zbatojnë veti fillestare të tyre. • Të matin masën e një këndi me raportor. • Të ndërtojnë, me raportor, kënde me një brinjë të dhënë e masë të dhënë. • Të ndërtojnë përgjysmoren e një këndi me anë të raportorit. • Të japin shembuj aksiomash e shembuj teoremash. • Të ndërtojnë, me anë të raportorit apo trekëndëshit të vizatimit, dy drejtëza pingule. • Të ndërtojnë drejtëza paralele, me anë të vizores dhe trekëndëshit të vizatimit.


• Të dallojnë nëse dy kënde janë përgjegjës apo ndërrues të brendshëm. • Të përdorin, në raste direkte, barazimin e dy këndeve përgjegjës (ndërrues të brendshëm), të formuar nga prerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë. • Të ndërtojnë projeksionin e një pike mbi një drejtëz. • Të matin largesën e një pike nga një drejtëz. • Të dallojnë llojet e trekëndëshave sipas brinjëve e këndeve. • Të gjejnë masën e një këndi të trekëndëshit, kur njihen masat e dy këndeve të tjerë. • Të ndërtojnë, me mjete të thjeshta, mesoret, lartësitë, përgjysmoret e trekëndëshit. • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, veti të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. • Të emërtojnë figura gjeometrike shumëkëndore. • Të përdorin kongruencën e njohur të dy figurave, për të barazuar elementë homologë në to. • Të përdorin, në raste direkte, vetinë e përmesores së segmentit. • Të përshkruajnë kuptimin e trapezit. • Të listojnë veti të trapezit dybrinjënjëshëm. • Të përshkruajnë kuptimin e paralelogramit. • Të ndërtojnë, me mjete të thjeshta, paralelogramin dhe trapezin. • Të listojnë disa veti të thjeshta të paralelogramit dhe t’i përdorin në raste direkte. • Të përshkruajnë kuptimin e drejtkëndëshit, rombit, katrorit. • Të listojnë veti të thjeshta të tyre dhe t’i përdorin në raste direkte. • Të përdorin në raste direkte teoremën e Talesit.


• Të përdorin pohimet për këndet, në situata problemore të thjeshta. • Të formulojnë veti të figurave të thjeshta gjeometrike dhe t’i përdorin ato në situata problemore të thjeshta. • Të vizatojnë me vegla figura të thjeshta gjeometrike, kur janë dhënë elementë përcaktues të tyre. • Të ndërtojnë, me vizore e kompas, trekëndëshin e rregullt, katrorin, gjashtëkëndëshin e rregullt. • Të japin kuptimin e masës së këndit dhe të tregojnë vetitë kryesore të saj. • Të ndërtojnë, me kompas e vizore, një kënd kongruent me një kënd të dhënë. • Të përshkruajnë kuptimin e aksiomës dhe të teoremës. • Të formulojnë disa teorema të thjeshta, si ajo për këndet e kundërt në kulm. • Të formulojnë dy veti kryesore për drejtëzat pingule. • Të ndërtojnë, me kompas e vizore, dy drejtëza pingule. • Të formulojnë tri veti kryesore për drejtëzat paralele. • Të gjejnë largesën ndërmjet dy drejtëzave paralele. • Duke shqyrtuar kënde përgjegjës apo ndërrues të brendshëm, të gjykojnë për paralelizmin e dy drejtëzave, që priten nga një e tretë. • Të ndërtojnë përmesoren e një segmenti me kompas dhe vizore. • Të përdorin, në problema të thjeshta, teoremën për shumën e këndeve të brendshëm të shumëkëndëshit të mysët.

34 MATEMATIKA 7

• Të ndërtojnë trekëndëshin në rastin BKB. • Të ndërtojnë trekëndëshin në rastin KBK. • Të formulojnë tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. • Të zbatojnë tre rastet e kongruencës së trekëndëshave, në probleme të thjeshta njehsimi. • Të ndërtojnë, me kompas dhe vizore, përmesoren e një segmenti dhe përgjysmoren e një këndi, duke argumentuar. • Të formulojnë kushte të mjaftueshme, që një katërkëndësh të jetë paralelogram. • Të formulojnë teoremën e Talesit dhe ta zbatojnë atë në probleme të thjeshta.


• Të zbulojnë veti për brinjët dhe këndet në figurat gjeometrike shumëkëndore. • T’i argumentojnë ato, në bazë të vetive të njohura. • Të demonstrojnë shprehi të veprimtarisë konstruktive gjeometrike (ndarje figurash, ndërtime plotësuese). • Të përdorin vetitë e njohura të figurave gjeometrike, për zgjidhjen e problemave me njehsim. • Të zgjidhin situata të ndryshme problemore, me anë të ndërtimeve me vizore e kompas. • Të përdorin teoremën e Talesit, për të ndarë një segment në disa pjesë të barabarta, duke argumentuar.

Kreu 8 : Shprehjet me ndryshore dhe ekuacionet


• Të gjejnë vlerën e një shprehje shumë të thjeshtë, me një ndryshore, për një vlerë të thjeshtë të ndryshores. • Të heqin kllapat, kur brenda tyre qëndron një shumë algjebrike, kurse para tyre shenja + ose -. • Të përdorin vetinë e përdasimit për shprehje të trajtës . • Të faktorizojnë shprehje të trajtës . • Të dallojnë në një shumë algjebrike monomesh, monomet e ngjashëm të trajtës së rregullt. • Të reduktojnë shumën apo ndryshesën e dy monomeve të ngjashëm, të trajtës së rregullt. • Të dallojnë, nëse një vlerë e thjeshtë e ndryshores është apo jo rrënjë e ekuacionit ax+b=c; ax2=b. • Të japin shembuj ekuacionesh të njëvlershëm dhe shembuj ekuacionesh jo të njëvlershëm. • Të zgjidhin ekuacionin e trajtës ax=b, me koeficientë numerikë, në secilin prej tre rasteve të mundshëm.


• Të zgjidhin problema shumë të thjeshta, me anë të ekuacioneve me një ndryshore. • Të dallojnë nëse një vlerë e thjeshtë e ndryshores është zgjidhje e inekuacionit të trajtës ax+b>c (ax+b<c). • Të zgjidhin inekuacionin e trajtës ax+b>c (ax+b<c), me koeficientë numerikë të thjeshtë, duke e sjellë atë në trajtën x>d (x<d).


• Të përdorin ndryshoren, shprehjen me ndryshore, barazimet dhe mosbarazimet me ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike në situata të thjeshta. • Të japin me shkronja vetitë e fuqive. • Të përdorin vetitë e fuqive, për t’i sjellë monomet në trajtë të rregullt. • Të bëjnë, në një shumë algjebrike monomesh të rregullt, reduktimin e monomeve të ngjashëm. • Të nxjerrin në dukje faktorin e përbashkët, në një shumë 2-3 monomesh të rregullt. • Të shprehin me fjalë kuptimin e ekuacioneve të njëvlershëm. • Të listojnë e të shprehin me fjalë rregullat, për shndërrimet e njëvlershme të ekuacioneve, me një ndryshore. • Të sjellin ekuacione të thjeshtë me një ndryshore, në trajtën ax=b dhe t’i zgjidhin ato. • Të zgjidhin problema të thjeshta, me anë të ekuacioneve me një ndryshore.


• Të gjejnë vlera shprehjesh racionale të thjeshta, për vlera të thjeshta të ndryshores. • Të tregojnë shndërrime që nuk çojnë në ekuacione të njëvlershëm. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të fuqisë së parë, që sillen në trajtën ax=b, duke bërë reduktim kufizash të ngjashme. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë shkronjorë, që sillen në trajtën ax+by=c, duke përdorur vetitë e veprimeve, kundrejt njërës shkronjë. • Të zgjidhin probleme nga situata të reja apo komplekse, me anë të ekuacioneve të fuqisë së parë me një ndryshore.

Kreu 9. Perimetri dhe sipërfaqja e figurave

Niveli INë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e disa figurave të thjeshta (trekëndësh, paralelogram, trapez, rreth, qark), duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta apo duke i matur ato. • Të gjejnë perimetrin e shumëkëndëshit të rregullt, kur jepet brinja e tij dhe anasjellas. • Të përdorin formulat për zgjidhjen e problemave shumë të thjeshta, me njehsim.

36 MATEMATIKA 7

Niveli IINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e figurave gjeometrike, duke i ndarë ato në figura të thjeshta të njohura (trekëndësh, paralelogram, trapez, qark). • Të njehsojnë perimetrin dhe sipërfaqen e figurave të thjeshta gjeometrike, kur të dhënat nuk jepen të gjitha direkt. • Të zgjidhin situata të thjeshta për matje, duke përdorur mjetin matës dhe njësinë e përshtatshme. • Të përdorin formulat për perimetrat dhe sipërfaqet e figurave të thjeshta (trekëndësh, paralelogram, rreth, qark), për zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim.

Niveli IIINë mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përdorin formulat për perimetrin dhe sipërfaqen e figurave të thjeshta (trekëndësh, paralelogram, trapez, rreth, qark), në situata të reja apo komplekse. • Të nxjerrin, me arsyetim, disa nga formulat (sipërfaqja e paralelogramit prej asaj të trekëndëshit, sipërfaqja e trapezit). Kreu 10: Gjeometria në hapësirë


• Të dallojnë e të emërtojnë, në një grup trupash të dhënë po të vizatuar, kubin, kuboidin, prizmin (e drejtë), piramidën, cilindrin (e drejtë rrethor). • Të listojnë veti të thjeshta të këtyre trupave. • Të dallojnë në një hapje të dhënë, të një trupi të tillë, llojin e trupit dhe elemente të tij. • Të lexojnë saktë emërtimet e kulmeve e brinjëve, faqeve të një shumëfaqëshi (kuboid, prizëm). • Të skicojnë kubin e kuboidin. • Të japin hapjen e një kubi; të modelojnë një kub sipas hapjes së tij. • Të përshkruajnë kuptimin e lartësisë së prizmit e të cilindrit. • Të njehsojnë vëllimin e prizmit (të drejtë), duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta, për sipërfaqen e bazës dhe lartësinë.


• Të vizatojnë hapje të trupave gjeometrikë (kuboid, prizëm trekëndor). • Të skicojnë trupa gjeometrikë (prizëm trekëndor, cilindër). • Të përdorin vetitë e njohura të këtyre trupave, në raste të thjeshta njehsimesh e krahasimesh. • Të njehsojnë vëllimin e prizmit (të drejtë), në raste të thjeshta, kur të dhënat nuk jepen drejtpërdrejtë. • Të njehsojnë vëllimin e trupave të thjeshtë, që mund të ndahen në kuboidë e prizma (të drejtë).


• Të bëjnë ndërtimin e kuboidit, sipas hapjes së dhënë të tij. • Të bëjnë ndërtimin e prizmit (të drejtë) tre-katër këndor, sipas hapjes së dhënë të tij.


• Të skicojnë modele trupash, të përbërë nga trupat gjeometrikë të thjeshtë, që njohin. • Të gjejnë vëllimin e një trupi të përbërë, duke e ndarë atë në mënyrë të përshtatshme në trupa gjeometrikë të thjeshtë, të njohur. • Të përdorin formulën për vëllimin e prizmit (të drejtë) në situata të reja apo komplekse. • Të zbulojnë e të nxjerrin veti të reja nga vetitë e njohura të trupave të thjeshtë gjeometrikë, që njohin.

Kreu 11: Funksioni


• Të dallojnë, nëse çiftimi i dy bashkësive të fundme, dhënë me diagram shigjetor apo me tabelë, është funksion. • Për një funksion të fundmë, dhënë me diagram shigjetor apo me tabelë, të shkruajnë gjithë çiftet e renditur (fytyrë, shëmbëllim). • Për një funksion të tillë, të japin grafikun e tij. • Të gjejnë vlerën e një funksioni, të dhënë me formulë shumë të thjeshtë, për një vlerë të thjeshtë të ndryshores dhe të ndërtojnë pikën përgjegjëse të grafikut. • Të dallojnë nëse pika, me koordinata të dhëna të thjeshta, ndodhet në grafikun e funksionit: y=kx, y=x+a, y=ax+b. • Për një funksion me grafik të dhënë, të gjejnë vlerën e funksionit për çdo vlerë të abshisës. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit y=kx, për vlera konkrete të k, duke përdorur faktin, që ai kalon nëpër origjinë. • Të ndërtojnë, me dy pika, grafikun e funksionit: y=x+a, y=ax+b, me koeficientë të dhënë. • Të japin fjalinë e anasjellë të një fjalie të thjeshtë të dhënë.


• Të dallojnë nëse një bashkësi e dhënë pikash, në planin xOy, shërben si grafik i një funksioni. • Për një funksion të fundmë, të dhënë grafikisht, të gjejnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. • Për funksionin y=kx, dhe y= kx+t të gjejnë k, kur është dhënë tabela e vlerave apo grafiku. • Të gjejnë pikat e prerjes me boshtet koordinativë, për grafikët e funksioneve y=x+a; y=ax+b.

38 MATEMATIKA 7

• Të japin funksionin e anasjellë të një funksioni të fundmë, të dhënë me diagram shigjetor apo me tabelë. • Të paraqesin, me mënyra të ndryshme, një funksion të thjeshtë linear, të dhënë me fjalë apo me shkronja. • Të zgjidhin probleme të thjeshta, që modelohen me anë të funksioneve: y=kx; y=x+a; y=ax+b.


• Të japin me formulë, funksione lineare të dhëna me mënyra të tjera. • Të japin funksionin e anasjellë të një funksioni linear çfarëdo. • Të zgjidhin probleme nga situata të reja, që modelohen matematikisht me anë të funksioneve: y=kx; y=x+a; y=ax+b. • Të ndërtojnë grafikët e funksioneve y=kx; y=x+a; y=ax+b, kur bashkësia e përcaktimit është nënbashkësi e Q.

Kreu 12: Shndërrime gjeometrike


• Të përshkruajnë kuptimin e boshtit koordinativ. • Të gjejnë koordinatën e një pike në bosht; të tregojnë vend-ndodhjen e pikës në bosht, kur njihet koordinata e saj (numër racional i thjeshtë). • Të gjejnë koordinatat e pikës së dhënë në planin xOy. • Të ndërtojnë pikën në planin xOy, kur njihen koordinatat e saj (numra racionalë të thjeshtë). • Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike, të njohur në një zhvendosje paralele të dhënë; të japin koordinatat e fytyrës, kur njihen ato të shëmbëllimit. • Të gjejnë shëmbëllimin e segmentit në një zhvendosje paralele të dhënë. • Të shkruajnë koordinatat e shëmbëllimit të një pike, në një zmadhim të dhënë (O, k); të japin koordinatat e fytyrës, kur njihen ato të shëmbëllimit. • Të gjejnë shëmbëllimin e një segmenti në zmadhimin (O,k). • Të gjejnë shëmbëllimin e një pike dhe të një segmenti në simetrinë qendrore. • Të gjejnë shëmbëllimin e një pike dhe të një segmenti në simetrinë boshtore. • Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike në simetrinë me qendër O; të japin koordinatat e fytyrës, kur njihen ato të shëmbëllimit. • Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike në simetrinë ndaj Ox dhe në simetrinë ndaj Oy. • Të dallojnë qendra simetrie në figura shumë të thjeshta (segment, rreth, katror). • Të dallojnë boshte simetrie në figura shumë të thjeshta (segment, rreth, katror, trekëndësh dybrinjënjëshëm). • Të vizatojnë figura, që kanë qendër simetrie; të vizatojnë figura, që nuk kanë qendër simetrie.


• Të vizatojnë figura, që kanë bosht simetrie; të vizatojnë figura, që nuk kanë bosht simetrie.


• Të përshkruajnë kuptimin e abshisës dhe ordinatës së pikës në planin xOy. • Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, formulat për largesën midis dy pikave dhe për mesin e një segmenti në planin xOy. • Të kryejnë zhvendosjen e dhënë paralele të një trekëndëshi, në planin xOy. • Të gjejnë zhvendosjen paralele, kur njihet fytyra dhe shëmbëllimi i saj. • Të gjejnë zmadhimin (O, k), kur njihet fytyra dhe shëmbëllimi i saj. • Të gjejnë shëmbëllimin e një trekëndëshi në zmadhimin (O, k). • Të gjejnë qendrën e simetrisë (boshtin e simetrisë), kur njohin fytyrën dhe shëmbëllimin e saj. • Të ndërtojnë shëmbëllimin e një shumëkëndëshi, në një simetri qendrore (në një simetri boshtore). • Të formulojnë kuptimin e qendrës së simetrisë (boshtit të simetrisë) të një figure. • Të tregojnë qendra simetrie në figura të thjeshta (paralelogram etj.). • Të tregojnë boshte simetrie në figura të thjeshta (kënd, drejtkëndësh etj.). • Të plotësojnë figurën, që ka qendër simetrie (bosht simetrie), kur njohin gjysmën e saj. • Të argumentojnë, që lartësia e trekëndëshit dybrinjënjëshëm është bosht simetrie i tij. • Të përdorin shndërrimet e studiuara në situata të thjeshta problemore.


• Të vizatojnë shëmbëllimin e një figure të dhënë, kur mbi të kryhen dy shndërrime gjeometrike të njëpasnjëshme. • Të përcaktojnë pozicionin e drejtëzave të veçanta në planin xOy, kur jepen veti të tyre, të shprehura në koordinata. • Të nxjerrin me argumentim veti të figurave, që kanë qendër simetrie (bosht simetrie). • Të përdorin vetitë e shndërrimeve gjeometrike, të studiuara në situata problemore.

Kreu 13: Statistikë e probabilitet


• Të mbledhin të dhëna, sipas një qëllimi të përcaktuar, dhe t’i paraqesin ato me tabela të efektivave, apo me diagrame me shtylla. • Të grumbullojnë dhe të klasifikojnë të dhëna nga burime të ndryshme, përfshirë anketat, dhe t’i paraqesin ato me tabela ose me diagrame me shtylla. • Të kalojnë nga tabela e efektivave në diagramën me shtylla e anasjellas.

40 MATEMATIKA 7

• Të gjejnë mesataren aritmetike, modën dhe mesoren në një varg të fundmë vlerash, të tiparit sasior diskret. • Të gjejnë numrin e rezultateve të mundshme në një eksperiment shumë të thjeshtë. • Të gjejnë numrin e rezultateve të favorshme, për një ngjarje të caktuar, në një eksperiment të tillë. • Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje në një eksperiment shumë të thjeshtë. • Të dallojnë në një eksperiment të thjeshtë, ngjarje të pamundura dhe ngjarje të sigurta.


• Të kalojnë nga tabela e efektivave apo diagrami me shtylla, në një diagram rrethor, e anasjellas. • Të klasifikojnë, duke paraqitur me diagram rrethor, një bashkësi sipas një kriteri, që lidhet me një cilësi të elementëve të saj. • Të interpretojnë të dhëna të gatshme, duke përdorur mesataren, modën, mesoren. • Të interpretojnë të dhëna nga burime të ndryshme, përfshirë anketat, të paraqitura me tabela apo diagrame të ndryshme, e duke nxjerrë përfundime të thjeshta mbi bazën e tyre. • Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje të thjeshtë, në një eksperiment të thjeshtë, me rezultate të barasmundshëm. • Të dallojnë, në një eksperiment të thjeshtë, ngjarjen e kundërt të një ngjarje të dhënë; të gjejnë probabilitetin e ngjarjes së kundërt, duke përdorur formulën.


• Të grumbullojnë, përpunojnë dhe interpretojnë të dhëna statistikore, në situata problemore të simuluara ose reale. • Të diskutojnë për probabilitetin në situata të ndryshueshme të jetës së përditshme. • Të gjejnë probabilitetin e një ngjarje, në një situatë problemore, lidhur me një eksperiment (konkret apo të simuluar) të thjeshtë. • Të nxjerrin me argumentim formulën, për probabilitetin e ngjarjes së kundërt e ta përdorin atë në situata problemore.

41

III. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

III.1. Matematika në jetën e përditshme

Matematika është shkencë dhe si e tillë është përshkruar dhe përkufizuar me mënyra nga më të ndryshmet. Pavarësisht nga shumëllojshmëria e përkufizimeve, këndvështrimi i përbashkët për matematikën e konsideron atë si veprimtari krijuese dhe si një nga pjesët më të përdorshme, më tërheqëse dhe më motivuese të dijeve njerëzore. Ajo mund të konsiderohet si një proces i komunikimit të informacionit, që mundëson zgjidhje për problemet praktike dhe e aftëson individin të bëjë zbulime nëpërmjet përfytyrimeve paraprake të imagjinatës. Matematika për shekuj me radhë është zhvilluar si arritje e përbashkët kulturore e njerëzimit. Duke ruajtur identitetin e saj, ajo ofron ide dhe metoda për zgjidhjen e problemave të disiplinave nga më të ndryshmet dhe si shkencë dinamike jep kontribute thelbësore për përshkrimin dhe organizimin e botës sonë.Matematika tradicionalisht është një pjesë karakteristike e gjuhës së shkencave dhe teknikës. Por edhe në ekonomi e politikë, ashtu si edhe në shkencat shoqërore, shprehitë e fituara me metoda matematikore përbëjnë shpesh bazën për vendime me rëndësi.Secili nga ne e përdor matematikën në jetën e përditshme, në shkencë, në industri, në biznese private dhe në kohën tonë të lirë.Në kohën e sotme gjithnjë e më tepër po zë vend termi alfabetizimi matematik (mathematical literacy).Alfabetizimi matematik ka të bëjë me aftësitë e nevojshme matematike të jetës së individit, si nxënës dhe më tej si i rritur. Alfabetizimi matematik është kërkesë e kohës. Shoqëria e sotme ka nevojë për njerëz të cilët:- të jenë të aftë të komunikojnë në mënyrë sasiore; - të dallojnë situatat problemore zgjidhja e të cilave kërkon përdorimin e matematikës;- të kuptojnë të dhëna të përcjella nëpërmjet mediave ose të ndeshura në mjediset e jetës së përditshme;- të jenë të aftë matematikisht për profesionin e tyre;- të përdorin teknologjinë për të lehtësuar zbatimet e matematikës.

III.2. Matematika si lëndë shkollore

Mësimi i matematikës në shkollë ka të bëjë me njohjen, të kuptuarit dhe të zbatuarit e shprehive matematikore. Kurrikuli i matematikës shkollore është një nga faktorët kyç në përgatitjen e nxënësve sipas kërkesave të shoqërisë së sotme. Gjatë mësimit të matematikës ushtrohen mënyrat specifike të të menduarit si dhe interpretimet specifike të botës. Interpretimet, e përftuara gjatë mësimit të matematikës, dallohen nga një universalitet dhe stabilitet i dukshëm, tipar i rëndësishëm për qytetarin e një bote që ndryshon shpejt.

42 MATEMATIKA 7

Detyra e matematikës si lëndë shkollore është t’u transmetojë nxënësve, krahas njohurive konkrete matematikore dhe mënyrave të punës, edhe pikëpamje më të përgjithshme për proceset e të menduarit dhe marrjes së vendimeve, të cilat janë me rëndësi për një bashkë organizim aktiv dhe të përgjegjshëm të shoqërisë.Një nga detyrat e çdo lënde shkollore është t’u mësojë nxënësve se si të mendojnë dhe se si të ndjejnë përgjegjësi për ato që mendojnë apo thonë. Matematika e ka më të lehtë se sa fushat e tjera kurrikulare realizimin e kësaj detyre, sepse kur nxënësi zgjidh një problem matematik, ai është i bindur në korrektësinë e zgjidhjes jo sepse thjesht ashtu i thotë mësuesi, por sepse logjika e brendshme funksionon fare qartë. Nëpërmjet kurrikulit të matematikës nxënësit përfshihen mendërisht në ngjizjen e koncepteve dhe marrëdhënieve të tyre për të krijuar ide të reja dhe për të përmirësuar të mëparshmet. Matematika është një element kyç i kurrikulit. Kur nxënësit mësojnë matematikë, nuk kemi të bëjmë thjesht me zotërimin e shprehive bazë, por edhe me përftimin e një mjeti konciz dhe të fuqishëm komunikimi. Zotërimi i gjuhës matematike, strukturave dhe operacioneve të saj, të ndihmon të arsyetosh, të argumentosh konkluzionet dhe të shprehësh idetë qartë. Matematika është, gjithashtu, një mjet i fuqishëm të nxëni. Nxënësi identifikon marrëdhëniet ndërmjet koncepteve matematike dhe situatave të përditshme dhe bën lidhje ndërmjet matematikës dhe lëndëve të tjera, ai fiton aftësi për të përdorur matematikën dhe për të aplikuar njohuritë edhe në fushat e tjera kurrikulare. Mënyra se si jepet mësimi ka ndikim të fuqishëm në atë çka ndodh me matematikën në klasë. Por faktori më i rëndësishëm është përmbajtja që duhet mësuar. Në përzgjedhjen e përmbajtjes së matematikës ndikojnë mjaft faktorë, përfillja e të cilëve jo vetëm ndihmon në reagimin e përshtatshëm ndaj ndryshimeve që ndodhin brenda e jashtë arsimit, por madje edhe influencon në këto ndryshime. Për hartimin e kurrikulit të matematikës, e rëndësishme është të përcaktohet çfarë matematike duhet t’u mësohet nxënësve, si do tua mësojmë atë dhe si duhet tua mundësojmë dhe lehtësojmë të nxënit.Natyra e vërtetë e shoqërisë në të cilën jetojmë, e dominuar nga informacioni dhe shërbimet ka një ndikim real në përmbajtjen e shkollës. Një shoqëri e tillë kërkon një përqindje gjithnjë e më të vogël të punës së pakualifikuar dhe një numër në rritje të personelit të mirë kualifikuar.Nga ana tjetër, ndryshimet e shpejta të sjella nga teknologjia e bëjnë të vështirë trajnimin e njerëzve për ato punë që mund të ndryshojnë apo të mos ekzistojnë dhjetë vjet më vonë. Madje edhe ato punë që nuk kanë lidhje direkt me fushat e shkencës, janë të ndikuara nga ndryshimet teknologjike, sepse kërkojnë që punëtorët të mësojnë të adaptohen ndaj situatave të reja, të perceptojnë modele e të zgjidhin probleme jo tradicionale.Pikërisht këto specifika flasin për rëndësinë e matematikës shkollore të ditëve të sotme. Ajo që është e rëndësishme ka të bëjë me faktin se si duhet t’i mësojmë nxënësit të përshtatin të menduarit ndaj situatave. Tendenca e sotme është theksimi në rritje në kurrikulin e matematikës i arsyetimit logjik, zgjidhjes së problemave dhe arsyetimit gjeometrik, sepse këto janë shprehi gjeneruese që mund të përdoren në një gamë të gjerë situatash të nevojshme në një shoqëri teknologjike dhe informative, që ndryshon.


Arsimi i detyruar ka si detyrë të pajisë nxënësit me njohuri matematike të nevojshme për t’i bërë ata të aftë të marrin vendime të mirë gjetura; të interpretojnë dhe të përdorin fluksin në rritje të informacionit, e të marrin pjesë në procese vendimmarrëse në shoqëri.Lënda e matematikës duhet të sigurojë një bazë të mjaftueshme për të studiuar lëndë të tjera, për arsimim të mëtejshëm dhe për gjatë gjithë jetës.Mësimi i matematikës duhet të zhvillojë te nxënësit interesin për matematikën, si dhe të krijojë mundësi për të komunikuar në gjuhën dhe shprehjet matematike. Lënda duhet t’u japë nxënësve mundësinë për të aplikuar matematikën dhe për të komunikuar matematikisht në situata të jetës së përditshme.

III.3 Dy nga komponentët e mësimit të matematikës

III.3.1 Arsyetimi

Mënyra e arsyetimit është tepër e rëndësishme në të kuptuarit dhe aplikimet e matematikës. Qëllimi i mësuesit është të ndihmojë nxënësit për të zhvilluar aftësitë e tyre matematike, duke patur kujdes që të kenë kontroll mbi suksesin apo dështimet e tyre. Sensi i pavarësisë së nxënësit zhvillohet përgjatë kohës që ata bëhen të vetëdijshëm për aftësitë e tyre për të arsyetuar logjikisht. Supozimet dhe demonstrimi i vërtetësisë së tyre janë shumë të rëndësishme në procesin matematikor. Arsyetimi duhet të ketë një vend të rëndësishëm në të gjitha veprimtaritë në klasë.Nxënësit kanë nevojë për përvojë në një gamë të gjerë problemash. Gjithashtu, duhet një kohë e mjaftueshme për të mësuar se si të ndërtojnë argumente bindëse dhe të vlerësojnë argumentet e te tjerëve, gjatë zgjidhjes se problemave. Atmosfera e vendosur në klasë në plan të parë vendos arsyetimin. Të gjithë nxënësit e klasës duhet të inkurajohen që të pyesin, reagojnë dhe përpunojnë mbi idetë e nxënësve dhe mësuesit. Për të arritur një nivel të tillë të tërë nxënësit e klasës duhet të respektojnë dhe mbështesin idetë e njëri-tjetrit.Nxënësit duhet të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik.Zhvillimi i të arsyetuarit logjik është i lidhur me zhvillimin verbal dhe intelektual të nxënësve. Nxënësit fillojnë të mendojnë konkretisht dhe t’i mbështesin ato me subjekte fizike ose konkrete. Duke kaluar vitet ata do të bëhen më të aftë për të arsyetuar në mënyrë formale dhe abstrakte. Për të zhvilluar aftësitë e tyre drejt arsyetimit logjik, nxënësve u duhen krijuar mundësi të eksplorojnë, supozojnë, afirmojnë dhe bindin të tjerët. Një klasë që ofron përvoja matematike të larmishme, materiale dhe mjete të nevojshme, do t’ia arrijë më mirë qëllimit të saj. Lidhur me arsyetimin logjik mësuesi duhet të ketë në konsideratë:

• Nxënësit duhet të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik.

• Nxënësit duhet të inkurajohen për një të menduar euristik, në përdorimin e metodës

44 MATEMATIKA 7

induktive dhe në analogjinë, që siç dihet janë të domosdoshme për zotërimin jo mekanik të njohurive matematike, dhe për formimin e koncepteve të qarta matematikore.

• Nxënësit duhet të edukohen për të zhvilluar shprehitë e tyre argumentuese, nëpërmjet arsyetimit deduktiv.

• Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të hedhin poshtë pohime të jetës së përditshme, si dhe pohime të thjeshta matematike, me metodën e kundër shembullit.

• Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të formulojnë pohimin e anasjellë të pohimeve të jetës së përditshme ose të pohimeve të thjeshta matematike dhe të kuptojnë ndryshimin ndërmjet tyre.

• Nxënësve duhet t’u jepet mundësia, përmes situatave të njohura për ta, në jetën e përditshme dhe në matematikë, të dallojnë përfundimet e mundshme, që rrjedhin nga shqyrtimi i rasteve të veçanta, nga përfundimet e sigurta, në saje të argumentimit logjik.

Induksioni dhe deduksioni

Induksioni, është metoda me anën e të cilës nga një fakt i konstatuar në disa shembuj arrihet në një konkluzion të përgjithshëm. Konkluzionet induktive nuk janë të sigurta. Ja një shembull i një gjykimi induktiv.Vizatojmë një trekëndësh dhe ndërtojmë tri lartësitë e tij. Vëmë re se ato priten në një pikë. Kjo dukuri vihet re nëse ndërtojmë lartësitë edhe të disa trekëndëshave të tjerë. Në këtë mënyrë formulojmë pohimin e përgjithshëm: tri lartësitë e një trekëndëshi priten në një pikë, i cili është konkluzion induktiv. Për të konkluduar vërtetësinë e tij në çdo trekëndësh ky pohim duhet vërtetuar. Me të vërtetë asgjë nuk na bind që çdo trekëndësh gëzon këtë veti.Induksioni është një nga metodat kryesore të arsyetimit në shkencat e natyrës. Vetëm matematika nuk i pranon konkluzionet induktive. Megjithatë edhe në matematikë, induksioni ka rëndësi të madhe. Së pari, sepse fakte matematike, në shumë raste, zbulohen me anën e induksionit. Së dyti, gjithashtu nga pikëpamja metodike, induksioni ka rëndësi sepse shumë rregulla bëhen më të kuptueshme për nxënësit nëse nxirren me metodën induktive.

Deduksioni, është metoda me anën e të cilës nga e përgjithshmja kalohet tek e veçanta. P.sh., dihet teorema; Diagonalet e drejtkëndëshit janë kongruente. Kështu që nëse kemi të bëjmë me një drejtkëndësh të dhënë, atëherë diagonalet e tij janë kongruente. Arsyetimi që ne bëjmë kur nga një apo disa të vërteta zbulojmë një të vërtetë të re, quhet vërtetim. Të vërtetat, mbi të cilat bazohemi, quhen premisat e vërtetimit.Vërtetimi deduktiv është më i vështirë se ai induktiv, por ai ka dy avantazhe ndaj induksionit:Së pari, konkluzionet deduktive janë të sakta nëse premisat janë të sakta.Së dyti, konkluzionet deduktive janë të përgjithshme d.m.th., janë të vërteta në të gjitha rastet e mundshme.


Ecuria e të vërtetave matematike është: Ato zbulohen me anën e induksionit, më pas formulohen dhe vërtetohen me anën e deduksionit. Kështu pasi vihet re se lartësitë e disa trekëndëshave priten në një pikë, vërtetohet teorema përkatëse.

Intuita dhe analogjia

Në zbulimin e mjaft fakteve matematike ndihmojnë shpesh intuita dhe analogjia. Intuita është konkluzion i një përvoje të përsëritur në numër të madh herësh. P.sh., Nëse dy pika M dhe N ndodhen në anë të ndryshme të një drejtëze (d) dhe ato i bashkojmë me njëra-tjetrën me segmentin AB, atëherë ky segment pret drejtëzën (d). Analogjia ka të bëjë me një ngjashmëri. Në mjaft raste konkluzionet në lidhje me varësinë e disa madhësive jepen në analogji me varësi të njohura ndërmjet objekteve të tjerë. Kjo mënyrë e nxjerrjes së konkluzioneve shkurton rrugën e gjykimit. Por ajo nuk është e sigurt. Ajo mund të realizohet vetëm nëse plotësohen kushte të caktuara, vërtetësia e të cilave duhet provuar. Por vërtetimi i saj mund të thjeshtohet pikërisht në sajë të ngjashmërisë së fakteve. Në trajtë të pastër analogjia formulohet:”Objekti A zotëron vetitë a, b, c, x. Objekti B zotëron vetitë a, b, c. Atëherë objekti B mund të zotërojë edhe vetinë x”.Analogjia shpesh na ndihmon për të zbuluar veti të panjohura të figurave. P.sh.,

diagonalja e drejtkëndëshit me përmasa a dhe b është 2 2d a b= + . Për analogji

diagonalja e kuboidit me përmasa a, b dhe c është 2 2 2d a b c= + + , formulë e cila është e vërtetë. Por analogjia mund të na çojë edhe në përfundime të gabuara; p.sh.,

por jo aa b a b b a b⋅ = ⋅ + = +

Analiza dhe sinteza

Metodat kryesore të vërtetimit deduktiv janë analiza dhe sinteza.Vërtetimi me metodën e analizës kalon nga e panjohura tek e njohura. Me fjalë të tjera, nisemi nga pohimi që duhet të vërtetojmë dhe me gjykime deduktive arrijmë deri tek një pohim i vërtetuar më parë apo i njohur.Vërtetimi me metodën e sintezës kalon nga e njohura tek e panjohura.Metoda e analizës përdoret kur të vërtetën nuk e njohim. Metoda e sintezës përdoret kur të vërtetën e njohim por duam t’ia vërtetojmë të tjerëve.Le të shohim një shembull në përdorimin e metodës së analizës dhe sintezës.Të vërtetojmë pohimin e njohur. E mesmja aritmetike e dy numrave është më e madhe

ose e barabartë me të mesmen gjeometrike të tyre, pra 2

a b ab+≥ .

Nisemi nga supozimi se mosbarazimi është i vërtetë. Duke kaluar nga lart poshtë realizojmë të vërtetën analitike (I), (II), (III), (IV), (V) me arsyetimin: për të vërtetuar (I) duhet të vërtetojmë (II), për të vërtetuar (II) duhet të vërtetojmë (III) e kështu me

46 MATEMATIKA 7

radhë. Me fjalë të tjera, ne krijojmë vargun e kushteve të domosdoshme në kuptimin që çdo gjykim i sipërm është kusht i domosdoshëm për gjykimin e mëposhtëm. Pas kësaj mbetet që ta përfundojmë procesin nga ana didaktike: nga analiza të kalojmë në sintezë. Realizojmë gjykimet në drejtimin nga poshtë lart, duke renditur vargun e kushteve të mjaftueshme (nga të dhënat tek përfundimet). Kështu ecuria e rrugës sintetike është (V), (IV), (III), (II), (I).

Analiza

Lexo nga lart poshtë.

Duhet vërtetuar

(I-II). Ngremë të dy anët në katror dhe shumëzojmë me 4.

(II-III) Zhvillojmë anën e majtë.

(III-IV). Kalojmë 4ab në anën e majtë.

(IV-V) Paraqesim anën e majtë në trajtë katrori të plotë.

Mosbarazimi i fundit është evident (katrori i çdo numri real është jo negativ).

2a b ab+

≥

2( ) 4a b ab+ ≥

a2+2ab+b2≥4ab

a2-2ab+b2≥0

(a-b)2≥0

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

Sinteza

Lexo nga poshtë lart.

Mosbarazimi u vërtetua.

(II-I)

Pjesëtojmë të dy anët me 4 dhe nxjerrim rrënjën katrore.

(III-II). E paraqesim anën e majtë në trajtë katrori të shumës.

(IV-III). U shtojmë të dy anëve 4ab.

(V-IV) Heqim kllapat në anën e majtë.

(V) Shkruajmë mosbarazimin e vërtetë për çdo numër real.

III.3.2 Komunikimi

Matematika është një gjuhë që duhet bërë e kuptueshme për nxënësit në qoftë se duam që ata të komunikojnë dhe aplikojnë idetë matematike. Aftësia komunikuese e përgjithshme e nxënësve i ndihmon ata që të kuptojnë gjuhën e matematikës. Kur nxënësit arrijnë të kuptojnë, që një problem mund të përshkruajë situata të ndryshme, dhe se disa mënyra të paraqitjes së tij janë më të frytshme se të tjerat, ata fillojnë të kuptojnë forcën, fleksibilitetin dhe dobinë e përdorimit të matematikës.E rëndësishme është që nxënësit të “flasin matematikë”. Bashkëveprimi me shokët e klasës i ndihmon ata që, të mësojnë të mendojnë mbi idetë në disa mënyra, si dhe të qartësojnë mendimin e tyre. P.sh., përshkrimi i zgjidhjes së një problemi i ndihmon


nxënësit që të qartësojnë mënyrën e tyre të të menduarit dhe të zhvillojnë një kuptim më të thellë. Nxënësit duhet të përfshihen në mënyrë aktive në “ndërtimin e matematikës”. Veprimtaritë e eksplorimit, dhe shpjegimit të ideve matematike ndihmojnë në zhvillimin e aftësive të komunikimit. Mësuesit lehtësojnë këtë zhvillim, duke realizuar sondazhe dhe duke ftuar nxënësit të shpjegojnë mënyrën e tyre të të menduarit. Është e rëndësishme që të diskutohet ideja që nxënësit duhet të mësojnë matematikë nëpërmjet veprimtarive që kanë lidhje me jetën e tyre. Nxënësit duhet të kuptojnë që ta shohin matematikën si mjet për të kuptuar, përshkruar, dhe për t’iu përgjigjur botës që i rrethon.Duke u rritur aftësia e nxënësve për të menduar në mënyre abstrakte, duhet të rritet dhe aftësia e komunikimit matematik. Sa më me efektivitet të komunikojnë nxënësit aftësitë dhe njohuritë e tyre, aq më lehtë mësuesit mund të vlerësojnë të nxënit e tyre nëpërmjet dëgjimit dhe vëzhgimit. Në këtë drejtim mësuesi duhet të ketë në vëmendje momentet e mëposhtme:Mësimdhënia e matematikës duhet të trajtohet në mënyrë të tillë që të aftësojë nxënësit:

• Të komunikojnë qartë, saktë dhe shkurt;• Të organizojnë mirë paraqitjen e fakteve dhe të ideve;• Të jenë dëgjues të vëmendshëm;• Të shkruajnë pastër e duke shfrytëzuar mirë fletën.

Gjatë përvetësimit të matematikës, nxënësit duhen ushtruar vazhdimisht të përshkruajnë, të shpjegojnë dhe të diskutojnë matematikisht. Në këtë mënyrë ata kuptojnë, përmes përvojës së tyre, rëndësinë e përdorimit të saktë të fjalëve dhe të pohimeve.Ata duhen ushtruar për t’u aftësuar ta analizojnë e të interpretojnë informacionet matematike.Nxënësit duhet të jenë të aftë të “lexojnë” informacione nga paraqitjet me tabela, figura, diagrame e grafikë, si dhe të transmetojnë një informacion, duke e paraqitur atë me tabela, diagrame e grafikë.

48 MATEMATIKA 7

III.4. Planifikimi i mësimit

Plani mësimor ditor është një detajim i parapërgatitur i elementëve të mësimit ditor, të renditura sipas radhës në të cilën do të kryhen.Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimit dhe improvizon vazhdimisht është shumë i ekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësime të cekëta, pa cilësi e rendiment.Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet pa një plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati që do të zgjidhet për hartimin e planit, por fakti që plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik, të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar.Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varet nga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia (pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit.Nganjëherë mësuesit me përvojë e nënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjë mësues nuk mund të përballojë mirë një orë mësimore pa menduar thellë që më parë se çfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimit dhe si do ta mësojnë atë.Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë se cilat janë objektivat e mësimit, cila është përmbajtja që do të trajtohet, cilat do të jenë procedurat që do të ndiqen dhe si do të zbatohen ato.Ka mësues që mendojnë se janë më të suksesshme mësimet e pastrukturuara, të paplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit e gjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetë më mirë në situata të tilla. Kjo tezë është shumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesit e rinj duhet t’u shmangen mendimeve të tilla, sepse mësime të zhvilluara ashtu, shpesh përfundojnë në rastësi të padëshirueshme dhe herë-herë në kaos.Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit me përvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve të tyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenë të suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnë planin e mësimit në mënyrë të hollësishme.Planifikimi i kujdesshëm siguron një familjarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jep për këtë arsye mësuesit besim e siguri te vetja. Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohet lirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë, organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrë racionale kohën.

Elementët kryesorë të planifikimit e përgatitjes së mësimit

1. Përzgjedhja e objektivave mësimorë.Objektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut,të mësimit) janë tre llojesh:a) Për njohuritë (p.sh.,”të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar këta objektiva janë: të gjejnë, të përshkruajnë, të njehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etjb)Për aftësitë (p.sh., “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlerëshmërinë për të zgjidhur ekuacione që sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të përdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj.c)Për qëndrimet (p.sh., “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale të funksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të


vlerësojnë, të diskutojnë, të debatojnë etj.2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit.3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim.4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim.5. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve.

Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimi

I. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë:- qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit;- zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës);- qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit,duke veçuar veprimtarinë kulmore;- përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren;- përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion;- përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit;- parashikimin e punës me grupe apo individë të veçantë;- parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës apo me lëndët e tjera;- parashikimin e përdorimit të T.I.K.

II. Gjatë hartimit të planit të mësimit, mësuesi duhet të mbajë parasysh këto parime (pavarësisht nga formati i zgjedhur për planin):- qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut;- çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit;- mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm;- veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna;- çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme.

Klasifikimi i mësimeveMësimet ndahen në dy lloje të mëdha:- Me shtjellim të njohurive të reja;- Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, për përsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj)

Shkurt për përsëritjen.Nëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi i ndihmon nxënësit të vendosin rregull në morinë e njohurive të sapomësuara d.m.th., të nxjerrin në pah konceptet e metodat përshkuese të kapitullit dhe ato njohuri që duhet të ngulen fort në kujtesë.Ka rëndësi shumë të madhe metodologjia e përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnë vetë nxënësve një përmbledhje të kreut, duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë se sa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësit përfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqen të stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetë atë që kanë mësuar për disa orë mësimore; u japin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet e tekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, të mbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanë fort të qartë.

50 MATEMATIKA 7

Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm një rimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë të madhe për të vërejtur lidhjet midis njohurive, për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet që faktet mbahen mend më gjatë e konceptet rishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato në lidhjet e tyre të brendshme. Por përsëritja shkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturës së brendshme të kreut është i mirë, por jo i mjaftueshëm.

Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë të lidhura me njohuritë e kreut paraardhës, me lëndën e zhvilluar në atë vit, madje me lëndën e zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesisht përsëritja ajo që e vendos çdo njohuri të re në mozaikun e njohurive të lëndës, të fushës kurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Në mënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnë kohën e përsëritjes apo e kthejnë atë në një farë konsultimi para testimit për një apo disa kapituj.

Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasi vetëm nëpërmjet saj nxënësit:- nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore,- përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th., lidhjen midis koncepteve e fakteve themelore),- integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë e mëparshme.

Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikimin e mësimeve me shtjellim të njohurive të reja.

Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimore

Pas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore, përcaktohen veprimtaritë mësimore, së bashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre.Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime:1. Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mos mbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodat e procedurat.2. Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtari zhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmore dhe veprimtari vlerësuese.Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa janë të mira për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multi-funksionale).3. Veprimtaritë në mësim duhet të zgjidhen në përshtatje me mundësitë e nxënësve, elasticitetin e tyre, stilin e të nxënit sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndaj metodave të ndryshme.4. Veprimtaritë, mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet e tij.5. Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha, hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria.


6. Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë adapte për çështjen dhe lëndën që mësohet.7. Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimi dhe për çdo objektiv të ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv.

Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim; Reflektim)

EvokimiNë këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësi motivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësi me njohuritë e reja që do të merren.

Realizimi i kuptimitNë këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjitha veprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton, diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj.

ReflektimiËshtë faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Është faza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues, përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri.

Formati i planit mësimit

Në përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe:- Objektivat- Metodologjia- Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies- VlerësimiKëto blloqe mund të zbërthehen në disa formate

Modeli i propozuar nga Instituti i Zhvillimit të Arsimit (IZHA)

1. Tema e orës së mësimit;2. Objektivi përkatës i programit mësimor;3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit;4. Procedurat që do të ndiqen5. Vlerësimi;6. Detyrat e shtëpisë;7. Refleksione.

52 MATEMATIKA 7

Zbatimi i planit të mësimit

Rekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, duke shmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla.Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit të mësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë.

Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur.1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë.2. Kur ka ndodhur (apo ndodh) diçka e rëndësishme para(apo gjatë mësimit).3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin.

Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh, ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin.Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ja vlen të ndiqen në detaje; në rrethana të tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemin e pozuar.Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi, që imponojnë heqjen dorë nga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mund të ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje direkte me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihen nxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionet para se t’i përvishen punës.Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit janë të thjeshta:- çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit,- çfarë do ta çonte përpara të mësuarit,- ç’domethënie ka ndryshimi për lëndën që zhvillohet?

III.5. Mbi organizimin e punës në klasë

Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshëm për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet.Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar (real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet


e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime.

Gjatë përvetësimit të lëndës, nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th., të punës me grup.Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me shprehinë që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i presë fjalën nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë, e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon.

Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet ai që të kopjojë.Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull apo një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (apo kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhur). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj në trajtën e një përfundimi përgjithësues, kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së pavarur apo në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh: a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit? b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar? c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e njohurive për t’i zgjidhur?

d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës?

Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore. Situata e modele të botës përreth si p.sh., nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.

54 MATEMATIKA 7

III. 6. Vlerësimi i nxënësve

3.6.1 Si bëhet vlerësimi i nxënësve në matematikë?

Vlerësimi është një proces, i cili jep informacion të domosdoshëm për të verifikuar e për të matur përvetësimin e koncepteve e të shprehive nga nxënësit.Vlerësimi mund të jetë formal e i organizuar dhe drejtuar nga instancat përkatëse, por mund të jetë edhe i konceptuar e drejtuar nga mësuesi. Në mësimin e matematikës, mësuesi i vlerëson nxënësit nëpërmjet punëve me shkrim, e detyrave praktike, gjatë të cilave ata jo vetëm punojnë, por edhe shpjegojnë se çfarë dhe si e kanë bërë. Planifikimi i punës së mëtejshme bazohet mbi këtë informacion.Vlerësimi bazohet mbi objektivat e paravendosura duke filluar që nga ato vjetore, e deri te ato të vendosura për një grup njësish mësimore, apo për një njësi mësimore të caktuar.Roli më i rëndësishëm i vlerësimit është të përmirësojë të nxënit. Një tjetër rol pothuajse po aq i rëndësishëm është që ai të bëjë të mundur evidentimin dhe raportimin e arritjeve të nxënësve. Zgjedhja dhe aplikimi i praktikave të vlerësimit kanë një ndikim të fuqishëm në mësimdhënie dhe mësim nxënie. Në çfarëdo lloj niveli që të bëhet vlerësimi (në nivel klase, shkolle, rajoni apo kombëtar) informacioni i marrë prej tij duhet të jetë i tillë që të mundësojë progresin e nxënësve drejt rezultateve të pritura dhe të kontribuojë në mënyrë të ndershme në të nxënit e mëtejshëm. Hartimi i rezultateve dhe standardeve e vendos vlerësimin në një kontekst të caktuar. Çështjet e mëposhtme janë hartuar duke e parë vlerësimin e nxënësve në këtë këndvështrim.

3.6.2 Qëllimi i vlerësimit • Të nxitë, të ndihmojë dhe të përmirësojë të nxënit duke diagnostikuar pikat e forta

dhe të dobëta të nxënësve;• Të ndihmojë gjykimin për kurrikulin ekzistues;• Të sigurojë të dhëna për arritjet në rang individi, shkolle, apo sistemi për të gjithë

të interesuarit;• Të pasqyrojë rezultate, të cilat do t’i shërbejnë nxënësit për të përzgjedhur vazhdimin

e shkollimit ose llojin e punësimit;• Të bëjë të mundur krahasimin e arritjeve në rang individi, shkolle apo rajoni;• T’u japë mësuesve informacionin e nevojshëm për të përmirësuar mësimdhënien

3.6.3 Parimet e vlerësimit • Fokusim në demonstrimin nga nxënësit të arritjeve në përputhje me standardet dhe

rezultatet e pritshme;• Evidentimi i arritjeve në mënyrë të vazhdueshme;• Gjithë përfshirja, d.m.th., ndërthurja e gjykimeve nga shumë burime dhe përfshirja

e një sërë procesesh për të mbledhur informacionin lidhur me arritjet e nxënësve;• Të qenit pjesë integrale e procesit mësimor, d.m.th., vlerësimi jep informacion për

progresin dhe nevojat e nxënësve, nxit futjen e strategjive të reja në mësimdhënie


dhe përdorimin e burimeve të ndryshme;• Vlefshmëria d.m.th., marrja e informacionit, pikërisht për atë që është planifikuar;• Besueshmëria d.m.th., vlerësimi të japë rezultate të qëndrueshme, pavarësisht se kur

zbatohet, ku dhe nga kush.

3.6.4 Vlerësimi efektivQë një vlerësim të arrijë qëllimin duhet të jetë efektiv. Me këtë kuptohet:

• Të reflektojë parimet e drejtësisë sociale;• Të gjejë mundësinë për të pasqyruar nevojat e ndryshme të nxënësve;• Të jetë i ndjeshëm ndaj problemeve të gjinisë, paaftësisë, kulturës, gjuhës amtare,

statusit social-ekonomik, dhe pozicionit gjeografik,• Të reflektojë veçoritë psikologjike të zhvillimit të fëmijëve dhe adoleshentëve,• Të zhvillojë aftësinë e nxënësve për të monitoruar vetveten,• Të jetë autentik, d.m.th., të aftësojë nxënësit në përdorimin e njohurive e shprehive

praktike, të dobishme dhe të nevojshme.

3.6.5 Tri llojet më të përdorshme të vlerësimit janë:

Vlerësimi formues, i cili mund të jetë formal, p.sh., me teste ose in formal p.sh., me pyetje. Ky vlerësim mbikqyr përparimin e nxënësve gjatë procesit të të nxënit. Ai siguron një feedback për të lehtësuar të nxënit, për të korrigjuar gabimet dhe për të arritur një nivel më të lartë përvetësimi. Duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë.Vlerësimi diagnostikues, është një formë e veçantë e vlerësimit formues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese.Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit a të ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë certifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret edhe për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor.

Përfshirja e standardeve lëndore në procesin mësimor presupozon përpunimin e metodikës së kontrollit shtetëror për kryerjen e kërkesave të tij. Kjo metodikë duhet të përfshijë të gjitha çështjet organizative, si p.sh., përcaktimin e kohës dhe të kushteve për vlerësim si dhe krijimin e një sistemi të unifikuar të instrumenteve dhe teknikave vlerësuese. Futja e standardeve në praktikën e punës, shtron nevojën edhe të rishikimit të sistemit të kontrollit të përditshëm (formativ). Sikurse edhe vlerësimi përmbledhës me anën e testeve, ai duhet të evidentojë patjetër arritjen (ose jo) nga nxënësi të njohurive të domosdoshme. Metodika e matjes dhe e vlerësimit të kërkesave të parashtruara në standardet e arritjes, kriteret e saj, duhet të jenë të hapura për të gjithë pjesëmarrësit e procesit mësimor dhe personat e interesuar për rezultatet e tij, organet shtetërore, mësuesit, nxënësit, prindërit.

56 MATEMATIKA 7

Është i dobishëm praktikimi i nxënësve me teknikat për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë me të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit, gjithashtu, të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak.

3.6.6 VLERËSIM ME TESTE

Një nga qëllimet kryesore të shkollës është arritja e një cilësie sa më të lartë në procesin e të mësuarit, pra të ndihmohen nxënësit në mënyrë të tillë që ata të kenë efektivitet e rendiment të lartë. Ndonëse këtë qëllim e kanë në konsideratë të gjithë mësuesit, rezultatet e nxënësve nuk janë të tilla. Në bisedat me mësues hasen shpesh deklarimet: “i kam bërë të gjitha përpjekjet, por nxënësit nuk mësojnë”, etj. Pra, ka diferenca të ndryshme ndërmjet mësimdhënies dhe mësim nxënies.Studimet e viteve të fundit lidhur me këtë dukuri, evidentojnë si një nga shkaqet kryesore të shfaqjes së saj, faktin e mungesës së teknikave të përcaktuara për njohjen e ecurisë së nxënësve në periudha të caktuara të veprimtarisë së tij në shkollë.Le të shohim situatën e mëposhtme, që për traditë, vazhdon të ndodhë në shkollë. Në një kapitull të caktuar (të themi në veprimet me thyesa) në fundin e tij nxënësi duhet të dijë të mbledhë e të zbresë thyesat me emërues të njëjtë e të ndryshëm, të shumëzojë e të pjesëtojë thyesat, si dhe të bëjë veprime të kombinuara me to. Për të konkluduar realizimin e tyre, në fund të kapitullit mësuesi zhvillon një detyrë kontrolli dhe bën vlerësimin përkatës për të gjithë nxënësit. Zakonisht në këtë detyrë jepen 3-4 ushtrime. Në këtë mënyrë konstatohet nëse nxënësit e veçantë e kanë përvetësuar apo jo kapitullin.Por është kuptueshme se kështu nuk përcaktohet përvetësimi i hapave të ndërmjetëm, ngaqë informacioni i marrë nuk është i plotë. Shtojmë se ky informacion, si qëllim themelor nuk ka vënien e notës, por përmirësimin e cilësisë së të nxënit. Tashmë pranohet pothuaj nga të gjithë prioriteti i përmirësimit të cilësisë së të nxënit, ndaj cilësisë së mësimdhënies. Në këtë drejtim rol të dorës së parë ka ndihma specifike që u jepet nxënësve për të përmirësuar nxënien e tyre. Synimi themelor është edukimi gradual i nxënësve në mënyrë që ata të punojnë në mënyrë të pavarur.Në procesin e mësimdhënies ndodhin situata të ndryshme e të ndërlikuara, gjatë të cilave mësuesi merr vendimet e duhura. Këto vendime nuk mund të programohen. Efektiviteti i tyre varet nga shumë faktorë që kanë të bëjnë me nivelin, përgatitjen, përvojën vetjake të mësuesit, etj. Një nga më të rëndësishmet ndër këto vendime është ai që ka të bëjë më vlerësimin e nxënësve. Minimizimi i tij në mjaft raste shndërrohet në burim konflikti jo pa pasoja. Me dispozita ligjore, vlerësimi i nxënësve është e drejtë e pacënuar e mësuesit dhe ka të bëjë me lirinë e tij akademike dhe vendimmarrjen e tij profesionale. Mësuesi është i lirë, se kur të vlerësojë, çfarë të vlerësojë, si të vlerësojë e si të monitorojë.Vlerësimi i mësuesit ka më tepër karakter formues se sa konkludues. Me fjalë të tjera vlerësimi synon, që më shumë të përmirësojë cilësinë e të nxënit të nxënësve, e jo thjesht për të vënë notë, apo për të bërë klasifikimin e nxënësve. Nxënësi vlerësohet në mënyrë që ai të ndihmohet për t’u përgatitur më mirë.Vlerësimi i nxënësve mund e duhet të jetë i ndryshëm nga klasa në klasë. Praktika tregon


se përdorimi i të njëjtave teknika të mësimdhënies në klasa të ndryshme është jo efektiv. Nga ana tjetër, vlerësimi asnjëherë nuk duhet të konsiderohet i përfunduar. Nëpërmjet rezultateve të tij, nxënësve u jepet ndihma për përmirësimin e të nxënit.Vlerësimi i të nxënit të nxënësve mbështetet kryesisht në rezultatet apo produktet e tyre. Një vlerësim i tillë sot vlerësohet si instrumenti kryesor i kontrollit ndaj nxënësve.Literatura e sotme pedagogjike përcakton kryesisht tri qëllime të vlerësimit:Së pari: diagnostikimin e nxënësve, d.m.th., zhvillimin e aftësive të tyre, në mënyrë që të përvetësohet sa më saktë ecuria e mëtejshme për secilin nxënës.Së dyti: motivimin e nxënësve, në kuptimin që secili prej tyre të njohë nivelin dhe mundësitë e veta konkrete.Së treti: përcaktimin e vlerësimit përfundimtar, gjë që do të shërbejë si argument për zgjedhjen e profesionit të ardhshëm.Nëse pas kësaj hyrjeje do mundoheshim të jepnim përkufizimin e vlerësimit, na duket më i përshtatshëm ky:Vlerësimi është procesi, gjatë së cilit përcaktohen vlerat mbi bazën e informacionit, të grumbulluar nga procesi i matjeve. Vlerësimi është vetëm procesi i verifikimit ose i gjykimit të vlerës ose sasisë së një diçkaje, duke përdorur një standard, ai përfshin gjykimet sipas evidencës së brendshme dhe kritereve të jashtme .

Një nga teknikat e vlerësimit, që kohët e fundit gjithnjë e më shumë po fiton të drejtën e qytetarisë është ai me përdorimin e testeve.Pedagogjia e sotme ka opinione të ndryshme për testet. Një opinion është ai që e konsideron të padobishëm përdorimin masiv e të vazhdueshëm të testeve. Ka opinione të tjerë, që metoda e testimit, jep një informacion të plotë e të bollshëm e rrjedhimisht të vlefshëm për motivimin dhe stimulimin e nxënësve. Mendojmë se testet janë të nevojshëm, vlerësojnë e nxitin efektivisht procesin mësimor, por që duhen përdorur me kujdes e, ajo që është më e rëndësishmja, të jenë hartuar në përputhje me standardet përkatëse.Testet rezultojnë një përpjekje për të marrë të dhëna “sa më objektive”, që në kombinimin me “gjykimin subjektiv të mësuesit”, të merret një vendim sa më real e mundësisht i pakritikueshëm i mësuesit. Ky është edhe një nga qëllimet themelore të testimit.Me anën e testeve krijohen kushtet e nevojshme, për marrjen e vendimeve në tri aspekte:Së pari: Vendime për mësimdhënien, duke nxjerrë konkluzione për metodën e punës së mësuesit, për drejtimet e përmirësimit të saj.Së dyti: Vendime për vlerësimin e nxënësve, d.m.th, vendosjen e notës. Është një nga vendimet më rutinë, por njëkohësisht tepër i rëndësishëm e që kërkon kujdes të veçantë nga ana e mësuesit. Nuk janë të pakta rastet kur marrëdhëniet mësues-nxënës e shkollë-familje, varen shumë nga ky vendim.Së treti: Vendime diagnostikimi, me fjalë të tjera, pasi mësuesi konstaton se ç’dinë e ç’ nuk dinë nxënësit, në një kapitull të caktuar përcakton shkaqet dhe merr masat përkatëse.Shumë vende i konsiderojnë testet pjesë përbërëse të kurrikulës. Programet dhe tekstet tona jo. Në këto kushte mjaft mësues e shkolla punojnë në këtë drejtim e kanë arritje modeste.

58 MATEMATIKA 7

Veçanërisht në lëndën e matematikës, emra të njohur mësuesish janë paraqitur në treg me mjaft botime me vlerë. Nga ana tjetër, metoda e testimit gjithnjë e më shumë, po bëhet edhe si kriter seleksionimi. Përmendim që prej tri vitesh ajo po përdoret për zgjedhjen e profesionit të ardhshëm nga nxënësit, që mbarojnë shkollën e mesme e, së fundi, në provimet e maturës shtetërore. Janë këto disa nga arsyet, që të japim disa kritere në përpilimin dhe vlerësimin e testeve në lëndën e matematikës.Testet, që mësuesi i përgatit vetë, përdoren në klasë për qëllimet e mëposhtme:

• Për të matur e vlerësuar ritmikisht përparimin e nxënësve.• Për të motivuar sa më shpesh nxënësit.• Për të siguruar një informacion të hollësishëm për konceptet, që nxënësit zotërojnë

apo nuk zotërojnë.• Për të pasur informacione me qëllim raportimi.

Para se të fillojë procesi i hartimit të një testi rekomandojmë të bëhet i ashtuquajturi plan i testimit, i cili mund të përmbajë:

Qëllimi i testimit

Përcaktimi i pjesës, që do testohet (kapitulli).Caktimi i tabelës së specifikimeve. Në të vendosen numri i kërkesave, për objektiva apo çështje të ndryshme, koha për zhvillimin e testit, etj.Caktimi i teknikave të vlerësimit.Caktimi i kritereve të vlerësimit dhe besueshmërisë së testit.Caktimi i rregullave të pikëzimit (numri i pikëve në çdo ushtrim) dhe i konvertimit të pikëve në nota.Parapërgatitja e nxënësve për testimin etj.

Testet objektive dhe mënyrat e hartimit të tyreHapi i parë, në hartimin e një testi është përcaktimi i njohurive më të domosdoshme, që do të testohen, numri i pyetjeve, që do të bëhen, si dhe vendi që do të zënë në test.P.sh., në kreun “Raporte, përpjesëtime” mund të bëhet kjo ndarje.

Nr Çështja Numri i pyetjeve Përqindja e pikëve

1 Kuptimi i raportit. Gjetja e raporteve të madhësive të ndryshme. 7 27%

2 Përqindja. Gjetja e përqindjes së numrit. Gjetja e numrit kur jepet përqindja e tij. 4 30%

3 Gjetja e të katërtës së përpjesshme 3 20%4 Përpjesëtimet në situata problemore 3 23%

Hapi i dytë është përcaktimi i taksonomisë konjitive që do të përdoret. Në kreun e propozuar rekomandojmë të përcaktohet taksonomia e mëposhtme:


Nr Taksonomia % e pyetjeve1. Njohja e konceptit. 40%2. Zbatim, arsyetim. 40%3. Zbatim në situatë problemore. 20%

Po japim një shembull konkret të ilustrimit të taksonomisë së mësipërme. Po marrim temën ndryshimi i numrave me shenjë.1) Gjeni (+7)-(-2)Në këtë rast kemi të bëjmë vetëm me njohjen e konceptit.2) Sa është ndryshesa ndërmjet numrave (+7) dhe (-2)? Në këtë rast kemi të bëjmë me një veprim, por në nivelin e zbatimit të konceptit. Nxënësi do kryejë veprimin (+7)-(-2).3) Në orën 12.00 të ditës së djeshme temperatura ishte 7o, ndërsa në orën 18.00 ishte -2o. Me sa gradë është ulur temperatura?Përsëri kemi të bëjmë me të njëjtin veprim, por tashmë të zbatimit të situatës problemore.Sipas nivelit të pyetjes bëhet edhe konvertimi i saj në pikë. Në rastin e mësipërm pyetjes së parë i jepet 1 pikë, të dytës 2 pikë e të tretës, 3 pikë.

Ka shumë lloje testesh, në vartësi të mënyrës së hartimit të tyre, qëllimit të testimit, formës së testimit, etj. Do të shqyrtojmë të ashtuquajturat teste objektive.Një pyetje, quhet objektive, në qoftë se vlerësues të ndryshëm, që vlerësojnë në mënyrë të pavarur nga njeri-tjetri, japin të njëjtin vlerësim për përgjigjen e dhënë.Një pyetje e tillë është, p.sh., 2a+3a=. Është e kuptueshme se cilido vlerësues e konsideron të drejtë përgjigjen 5a dhe të gabuar çdo përgjigje tjetër!Nuk është objektive pyetja:Sa është afërsisht vlera numerike e numrit p?Në këtë rast mund të jepen përgjigje të shumta, të cilat mund të konsiderohen subjektivisht nëse janë apo jo të sakta! (P.sh., 3; 3,1; 3,14 etj).Një test konsiderohet objektiv, nëse pyetjet që e përbëjnë atë janë objektive.Testi objektiv ka këto karakteristika:Përmban kërkesa plotësisht të strukturuara.Kërkon gjetjen e përgjigjes së saktë, nëpërmjet zgjedhjes së njërës nga alternativat e propozuara apo konfirmimin (mohimin) e një përgjigjeje.Nuk kërkohet argumentim pse zgjidhet kjo apo ajo alternativë.Përmban një numër relativisht të lartë kërkesash.

Llojet e testeve objektive janë:Teste me dy përgjigje alternative.Teste me çiftime (kombinime).Teste me plotësim.Teste me shumë alternativa.

Po i trajtojmë me radhë

60 MATEMATIKA 7

• Teste me dy përgjigje alternativePyetja, që i bëhet nxënësve është e tillë, që prej tyre kërkohet zgjedhja e njërës nga të dy alternativat e mundshme. Në këtë rast nxënësit kanë vetëm dy mundësi për të zgjedhur (e vërtetë apo e rreme, po apo jo, më e madhe apo më e vogël, e saktë apo e gabuar, e shpejtë apo e ngadaltë etj).Alternativat shpesh herë vendosen në kuti drejtkëndore dhe nxënësit i kërkohet të shënojë (+, x, -), alternativën e zgjedhur.Ja disa shembuj pyetjesh të tilla:

Shëno me shenjën x alternativën e zgjedhur.1. Perimetri i rrethit, gjendet kur njihet rrezja e tij poð joð2. Kilometri është njësi matëse e gjatësisë poð joð3. (-7) është numër më i madh se 1. poð joð4. Vëllimi matet me m2. e vërtetëð e gabuarð5. Katrori i një numri natyror është numër natyror poð joð6. Diagonalet e rombit janë të barabarta. poð joð

Këto lloj pyetjesh kanë avantazhet e mëposhtme:Duke qenë se përgjigjet janë të shkurtra dhe nuk kërkojnë shumë kohë, me anën e tyre mund të mbulohet një material mjaft i gjerë i lëndës.Pyetje të tilla janë relativisht të lehta për t’u hartuar.Vlerësimi i tyre është mjaft i thjeshtë.

Disavantazhi i pyetjeve të tilla konsiston në:Nivelin relativisht të ulët të arsyetimit, që kërkohet për përgjigjen e tyre.Ekziston mundësia e gjetjes së përgjigjes së saktë edhe kur ajo nuk dihet.Ekziston mundësia e të kopjuarit.

Për hartimin e këtyre pyetjeve literatura jep rekomandimet e mëposhtme:Formulimet përkatëse të jenë sa më të shkurtra.Pyetjet duhet të jenë të përfshira tërësisht në kreun e caktuar.Nuk duhen vendosur pyetje të tilla, përgjigja e të cilave të jetë e diskutueshme.Në formulim të shmangen fjalët “asnjë”, “të gjithë”, “asnjëherë”, “në asnjë rast”, “gjithmonë”, etj.Raporti i përgjigjeve po apo jo (i vërtetë apo i gabuar) të jetë përafërsisht i njëjtë.

• Teste me çiftimeThelbi i pyetjeve të tilla konsiston në gjetjen e çiftimeve përkatëse nga dy grupe alternativash të dhëna. Nxënësve u kërkohet të çiftojnë një apo disa elemente, të njërës bashkësi me një apo disa elementë të bashkësisë së dytë. Formimi i bashkësive bëhet duke u bazuar në radhitjen e elementëve, që kanë lidhje reciproke. Bashkësia e parë quhet edhe bashkësia e përshkrimeve, ndërsa e dyta bashkësia e alternativave.Çifto elementët e bashkësisë së parë me atë të dytë. Në vendin e vijëzuar para numrave


(1-4) vendos një nga shkronjat a-g, sipas zgjedhjes së duhur

Bashkësia e përshkrimeve Bashkësia e alternativave

1)______12

a) Numër thyesor pozitiv

2)______-1 b) Numër natyror

3)_____0,7 c) Numër i plotë negativ

4)______p e) Numër dhjetor pozitiv

f) Numër dhjetor negativ

g) Numër thyesor negativ

Nxënësit i kërkohet që në vizën përpara shifrës të shkruhet shkronja korresponduese, p., sh

para numrit 12

shkruhet a (sepse 12

është numër thyesor pozitiv), ndërsa para shifrës

-1 shkruhet c (sepse –1 është numër i plotë negativ).Ja edhe një shembull tjetër:Në vendin e vijëzuar para numrave 1-5, vendos një nga shkronjat a-h, sipas zgjedhjes së duhur.

Bashkësia e përshkrimeve Bashkësia e alternativave_______52. 53= a) 56

_______(52)3= b) 5_______53: 52= c) 75_______3. 52= d) 55

_______52 –3= e)152

f) 22 g) 22 h) 512

Pyetjet me çiftim kanë avantazhet e mëposhtme:Pyetjet e tilla hartohen relativisht lehtë.Pyetjet me çiftim pikëzohen relativisht lehtë.Me pyetje të tilla minimizohen përgjigjet me hamendje.

Disa disavantazhe të pyetjeve me çiftimMe anën e tyre vlerësohet më shumë kujtesa se sa logjika.Po nuk u ndërtuan me kujdes janë të pavlefshme, sepse mund të merren me informacione të parëndësishme.

62 MATEMATIKA 7

Ja tani dhe disa rekomandime për hartimin e pyetjeve të tilla:Bashkësitë e përshkrimeve dhe alternativave të kenë sa më pak të dhëna (fjalë apo numra).Të dyja bashkësitë të vendosen përballë njëra-tjetrës, në mënyrë që nxënësi t’i shohë të dyja njëkohësisht.Duhet pasur kujdes që bashkësia e alternativave, të përbëhet nga elementë të mundshëm e të besueshëm.Sugjerojmë që elementët e bashkësive të përshkrimeve të renditen me numra, ndërsa ato të bashkësisë së alternativave, me shkronja.Bashkësitë e alternativave duhet të kenë më shumë elementë, se sa bashkësia e përshkrimeve.Kërkesat e ushtrimit duhen specifikuar mirë, si dhe të jepet udhëzim nëse një alternativë mund të përdoret më shumë se një herë.

• Teste me plotësimQuhen ndryshe edhe teste me përgjigje të shkurtra. Kërkesa e këtyre lloj testeve konsiston në plotësimin e vendeve të lëna bosh, me një fjalë, shifër, formulë, simbol etj.Ka tri lloje kërkesash të tilla.

a)Lloji me pyetjeNë këtë rast kërkohet përgjigja e një pyetjeje të drejtpërdrejtë. P.sh.:

Cila është formula e perimetrit të rrethit? _________.

Në cilin kuadrant ndodhet pika (-2, 1)? ________.

Cili është numri i kundërt i numrit 4? _________.

b) Lloji me plotësim

Në këtë rast kërkohet të plotësohet vendi i vijëzuar, me një fjalë, të vendoset numri i duhur në një radhitje, etj. p.sh.;Segmenti, që bashkon një kulm të trekëndëshit me mesin e brinjës përballë quhet ________.

Shkruaj kufizën e duhur në vend të pikës 1 1 1; ; ;2 3 4

⋅

Varësia përpjesëtimore e drejtë ndërmjet madhësive y dhe x shprehet me formulën ________.

c) Lloji me shoqërimJepet një bashkësi elementësh dhe kërkesash, që pranë tyre të vendosen elementët përkatës, sipas një rregulli apo ligji të dhënë. P.sh., për figurat e dhëna shkruaj formulat


përkatëse të sipërfaqes.Trekëndëshi _____________Paralelogrami ______________Rrethi _____________ _Katrori ______________Drejtkëndëshi ______________

Ndër avantazhet e pyetjeve të tilla përmendim:Janë mjaft të lehtë për t’u hartuar.Është e pamundur që përgjigja e tyre të jepet me hamendje.Nuk kërkojnë shumë kohë për t’u përgjigjur.

Disavantazhet e tyre janë:Kanë për tendencë të vlerësojnë kujtesën e jo logjikën.Shpesh nuk janë të lehta për t’u vlerësuar, për arsye të përgjigjeve të ndryshme, që mund të konsiderohen edhe të sakta, edhe të gabuara.

Disa rekomandime për hartimin e testeve me plotësimFjalia duhet të formulohet në mënyrë të tillë, që vendi bosh për t’u plotësuar të jetë sa më afër fundit të saj.Të formulohet kërkesa në mënyrë të tillë, që përgjigja të jetë më e shkurtër.Të preferohen kërkesat në trajtën e pyetjes.

Testet me shumë alternativaQuhen edhe teste me zgjedhje të shumëfishtë. Janë testet më të rekomandueshëm e më të përdorshëm. Ato krijojnë mundësi të gjera për matjen e niveleve të ndryshëm të taksonomisë. Kërkesa e tyre konsiston në gjetjen e njërës prej disa alternativave të propozuara (zakonisht jepen 4-5 alternativa të tilla).

Pjesa kryesore e ushtrimit përmban një pyetje, apo një kërkesë. Kjo quhet edhe trungu i ushtrimit. Pjesa e dytë e ushtrimit përmban përgjigjet alternative, nga të cilat në varësi të pyetjes duhet zgjedhur vetëm njëra. Alternativat në më të shumtën e rasteve, përbëhen nga një përgjigje e saktë dhe 3-4 përgjigje të gabuara. Ka raste kur kërkohet përgjigja e gabuar, ndërmjet 3-4 përgjigjeve (të tjerat janë të sakta). Ka edhe raste, kur kërkohet numri i përgjigjeve të sakta.Përgjigja e saktë quhet edhe çelësi apo kyçi i testit, ndërsa përgjigjet e gabuara quhen edhe joshëse apo ngatërruese. Kjo do të thotë se hartuesi i tyre jep si alternativa përgjigje të pranueshme në parim, por të gabuara. Me fjalë të tjera alternativat të jenë të tilla, që nxënësi mund “të ngatërrohet”, duke i marrë si të sakta.Është shumë e rëndësishme, që në ushtrime të tilla të jepet informacioni i domosdoshëm, në mënyrë që nxënësi të kuptojë se çfarë është e dhënë e çfarë kërkohet. Ja disa shembuj:

1) m+m+m+m+m=a) m5 ; b) m+5; c) 5m; d) 5 m5

64 MATEMATIKA 7

Siç shihet, veç alternativës së saktë 5m janë dhënë edhe alternativat joshëse. Nuk do të ishte e drejtë që si alternativë joshëse të vihej p.sh., m3, apo 7m.

2) Në qoftë se x+4=8 atëherë 5x-1=

a) 9; b) 59; c) 4; d) 19

Le të diskutojmë alternativat e gabuara, të cilat janë gabimet e mundshme të nxënësit?Ai gjen (gabimisht) x=8:4=2, në këtë rast 5x-1=9 (alternativa e gabuar a).Ai gjen (gabimisht) x=8+4=12, në këtë rast 5x-1=59 (alternativa e gabuar b).Ai gjen rrënjën e ekuacionit të dhënë x=8-4=4, (alternativa e gabuar c).3)5(x-2)+3=a) 5x-7; b) 5x+1; c) 5x-2; d) 5x+13.Edhe këtu, ndër alternativat përkatëse janë vënë ato që marrin në konsideratë gabimet e mundshme të nxënësit,

4) Sa nga barazimet e mëposhtëm janë të vërtetë?

A) x+2=2x; B) 3(x-1)=3x-3; C) x+x=x2

D) (a-b)2=a2-b2; E) x+1=1+x; F) 2x+3x=5x2

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4

5) Jepet A={1,2,3,4,5} dhe B={1,3,5,6}

A∩B=

a)1,3,5}; b) 6; c) 1,3,5,6; d) 1,2,3,4,5,6

2 16)3 23 7 2 1) , ) , ) , )5 6 6 6

a b c d

+ =

7) Jepet (d1)||(d2). Gjej masën e këndit x.

a) 40o; b) 60o; c) 70o; d) 110o


700

(d2)

(d1)x

Avantazhet e testeve me shumë alternativa janë:Kanë mundësi të gjera në matjen e taksonomive të ndryshme.Me këto lloj testesh mund të vlerësohet një material i bollshëm.Për përgjigjen e pyetjeve harxhohet relativisht pak kohë.Mund të pikëzohen e korrigjohen lehtësisht.Kanë besueshmëri relativisht të lartë.Mund të hartohen për nivele të ndryshme të aftësive të nxënësve.Këto lloj testesh në një farë mase shmangin gjykimin absolut, që ishte karakteristik për testet, me dy përgjigje alternative.

Në disavantazhet e tyre përmendim:Hartimi i tyre nuk është i lehtë (nuk është e lehtë të gjenden disa alternativa të besueshme).Nëse nuk verifikohen me kujdes, ato mund të kenë më shumë se një alternativë të pranueshme.

Disa sugjerime për hartimin e testeve me shumë alternativa:Formulimi i trungut duhet bërë me shumë kujdes, në mënyrë që kërkesa të jetë tepër e qartë.Përgjigjet e gabuara (joshëse) duhet të jenë të besueshme.Alternativat duhet të jenë të përafërta në formë dhe formulim.Këshillohet që alternativa që do të zgjidhet të alternohet.

• Konvertimi i pikëve në nota

Po supozojmë se pikët e mundshme në një test janë 30. Problemi i parë është caktimi i kufirit të poshtëm, d.m.th., numri minimal i pikëve, për të marrë notën 5. Zakonisht kjo

sasi e pikëve është 14

e pikëve të mundshme (ka raste kur kjo sasi përbën 13

e pikëve

të mundshme). Pastaj në mënyrë të përpjesshme caktohet korrespondenca pikë – notë. Në rastin tonë kemi:Nota 5 – 8 pikë

66 MATEMATIKA 7

Nota 10 – 30 pikë.Atëherë secilës notë i takojnë 4 pikë (30-7):6≈4 pikë.(intervali i fundit është 3 pikë)Rrjedhimisht tabela e konvertimit të pikëve në nota është:

Pikë 0-7 8-11 12-15 16-19 20-23 24-27 28-30Nota 4 5 6 7 8 9 10

Ja tani edhe disa udhëzime që duhen pasur në konsideratë në hartimin e një testimi.

Përcakto mirë objektivat e testimit.Kujdesu që lloji i testit të jetë në koherencë me qëllimin, për të cilin ai hartohet.Kujdesu që pyetjet më të lehta të vihen në fillim dhe pastaj ato të vijnë gradualisht duke u vështirësuar.Llojet e ndryshme të pyetjeve në një test, këshillohet të vendosen pranë njëra-tjetrës.Në çelësin e testit, kujdesu që përgjigjet e sakta të alternohen.Kujdesu që trungu i testit të jetë i saktë.Përgatit çelësin e përgjigjeve.Përgatit udhëzimet që do t’u jepen nxënësve.Përgatit me kujdes tabelën e konvertimit të pikëve në nota.Kujdesu për taksonominë e tekstit.

Përmasat, që kushtëzojnë suksesin e testitZotërimi i mirë i anës shkencore të lëndës.Njohja e mirë e nivelit të klasës.Aftësia për të shkruar qartë e saktë.Krijimtaria në hartimin e tekstit.Aftësia për të hartuar teste të besueshme e me përdorim praktik.

Shembull testi me argumentimin përkatësTest për kreun “Funksioni” Koha 45 minuta1. Në figurën 1 është paraqitur me diagram shigjetor çiftimi i elementëve të bashkësisë A me ata të bashkësisë B.


2 -4

-2

2

4

1

-1

-2

A B

Fig. 1 Fig.2a) A kemi funksion? b) Ndërtoni grafikun e funksionit. c) Jepni funksionin me formulë. d) Jepni me diagram shigjetor funksionin e anasjellë. e) Jepni me formulë funksionin e anasjellë. (8 pikë)

2. Funksioni është dhënë me formulën 3 42

xy −= , ∈x {2; 4; 6}.

a) Ndërtoni grafikun e funksionit. b) A janë pikat e grafikut në vijë të drejtë? (4 pikë)

3. Në figurën 2 është dhënë grafiku i një funksioni: a) Gjeni vlerën e funksionit për x=2; x=-2. b) Për ç’vlera të x kemi y=2? c) Për ç’vlera të x, vlerat e funksionit janë negative? (3 pikë)

4. Ndërtoni grafikët e funksioneve: a) y=-2x; b) y=x-2. (4 pikë)

5. Ndërtoni grafikët e funksioneve: a) y=3-2x; b) y=3. (4 pikë)

6. Ndërtoni grafikun e funksionit y=-3x+b, duke ditur që ai kalon nëpër pikën A (-2; 4). (3 pikë)

7. Ndërmjet drejtëzave y=x-7; y=5x+2; y=3x-7; y=x+4; y=-x-7, paralele janë ···. (1 pikë)

8. Sa është këndi që formon me boshtin Ox drejtëza y=x-5? (1 pikë)

9. Duke përdorur grafikun e varësisë së masës m të ujit (akullit) nga vëllimi V (Fig. 3),

68 MATEMATIKA 7

përgjigjuni pyetjeve: a) A është varësia e masës nga vëllimi lineare? b) Ç’vëllim zënë uji dhe akulli, nëse ata kanë të njëjtën masë, të barabartë me 400g? (4 pikë)

m g

uji

cm3

akulli

Fig.3

s, km

t, orë

Fig.4

10. Në figurën 4 është paraqitur grafiku i lëvizjes së këmbësorit nga pika B në pikën E. Duke u bazuar tek grafiku përgjigjuni pyetjeve: a) Në ç’largesë nga pika B ndodhet pika E? b) Me çfarë shpejtësie lëviz këmbësori? c) Në ç’largesë nga pika B ai bëri pushim? d) Sa kohë bëri pushim? e) Sa kohë pas pushimit, ai erdhi në pikën E? f) Shkruani me formula varësinë e rrugës së përshkuar, nga koha t në segmentet BC, CD, DE të grafikut. (8 pikë)

Kthimi i pikëve në nota

Nota 4 5 6 7 8 9 10Pikë 0-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Argumentimi i testit

1. Çështjet kryesore të kreut që testohen1. Kuptimi i funksionit dhe i grafikut të tij (20 %)2. Ndërtimi i grafikut të funksionit të dhënë me formulë (10%)3. Leximi i grafikut të funksionit (9%)4. Ndërtimi i grafikut të funksionit linear;veti pozicionale të tij (31 %).5. Përdorimi i kuptimit funksionit dhe grafikut të tij në situata konkrete (30%).

Kjo listë është nxjerrë mbi bazën e programit dhe shtjellimit të materialit mësimor në test.


2. Shpërndarja e pyetjeve (pikëve) sipas tre niveleve taksonomike është bërë afërsisht në raportet 40%, 38%, 22%.

3. Për kapitullin ”Funksioni ” objektivat mësimore minimale janë formuluar kështu:

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, nëse çiftimi i dy bashkësive të fundme, dhënë me diagram shigjetor apo me tabelë, është funksion. • Për një funksion të fundmë, dhënë me diagram shigjetor apo me tabelë, të shkruajnë gjithë çiftet e renditur (fytyrë, shëmbëllim). • Për një funksion të tillë, të japin grafikun e tij. • Të gjejnë vlerën e një funksioni, të dhënë me formulë shumë të thjeshtë, për një vlerë të thjeshtë të ndryshores dhe të ndërtojnë pikën përgjegjëse të grafikut. • Të dallojnë nëse pika, me koordinata të dhëna të thjeshta, ndodhet në grafikun e funksionit: y=kx, y=x+a, y=ax+b. • Për një funksion me grafik të dhënë, të gjejnë vlerën e funksionit për çdo vlerë të abshisës. • Të ndërtojnë grafikun e funksioit y=kx, për vlera konkrete të k, duke përdorur faktin, që ai kalon nëpër origjinë. • Të ndërtojnë, me dy pika, grafikun e funksionit: y=x+a, y=ax+b, me koeficientë të dhënë. • Të japin fjalinë e anasjellë të një fjalie të thjeshtë të dhënë. • Të japin funksionin e anasjellë të një funksioni të fundmë, të dhënë me diagram shigjetor apo me tabelë.

4. Grida e testit është:

Nivelet

Çështjet

INjohja + të kuptuarit

IIZbatim +arsyetim

IIIZbatim në situatë të re

Pikë gjithsej

1 1/a,b,d(4 pikë) 1/c,e(4 pikë) 82 2(4 pikë) 43 3/a,b(2 pikë) 3/e(1 pikë) 11(3 pikë) 3

4 4(4 pikë);5(4 pikë) 7(1 pikë);6(3 pikë) 8(1p) 13

5 10(2 pikë) 9/a(2 pikë);10(2 pikë)

9/b(2 pikë);10(2 pikë) 12

Pikë 16 15 9 40

70 MATEMATIKA 7

III.7. Metodika e zgjidhjes së problemeve në matematikë

Një nga mjetet më kryesore për formimin e kulturës matematike të qëndrueshme tek nxënësit, e një mjet i fuqishëm për të nxënit e matematikës, është aktivizimi efektiv dhe drejtimi i veprimtarisë mësimore të nxënësve në procesin e zgjidhjes së problemeve të ndryshme të matematikës.Pikërisht gjatë zgjidhjes së problemeve, nxënësit përvetësojnë në mënyrë të ndërgjegjshme e të qëndrueshme shprehitë e pasqyruara në kursin e matematikës shkollore. Veç kësaj, në procesin e zgjidhjes së problemeve të matematikës tek nxënësit në mënyrë të natyrshme formohen cilësitë e krijimtarisë vetjake.Një ndërthurje e mirëmenduar e problemeve përcakton në një shkallë të lartë metodikën e të nxënit sepse ajo i shërben qëllimeve konkrete. Kështu p.sh., problemet mund të përdoren për trajtimin e një teme të re mësimore; për zbulimin e pamvarur të ndonjë fakti të ri matematik; për ilustrimin e ndonjë fakti; për një përvetësim më të thelluar të një materiali teorik; për përpunimin e aftësive e shprehive të caktuara; për të zgjuar tek nxënësit interesin për matematikën, e në përgjithësi për zhvillimin e të menduarit racional matematik të nxënësve.

T’u mësosh nxënësve se si zgjidhen problemet nuk është punë e lehtë, nëse presupozojmë se kjo është e mundur. Si rregull, në shumicën e rasteve nxënësit “me sy mbyllur” fillojnë zgjidhjen e problemit apo të trajtimit të një shembulli. Ato nisin të zgjidhin problemin, pa menduar se çfarë duhet bërë d.m.th., duke punuar “ në tym”.Për të minimizuar këtë dukuri, këshillojmë që në klasat e ulëta, mësuesit të ngulin këmbë në mënyrë që nxënësit të udhëhiqen nga parimet e mëposhtme:1) Para së gjithash të mendojnë për përmbajtjen e problemit duke kuptuar qartë atë që është dhënë dhe atë që kërkohet.2) Të hartojnë planin e zgjidhjes, duke konkluduar nëse të gjitha të dhënat janë të domosdoshme apo ka edhe të dhëna të mangëta apo të tepërta.3) Të konkludojnë se në ç’mënyra të tjera të mund të zgjidhet problemi.

Para se të nisë zgjidhja e problemit, nxënësi duhet të përcaktojë radhën e veprimeve dhe më pas të fillojë zgjidhjen e problemit.Hartimit të planit të zgjidhjes së problemit i duhet kushtuar rëndësi e veçantë, përndryshe nxënësi nuk vepron në mënyrë të ndërgjegjshme për zgjidhjen e tij.

Ajo fillon nga problemet e thjeshta.Problem i thjeshtë quhet ai problem, zgjidhja e të cilit realizohet vetëm me një veprim.

P.sh., Për të blerë ushqimet një amvisë harxhoi 43

e 2600 lekëve. Sa lekë harxhoi amvisa?

Pikërisht nga probleme të këtij tipi duhet të fillohet në kapitullin e shumëzimit të thyesave me numrat e plotë.Nëse për zgjidhjen e problemit kërkohet më shumë se një veprim ai quhet i përbërë apo i integruar. Zgjidhja e tij realizohet duke e ndarë në disa probleme më të thjeshtë.Duke u nisur nga struktura, problemet klasifikohen:


Probleme me kusht të dhënëNë këto probleme, vetë teksti i problemit si dhe të dhënat tregojnë edhe radhën e veprimeve të problemeve të thjeshtë në të cilat ndahet problemi i dhënë. Le të shohim një problem të tillë:U blenë 3 lloje makaronash: 1,5 kg me 100 lekë kilogrami, 2 kg me 80 lekë kilogrami dhe 3 kg me 120 lekë kilogrami Sa lekë u harxhuan për këtë blerje?Siç duket menjëherë, vetë të dhënat e problemit tregojnë edhe rrugën për zgjidhjen e tij.

