li broest adi stica

7/26/2019 Li Broest Adi Stica

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Captulo 8

ESTIMACION PUNTUAL Y POR

INTERVALO

8.1. INTRODUCCION

El corazon de la estadstica inferencial esta constituida por la estimacion de parametros y la prueba de hipotesis.

Entenderemos, como inferencia estadstica a un conjunto de metodos matematicos que permiten al investigador sacar

conclusiones de una poblacion a partir de las observaciones obtenidas de una muestra extrada de ella. Pero estas

conclusiones o inferencias, a diferencias de las deducciones logicas de las matematicas que son absolutas, estas son

apenas probables. Sin embargo, por la forma como se adquirir estas conclusiones o inferencias es posible que se puede

llegar a un conocimiento erroneo de la poblacion.

Es claro, que a las poblaciones se les describe mediante medidas descriptivas num ericas llamadaspar ametro. Por

lo tanto, en la mayoras de las veces el proposito de muchas investigaciones estadsticas es estimar el valor de uno

o mas parametros de una poblacion. Por consiguiente, en este captulo trataremos el concepto de la estimacion de

un parametro, concepto fundamental de la estadstica inferencial. Estudiaremos dos tipos de problemas; el problema

de estimacion puntual, el cual consiste en dar un solo valor aproximado de un parametro de una poblacion a partir

de los datos obtenidos de una muestra, y el problema de estimacion por intervalo, que consiste en la obtencion de

un intervalo dentro del cual se encuentra el verdadero valor del parametro estimado con una cierta probabilidad o

nivel de confianza. Los parametros que mas se investigan son: la media, la proporcion, la varianza y otras que son

combinaciones de las anteriores.

A continuacion en las siguientes tablas se daran los estimadores puntuales y por intervalos de algunos parametros

y los supuestos poblacionales asociados a las estimaciones.

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8.1. INTRODUCCION Universidad Popular del Cesar

Resumen de construccion de intervalos de confianza

para un promedio y diferencias de promedios

Parametros Supuestos Estimador