Probleme pa kusht të dhënëJanë problemet, zgjidhja e të cilëve rezulton e vështirë për nxënësit. Struktura e këtyre problemeve është e tillë që të dhënat numerike të domosdoshme për zgjidhjen e tyre janë të shpërndara. Madje mund të ndodhë që edhe të jenë pranë njëra-tjetrës të dhëna të tilla numerike, të cilat nuk kanë fare lidhje ndërmjet tyre. Herë-herë edhe varësia ndërmjet të dhënave dhe madhësive që kërkohen nuk del qartë dhe duhet të vendoset kjo varësi duke studiuar me kujdes të dhënat. Ja një problem i tillë.U blenë tri lloje ushqimesh. 1,75 kg. i ushqimit të parë, 5,75 kg. i ushqimit të dytë dhe 4,1 kg. i ushqimit të tretë. Çmimi i të parit ishte 85 lekë kilogrami, i të dytit 90 lekë kilogrami dhe i të tretit 70 lekë kilogrami. Sa lekë kushtuan këto ushqime? Vihet re se varësitë ndërmjet sasisë së blerë dhe çmimeve përkatës qëndrojnë “larg” njëra-tjetrës. Për të zgjidhur problemin fillimisht ato duhet “të afrohen”, në kuptimin që sasia e blerë “të lidhet” dukshëm me çmimin përkatës.

Zgjidhja e problemeve të përbërë zakonisht fillon nga zgjidhja e problemeve të thjeshtë, e më pas duke ndryshuar të dhënat, vështirësohen edhe kushtet.Meqë problemet pa kusht të dhënë janë më të vështirë se ato me kusht të dhënë, atëherë për zhvillimin e shprehive të zgjidhjes së tyre kërkohet një punë e vazhdueshme me nxënësit dhe zgjidhjes së tyre u duhet kushtuar vëmendje e veçantë.Pas përzgjedhjes së materialit të ri teorik duhet filluar nga zgjidhja e problemeve të thjeshtë, me përdorimin e teorisë së mësuar, e më pas të kalohet në zgjidhjen e problemeve më të ndërlikuar.Por, është gabim të mendohet se zgjidhja e problemeve të thjeshtë nuk krijon tek nxënësit asnjë vështirësi. Ato zgjidhen relativisht lehtë, kur kushti përmban një fakt krejtësisht të njohur për nxënësin, apo kur shpreh një marrëdhënie të qartë ndërmjet të dhënave dhe atyre që kërkohen. Por edhe ndërmjet problemeve të thjeshtë ka mjaft të tillë të cilët kërkojnë një mendim më të thelluar në gjetjen e varësisë ndërmjet madhësive të ndryshme. Ja disa shembuj të tillë:

1) Sa herë duhet të sharrojmë në mënyrë që një shtyllë druri ta ndajmë në 8 pjesë?2) Nëse nga një çantë me libra çojmë në çantën tjetër 10 libra, atëherë të dy çantat kanë të njëjtin numër librash. Sa libra ka më shumë çanta e parë nga e dyta?(Provoni ti zgjidhni këto probleme me nxënësit dhe do shihni se zgjidhja e tyre nuk është aq e lehtë!)

72 MATEMATIKA 7

Probleme të thjeshta duhet të zgjidhen gjatë përgatitjes për problemet më të vështirë (të integruar), pjesë të të cilëve ato janë. Zgjidhja e tyre duhet bërë me shumë kujdes, në mënyrë që të përcaktohen se cilat veprime duhen realizuar për përftimin e përgjigjes lidhur me pyetjen që kërkohet.Në kushtin e problemeve të përbërë, nëse mungon qoftë edhe një numër i domosdoshëm për zgjidhjen e tij, ai më parë duhet të gjendet. Nëse problemi përbëhet nga një sërë problemesh të thjeshtë, atëherë numra të tillë të panjohur janë disa. Ndarja e problemit në probleme më të thjeshtë, në një renditje të caktuar realizohet duke u bazuar në marrëdhëniet ndërmjet madhësive të dhëna dhe atyre që mund të gjenden në këtë vargëzim.

Puna e nxënësve gjatë zgjidhjes së problemeve ndahet në etapat e mëposhtme:• Perceptimi dhe zotërimi i ndërgjegjshëm i kushteve të problemit. (Të kuptuarit pa

mëdyshje se çfarë është dhënë e çfarë kërkohet).• Shqyrtimi i problemit dhe hartimi i planit të zgjidhjes.• Zgjidhja dhe prova e zgjidhjes.• Puna suplementare pas zgjidhjes së problemit: zgjidhja e problemit me mënyra të

tjera; shprehja e zgjidhjes me formula; hartimi i problemeve analoge me problemin e dhënë; hartimi dhe zgjidhja e problemeve të ngjashme me të dhëna të marra nga jeta e përditshme.

• Studimi i kushteve të problemit dhe hartimi i planit të zgjidhjesProcesi i gjetjes së varësisë ndërmjet të dhënave dhe atyre që kërkohen, cilat të dhëna janë direkte e cilat mund të gjenden janë etapa e parë e zgjidhjes së problemit (e ashtuquajtura analiza e kushteve).Analiza e kushteve të shpie në hartimin e planit të zgjidhjes, pas të cilit vjen zgjidhja, së bashku me shpjegimet përkatëse, e më pas prova e zgjidhjes.Studimi i kushteve fillon me një lexim të vëmendshëm dhe shpjegim të përmbajtjes konkrete të problemit dhe kërkesave të tij. Shpesh herë, nxënësi e ka të vështirë zgjidhjen e problemit, sepse nuk zbulon faktin real të përshkruar në kushtet e problemit; nganjëherë nuk kupton edhe terminologjinë e të dhënave të problemit. Shpjegimi i terminologjisë dhe koncepteve duhet të bëhet nga mësuesi, duke përdorur për këtë qëllim probleme të thjeshtë e konkretë.Shpjegimi i përmbajtjes së problemit, dhe varësisë ndërmjet madhësive të dhëna ndihmohet nga skema e përmbajtjes së problemit. Një skematizim i mirë shpesh herë tregon edhe planin e zgjidhjes së problemit. Le të tregojmë disa shembuj:

Problem: Një bidon me lëng frutash koston 2680 lekë. Ai është realizuar nga përzierja e 8 kg lëng molle, 7 kg lëng dardhe dhe 12 kg lëng pjeshke. Sa është kostoja e secilit lëng nëse dihet se 1 kg lëng molle kushton 10 lekë më pak se 1 kg lëng dardhe dhe 1 kg lëng dardhe kushton 5 lekë me pak se 1 kg lëng pjeshke.


I shkruajmë të dhënat e problemit sipas skemës së mëposhtme:

8 kg lëng molle.1 kg kushton 10 lekë më pak se 1 kg lëng dardhe.

7 kg lëng dardhe.1 kg kushton 5 lekë më pak se 1 kg lëng pjeshke.

kostoja e përgjithshme 2680 lekë.

12 kg lëng pjeshke

Sa është kostoja për kilogram e secilit lëng?Tashmë zgjidhja e problemit është më e thjeshtë:Po të shënojmë me x çmimin e 1 kg lëng molle del se (x+10) është çmimi i 1 kg lëng dardhe e (x+15) çmimi i 1 kg lëng pjeshke. Kemi:8x+7(x+10) +12(x+15)=2680 nga ku x=90 etj.

Skematizimin e kushteve të disa problemeve, mësuesi fillimisht duhet ta bëjë vetë, duke e shoqëruar atë me shpjegimet e duhura. Më pas, gradualisht duhet të synohet që këtë proces ta kryejnë vetë nxënësit.Një punë analoge mund të realizohet me anën e paraqitjes grafike të kushteve të problemit.

Problem: Një nxënës lexoi një libër prej 92 faqesh në tri ditë. Ditën e dytë ai lexoi 12 faqe më pak se ditën e parë dhe 20 faqe më pak se ditën e tretë. Sa faqe lexoi nxënësi çdo ditë?

Dita e dytëDita e dytë

Dita e parë

Dita e tretë

Zgjidhja e këtij problemi tashmë është fare e qartë. Duke shënuar me x numrin e faqeve që nxënësi lexoi në ditën e dytë, del se ditën e parë ai lexoi (x+12) faqe dhe ditën e tretë lexoi (x+20) faqe. Problemi sillet në zgjidhjen e ekuacionit:x+(x+12) + (x+20)=92 nga ku x=20 etj.

74 MATEMATIKA 7

Një etapë tjetër e studimit të kushteve të problemit është e lidhur me gjykime më të gjata, në themel të të cilave qëndrojnë proceset e ashtuquajtura analizë e sintezë. Si rrjedhojë e përdorimit të tyre, hartohet plani i zgjidhjes së problemit. Vëmë në dukje së në çdo rast të gjykimeve, gjatë zgjidhjes së problemeve, madje edhe vetë procesi i të menduarit, rrjedh e realizohet në rrugën analitiko-sintetike.Me të vërtetë, kur gjatë analizës, ne nisemi nga kërkesa e problemit dhe shtojmë të dhënat, këtë e bëjmë jo në mënyrë abstrakte, por duke u nisur nga kushtet e problemit, dhe përfytyrimet në përgjithësi për të, d.m.th., përdorim sintezën. Përkundrazi, duke filluar gjykimin nga sinteza, d.m.th., duke u nisur nga një ndërvarësi reciproke e të dhënave dhe duke shtuar në to pyetjen e dhënë, ne më pas kontrollojmë, nëse të çon apo jo kombinimi i zgjedhur në zgjidhjen e problemit.Le të shohim një shembull, se si përdoren analiza e sinteza për hartimin e planit të zgjidhjes së problemit.

Problem: Një fermer kishte dy ferma me lopë. Nga 56 lopët e fermës së parë ai mori 3,4 ton qumësht në vit për secilën lopë dhe nga 27 lopët e fermës së dytë mori 4,8 ton qumësht në vit për secilën lopë. Nga 2 ton qumësht nxirren 0,32 ton gjalpë. Sa gjalpë prodhoi fermeri në atë vit.

Gjykimin sintetik si dhe zgjidhjen përkatëse e realizojmë skematikisht:

Duke ditur Mund të gjejmë Me çfarë veprimi

Numrin e lopëve në fermën e parë dhe sasinë e gjalpit të marrë nga një lopë.

Sasinë e qumështit nga të gjitha lopët e fermës së parë.

3,4⋅56=190,4 ton.

Numrin e lopëve në fermën e dytë dhe sasinë e gjalpit të marrë nga një lopë.

Sasinë e qumështit nga të gjitha lopët e fermës së dytë.

4,8⋅27=129,6 ton.

Sasinë e qumështit nga ferma e parë dhe ferma e dytë.

Sasinë e përgjithshme të qumështit.

190,4+129,6=320 ton.

Sasinë e gjalpit të përftuar nga 2 ton qumësht.

Sasinë e gjalpit të përftuar nga 1 ton qumësht.

0,32:2=0,16 ton.

Sasinë e përgjithshme të qumështit dhe sasinë e gjalpit që nxirret nga 1 ton qumësht.

Sa gjalpë mund të merret nga i gjithë qumështi.

0,16⋅320=51,2 ton.


Siç vihet re nga kjo skemë, ne zgjodhëm çiftet e lidhur me njeri tjetrin, duke provuar çdo herë, nëse po i afrohemi apo jo gjetjes së kërkesës së problemit me anën e kombinacioneve të realizuar.Vëmë në dukje se përzgjedhja dhe zgjidhja e problemeve të thjeshtë në këtë rast ecën paralelisht.Por të dhënat e këtij problemi ne mund t’i kombinojmë edhe ndryshe, p.sh., duke gjetur se sa qumësht mori më shumë fermeri nga një lopë e fermës së dytë në krahasim me një lopë të fermës së parë. Një kombinim i tillë i të dhënave do të na jepte një të dhënë të saktë por jo të domosdoshme për zgjidhjen e problemit.

Ja tani edhe gjykimi në rrugë analitike për zgjidhjen e të njëjtit problem:

Për të ditur Duhet gjeturËshtë dhënë

Llogaritim

Zgjidhja dhe përgjigja për pyetjen e kolonës së parë.

Sa gjalpë mund të merret nga qumështi.

Sa gjalpë mund të merret nga 1 ton qumësht.Sa qumësht kishte fermeri.

0,16 ton.

320 ton.

0,16⋅32=51,2 ton

Sa gjalpë mund të merret nga 1 ton qumësht.

Sasia e gjalpit,sasia e qumështit, nga i cili nxirret gjalpi.

0,32 ton2 ton.

0,32:2=0,16 ton.

Sa qumësht mori fermeri.

Sa qumësht mori fermeri nga ferma e parë.Sa qumësht mori fermeri nga ferma e dytë.

190,4 ton.

129,6 ton.

1909,4+129,6=320 ton.

Sa qumësht merret nga ferma e parë.

Sasia e qumështit e marrë nga një lopë e fermës së parë.numri i lopëve.

3,4 ton.

56 lopë.

3,4⋅56=190,4 ton.

Sa qumësht merret nga ferma e dytë.

Sasia e qumështit e marrë nga një lopë e fermës së dytë.numri i lopëve.

4,8 ton..

27 lopë.

4,8⋅27=129,6 ton.

76 MATEMATIKA 7

Mënyra analitike e gjykimit u mëson nxënësve një vargëzim të hollësishëm të menduari dhe në një shkallë të lartë kushtëzon zhvillimin e të menduarit logjik të tyre më mirë se ajo sintetike. Kjo metodë duhet përdorur sa herë që mësuesi është i bindur, që plani i zgjidhjes së problemit nuk është i qartë për nxënësit. Në rastet kur vazhdimi i mënyrës së zgjidhjes është i qartë, kjo metodë mund të përdoret pjesërisht.Nga skemat e mësipërme vihet re një drejtim e i anasjellë i gjykimeve sintetik e analitik.Nëse zgjidhja e problemit formulohet sipas njërës prej skemave të mësipërme, atëherë mund të përfundohen dy etapa të zgjidhjes: studimi i kushteve dhe vetë zgjidhja së bashku me shpjegimet. Por në praktikë, gjatë zgjidhjes së problemeve nuk hartohen skema të tilla, sepse janë voluminoze. Shpesh herë gjykimet bëhen me gojë; madje analiza dhe sinteza në trajtë të pastër hasen rrallë. Për disa probleme, njëkohësisht me hartimin gojor të planit të zgjidhjes duhet kërkuar edhe shpjegimi me shkrim. Por në fund të fundit hartimi gojor i planit të zgjidhjes gjithmonë duhet t’i paraprijë atij me shkrim.

• Zgjidhja e problemeve me shpjegim. Prova e zgjidhjes së problemit

Zgjidhja me shpjegim përfshin në vetvete veprimet me numrat, si dhe shpjegimin përse zgjidhjet ky kombinim dhe përdoret pikërisht veprimi i dhënë.Shpjegimi i zgjidhjes së problemit mund të paraqitet në forma të ndryshme, ndërsa provën e zgjidhjes së problemit, apo të përgjigjes së përftuar mund ta bëjmë jo gjithmonë. E domosdoshme është që ajo t’u tregohet nxënësve se si duhet bërë.Një formë e provës së zgjidhjes konsiston në zgjidhjen e një problemi të ri, në të cilin një nga të dhënat merret si e panjohur, ndërsa e panjohura futet në kushtet e problemit. Problemi konsiderohet i zgjidhur saktë, kur përgjigja e problemit të ri përputhet me të dhënat e problemit fillestar.Shënojmë se meqë një punë e tillë është mjaft voluminoze, ajo përdoret rrallë në praktikë.Mënyra e dytë konsiston në verifikimin nëse përgjigja e marrë i kënaq kushtet e problemit. Gjatë provës së zgjidhjes së problemit, këshillohet që të përdoren ato varësi e kombinime ndërmjet të dhënave, të cilat gjatë zgjidhjes nuk mund të përdoren drejtpërdrejtë.Të japim disa shembuj zgjidhjesh me shpjegime.

Problemi 1 Dy kositës duke punuar së bashku e kositin një parcelë për 6 ditë. Kositësi i parë duke punuar vetëm e kosit të gjithë parcelën për 15 ditë. Për sa ditë e kosit parcelën kositësi i dytë nëse do të punojë i vetëm?

Analiza e kushteve: Në kushtin e problemit jepet numri i ditëve, që i duhet të dy kositësve për të kositur parcelën nëse do të punojnë së bashku, si dhe numri i ditëve që i duhet kositësit të parë për të përfunduar kositjen e të gjithë parcelës nëse do të punojë vetëm. Në mënyrë që të gjendet se sa kositin në një ditë të dy së bashku si dhe i pari vetëm, duhet ditur sipërfaqja e parcelës e cila nuk është e dhënë. E marrim atë një njësi. Atëherë duke ditur se sa kositin të dy kositësit si dhe vetëm i pari, mund të gjejmë se sa kosit


vetëm i dyti si dhe kohën e punës.Plani i zgjidhjes:

1) Gjejmë se ç’pjesë të parcelës kositin të dy kositësit në një ditë nëse punojnë së bashku: 2) Gjejmë se ç’pjesë të parcelës kosit i pari në një ditë duke punuar vetëm. 3) Gjejmë se ç’pjesë të parcelës kosit i dyti në një ditë duke punuar vetëm. 4) Gjejmë numrin e ditëve që do t’i duheshin të dytit për të kositur parcelën nëse do të punonte vetëm.

Zgjidhje:

Prova: I pari e kosit parcelën për 15 ditë, ndërsa i dyti për 10 ditë. Atëherë për një ditë i pari

kosit pjesë të parcelës, ndërsa i dyti pjesë të parcelës. Të dy së bashku në një ditë

kositin pjesë të parcelës ndërsa të gjithë parcelën e kositin në 661:1 =

ditë.

Problemi 2Një furrë buke blen miell nga tri firma të ndryshme. Në një vit nga firma e parë ajo blen 37% të sasisë së përgjithshme. Sasia e miellit që ajo merr nga firma e dytë qëndron tek

sasia e miellit që merr nga firma e tretë si .214:

541 Sa kv miell merr gjithsej furra nëse

dihet se nga firma e parë ajo merr 91,2 kv më shumë se sa nga firma e dytë.

Analiza e kushteve: Në kusht është dhënë numri 91,2 i cili shpreh një pjesë të sasisë së miellit. Nëse gjejmë se ç’përqindje të të gjithë sasisë së përgjithshme përbën ajo, atëherë mund ta gjejmë këtë të fundit. Rrjedhimisht, duhet që të dhënat e tjera ose ti shprehim në përqindje, ose në pjesë të sasisë.

Plani i zgjidhjes: Përcaktojmë se ç’përqindje të të gjithë sasisë merret nga firma e dytë dhe e tretë së bashku, e pastaj nga secila prej tyre veç e veç.Duke përcaktuar ndryshesën e sasisë së firmës së parë e të dytë në përqindje, në krahasim

78 MATEMATIKA 7

me sasinë e përgjithshme, ne gjejmë këtë të fundit.Zgjidhja.

100% marrim sasinë e përgjithshme. Sipas kushtit nga firma e parë merren 37% të kësaj sasie. Atëherë:100%-37%=63% merret nga firma e dytë dhe e tretë së bashku:

është raporti i sasisë së miellit ndërmjet firmës së dytë

e të tretë. Kjo përbën 63% të të gjithë sasisë e cila është 2 pjesë nga firma e parë e 5 pjesë nga firma e dytë, gjithsej 7 pjesë. Pra.(63%:7)⋅2=18% e sasisë së miellit merret nga firma e dytë dhe 37%-18%=19% e sasisë së miellit merret më shumë nga firma e parë se sa nga firma e dytë.Duke shënuar me x sasinë e përgjithshme të miellit kemi 19%⋅x = 91,2 nga ku gjejmë x = 91,2:0,19 = 480 kv është sasia e përgjithshme e miellit që merr furra për një vit

Prova: 1) 480⋅0,37=177,6 kv merret nga firma e parë.2) 177,6-91,2=86,4 kv merret nga firma e dytë.3) 177,6+86,4=264 kv merret nga firma e parë dhe e dytë së bashku.4) 480-264=216 kv merret nga firma e tretë.

5)

Problemi 3 Një firmë prodhoi 196 kuti konservash dy llojesh. Pesha e përgjithshme e tyre ishte 58,8 kg. Një kuti e llojit të parë peshonte 0,28 kg dhe një kuti e llojit të dytë peshonte 0,35 kg. Sa kuti prej secilit lloj prodhoi firma?Ky problem kërkon një metodë tjetër.

Zgjidhja me shpjegime:Supozojmë se firma do të prodhonte vetëm llojin e parë të konservës. Atëherë për të gjetur peshën e përgjithshme shumëzojmë sasinë (196) me peshën e një kutie (0,28 kg). Kemi:0,28⋅196=54,88 kg.Kjo peshë e supozuar është më e vogël se pesha e dhënë në kushtet e problemit. Gjejmë ndryshesën e peshave. Kemi:58,8-54,88=3,92 kg.Kjo ndryshesë erdhi si rrjedhojë e ndryshimit të kutive. Gjejmë ndryshimin në peshë të një kutie të llojit të dytë me llojin e parë. Kemi:0,35-0,28=0,07 kg.Në këtë mënyrë duke zëvendësuar një kuti të llojit të dytë me një kuti të llojit të parë ne e


pakësojmë peshën me 0,07 kg, ndërsa peshën e përgjithshme me 3,92 kg. Atëherë numri i kutive të llojit të dytë është:3,92:0,07=56 kuti.Numri i kutive të llojit të parë është 196-56=140.Ja edhe formula e zgjidhjes së këtij problemi:

kuti të llojit të dytë.

Problemi 4 Një nxënës, lexoi 68% të faqeve të librit. Pjesa e mbetur ishte 54 faqe më pak se ajo e

lexuar. e faqeve të librit ishin në poezi ndërsa pjesa tjetër në prozë. Sa faqe të librit

ishin në prozë?

Analiza e kushteve: Në mënyrë që t’i jepet përgjigje kërkesës së problemit duhet ditur numri i faqeve të librit. Në të dhënat jepet numri 54, që shpreh një pjesë të faqeve. Nëse gjejmë se ç’pjesë përbën ky numër, atëherë problemi zgjidhet lehtë. Pikërisht nga përcaktimi i kësaj pjesë do ta fillojmë zgjidhjen e problemit.

Zgjidhja me shpjegim: Sipas kushteve të problemit numrin e faqeve të librit e marrim 100%.Sa përqind e faqeve nuk u lexua? 100%-68%=32%.Sa është ndryshimi në përqindje ndërmjet pjesës së lexuar dhe asaj të palexuar?68%-32%=36% e cila është e barabartë me 54 faqe.Sa është numri i faqeve të librit?54:0,36=150 faqe.Ç’pjesë e librit është në prozë?

Sa faqe të librit janë në prozë?

Nga shembujt e mësipërm vihet re se gjykimet në zgjidhjen e tyre mund të paraqiten në mënyra të ndryshme e pikërisht:Shpjegimi i zgjidhjes shoqërohet me realizimin e veprimeve (problemi 3)Shpjegimi i zgjidhjes realizohet në trajtën e pyetjeve paraprake apo shpjegimin para realizimit të veprimeve (problemi 4).Shpjegimi i zgjidhjes përshkruhet në trajtën e sqarimit të kuptimit apo rezultatit të

80 MATEMATIKA 7

veprimit të realizuar (problemi 2).Shpjegimit i paraprin plani i zgjidhjes, i cili tregon radhën e veprimeve. (problemi 1).Shpjegimi i plotë e i hollësishëm pas zgjidhjes në përgjithësi nuk përdoret. Në procesin e zgjidhjes së problemit në klasë është e domosdoshme t’u tregohen nxënësve mënyrat e ndryshme të shpjegimeve dhe t’u mësohen se si të realizohen ato. Gjatë zgjidhjes së pavarur të problemit prej nxënësve nuk duhen kërkuar nga ato ndonjë formë të detyrueshme të shkruari: më mirë, ato ta zgjedhin vetë këtë apo atë variant të shkruari. Një metodë e tillë i mëson nxënësit për të shtjelluar lirshëm mendimet e veta!Në mësim, gjatë zgjidhjes së problemeve, nxënësit në shumicën e rasteve formulojnë me gojë pyetjet për realizimin e veprimeve. Pas formulimit me gojë e diskutimit kolektivisht, mund të fillojë zgjidhja me koment. Gjatë zgjidhjes së problemeve që kërkojnë metoda të reja, si dhe në testimet me shkrim apo detyrat e shtëpisë, nxënësit duhet të japin shpjegime gjatë zgjidhjes.Në klasat e ulta gjatë zgjidhjes së problemit, nxënësit duhet të mësohen të realizojnë veprimet me numrat abstraktë, ndërsa emërtimi konkret të jepet vetëm në përfundim. Kjo e parapërgatit nxënësin edhe për zgjidhjen e mëvonshme në algjebër.Është e domosdoshme që të mësohen nxënësit për të shkruar zgjidhjet e problemeve në trajtën e formulave numerike. Njohja e tyre me formulat shërben si parapërgatitje për studimin e algjebrës, e i ndihmon ata për të përvetësuar radhën dhe vetitë e veprimeve. Atyre u duhet shpjeguar që duke përdorur formulën, mund të gjendet një rrugë më e shkurtër për zgjidhjen e problemit.

Problem: Nga dy qytete me largesë 1620 km nga njeri tjetri, nisen njëkohësisht drejt njeri tjerit dy trena që takohen pas 18 orësh. Sa është shpejtësia e trenit të dytë, nëse shpejtësia e trenit të parë është 50 km në orë.Nxënësit zakonisht veprojnë si më poshtë:

1. 50⋅18=900 km.2. 1620-900=720 km. 3. 720:18=40 km në orë.

Formula e zgjidhjes: (1620-50⋅18):18=40 km. në orë.Kjo formulë mund të thjeshtohet, duke përdorur vetinë shpërndarëse të pjesëtimit.(1620-50⋅18):18=1620:18-50⋅18:18=1620:18-50 Në këtë mënyrë përftojmë mënyrën e mëposhtme të zgjidhjes:

1. 1620:18=90 km në orë është shuma e shpejtësive të të dy trenave.2. 90-50=40 km në orë është shpejtësia e trenit të dytë.

• Zgjidhja e problemeve me hartim ekuacionesh.Lidhur me zgjidhjen e problemeve duke hartuar ekuacionet përkatëse nxënësit janë njohur shumë më herët se sa të fillojnë studimin sistematik të ekuacioneve dhe zgjidhjen e problemeve me anën e tyre. Nga puna paraprake në klasat e ulëta, ku nxënësit kanë zgjidhur probleme relativisht të thjeshtë për hartimin e ekuacioneve, ato dinë, që në këtë rast duhet që njërën madhësi, (zakonisht atë që kërkohet), ta shënojnë me një shkronjë. Të


panjohurat e tjera t’i shprehin me anën e kësaj shkronje dhe të formojnë një ekuacion, në përputhje me kushtet e problemit. Ky proces realizohet kur varësia ndërmjet të dhënave dhe atyre që kërkohen, është e shprehur qartë dhe veç kësaj kur vetë varësia nuk është e ndërlikuar.Në problema më të vështirë, kjo varësi zakonisht shprehet jo aq qartë, prandaj është më e vështirë shprehja e saj me anën e ekuacioneve.Njihen mjaft përpjekje të metodistëve të ndryshëm për të dhënë një rregull të përgjithshëm për hartimin e ekuacioneve. Por nga përvoja dihet, që aftësitë e nxënësve për të zgjidhur problemin e hartimit të ekuacioneve nuk udhëhiqet nga ndonjë rregull i përgjithshëm. Vetë mësuesit me përvojën e tyre i udhëheqin e drejtojnë nxënësit. Rekomandimi ynë i vetëm lidhur me këtë, do të ishte trajnimi paraprak i mësuesve në hartimin e ekuacioneve duke u bazuar në kushtet e problemit.Nëse nxënësit aftësohen për të shprehur varësitë ndërmjet madhësive me ndihmën e formulave dhe zgjidhjen e problemeve, ata do të orientohen shpejt në hartimin e ekuacioneve.Ushtrimet e vazhdueshme lidhur me zgjidhjen e problemeve duke filluar nga klasat e ulëta dhe duke i vështirësuar ato në përputhje me kapitujt përkatës së lëndës i ndihmojnë mjaft nxënësit në këtë drejtim.Nxënësve mund t’u edukohet vargëzimi i mëposhtëm në zgjidhjen e problemeve dhe në gjetjen e zgjidhjes.

1. Zgjedhja e të panjohurës dhe shënimi i saj me një shkronjë.2. Shprehja e të panjohurave të tjera me ndihmën e kësaj shkronje.3. Hartimi i ekuacionit që shpreh varësinë ndërmjet madhësive të problemit.4. Zgjidhja e ekuacionit.5. Dhënia e përgjigjes për pyetjen e problemit.6. Prova e zgjidhjes së përftuar dhe përgjigja lidhur me kushtet e problemit.

Le të shohim disa shembuj lidhur me këto.

Problemi 1Për të realizuar një porosi një tornitor duhet të prodhonte 60 detale në çdo ditë. Por ai prodhoi çdo ditë 78 detale dhe jo vetëm që i përfundoi ato 2 ditë para parashikimit, por prodhoi edhe 6 detale më shumë. Sa detale prodhoi tornitori?

Zgjidhja:Shënojmë: x numri i ditëve që i duheshin tornitorit për të realizuar porosinë. Atëherë:Numri i detaleve të porositur është 60x.Numri i detaleve të prodhuar në fakt 78(x-2)

Hartimi dhe zgjidhja e ekuacionit:Meqë sipas kushtit tornitori prodhoi 6 detale më shumë se porosia ekuacioni është:60x+6=78(x-2)⇒60x+6=78x-156→18x=162⇒x=9

Përgjigja: Tornitori prodhoi 78(x-2)=78⋅7=546 detale.

82 MATEMATIKA 7

Prova: Meqë porosia duhej kryer për 9 ditë, tornitori duhet të prodhonte 60⋅9=540 detale. Në fakt ai prodhoi 546 pra 6 detale më shumë, gjë që plotëson kushtet e problemit. Kjo tregon se problemi është zgjidhur saktë.

Problemi 2 Nga qyteti A niset drejt qytetit B një tren me shpejtësi 40 km në orë. Pas 8 orësh nga qyteti B drejt qytetit A niset një tren i dytë me shpejtësi 60 km në orë. Largesa ndërmjet qyteteve A dhe B është 700 km. Në ç’largësi nga qyteti A do të takohen të dy trenat?

Zgjidhja:Largesën nga qyteti A deri në vendin e takimit e shënojmë me x. Atëherë:

Koha e lëvizjes së trenit të parë është orë.

Rruga e përshkuar nga treni i dytë është (700-x) km.

Koha e lëvizjes së trenit të dytë është orë.

Madhësitë që krahasohen janë: 700 dhe40 60x x−

Ekuacioni:

Zgjidhja e ekuacionit:3x-2(700-x)=960⇒3x-1400+2x=960⇒5x=2360⇒x=472 km.

Përgjigje. Trenat takohen 472 km. larg qytetit A.

Prova e zgjidhjes:

Largesa prej 472 km nga treni i parë kryhet për orë. Sipas kushtit të problemit,

treni i dytë ka ecur vetëm orë dhe ka kryer rrugën prej 460 3 228 km

5⋅ = ,

e cila sipas kushtit përbën ndryshesën (700-472). Kjo ndryshesë me të vërtetë është 228, gjë që tregon se problemi është zgjidhur saktë.

Problemi 3 Një amvisë me 1140 lekë bleu lugë e pirunë. Pirunë bleu 4 më shumë se lugë. Sa lugë e sa pirunë bleu amvisa nëse çmimi i një luge është 60 lekë dhe i një piruni është 40 lekë.


Zgjidhja:Shënojmë me x numrin e lugëve që bleu amvisa. Atëherë(x+4) është numri i pirunëve.60 x është kostoja e lugëve40(x+4) është kostoja e pirunëve.

Ekuacioni:60x+40(x+4) =1140⇒60x+40x+160=1140⇒100x=980⇒x=9,8

Prova:x shpreh numrin e lugëve që bleu amvisa, i cili duhet të jetë i plotë. Rrjedhimisht vlera e gjetur për x nuk plotëson kushtet e problemit, prandaj problemi i mësipërm nuk ka zgjidhje

Problemi 4 Një numri të panjohur i shtojmë 6 dhe shumën e gjetur e pjesëtojmë me 3. Ndryshesa ndërmjet herësit të gjetur dhe numrit të panjohur është e barabartë me ndryshesën e

numrit 2 me 32

e atij numri. Të gjendet ky numër.

Zgjidhja:

Shënojmë me x numrin e panjohur.

Herësi i pjesëtimit me 3 të shumës së tij me numrin 6 është 3

6+x.

Ndryshesa e numrit 2 me x32

është x322 −

Krahasojmë herësin 3

6+xme numrin e kërkuar x.

Ekuacioni:

xxx322

36

−=−+

Zgjidhja e ekuacionit:x+6-3x=6-2x⇒6-2x=6-2xU përftua një identitet, që tregon se x mund të jetë cilido numër.

Prova:

Herësi është 3

23

6 xx+=

+ . Ndryshesa ndërmjet këtij herësi dhe numrit x është

84 MATEMATIKA 7

xxx322

32 −=−+ në çdo rast, d.m.th., për çdo vlerë të x, pavarësisht nga të dhënat e

tjera të problemit.

Ekziston një pikëpamje, që prova, bazuar në kushtin e problemit paraqet një problem të ri, në të cilin ajo që kërkohet në problemin fillestar, bëhet e dhënë, ndërsa një nga të dhënat kërkohet që të gjendet. Nëse gjatë zgjidhjes së problemit të ri, zgjidhja përputhet me numrin e dhënë më parë, kjo flet për vërtetësinë e zgjidhjes së gjetur të problemit fillestar.Nëse nisemi nga një pikëpamje e tillë, rezulton që shpesh here, prova është voluminoze. Ne rekomandojmë që prova t’i lihet një gjykimi të lirë, ashtu siç është mësuar më parë në aritmetikë.Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë, përse duhet të bëhet prova e zgjidhjes, vetëm duke u bazuar në kushtet e problemit e jo në zgjidhjen e ekuacionit. Ndodh kështu sepse mundet të formohet një ekuacion jo i saktë, por ai të zgjidhjet saktë dhe duke u bazuar në këtë zgjidhje nuk mund të konkludohet që problemi është zgjidhur saktë. Nga ana tjetër mundet, që edhe ekuacioni të jetë shtruar saktë edhe të jetë zgjidhur saktë, por zgjidhja e gjetur mund të mos ketë kuptim për një problem konkret. (p.sh., numri i nxënësve të klasës del thyesë apo numër negativ etj.

Është e udhës që gjatë hartimit të ekuacioneve sipas kushteve të problemit të përdoren shënime skematike. Ato nga njëra anë, ndihmojnë për të shpjeguar varësitë funksionale ndërmjet madhësive dhe nga ana tjetër ekonomizojnë kohën.Gjatë zgjidhjes së problemeve, secila nga madhësitë e panjohura mund të merret si themelore dhe nëpërmjet saj të shprehen madhësitë e tjera të panjohura. Zgjedhjen e të panjohurës, e cila konsiderohet themelore dhe shënohet me një shkronjë, u rekomandohet nxënësve ta gjejnë vetë. Në këtë rast zgjedhje të ndryshme çojnë në ekuacione të ndryshme, ndërsa përgjigja është e njejtë. Le ta ilustrojmë këtë situatë me një shëmbull.

Problem:Një nxënës, me 140 lekë bleu një stilolaps, një bllok e një fletore. Blloku kushtoi 5 lekë më pak se stilolapsi ndërsa fletorja katër herë, më pak se blloku. Sa ishte kostoja e secilit artikull?

Zgjidhja e parë:Shënojmë me x çmimin e stilolapsit. Atëherë

(x-5) është çmimi i bllokut dhe 4

5−xështë çmimi i fletores.

Ekuacioni:

x=65; x-5=60; (x-5):4=15


Zgjidhja e dytë:Shënojmë me x çmimin e bllokut. Atëherë

x+5 është çmimi i stilolapsit dhe 4x

është çmimi i fletores

Ekuacioni:

x=60; x+5=65; x:4=15

Zgjidhja e tretë:Shënojmë me x çmimin e fletores. Atëherë4x është çmimi i bllokut dhe 4x+5 është çmimi i stilolapsit.

Ekuacioni:x+4x+4x+5=140⇒9x=135⇒x=15x=15; 4x=60; 4x+5=65

Përgjigje:Çmimi i fletores 15 lekëÇmimi i bllokut 60 lekë Çmimi i stilolapsit 65 lekë.

Një punë e tillë është mjaft e vlefshme. Por duhet patur parasysh, që në varësi të zgjedhjes së të panjohurës bazë, mund të përftohen ekuacione me shkallë të ndryshme vështirësie. Prandaj, duke u lënë nxënësve të drejtën e zgjedhjes së të panjohurës duhet të kujdesemi për të shpjeguar se në cilin rast zgjedhja është më komode.

Shtrohet pyetja: Është më mirë të zgjidhen tri probleme të ndryshme, apo një problem me tri mënyra të ndryshme. Në preferojmë këtë të fundit. Ju a keni mendim tjetër?

86 MATEMATIKA 7

III.8. Puna mbi projektet kurrikulare

Projekti kurrikular është një përpjekje për t’i dhënë zgjidhje një situate për të cilën nxënësit nuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për të cilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxëna shkollore e më tej.Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht në sistemimin e informacioneve të qëmtuara në tekstin shkollor e në burime të tjera; ai përmban edhe punë origjinale, ku shfaqet qëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projekti kurrikular është zbatimi i informacioneve, por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja apo arritja e ndryshimeve përmirësuese. Projekti kurrikular mund të jetë të paktën tre llojesh.Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secili nxënës gjatë disa viteve të shkollimit (kl.VI-kl.IX) duhet të marrë pjesë në projekte të tilla .Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnë planit mësimor të mësuesit dhe llogariten në ngarkesën totale të tij në orë mësimore.

Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndor ose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund t’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet në disa fusha.

Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë, javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brenda një viti shkollor. Projekti kurrikular mund të merret përsipër nga një ose disa mësues.Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikular si një metodë pune për të shtjelluar njohuritë e reja ose për përpunimin e njohurive.

Tema e një projekti kurrikular përzgjidhet nëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve me nxënësit. Mirë është që të ketë propozime nga nxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesi duhet të ketë një fond temash, ndër të cilat u lihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjen e temave është mirë që të përfshihen edhe prindërit.Në projektin kurrikular mësuesi është në rolin e lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ai nuk duhet të jetë anëtar apo kryetar i grupit të nxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve se çfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione e përgjigje të gatshme.Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se përgjegjësia për suksesin e projektit kurrikularu takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojë pranë për çfarëdo pyetje apo shqetësim.Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimit në këtë veprimtari shkon sipas një kurbe zbritëse.Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojë nxënësit gjatë punës së tyre, të vërë paprerë në dukje anët pozitive që vëren. Nga mësuesi për realizimin e projektit kurrikular kërkohet që:- Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular;- Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit;- Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara;- Të vlerësojë nxënësit.


Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesi

Formati tip për një plan të tillë ka këto zëra:- Titulli i projektit;- Objektivat e projektit;- Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen apo rimerren;- Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse;- Partnerët në projekt (prindër, OJF etj);- Numri i nxënësve apo i klasave që përfshihen në projekt;- Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore (me hapat kryesore, afatet e personat përgjegjës);- Burimet kryesore të informacionit;- Përshkrimi i produktit të projektit;- Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit;- Mënyra e vlerësimit të nxënësve.Në ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikular Një nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin e informacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekë shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar apo vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edhe informacionet e gjalla-bisedat.Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketë të qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit.

Vlerësimi i nxënësve në projektin kurrikularBëhet duke patur parasysh këto elementë:- plani i paraqitur;- zbatimi i planit;- menaxhimi i informacionit;- etika e punës në grup;- kontributi në raportin përfundimtar;- prezantimi i punës së kryer.Mënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë me peshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%).Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolit të nxënësit.

Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohuriveProjektet kurrikulare mund të përdoren për përsëritjen (e integruar) të njohurive të një apo disa kapitujve. Por, në projektin kurrikular nuk ka objektiva për përvetësimin e njohurive të reja; në të ka objektiva vetëm për përforcimin e njohurive të mësuara më parë.

88 MATEMATIKA 7

Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për të zgjidhur një situatë problemore, transferimi i njohurive të një lënde për të zgjidhur probleme të një lënde tjetër, e sidomos në situata reale, i stërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptet e metodat kryesore të lëndës.Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin e kërkimit të informacioneve, të hasen edhe me njohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por atyre nuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuri që nuk përmbahen në program dhe sidomos nuk duhet të vlerësohen me notë për to.

Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesit

Projekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por mësuesi nuk është i detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular qysh në fillim të vitit shkollor.Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët e tjera lëndore d.m.th., me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit.Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për:- të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave);- të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin;- prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit;- përgatitje për përfundimin e projektit.Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin, nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnë pyetje për mësuesin etj.Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës.

Shembull projekti kurrikularLënda Matematikë Klasa VIITitulli : ”Sistemet e ndryshme të numërimit”Sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor 6Koha : 2 muaj (1 shkurt-31 mars)

Objektivat:

1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të shkruajnë dhe të lexojnë numra deri 6- shifrorë në sistemin dhjetor dhe t’i përdorin në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore.2. 80% e nxënësve të të jenë të aftë të zbërthejnë numra deri 3-shifrorë sipas fuqive të dhjetës 3. 75% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të shkruajnë një numër 1-2 shifror duke përdorur shifrat romake.4. 50% e nxënësve të klasës të jenë të jenë të aftë të shkruajnë një numër 1-2 shifror në sistemin me bazë 2.


Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren

1. Shkrimi dhe leximi i numrave shumëshifrorë në sistemin dhjetor. Rendet dhe klasat. Vendvlera.2. Zbërthimi i numrit sipas fuqive të bazës(10) në sistemin dhjetor.3. Shifrat romake4. Sistemi me bazë 2

Kontributet e mësuesve bashkëpunues1. Mësuesi i historisë (2 orë)- Evidentimi i rasteve të përdorimit të shifrave romake për paraqitjen e kohës në klasat VI-IX2. Mësuesi i TIK (1 orë)- Roli i sistemit me bazë dy në paraqitjen e informacionit

Partnerë në projektPrindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla si informaticienë, historianë, inxhinierë, teknikë, arkitektë etj.

Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës.

Veprimtaritë kryesore

Nr Veprimtaria Afati Përgjegjësi

1 Hartimi i një liste paraprake njohurish të njohura (nga të gjitha fushat). Java I Mësuesit

2 Hartimi i një liste paraprake burimesh informacioni (të të gjitha llojeve). Java I Mësuesi me

nxënësit

3 Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin nxënës. Java I Mësuesi

4 Përdorimi nga nxënësit i literaturës mësimore të rekomanduar. Java II Secili nxënës

5 Takime për hapje horizonti me mësuesit e lëndëve të tjera. Java II Mësuesit

6 Kërkim në burime të tjera informacioni. Java III Secili nxënës

7 Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore. Java III Secili nxënës

8Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, me evidentimin e mangësive dhe të rrugëve për plotësim.

Java III Mësuesi dhe nxënësit

90 MATEMATIKA 7

9 Hartimi i draftit përfundimtar individual nga secili nxënës. Java IV Secili nxënës

10 Puna për hartimin e draftit përfundimtar përmbledhës me gjetjet kryesore. Java V Mësuesi me

nxënësit

11 Dorëzimi produktit përfundimtar (raportit) si edhe i portofoleve të secilit nxënës. Java VI Nxënësit

12 Prezantimi i raportit. Java VI2-3 nxënës të përzgjedhur nga klasa

Burimet kryesore të informacionit

1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 5, 6, 7).2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 6, 7, 8, 9).3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme.4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale.5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj).6. Përdorim CD të posaçme.

Produkti i pritshëm i projektitRaport i argumentuar ku të përshkruhen gjetjet kryesore me të cilat nxënësit e kësaj moshe hasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore. Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor1. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, së bashku me literaturën e rekomanduar mësimore.2. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore.3. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit.4. Diskutim në klasë për arritjet e mëtejshme.5. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar.6. Prezantimi i raportit

Mënyra e vlerësimit të nxënësveBëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura, duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulës

ku kn është nota e klasës si grup

in është nota e nxënësit si individ


III.9. Qëndrimi ndaj matematikës

• Për një qëndrim pozitiv dhe përfshirës ndaj orës së mësimit të matematikës

Ora e mësimit është njësia më e vogël kohore e procesit mësimor. Organizimi e menaxhimi i saj kanë ndikim të drejtpërdrejtë në procesin mësimor. Të nxënit është i lidhur me qëndrimin e nxënësit ndaj lëndës që fillon që nga qëndrimi i tij ndaj orës së mësimit. Në mësimin e matematikës kjo e fundit është e pandarë nga veprimtaritë që bëhen në klasë. Mësuesit përpiqen që nxënësit të kenë një qëndrim pozitiv ndaj orës së matematikës, e të ndjejnë kënaqësi. Kjo e lehtëson mjaft punën dhe bashkëpunimin mes mësuesit dhe nxënësve. Duke e parë problemin në këtë këndvështrim, po përmendim disa faktorë që ndikojnë pozitivisht: Së pari, siç përmendëm më sipër, kënaqësia që fitohet nga zgjidhja e problemave; Së dyti, do të ishte mjedisi i krijuar, sepse një mjedis me nxënës dashamirës ndaj matematikës, ndikon pozitivisht ndaj kujtdo që bëhet pjesë e atij mjedisi;Së treti, vlen të përmendim edhe veprimtaritë, të cilat bazohen në mendimin e pavarur dhe zgjedhjen e lirë në të cilat, nga përvojat, është vënë re që nxënësit kënaqen dhe përfshihen tërësisht;Së katërti, sensi i humorit të mësuesit është një tjetër faktor që e bën mësimin të këndshëm dhe që nuk mund të lihet pa u përmendur. Nga përvojat e mësuesve dhe nga biseda të ndryshme të bëra me nxënës po theksojmë disa sugjerime për mësuesit e matematikës:

• Përpiquni të bëni diçka të re në orën e mësimit; • Përdorni lojën si mjet didaktik; • I vini nxënësit të bëjnë veprimtari praktike në funksion të konceptit përkatës; • Zbatoni metodën e vrojtimit për të arritur në përfundimet që doni; • Përdorni shpesh punën në grupe, sepse nxënësit gjejnë kënaqësi duke dëgjuar

mendimet e idetë e njëri-tjetrit;• U ofroni nxënësve zgjidhje të fjalëkryqeve, rebuseve gjithnjë në funksion të

objektivit mësimor; • Përdorni garën ndërmjet grupeve si formë nxitëse dhe zbavitëse; • Gjatë seancave me zgjidhje problemash, diskutoni me nxënësit, ose i vini nxënësit

të diskutojnë ndërmjet tyre për zgjidhjet e propozuara. Secili mësues, gjatë përdorimit të sugjerimeve të mësipërme, sjell individualitetin e tij si në zgjedhjen që bën, ashtu edhe në mënyrën se si i zbaton ato në orën e mësimit.Duhet të synohet që qëndrimi pozitiv ndaj një ore mësimi të matematikës të mos mbetet një dukuri e veçuar. Duke e shpërndarë atë edhe në orë të tjera, inkurajojmë dashamirësinë ndaj lëndës së matematikës në tërësi.

92 MATEMATIKA 7

• Jo vetëm kënaqësi, por edhe interes

Në çështjen e mësipërme trajtuam kënaqësinë që mund të ndjejë nxënësi në orën e matematikës dhe, në përgjithësi, duke nxënë matematikën. Megjithatë, ndërsa kënaqësia është e rëndësishme, akoma më e rëndësishme është të inkurajohet interesi për matematikën. Në një orë matematike, nxënësi mund të ndjejë kënaqësi nga ndonjë prej arsyeve të mësipërme, por mund të ndodhë që kjo të jetë e përkohshme. Ajo për të cilën duhet të përpiqemi, si mësues, është që nxënësi të merret me dëshirë me matematikën, për të arritur qëllimin që i ka vënë vetes. Mjetet dhe mënyrat për të arritur këtë qëllim janë një sintezë e atyre të përmendura në çështjet e mësipërme.

• Nxënësi mund të vetë nxitet duke u ndërgjegjësuar për ecurinë e tij

Çdo njeri duhet të jetë i përgjegjshëm për veten e tij. Shkolla duhet të luajë rolin e saj në këtë drejtim. Në veçanti mësuesi i matematikës, nëpërmjet procesit mësimor, duhet të synojë të ndërgjegjësojë nxënësit që të kuptojnë ecurinë tyre në matematikë. Disa sugjerime për këtë qëllim do të ishin:

• U jepni paraprakisht përgjigjen e detyrës, në mënyrë që ata të kenë mundësi të kontrollojnë veten;

• Lërini, madje inkurajoni nxënësit të konsultohen me shokun; • Aplikoni lojërat me shumë pjesëmarrës, sepse nëse veprimet e secilit do të jenë të

varura nga ato të të tjerëve, rritet shkalla e ndërgjegjësimit;• Jepni detyra, në të cilat kuptohet lehtë nëse përgjigja është e gabuar, si p.sh.,

fjalëkryqet;• I vini nxënësit të hartojnë problema dhe tua japin shokëve për zgjidhje.

• Të njohin dobinë e matematikës për të kuptuar botën që na rrethon

Të njihesh me zbatimet e matematikës në botën që na rrethon është e rëndësishme, jo vetëm për të kuptuar dukuri të ndryshme të saj, por edhe për të pranuar faktin që matematika i shërben një qëllimi të caktuar. Për të njohur nxënësit me zbatimet e matematikës mund të përdoren një sërë mënyrash, si p.sh., të përshkruhen zbatimet e temës, e cila po trajtohet teorikisht; t’u jepen nxënësve detyra praktike me karakter zbatues, të bisedohet me nxënësit rreth programeve të ndryshme televizive që përdorin zbatimet matematike.

• Kënaqësia estetike

Shpesh matematikanët, kur diskutojnë ndërmjet tyre, përmendin kënaqësinë estetike që u jep matematika. Është një cilësi e matematikës që nuk mbetet privilegj vetëm i matematikanëve, por mund të futet edhe në mendjet e nxënësve nëpërmjet një trajtimi adekuat të matematikës shkollore. Kënaqësi estetike jep një rezultat i papritur. P.sh., pas gjetjes në planin koordinativ të pikave që u korrespondojnë disa çifteve të numrave,


bashkimi i tyre herë formon vijë të drejtë, herë të lakuar e herë figura të ndryshme në trajtë të rregullt ose jo, por të paparashikuara nga nxënësit. Ata mezi presin ta kryejnë detyrën deri në fund. Ndërtimi i figurave gjeometrike, i modeleve pas zbulimit të ligjësive, konstruktimi i trupave gjeometrikë, ndërtimet stereometrike janë detyra që nxënësi i kryen me dëshirë dhe që e kënaqin atë estetikisht. Se çfarë mendon nxënësi për një lëndë është faktor tepër i rëndësishëm në përvetësimin e lëndës. Nëse nxënësi e pëlqen matematikën, ai do ta mësojë atë dhe nuk do t’i duket e vështirë. Pra, ta bëjmë të tillë! Në këndvështrimin e një qëndrimi standard ndaj matematikës, është e dëshirueshme që ne të përpiqemi që nxënësi të zotërojë një qëndrim dashamirës ndaj matematikës, e jo vetëm ndaj mësuesit. Vërtet mësuesi, si mësimdhënës apo si person mund ta afektojë një nxënës në mënyrë të favorshme. Nga kjo gjë ka kryesisht pasoja pozitive për trinomin: matematikë, mësues, nxënës. I vetmi rrezik qëndron në faktin që nxënësi mund të jetë i motivuar vetëm sepse i pëlqen mësuesi dhe standardi i tij i punës. Kështu, ai mund të bjerë me shpejtësi, nëse e ndërron mësuesin që i pëlqen me një mësues që nuk i pëlqen.Së fundi, nuk do të ishte e tepërt të kërkonim edhe përmirësimin e qëndrimit të vetë mësuesit ndaj lëndës së matematikës, sepse ai është një model që nxënësi përpiqet ta imitojë. Entuziazmi i mësuesit për lëndën, kënaqësia e tij për t’u marrë me të (që reflektohet në arritje të larta si mësimdhënës), vlerësimi që ai i bën vlerave utilitare të matematikës, kanë impakte pozitive edhe në qëndrimin e nxënësit ndaj matematikës e jo vetëm si lëndë shkollore.

94 MATEMATIKA 7

III.10. Aftësitë ndërkurrikulare

Aftësitë, siç dihet, hyjnë në punë për përballimin e situatave për të cilat nuk mjafton thjeshtë kujtesa e njohurive. Ato mund të jenë:- ndërkurrikulare (përvetësohen e zbatohen në të gjithë kurrikulën);- ndërfushash të nxëni;- lëndore.

3.10.1 Aftësia e komunikimit

Me komunikim do të kuptojmë marrjen dhe dhënien e informacionit, të imazheve, të ideve si edhe transmetimin e ndjenjave.Në çdo lëndë nxënësit ushtrohen të komunikojnë. Sipas natyrës së lëndës nxënësit komunikojnë:- me shkrim të zakonshëm;- me simbole (shkencore, muzikore etj.);- me anë të figurave apo të lëvizjeve;- me gjuhën e folur.Dikur komunikimi (në gjuhën shqipe) konsiderohej si ekskluzivitet i mësuesit të gjuhë-letërsisë. Sot, çdo mësues është njëkohësisht mësues i një lënde dhe mësues i komunikimit. Vetëm me përpjekjet e vazhdueshme dhe të sistemuara të të gjithë mësuesve e gjatë gjithë viteve të shkollimit është e mundur të zhvillohet tek nxënësit një kulturë e shëndoshë komunikimi.Prandaj, secili mësues duhet të mbajë parasysh gjatë vlerësimit me notë edhe drejtshkrimin, drejtshqiptimin, pasurinë e fjalorit e pastërtinë e tij si edhe strukturimin e fjalive.Në secilën lëndë, pra edhe në matematikë, mësuesi duhet t’i japë çdo nxënësi mundësinë që të bëhet i aftë për të komunikuar qartë, saktë e kuptueshëm.

Çdo mësues, krahas synimeve lëndore, duhet të ketë edhe synimet e mëposhtme, që i takojnë komunikimit në gjuhën shqipe:

Të foluritSecili nxënës të bëhet i aftë që tu transmetojë me gojë të tjerëve informacione, ide, ndjenja e figura në mënyrë të saktë, duke përdorur:- një fjalor gjithnjë e më të pasur;- mënyrën më të përshtatshme për dëgjues të caktuar e për një situatë të caktuar.

Të dëgjuaritSecili nxënës të bëhet i aftë që:


- të jetë dëgjues i vëmendshëm;- të veçojë qartë pasaktësitë që dalin nga parashtrimet e të tjerëve;- të bëjë pyetje adresuar folësve për paqartësitë e veta;- të bëjë komente rreth parashtrimeve të të tjerëve.

Të lexuaritSecili nxënës të bëhet i aftë që:- të lexojë me shpejtësinë e mjaftueshme për të kuptuar një tekst;- të veçojë qartë moskuptimet që i dalin gjatë leximit;- të përdorë strategji të larmishme dhe të përshtatshme për të kuptuar, përdorur dhe reflektuar mbi një tekst të shkruar.

Të shkruaritSecili nxënës të bëhet i aftë që t’u transmetojë me shkrim të tjerëve informacione, ide, ndjenja dhe figura në mënyrë të saktë, të qartë, të plotë, të mirëstrukturuar dhe bindëse, duke përdorur:- një fjalor gjithnjë e më të pasur;- një larmi mënyrash të parashtrimeve me shkrim;- mënyrën më të përshtatshme të komunikimit me shkrim (për lexues të caktuar e në situatë të caktuar).Mësuesit duhet që të jenë që të gjithë të trajnuar për prezantimet me shkrim dhe me gojë.

3.10.2. Aftësia e përdorimit të matematikës

Matematizimi i disiplinave shkencore ka nisur shekuj më parë me shkencat e natyrës dhe është një proces që vazhdon ende edhe sot (me ritme të përshpejtuara) në shkencat e tjera si edhe në teknologjitë.Jeta e përditëshme puna, përshkohen gjithnjë e më shumë nga njohuri të reja dhe nga nevoja e shfrytëzimit të burimeve të larmishme të informacionit, të cilat kanë pothuajse përherë, ndonëse në shkallë të ndryshme, nevojë për matematikën.Matematika, duke qenë faktor i suksesit gjatë gjithë jetës, duke qenë një përbërës i të nxënit gjatë gjithë jetës, është sot jo vetëm lëndë që ka peshë të madhe në planin mësimor, por mund të konsiderohet edhe si ndërlëndë. Në të gjitha fushat e të nxënit, mësuesi duhet t’i japë mundësinë secilit nxënës të zbatojë ato që di nga matematika që ka nxënë në shkollë.Parakushti i zbatimit të suksesshëm të matematikës në lëndët e tjera është që vetë matematika, të priret fort nga zbatimet në shkencat, teknologjitë, dukuritë reale dhe jeta e përditshme.Kthimi i matematikës në një fill që përshkon të gjithë kurrikulën është një punë e gjithë mësuesve, por strumbullari i saj janë mësuesit e matematikës, të cilët:- mund të trajnojnë kolegët;

96 MATEMATIKA 7

- bashkë me ta mund të projektojnë tema integruese.

Në lëndë të ndryshme ka hapësira të ndryshme për përdorimin e matematikës, por secila prej tyre ka mundësi për ta realizuar këtë.Duhet shmangur rreziku që të reduktohet përdorimi i matematikës me aritmetikën fillestare (përdorimi i katër veprimeve aritmetike) apo në statistikën elementare (përpilim tabelash, njehsim i mesatares aritmetike).Integrimi i matematikës në përmbajtje është më i mundshëm në detyrat tematike apo projektet kurrikulare.Disa shembuj për mundësitë:- shqyrtimi i problemeve të shëndetit (pulsi, jetëgjatësia, temperatura, pesha, përmasat, denduria e një sëmundje);- shqyrtimi i problemeve që lidhen me popullsinë (për moshën, gjininë, shkallën e arsimimit etj.);- analiza e çështjeve social-ekonomike (punësimi, buxheti, taksat, çmimet, kursi i këmbimit, kursimi i energjisë);- analizë e statistikave që publikohen në media;Mësuesit mund të zgjedhin për nxënësit tema të veçanta që ata të punojnë individualisht apo në grupe të vogla, brenda një afati që mund të shkojë deri disa javë. Këto tema mund të çojnë edhe në njohuri të avancuara matematike.Por qendra e rëndesës në tema të tilla nuk është tek matematika, por në një grumbull njohurish lëndore. Matematika e tregon veten si një ndihmëse e pazëvendësueshme për një analizë të mirë.Secili mësues duhet pareshtur ta vrasë mendjen se ku e si mund ta zbatojë matematikën brenda lëndës, në çdo kapitull, në çdo orë ku është e mundur.

3.10.3 Aftësia e përdorimit të TIK

Në kohën e sotme TIK është kthyer në një mënyrë jetese; bota moderne është në ndërvarur prej tij.Në saje të TIK mësuesi i sotëm nuk është më zotëruesi i vetëm (as rekomanduesi i vetëm) i informacionit që nxënësit duhet të zotërojnë. Shumë burime dixhitale të informacionit janë të hapura për nxënësit dhe ata vijnë në shkollë me njohuri, gjykime, opinione e pyetje, të cilat mësuesi duhet t’i konsiderojë si pjesë e kurrikulës në tërësinë e saj.TIK është jo thjeshtë një lëndë në kurrikul, por më shumë një ndërlëndë.Mësuesi nuk ecën me ritmin e kohës, nëse nuk përfshin në ambicien e tij profesionale përdorimin e TIK gjatë zhvillimit të programit mësimor. Mësuesi duhet t’i krijojë mundësinë secilit nxënës për të përdorur në lëndën që jep të gjitha njohuritë e shprehitë e nxëna në lëndën e TIK.Secili mësues duhet të përkujdeset vazhdimisht që çdo nxënës i tij:- të kërkojë e të gjejë informacion në trajtë elektronike;- të hetojë, të bëjë parashtrime e të zgjidhë situata problemore me ndihmën e mjeteve elektronike;- të paraqesë e të prezantojë punën e tij duke përdorur një larmi mediash digitale;


- të bashkëpunojë me shokët e mësuesit nëpërmjet komunikimit elektronik.Përdorimi në një lëndë të caktuar i mundësive që ofron TIK është një zgjedhje e mësuesit, i cili duhet të jetë i bindur se kështu, e jo ndryshe nxënësit po mendojnë e po kuptojnë më mirë e më shumë.Një nga përfitimet më me vlerë të TIK është shtimi i kohës së të nxënit (shkurtohet koha për njehsime, vizatime figurash e grafikësh etj.) Fale CD-ve të posaçme nxënësi mund të ndjekë dinamikën e dukurive e të ngjarjeve, të rrokë ndikimin e ndryshimit të parametrave në një dukuri. Por përdorimi i këtyre CD-ve nuk duhet të reduktohet në një shfaqje të rëndomtë filmi. Për këtë qëllim mësuesi duhet t’u parashtrojë nxënësve qysh më parë disa pyetje, t’u shtrojë një dilemë për të cilën është e dobishme e produktive përdorimi i CD në fjalë.Është mjaft i madh rreziku që përdorimi i TIK të kthehet në mënyrë sipërfaqësore në modë.Përdorimi i TIK nuk është gjithmonë më i miri. P.sh., ekspozimi i grafikëve të gatshëm e kursen kohën, por nuk zëvendëson dobinë e ndërtimit të grafikëve me laps e letër nga vetë nxënësit. Nuk mund të zëvendësohet roli i eksperimenteve me dorën e nxënësit në laboratorët tradicionalë të fizikës dhe të kimisë. Këto janë manipulime reale (jo virtuale) që mbeten të pazëvendësueshme në përvetësimin e qëndrueshëm të këtyre lëndëve.Po të anohet më tepër ndaj informacionit elektronik dëmtohet aftësimi i nxënësve për të vjelë informacione edhe nga burime të tjera si libra, manuale, fjalorë, emisione të radios, biseda, incizime. Pra, duhet të mbahet një ekuilibër i studiuar midis tipave të ndryshme të burimeve të informacionit.Të gjithë mësuesit duhet të familjarizohen me TIK e të mos jenë të frenuar në përdorimin e tij, në mënyrë që TIK të kthehet në një fill që përshkon më tej kurrikulën.

3.10.4 Aftësia e menaxhimit të informacionit

Mësuesi tradicional e konsideron tekstin lëndor si një burim të mjaftueshëm informacioni për t’ia transmetuar nxënësve përmes metodave të tij të mësimdhënie-mësimnxënies.Kurrikula e re e çmon tekstin si një burim të rëndësishëm për mësuesin, por jo ezaurues. Kjo për arsye se, me gjithë informacionin e bollshëm e të përditësuar që ka, teksti nuk mund të ketë konkretizime nga lokaliteti ku është vetë shkolla dhe nuk mund të pasqyrojë ngjarjet më të freskëta nga komuniteti dhe bota. Këtë mund e duhet ta bëjë mësuesi. Veç kësaj, mësuesi i mirë i bën nxënësit kurreshtarë dhe u përgjigjet pyetjeve që lindin tek ata, pyetje që si rregull nuk gjejnë përgjigje në tekst. Mësuesi i mirë nuk është thjeshtë lexues apo perifrazues i tekstit, por interpretues i tij me gjëra të reja, për ta bërë lëndën më konkrete e më të kapshme.

Përse duhet që nxënësit të kërkojnë vetë informacione të tjera, veç informacioneve shtesë që mësuesi i qëmton vetë?1. Informacioni i tekstit është gjysmë i gatshëm, për t’u përvetësuar më lehtë nga nxënësit. Informacionet nga burimet e tjera janë në gjendje bruto; nxënësit i duhet t’i përpunojë

98 MATEMATIKA 7

ato, të veçojë thelbësoren, t’i përmbledhë etj. Kjo është stërvitje në situatë reale dhe vlen direkt për nxënësin, që ai të bëhet lexues i pavarur dhe sidomos lexues për tërë jetën.2. Arsyeja tjetër qëndron tek kultivimi i të menduarit kritik. Ushqim për të menduarit kritik është larmia e informacioneve, sepse vetëm kështu nxënësit ballafaqojnë faktet, interpretimet dhe opinionet.

Informacionet që kërkojnë nxënësit dhe mësuesit nuk janë vetëm ç’ka gjendet në median e shkruar apo vizive e në TIK. Gama e tyre është më e gjerë dhe përfshin biseda me prindër e specialistë, vizita në ekspozita, muze, institucione, vëzhgime të dukurive të natyrës apo shoqërisë.Menaxhimi i mirë i informacionit është një mjeshtri që nuk mësohet vetë, por ka nevojë për një stërvitje të planifikuar e drejtuar mirë gjatë gjithë viteve të shkollimit. Nxënësi duhet të udhëzohet sistematikisht nga mësuesi se si të punojë mbi një informacion, duke filluar nga ai i tekstit e duke vazhduar me informacionet bruto.a) Nxënësi duhet të ushtrohet të punojë “me laps në dorë”, ndërsa studion një material (të bëjë nënvizime, pyetje, pikëpyetje, sqarime apo interpretime në marzhet), pra të dialogojë me autorin përmes një sistemi vetjak shenjash.Ai duhet të përdorë skica ose skema, për të vizualizuar sintezën e materialit. Më pas ai duhet të ushtrohet të përmbledhë, të sistemojë, të ruajë (në skeda apo në file të kompjuterit).b) Nxënësi duhet të mësohet të mbajë shënime të qarta gjatë bisedave me persona burimorë dhe të hedhë në letër në mënyrë të mirëstrukturuar vëzhgimet e tij.c) Mësuesi duhet t’u shpjegojë nxënësve se si të konsultohen me fjalorët apo me indekset në fund të libritd) Mësuesit mund të kërkojnë që në portofolin e një projekti kurrikular apo të një detyre tematike nxënësit të vendosin edhe fragmente nga literatura e shfrytëzuar, bashkë me shënimet që kanë bërë mbi të.Këto shprehi kultivohen me përkujdesjen e vazhdueshme të të gjithë mësuesve.Që përpjekjet e mësuesve të jenë të suksesshme është e nevojshme që secili mësues të jetë vetë mjaft i përgatitur për menaxhimin e informacionit.

3.10.5 Aftësia për zgjidhjen e situatave problemore

Problem konsiderohet çdo kërkesë origjinale që i shtrohet nxënësit për ta zgjidhur, kërkesë që ka të bëjë me një situatë të pahasur më parë nga ai.Situata problemore, përtej viteve të shkollimit, haset rëndom gjatë jetës së përditshme dhe asaj profesionale, kur duhet marrë një vendim.Sprova e vërtetë e të kuptuarit është përballja me një kërkesë që ve në punë jo vetëm kujtesën. Nxënësit duhet të vihen rregullisht para të papriturash sado të vogla.Zbatimet me kontekst nga lëndët e tjera dhe nga ngjarjet e përditshme, por të reja, janë padyshim situata problemore.Me “problem” pra do të kuptojmë çdo pyetje të re. Projektet kurrikulare komplekse dhe qëmtimi i informacioneve për një qëllim të caktuar përbëjnë shembuj situatash problemore.


Zgjidhja e situatave problemore përbën një metodë pune me të cilën mësuesit duhet të stërvitin nxënësit.Shpesh nxënësit që cilësohen të mirë nuk dallohen për thellësinë e të kuptuarit, por prej faktit se janë më sistematikë e më të vullnetshëm se të tjerët për të riprodhuar pjesë të mëdha njohurish. Ata zihen ngushtë kur u jepen kërkesa disi të ndryshme nga ato të tekstit. Kjo vjen se kështu janë mësuar nga mësues që punojnë si instruktorë për një zinxhir të standardizuar veprimesh (marrje disa herë me të njëjtin problem).Ka mësues që në orën e përsëritjes, në vend që të përfshijnë nxënësit në punë për strukturimin e kapitullit, ngulitin tek ato kërkesa që kanë ndërmend të kontrollojnë në provim.Tek disa mësues i gjithë dialogu me nxënësit të shtyn kah të nxënit mekanik; pauza ndërmjet mbarimit të pyetjes dhe sinjalit për të dhënë përgjigjen është zakonisht tepër e shkurtër, sepse vetë pyetja është thjeshtë, një ftesë për të sjellë ndërmend një përgjigje të njohur.

3.10.6 Aftësia e të menduarit kritik

Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të jesh i pavarur në gjykime, të jesh argumentues, përgjigje-dhënës e vendim-marrës, pas një shqyrtimi të imtë, të thellë e të gjithanshëm të rrethanave.Mendja jo-kritike është paragjykuese, jotolerante, e varur nga opinionet e të tjerëve, e nxituar në nxjerrjen e përfundimeve.Mësuesi nuk duhet të jetë ngushtësisht lëndor; ai duhet të ketë si mision formimin e personalitetit të nxënësve, duke ndikuar në formimin e të menduarit kritik si virtut themelor.

Të menduarit kritik është një strategji me anën e së cilës shtjellohet e përvetësohet vetë lënda.- Të mendosh në mënyrë kritike, së pari do të thotë të dish të pyesësh (kur, çfarë, si, pse?). Mësuesi duhet të inkurajojë nxënësit t’i drejtojnë pyetje atij vetë dhe bashkënxënësve.- Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të dish të arsyetosh (si ta përdorësh arsyetimin, çfarë metodash të përdorësh). Lajtmotivi të jetë “pse?”.- Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të mos besosh verbtazi.- Mendja kritike nuk mbështetet tek një burim i vetëm informacioni, por qëmton disa, para se të dalë në një konkluzion.- Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të respektosh të menduarit ndryshe, të konsiderosh të natyrshme të gabosh.- Mendja kritike dallon opinionet nga faktet, interpretimet nga dëshmitë, deklaratat nga realiteti.

Synimet e mësuesit për edukimin e mendimit kritikSecili nxënës të bëhet i aftë që:

100 MATEMATIKA 7

- të sjellë argumente e dëshmi për të mbështetur përfundimet e bindjet e tij; - të mbajë qëndrim të pavarur e argumentues ndaj informacioneve në përgjithësi dhe ndaj gjykimeve të të tjerëve;- të dallojë faktet nga interpretimet e tyre;- të jetë i vëmendshëm ndaj argumenteve të të tjerëve; të mos iu kundërvihet me paragjykime;- të shqyrtojë mundësi të ndryshme “pro” dhe “kundra” për një çështje të caktuar.

Parakusht i suksesit në edukimin e të menduarit kritik është metoda e vetë mësuesit. Ai nuk duhet të paraqitet si zotërues i të vërtetës së fundit, nuk duhet të jetë urdhërues, por të përpiqet të bindë njerëzit.Mësuesi duhet të nxisë debate ndërmjet nxënësve (për një pohim në media, për dy interpretime të ndryshme etj). Mësuesi nuk luan rolin e arbitrit, nuk mban anën e askujt. Ai nuk ofron diagnozë, por u mëson nxënësve si të diagnostikojnëNjë teknikë “provokative” për të edukuar të menduarit kritik është t’u kërkosh nxënësve të gjejnë gabimin në një pohim apo argumentim (edhe sikur të tillë të mos ketë apo të ketë të tillë të sajuar vetë).Mësuesi duhet të vigjilojë mbi saktësinë e argumenteve, madje edhe të fjalëve.Nxënësve duhet t’u jepet koha e mjaftueshme për t’u menduar mirë. Ata duhet të edukohen që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të mos riprodhojnë fraza që nuk i kuptojnë, të pranojnë vetëm pasi kanë menduar me kujdes e janë të bindur vetë.Ndodh që nxënësit janë më të zgjuar në oborrin e shkollës (debatojnë me shokët) sesa brenda orës së mësimit (ku pranojnë në mënyrë pasive e pa bërë shumë pyetje mjaft gjëra).Qëndrimi i mësuesve të shkollës ndaj kultivimit të të menduarit kritik tek nxënësit duhet të jetë kolegjial e i harmonizuar.

3.10.7 Aftësia e të menduarit krijues

Të menduarit krijues nuk është dhunti ekskluzive e artistëve dhe shkencëtarëve. Çdo nxënës ka potencialin e vet krijues. Pyetjet origjinale, zgjidhja e një ekuacioni me mënyrë jo standarde janë shfaqje të krijimtarisë.Mësuesi duhet të inkurajojë çdo grimcë krijimtarie, të gjejë e ta lëvdojë atë. Një tentativë krijuese, në një detyrë tematike apo projekt apo edhe në diçka rutinë, kërkon guxim, shfaqja e të cilit kultivohet nga mirëdashja e mësuesit.Por kjo mikpritje ndaj individualitetit krijues duhet të shfaqet ndërmjet nxënësve. Mësuesi duhet të stërvitë nxënësit të kapin dhe të vlerësojnë origjinalitetin krijues të një shoku apo të një grupi.

3.10.8 Aftësia e të punuarit me grup

Ka shumë mësues që janë mosbesues ndaj punës me grup sepse:a) Nuk e kanë situatën nën kontroll (por me këtë shpesh nënkuptojnë përqëndrimin e mësimdhënies në dorën e mësuesit);


b) Kanë rendiment të ulët (disa nxënës zaptojnë punën e të tjerëve, duke i lënë ata pa punë).Këto janë të vërteta, por vetëm për ata mësues që nuk e zotërojnë mjeshtrinë e punës me grup.Në të vërtetë puna me grup ka shumë anë të mira. Në të nxënësit këmbejnë mendime, shkëmbejnë pyetje dhe mësojnë nga njeri-tjetri. Nxënësit nganjëherë mësojnë më mirë dhe më shpejt nga bashkënxënësit, sesa nga mësuesi.Puna me grup ul ankthin e mospërgjigjes tek nxënësit.Miratimi nga bashkëmoshatarët shpesh vlerësohet (sidomos në vitet e larta )më tepër se ai i mësuesit.Puna në grup rrit aftësitë argumentuese e komunikuese, sepse nuk është aq e lehtë të bindësh bashkëmoshatarët.Puna në grup nxit lindjen e ideve (ndonëse kjo është më tepër veprimtari individuale).

Nxënësit duhet patjetër të mësohen qysh në shkollë që të punojnë në grup. Ky është modeli i familjes, i grupit të nxënësve apo i grupit të kolegëve.Sot shpesh në aplikimet për punësim vlerësohet shumë aftësimi për punë me grup.Falë punës me grup (në sajë të përpjekjeve të qëllimshme të mësuesve) çdo nxënës mësohet që dora-dorës:- të sillet me takt në një punë të përbashkët;- të mbajë përgjegjësi ndaj suksesit të grupit në tërësi;- të respektojë rregullat e grupit ku pranon të marrë pjesë;- të jetë tolerant dhe i gatshëm për kompromise;- të mbajë qëndrim të pavarur dhe argumentues ndaj gjykimeve dhe qëndrimeve të të tjerëve;- të respektojë pikëpamjet e ndryshme të anëtarëve të grupit;- të mirëpresë ide dhe përvoja të tjera të të tjerëve.

Në hapat e para nuk pritet që nxënësit të jenë aq të sjellshëm e përfitues gjatë punës me grup.Mësuesit duhet të vlerësojnë automatikisht qëndrimin e secilit nxënës në një veprimtari grupi.Puna me grup nuk është metodë universale e mësimdhënies, që të mund të përdoret kudo e kurdoherë. Është mësuesi ai që vendos se kur është e dobishme puna me grupe.Puna me grup është mënyrë e përshtatshme për të përsëritur një kapitull.Grupi më i vogël e më komod në klasë është ai i bankës se nxënësve (nxënësit diskutojnë, shohin fletoret e njëri-tjetrit).Shqetësimi kryesor i mësuesve lidhur me punën me grup mbetet koha: por në fakt ky është preokupimi i atyre mësuesve që nxitojnë.

3.10.9 Aftësia për qëndrim etik e socialPërtej njohurive dhe aftësive (e nëpërmjet tyre) shkolla ushtron një ndikim të fortë në formimin e karakterit të nxënësve, duke u përqendruar në rrënjosjen e qëndrimeve,

102 MATEMATIKA 7

vlerave dhe bindjeve vetjake. Gama e tyre është shumë e gjerë dhe përfshin, ndër të tjera, mbrojtjen e të drejtave të njeriut dhe të fëmijëve, mospranimin dhe mosushtrimin e asnjë lloj diskriminimi, respektimin e vlerave kombëtare dhe zhvillimin e tyre, mbrojtjen e mjedisit në të gjithë larminë e tij etj.Treshja klasike për të cilën synon kurrikula është: e vërteta, e bukura, e mira. Gabimisht, tradicionalisht e vërteta konsiderohet si objekt ekskluziv i shkencave të natyrës, e bukura-si objekt ekskluziv i arteve, e mira-si privilegj i edukimit qytetar, por edhe i shkencave shoqërore.Në të vërtetë, të tria aspektet janë të gërshetuara tek çdo lëndë dhe “e mira” më shumë se të tjerat.Në të gjitha fushat e studimit dhe në çdo lëndë mësuesit duhet t’i japin mundësinë çdo nxënësi të ushtrohet të mbajë qëndrim etik ndaj ngjarjeve, dukurive, pikëpamjeve dhe sjelljeve në klasë, shkollë e shoqëri.Secili nxënës duhet të bëhet i aftë:- të vlerësojë sjelljet, qëndrimet dhe veprimet e tij e të tjerëve (individë apo institucione) në të shkuarën e në të tashmen, nga pikëpamja e dobisë së përbashkët të komunitetit, vendit e më gjerë;- të jetë pjesëmarrës aktiv i veprimtarive dhe i lëvizjeve të cilat synojnë përmirësime në shkallë komuniteti, vendi, rajoni e më gjerë.

Misioni i shkollës është që të farkëtojë një qytetar që ndjek ngjarjet jo thjesht për kureshtje apo me keqardhje pasive, por që është aktiv për ndryshime të dobishme. Mësuesi nuk duhet të lërë asnjë rast të favorshëm për të shtruar dilema etike (“a është e drejtë”?, “a sjell dobi?”,”çfarë duhej bërë?”).Materiali nuk duhet të sillet i distiluar, por të gjuajë shembuj zbatimesh, për të cilat mund të shtrohen qëndrime morale.

Cilat do të ishin kriteret e gjykimeve etike? Duhet të distancohemi qartë nga dy qëndrime ekstreme:- të edukohet një individ i lirë nga çdo shtrëngesë dhe që i ndërton vetë parimet e tij etike;- t’u diktohet nxënësve përcaktimi i të mirës e të keqes.Nxënësi duhet të mësohet të ndërtojë sjelljet dhe të mbajë qëndrimet e tij mbi bazën e disa parimeve universale, si të drejtat e njeriut dhe parimet e shtetit ligjor.Nxënësi duhet të ushtrohet të shpjegojë veprimet dhe gjykimet e tij morale në trajtën e një arsyetimi deduktiv: ”sepse”…,”në bazë të”…,). Kur të flasë për aspekte konkrete të politikës së përditshme (si p.sh., korrupsioni) mësuesi nuk duhet të shfaqë mendimin e tij personal se cila qeveri është më e mirë.

Mësuesi nuk ka të drejtë të manipulojë shijet e nxënësve të tij.Kur mësuesi anon nga mendimi i tij e nuk i pasqyron të gjitha, ai censuron informacionin.Mësuesi nuk është bartës i të vërtetës së fundit; edhe sikur ajo të ekzistojë, ai nuk duhet të hiqet si i tillë.Rreziku më i madh është që nxënësi të ushtrohet si dishepull i një autoriteti, kur në të vërtetë ai duhet të mbajë përgjegjësitë e veta për sjelljet e tij sociale.


Detyra e mësuesit është të japë metodën. Ai i nxit nxënësit që të shprehin lirshëm opinionet e tyre dhe u shmanget (e nuk lejon as nxënësit ta bëjnë) komenteve të tilla si “e ke gabim”.Mësuesi i orienton me takt nxënësit e tij në kërkimin e tyre të pavarur drejt të vërtetës dhe këtë e bën me pyetje e aspak me kundërshtime.Po kështu, ai i stërvit nxënësit të debatojnë përmes pyetjeve dhe argumenteve e sidomos të kenë respekt për opinionin ndryshe.Liria e gjykimit bazohet mbi dyshimin. P.sh., ekziston respekti për shtetin ligjor, por jo për secilin ligj në veçanti. Ligjet i nënshtrohen analizës kritike.Por liria e shqyrtimit dyshues ka disa kufij dhe mësuesi duhet t’i mbajë nxënësit brenda tyre. Ai ndalon rreptësisht paragjykimet raciste, gjinore, nacionale. Këto paragjykime janë në kundërshtim me të drejtat themelore të njeriut. Këto të drejta nuk janë për diskutim; ato vetëm mund të argumentohen.

104 MATEMATIKA 7

IV. ZBËRTHIMI METODIK I NJË KREU

Kreu II. Thyesat dhe numrat dhjetorëMësimi 2.1. Pjesëtues dhe shumëfisha të numrave

Kuptime:Numrat e thjeshtë. P.M.P. i dy numrave natyrorë. Sh.V.P. i dy numrave natyrorë. Veti: Rregullat për gjetjen e P.M.P dhe Sh.V.P. të dy numrave natyrorë. Metoda: Zbatim, formulim.Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë P.M.P të dy numrave të tillë. • Të gjejnë Sh.V.P të dy numrave të tillë.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit të dhënë në tekst. Të mbahet parasysh se përvetësimi i materialit arrihet vetëm nëpërmjet veprimtarisë së nxënësve. Prandaj, pas trajtimit të shembujve me metodën e bisedës, duhet të zgjidhen detyrimisht në klasë ushtrimet e vendosura në materialin teorik, që janë pjesë përbërëse e tij, si edhe ushtrime të tjera, të përzgjedhura nga mësuesi. Nuk ka pse të punohet me numra të mëdhenj; të kufizohet në shqyrtimin e numrave njëshifror. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4, 7, 8.

Mësimi 2.2. Vetia themelore e thyesave Kuptime: Thyesa e zakonshme. Numëruesi, emëruesi i saj. P.M.P i dy numrave natyrorë. Veti: Vetia themelore e thyesave. Metoda: Thjeshtimi i thyesave. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin vetinë themelore për të zëvendësuar një thyesë me një thyesë tjetër, të barabartë me të. • Të kryejnë thjeshtimin e thyesave, kur emëruesi e numëruesi janë numra një apo dyshifrorë, duke gjetur P.M.P e tyre.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Trajtimit të materialit, të parashikuar për këtë njësi mësimore, për shkak të rëndësisë që ka në formimin lëndor të nxënësve, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi përbëhet nga dy pjesë, të lidhura organikisht midis tyre. Në pjesën e parë kemi një rimarrje të kuptimeve dhe vetive të njohura nga klasa VI. Të mbahet parasysh se këtu bëhet një vështrim më i gjerë i kuptimit të thyesës, si rezultat i ndarjes dhe si rezultat i pjesëtimit të dy numrave natyrorë. Pas rikujtesës së vetisë themelore të thyesave, mësuesi të organizojë zgjidhjen, me punë të pavarur apo në grupe,


të nxënësve për të zgjidhur ushtrimet e vendosura në materialin teorik, mbi thjeshtimin e disa thyesave me gjymtyrë të vogla. Pastaj vihet në dukje vlera e metodës së re për të realizuar thjeshtimin, duke gjetur P.M.P dhe Sh.V.P të gjymtyrëve. Shembulli të trajtohet me metodën e bisedës dhe pas tij të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet që vijojnë në tekst. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 2.3. Kthimi i thyesave në emërues të njëjtë. Krahasimi i thyesave

Kuptime: Emëruesi më i vogël i përbashkët i dy thyesave. Veti: Rregulla për të gjetur emëruesin më të vogël të përbashkët të dy thyesave. Rregulla për krahasimin e thyesave me emërues të njëjtë apo të ndryshëm. Metoda: Gjetja e Sh.V.P. të dy numrave natyrorë. Krahasimi. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë Sh.V.P të emëruesve të dy thyesave. • Të kthejnë dy thyesa në emërues të përbashkët. • Të krahasojnë dy thyesa.. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Sqarimi i ecurisë për kthimin e dy thyesave në emërues më të vogël të përbashkët (me tre hapa), të bëhet nëpërmjet shembujsh, trajtuar me metodën e bisedës, si në tekst. Përvetësimi i thelbit të kësaj ecurie dhe shkathtësimi i nxënësve për përdorimin e saj kërkon zgjidhjen nga nxënësit, me punë të pavarur apo në grupe, të një numri të mjaftueshëm ushtrimesh; veç atij të vendosur në materialin teorik, të punohen edhe të tjerë, të përzgjedhur nga mësuesi. Është me vlera formuese trajtimi i një probleme praktike, që kërkon krahasim thyesash (si në tekst). Më tej, pasi sqarohet se një mënyrë komode për krahasimin e thyesave është kthimi i tyre në emërues të përbashkët (e më tej krahasimi i numëruesve), të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, disa ushtrime. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 2.4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave Kuptime: Shuma dhe ndryshesa e thyesave. Rrënja e ekuacionit. Veti: Rregulla për shumën (ndryshesën) e dy thyesave me emërues të njëjtë. Metoda: Kthimi i thyesave në emërues të përbashkët. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë shumën (ndryshesën) e dy thyesave me emërues të njëjtë. • Të gjejnë shumën (ndryshesën) e dy thyesave me emërues të ndryshëm, një apo dyshifror. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave a+x=b; a-x=b; x-a=b, ku a, b janë thyesa të tilla. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

106 MATEMATIKA 7

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Element i ri është përdorimi i ecurisë, për kthimin e thyesave në emërues më të vogël të përbashkët, përpara se të gjejmë shumën (ndryshesën) e tyre. Për zotërimin e metodës, pas trajtimit të shembullit të dhënë në tekst (me metodën e bisedës), rekomandohet që nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, ndonjë ushtrim tjetër, veç atij me përmbajtje praktike, të dhënë në tekst. Ekuacionet që janë dhënë si shembuj në tekst janë zgjidhur me mënyrën më racionale, duke kaluar kufizat në anën tjetër, me shenjë të ndërruar e jo duke përdorur lidhjet ndërmjet kufizave të veprimeve dhe rezultateve të tyre. Mësuesi edhe më tej t’i trajtojë ekuacionet me këtë mënyrë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 7.

Mësimi 2.5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave

Kuptime: Prodhimi (herësi) i dy thyesave. Numri i përzier. Veti: Rregulla për shumëzimin e një thyese me një numër natyror apo me një thyesë tjetër. Rregulla për pjesëtimin e dy thyesave. Rregulla për kthimin e numrit të përzier në thyesë të parregullt. Metoda: Thjeshtimi i thyesave. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë prodhimin e një thyese me një numër natyror apo me një thyesë tjetër. • Të gjejnë herësin e pjesëtimit të një thyese me një thyesë. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Njohuritë e trajtuara janë kryesisht një rimarrje e njohurive të klasës VI. Thellim përbën thjeshtimi i thyesave (pas kryerjes së shumëzimit apo të pjesëtimit), duke gjetur P.M.P. e numëruesit dhe të emëruesit. Prandaj materiali i vendosur në këtë njësi mësimore krijon mundësi për aktivizimin e masës së nxënësve në trajtimin e shembujve me metodën e bisedës, por sidomos në zgjidhjen, me punë të pavarur apo në grupe, të ushtrimeve të vendosura në materialin teorik. Është me mjaft rëndësi përdorimi i shkathtësive në kryerjen e veprimeve me thyesat, për zgjidhjen e situatave të thjeshta praktike nga masa e nxënësve. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4,7.

Mësimi 2.7. Shprehje numerike me thyesa Kuptime: Shprehja numerike. Vlera e saj. Veti: Radha e veprimeve në një shprehje numerike me kllapa ose pa kllapa. Metoda: Njehsime me thyesa. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:


• Të njehsojnë vlerën e një shprehje numerike pa kllapa, me 3-4 veprime aritmetike, me thyesa me gjymtyrë 1-2 shifrorë. • Të njehsojnë vlerën e një shprehje numerike me 1-2 kllapa të rrumbullakta, me 3-4 veprime aritmetike, me thyesa të tilla.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të shembujt e zgjidhur. Më pas mbi këtë bazë, mund të organizohet një diskutim në klasë. Ushtrimet e vendosura në tekst, si edhe ushtrime të tjera të ngjashme, të përzgjedhura nga mësuesi, të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Rekomandohet që mësuesi t’i ketë dhënë nxënësve përsëritje nga lënda e klasës VI, radhën e veprimeve në një shprehje numerike. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4.

Mësimi 2.8. Kuptimi i numrit dhjetor

Kuptime: Numri dhjetor. Veti: Rregulla për krahasimin e numrave dhjetorë. Rregulla për rrumbullakimin e numrave dhjetorë. Metoda: Përdorimi i sistemit metrik të njësive. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë thyesat e rregullta (dhe numrat e përzier) me emërues fuqi të dhjetës, si numra dhjetorë. • Të krahasojnë dy numra dhjetorë. • Të rrumbullakojnë një numër dhjetor deri në një rend të dhënë. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Pjesa e parë e mësimit është rimarrje e njohurive të trajtuara në klasën VI. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të, sintezën e shkurtër të elementëve teorikë si edhe shembujt e zgjidhur. Pastaj të zgjidhin në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Pjesa e dytë e mësimit, ku evidentohet vlera e thyesave dhjetore, lidhur me përdorimin e sistemit metrik të njësive, është e rëndësishme për formimin e përgjithshëm të nxënësve. Është mirë që ajo të trajtohet nga mësuesi me metodën e bisedës. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3,4.

Mësimi 2.9. Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë

Kuptime: Shuma dhe ndryshesa e numrave dhjetorë. Veti: Rregullat për mbledhjen e zbritjen e numrave dhjetorë (në kolonë).

108 MATEMATIKA 7

Metoda: Njehsime me numra dhjetorë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të mbledhin e të zbresin dy numra dhjetorë. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave a+x=b; a-x=b; x-a=b, ku a, b janë numra dhjetorë. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi është thjeshtë një rimarrje e njohurive të trajtuara në klasën VI. Rekomandohet që të punohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të, me laps në dorë, sintezën e shkurtër të elementëve teorikë si edhe shembujt e zgjidhur. Vëmë në dukje se ekuacioni 4,5-x=2,136 është zgjidhur në tekst, duke u bazuar në kuptimin e ndryshesës. Mësuesi të kërkojë që nxënësit ta zgjidhin atë në klasë, duke përdorur rregullën për kalimin e kufizës me shenjë të ndërruar, në anën tjetër të ekuacionit dhe të bëjnë krahasimin e dy mënyrave. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 2.10. Shumëzimi i numrave dhjetorë

Kuptime: Prodhimi i dy numrave dhjetorë. Veti: Rregulla për shumëzimin e një numri dhjetor me një numër natyror. Rregulla për shumëzimin e dy numrave dhjetorë Metoda: Njehsime me numra dhjetorë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë prodhimin e një numri dhjetor me një numër natyror. • Të gjejnë prodhimin e dy numrave dhjetorë. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin metodik të dhënë në tekst. Duke qënë se kemi kryesisht rimarrje të njohurive të trajtuara në klasën VI, nxënësit të lexojnë në tekst sintezën e elementëve teorikë si edhe shembujt e zgjidhur. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3,5.

Mësimi 2.11. Pjesëtimi i dy numrave dhjetorë

Kuptime: Herësi i dy numrave dhjetorë. Veti: Rregulla e pjesëtimit të një numri dhjetor me një fuqi të dhjetës.


Rregulla e pjesëtimit të një numri dhjetor me një numër natyror. Rregulla e pjesëtimit të dy numrave dhjetorë. Metoda: Njehsime me numra dhjetorë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të pjesëtojnë një numër dhjetor me një fuqi të dhjetës. • Të pjesëtojnë një numër dhjetor me një numër natyror. • Të pjesëtojnë dy numra dhjetorë. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Ushtrimet e vendosura në fillim të çdo nënteme, synojnë të aktivizojnë shkathtësitë e fituara nga nxënësit në klasën VI. Ato i krijojnë mundësi mësuesit të kryejë një sondazh për gjendjen e klasës. Prandaj duhet kërkuar që ato të zgjidhen nga secili nxënës, me punë të pavarur individuale. Më tej, mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të, individualisht, sintezën e elementëve teorikë (rimarrje sintetike e njohurive të trajtuara në klasën VI) si edhe shembujt e zgjidhur. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik duhet të zgjidhen nga nxënësit me punë të pavarur apo në grupe. Mësuesi mund të japë për zgjidhje në klasë, edhe ushtrime të tjera, të përzgjedhura prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 2.12. Makina llogaritëse

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i shkathtësive të fituara nga nxënësit në klasën VI, për përdorimin e makinës llogaritëse dhe thellimi i tyre, duke përdorur edhe tastet e kujtesës. Rekomandohet që mësuesi t’u ketë dhënë, paraprakisht si përsëritje, nxënësve njohuritë për makinën llogaritëse, të trajtuara në klasën VI. Është e nevojshme që nxënësit të jenë të pajisur të gjithë me makinën llogaritëse, që kanë tastet e kujtesës (minimumi të kenë një makinë të tillë në çdo bankë). Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst. Ushtrimi në hyrje synon të aktivizojë shkathtësitë e nxënësve në përdorimin e makinës llogaritëse; mësuesi të kërkojë që çdo nxënës ta zgjidhë ushtrimin individualisht. Pastaj bëhet një përmbledhje e procedurës së ndjekur. Më tej ekspozohet procedura e re për njehsimin e vlerës së kësaj shprehje, duke përdorur tastet e kujtesës. Mësuesi tregon çdo hap sipas procedurës së re dhe nxënësit kryejnë praktikisht, hap pas hapi, veprimet me tastet e makinave të tyre. Më tej nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur individuale ushtrimin që vijon. Rezultatet e arritura të diskutohen në klasë, në mënyrë që të korrigjohen gabimet eventuale. Rekomandohet që pastaj nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, edhe 1-2 ushtrime të tjera, të përzgjedhura nga mësuesi. Në rubrikën ‘Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

110 MATEMATIKA 7

Mësimi 2.15. Thyesat dhjetore periodike

Kuptime: Numri dhjetor i pafundmë periodik. Perioda. Veti: Çdo thyesë e zakonshme jep një numër dhjetor të fundmë ose të pafundmë periodik. Metoda: Përdorimi i kuptimit të thyesës si herës pjesëtimi dy numrash natyrorë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kthejnë numrin dhjetor të fundmë në thyesë të zakonshme. • Të kthejnë thyesën e zakonshme, nëpërmjet pjesëtimit të numëruesit me emëruesin, në numër dhjetor të fundmë ose të pafundmë periodik. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta matematikore apo praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim është esenciale mënyra e kryerjes së pjesëtimit të një numri natyror me një tjetër numër natyror, meqenëse thyesa e zakonshme kuptohet pikërisht si herës i një pjesëtimi të tillë. Shembulli i dhënë në tekst të trajtohet nga mësuesi në tabelë, pastaj nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, një numër të mjaftueshëm ushtrimesh për këtë qëllim. Duke shtruar para nxënësve si detyrë pjesëtimin e 140 me 3, të 4 me 9; të 67 me 30 vihet

re se thyesat ; ; nuk kthehen në numra dhjetorë të fundmë dhe dilet në

kuptimin e numrit dhjetor të pafundmë periodik, nëpërmjet veprimtarisë (matematikore) së nxënësve. Duhet të sqarohet mirë kuptimi i periodës, si në tekst. Mësuesi duhet të synojë të nxjerrë nga klasa, nëpërmjet një diskutimi, përfundimin e përgjithshëm: “Nëse tek thyesa e zakonshme kryejmë pjesëtimin e numëruesit me emëruesin, do të marrim një numër dhjetor të fundmë ose numër dhjetor të pafundmë periodik”. Është me rëndësi t’u theksohet nxënësve, se më vonë do të mësojnë të kthejnë edhe numrat dhjetorë të pafundmë periodik në thyesa të zakonshme. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1,2, 3.

Mësimi 2.16. Përqindja

Kuptime: Përqindja

Veti: Për të gjetur a% të një madhësie, mjafton të shumëzojmë atë me thyesën 100

a .

Për të gjetur një madhësi kur dimë që b% e saj është numri p, mjafton të pjesëtojmë p

me thyesën 100

b.

Metoda: Njehsime me thyesa me emërues 100. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë një përqindje të caktuar të një madhësie të dhënë.


• Të gjejnë vlerën e një madhësie, kur njihet një përqindje e caktuar e saj. • T’i përdorin këto shkathtësi në situata të thjeshta praktike.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim kemi thjesht një rimarrje të njohurive të trajtuara në klasën VI. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e paraqitur në tekst. Ushtrimi në hyrje synon të kontrollojë shkallën e zotërimit të koncepteve dhe shkathtësive, që kanë qenë objekt i të mësuarit në klasën VI; ai i krijon mundësi mësuesit të bëjë një sondazh për gjendjen e klasës. Për këtë arsye, mësuesi duhet të kërkojë që ai të zgjidhet individualisht nga nxënësit. Më tej nxënësit të lexojnë në tekst sintezën e elementëve teorikë dhe të shembujve të zgjidhur, në mënyrë individuale. Më pas ata të zgjidhin, me punë të pavarur individuale apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

Mësimi 2.17. Ushtrime për përsëritje

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë sistemimi i njohurive dhe zhvillimi i shkathtësive të fituara në mësimet e kreut. Rekomandohet që mësuesi t’u japë, paraprakisht si detyrë nxënësve që të hartojnë një përmbledhje me shkrim të fakteve kryesore të kreut. Mësimi në klasë të zhvillohet me libër hapur. Të kombinohet zgjidhja në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të tjerë, të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet në klasë. Të konsiderohen si të nivelit minimal ushtrimet me numrat 2, 3, 4, 5, 6, .7

112 MATEMATIKA 7

V. MËSIME MODEL

Po japim tani disa orë mësimi model (me teknika të ndryshme) për secilin nga krerët e përfshirë në tekst. Në varësi të kushteve specifike, mësuesit mund t’i përdorin ato në orë të ndryshme apo në veprimtari të tjera.

KREU 1 NUMRAT E PLOTË

Mësimi 1.1. KUPTIMI I NUMRIT TË PLOTË. (PËRSËRITJE)Njohuri teorike kryesore

Kuptime:Numra të plotë pozitivë, numra të plotë negativë, krahasimi i numrave të plotë, mbledhja e numrave të plotë, zbritja e numrave të plotë.Veti

• Numrat e plotë pozitivë janë numrat natyrorë.• Numrat e plotë negativë janë numrat pozitivë me shenjën (-) (minus).• Numra të plotë quhen numrat natyrorë, numrat e plotë negativë dhe numri zero.

Bashkësia e numrave të plotë shënohet me shkronjën Z. • Krahasimi i numrave të plotë me shenjë të njëjtë dhe shenjë të kundërt.• Mbledhja e numrave të plotë për numra me shenjë të njëjtë dhe me shenjë të

kundërt.• Zbritja e numrave të plotë si veprim i kundërt i mbledhjes.

MetodaZbatim, analizë, sintezë.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të identifikojnë numra të plotë pozitivë dhe negativë. • Të krahasojnë dy numra të plotë me shenjë të njëjtë dhe me shenjë të kundërt.• Të mbledhin numra të plotë duke përdorur rregullat dhe vetitë e mbledhjes.• Të zbresin numra të plotë duke përdorur rregullat për zbritjen e tyre.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Kuptimi i numrit të plotë, krahasimi, mbledhja dhe zbritja janë koncepte të rimarra nga klasa e gjashtë. Në këtë rast mësuesi e fillon mësimin me një tabelë e cila përmbledh të gjitha njohuritë që kanë nxënësit. Mësuesi vizaton në dërrasë një tabelë. Nxënësit punojnë në dyshe dhe plotësojnë tabelën me njohuritë që kanë mësuar për numrat e plotë.


TabelaKuptimi i numrit të plotë

Krahasimi i numrave të plotë

Mbledhja e numrave të plotë

Zbritja e numrave të plotë

Numrat natyrorë janë numra të plotë pozitivë dhe shënohen me shenjën + përpara.

Çdo numër i plotë negativ është më i vogël se zero.

Për të gjetur shumën e dy numrave të plotë negativë, mblidhen të kundërtit e tyre dhe para shumës së gjetur vendoset shenja (-).

Zbritja e numrit a me numrin b është veprim i kundërt i mbledhjes.

Numra të plotë negativë janë numra natyror me shenjë - përpara

Çdo numër i plotë pozitiv është më i madh se zero.

Për të gjetur shumën e dy numrave të plotë me shenja të ndryshme i zbresim numrat pa shenjë dhe përfundimit i vendosim shenjën e numrit më të madh (duke i konsideruar numrat pa shenjë).

Për të zbritur nga një numër i plotë një tjetër, mjafton që të zbritshmit t’i mbledhim të kundërtin e zbritësit a-b=a+(-b)

Numrat natyrorë, numrat e plotë negativë dhe numri zero përbëjnë bashkësinë e numrave të plotë e cila shënohet me me shkronjën Z.

Çdo numër i plotë negativ është më i vogël se çdo numër i plotë pozitiv.

Shuma e dy numrave të kundërt është 0 m+(-m)=0

Në bashkësinë e numrave të plotë, veprimi i zbritjes mund të kryhet gjithmonë.

Numrat e kundërt janë a dhe –a

Ndër dy numra negativë, më i vogël është ai që ka numrin e kundërt më të madh

Mbledhja e numrave të plotë ka vetinë e ndërrimit a+b=b+a

Mbledhja e numrave të plotë ka vetinë e shoqërimit (a+b)+c=a+(b+c).

Mësuesi plotëson në dërrasë tabelën me njohuritë që dinë nxënësit. Më pas mësuesi orienton nxënësit të vizatojnë një bosht numerik dhe të vendosin në të, të gjithë numrat e plotë nga -4 deri te 4. Nxënësit shkruajnë në fletoret e tyre këto mosbarazime

114 MATEMATIKA 7

-4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4.Mësuesi e ndan klasën në grupe për të zhvilluar ushtrime rreth krahasimit, mbledhjes dhe zbritjes së numrave të plotë.

Grupi 1 a) Paraqitni në boshtin numerik numrat –2; 0; 2. b) Krahasoni: –3 me 2; -4 me 0; -5 me –7 c) Kryeni mbledhjen (-7)+(-8); (18)+(-9); (-12)+(8); d) Kryeni zbritjen (-15)-(+20); 13-(-17); (-17)-(-17)e) Zgjidhni ekuacionin 7+x=5

Grupi 2 a) Paraqitni në boshtin numerik numrat –3; 0; 3. b) Krahasoni: –4 me 3; -5 me 0; -7 me –9 c) Kryeni mbledhjen (-9)+(-6); (11)+(-4); (-15)+(9); d) Kryeni zbritjen (-14)-(+22); 21-(-12); (-25)-(-25)e) Zgjidhni ekuacionin (-4)+x=(-6)

Grupi 3 a) Paraqitni në boshtin numerik numrat –4; 0; 4. b) Krahasoni: –6 me 4; -8 me 0; -6 me –7 c) Kryeni mbledhjen (-10)+(-12); (10)+(-6); (-21)+(8); d) Kryeni zbritjen (-16)-(+24); 26-(-17); (-26)-(-26)e) Zgjidhni ekuacionin (-4)+x=-4

Grupi 4 a) Paraqitni në boshtin numerik numrat –1; 0; 1. b) Krahasoni: –8 me 7; -2 me 0; -5 me –3 c) Kryeni mbledhjen (-13)+(-13); (12)+(-3); (-34)+(15); d) Kryeni zbritjen (-24)-(+16); 17-(-26); (-19)-(-19)e) Zgjidhni ekuacionin (-8)+x=6

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 dhe 5.

Mësimi 1.3. SHUMËZIMI I NUMRAVE TË PLOTË

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Mbledhorë të barabartë, faktorë, prodhimi i dy numrave të plotë me shenjë të njëjtë, prodhimi i dy numrave të plotë me shenja të ndryshme. Veti.

• Prodhimi i dy numrave të plotë me të njëjtën shenjë është një numër pozitiv, (minus herë minus jep plus).

• Prodhimi i dy numrave të plotë me shenja të ndryshme është numër negativ, (plus herë minus jep minus).


• Shumëzimi i numrave të plotë gëzon vetinë e ndërrimit a ⋅ b = b ⋅ a, vetinë e shoqërimit të shumëzimit a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c, vetinë e përdasisë në lidhje me mbledhjen dhe në lidhje me zbritjen a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c; a⋅(b-c)=a⋅b-a⋅c.

Metoda.Krahasim, argumentim, formulim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të shumëzojnë dy numra të plotë me të njëjtën shenjë. • Të shumëzojnë dy numra të plotë me shenja të ndryshme.• Të përdorin vetinë e ndërrimit dhe shoqërimit në shumëzimet e numrave të plotë.• Të përdorin vetinë e përdasimit të shumëzimit të numrave të plotë në lidhje me

mbledhjen dhe zbritjen.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Shumëzimi i numrave të plotë është një konceptim i ri për nxënësit e klasës së shtatë, por në këtë rast mësuesi mund të përdorë teknikën e organizuesit grafik të analogjisë. Në klasën e gjashtë nxënësit kanë mësuar që shuma e mbledhorëve të njëjtë mund të shkruhet si prodhim i dy faktorëve p.sh., 5·3 është shuma e tre mbledhorëve, secili nga të cilët është 5. Pra 5·3=5+5+5=15. Është e rëndësishme që nxënësit të arrijnë në përfundimin se edhe për shumëzimin e numrave të plotë, shuma e mbledhorëve të barabartë mund të shkruhet si prodhim i mbledhorit që përsëritet me numrin e mbledhorëve. P.sh., (-5) · 3 është shuma e tre mbledhorëve, ku secili është –5. Meqenëse (-5)+(-5)+(-5)=-15, ne marrim (-5)·3=-15. Gjithashtu në klasën e gjashtë nxënësit kanë mësuar vetinë e ndërrimit dhe shoqërimit të shumëzimit të numrave natyrorë. Këto veti shumëzimi janë analoge me vetitë e shumëzimit të numrave të plotë. Le të plotësojmë “Organizuesin grafik të analogjisë”. Mësuesi vizaton në dërrasë tabelën si më poshtë:

Vetitë Shumëzimi i numrave natyrorë Shumëzimi i numrave të plotëPërkufizimi Shembull Përkufizimi Shembull

Vetia e ndërrimit

a ⋅ b = b ⋅ a 15 ⋅ 6 = 6 ⋅ 15 a ⋅ b = b ⋅ a -15 ⋅ 6 = 6 ⋅ (-15)

Vetia e shoqërimit

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c 7 ⋅ (5 ⋅ 6) = (7 ⋅ 5) ⋅ 6 a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c -7 ⋅ (5⋅) (-6) = (-7 ⋅ 5) ⋅(-6)

Shumëzimi me 1

a ⋅ 1 = a 7 ⋅ 1 = 7 a ⋅ 1 = a -7 ⋅ 1 = -7

Shumëzimi me 0

a ⋅ 0 = 0 6 ⋅ 0 = 0 a ⋅ 0 = 0 -6 ⋅ 0 = 0

Nxënësit punojnë në dyshe me disa prodhime 7·4; (-7)·(-4); 7·(-4); (-4)·7. Mësuesi orienton punën e nxënësve. Në përfundim nxënësit formulojnë me ndihmën e mësuesit dy rregullat kryesore të shumëzimit të numrave të plotë:

• Prodhimi i dy numrave të plotë me të njëjtën shenjë është një numër pozitiv, (minus herë minus jep plus)

116 MATEMATIKA 7

• Prodhimi i dy numrave të plotë me shenja të ndryshme është numër negativ (plus herë minus jep minus)

Nxënësit vazhdojnë të punojnë në dyshe me ushtrimin: Njehsoni në dy mënyra 7·(2-3) duke argumentuar veprimet e tyre.Zgjidhje 1. Gjejmë në fillim 2-3=2+(-3)=-1. Atëherë kemi 7·(-1)=-7. 2. Duke përdorur vetinë e përdasisë, kemi: 7·(2-3)=7·2-7·3=14-21= -7. Më pas nxënësit zgjidhin vetë ushtrimin:Njehsoni në dy mënyra [3+(-4)] · 6 duke argumentuar veprimet e tyre.Nxënësit formulojnë vetë vetinë e shumëzimit me -1Gjatë shumëzimit me numrin (-1), numri i plotë jep të kundërtin e vet. P.sh. 13·(-1)= -13; (-13)·(-1)=13. Në përgjithësi, a·(-1)=-a. Mësuesi shkruan në tabelë këto pohime: Çfarë shenje ka prodhimi i tre numrave të plotë, që janë: a) dy pozitivë dhe një negativ; b) një negativ e dy pozitivë; c) të tre negativë? Çfarë shenje ka prodhimi i katër numrave të plotë, që janë: a) dy pozitivë dhe dy negativë; b) një negativ e tre pozitivë; c) tre negativë dhe një pozitiv; e) të katërt negativë ? Nxënësit lihen të punojnë disa minuta duke konkretizuar përgjigjen e tyre me argumentet përkatës dhe shembuj konkretë.Për të përmbledhur njohuritë, mësuesi mund të ftojë nxënësit të plotësojnë një paragraf kornizë për të krahasuar dy konceptet: shumëzimi i numrave natyrorë dhe shumëzimi i numrave të plotë.____________________ dhe ___________________ janë të ngjashme në disa drejtime. Ato të dyja ______________________________. Për më tepër secili ______________________________________. Për shkak të këtyre ngjashmërive, mund të themi që ________________________. Megjithatë _________________ dhe __________________________ ndryshojnë nga njëri tjetri në disa drejtime të rëndësishme. Së pari ___________________________, kurse ___________________. Përveç kësaj __________________________. Këto dallime na ndihmojnë të shohim ___________________________________________. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, dhe 6.


KREU 2 THYESAT DHE NUMRAT DHJETORËMësimi 2.6. GJETJA E PJESËS DHE E TË TËRËS

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Pjesa e një thyese, pjesa e një numri, e tëra. Veti.

• Për të gjetur pjesën (e shprehur me thyesë) e një numri, mjafton të shumëzojmë këtë numër me thyesën e dhënë.

• Për të gjetur pjesën (e shprehur në thyesë), e një pjese (e shprehur në thyesë), mjafton të shumëzojmë dy thyesat me njëra – tjetrën.

• Për të gjetur një madhësi të panjohur, kur njohim një pjesë të saj (shprehur me thyesë), që është numër i njohur, mjafton të pjesëtojmë këtë numër me këtë thyesë.

Metoda.Zbatim, formulim, vlerësim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të formulojnë rregullën e gjetjes se pjesës së një numri dhe thyese.• Të formulojnë rregullën për gjetjen e të tërës, kur njohin një pjesë të saj .• Të zbatojnë rregullat e mësipërme.• Të zgjidhin problema me gjetjen e pjesës dhe të tërës

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:

Koncepti i gjetjes së një pjese të një numri dhe gjetja e të tërës është rimarrje e koncepteve nga klasat e mëparshme dhe kjo e lehtëson punën e mësuesit. Në këtë rast mësuesi mund të përdorë teknikën Di –Dua të di- Mësova plus (DDM). Mësuesi vizaton në dërrasë tabelën . Mësuesi fton nxënësit të shkruajnë në kolonën e parë çfarë dinë për gjetjen e një pjese të një numri, gjetjen e të tërës, si dhe të japin shembuj për të konkretizuar ato që kanë shkruar etj.

118 MATEMATIKA 7

Di Dua të di Mësova plus

• Thyesa përdoret për të shkruar pjesën e një thyese;• Ne mund të gjejmë pjesën e një madhësie;• Ka dy mënyra për të gjetur pjesën e një madhësie, p.sh:,

3 e 164

M.1. 3 16 16:4 3=4 3=124⋅ = ⋅ ⋅ .

M.2. 3 3 16 4816 124 4 4

⋅⋅ = = = .

• Në përgjithësi, për të gjetur pjesën e një numri, shumëzojmë këtë numër me thyesën e dhënë.

• Ne mund të gjejmë madhësinë kur njohim të tërën. Shënojmë me x të tërën dhe formojmë një ekuacion, p.sh.

3 3 4150 150 : 150 150 :3 4 50 4 2004 4 3

x x⋅ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

• A mund të gjendet pjesa e një pjese?

• Si mund të veprohet për gjetjen e pjesës së një pjese?

• Si mund të zbatohen në situata reale gjetja e pjesës, të tërës etj.?

• Ne mund të gjejmë pjesën e një pjese.

• Ne shumëzojmë dy thyesat për të gjetur pjesën e një pjese.

• Ne mund të zgjidhin problema me situata reale për gjetjen e një pjese dhe gjetjen e një madhësie të tërë.

Në kolonën e dytë “Dua të di” nxënësit shkruajnë çfarë duan të dinë akoma, në lidhje me pjesën dhe të tërën. Mësuesi orienton nxënësit drejt koncepteve të reja.Mësuesi prezanton këtë problem:

Në një klasës 12

janë djem. 34

e tyre (djemve) janë në ekipin e futbollit. Ç’pjesë e

nxënësve të klasës janë në ekipin e futbollit? Nxënësit diskutojnë dhe punojnë në dyshe. Në rast se nxënësit hasin vështirësi, mësuesi i lehtëson ata duke i orientuar se veprojmë

në mënyrë analoge si me pjesën e një numri. Pra 3 1 3 1 3 1 3 e 4 2 4 2 4 2 8

⋅⇒ ⋅ = =

⋅Nxënësit formulojnë rregullën për gjetjen pjesës së një pjese.Mësuesi e ndan klasën në grupe me 4 nxënës (1, 2, 3, 4).

Numrat 1 dhe 2 punojnë me ushtrimet 5 2 e 6 3

dhe 3 7 e 4 8

. Numrat 3 dhe 4 punojnë me

ushtrimet 3 e 1604

dhe 5 e 7206

. Më pas numrat 1 bashkohen me numrat 3 dhe

numrat 2 me numrat 4. Ata shkëmbejnë ushtrimet e tyre (1 me 3 dhe anasjelltas) dhe korrigjojnë zgjidhjet e shokut. Rezultatet diskutohen në klasë.Nxënësit vazhdojnë të punojnë në grupe me problema nga situata reale nga teksti i nxënësit.


Grupi 1, zgjidh problemën 1.Grupi 2, zgjidh problemën 2.Grupi 3, zgjidh problemën 3. Grupi 4, zgjidh problemën 4. Grupi 5, zgjidh problemën 5. Mbasi mbarohen zgjidhjet e problemave grupet këmbejnë fletoret dhe vlerësojnë zgjidhjen e njëri-tjetrit.Në përfundim të orës së mësimit nxënësit plotësojnë në klasë ose në shtëpi kolonën e tretë “Mësova plus” me të gjitha njohuritë e reja që ka mësuar gjatë orës së mësimit. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, 4 dhe 5.

Mësimi 2.14. KTHIMI I THYESËS SË ZAKONSHME NË THYESË DHJETORE

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Thyesa e zakonshme, thyesa dhjetore.Veti.

• Numri dhjetor shkruhet si thyesë dhjetore;• Thyesa dhjetore shkruhet si thyesë e zakonshme; • Thyesa e zakonshme mund të shkruhet si thyesë dhjetore.(por jo gjithmonë).

Metoda.Zbatim, formulim, vlerësim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:-Të shkruajnë një numër dhjetor si thyesë dhjetore;-Të kthejnë thyesën dhjetore në thyesë të zakonshme -Të kthejnë (në rast se munden) një thyesë të zakonshme në një thyesë dhjetore.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i kthimit të thyesave nga e zakonshme në dhjetore dhe anasjellas është një koncept relativisht i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Por nxënësit njohin mirë konceptin e thyesës së zakonshme dhe thyesës dhjetore. Mësuesi mund të përdorë paragrafin e krahasimit për dy llojet e thyesave:____________________ dhe ___________________ janë të ngjashme në disa drejtime. Ato të dyja ______________________________. Për më tepër secila ______________________________________. Për shkak të këtyre ngjashmërive, mund të themi që ________________________. Megjithatë _________________ dhe __________________________ ndryshojnë nga njëri-tjetri në disa drejtime të rëndësishme. Së pari ___________________________, kurse ___________________.

120 MATEMATIKA 7Përveç kësaj __________________________. Këto dallime na ndihmojnë të shohim ___________________________________________.

Më pas mësuesi organizon rrjetin e diskutimit. Mësuesi iu drejton pyetje nxënësve për të diskutuar dhe argumentuar. Disa nxënës mund të përgjigjen po, disa të tjerë jo. Mësuesi e ndan klasën sipas përgjigjeve dhe i krijon hapësirë secilit grup të argumentojë përgjigjen:

Po

A mund të shkruhet një numër dhjetor në thyesë dhjetore?A mund të kthehet gjithmonë një thyesë dhjetore në thyesë të zakonshme? Po anasjelltas ndodh gjithmonë?Argumentoni përgjigjen?

Jo

Numrin dhjetor 3,54 mund ta shkruajmë 354100

, duke e kthyer në thyesë. Mësuesi fton nxënësit të plotësojnë ushtrimin 1: Shkruani si thyesa të zakonshme numrat dhjetorë: 0,208; 5,12; 0,081. Mësuesi thekson dhe njëherë konkluzionin që nxënësit nxorën gjatë rrjetit të diskutimit: Çdo numër dhjetor mund ta kthejmë në thyesë të zakonshme.

Punoni në fletoren tuaj me thyesat 38

dhe 715

. Kthejini në thyesa dhjetore, pra emëruesi

i thyesës duhet të jetë 10 ose shumëfish i dhjetës. Mbasi nxënësit punojnë disa minuta diskutohen rezultatet: 38

mund ta shkruajmë si numër dhjetor, kurse thyesën 715

nuk mund ta shkruajmë si

numër dhjetor. Pjesëtoni me makinën llogaritëse numrin 7 me numrin 15. Çfarë vini re?Mësuesi vizaton në dërrasë një tabelë dhe i kërkon nxënësve ta plotësojnë atë.

Thyesa e zakonshme12

14

15

38

Numri dhjetor75

100125

1000

Më pas nxënësit punojnë në dyshe me ushtrimin 1 dhe 3. Njëri prej shokëve të dyshes gjen rezultatet e ushtrimit 1 dhe shoku tjetër rezultatet e ushtrimit 3. Më pas ata këmbejnë fletoret dhe kontrollojnë rezultatet e shokut. Nxënësit diskutojnë në klasë rezultatet përfundimtare.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet 1, 2 dhe 3.


KREU 3. NUMRAT RACIONALË

Mësimi 3. 1. KUPTIMI I NUMRIT RACIONAL

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Numrat e plotë, thyesa të zakonshme pozitive dhe negative, thyesa dhjetore pozitive dhe negative, numra racionalë.

Veti• Përveç numrave të plotë (pozitivë apo negativë) kemi edhe thyesat (të zakonshme

apo dhjetore) pozitive apo negative. • Thyesat pozitive, thyesat negative dhe numri zero përbëjnë bashkësinë e numrave

racionalë. Bashkësia e numrave racionalë shënohet me shkronjën Q

• Numri racional paraqitet në trajtën mn

, ku m është numër i plotë, kurse n është numër natyror,

• Numrat e kundërt paraqiten në boshtin numerik me pika, që janë simetrike ndaj origjinës O.

MetodaParaqitje grafike, diskutim, formulim.

Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përcaktojnë numrat racionalë ndër disa numra të dhënë.

• Të paraqesin numrat racionalë në formën mn

.

• Të paraqesin numra racionalë në boshtin numerik.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i numrit racional është një koncept i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Në fazën e parashikimit të njohurive, mësuesi paraqet një organizues grafik për llojet e numrave që janë mësuar deri tani: Bashkësia e numrave natyrorë e cila shënohet me N, bashkësia e numrave të plotë e cila shënohet me Z, bashkësia e numrave racionalë e cila shënohet me Q.

Numrat racionalë (Q)

Numrat e plotë (Z)

Numrat Natyror (N)

122 MATEMATIKA 7

Nxënësit e plotësojnë organizuesin grafik me shembuj të llojeve të numrave përkatës dhe shpjegojnë pse kemi një organizim të tillë të llojeve të numrave. A mund të jetë numri natyror i plotë ? Pse? A mund të jetë numri natyror një numër racional, po numri i plotë mund të jetë një numër racional.Mësuesi thekson se në matematikë dhe në jetën e përditshme janë të nevojshme jo vetëm numrat e plotë (pozitivë apo negativë) por edhe thyesat (të zakonshme apo dhjetore). Ka shumë situata në të cilat është e dobishme të shqyrtohen numra dhjetorë apo thyesa negative. P.sh., në qoftë se një biznes synon të fitojë, por del me humbje vjetore prej 1,5 milion lekë, shpesh thuhet që “fitimi” i tij është –1,5 milion lekë. Një politikan synon të rrisë popullaritetin e tij, por në qoftë se sondazhet tregojnë që për një muaj ky popullaritet u zvogëlua me 3,4% thuhet që “rritja e popullaritetit” është –3,4%. Nxënësit punojnë në dyshe dhe mësuesi fton nxënësit të shkruajnë numra dhjetorë,

numra thyesorë, përqindje të cilat janë numra pozitivë dhe negativë, si p.sh., 12

; 53

;

2,5; 7%. Nëse shënojmë shenjën (+) (plus) përpara kemi 1 12 2= + ; 5 5

3 3= + ; 2,5=+2,5;

7%=+7% dhe nëse shënojmë shenjën (-) (minus) përpara kemi thyesa që quhen negative

12

− ; 53

− ; -2,5; -7%

Nxënësit argumentojnë shembujt e tyre.Ju dini që çdo numër i plotë mund të paraqitet si thyesë (pozitive apo negative).

P.sh., 221

= ; 551−

− = ; 001

= .

Thyesat pozitive, thyesat negative dhe numri zero formojnë bashkësinë e numrave racionalë. Bashkësia e numrave racionalë shënohet me shkronjën Q.

Kështu, numri që paraqitet në trajtën mn

, ku m është numër i plotë, kurse n është numër

natyror, quhet numër racional. Nxënësit vazhdojnë të punojnë në dyshe me Ushtrimin 1.

Paraqitni në trajtën mn

numrat:

-7; 0; 3; 47

− ; 2,3; -2,3.

Më pas nxënësit vizatojnë të gjithë një bosht numerik.Paraqisni në bosht numrat e ushtrimit 1. Mësuesi lehtëson nxënësit për vendosjen e

numrave 47

− ; 2,3; -2,3, të cilët kanë specifikat e tyre.


Mësuesi organizon diskutimin me nxënësit: Çfarë mund të thoni për numrat racionalë të kundërt në boshtin numerik? Si janë në lidhje me pikën O? Nxënësit argumentojnë përgjigjet e tyre.Mësuesi paraqet shënimet në tabelë: a) 8 Z− ∈ ; b) 4 N− ∉ ; c) 13 Q∈ ; d) 1,3 Q∈ . Nxënësit diskutojnë nëse këto shënime janë të sakta duke argumentuar përgjigjet e tyre. Në përfundim të orës së mësimit nxënësit punojnë në dyshe për ushtrimin 1 duke ndarë

numrat 34

; 1; -2; 0; 73

− ; 122

; 3,05; -7,4 në:

a) numra pozitivë; b) numra negativë; c) numra të plotë; d) numra natyrorë; e) numra jo të plotë negativë. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 dhe 4.

Mësimi 3.3. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E NUMRAVE RACIONALË

Njohuri teorike kryesore

Kuptime:Mbledhja e numrave racionalë negativë, mbledhja e numrave racionalë me shenja të ndryshme, zbritja e numrave racionalë.

Veti• Për të mbledhur numrat racionalë me shenjë të njëjtë (pozitive ose negative)

mbledhim numrat pa shenjë dhe vendosim shenjën përkatëse (+) ose (-).• Për të mbledhur dy numra racionalë me shenja të ndryshme, zbresim numrat pa

shenjë dhe përpara përfundimit vendosim shenjën e numrit më të madh. • Mbledhja e dy numrave racionalë gëzon vetinë e ndërrimit dhe atë të shoqërimit. • Për të gjetur ndryshesën e numrit racional a me numrin racional b, mjafton të

gjejmë shumën e a me të kundërtin e b, pra, a-b=a+(-b).

MetodaAnalogji, diskutim, formulim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të mbledhin numra racionalë me shenjë të njëjtë;• Të mbledhin numra racionalë me shenjë të ndryshme;• Të zbatojnë vetitë e mbledhjes së numrave racionalë;• Të zbresin numra racionalë.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i mbledhjes dhe zbritjes së numrave racionalë është relativisht një koncept i ri

124 MATEMATIKA 7

për nxënësit e klasës së shtatë, por duke qenë se është analog me konceptin e mbledhjes dhe zbritjes së numrave të plotë, mësuesi mund të rikujtojë disa rregulla kryesore me anë të një organizuesi grafik të analogjisë. Mësuesi vizaton në dërrasë një tabelë. Nxënësit ftohen të plotësojnë rregullat dhe vetitë për mbledhjen dhe zbritjen e numrave të plotë.

Mbledhja dhe zbritja e numrave të plotë Mbledhja dhe zbritja e numrave racionalë Rregulla Veti Rregulla Veti

Për të mbledhur numra të plotë me shenjë të njëjtë (pozitivë ose negativë) mbledhim numrat pa shenjë dhe vendosim shenjën përkatëse (+) ose (-)

Vetia e ndërrimit a + b = b + a 15 + 25 = 25 + 15

Për të mbledhur numrat racionalë me shenjë të njëjtë (pozitivë ose negativë) mbledhim numrat pa shenjë dhe vendosim shenjën përkatëse (+) ose (-)

Vetia e ndërrimit a + b = b + a 15 + 25 = 25 + 15

- Për të mbledhur dy numra të plotë me shenja të ndryshme, zbresim numrat pa shenjë dhe përpara përfundimit vendosim shenjën e numrit më të madh.

Vetia e shoqërimit a+(b+c) = (a+b) +c11+(23+16)= (11+23)+16

- Për të mbledhur dy numra racionalë me shenja të ndryshme, zbresim numrat pa shenjë dhe përpara përfundimit vendosim shenjën e numrit më të madh.

Vetia e shoqërimit a+(b+c) = (a+b) +c11+(23+16)= (11+23)+16

- Për të gjetur ndryshesën e numrit të plotë a nga numri i plotë b, mjafton të gjejmë shumën e a me të kundërtin e b, pra, a-b=a+(-b).

- Për të gjetur ndryshesën e numrit racional a nga numri racional b, mjafton të gjejmë shumën e a me të kundërtin e b, pra, a-b=a+(-b).

Mbasi nxënësit plotësojnë kolonën për numrat e plotë, mësuesi thekson se kemi të njëjtat rregulla dhe veti për mbledhjen dhe zbritjen e numrave racionalë. Në këtë rast nxënësit ftohen të formulojnë vetë rregullat dhe vetitë në kolonën e numrave racionalë, në mënyrë analoge me rregullat dhe vetitë e numrave të plotë.Diskutohen përgjigjet e nxënësve dhe argumentohen.

Më pas nxënësit ndahen në grupe me 4 nxënës (1, 2, 3, 4). Mësuesi jep ushtrime me mbledhje dhe zbritje të numrave racionalë. Nxënësit me numër 1 dhe 3 bashkëpunojnë


së bashku dhe nxënësit me numër 2 dhe 4 bashkëpunojnë së bashku. Nxënësit me numër 1 dhe 3 zgjidhin këto ushtrime

(-3,7)+(3,5)=; 3 24 5

− + − =

; 3 42 3

− − − =

; 14,5 – 16,6 =

Nxënësit me numër 2 dhe 4 zgjidhin këto ushtrime

(-5,6)+(4,9)=; 5 26 3

− + − =

; 7 69 5

− − − =

; 3,4 - 2,5=

Më pas nxënësit këmbejnë fletët sipas dysheve dhe kontrollojnë veprimet e kryera duke bërë komentet e tyre.Mësuesi cakton ushtrimin 1 për nxënësit 1, ushtrimin 2 për nxënësit 2, ushtrimin 6a) për nxënësit 3 dhe ushtrimin 6b) për nxënësit 4. Nxënësit punojnë disa minuta dhe më pas këmbejnë fletët brenda grupit: nxënësi 1 kontrollon nxënësin 2, nxënësi 2 kontrollon nxënësin 3 e kështu me radhë. Mësuesi lehtëson nxënësit duke bërë komentet nëpër grupe sipas nevojave të nxënësve.

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6.

126 MATEMATIKA 7

KREU 4 Fuqitë

Mësimi 4. 1. KUPTIMI I FUQISË

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Prodhim i disa faktorëve, fuqia, eksponenti, baza.

Veti• Prodhimi i disa faktorëve të barabartë midis tyre mund të shkruhet si fuqi;• Baza dhe eksponenti i fuqisë; • Prodhimi i n faktorëve (n∈N dhe n>1) të barabartë me a quhet fuqi e ntë e numrit

a dhe shkruhet na ; • na a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ku a është baza, n është eksponenti; • Fuqia e një numri pozitiv është numër pozitiv;• Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është çift, është numër pozitiv. • Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është tek, është numër negativ.

MetodaVëzhgim, argumentim, formulim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të përcaktojnë elementet e një fuqie; - Të shkruajnë si fuqi, prodhimin e disa faktorëve të barabartë;- Të gjejnë fuqinë e një numri pozitiv;- Të gjejnë fuqinë e një numri negativ.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Kuptimi i fuqisë është një koncept krejt i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Për të hyrë në konceptin e ri mësuesi vizaton një hartë konceptesh për shumëzimin e numrave. Nxënësit plotësojnë gjithçka kujtojnë për këtë koncept.

Mësuesi orienton nxënësit me pyetje të tilla: Nëse është dhënë shprehja 7 + 7 + 7 + 7 + 7, tregoni si mund ta shkruajmë shkurt. Kështu, në vend që të

Gëzon vetinë e ndërrimit

Gëzon vetinë e shoqërimit (për thyesat)

Gëzon vetinë e përdasisë në lidhje me mbledhjen

Gëzon vetinë e përdasisë në lidhje me zbritjen

Prodhimi është mbledhja e faktorëve të barabartë

Prodhimi i faktorëve të barabartë shkruhet si fuqi e një numri

SHUMËZIMI I NUMRAVE


shkruajmë 7+7+7+7+7=35, shkruajmë shkurt 7·5=35. Pra mund të plotësohet edhe një kuadrat tjetër: Prodhimi është mbledhja e faktorëve të barabartë.Mësuesi vazhdon: Po shprehjen 3·3·3·3 si mund ta shkruajmë. Nxënësit mund të mos i përgjigjen dot.Mësuesi vazhdon me shpjegimin e termit të ri.Ka një veprim që na lejon të shkruajmë shkurt prodhimin e disa faktorëve të barabartë midis tyre. Kështu, në vend që të shkruajmë 3·3·3·3=81, shkruajmë shkurt 34=81. Ky shënim lexohet “3 i ngritur në fuqi të katërt është 81”.

Eksponenti Baza¬34 =81→Fuqia

Në këtë shënim numri 3 quhet bazë, numri 4 quhet eksponent, kurse numri 81, që është rezultati quhet fuqia. Shkruani të gjithë në fletoret tuaja shprehjen (-2)⋅(-2)⋅(-2). Shkruajeni këtë shprehje si fuqi. Sa del rezultati? (-2)3= -8. Pra argumentoni, a ndryshon paraqitja e shprehjes, meqënëse kemi faktor negativ?A mund të formuloni një pohim për fuqinë e një numri?Mësuesi ndihmon nxënësitFuqi e _____________ është ____________ i n faktorëve të ______________ me a. Shënohet na ku a është _________ dhe n është ___________..

na a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Nxënësit punojnë në dyshe duke gjetur 32; (-4)3; 25. Më pas nxënësi me numër 1, gjen fuqinë e (+2)2; (+2)3; (+2)4; (+2)5, ndërsa nxënësi me numër 2, gjen fuqinë (-2)2; (-2)3 ; (-2)4; (-2)5. Nxënësit këmbejnë fletët dhe i përgjigjen pyetjes: Si është shenja e këtyre fuqive? Nxënësit arrijnë në përfundimin se: - Fuqia e një numri pozitiv është numër pozitiv; - Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është çift, është numër pozitiv; - Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është tek, është numër negativ.Më pas nxënësi me numër 1 gjen fuqinë e 12; 13; 14; 15, ndërsa nxënësi me numër 2 gjen fuqinë 02; 03; 04; 05.Cili mund të jetë përfundimi në këtë rast ?Nxënësit theksojnë se për çdo numër natyror n>1 kemi 1 n=1 dhe 0 n=0.

Mësuesi thekson se: Me marrëveshje caktohet a1=a për çdo numër a;

Nxënësit vazhdojnë punojnë në dyshe:Nxënësi i parë zgjidh ushtrimin 1 dhe nxënësi i dytë zgjidh ushtrimin 2. Ata kontrollojnë rezultatet duke këmbyer fletët e njëri-tjetrit.

128 MATEMATIKA 7

Në përfundim të orës së mësimit nxënësit plotësojnë edhe kutinë bosh të konceptit të shumëzimit: Prodhimi i faktorëve të barabartë shkruhet si fuqi e një numri.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1,2, 3 , 4 dhe 5.

Mësimi 4.2 FUQITË E NUMRIT DHJETËNjohuri teorike kryesore

Kuptime:Fuqia e numrit 10, eksponenti, baza.Veti

• Fuqia ka dy elemente: baza dhe eksponenti; • Fuqia e një numri pozitiv është numër pozitiv;• Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është çift, është numër pozitiv. • Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është tek, është numër negativ. • Fuqitë e numrit 10, janë numra natyrorë që shifër të parë kanë numrin një, ndërsa

shifrat që e pasojnë janë aq zero sa është eksponenti fuqisë.

MetodaVëzhgim, argumentim, formulim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të përcaktojnë elementet e një fuqie; - Të gjejnë fuqinë e një numri pozitiv;- Të gjejnë fuqinë e një numri negativ; - Të zbërthejnë fuqitë e numrit 10.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Kuptimi i fuqisë së numrit 10 është një koncept i ri për nxënësit e klasës së shtatë, por tashmë ata kanë marrë konceptin e fuqisë. Për këtë arsye mësuesi vizaton një hartë konceptesh për fuqinë e numrave. Nxënësit plotësojnë njohuritë që kanë mësuar rreth fuqisë së numrave:

Mësuesi pyet nxënësit: A

FUQIA E NUMRAVE

Fuqia ka dy elemente: baza dhe eskponenti;

Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është çift, është numër pozitiv.

na a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Fuqia e një numri pozitiv është numër pozitiv;

Fuqia e një numri negativ, kur eksponenti është tek, është numër negativ

Prodhimi i faktorëve të barabartë shkruhet si fuqi e një numri

a1=a për çdo numër a


kam të drejtë të shkruaj këto barazime?

81= 8 2

2

5 56 6

=

; 2

2

5 56 6

=

(-2)3 = 8 (-3)2= 9

Nxënësit argumentojnë përgjigjet e tyre.Mësuesja vazhdon: Si është vlera e fuqisë me bazë numër me shenjë dhe tregues numër çift? Argumentoni përgjigjen tuaj dhe jepni shembuj.Si është vlera e fuqisë me bazë numër me shenjë dhe tregues numër tek? Argumentoni përgjigjen tuaj dhe jepni shembuj.Nxënësit argumentojnë përgjigjen dhe japin shembuj.Mësuesi fton nxënësit të zbërthejnë në fletoret e tyre ushtrimet 101; 102; 103.Çfarë vini re? Mund të nxirrni një përfundim?Të gjitha fuqitë e numrit 10, janë numra natyrorë që shifër të parë __________________, ndërsa shifrat që e pasojnë janë _______________ sa është ___________________.

Nxënësit ndahen në dy skuadra Skuadra e parë është përgjegjës për zbërthimin e ushtrimeve 104; 105; 106; 108; 1010.Skuadra e dytë është përgjegjës për zbërthimin e ushtrimeve (-10)1; (-10)2; (-10)3; (-10)4.Mësuesi orienton nxënësit të nxjerrin konkluzionet përkatëse: Më pas skuadrat vazhdojnë punën e tyre për gjetjen sa më shpejt të fuqisë së 100; 1000; 100000; 1000000.Diskutohen rezultatet:Skuadrat vazhdojnë të zgjidhin ushtrimet 2 , 3 , 4 dhe 5. Cila skuadër mbaron e para secilin prej ushtrimeve e zhvillon zgjidhjen në tabelë. Në fund shpallet skuadra fituese.

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1,2, 3 , 4 dhe 5.

130 MATEMATIKA 7

KREU 5. MATJA E MADHËSIVE. NJËSITË E MATJES

Mësimi 5.1 NJËSITË E SIPËRFAQES

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Metri katror, shumëfishat, nënfishat, veprime me njësitë e sipërfaqes.Veti

• Njësia bazë për matjen e sipërfaqeve është metri katror (shënohet m2).• Metri katror ka shumëfishat dhe nënfishat e tij.• Në bujqësi për matjen e sipërfaqeve përdoren njësitë dynymi (dn) dhe hektari (ha).• Veprimet me njësitë e sipërfaqes.

MetodaVeprime, zbatim, interpretimShkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përdorin metrin katror si njësinë bazë për matjen e sipërfaqeve.• Të gjejnë shumëfishat dhe nënfishat e metrit katror.• Të kryejnë veprime me njësitë e sipërfaqes.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Matja e sipërfaqes dhe njësitë e saj janë rimarrje e koncepteve nga klasat e mëparshme dhe kjo krijon mundësinë që mësuesi të përdorë paraprakisht njohuritë që kanë nxënësit për këto koncepte. Për të përvetësuar konceptin e matjes së sipërfaqes dhe njësitë e saj mund të përdoret teknika e mëposhtmeMësuesi vizaton një tabelë në dërrasë si më poshtë:

Çfarë dini deri tani për njësitë e sipërfaqes?

Çfarë mund të mësoni më tepër?

Po tani çfarë dimë për sipërfaqen dhe njësitë e sipërfaqes?

Nxënësit plotësojnë kolonën e parë duke shprehur të gjitha ato që dinë për sipërfaqen dhe njësitë e saj. Në kolonën e dytë ata plotësojnë çfarë duan të dinë akoma për këtë temë. P.sh., A mund të matet sipërfaqja e detit Adriatik me metër katror? Mësuesi përdor rrjetin e diskutimit. Mësuesi iu drejton pyetje nxënësve për të diskutuar dhe argumentuar. Disa nxënës mund të përgjigjen po, disa të tjerë jo. Mësuesi e ndan klasën sipas përgjigjeve dhe i krijon hapësirë secilit grup të argumentojë përgjigjen:


A mund të matet sipërfaqja e klasës me m2? Po sipërfaqa e qytetit?Po sipërfaqja e librit?Argumentoni përgjigjen?Diskutoni për objekte të tjera në klasë

Po Jo

Mësuesi punon shembujt e tekstit të nxënësit në tabelë duke ftuar nxënës për zgjidhjen e tyre.Shembulli 1a) 5,2 m2= 5,2⋅100 dm2=520 dm2; b) 17,3 cm2= 17,3⋅100 mm2= 1730 mm2.c) 9,4 km2=9,4⋅1000000m2= 9400000 m2; d) 257 mm2=257:100 cm2= 2,57 cm2.Shembulli 2Pista e vrapimit të garave me kuaj ka formë drejtkëndëshe me gjatësi a= 450 m dhe gjerësi b= 230 m. Sa hektar është sipërfaqja e saj?ZgjidhjeS= a⋅b= 450⋅230=103500 m2= 10,35 ha.Shembulli 3Një fermer ka një sipërfaqe prej 3,5 dn. Prej tyre 2 dn i ka mbjellë me vreshta. Pjesën tjetër do ta mbjellë me perime. 70% të saj do ta mbjellë me domate.Sa m2 do të mbjellë me domate? b) Sa m2 do mbjellë me perime të tjera?

Zgjidhjea) Gjejmë së pari sa dynym do të mbjellë me perime:3,5-2=1,5 dn do mbjellë me perime.Gjejmë tani sa m2 do të mbjellë me domate.

1,5 dn= 1500 m2; 701500 1050100⋅ = m2 do mbjellë me domate.

b) Gjejmë së fundi sa m2 do mbjellë me perime të tjera.1500-1050= 450 m2 do mbjellë me perime të tjera.

Duke pasur parasysh tabelën e shumëfishave dhe nënfishave dhe njësitë e matjes së sipërfaqeve të tokave bujqësore, nxënësit punojnë në dyshe:Nxënësi 1 zgjidh ushtrimin 1Ktheni në njësi më të vogla.a) 3 m2=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅dm2; b) 7 cm2=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mm2; c)2 km2=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m2; d) 2m2=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅cm2.Nxënësi 2 zgjidh ushtrimin 2

132 MATEMATIKA 7

Fusha me sipërfaqe 17,4 ha do ndahet në 60 parcela me sipërfaqe të barabartë. Sa dynym është secila parcelë?Ata kontrollojnë me shokun e bankës rezultatet e ushtrimeve duke kontrolluar veprimet e njëri-tjetrit.Kolona e fundit e tabelës mund të plotësohet në fund të orës së mësimit ose në shtëpi. Në këtë kolonë nxënësit plotësojnë të gjitha njohuritë e tyre që dinë për sipërfaqen dhe njësitë e saj.Më pas nxënësit vazhdojnë punën në dyshe për të punuar me ushtrimet 1, 2, 3 dhe 5.Rezultatet e ushtrimeve diskutohen me të gjithë nxënësit. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2 dhe 3


KREU 6 Raporte dhe përpjesëtime

Mësimi 6.3. SHPREHJA E RAPORTIT NË PËRQINDJE

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Raporti, raporti në trajtë dhjetore, raporti në përqindjeVeti.

• Raport quhet herësi i dy numrave apo dy madhësive;• Raporti mund të shkruhet në trajtë dhjetore;• Raporti mund të shkruhet në përqindje.

MetodaZbatim, analizë, sintezë.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:- Të identifikojnë raportin si herës të dy madhësive;- Të shkruajnë raportin në trajtë dhjetore;- Të shkruajnë raportin në përqindje dhe anasjelltas.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i raportit tashmë është punuar në mësimet e mësipërme. Kjo i krijon mundësi mësuesit, të fillojë mësimin me përsëritje të konceptit të raportit dhe vetitë e tij. Mësuesi vizaton në tabelë hartën e konceptit të raportit:

RAPORTI

Herës i dy numrave ose madhësive

Raporti tregon se ç’pjesë të të dytit përbën numri i parë

Në qoftë se shumëzojmë apo pjesëtojmë të dy gjymtyrët e raportit me të njëjtin numër, të ndryshëm nga zero, do të marrim një raport të ri të barabartë me të parin.

Raporti shkruhet si përqindje

Raporti shkruhet si numër dhjetor

Raporti tregon se sa herë më i madh është numri i parë nga i dyti.

134 MATEMATIKA 7

Nxënësit plotësojnë njohuritë që kanë mësuar deri tani për raportin.Mësuesi diskuton me nxënësit shembullin 1 në tekstin e nxënësit: Në një fshat kanë të drejtë votimi 350 banorë. Në ditën e zgjedhjeve votuan vetëm 189 prej tyre. Ç’pjesë e banorëve të fshatit mori pjesë në votime? Zgjidhje Duhet gjetur raporti i 189 me 350.

Kemi 189 27350 50

= . Mësuesi pyet nxënësit: Çfarë mund të analizoni me këtë raport?

Në këtë trajtë përgjigja nuk është e përshtatshme. Atë mund ta kthejmë në trajtë dhjetore:

27 0,5450

= =0,54. Mësuesi pyet përsëri nxënësit: Çfarë mund të analizoni me këtë

paraqitje të raportit? Më e qartë tablloja e pjesëmarrjes në votim bëhet, në qoftë se atë e shprehim me anë të përqindjes.

Meqenëse 540,54 54%

100= = . Mësuesi pyet përsëri nxënësit: Çfarë mund të analizoni

me këtë paraqitje të raportit? Nxënësit përgjigjen se kanë votuar 54% e atyre që kanë të drejtë vote. Mësuesi fton nxënësit që të nxjerrin një konkluzion: Për situata të caktuara problemore ka shumë më tepër kuptim, paraqitja e raportit në përqindje.Mësuesi vazhdon të diskutojë me shembullin 2 në tekstin e nxënësit: Sipas ligjeve të një shteti, fitimet vjetore të çdo personi taksohen sipas të ashtuquajturit “tatim mbi të ardhurat”, i cili përbën 13% të fitimit. Çfarë shume paguan si tatim një shtetas, që fiton 2700 euro? Zgjidhje Duhet të gjejmë 13% të 2700. Për këtë shumëzojmë 2700 me 13%.

Një mënyrë është, 1313% 0,13100

= = .

Shuma e tatimit është 2700·0,13=351 euro.Zgjidheni edhe në mënyrë tjetër:

1313% e 2700 2700 13 27 351100

= ⋅ = ⋅ = euro

Nxënësit ndahen në grupe dhe punojnë ushtrimet


Ushtrimi 1 Shprehni në trajtë dhjetore dhe pastaj në përqindje raportet: 12:25; 3:50; 5:4. Ushtrimi 2 Një frigorifer kushton 40000 lekë. Sa do të kushtojë ai, në qoftë se çmimi rritet 35% ? Ushtrimet diskutohen ndërmjet nxënësve për rezultatet e gjetura.Nxënësit plotësojnë hartën e konceptit me dy veti të tjera të raportit: Raporti shkruhet si numër dhjetor dhe si përqindje.Puna në grupe vazhdon me ushtrimet 1, 2, 3, 4 në tekstin e nxënësve, ku secili prej nxënësve është përgjegjës për zgjidhjen e një ushtrimi. Mësuesi lehtëson punën e nxënësve në grupe.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 , 4 dhe 5.

Mësimi 6.4. PËRPJESËTIMET

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Përpjesëtim, kufiza të jashtme, kufiza të brendshme, veti themelore e përpjesëtimitVeti.

• Barazimi i dy raporteve quhet përpjesëtim.

• Përpjesëtimi shkruhet a:b=c:d ose ba

=dc

.

• Në përpjesëtimin ba

=dc

, numrat a dhe d quhen kufiza të jashtme, ndërsa numrat • b, c quhen kufiza të brendshme. • Vetia themelore e përpjesëtimit është: prodhimi i kufizave të jashtme të

përpjesëtimit është i barabartë me prodhimin e kufizave të brendshme të tij. Në

qoftë se ba

=dc

, atëherë a·d=b·cMetodaZbatim, analizë, argumentim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të dallojnë rastin kur kemi të bëjmë me përpjesëtim;• Të identifikojnë kufizat e jashtme dhe të brendshme në një përpjesëtim;• Të zbatojnë vetinë themelore të përpjesëtimit.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i përpjesëtimit është një koncept i ri për nxënësit e klasës së shtatë.Mësuesi e fillon mësimin me një diskutim rreth:

136 MATEMATIKA 7

a) A janë të barabartë raportet 9:6 dhe 12:8? Nëse po, argumentoni pse janë të barabartë?

b) A është i vërtetë barazimi 12 158 10= ? Po barazimi

3,6 6,31,2 2,1

= ? Po barazimi 8 104 6= ? Po

barazimi 82

=63

? Nëse po argumentoni përgjigjen tuaj?

Pasi nxënësit japin argumentet e tyre për barazimet e mësipërme, mësuesi jep përkufizimin e përpjesëtimit: Barazimi i dy raporteve quhet përpjesëtim. Pra në rastet e mësipërme cila është përpjesëtim? Nxënësit theksojnë se: Rasti i parë, dytë dhe i tretë janë përpjesëtim, ndërsa rasti i katërt dhe i pestë jo.Me ndihmën e shkronjave përpjesëtimin e shkruajmë kështu:

a:b=c:d ose ba

=dc

.

( 0≠a , 0≠b , 0≠c , 0≠d ).

Në përpjesëtimin ba

=dc

, numrat a dhe d quhen kufiza të jashtme, ndërsa numrat b, c

quhen kufiza të brendshme. Nxënësit punojnë në dyshe me ushtrimet e mëposhtme:

a) Me raportet 2 6 7 8 21; ; ; ;5 15 2 20 6

formoni përpjesëtime.

b) Duke përdorur numrat 1, 17, 3, 51 formoni një përpjesëtim. c) Tregoni kufizat e jashtme dhe kufizat e brendshme në përpjesëtimet:

9 126 8= dhe 3,6:1,2=6,3:2,1.

d) Në secilin nga përpjesëtimet e pikës c), gjeni prodhimin e kufizave të jashtme dhe prodhimin e kufizave të brendshme. Ç’vini re? Nxënësit këmbejnë fletoren me një dyshe tjetër dhe kryejnë vlerësimet përkatëse.Mësuesi diskuton përgjigjet e dysheve dhe ndalet veçanërisht në ushtrimin e fundit.Çfarë vutë re kur shumëzuat kufizat e jashtme dhe të brendshme? Secila prej dysheve të formulojë një konkluzion përkatës.Mësuesi thekson se: Prodhimi i kufizave të jashtme të përpjesëtimit është i barabartë me prodhimin e kufizave të brendshme të tij. Kjo quhet vetia themelore e përpjesëtimit.

Në qoftë se ba

=dc

, atëherë a·d=b·c.

Është e vërtetë edhe fjalia e anasjellë. Mësuesi fton nxënësit të formulojnë fjalinë e anasjelltë: Nëse prodhimi i kufizave a dhe d është e barabartë me prodhimin e kufizave b dhe c atëherë kemi të bëjmë me përpjesëtim të këtyre kufizave.


Në qoftë se a·d=b·c, atëherë ba

=dc

.

Mësuesi orienton nxënësit të vazhdojnë punën në dyshe duke gjetur me anë të vetisë themelore nëse raportet që u dhanë në fillim të mësimit janë përpjesëtime?

Mësuesi shkruan në dërrasë barazimin 20 516 4

= . A është ai përpjesëtim? Po!

Shqyrtoni barazimin 20 165 4= . Si është marrë ai prej përpjesëtimit të parë ? A është ky

barazim përpjesëtim? Po!A mund të nxirrni një konkluzion në lidhje me këtë situatë? Nxënësit formulojnë konkluzionet e tyre. Në qoftë se në një përpjesëtim ndërrojmë vendet e kufizave të brendshme, marrim përsëri një përpjesëtim. Në qoftë se në një përpjesëtim ndërrojmë vendet e kufizave të jashtme, marrim përsëri një përpjesëtim.

Mësuesi thekson se nga përpjesëtimi ba

=dc

rrjedhin përpjesëtimet: bd

=ac

dhe ca

=db

.

Mësuesi organizon teknikën e rrjetit të diskutimeve për të diskutuar dhe argumentuar me nxënësit në lidhje me vërtetësinë e fjalisë:

Në qoftë se në një përpjesëtim, kufizat e jashtme i vemë në vend të të brendshmeve dhe të brendshmet i vemë në vend të të jashtmeve, atëherë do të marrim përpjesëtim?

Po Jo

Nxënësit argumentojnë përgjigjet e tyre me shembuj konkretë dhe më pas mësuesi i orienton ata të shprehen me shkronja. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1,2, 3 , 4 dhe 5.

138 MATEMATIKA 7

KREU 7 FIGURAT GJEOMETRIKE

Mësimi 7.5. DREJTËZA PARALELE

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Drejtëza paralele, veti të drejtëzave paralele, ndërtimi i drejtëzave paralele Veti

• Dy drejtëza në plan, që nuk kanë asnjë pikë të përbashkët, quhen drejtëza paralele, shënohet a//b.

• Nga pika jashtë një drejtëze ndërtohet një dhe vetëm një drejtëz, e cila është paralele me drejtëzën d.

• Dy drejtëza a dhe b, të cilat janë paralele me një drejtëz të tretë c, janë paralele ndërmjet tyre.

• Dy drejtëza a, b të cilat janë pingule me një drejtëz të tretë, janë paralele ndërmjet tyre.

• Ndërtimi i drejtëzës paralele me një drejtëz të dhënë.MetodaNdërtim, analizë, vlerësim.Mjetet: Vizore, laps, vizore skuadër.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përcaktojnë drejtëza paralele ndër disa drejtëza të dhëna; • Të zbatojnë vetitë e drejtëzave paralele; • Të ndërtojnë drejtëza paralele në disa mënyra duke analizuar veprimet përkatëse.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i drejtëzave paralele është një koncept i rimarrë nga klasat e mëparshme. Mësuesi e ndan klasën në disa grupe. Ndërkohë u jep atyre disa fletë, që ka përgatitur që më parë, në të cilat ka vizatuar disa segmente në pozicione të ndryshme dhe nxënësit përcaktojnë tri pozicionet e drejtëzave: paralele, pingule dhe prerëse. Shembull:

Nxënësit emërtojnë drejtëzat dhe shkruajnë me simbole pozicionin e tyre.


Nxënësit ftohen të formulojnë pohimin, kur dy drejtëza janë paralele: Dy drejtëza në plan, që nuk kanë asnjë pikë të përbashkët, quhen drejtëza paralele. Në qoftë se drejtëzat a, b janë paralele përdoret shënimi a//b. Nxënësit vazhdojnë të punojnë në grupe me vetitë e drejtëzave paralele.

Mësuesi orienton nxënësit për të analizuar dhe formuluar vetinë e parë.1. Jepet drejtëza d dhe pika P jashtë saj. Mësuesi fton nxënësit të diskutojnë pyetjen: Sa drejtëza paralele që kalojnë nga pika P mund të ndërtohet me një drejtëz të dhënë? Argumentoni përgjigjen tuaj duke parë fletën me drejtëzat që nxënësit diskutuan në fillim. Nxënësit theksojnë se nga një pikë P jashtë një drejtëze mund të ndërtohet një dhe vetëm një drejtëz e cila është paralele me drejtëzën d.

Mësuesi orienton nxënësit për të analizuar dhe formuluar vetinë e dytë. 2. Vizatoni drejtëzën a//c dhe b//c. Çfarë vini re? Si mund të jetë një konkluzion për këtë rast? Dy drejtëza a, dhe b, të cilat janë paralele me një drejtëz të tretë c, janë paralele ndërmjet tyre. Pra a//b. Gjeni raste të tilla në fletën e drejtëzave.

Mësuesi orienton nxënësit për të analizuar dhe formuluar vetinë e tretë.3. Vizatoni drejtëzat pa⊥ dhe pb⊥ . Çfarë vini re? Cili mund të jetë konkluzioni në këtë rast?Dy drejtëza a, b të cilat janë pingule me një drejtëz të tretë p, janë paralele ndërmjet tyre Pra a//b. Gjeni raste të tilla në fletën e drejtëzave.

Ndërtimin e drejtëzës paralele me një drejtëz të dhënë e keni marrë në klasën e gjashtë kështu që grupi 1 dhe 3 të ndërtojnë dy drejtëza paralele duke patur një drejtëz a dhe një pikë A jashtë saj me vizore dhe trekëndësh vizatimi, ndërsa grupi 2 dhe 4 ndërtojnë dy drejtëza paralele duke patur një drejtëz a dhe një pikë A jashtë saj me rrëshqitje. Argumentoni hapat e ndërtimit.

Grupet këmbejnë fletët dhe kontrollojnë punën e njëri-tjetrit. Vazhdon puna në grupe me ushtrimet 1, 2, 3, 4 dhe 5 . Secili prej nxënësve të grupit zgjidh një ushtrim dhe më pas këmbejnë fletët e njëri –tjetrit duke vlerësuar punën e secilit. Mësuesi lehtëson punën e nxënësve në grupe dhe në përfundim kërkon prej grupeve nga një përfaqësues për të analizuar secilin prej ushtrimeve.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, 4 dhe 5.

140 MATEMATIKA 7

Mësimi 7.9 TREKËNDËSHI

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Trekëndësh, veti të trekëndëshit, mesore, lartësi, përgjysmore, përmesore. Veti:

• Trekëndësh quhet shumëkëndëshi që ka tri brinjë. • Në çdo trekëndësh, shuma e dy brinjëve është më e madhe se brinja e tretë. • Në çdo trekëndësh, përballë brinjës më të madhe ndodhet këndi më i madh dhe

përballë këndit më të madh ndodhet brinja më e madhe. • Shuma e masave të këndeve të trekëndëshit është 1800. • Mesore e trekëndëshit quhet segmenti që bashkon një kulm me mesin e brinjës

përballë tij. • Të tri mesoret e trekëndëshit priten në një pikë G, e cila quhet qendër e rëndesës

së trekëndëshit. • Segmentet që ndajnë këndet e trekëndëshit në dy pjesë të barabarta quhen

përgjysmore të këndeve të trekëndëshit ABC. • Të tri përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë O1, e cila quhet qendër e

rrethit të brendashkruar trekëndëshit. • Lartësi e trekëndëshit është segmenti i ulur nga kulmi, pingul me brinjën përballë

tij. • Të tri lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë H. • Përmesore e trekëndëshit është drejtëza që kalon nga mesi i brinjës së tij dhe është

pingule me këtë brinjë.• Përmesoret e tri brinjëve të një trekëndëshi priten në një pikë O. Kjo pikë quhet

qendër e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit. Metoda:Ndërtim, analizë, formulim.Mjetet: Vizore, laps, vizore skuadër, raportor.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përcaktojnë elementet e trekëndëshit;• Të identifikojnë vetitë e trekëndëshit;• Të vizatojnë mesoret, përgjysmoret, lartësitë dhe përmesoret e trekëndëshit;• Të përcaktojnë pikat ku priten mesoret, përgjysmoret, lartësitë dhe përmesoret.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Trekëndëshi si një shumëkëndësh shumë i njohur nga nxënësit mund të trajtohet me një hartë koncepti. Mësuesi e vizaton në tabelë dhe nxënësit shkruajnë koncepte kryesore rreth trekëndëshit:


Mësuesi thekson edhe tre veti të reja për trekëndëshin dhe orienton nxënësit të japin shembuj konkret1. Në çdo trekëndësh, shuma e dy brinjëve është më e madhe se brinja e tretë. Mësuesi diskuton ushtrimin në tekstin e nxënësit për të konkretizuar këtë veti.2. Në çdo trekëndësh, përballë brinjës më të madhe ndodhet këndi më i madh dhe përballë këndit më të madh ndodhet brinja më e madhe. 3. Shuma e masave të këndeve të trekëndëshit është 1800. Mësuesi diskuton ushtrimin 3 në tekstin e nxënësit për të konkretizuar këtë veti. Mësuesi vizaton një trekëndësh në dërrasë dhe orienton nxënësit të vizatojnë një trekëndësh çfarëdo në fletore. Nxënësit gjejnë me vizore mesin e brinjëve të trekëndëshit. Ata vizatojnë segmentin që lidh secilin mes të brinjës me kulmin përballë kësaj brinje. Mësuesi thekson se këto segmente quhen mesore e trekëndëshit Të tri mesoret e trekëndëshit priten në një pikë G, e cila quhet qendër e rëndesës së trekëndëshit.

Mësuesi vizaton përsëri një trekëndësh në dërrasë dhe orienton nxënësit të vizatojnë përsëri një trekëndësh çfarëdo në fletore. Nxënësit vizatojnë me raportor përgjysmoren e këndeve të trekëndëshit ashtu siç kanë vizatuar përgjysmoret e këndeve të dhëna. Përgjysmorja e secilit prej këndeve të trekëndëshit pret brinjët përballë në një pikë të caktuar. Të tri përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë O1, e cila quhet qendër e rrethit të brendashkruar trekëndëshit.

TREKËNDËSHI

Trekëndësh barabrinjës

Trekëndësh Çfarëdo

Trekëndësh dybrinjëshëm

3 brinjë

Lartësitë

3 kënde

3 kulme

0 diagonale

Trekëndësh këndrejtë

Trekëndësh këndgjerë

Trekëndësh këndngushtë

Shumëkëndësh

142 MATEMATIKA 7

Mësuesi vizaton përsëri një trekëndësh në dërrasë dhe orienton nxënësit të vizatojnë përsëri një trekëndësh çfarëdo në fletore. Nxënësit vizatojnë me vizoren trekëndësh skuadër lartësitë e trekëndëshit ashtu siç kanë mësuar në klasat e mëparshme. Lartësi e trekëndëshit është segmenti i ulur nga kulmi, pingul me brinjën përballë tij. Të tri lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë HMësuesi vizaton përsëri një trekëndësh në dërrasë dhe orienton nxënësit të vizatojnë përsëri një trekëndësh çfarëdo në fletore. Nxënësit vizatojnë me vizoren trekëndësh skuadër drejtëzën pingul me brinjët e trekëndëshit dhe që kalojnë nga mesi i tyre. Përmesoret e tri brinjëve të një trekëndëshi priten në një pikë O. Kjo pikë quhet qendër e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit. Më pas nxënësit plotësojnë hartën e konceptit edhe me elementet e reja që mësuan në lidhje me trekëndëshin.Ata mund të plotësojnë edhe paragrafin e skeletëzuar në lidhje me trekëndëshin dhe elementet e tij mesoren, përgjysmoren, lartësinë.

__________________ përbëhet nga disa pjesë përbërëse (elemente) të rëndësishme. Përbërësi i parë është ________________. Ai luan rolin kyç të ________________. Përbërësi i dytë është ____________ që ndikon në mënyrën se si _________________. Përbërësi i tretë dhe i fundit është _______________. Ai ka rëndësi, sepse _____________________________. Këta përbërës krijojnë_______________________.

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, dhe 4.


KREU 8 SHPREHJET ME NDRYSHORE DHE EKUACIONET

Mësimi 8.2. MONOMI. REDUKTIMI I MONOMEVE TË NGJASHËM

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Veti të fuqive, shndërrime identike, monome, monome të ngjashëm, reduktimi i monomeve të ngjashme. Veti

• Përdorimi i vetive të fuqive nmnm aaa +=⋅ ; ( ) nmnm aa ⋅= ; ( )ncba ⋅⋅ =nnn cba ⋅⋅ ku a, b , c janë numra ose ndryshore dhe m, n janë numra natyrorë.

• Monom quhet shprehja, e cila merret duke kryer mbi numrat dhe ndryshoret, vetëm veprimet e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi.

• Një monom ka trajtë të rregullt në qoftë se ka vetëm një faktor numerik; nuk ka kllapa, nuk ka fuqi të ndryshme me të njëjtën bazë.

• Koeficient të monomit quajmë faktorin numerik që ka monomi i kthyer në trajtë të rregullt.

• Dy monome quhen të ngjashëm, kur në trajtat e tyre të rregullta i kanë pjesët shkronjore të njëjta.

• Reduktim i kufizave të ngjashme quhet shuma (ndryshesa) e disa monomeve të ngjashëm duke i thjeshtuar në një monom të vetëm.

Metoda.Zbatim, analizë, formulim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të zbatojnë vetitë e fuqive; • Të përcaktojnë shprehjet që janë monom;• Të identifikojnë një monom të trajtës së rregullt;• Të identifikojnë monome të ngjashëm;• Të reduktojnë kufizat e ngjashme në një shprehje shkronjore;

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i monomeve dhe reduktimi i tyre janë koncepte të reja për nxënësit e klasës së shtatë, por shprehjet numerike, kufizat e ngjashme, koeficientin numerik nxënësit i kanë mësuar që në klasën e gjashtë. Mësuesi mund të fillojë mësimin me njohuritë që kanë nxënësit për fuqitë dhe shprehjet numerike.Mësuesi orienton nxënësit të shkruajnë vetitë e fuqive në fletoret e tyre. Ai fton nxënës në

144 MATEMATIKA 7

dërrasë të shkruajnë këto veti. nmnm aaa +=⋅ ; ( ) nmnm aa ⋅= ; ( )ncba ⋅⋅ = nnn cba ⋅⋅ ku a, b , c janë numra ose ndryshore dhe m, n janë numra natyrorë.

Mësuesi shkruan këto shembuj në tabelë a) 2 5x x⋅ ; b) ( )23x ; c) 2

3

32

x .

Nxënësit punojnë në dyshe për të realizuar shndërrimet të këtyre shprehjeve. Zgjidhje

a) 2 5 7x x x⋅ = ; b) ( ) =23x 223 x⋅ =9 2x ; ( )2 2

23 3 62 2 4 c)3 3 9

x x x = ⋅ =

.

Mësuesi kërkon nga nxënësit të argumentojnë çfarë lloj shndërrimesh janë kryer. Ata theksojnë se kanë kryer shndërrime identike dhe si rezultat është një shprehje me një kufizë të vetme. Nxënësit vazhdojnë të punojnë në dyshe për të realizuar shndërrime të shprehjeve

a) 423 xx ⋅ ; b) ( )42x− ; c) 2

23 24

x x ⋅

. Ata kontrollojnë punën e njëri tjetrit.

Mësuesi shkruan në tabelë shprehje të tilla si 5 2x ; (-3)·x· ( )22x ; a· 4x ; xx ⋅3

41

Mësuesi thekson se shprehjet që janë prodhime të numrave, të ndryshoreve dhe të fuqive të tyre janë monome. Monomi merret duke kryer mbi numrat dhe ndryshoret, vetëm veprimet e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi. Shkruani të gjithë në fletoret tuaja shprehjen (-3)· 2x ·. 42 x⋅ . Kjo shprehje mund të thjeshtohet duke përdorur vetitë e ndërrimit dhe të shoqërimit të shumëzimit.

42 2)3( xx ⋅⋅⋅− = 42)3(2 xx ⋅⋅−⋅ = 66x− . Shprehja -6x6 është monom në trajtë të rregulltMësuesi fton nxënësit se nisur nga shembulli më lart, mund të formuloni pohimin kur një monom ka trajtë të rregullt. Mësuesi lehtëson nxënësit për të formuluar: Një monom ka trajtë të rregullt në qoftë se: 1. Ka vetëm një faktor numerik. 2. Nuk ka kllapa. 3. Nuk ka fuqi të ndryshme me të njëjtën bazë. Mësuesi diskuton më nxënësit për faktorin numerik. Si e quajmë faktorin numerik? Kur monomi është kthyer në trajtë të rregullt, faktorin numerik të tij e quajmë koefiçient të monomit. Në shembullin që zgjidhëm koeficienti është –6. Nxënësit vazhdojnë të punojnë në dyshe me ushtrimin: Ktheni në trajtë të rregullt monomin e mëposhtëm dhe gjeni koeficientin e tij.

a) 2x3⋅(-4)⋅x ; 2

32 1 b) ; c)( 4 ) )3 2

x x x x ⋅ − ⋅ −

. Ata kontrollojnë punën e njëri tjetrit.


Mësuesi shkruan në tabelë disa monome: Grupi i parë 5x; -2y; 3ax; 0,5 2x ; 7xy

Grupi i dytë –2x2; 213

x ; 0,7x2

Çfarë vini re në të dy grupet?Nxënësit theksojnë se në grupin e parë monomet kanë trajtë të rregullt, por pjesë shkronjore të ndryshme, ndërsa në grupin e dytë monomet kanë pjesët e tyre shkronjore të njëjta. Atëherë mësuesi thekson se monome si të grupit të dytë quhen të ngjashëm. Mësuesi fton nxënësit të formulojnë vetë pohimin kur dy monome janë të ngjashme.Dy monome quhen të ngjashëm, kur në trajtat e tyre të rregullta i kanë pjesët shkronjore të njëjta. Nxënësit vazhdojnë të punojnë në dyshe me ushtrimin: Tregoni, cilët nga monomet e

mëposhtëm janë të ngjashëm ndërmjet tyre: 3x; 4xy; (2x)·(-5x); (3x)·(2y); (5x)2 ; 2x .

Ata kontrollojnë punën e njëri tjetrit.Mësuesi shkruan në tabelë disa shprehje: a) 3x+5x; b) 4xy-2xy+5xy; c) 7x2-5x2.. Nxënësit gjithashtu shkruajnë ushtrimet në fletoret e tyre. Mësuesi orienton nxënësit se duke përdorur vetinë e përdasisë mund të thjeshtoni këto shprehje.Zgjidhjea) 3x+5x=(3+5)x=8x; b) 4xy-2xy+5xy=(4-2+5)xy=7xy; c) 7x2-5x2=(7-5)x2=2x2

Ky veprim quhet reduktim i kufizave të ngjashme.

Nxënësit vazhdojnë të punojnë në dyshe me ushtrimin: Thjeshtoni shprehjet, duke bërë reduktimin e kufizave të ngjashme: a) 5x-7x; b)2,5 x2-1,5 x2 ; c) 4a-7a+10a. Mësuesi fton një nxënës në tabelë për të reduktuar shprehjen: -2x2+3ax+6x2-ax. Zgjidhje S=-2x2+3ax+6x2-ax=(-2x2+6x2)+(3ax-ax)=(-2+6)x2+ax(3-1) =4x2+2ax. Mësuesi organizon një hartë konceptesh për monomet

MONOMI

Përdoren ve�të

e fuqive

Koeficine� i monomit

Shprehje shkronjore

Monom i trajtës

së rregullt

Kufiza të

ngjashme

Reduk�mi i kufizave të

ngjashme

146 MATEMATIKA 7

Nxënësit mund të vazhdojnë të punojnë në dyshe me ushtrimet 1a); 2a); 3a); 4a) dhe 4e). Ata kontrollojnë punën e njëri tjetrit.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1,2, 3 dhe 4.

Mësimi 8. 5. EKUACIONE ME NJË NDRYSHORE. EKUACIONE TË NJËVLERSHËM

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Ekuacion, rrënjë e ekuacionit, ekuacione të njëvlershme.Veti

• Ekuacion quhet barazimi shkronjor (me ndryshore) për të cilin kërkohet vlera e shkronjës (ndryshores), që e kthen atë në barazim numerik të vërtetë.

• Vlera e shkronjës (ndryshores) që e kthen ekuacionin në barazim numerik të vërtetë quhet rrënjë e ekuacionit.

• Të zgjidhësh ekuacionin do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij ose të tregosh që ai nuk ka rrënjë.

• Dy ekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershëm, në qoftë se ata kanë rrënjë të njëjta.

• Kur dy ekuacione janë të njëvlershëm, çdo rrënjë e ekuacionit të parë është rrënjë e ekuacionit të dytë dhe anasjellas, çdo rrënjë e ekuacionit të dytë është edhe rrënjë e ekuacionit të parë.

• Në qoftë se në njërën anë të ekuacionit bëjmë shndërrime identike, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të.

• Në qoftë se kalojmë kufizën nga njëra anë e ekuacionit në anën tjetër të tij, duke i ndërruar shenjën, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të parin.

• Në qoftë se të dyja anët e ekuacionit i shumëzojmë apo i pjesëtojmë me të njëjtin numër, të ndryshëm nga zero, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të parin.

MetodaZbatim, analizë, formulim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të identifikojnë ekuacionet me një ndryshore; • Të përcaktojnë rrënjën e ekuacionit;• Të analizojnë kur dy ekuacione janë të njëvlershme;• Të formulojnë rastet kur përftohen ekuacione të njëvlershme me një ekuacin të

dhënë;• Të zgjidhin një ekuacion duke e reduktuar në një ekuacion të njëvlershëm me të

parin.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i ekuacioneve dhe zgjidhjes së tyre është një koncept i rimarrë në klasat e


mëparshme. Mësuesi mund të organizojë një brainstorming për të rifreskuar njohuritë e nxënësve në lidhje me ekuacionin.Çfarë quajmë ekuacion?Çfarë quajmë rrënjë të ekuacionit? Ç’do të thotë të zgjidhësh një ekuacion?Sa rrënjë ka ekuacioni me një ndryshore?Nxënësit mund të përgjigjen:- Ekuacion quhet barazimi shkronjor (me ndryshore) për të cilin kërkohet vlera e shkronjës (ndryshores), që e kthen atë në barazim numerik të vërtetë. - Kjo vlerë e shkronjës (ndryshores) quhet rrënjë e ekuacionit. - Të zgjidhësh ekuacionin do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij ose të tregosh që ai nuk ka asnjë rrënjë. Më pas nxënësit ndahen në grupe me nga 4 veta (1, 2, 3, 4). Mësuesi jep ushtrimet dhe fton nxënësit të zgjidhin ekuacionet

a) x+2,5=-4,5; b) 6,7-x=3,7; c) 2x=-6,4; d) 3,254x= .

Nxënësi 1 zgjidh ekuacionin a), nxënësi 2 zgjidh ekuacionin b), nxënësi 3 zgjidh ekuacionin c) dhe nxënësi 4 zgjidh ekuacionin d). Nxënësit kontrollojnë punët e njëri tjetrit

Mësuesi shkruan në tabelë ekuacionet 6x+4=28; 3x+2=14. Mësuesi fton në tabelë dy nxënës për zgjidhjen e tyre. Çfarë vini re? Argumentoni përgjigjen tuaj. Ne vëmë re që ata kanë të njëjtën rrënjë, numrin 4. Mësuesi thekson se ekuacione të tilla quhen të njëvlershëm. Mësuesi lehtëson nxënësit për të formuluar vet pohimin: Dy ekuacione më të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershëm, në qoftë se ata kanë rrënjë të njëjta. Mësuesi thekson se kur dy ekuacione janë të njëvlershëm, çdo rrënjë e ekuacionit të parë është rrënjë e ekuacionit të dytë dhe anasjellas, çdo rrënjë e ekuacionit të dytë është edhe rrënjë e ekuacionit të parë. Cilat janë shndërrimet që na lejojnë të kalojmë nga një ekuacion në një tjetër të njëvlershëm me të? Mësuesi lehtëson nxënësit të përmendin disa raste si: Shndërrime identike, kalimi i kufizave në krahun tjetër etj.Mësuesi përmend se ka disa rregulla për të përfituar ekuacione të njëvlershme:

I. Në qoftë se në njërën anë të ekuacionit bëjmë shndërrime identike, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të. Nxënësit punojnë në grup duke zgjidhur ushtrimet: nxënësi 1 zgjidh ekuacionin a), nxënësi 2 zgjidh ekuacionin b), nxënësi 3 zgjidh ekuacionin c) dhe nxënësi zgjidh ekuacionin d). Nxënësit kontrollojnë punët e njëri tjetritA janë të njëvlershëm ekuacionet:

148 MATEMATIKA 7

a) 5x-4x=7+3 dhe x=10; b) x2+2x-x2=3 dhe 2x=3; c) 2(x-5)=7 dhe 2x-10=7; d) 2(x-5)=7 dhe 2x-5=7? Rezultatet argumentohen me të gjithë nxënësit e klasës se në cilat raste kemi ekuacione të njëvlershme

II. Në qoftë se kalojmë kufizën nga njëra anë e ekuacionit në anën tjetër të tij, duke i ndërruar shenjën asaj, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të parin. Nxënësit punojnë në grup si më sipër.A janë të njëvlershëm ekuacionet: a) 2x-10=1 dhe 2x=10+1; b) 3x-5=10 dhe 3x=15; c) 5x+7=2x-1 dhe 5x-2x=-1-7; d) 5x+7=2x-1 dhe 5x+2x=-1-7? Rezultatet argumentohen me të gjithë nxënësit e klasës se në cilat raste kemi ekuacione të njëvlershme

III. Në qoftë se të dyja anët e ekuacionit i shumëzojmë apo i pjesëtojmë me të njëjtin numër, të ndryshëm nga zero, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të parin.

Mësuesi fton një nxënës në tabelë për të zgjidhur shembullin 1 53

x +=

Nxënësit punojnë në grup si më sipër.A janë të njëvlershëm ekuacionet:

a) 5 4 dhe 5 82

x x−= − = ; b) 3 7 dhe 3 7

2x x+

= + = ; c) –3x=9 dhe x=-3?

Rezultatet argumentohen me të gjithë nxënësit e klasës se në cilat raste kemi ekuacione të njëvlershme. Nxënësit vazhdojnë punën në grupe me ushtrime 2 dhe 3.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 dhe 7.


KREU 9 PERIMETRI DHE SIPËRFAQJA E FIGURAVE

Mësimi 9.4 SIPËRFAQJA E PARALELOGRAMIT

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Paralelogram, sipërfaqe e drejtkëndëshit, sipërfaqe e paralelogramit, sipërfaqe e trekëndëshit.Veti.

• Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me prodhimin e përmasave të tij.• Sipërfaqja e rombit është e barabartë me gjysmën e prodhimit të diagonaleve të tij.• Sipërfaqja e paralelogramit është e barabartë me prodhimin e bazës me lartësinë

mbi të.• Sipërfaqja e trekëndëshit është sa gjysma e prodhimit të bazës së trekëndëshit me

lartësinë mbi këtë bazë. MetodaDeduksion, matje, zbatim, interpretimShkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të llogarisin sipërfaqen e drejtkëndëshit dhe rombit;• Të vërtetojnë formulën e sipërfaqes së paralelogramit;• Të zbatojnë formulën për sipërfaqen paralelogramit;• Të zbatojnë formulën për sipërfaqen e drejtkëndëshit.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i sipërfaqes së paralelogramit dhe trekëndëshit është një koncept i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Por mësuesi mund të fillojë mësimin me koncepte të njohura për nxënësit si sipërfaqja e drejtkëndëshit dhe rombit.Mësuesi vizaton në tabelë një drejtkëndësh dhe një romb. Mësuesi fton nxënësit të matin përmasat e figurave dhe të gjejnë sipërfaqen e tyre.Kujtojmë nga klasa e gjashtë. Mësuesi fton nxënësit të shkruajnë formulat në tabelë.1. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me prodhimin e përmasave të tij S = a . b.2. Sipërfaqja e rombit është e barabartë me gjysmën e prodhimit të diagonaleve të tij.Mësuesi vizaton një paralelogram ABCD në dërrasë dhe fton nxënësit të vizatojnë gjithashtu një paralelogram në fletore.Çfarë mund të themi për bazat e paralelogramit? AD=BC=b. Vizatoni lartësitë e paralelogramit. Si janë ato? BH=CE=h.Shikoni me kujdes paralelogramin ABCD dhe drejtkëndëshin HBCE. Çfarë vini re? Nxënësit theksojnë se ato kanë baza të barabarta (HE=BC) dhe lartësi të barabarta..

150 MATEMATIKA 7

Shikoni trekëndëshat DABH dhe DDCE . Si janë këto trekëndësha? Nxënësit teksojnë se ata janë të barabartë DABH = DDCE (sepse AB=CD;∠BAH=∠CDE; ∠ABH=∠DCE) , pra jemi në rastin e dytë të barazimit të trekëndëshave K.B.K.)Atëherë mund të shkruajmë: SHBCD + SABH = SABCD dhe SHBCD + SDCE= SHBCE; Meqë anët e majta në këto barazime janë të barabarta, edhe anët e djathta janë të barabarta. PraSABCD= SHBCE. Çfarë mund të nxjerrim si rezultat? Meqë SHBCE = BC⋅BH= b⋅h del se edhe SABCD = b⋅hMësuesi fton nxënësit të formulojnë pohimin për sipërfaqen e paralelogramit:Sipërfaqja e paralelogramit është e barabartë me prodhimin e bazës me lartësinë mbi të.Vizatoni përsëri një paralelogram ABCD. Vizatoni diagonalen AC. Si e ndan paralelogramin kjo diagonale? Nxënësit theksojnë se e ndan në dy trekëndësha të barabartë. Atëherë ç’mund të themi për sipërfaqen e trekëndëshit? Nxënësit theksojnë se Sipërfaqja e trekëndëshit është sa gjysma e sipërfaqes së paralelogramit.

Ajo jepet me formulën 1S2

b h= ⋅ , ku b është baza dhe h është lartësia mbi të.

Le të zbatojmë së bashku formulat që mësuam. Mësuesi fton nxënësit të zgjidhin në dërrasë ushtrimet e mëposhtme

Ushtrimi 1Gjeni sipërfaqen e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi sa gjysma e bazës.Zgjidhje

Meqenëse lartësia është sa gjysma e bazës kemi h = 2b

= 4cmS=b⋅h, kemi S = 8 ⋅ 4 = 32cm2

Ushtrimi 2Të gjendet lartësia e paralelogramit me sipërfaqe 40,32 cm2, në qoftë se baza e tij është 7,2 cm.Zgjidhje

Nga formula S=b⋅h kemi S 40,32 5,6 cm

7,2h

b= = = .

Ushtrimi 3Brinjët e një paralelogrami janë 12 cm dhe 9 cm. Lartësia mbi brinjën e parë është 3 cm. Të gjendet lartësia mbi brinjën e dytë.ZgjidhjeGjejmë së pari sipërfaqen e paralelogramit.S=b⋅h=12⋅3= 36 cm2. Duke shënuar me x, lartësinë e panjohur kemi

369 36 4 cm9

x x⋅ = ⇒ = = .

Ushtrimi 4Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit me bazë 8 cm dhe lartësia mbi këtë bazë 5 cm.


Zgjidhje

Dimë që 1S2

b h= ⋅ , atëherë kemi S = ⋅12

8 ⋅ 5 = 20cm2

Nxënësit punojnë me shokun e bankës me ushtrimet 1, 2, 3, 4. Mësuesi lehtëson nxënësit për zbatimin e formulave. Rezultatet e ushtrimeve diskutohen me të gjithë nxënësitSi ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2 dhe 3 .

Mësimi 9.6 SIPËRFAQJA E QARKUT

Kuptime:Rrethi, qarku, elementet e rrethit, numri π , perimetri i rrethit, sipërfaqja e qarkut.

Veti• Qarku quhet pjesa e planit e kufizuar nga një rreth së basku me vijën e rrethit• Numri konstant p është afërsisht i barabartë me 3,14. (p ≈ 3,14). • Perimetri i rrethit me d është P dπ= . Meqë d= 2R, perimetri i rrethit jepet me

formulën • P=2pR• Sipërfaqja e qarkut me rreze R jepet me formulën S=pR2.

MetodaMatje, zbatim, interpretimShkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përkufizojnë qarkun; • Të përdorin numrin konstant p për gjetjen e perimetrit të rrethit dhe sipërfaqes së

qarkut;• Të zbatojnë formulën për perimetrin e rrethit;• Të zbatojnë formulën për sipërfaqen e qarkut.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i sipërfaqes së qarkut është një koncept i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Mësuesi fillon mësimin me një përsëritje të formulës për gjetjen e perimetrit të rrethit të mësuar në mësimet e kaluara të këtij kreu.Kujtojmë çfarë është numri p. Nxënësit theksojnë se ky numër është afërsisht i barabartë me 3,14. (p ≈ 3,14) dhe shërben për të gjetur perimetrin e rrethit. Si është formula? Nxënësit theksojnë se P dπ= . Meqë d= 2R, perimetri i rrethit jepet me formulën P=2pRTani le të bëjmë një veprimtari për të parë si mund të gjendet sipërfaqja e qarkut.Vizatoni të gjithë një rreth me reze r (sipas dëshirës suaj) dhe priteni letrën. Shënoni 8 sektorë siç janë treguar në figurë.

152 MATEMATIKA 7

Prisni tetë sektorët dhe vendosini ato së bashku që të formohet një “paralelogram me gropa” si në figurën më poshtë:

Baza e paralelogramit është gjysma e perimetrit të

rrethit 1 P2

rπ= , ndërsa lartësia e

paralelogramit është rrezja e rrethit r.Rezultati tregon si del formula e sipërfaqes së qarkut S = π r2 dhe është më e lehtë për t’u mbajtur mend.Ky aktivitet mund të bëhet individualisht ose me punë në çift.Pra, sipërfaqja e qarkut me rreze R jepet me formulën S=pR2.Mësuesi fton nxënësit për të zbatuar formulat e perimetrit të rrethit dhe sipërfaqes së qarkut në zgjidhjen e disa ushtrimeve. Ushtrimi 1Gjeni perimetrin dhe sipërfaqen e qarkut me rreze R= 4 cm.ZgjidhjeP=2pR = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 = 25,12cm2

S=pR2 = 3.14 ⋅ 22 = 12,56cm2

Ushtrimi 2Sipërfaqja e një qarku është 78,5 cm2. Të gjendet rrezja e tij.ZgjidhjeZëvendësojmë në formulën e sipërfaqes së qarkut.

S=pR2 ⇒ 78,5=3,14R2⇒ 2 78,5R 25.3,14

= = Kemi:

R2=52 nga ku R=5.

Ushtrimi 3Në Fig. 9.21 paraqitet një unazë në të cilën OM=R1= 4 cm dhe ON=R2=9 cm. Të gjendet sipërfaqja e vijëzuar.ZgjidhjeSipërfaqja S e unazës është ndryshesa e sipërfaqes së qarkut të madh S2 me sipërfaqen e qarkut të vogël S1. Kemi:S1= pR1

2=p⋅42= 16p; S2= pR22=p⋅92= 81p.

S= S2-S1= 81p-16p= 65p= 204,1 cm2


Ushtrimi 4Perimetri i rrethit është 18,84 cm. Të gjendet sipërfaqja e qarkut.ZgjidhjeDuke shënuar me R, rrezen e rrethit kemi:

P=2pR⇒2⋅3,14R=18,84⇒6,28R=18,84⇒ 18,84R= 36,28

= . Gjejmë tani sipërfaqen e qarkut. S=pR2=p⋅32=9p=9⋅3,14=28,26 cm2.Nxënësit punojnë me shokun e bankës me ushtrimet 1, 2 dhe 3. Mësuesi lehtëson nxënësit për zbatimin e formulave. Rezultatet e ushtrimeve diskutohen me të gjithë nxënësitSi ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2 dhe 3.

154 MATEMATIKA 7

KREU 10 GJEOMETRIA NË HAPËSIRË

Mësimi 10.3 PRIZMI I DREJTËKuptime:

Shumëfaqësha, prizëm i drejtë, baza, faqe anësore, brinjë anësore, sipërfaqe e bazës, sipërfaqe anësore, vëllimi i prizmi. Veti

• Një shumëfaqësh që është i përbërë nga 2 shumëkëndësha të barabartë dhe drejtkëndësha quhet prizëm i drejtë.

• Shumëkëndëshat e barabartë quhen baza të prizmit, ndërsa drejtkëndëshat quhen faqe anësore të prizmit.

• Lartësitë e prizmit quhen quhen brinjë anësore të prizmit. • Sipërfaqja anësore e prizmit është Sa=p⋅h.• Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit është shuma e sipërfaqes anësore të tij me

sipërfaqet e të dy bazave. • Vëllimi i prizmit të drejtë, sikurse edhe i kuboidit llogaritet me formulën V= Sb⋅h

ku Sb është sipërfaqja e bazës dhe h lartësia e tij.MetodaVëzhgim, demonstrim, formulim.MjetetPrizma të llojeve të ndryshmeShkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:-Të dallojnë prizmin dhe llojin e tij ndër disa trupa të dhënë gjeometrikë.-Të identifikojnë elementet e prizmit-Të njehsojnë perimetrin, sipërfaqen dhe vëllimin e prizmit.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Elementet e prizmit janë rimarrje e koncepteve nga klasat e mëparshme dhe kjo e lehtëson punën e mësuesit.Për këtë mësuesi mund të vizatojë në tabelë një hartë konceptesh në lidhje me prizmin. Nxënësit plotësojnë elementet e prizmit.


Për të paraqitur llojet e prizmit dhe elementet e tij mund të vizatojmë edhe tabelën e mëposhtme:

Prizmi Sa kulme?Sa faqe anësore?

Sa faqe gjithsejSa brinjë anësore

Sa brinjë gjithsej

Trekëndor 6 3 5 3 9KatërkëndorPesëkëndorGjashtëkëndor...........

Nxënësit plotësojnë tabelën duke patur përpara prizmat e ndërtuar nga ata vetë.Mësuesi fton nxënësit të përkufizojnë prizmin e drejtë: Një shumëfaqësh që është i përbërë nga dy shumëkëndësha të barabartë dhe drejtkëndësha quhet prizëm i drejtë.

Cilat janë bazat e prizmit? Shumëkëndëshat e barabartë quhen baza të prizmit.Cilat janë faqet anësore? Drejtkëndëshat quhen faqe anësore të prizmit.Tregoni tek trupat tuaj cilat janë lartësitë e prizmit? Brinjët anësore të prizmit të drejtë merren si lartësi e prizmit.Hapni një prizëm trekëndor që keni sjellë me vete. Çfarë vini re? Ai përbëhet nga dy trekëndësha që janë bazat e prizmit dhe tri drejtkëndësha që paraqesin faqet anësore të prizmit.

Elementet Çfarë është Perimetri Sipërfaqa Prizmi Vëllimi

Prizmi

Faqe

drejtkëndësha

Brinjët anësore janë

lartësi

Baza

shumëkëndësha

Shumëfaqësh me faqe te rrafshta

Perimetri është shuma e brinjëve

V = Sb . h

Sb gjendet në varësi të shumëkëndëshit

Sa = p ⋅h

Sp =Sa + 2Sb

Trup gjeometrik

Kulme të prizmit

Faqe anësore

156 MATEMATIKA 7

Cila llogaritet si sipërfaqe anësore e prizmit? Nxënësit theksojnë se Sipërfaqja e drejtkëndëshit ABCD është e barabartë me sipërfaqen anësore të prizmit. Ky drejtkëndësh ka përmasat AB=p, ku p është perimetri i bazës së prizmit dhe AD= h ku h është lartësia e prizmit. Në këtë mënyrë kemi Sa=p⋅h.Mund të formuloni vet sa është sipërfaqja e përgjithshme e prizmit? Nxënësit theksojnë se: Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit është shuma e sipërfaqes anësore të tij me sipërfaqet e të dy bazave, të cilat mund të jenë trekëndësha, paralelograme, trapezë etj.Mësuesi thekson se vëllimi i prizmit të drejtë, sikurse edhe i kuboidit llogaritet me formulën V= Sb⋅h ku Sb është sipërfaqja e bazës dhe h lartësia e tij.

Le të shohim bashkë një ushtrimTë gjendet sipërfaqja anësore, sipërfaqja e përgjithshme dhe vëllimi i prizmit të drejtë me bazë trekëndëshin kënddrejtë me katete a=5 cm, b=12 cm, hipotenuzë c=13 cm, në qoftë se lartësia e prizmit është h= 15 cm.ZgjidhjeGjejmë fillimisht perimetrin e bazës së prizmit. Kemi:p=a+b+c=5+12+13=30.Sa= p⋅h=30⋅15=450 cm2.Sipërfaqja e njërës bazë është:

5 12S 302 2b

a b⋅ ⋅= = = .

Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit është:Sp=Sa+2Sb=450+2⋅30=450+60=510 cm2.Vëllimi i prizmit është:V=Sb⋅h=30⋅15=450 cm3.

Nxënësit ndahen në grupe me nga 4-5 nxënës dhe vazhdojnë me zgjidhjen e ushtrimeve në tekstin e nxënësit.Grupi 1 zgjidh ushtrimin 2;Grupi 2 zgjidh ushtrimin 3;Grupi 3 zgjidh ushtrimin 4; Grupi 4 zgjidh ushtrimin 5.Nxënësit këmbejnë fletët dhe vlerësojnë punën e secilit. Rezultatet diskutohen me mësuesin.Në përfundim të mësimit nxënësit plotësojnë në hartën e koncepteve, të dhëna për perimetrin, sipërfaqen dhe vëllimin e prizmit të drejtë.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2,3, 4 dhe 5.


KREU 11 Funksioni

Mësimi 11. 1. PËRSËRITJE. FUNKSIONI DHE MËNYRAT E DHËNIES SË TIJ

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Funksion, diagram shigjetor, funksioni me tabelë, grafiku i funksionit, bashkësia e përcaktimit, vlerë e funksionit, funksioni me formulë.Veti

• Në qoftë se çdo elementi të bashkësisë A, i çiftohet një element i vetëm i bashkësisë B, themi që kemi të bëjmë me një funksion të bashkësisë A në bashkësinë B. Shënohet: “f : A→B “

• Paraqitja me diagram shigjetore, me tabelë, me formulë• Grafik i funksionit “f : A→B “ quhet bashkësia e pikave të planit koordinativ xOy,

që kanë si abshisa elementë të A dhe si ordinata kanë vlerën përgjegjëse të funksionit.• Bashkësia A quhet bashkësia e përcaktimit e funksionit.• Elementi b i çiftuar, quhet vlerë e funksionit të shqyrtuar për x=a.

MetodaNdërtim, argumentim, interpretim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përkufizojnë funksionin e bashkësisë A në bashkësinë B; • Të paraqesin një funksion në mënyra të ndryshme: me diagram shigjetor, me tabelë

dhe me formulë;• Të ndërtojnë grafikun e një funksioni dhe ta interpretojnë atë;• Të identifikojnë bashkësinë e përcaktimit dhe vlerave të funksionit.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Kuptimi i funksionit është një rimarrje e koncepteve të klasave të mëparshme. Mësuesi mund të vizatojë një hartë koncepti për kuptimin e funksionit. Nxënësit plotësojnë duke rikujtuar njohuritë që njohin deri tani për funksionin.

B

B

FUNKSIONI

Dhënia me formulë e funksionit

Bashkësia e përcaktimit

Relacioni që çdo element i A çiftohet

me element të B

Bashkësia e vlerave të funksionit

Mënyra tabelore së funksionit

Gra�ku i funksionit

158 MATEMATIKA 7

Mësuesi fton nxënësit të lexojnë në libër ushtrimin 1 dhe të diskutojnë së bashku se cili nga çiftimet është funksion. Nxënësit argumentojnë përgjigjet e tyre. Shikoni me kujdes diagramin shigjetor të paraqitur në figurën 9.2, i cili paraqet çiftimin e elementeve të bashkësisë A me elementët e bashkësisë B. Mësuesi diskuton me nxënësit rreth pyetjeve të mëposhtme duke argumentuar përgjigjet përkatëse.a) A kemi funksion? b) Jepni funksionin me tabelë. c) Ndërtoni grafikun e funksionit. d) Jepni funksionin me formulë.

Mësuesi fton nxënësit të formulojnë përkufizimin e funksionit: Në qoftë se çdo elementi të bashkësisë A i çiftohet një element i vetëm i bashkësisë B, themi që kemi të bëjmë me një funksion të bashkësisë A në bashkësinë B. Shënohet: “f : A→B “Si quhet bashkësia A? Nxënësit përgjigjen: Bashkësia A quhet bashkësia e përcaktimit e funksionit. Si quhet bashkësia B? Nxënësit përgjigjen: Bashkësia B quhet bashkësia e vlerave të funksionit.Nxënësit punojnë në dyshe me ushtrimin 2. Jepen bashkësitë A={1, 2, 3, 4} dhe B={2, 4, 6, 8} dhe tabela.

x 1 2 3 4y 2 4 6 8

a) Duke lidhur çdo vlerë të x, nga rreshti i parë, me vlerën përgjegjëse të y, nga rreshti i dytë, a kemi funksion të A në B? b) Ndërtoni grafikun e këtij funksioni. c) Jepni funksionin me formulë. Si ju doli grafiku? Dyshe nxënësish të ndryshme argumentojnë si vepruan dhe çfarë forme ka grafiku.Mësuesi formulon me nxënësit pohimin për grafikun e funksionit: Grafik i funksionit “f : A→B “ quhet bashkësia e pikave të planit koordinativ xOy, që kanë si abshisa elementë të A dhe si ordinata kanë vlerën përgjegjëse të funksionit. Nxënësit vazhdojnë punën në dyshe me ushtrimin 3 dhe interpretojnë vijat e paraqitura në figurën 9.3 dhe figurën 9.4. a) Cilat nga vijat, e paraqitura në figurën 9. 3, mund të shërbejë si grafik i një funksioni? Sa vlera të y i lidhen vlerës x=0? b) Në figurën 9.4 është paraqitur grafiku i një funksioni. a) Gjeni për ç’vlerë të x kemi y=4; y=1. b) Gjeni vlerën e funksionit për x=0; x=-2. c) A ka vlera të x, për të cilat vlera e funksionit të jetë negative?

Nxënësit vazhdojnë punën në dyshe me ushtrimin 4, duke kujtuar njohuritë për paraqitjen e funksionit me formulë, tabelë dhe ndërtim i grafikut.Jepet bashkësia A={-2; 0; 3} dhe formula y=x2. a) Gjeni vlerën e y për secilën vlerë të x nga A. b) Jepni me tabelë funksionin y=x2, x∈A.


c) Ndërtoni grafikun e këtij funksioni. Nxënësit ndahen në grupe dhe punojnë ushtrimet të ndarë si më poshtë:Grupi 1 zgjidh ushtrimin 1; Grupi 2 zgjidh ushtrimin 2; grupi 3 zgjidh ushtrimin 3 dhe grupi 4 zgjidh ushtrimin 4.Më pas nxënësit këmbejnë fletët e tyre dhe nxënësit vlerësojnë punën e njëri tjetrit. Mësuesi diskuton me nxënësit për rezultatet e ushtrimeveSi ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 dhe 4.

11.3. FUNKSIONI y=x+a

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Funksion, diagram shigjetor, funksioni me tabelë, grafiku i funksionit, funksioni me formulë, funksioni y = x + a, pikëprerje me boshtin Ox, pikëprerje me boshtin Oy.Veti.

• Në qoftë se çdo elementi të bashkësisë A i çiftohet një element i vetëm i bashkësisë B, themi që kemi të bëjmë me një funksion të bashkësisë A në bashkësinë B. Shënohet: “f : A→B “.

• Paraqitja me diagram shigjetor, me tabelë, me formulë.• Grafiku i funksionit “f : A→B “ quhet bashkësia e pikave të planit koordinativ

xOy, që kanë si abshisa elementë të A dhe si ordinata kanë vlerën përgjegjëse të funksionit;

• Grafiku i funksionit y=x+a, sidoqoftë numri racional a, është bashkësi pikash që ndodhen në një drejtëz.

• Pikëprerjet e grafikut të funksionit y=x+a me boshtet koordinativë.

MetodaNdërtim, argumentim, interpretim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përkufizojnë funksionin e bashkësisë A në bashkësinë B; • Të paraqesin një funksion në mënyra të ndryshme: me diagram shigjetor, me tabelë

dhe me formulë;• Të ndërtojnë grafikun e një funksioni dhe ta interpretojnë atë;• Të ndërtojnë grafikun e funksionit y = x + a.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i grafikut të funksionit është rimarrje nga mësimet e mëparshme. Mësuesi lehtëson nxënësit që të kujtojnë dhe rifreskojnë edhe njëherë etapat që kemi mësuar për ndërtimin e grafikut të një funksioni.Nëse është dhënë funksioni me një formulë të caktuar:

160 MATEMATIKA 7

a) I japim vlera x dhe gjejmë vlerat përkatëse të y;b) Ndërtojmë tabelën e vlerave të x dhe vlerave përkatëse të y;c) Vendosim pikat (x;y) në boshtin koordinativ;d) Bashkojmë pikat dhe ndërtojmë grafikun.

Nxënësit ndahen në grupe me 4-5 nxënës. Mësuesi orienton nxënësit të punojnë me ushtrimin 1. Në figurën 9.12 është paraqitur me diagram shigjetor një funksion i bashkësisë A={-3, -2, -1, 0} në bashkësinë B={1, 2, 3, 4}. a) Jepni funksionin me tabelë; b) Ndërtoni grafikun e funksionit. A janë pikat e tij në një vijë të drejtë? c) Jepni funksionin me formulë. Mësuesi diskuton rezultatet e ushtrimit duke pyetur: Çfarë vini re? Nxënësit përgjigjen se: Grafiku i funksionit është një drejtëz që jepet me formulën y=x+4. Mësuesi thekson se: Ky funksion jepet me formulën y=x+a, x∈A.

Nxënësit vazhdojnë të punojnë me ushtrimet. Ndërtoni disa pika të grafikut të funksionit y= x + 2, y = x - 2 dhe binduni që ato ndodhen në një drejtëz. Mësuesi fton nxënësit të plotësojnë pohimin: Grafiku i funksionit y=x+a, sidoqoftë numri racional a, është _________________ që ndodhen _______________.

Mësuesi orienton nxënësit se për të ndërtuar grafikun e funksionit y=x+a, mjafton të gjejmë dy pika të tij dhe pastaj të ndërtojmë drejtëzën që kalon nëpër to.

P.sh., ndërtoni të gjithë grafikun e funksionit y=x-1. b) Gjeni pikat ku ai pret boshtin Ox; boshtin Oy. Boshtin Ox e pret në pikën 0 = x - 1⇒ x = 1, ndërsa boshtin Oy e pret në pikën y = 0 + 1 ⇒ y = 1. Tani ndërtoni grafikun duke përdorur vetëm këto dy pika.Mësuesi lehtëson nxënësit të bëjnë përmbledhjet e mëposhtme:a) Pikëprerja me boshtin Ox Pika ku grafiku i funksionit y=x+a pret boshtin Ox, e ka ordinatën zero. 0=x+a, nga ku x=-a. Pika e prerjes është A (-a; 0). b) Pikëprerja me Oy. Pika ku grafiku i funksionit y=x+a pret boshtin Oy, e ka abshisën zero. y=0+a, nga ku y=a. Pika e prerjes është B (0; a). Ndërtoni në këtë mënyrë grafikun e funksionit y=x+2. Gjeni pikat ku ai pret boshtet koordinative. Marrim x=0 dhe gjejmë y=2; marrim y=0 dhe gjejmë x+2=0, d.m.th., x=-2. Rezultatet i paraqesim në tabelë.

x 0 -2y 2 0


Pikat e grafikut (ku ai pret boshtet) janë A (-2; 0) dhe B (0; 2). A ju doli njësoj të gjithëve grafiku. Kontrolloni fletët e njëri tjetrit.Nxënësit vazhdojnë punën në grupe: grupi 1 zgjidh ushtrimin 1; grupi 2 zgjidh ushtrimin 2; grupi 3 zgjidh ushtrimin 3; grupi 4 zgjidh ushtrimin 4.Nxënësit këmbejnë fletët dhe kontrollojnë punët e njëri – tjetrit.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 dhe 4.

162 MATEMATIKA 7

KREU 12. SHNDËRRIMET GJEOMETRIKE

Mësimi 12.4 ZHVENDOSJA PARALELE E FIGURËS

Kuptime:Zhvendosje paralele e pikës, zhvendosje paralele e figurës, fytyra, shëmbëllimi.Veti

• Zhvendosja nga pika A në pikën B në rrjetin koordinativ bëhet duke lëvizur fillimisht

horizontalisht me a njësi e më pas vertikalisht me b njësi ab

. • Zhvendosja e segmentit AB në A1B1 bëhet duke gjetur shëmbëllimet A1 dhe B1 të

pikave A dhe B në zhvendosjen e dhënë. A1B1 është shëmbëllimi i segmentit AB. • Zhvendosja e trekëndëshit ABC në A1B1C1 bëhet duke gjetur shembëllimet A1, B1

dhe C1 përkatësisht të pikave A, B dhe C. Shëmbëllimi i trekëndëshit ABC është trekëndëshi kongruent me të A1B1C1.

MetodaInduksion, vizatim, argumentim, përgjithësim.d) Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të vizatojnë shëmbëllime të pikave në rrjetin koordinativ nëpërmjet zhvendosjes paralele;

• Të vizatojnë shëmbëllime të segmenteve në rrjetin koordinativ nëpërmjet zhvendosjes paralele;

• Të vizatojnë shëmbëllime të figurave në rrjetin koordinativ nëpërmjet zhvendosjes paralele.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i zhvendosjes paralele të segmentit dhe figurës është një koncept i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Mësuesi përdor njohuritë e mësuara në mësimin e mëparshëm në lidhje me zhvendosjen paralele të pikave.Mësuesi pyet nxënësit: Ç’do të thotë të vizatosh shëmbëllimin e një pike në rrjetin koordinativ? Nxënësit përgjigjen: Të vizatosh shëmbëllimin e një pike në rrjetin koordinativ nëpërmjet zhvendosjes paralele do

të thotë të lëvizësh fillimisht horizontalisht me a njësi e më pas vertikalisht me b njësi ab

.

Vizatoni të gjithë në fletore një rrjet koordinativ. Shënoni të gjithë një pikë A. Gjeni

shëmbëllimin A1 sipas zhvendosjes paralele 32

. Merrni një pikë tjetër B. Gjeni përsëri


shëmbëllimin B1 sipas kësaj zhvendosje. Bashkoni pikat fytyrë A me B dhe shëmbëllimet e tyre A1 me B1. Mësuesi pyet: Çfarë shndërrimi kemi kryer në këtë rast? Nxënësit mund të përgjigjen: Në këtë rast kemi kryer zhvendosje paralele të segmentit AB në segmentin A1B1.Mësuesi zgjidh në dërrasë disa shembuj duke ftuar nxënësit të punojnë së bashku.

Shembulli 1Në planin koordinativ është paraqitur segmenti AB. (Fig. 12.14). Të ndërtohet

shëmbëllimi i tij në zhvendosjen 2

3−

.

ZgjidhjeGjejmë shëmbëllimet A1 dhe B1 të pikave A dhe B në zhvendosjen e dhënë. A1B1 është shëmbëllimi i segmentit AB. Vemë re se A(-4;-2); B(-1;-1); A1(-6;1); B1(-3;2). Gjithashtu AB=A1B1.Le të shohim së bashku një shembull tjetër që ka të bëjë me zhvendosjen paralele të trekëndëshit ABC.

Shembulli 2

Të ndërtohet shëmbëllimi i trekëndëshit ABC (Fig. 12.15) në zhvendosjen 54

−

. ZgjidhjeGjejmë shëmbëllimet A1, B1 dhe C1 përkatësisht të pikave A, B dhe C. Shëmbëllimi i trekëndëshit ABC është trekëndëshi kongruent me të, A1B1C1. Po nëse janë dhënë fytyra dhe shëmbëllimi në një zhvendosje paralele, çfarë mund të gjejmë në këtë rast?Nxënësit përgjigjen që mund të gjejmë zhvendosjen.

Shembulli 3Në figurën 12.16 janë dhënë trekëndëshat fytyrë ABC dhe shëmbëllim A1B1C1 në një zhvendosje. Të gjendet kjo zhvendosje.ZgjidhjeZgjedhim njërin nga kulmet e trekëndëshit si edhe shëmbëllimin e tij. Kemi A(2;2) dhe

A1(-4;-5). Duke shënuar me ab

zhvendosjen kemi:

4 2 65 2 7

a ab b

− = + = − ⇒ − = + = −

. Zhvendosja është 67− −

.

Pra mjafton të shqyrtojmë vetëm një pikë fytyrë dhe shembëllimin e saj për të gjetur zhvendosjen e një figure.Duke parë shembujt mund të plotësojmë tabelën e mëposhtme duke argumentuar përgjigjen.

164 MATEMATIKA 7

Forma Përmasa KëndetZhvendosja paralele Ruhet Ruhen Ruhen

Nxënësit ndahen në grupe me 4-5 veta dhe punojnë me ushtrimet 1, 2 dhe 3. Nxënësit këmbejnë fletët me grupet e tjera dhe kontrollojnë rezultatet e veprimeve të tyre.Mësuesi lehtëson nxënësit gjatë zgjidhjes së ushtrimeve.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2 dhe 3.

Mësimi 12.7 SIMETRIA SIPAS NJË PIKE (SIMETRIA QËNDRORE)Kuptime:

Simetri, qendër simetrie, fytyra, shëmbëllimi.Veti

• Dy pika A dhe A1 quhen simetrike në lidhje me pikën e dhënë O, në qoftë se pika O është mesi i segmentit AA1.

• Pika A quhet fytyrë, ndërsa pika A1 quhet shëmbëllim. Pika O quhet qendër e simetrisë.

• Nëse pikat A1 dhe B1 janë përkatësisht simetriket e pikave A dhe B, në lidhje me pikën O atëherë segmenti A1B1 është simetrik i segmentit AB në simetrinë në lidhje me pikën O.

MetodaInduksion, vizatim, argumentim, përgjithësim.d) Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të vizatojnë pika simetrike në lidhje me një qendër simetrie të dhënë • Të përcaktojnë elementet e simetrisë qendrore (fytyra, shëmbëllimi, qendra e

simetrisë) në figura të dhëna.• Të ndërtojnë simetriken e një figure të dhënë në lidhje me një qendër simetrie, duke

e argumentuar atë hap pas hapi .

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Koncepti i simetrisë në lidhje me një pikë është një koncept relativisht i ri për nxënësit e klasës së shtatë. Le të vizatojmë një hartë koncepti në lidhje me konceptin e simetrisë qendrore dhe i plotësojmë hap pas hapi të gjitha elementet.

Simetria qendrore është një shndërrim gjeometrik i kujt? Nxënësit plotësojnë hartën e koncepteve në rrathët përkatës.Kur dy pika quhen simetrike në lidhje me një pikë të dhënë? Nxënësit përgjigjen: Dy pika A dhe A1 quhen simetrike në lidhje me pikën e dhënë , në qoftë se pika O është mesi i segmenit AA1. Pika A quhet fytyrë, ndërsa pika A1 quhet shëmbëllim. Mësuesi thekson se pika O quhet qendër e simetrisë.Mësuesi mund të përdorë teknikën e ekspertëve duke e ndarë klasën në grupe me nga 4 nxënës (1, 2, 3, 4) .


Mësuesi vizaton e ndan dërrasën në 4 pjesë. • Në pjesën e parë vizaton një pikë A dhe një pikë O si qendër simetrie;• Në pjesën e dytë vizaton një segment AB dhe një pikë O si qendër simetrie jashtë

segmentit;• Në pjesën e tretë vizaton një trekëndësh dhe një pikë O si qendër simetrie jashtë

trekëndëshit;• Në pjesën e katërt vizaton një katërkëndësh dhe një pikë O, si qendër simetrie jashtë

katërkëndëshit.

Secili prej nxënësve 1, 2, 3 dhe 4 vizatojnë njërën prej figurave që ka vizatuar mësuesi në dërrasë.Të gjithë numrat 1 mblidhen bashkë dhe vizatojnë simetriken e pikës.Të gjithë numrat 2 mblidhen bashkë dhe vizatojnë simetriken e segmentit.Të gjithë numrat 3 mblidhen bashkë dhe vizatojnë simetriken e trekëndëshit.Të gjithë numrat 4 mblidhen bashkë dhe vizatojnë simetriken e katërkëndëshit.Mësuesi lehtëson secilin prej grupeve duke dhënë orientimet përkatëseEkspertët rikthehen përsëri në grupet e para dhe shpjegojnë ushtrimet përkatëse shokëve të tyre. Të gjithë mbajnë shënimet e duhura në fletore.Mësuesi fton nxënësit të plotësojnë vetitë e këtij shndërrimi gjeometrik në hartën e koncepteve.Çfarë vini re për largesat e pikave nga qendra e simetrisë? Janë kongruenteÇ’mund të thoni për përmasat e figurës? Ruhen përmasatÇ’mund të thoni për këndet? Ruhen këndetÇ’mund të thoni për formën e figurës? Ruhet forma e figurës

E kujt? Çfarë është Çfarë vetish?

Simetria sipas një pike

Simetria e një pike

Simetria e një këndi

Simetria e një segmenti

Ruhet largësia nga qendra e simetrisë

Ruhet forma e figurës

Ruhen përmasat

Segmentet janë paralele

Ruhet masa e këndeve

Shndërrim gjeometrik

Simetria e një figure

166 MATEMATIKA 7

Mësuesi diskuton një shembull tjetër në lidhje me origjinën e koordinatave si qendër simetrie .

Shembulli 1Në planin koordinativ jepet pika A(-2,3). Të gjendet simetrikja e kësaj pike në lidhje me origjinën e koordinatave.

ZgjidhjeNë figurën 12.33 është janë paraqitur pika A (-2,3) dhe simetrikja e saj A1.Vëmë re se koordinatat e pikës A1 janë të kundërtat e koordinatave të pikës A. Pra A1(2,-3).Në përgjithësi për çdo pikë fytyrë M(x,y), shëmbëllimi i saj në simetrinë në lidhje me origjinën e koordinatave është pika M1(-x,-y).Nxënësit punojnë përsëri në grupe për ushtrimin: Gjeni simetriket e pikave E(2;-4); F(-1;3); K(0;-2); L(3;0); G(-5;-2) në lidhje me origjinën e koordinatave.

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2,3 dhe 4.


KREU 13. STATISTIKË DHE PROBABILITET

Mësimi 13.5 MESATARET

Njohuri teorike kryesoreKuptime:Mesatare aritmetike, moda, mesore. Veti:

• Mesatare aritmetike e n numrave quhet raporti i shumës së këtyre numrave me numrin e tyre.

• Moda është vlera të cilës i korrespondon efektivi më i madh.• Mesore është vlera e mesit në radhitjen e disa efektivëve të dhënë. • Në rastin kur numri i efektivave është çift si mesore merret mesatarja e dy vlerave

të mesit.MetodaVëzhgim, përpunim, interpretim.Shkathtësi:Në përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të llogaritin mesataren aritmetike;• Të gjejnë modën në një studim statistikor;• Të gjejnë mesoren në një studim statistikor;• Të interpretojnë këto elemente të statistikës.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit:Mesatarja aritmetike është rimarrje nga klasa e gjashtë, koncepti i mesores dhe modës janë koncepte të reja për nxënësit e klasës së shtatë.Mësuesi vizaton në dërrasë një hartë konceptesh për statistikën në të cilat përmbledh të gjitha njohuritë që janë marrë deri tani.

Mësuesi shkruan në dërrasë notat në 5 testimet e matematikës të Benit: 7, 6, 7, 7, 7 , dhe të Eltonit: 9, 6, 8, 6, 7.Cili prej tyre ka rezultate më të larta?Nxënësit mund të përgjigjen se: Beni ka marrë nota “më të qëndrueshme”, ndërsa Eltoni

STATISTIKË

Degë e

matematikës

Popullim

Mbledhim të dhënat

Vizatojmë digramat

Diagram me shtylla

Tipari statistik

Efektivi Mesatarja aritmetike

Tipari cilësor

Diagramë rrethore

MODAMESORE

Sistemojmë të dhënat në tabelë

168 MATEMATIKA 7

ka marrë nota më të shpërndara. Për të gjykuar në mënyrë sa më objektive gjejmë notën mesatare.Mësuesi aktivizon nxënësit për të kryer veprimet:

Për Benin kemi 17 6 7 7 7 34 6,8

5 5m + + + +

= = = .

Për Eltonin kemi: 29 6 8 6 7 7,2

5m + + + +

= = .

A mund të interpretoni rezultatet e dala? Meqë nota mesatare e Eltonit është më e lartë mund të thuhet se Eltoni ka rezultat më të mirë.Mund të formuloni pohimin për mesataren aritmetike? Mesatare aritmetike e n numrave quhet raporti i shumës së këtyre numrave me numrin e tyre.Shqyrtojmë edhe njëherë notat e Benit dhe Eltonit.Çfarë vini re tek notat e Benit? Po të Eltonit? A ka nota që përsëriten?Nxënësit theksojnë:Vemë re se tek Beni, në pesë nota gjithsej, ndeshet katër herë nota 7. Në këtë rast thuhet se moda është 7. Në rastin e Eltonit moda është 6.Mund të formuloni pohimin për modën? Moda është vlera të cilës i korrespondon efektivi më i madh.Rendisni notat e Eltonit nga më e ulëta tek më e larta6, 6, 7, 8, 9Cila është nota në mes? Është nota 7. Kjo vlerë quhet mesoreNë rastin kur numri i efektivave është çift si mesore merret mesatarja e dy vlerave të mesit.

P.sh. 4, 5, 6, 6, 7, 8 , 9 ,9 mesorja është 6 7 6,5

2+

= .

Kujdes! Për të gjetur mesoren duhet të rendisni patjetër efektivat nga më i vogli tek më i madhi.Nxënësit plotësojnë hartën e koncepteve me dy konceptet e reja Modën dhe Mesoren.Nxënësit punojnë të ndarë në grupe me ushtrimet 1, 2, 3, 4 dhe 5. Ushtrimet zgjidhen dhe interpretohen nga nxënësit. Mësuesi lehtëson punën e grupeve.

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2,3 dhe 4.


VI. HORIZONTI I MËSUESIT

Metodika e trajtimit të koncepteve matematike

6.2.1. Ç’është koncepti matematik.

Që në fillim vëmë në dukje se konceptet matematike, pavarësisht nga abstraksioni që ato mbartin, pasqyrojnë vetitë dhe ligjshmëritë e botës reale. Le të shohim një shembull të futjes së një koncepti matematik. Konsiderojmë një dhomë në dyshemenë e të cilës është vendosur një top futbolli, i cili ka formën e një sfere. Ky proces në logjikë quhet perceptim. Ne dalim nga dhoma dhe tanimë nuk e shohim topin, por forma e tij ruhet në kujtesën tonë, sepse tashmë tek ne është krijuar përfytyrimi për topin. Ne kemi parë sfera të ndryshme si topa, portokall, rruaza etj. Duke mos marrë në konsideratë cilësitë e veçanta të tyre (p.sh., topi është lëkurë me ajër brenda, portokalli është frut, rruazat janë prej qelqi etj.), në vetëdijen tonë ruhet vetëm veçoria e përbashkët e tyre që ka të bëjë me formën: kështu tek ne krijohet koncepti i përgjithshëm sferë. Në këtë mënyrë, koncepti i lidhur me një objekt apo me një fakt, në vetëdijen tonë realizohet si rezultat i përgjithësimit të bashkësisë së perceptimeve që lidhen me objekte, dukuri apo fakte. Koncepti, në ndryshim nga perceptimi dhe përfytyrimi, pasqyron dhe fikson në vetëdijen tonë jo të gjitha kriteret dhe veçoritë e objektit apo dukurisë, por vetëm ato që janë thelbësore dhe që i përkasin të gjithë objekteve me gjini të përbashkët.

Koncepti i privohet atij vëzhgimi që ka të bëjë me procesin e perceptimit e përfytyrimit.Gjatë mësimdhënies së matematikës mësuesi duhet të synojë që tek nxënësit të krijohet një kuptim i saktë për konceptet. Për këtë ai duhet të fillojë nga disa detyra konkrete, që lidhen me vëzhgimet. Kështu që në shkollën fillore, trajtohen disa figura konkrete (segmenti, rrethi, trekëndëshi kënddrejtë etj), gjë që kushtëzon krijimin e përfytyrimeve lidhur me pjesë të barabarta të njësisë. Në klasat e mëvonshme mësuesi i shfrytëzon këto përfytyrime për krijimin e konceptit të thyesës. Madje edhe në klasat e larta mësuesi nuk mund të fillojë nga të numëruarit e kritereve të koncepteve, pa shpjeguar nëse ato i posedojnë përfytyrimet përkatëse. Kështu, duke trajtuar konceptin e funksionit, mësuesi paraprakisht trajton një sërë shembujsh të varësisë funksionale ndërmjet madhësive të ndryshme. Asimilimin e koncepteve të reja e ndihmon së tepërmi ajo punë përgatitore, e cila është zhvilluar me nxënësit e klasave më të ulëta. Kështu p.sh., nëse gjatë të mësuarit të aritmetikës, mësuesi në mënyrë të planifikuar shqyrton varësinë e një madhësie nga një madhësi tjetër, duke hartuar me nxënësit tabelën e vlerave të madhësive konkrete, duke i njohur ata me grafikë të thjeshtë (gjë që rekomandohet nga programet ekzistuese), me këtë ai i ka përgatitur nxënësit për asimilimin e konceptit të funksionit. Po kështu

170 MATEMATIKA 7

duhet të veprohet edhe për krijimin e koncepteve gjeometrikë.

Koncepti si një nga format e të menduarit të saktë trajtohet hollësisht në logjikë. Në këto shënime ne po ndalemi vetëm në disa çështje të cilat i konsiderojmë si më themelore.Koncepti pasqyron kriteret e përgjithshme dhe thelbësore të objekteve reale; ai konsiderohet i saktë, nëse pasqyron drejtë realitetin.Kritere thelbësore quhen ato ato kritere, të cilat janë të domosdoshme për përkatësinë e objekteve të një gjinie të caktuar dhe ndryshojnë nga ato të objekteve të një gjinie tjetër. Në këtë mënyrë, kriteret thelbësorë karakterizojnë objekte të botës reale dhe japin mundësi për t’i njohur ato. Kritere jo thelbësore janë ato kritere, të cilat ndonëse ekzistojnë tek këto apo ato objekte të një gjinie të caktuar, nuk i karakterizojnë ato dhe nuk japin mundësi për të dalluar ato nga objekte të një gjinie tjetër.

Çdo koncept ka përmbajtjen dhe vëllimin. Përmbajtje e konceptit quhet tërësia e kritereve thelbësore të një rrethi të caktuar objektesh apo dukurish. Vëllimi i konceptit është tërësia e këtyre objekteve. Kështu p.sh., përmbajtja e konceptit “paralelogram” janë kriteret: katërkëndësh i rrafshët e i mystë, brinjët dy nga dy paralele, brinjët e kundërta dy nga dy të barabarta, diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën etj. Vëllimi i konceptit “paralelogram” janë të gjitha paralelogramet, d.m.th., figurat që zotërojnë këto kritere.Ndërmjet përmbajtjes dhe vëllimit të konceptit ka një varësi të përcaktuar: sa më i gjerë të jetë koncepti, aq më i ngushtë është vëllimi dhe anasjellas, sa më i ngushtë të jetë koncepti aq më i gjerë është vëllimi.Në këtë mënyrë, duke futur në përmbajtjen e konceptit një kriter të ri, i cili nuk rrjedh nga kriteret e mëparshme, ne zgjerojmë përmbajtjen e konceptit, por ngushtojmë vëllimin e tij. Kështu, nëse në konceptin e paralelogramit futim edhe barazimin e brinjëve të njëpasnjëshme ne përftojmë konceptin e ri me vëllim më të ngushtë: në këtë të fundit nuk përfshihen paralelogramet ku brinjët e njëpasnjëshme nuk janë të barabarta.Çështja lidhur me vëllimin dhe përmbajtjen e koncepteve i përket jo vetëm objekteve gjeometrikë (figurave gjeometrike dhe vetive të tyre) por edhe koncepteve algjebrike, aritmetike, të trigonometrisë etj.

Konceptet krijohen si më poshtë: Merret në konsideratë një bashkësi objektesh, që zotërojnë disa kritere kryesore të përgjithshme. Më pas shmangen të gjithë kriteret individuale d.m.th., ato kritere të cilët i përkasin vetëm disa objekteve të veçantë, pra jo të gjithë objekteve nga bashkësia e dhënë, dhe mbahen vetëm kriteret e përgjithshme d.m.th., ato të cilët i përkasin të gjithë objekteve të bashkësisë së dhënë. Tërësia e këtyre kritereve përcakton konceptin.P.sh., për të formuar konceptin zog, duhen marrë në konsideratë dhe krahasuar ndërmjet tyre zogj të ndryshëm. Çdo zog, zotëron një numër të konsiderueshëm kriteresh të ndryshme. P.sh.,çdo zog ka një ngjyrë të caktuar. Por asnjë ngjyrë nuk mund të përfshihet në konceptin zog, për arsye se jo të gjithë zogjtë kanë të njëjtën ngjyrë. Prania e dy këmbëve është një kriter i përgjithshëm për të gjithë zogjtë e rrjedhimisht përfshihet në konceptin e zogut.


Çdo koncept paraqet abstraksionin d.m.th., largimin nga disa kritere pa të cilët individi i veçantë nuk mund të ekzistojë. Kështu p.sh zogu si koncept nuk ka as ngjyrë, as madhësi të caktuar, as racë etj, në një kohë që zog i veçantë pa këto kritere nuk mund të ekzistojë. Koncepti algjebrik “ transformim identik” është më i gjerë se koncepti “ thjeshtimi i thyesave”; vëllimi i konceptit të parë është më i madh sepse ai përfshin në vetvete edhe thjeshtimin e thyesave, edhe faktorizimin e polinomit edhe reduktimin e kufizave të ngjashme etj.Por edhe këtu koncepti me vëllimin më të madh “transformim identik”, ka përmbajtje më të ngushtë se koncepti më vëllim më të vogël “ thjeshtimi i thyesave”. Me të vërtetë, çdo transformim identik krijon mundësi për ndarjen e komponenteve (që janë pjesë përbërëse e shprehjes), në të njëjtën shprehje, ndërsa thjeshtimi i thyesave pikërisht këtu konsiston; së bashku me këtë thjeshtimi i thyesave ruan edhe vetinë e çdo transformimi identik- që është ruajtja e vlerës numerike për raste të caktuara të vlerës numerike të shkronjave që bëjnë pjesë në shprehje.Në mënyrë analoge, në aritmetikë mund të shqyrtohet koncepti: “pjesëtuesi më i madh i përbashkët” dhe “shumëfishi më i vogël i përbashkët” i numrave; në trigonometri –koncepti “funksioni trigonometrik” dhe “ funksioni sinus” etj.

Vëmë në dukje që nëse vëllimi i një koncepti përfshihet tërësisht në vëllimin e një koncepti tjetër që përfshin edhe objekte të tjerë, atëherë koncepti i parë quhet gjini në lidhje me të dytin, ndërsa i dyti quhet familje. Kështu p.sh., koncepti “romb” është gjini në lidhje me konceptin “paralelogram”, ndërsa koncepti “paralelogram “quhet familje në lidhje me konceptin “romb”. Po kështu koncepti “paralelogram “ quhet gjini në lidhje me konceptin “katërkëndësh”. Në algjebër si shembull i konceptit familje mund të shërbejë koncepti “transformim identik” ndërsa si koncept “gjini”, “thjeshtimi i thyesave”.

6.2.2. Përkufizimet

Në matematikë sikurse edhe në çdo shkencë tjetër, jepen përkufizime lidhur me konceptet që studiohen. Në përkufizimet zbulohet përmbajtja e konceptit d.m.th., me anën e numërimit, zbulohen kriteret e tij thelbësorë.Duket sikur, mënyra më e thjeshtë dhe e natyrshme e dhënies së përkufizimeve është numërimi i të gjithë kritereve thelbësorë të atij objekti. Por një mënyrë e tillë për dhënien e përkufizimeve është e vështirë dhe herë-herë edhe e pamundur, sepse çdo objekt ka shumë kritere. Logjika përcakton mënyrën e dhënies së përkufizimeve, duke shmangur (evituar) këto mangësi.

Përkufizimi i një koncepti jepet me anën e një koncepti tjetër më të gjerë, të cilit ai i përket, d.m.th., është pjesë e vëllimit të tij, dhe pastaj jepen ato kritere, nga të cilët koncepti i ri ndryshon nga konceptet e tjerë, që i takojnë vëllimit fillestar dhe që bëjnë pjesë në të. Një mënyrë e tillë e përkufizimit quhet përkufizim me anën e familjes më të afërt dhe

172 MATEMATIKA 7

ndryshimit në gjini.(herë herë në vend të gjinisë përdoret e ashtuquajtura veti specifike).Në mënyrë që përkufizimet të jenë të sakta nga pikëpamja logjike, ato duhet të përfshijnë vetëm kriteret e domosdoshme të konceptit, në mënyrë që tërësia e të gjithë kritereve të jetë e mjaftueshme për të karakterizuar plotësisht konceptin. Kështu ne e përkufizojmë paralelogramin si një katërkëndësh të tillë që brinjët e kundërta të jenë dy nga dy paralele. Përjashtimi qoftë edhe i njërit nga kriteret e numëruara zgjeron vëllimin e konceptit, d.m.th., secili kriter është i domosdoshëm (p.sh., nëse nuk thuhet që paralelogrami ka katër brinjë, atëherë edhe gjashtëkëndëshi i rregullt përfshihet në përkufizim, sepse brinjët e tij të kundërta janë dy nga dy paralele). Nga ana tjetër, përfshirja e çdo kriteri tjetër nuk kërkohet. Nëse shtojmë një kriter të papërfshirë në përkufizimin e dhënë, atëherë vëllimi i konceptit zvogëlohet, sikurse e trajtuam më parë. Nëse shtojmë një kriter i cili rrjedh nga kriteret e dhëna në përkufizim atëherë, ndonëse, në këtë rast vëllimi nuk ndryshon, përfshirja e tij është e tepërt. P.sh., nuk ka pse të përfshihet në përkufizimin e paralelogramit, që brinjët e kundërta të jenë dy nga dy të barabarta, apo që ai është i mysët, sepse të dyja këto veti rrjedhin nga përkufizimi fillestar. Në këtë mënyrë, në numrin e kërkesave ndaj një përkufizimi rigoroz, bën pjesë pavarësia e çdo kriteri të konceptit, nga kriteret e tjerë.

Por, konceptet e veçantë është e vështirë të përkufizohen duke përdorur ato familje dhe ndryshimet e mundshme. Logjika fut përkufizimet gjenetike. Në përkufizimet gjenetike tregohet mënyra e formimit apo mënyra e lindjes së objektit të përcaktuar, e cila (mënyra) i përket vetëm objektit të dhënë dhe asnjë objekti tjetër.Përkufizimet gjenetike përdoren gjerësisht në kursin shkollor të gjeometrisë. Kështu, nganjëherë rrethi përkufizohet si një vijë e mbyllur e rrafshit, që formohet nga lëvizja e pikës B të drejtëzës AB rreth pikës së palëvizshme A. Në të vërtetë, si rezultat e këtij procesi (lëvizjes së pikës B nuk mund të formohet asnjë figurë tjetër përveç rrethit).Në përkufizimin e mësipërm bëjnë pjesë koncepte, të cilët duhet të jenë të njohura për nxënësit apo që janë përkufizuar më parë, p.sh., “rreth”. Duhet theksuar edhe fakti që përkufizimi i mësipërm gjenetik mund të zëvendësohet me përkufizimin: “vija e mbyllur e lakuar e planit, të gjithë pikat e të cilës janë në largesë të njëjtë nga një pikë e atij plani”. Në këtë rast koncepti familje është “vija e mbyllur e planit” ndërsa veti e veçantë është, pjesa e dytë e fjalisë. Lidhur me përkufizimet e ndryshme të të njëjtit koncept do të flasim më poshtë.

Vëmë në dukje se formulimi me fjalë i përkufizimit jo gjithmonë përmban një theksim të qartë të familjes dhe kriterit gjini, por analiza e përkufizimit krijon mundësi për evidentimin e tyre.Nxënësit, jo gjithmonë janë në gjendje të shpjegojnë se si e kuptojnë përkufizimin dhe kërkesat e konceptit të cilat paraqiten në atë përkufizim. Por duhet të synohet që së pari ata të kuptojnë se përkufizimi është një fjali matematike, që të krijon mundësi për të precizuar kuptimin e termit të përkufizuar apo për të formuluar kuptimin e tij.Nxënësit shpesh here ngatërrojnë përkufizimin me kriteret dhe nuk kuptojnë që përkufizimet nuk vërtetohen, ndërsa kriteret vërtetohen.


I njëjti koncept mund të përkufizohet me mënyra të ndryshme, sepse mund të tregohet tërësia e kritereve të ndryshme thelbësorë, që kënaqin kërkesat e numëruara më lart.P.sh., paralelogrami mund të përkufizohet si një katërkëndësh i rrafshët i mysët, brinjët e të cilit janë dy nga dy të barabarta. Në këtë rast paralelizmi i brinjëve është rrjedhim i kritereve të mësipërm dhe nuk përfshihet në përkufizim.Zakonisht në trajtimet shkencore jepet ndonjë përkufizim i konceptit. Nëse futet edhe një përkufizim i ri, atëherë duhet të vërtetohet që të dy përkufizimet janë të njëvlefshëm, që përmbajtja dhe vëllimi janë të njëjtë.

Në përkufizimet nuk duhet të ketë “ rreth vicioz”. Kjo kërkesë presupozon, që nuk mund të përkufizohet një koncept me anën e një koncepti tjetër i cili varet nga i përkufizuari. Shembuj të rrethit vicioz në përkufizim mund të shërbejnë “përkufizimet e mëposhtme” të hasura në periudha të ndryshme në shkollën tonë.1a) Mbledhje është veprimi, me anën e të cilit gjendet shuma e disa numrave.1b) Shuma është rezultati i mbledhjes.2a) Kënd i drejtë quhet këndi që përmban 90 gradë.2b) Gradë quhet një e nëntëdhjeta pjesë e këndit të drejtëSiç shihet në të dy rastet koncepti i parë përcaktohet me anën e konceptit të dytë, i cili nga ana e tij përkufizohet me anën e konceptit të parë.

Me zhvillimin e matematikës disa koncepte ndryshojnë. Sikurse edhe çdo shkencë, matematika depërton thellë në vetitë e sendeve dhe zbulon marrëdhënie të tjera ndërmjet objekteve të studiuar. Që këtej rrjedh domosdoshmëria e ndryshimit të përkufizimeve.Kështu, fillimisht koncepti numër ka pësuar ndryshime dhe është zgjeruar. Në matematikë, vazhdimisht janë futur numra të rinj: (natyrorë, thyesorë, zeroja, negativë, irracionalë etj). Përkufizimi i veprimeve, për një bashkësi të caktuar nuk mund të përdoret në bashkësi të tjera.Po kështu edhe në gjeometri: nëse koncepti i këndit fillimisht ka lindur si rezultat i pasqyrimit (përshkrimit) të vetive të këndeve në plan më të vegjël se këndi i shtrirë, më pas u trajtuan këndet më të mëdhenj (deri tek këndi plotë). Zhvillimi i trigonometrisë kushtëzoi trajtimin e këndeve me drejtime të ndryshme (pozitivë e negativë) të madhësive të çfarëdoshme. Gjatë studimit të stereometrisë lindi kërkesa e trajtimit të këndeve ndërmjet dy drejtëzave të kithëta, ndërmjet drejtëzës e planit, si dhe ndërmjet dy apo disa planeve.

Sa më i ri të jetë nxënësi, aq më me vështirësi ai kupton thelbin e përkufizimit: prandaj në klasat e ulta futja e disa koncepteve shoqërohet me përshkrime shpjeguese. Shpesh herë përshkrimet jepen në aritmetikë, p.sh., “çdo numër i plotë është ose njësia, ose shuma e disa njësive”, “një pjesë, apo disa pjesë të njëjta të njësisë quhet thyesë”. Këto përshkrime shpjeguese nuk mund të jepen apo të konsiderohen si përkufizime. Përkufizimet përshkruajnë plotësisht koncepte të futur më parë, për të cilat është dhënë përkufizimi; përshkrimet mund të trajtohen njëkohësisht dhe me konceptet, të cilat janë futur më parë, me përfytyrimet nga përvoja e përditshme, nga vëzhgimet e trupave konkretë, modelet etj.

174 MATEMATIKA 7

Përkufizimet ndërtohen duke u bazuar në ligjet e logjikës dhe mësuesi duhet të ruhet nga gabimet duke përshkruar përkufizimet. Prandaj duke i detyruar nxënësit të mësojnë fraza të tilla si “raporti është rezultat e krahasimit” apo “numri është rezultat i llogaritjeve apo matjeve” si dhe të tjera të ngjashme me këto, dhe t’i konsiderojë këto fraza si përgjigje të pyetjes se çfarë është raporti dhe çfarë është numri, d.m.th., që janë përkufizime të konceptit; kjo do të thotë që në mënyrë të ndërgjegjshme t’u kërkohet nxënësve një stil vicioz të menduari.

6.2.3 Konceptet bazë:

Në procesin e ndërtimit logjik të çdo disipline matematike, në mënyrë të paevitueshme futen disa koncepte të papërkufizuara. Koncepte të tilla quhen koncepte bazë, apo fillestarë. Domosdoshmëria e futjes së koncepteve bazë qartësohet, nëse dihet se me përkufizimin e ndonjë koncepti, duhet të përdoret një koncept tjetër i përkufizuar më parë. P.sh., duke i përkufizuar drejtëzat paralele si drejtëza që shtrihen në një plan dhe nuk priten, ne përdorim konceptet “drejtëz”, “ plan” , “që priten “. Por për përkufizimin e tyre duhet të përdoren koncepte të tjerë.Vargu i përkufizimeve nuk mund të jetë i pafundmë, prandaj disa koncepte është e detyrueshme që të konsiderohen koncepte bazë apo të papërkufizueshëm.Në kurset shkencore të gjeometrisë koncepte bazë zakonisht merren “ pika”, ”drejtëza”, “ plani”, si dhe disa marrëdhënie si “shtrihet në”, “ ndërmjet”, etj. Në aritmetikë- koncepti “numër natyror”, “i barazimit “etj.Në kurset shkencore koncepte të tilla nuk përshkruhen, nuk ilustrohen: përmbajtja e tyre shtjellohet në aksioma. Kështu koncepti i pikës dhe drejtëzës përkufizohen nga një bashkësi aksiomash.

Përkufizimi i konceptit nëpërmjet abstraksionit konsiston në faktin që koncepti “përkufizohet” si maksimumi i përbashkët i objekteve të një natyre të caktuar, të bashkuar në një klasë sipas ndonjë kriteri. I tillë është koncepti i numrit natyror. Çdo numër natyror në aritmetikën teorike trajtohet si karakteristikë e përgjithshme e bashkësive të fundme që krijojnë mundësi për korrespondenca reciproke të elementeve të tyre me njëra tjetrën.Në kurset shkollore konceptet bazë, gjithashtu nuk përkufizohen, por duke i përfshirë ato, mësuesi përdor objekte konkrete, që krijojnë mundësinë e përfytyrimit nga ana e nxënësve.Koncepti për numrin natyror formohet tek nxënësit që në mosha të ulëta dhe mësuesit në klasën e pestë i duhet vetëm të fusë terminologjinë dhe të shpjegojë që vargu i numrave 1, 2, 3,…mund të vazhdojë në mënyrë të pakufizuar.Për këtë mësuesi nuk operon me një apo disa aksioma, nuk tregon ndonjë veti të këtyre numrave, por shfrytëzon abstraksionin që tashmë është i pjekur tek nxënësit e moshës 10-11 vjeç lidhur me bashkësitë e vëzhguara.

Cila është metodika e formimit dhe përkufizimit të koncepteve? Para së gjithash duhet


patur në konsideratë, që përfytyrimi lidhur me përshkrimin duhet të ekzistojë në mendjen e nxënësit, deri sa të formulohet përkufizimi formal. Prandaj i duhet kushtuar vëmendje e madhe përpunimit lidhur me përfytyrimin përkatës tek nxënësit. Kështu në aritmetikë, koncepti lidhur me pjesëtuesin më të madh të përbashkët shtjellohet duke u bazuar në konceptin e pjesëtuesit të numrit në përgjithësi. Në algjebër koncepti i transformimit identik shtjellohet pas trajtimit paraprak të vlerave numerike të një shprehje algjebrike në trajta të ndryshme.Nganjëherë përfytyrimi fillestar lidhur me ndonjë objekt matematik është e udhës të jepet sipas një vargu krahasimesh të objekteve familje. Kështu, përfytyrimi për paralelogramin mund të sqarohet në trajtimin njëri pas tjetrit të katërkëndëshave të ndryshëm, e pastaj duke u bazuar në përfytyrimin për figurën e dhënë formohet koncepti dhe përkufizimi i tij. Formimi i disa koncepteve mund të realizohet në një periudhë relativisht të gjatë; koncepte të tillë janë p.sh., ai i ekuacionit, funksionit etj.Nuk është e rastit që në klasat 6 e 7 fillimisht trajtohet varësia ndërmjet madhësive dhe mënyrat e ndryshme të shprehjes së këtyre varësive dhe vetëm në klasën e 8 programet parashikojnë futjen e konceptit të funksionit dhe studimin sistematik të funksioneve.

Në procesin e formimit të konceptit, përkufizimi logjik formal ka një rëndësi të madhe, pasi krijon mundësi për të përcaktuar rigorozisht saktë objektin e një klase të përcaktuar. Nganjëherë studimi i konceptit fillon nga formulimi i përkufizimit; por kështu mund të ecet vetëm në atë rast, kur vetë formulimi i përkufizimit është i kuptueshëm, d.m.th., nxënësit e përfytyrojnë atë qartë. Kështu p.sh., duke kaluar në studimin e thyesave dhjetore, fillimisht mund të niset nga përkufizimi i thyesës së zakonshme, sepse gjatë ushtrimeve me thyesat e zakonshme, nxënësit kanë hasur edhe thyesa me emrues 10, kurse vetë përkufizimi i thyesës dhjetore është i thjeshtë dhe përvetësohet lehtë.

Por shpesh herë nxënësi mundet të formulojë saktë përkufizimin, por më pas sqarohet, se ai nuk e zotëron atë. Një fakt i tillë vërteton se nxënësi nuk e ka përvetësuar konceptin përkatës apo që përkufizimi nuk është formuluar deri në fund. Janë të njohura gabimet e përhapura mjaft si ngatërrimi i koncepteve “përgjysmorja e trekëndëshit”, “mesorja e trekëndëshit” etj.Prandaj formulimi i përkufizimit të konceptit duhet të konkludojë procesin e formimit të konceptit. Kur koncepti tashmë është formuar në mendjen e secilit nxënës, mund të formulohet d.m.th., kur ata kanë sqaruar përmbajtjen e konceptit, atëherë është e udhës të përcaktohen kriteret themelorë të domosdoshëm e të mjaftueshëm të konceptit dhe të formulohet përkufizimi. Dhe sigurisht, është shumë e vlefshme, nëse në procesin e formimit të përkufizimit të marrin pjesë aktive vetë nxënësit. Ky proces para së gjithash realizohet në trajtën e bisedës euristike.

Përkufizimi duhet të përfshihet në sistemin e njohurive të nxënësve. Ato duhet të dinë dhe të kujtojnë përkufizimin; por duhet të nënvizojmë edhe njëherë se duhet të përpiqemi të evitojmë të mësuarit mekanik të përkufizimit pa realizuar lidhjen me përfytyrimet e tij reale, pa kuptuar strukturën logjike të përkufizimit.Vëzhgimet e shumta tregojnë se nxënësit e shkollës 9 vjeçare, duke ditur përkufizimin

176 MATEMATIKA 7

e drejtëzave prerëse, nuk mund të tregojnë drejtëza të tilla në situatën reale ku jetojnë. (kushtet e dhomës).Veç kësaj përvoja tregon se nëse janë realizuar kërkesat për formulimin e konceptit dhe në futjen e përkufizimit përkatës, përkufizimi i dhënë “vepron”. Nëse përkufizimi përsëritet dhe mbi të operohet dhe gjatë vërtetimit të teoremave dhe gjatë zgjidhjes së problemave si mësuesit ashtu edhe nxënësit, atëherë përkufizimi mbahet mend mirë dhe ideja e tij nuk humbet në vetëdijen e nxënësit.

6.2.4 Copëtimi i konceptit. Klasifikimi

Copëtimi i konceptit trajtohet në kurset e logjikës, si një veprim logjik, i lidhur me vëllimin e konceptit. Të realizosh copëtimin e një koncepti, do të thotë të japësh disa koncepte të tjerë të cilët së bashku përbëjnë vëllimin e konceptit të dhënë. Kështu p.sh., ne mund të ndajmë konceptin e thyesës aritmetike në konceptet “e rregullt” dhe “e parregullt”, konceptin “trekëndësh” në konceptet “trekëndësh këndngushtë”, “trekëndësh kënddrejtë” dhe “trekëndësh këndgjerë”. Duke realizuar copëtimin, në mendojmë një kriter të caktuar sipas të cilit realizojmë copëtimin.Logjika përcakton rregullat e copëtimit të koncepteve. Rregull themelor është ai që copëtimi realizohet sipas ndonjë kriteri, të ashtuquajtur bazë e copëtimit, i cili nuk mund të ndryshojë gjatë procesit të copëtimit. Në një copëtim të rregullt, i gjithë vëllimi i konceptit duhet të ndahet, d.m.th., asnjë pjesë nuk duhet të mbetet e papërfshirë në konceptet e rinj, ndërkohë që secili koncept i ri duhet të përjashtojë konceptet e tjerë. P.sh., nuk mund të ndahen thyesat e zakonshme, në thyesa të rregullta dhe në thyesa të pathjeshtueshme, apo nuk mund të ndahen trekëndëshat, në trekëndësha kënddrejtë dhe në trekëndësha brinjëndryshëm. Në të dyja këto raste nuk ka një kriter ndarjeje; gjithashtu nuk janë respektuar edhe kërkesat e tjera.

Në çdo shkencë, ndeshemi me futjen në një sistem të objekteve të trajtuar në të. Sistemi i ndarjes së objekteve në klasa duke u bazuar në vetitë e objekteve brenda një klase si dhe dallimet ndërmjet tyre nga klasat e tjera, quhet klasifikim.Klasifikimi është një rast i veçantë i copëtimit të konceptit dhe realizohet sipas po atyre rregullave.Le të shohim p.sh., klasifikimin e paralelogrameve. Ai mund të realizohet me kritere të ndryshme: ose në varësi të vetive të brinjëve, ose në varësi të këndeve. Si bazë e copëtimit mund të shërbejë vetëm njeri prej tyre.P.sh., ndarja e paralelogrameve në varësi të pranisë së barazimit të brinjëve të njëpasnjëshme. Në këtë rast paralelogramet ndahen në dy klasa: paralelograme me brinjë të barabarta dhe paralelograme me brinjë të ndryshme. Secila klasë mund të ndahet përsëri në varësi të këndeve të tyre (janë apo jo ata kënde të drejtë).(Dihet se nëse një kënd i paralelogramit është i drejtë, atëherë të gjithë këndet e tij janë të drejtë). Klasifikimi mund të ilustrohet me skemën e mëposhtme:


Secili tip paralelogrami, ka vendin e tij dhe nuk bën pjesë në dy klasa. Vëmë re se çdo tip i veçantë paralelogrami ka një emër, gjë që vështirëson klasifikimin e këtyre figurave. Mund të realizohet klasifikimi i paralelogrameve, duke e filluar ndarjen nga kriteri i ekzistencës së këndeve të drejtë, e më pas çdo tip të ndahet në klasa sipas pranisë apo jo të barazimit të brinjëve të tij. Një skemë të tillë mund të realizojë vetë lexuesi. Si përfundim ne marrim 4 tipa të veçantë, por në rastin e parë ne përftojmë katrorin si romb me kënd të drejtë, ndërsa në rastin e dytë katrorin e përftojmë si një drejtkëndësh me brinjë të barabarta. Nëse marrim në konsideratë të dy kriteret e copëzimit, atëherë klasifikimi mund të ilustrohet me skemën e mëposhtme:

Sipas brinjëve

Brinjë të njëpasnjëshme të barabarta

Katrori

Rombi Paralelogrami

Drejtkëndëshi

Brinjë të njëpasnjëshme jo të barabarta

Sipas këndeve

Kënde të drejtë

Kënde jo të drejtë

178 MATEMATIKA 7

6.2.5 Aksiomat dhe teoremat

Në shtjellimin e çdo disipline të matematikës, e gjithë përmbajtja e saj duhet të trajtohet me anën e një sistemi rigorozisht logjik. Pavarësisht nga fakti, se si futet fillimisht ndonjë fakt, synohet që ai të vërtetohet, d.m.th., të nxirret nga rregullat dhe ligjet e logjikës nga njohuri tashmë të njohura. Këto njohuri shtjellohen me anën e fjalive matematike. Forma e të menduarit, sipas të cilës vërtetohet apo mohohet lidhur me objektet e kriteret e tyre quhet gjykim. Në çdo fjali matematike shtjellohet njëfarë gjykimi lidhur me konceptet matematike.Një fjali matematike, e cila vërtetohet quhet teoremë. Vërtetimi i çdo teoreme realizohet duke u bazuar në fjali të tjera matematike, vërtetimi i të cilave tashmë është realizuar. Por, për të vërtetuar këto fjali të reja duhet të mbështetemi në disa fjali të tjera të vërtetuara më parë. E meqë procesi i vërtetimeve duhet të ketë një fillim, rrjedh që ndonjë fjali do të jetë e para. Që këtej del se në themel të çdo shkence duhet të merren si të vërteta pa u vërtetuar disa fjali. Fjali të tilla quhen aksioma. Domosdoshmëria e ekzistencës së aksiomave në një ndërtim logjik njihet që nga koha e Greqisë së vjetër d.m.th., më shumë se 2000 vjet më parë. Por vetëm në shekullin XIX e veçanërisht në shekullin XX, aksiomat themelore të disiplinave matematike të veçanta janë studiuar thellësisht. Tërësia e të gjitha aksiomave, që shërbejnë si bazë e një shkence të caktuar, quhet sistem i aksiomave. Ky sistem duhet të realizojë tri kërkesa.

1. Sistemi i aksiomave duhet të jetë jo kontradiktor. Kjo do të thotë, që asnjë aksiomë nuk mundet të bjerë në kundërshtim me aksiomat e tjera, asnjë rrjedhim i ndonjë aksiome nuk duhet të kundërshtojë asnjë rrjedhim të aksiomave të tjera.

2. Sistemi i aksiomave duhet të jetë i pavarur. Kjo do të thotë që asnjë aksiomë nuk mund të jetë rrjedhim i aksiomave të tjera. Nëse një aksiomë mund të jetë rrjedhim i aksiomave të tjera, atëherë ajo duhet të përfshihet në grupin e teoremave.

3. Sistemi i aksiomave duhet të jetë i mjaftueshëm për vërtetimin e çdo situate të shkencës së dhënë. Prandaj gjatë vërtetimit të ndonjë fjalie nuk duhet të mbështetemi në përvojën apo faktin nëse është apo jo evident; ajo duhet të bazohet në teoremat e mëparshme apo aksiomat.

Hartimi i një sistemi të tillë aksiomash, e në mënyrë të veçantë vërtetimi që ai plotëson kërkesat e mësipërme, përbën në vetvete një detyrë tepër të vështirë.Shtjellimi i matematikës, ku si bazë futen disa koncepte themelorë, si dhe sistemi i përcaktuar i aksiomave, ndërsa të gjitha konceptet e tjerë përcaktohen rigorozisht, dhe të gjitha fjalitë e tjera vërtetohen rigorozisht, quhet aksiomatik. Ai nuk mundet të përfshihet as dhe në klasat e larta të shkollës. Të kuptuarit e tij kërkon një zhvillim të lartë matematik e logjik. Një trajtim i tillë largohet së tepërmi nga konkretizimi, nga mënyra e lindjes së koncepteve të rinj, dhe shtjellon vetëm varësi në abstraksion.


Por vetëm nën dritën e ndërtimit të një disipline matematike si një sistem logjik, shfaqet roli i aksiomave dhe ndryshimi i tyre nga teoremat. Fakti, që një fjali është aksiomë, rrjedh jo vetëm nga kushti që ajo është evidente, por edhe nga fakti që në sistemin e ndërtimit të kësaj shkence, ajo është një nga konceptet themelore, fillestare dhe nuk mund të jetë rrjedhojë e të tjerave. Këto fjali fillestare, janë marrë nga praktika shumëvjeçare dhe pasqyrojnë lidhje shumë të përgjithshme dhe ligjësi të botës reale.

Siç dihet, në çdo teoremë dallohet kushti dhe përfundimi. Vërtetimi i teoremës konsiston, që të vërtetohet që nëse kushti i teoremës plotësohet, atëherë në mënyrë logjike rrjedh përfundimi i saj. Forma e të menduarit, me anën e të cilës nga dy apo më shumë gjykime ne përftojmë një gjykim të ri në logjikë quhet konkluzion. Logjika trajton trajta të ndryshme të konkluzioneve dhe fikson ato rregulla e ligje, me anën e të cilave nga të dhënat e vërteta (kushtet) arrihet në konkluzione të sakta. Vërtetimi i teoremës realizohet me anën e një sërë konkluzionesh, duke u udhëhequr nga vetitë e përgjithshme e duke arritur në përfundime të pjesshme; konkluzione të tilla quhen deduktive. P.sh., gjatë vërtetimit të teoremës për barazimin e diagonaleve të drejtkëndëshit ne përdorim vetinë e përgjithshme të çdo paralelogrami- barazimin e brinjëve të kundërta, kriterin e barazimit të trekëndëshave kënddrejtë, varësinë ndërmjet këndeve e brinjëve në trekëndëshat e barabartë. Gjithashtu gjatë vërtetimit të vetisë së mësipërme, ne bazohemi në përkufizimin e pjesës dhe në vetitë e përgjithshme (ligjet) e mbledhjes.

Dihet se duke patur një teoremë mund të formulohen nga ajo disa teorema të tjera (e anasjella, e kundërta dhe e kundërta e të anasjellës). Zakonisht për formulimin e teoremës së anasjellë, përfundimi i teoremës së drejtë bëhet kusht i teoremës së re, ndërsa kushti i saj bëhet përfundim. Për formulimin e teoremës së kundërt, mohohet kushti i teoremës së dhënë dhe rrjedhimisht mohohet edhe përfundimi i saj. Le të shohim varësinë ndërmjet këtyre teoremave në skemën duke shënuar kushtin e teoremës së drejtë me A dhe përfundimin e saj me B.

Teorema e drejtë Teorema e anasjellë Në qoftë se A, atëhere B Në qoftë se B, atëhere A Teorema e kundërt Teorema e anasjellë e teoremës së kundërt Në qoftë se jo B atëhere jo A Në qoftë se jo A atëhere jo B

Duke parë me vëmendje këto teorema, ne vëmë re, se teorema e drejtë dhe teorema e anasjellë e teoremës së kundërt shprehin të njëjtën varësi, d.m.th., nga vërtetësia e njërës

180 MATEMATIKA 7

rrjedh vërtetësia e tjetrës. Me të vërtetë: supozojmë se teorema e anasjellë e teoremës së kundërt nuk është e vërtetë d.m.th., “në qoftë se jo B, atëherë mund të ndodhë A”. Por në këtë rast nga teorema e parë kemi: “në qoftë se A atëherë B” dhe ky konkluzion kundërshton supozimin, e rrjedhimisht nuk mund të jetë i vërtetë.P.sh., nëse është e vërtetë që çdo numër natyror, që mbaron me zero, plotpjesëtohet me 5, nga kjo nuk rrjedh që nëse numri plotpjesëtohet me 5, ai mbaron me zero.Është e qartë, që një varësi e tillë ekziston ndërmjet teoremës së anasjellë dhe asaj të kundërt: ato janë ose të dyja të vërteta, ose të dyja të rreme.Që këtej rrjedh, që nuk është e domosdoshme që çdo herë të vërtetohet secila nga të katër teoremat, mjafton të vërtetohen vetëm dy prej tyre.

Por vërtetësia e një teoreme, jo detyrimisht sjell vërtetësinë e teoremës së saj të anasjellë apo të kundërt. Kështu nga teorema “në qoftë se numri mbaron me zero, ai plotpjesëtohet me 5 “nuk rrjedh që “nëse numri plotpjesëtohet me 5, atëherë ai mbaron me zero” sepse ekzistojnë numra, që nuk mbarojnë me zero e që plotpjesëtohen me 5. Nëse si teoremë të drejtë pranojmë teoremën: “ Nëse numri mbaron me zero, atëherë ai plotpjesëtohet me 10” atëherë e vërtetë është edhe teorema e anasjellë: “nëse numri plotpjesëtohet me 10, atëherë ai mbaron me zero”. Në këtë rast vërtetësia e teoremës së anasjellë (e rrjedhimisht edhe teoremës së kundërt) bazohet në faktin që me 10 plotpjesëtohen vetëm ata numra që mbarojnë me zero.

Le të shohim më hollësisht çështjen që lidhet me formimin e teoremave të anasjella. Më sipër ne formuam teoremën e anasjellë, me anën e ndryshimit të kushtit të teoremës së drejtpërdrejtë me përfundimin, ndërsa përfundimin me kushtin dhe u bindëm që me një mënyrë të tillë jo gjithmonë mund të formohet teorema e anasjellë e vërtetë, pasi ajo mund të mos jetë e vërtetë. Por, kushti i shumë teoremave mund të jetë i ndërlikuar, d.m.th., përbëhet nga disa kërkesa. Duke ndarë kushtin, ne mund të formojmë teoremën e anasjellë, të vërtetë me anën e përfshirjes në përfundim vetëm të një pjese të kushtit të teoremës së drejtë. Si shembull po marrim një teoremë të aritmetikës: ” Nëse secili nga dy të mbledhshëm plotpjesëtohet me një numër, atëherë edhe shuma e tyre plotpjesëtohet me atë numër”. Nëse ndryshojmë kushtin me përfundimin, përftojmë teoremën e anasjellë e cila nuk është e vërtetë: “Nëse shuma e dy të mbledhshmëve plotpjesëtohet me një numër, atëherë secili prej tyre plotpjesëtohet me atë numër”Kushti i teoremës së drejtë përbëhet nga dy pjesë: 1) i mbledhshmi i parë plotpjesëtohet me një numër dhe 2) i mbledhshmi i dytë plotpjesëtohet me po atë numër. Le të përfshijmë në kusht njërin nga këto, ndërsa tjetrin e futim në përfundim. Përftojmë teoremën e anasjellë të mëposhtme: “Nëse shuma e dy të mbledhshmëve dhe njeri prej tyre plotpjesëtohet me një numër, atëhere edhe i mbledhshmi i dytë plotpjesëtohet me po atë numër.” Kjo teoremë është e vërtetë dhe është e njëvlefëshme me teoremën e njohur, lidhur me plotpjesëtueshmërinë e ndryshesës me një numër.

Nëse kushtin, dhe njëkohësisht edhe përfundimin e një teoreme mund t’i ndajmë, atëherë


mund të formojmë disa teorema, të anasjella me teoremën e dhënë. Le të shohim një shembull.Teorema e drejtë: Brinjët e kundërta të paralelogramit janë kongruente: Le të shkruajmë kushtin dhe përfundimin skematikisht:

Kushti PërfundimiNë katërkëndëshin ABCD 1) AB CD 1) AB=CD 2) BC AD 2) BC=ADLe të formojmë teoremën e parë të anasjellë, duke ndërruar vendet e dy kushteve e të dy përfundimeve: Kushti PërfundimiNë katërkëndëshin e mystë ABCD: 1) AB=CD 1) AB CD 2) BC=AD 2) BC AD Përftojmë kriterin e parë të paralelogramit.Teoremën e dytë të anasjellë mund të formojmë, duke futur në kusht pikën e parë, ndërsa pikën e dytë të kushtit ta zëvendësojmë me pikën e parë të përfundimit. Përftojmë kështu teoremën: Kushti PërfundimiNë katërkëndëshin e mysët ABCD: 1) AB CD 1) BC AD 2) AB=CD Përftojmë kriterin e dytë të paralelogramit (pika e dytë e përfundimit nuk është përfshirë sepse ajo rrjedh nga pika e parë).Teoremën e tretë e formojmë, duke vendosur në kusht pikën e parë, ndërsa pikën e dytë e zëvendësojmë me pikën e dytë të përfundimit. Përftojmë kështu:

Kushti PërfundimiNë katërkëndëshin e mysët ABCD: 1) AB CD ? 2) BC=AD

Nuk formohet teoremë e anasjellë; asnjë nga situatat që mbeten nuk janë të nevojshme; si rrjedhojë e njëvlefshmërisë së pikës të parë e të dytë të kushtit (dhe përfundimit), ndërrimet e tjera nuk japin asgjë të re. I propozojmë lexuesit që në mënyrë analoge të formojnë teoremat të ndryshme të anasjella lidhur me vijën e mesme të trapezit.

Në kursin shkollor të gjeometrisë shpesh ndeshemi me formimin e disa teoremave të anasjella. Përmendim qoftë edhe teoremat e anasjella lidhur me diametrin pingul me kordën. Tërheqim vëmendjen në faktin që në tekst nuk janë dhënë të gjitha teoremat e anasjella, gjë që zbulohet lehtë nëse operohet sipas skemës së mësipërme.

182 MATEMATIKA 7

6.2.6 Kushtet e nevojshme e të mjaftueshme:

Nxënësit (madje edhe ato të klasave të larta) gabojnë shpesh herë, nëse për një gjykim të caktuar një kusht është apo jo i nevojshëm, por jo i mjaftueshëm apo është i mjaftueshëm por jo i nevojshëm. Roli i këtyre kushteve shfaqet jo vetëm gjatë vërtetimit të teoremave, por edhe në përkufizimet si dhe në zgjidhjen e problemeve, prandaj këto duhen trajtuar me kujdes në çdo rast konkret.

Kështu, që në klasën e pestë, gjatë veprimeve aritmetike mësuesi mund të ngulë këmbë në njohjen e ndërgjegjshme të nxënësve me gjykimet përkatëse. P.sh.,në temën “Plotpjesëtueshmëria e numrave” duhet theksuar se një kusht i mjaftueshëm për të gjykuar lidhur me plotpjesëtueshmërinë e shumës me një numër, është plotpjesëtueshmëria me këtë numër e secilit të mbledhshëm. Është e udhës të trajtohet çështja, nëse ky kusht është apo jo i nevojshëm. Për këtë mund të shihen shumat e plotpjesëtueshme me 4 e pikërisht, 388+460 dhe 387 + 461.Lidhur me këtë temë mund të gjenden lehtësisht shembuj të panumërt.

Le të shohim një shembulll që lidhet me trajtimin e përkufizimit. Në klasën e gjashtë në temën “këndet e shtrirë” (të bashkëmbështetur) (këndet me një brinjë të përbashkët, ndërsa brinjët e tjera formojnë një drejtëz të shtrirë), është e udhës që fillimisht të shtrohen para nxënësve pyetje të tilla:1) a janë të kundërt dy kënde që kanë një brinjë të përbashkët ? (jo se kjo është kusht i nevojshëm por jo i mjaftueshëm); kjo pyetje mund të formulohet edhe ndryshe:” a është e nevojshme që për të gjykuar që nëse dy kënde janë apo jo të kundërt, që ata të kenë një brinjë të përbashkët? (po është e domosdoshme por jo e mjaftueshme) 2) a është e domosdoshme që për të gjykuar që këndet janë të kundërt, të dy brinjët të tyre të shtrihen në një drejtëz (po) apo a është e mjaftueshme për këtë (jo ) etj.

Çështja lidhur me kushtet e nevojshme e të mjaftueshme të matematikë është shumë e rëndësishme. Kjo lidhet ngushtë me atë që ka të bëjë me teoremën e drejtë e të anasjellë. Kriteri i mjaftueshëm mund të formulohet: Në qoftëse nga prania e vetisë A, rrjedh prania e vetisë B, atëhere vetia A është kriter i mjaftueshëm për ekzistencën e vetisë B. Shembulli 1. Nëse këndet janë ndërrues të brendshëm lidhur me dy drejtëza paralele, ato janë të barabartë; ndryshe për barazimin e dy këndeve të dy drejtëzave paralele mjafton që ato të jenë ndërrues të brendëshëm. Shembulli 2. Nëse secili nga dy të mbledhshëm plotpjesëtohet me numrin c, atëherë edhe shuma e tyre plotpjesëtohet me c.Kjo teoremë mund të formulohet edhe ndryshe: në mënyrë që shuma e dy numrave të plotpjesëtohet me një numër, mjafton se secili prej tyre të plotpjesëtohet me atë numër.


Në këtë mënyrë, çdo teoremë mund ta trajtojmë si kriter të mjaftueshëm.Në disa raste vetia A është vetëm kriter i mjaftueshëm (por jo i nevojshëm), për ekzistencën e vetisë B; kjo ndodh në atë rast, kur ekzistenca e vetisë A, garanton ekzistencën e vetisë B, por B mund të ekzistojë edhe pa ekzistencën e vetisë A. Për t’u bindur që vetia A është vetëm kriter i mjaftueshëm por jo i nevojshëm, duhet provuar mundësia e ekzistencës së vetisë B pa u plotësuar vetia A. Që këtej del konkluzioni, që kriteri është i mjaftueshëm por jo i nevojshëm, kur si teorema e kundërt ashtu edhe ajo e anasjellë nuk janë të vërteta. Kriteri i nevojshëm mund të formulohet: Nëse pa ekzistencën e vetisë A nuk ekziston vetia B, atëherë vetia A është kriter i nevojshëm për ekzistencën e vetisë B. Shembulli 1. Paralelizmi i një çifti brinjësh në një katërkëndësh është kusht i nevojshëm por jo i mjaftueshëm që ky katërkëndësh të jetë paralelogram. Shembulli 2.Plotpjesëtueshmëria e një numri me 2 dhe me 3 është kusht i nevojshëm, por jo i mjaftueshëm që ky numër të plotpjesëtohet me 12: kështu numri 18, plotpjesëtohet me 2 dhe me 3, por jo me 12. Vetia A ësht kriter i nevojshëm por jo i mjaftueshëm, nëse pa ekzistencën e vetisë A nuk ekziston vetia B, por ekzistenca e vetisë A nuk garanton ekzistencën e vetisë B.Kushti i nevojshëm zakonisht formulohet në formën e teoremës së kundërt apo të anasjellë.

Shembulli 1. Nëse dy brinjë të katërkëndëshit janë paralele, ndërsa dy të tjerat nuk janë të barabarta, atëherë katërkëndëshi nuk është paralelogram.Shembulli 2. Në qoftë se shuma e shifrave të një numri nuk plotpjesëtohet me 9, atëherë edhe numri nuk plotpjesëtohet me 9. Në shumë raste këto dy kushte jepen njëkohësisht dhe atëherë formulimi mund të bëhet: vetia A është kriter i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e vetisë B, në qoftë se ekzistenca e vetisë A sjell ekzistencën e vetisë B dhe nëse pa ekzistencën e vetisë A nuk mund të ekzistojë vetia B.Kriteret e nevojshëm dhe të mjaftueshëm, duke u trajtuar njëkohësisht shprehin vërtetësinë e dy teoremave: të drejtë e të anasjellë (apo të drejtë e të kundërt). Shprehja “ kushte të nevojshme e të mjaftueshme” shpesh zëvendësohet me shprehjen “atëherë dhe vetëm atëherë” apo “ ato dhe vetëm ato”.

184 MATEMATIKA 7

Shembulli 1. Trekëndëshi është kënddrejtë atëherë dhe vetëm atëherë kur shuma e dy këndeve të brendshëm të tij është e barabartë me këndin e tretë. Shembulli 2. Me 3 plotpjesëtohen ata dhe vetëm ata numra, shuma e shifrave të të cilëve plotpjesëtohet me 3.Theksojmë se kushtet e mësipërme shtjellohen edhe në përkufizimet apo në zgjidhjen e ushtrimeve. Duhet vënë në dukje se shpesh herë tek nxënësit krijohet përshtypja e gabuar: aksiomat dhe teoremat ekzistojnë vetëm në gjeometri. Kjo shpjegohet me faktin që në kurset e aritmetikës apo algjebrës vargëzimi logjik i fjalive nuk theksohet dhe situatat e vërtetuara nuk emërtohen teorema (përveç disa rasteve të veçanta në klasat e larta si teorema Bezu apo të Viete-s). Këshillojmë që mësuesi sa herë që të jetë e mundur t’i kushtojë kujdes edhe këtyre dukurive.

6.2.7 Puna përgatitore për vërtetimet

Nga praktika shkollore, njihet se nxënësit kuptojnë me vështirësi vërtetimin e teoremave. Këto vështirësi konsistojnë: Shpesh për nxënësit është e paqartë, çfarë është dhënë dhe çfarë do të vërtetohet. Veçanërisht kuptohet me vështirësi domosdoshmëria e vërtetimit të kësaj apo asaj situate; po kështu me vështirësi vendosen lidhjet e kushtit dhe përfundimit; nxënësit rrallë kuptojnë përzgjedhjen e rrugëve dhe mënyrave të vërtetimit. Për të lehtësuar kapërcimin e këtyre vështirësive, në fillimet e studimit të algjebrës e gjeometrisë duhen trajtuar disa ushtrime të veçanta për t’i njohur ata me faktin që ndërmjet gjykimeve ka të vërtetë e jo të vërtetë (gjë që duhet vërtetuar, qoftë vërtetësia, qoftë jo vërtetësia); nganjëherë vërtetësia e gjykimeve tona, zbulohet lehtë, nganjëherë kjo arrihet nëpërmjet gjykimesh e kushtesh të cilët nuk krijojnë dyshime. Për të filluar këtë punë niset nga gjykimet e vërteta e jo të vërteta.Këshillojmë që të fillohet nga faktet që janë afër nxënësve si: Ismail Qemali është kryeministri i parë i Shqipërisë, Tirana është kryeqytet etj. Më pas: çdo numër çift ka një pjesëtues të thjeshtë. Me të vërtetë, numri çift plotpjesëtohet me 2 dhe 2 është numër i thjeshtë.Në çdo katërkëndësh të mysët shuma e këndeve të brendshëm është më e vogël se 8 kënde të drejtë. Me të vërtetë çdo kënd i brendshëm i një shumëkëndëshi të mysët është më i vogël se dy kënde të drejtë, kështu që shuma e tyre është më e vogël se tetë kënde të drejtë. Duke zgjedhur çështje të tilla, u shpjegohet nxënësve, përse është e domosdoshme që çdo gjykim të vërtetohet. Bashkë me këtë, një punë e tillë zhvillon tek nxënësit shprehinë e studimit të çështjeve të thjeshta. Gradualisht nxënësit do të përsosin shprehitë e tyre në studimin e konkluzioneve matematike, duke u stërvitur në zgjedhjen e fjalive më të ndërlikuara gjatë gjithë kursit shkollor.


Praktika na bind, se në fazat e para të studimit të gjeometrisë dhe algjebrës për bazimin e konkluzioneve matematike, është e udhës t’i kushtohet vëmendje vëzhgimit, provës, përzgjedhjes së shembujve numerike dhe në fund vërtetimit të teoremës për konkluzionin përfundimtar lidhur me vërtetësinë. Në këtë mënyrë mund të shtjellohet p.sh., në algjebër shumëzimi i fuqive me baza të njëjta, apo ngritjes së fuqisë në fuqi; fillimisht trajtohen shembuj numerikë dhe vetëm më pas vërtetohet teorema në trajtën e përgjithshme. Dihet se sa lehtësohet vërtetimi i teoremës lidhur me shumën e këndeve të brendshëm të trekëndëshit, nëse fillimisht kjo realizohet në rrugë praktike. Si rezultat i këtyre nxënësit gradualisht zotërojnë metodat e vërtetimit deduktiv; roli i hipotezave paraprake dhe konkluzioneve, bazuar në rastet e veçanta dhe shembujve zvogëlohet. Por edhe në klasat e larta, puna përgatitore para vërtetimit të teoremave, lehtëson nxënësin për kuptimin e ecurisë së gjykimeve gjatë vërtetimit të teoremave në rastin e përgjithshëm. Gjatë mësimnxënies së matematikës mësuesi duhet të synojë që të mos anashkalojë asnjë hallkë në njohjen e fjalive matematike, sepse vetëm rruga dialektike e njohjes krijon mundësi për të zbuluar thelbin e një ligji matematik. Si shembull po japim formulat e Viete-s. (Formula e njohur për gjetjen e rrënjëve të ekuacionit të gradës së dytë).Hallka e parë në këtë çështje është zgjidhja e një sërë ekuacionesh të gradës së dytë dhe gjetja në këto raste e varësisë ndërmjet rrënjëve të ekuacionit dhe koeficientëve të tij.Hallka e dytë është gjetja e formulës që shpreh këtë varësi.Hallka e tretë është përdorimi i formulës për zgjidhjen e problemeve dhe për studimin e funksioneve dhe ekuacioneve.Nëse nuk përfillet hallka e parë, dhe mësuesi menjëherë merret me nxjerrjen e formulës, atëherë nxënësit në rastin më të mirë e mbajnë mend atë, por në zgjidhjen e ushtrimeve do të veprojnë mekanikisht; në këtë rast të kuptuarit e thelbit të ligjit do të jetë jo i plotë, formula mund të harrohet shumë shpejt.Nëse nuk përfillet hallka e dytë, atëherë prishet parimi themelor i matematikës që “gjithçka që nuk vërtetohet në rastin e përgjithshëm, nuk mund të konsiderohet si e vërtetuar në përgjithësi”.Ky rast do të ishte për nxënësit një shembull, që ligjet e matematikës mund të merren edhe pa vërtetim.Nëse mësuesi i përfill të dy hallkat për gjetjen e varësisë, por ligji i gjetur nuk përdoret për zgjidhjen e problemeve, atëherë nxënësi mendon që konkluzioni i gjetur nuk ka ndonjë vlerë praktike.Është e vështirë që të jepet një rast i tillë, por nëse shmanget hallka e parë dhe e dytë dhe u propozohet nxënësve të zgjidhen probleme, duke përdorur formulën e gatshme, sigurisht në këtë rast nuk mund të bëhet fjalë për kuptimin e thelbit të ligjit. Nxënësit do të krijojnë dyshimin se ku u gjet ky ligj dhe përse ai është i vërtetë!

liber mesuesi matematika 7

Documents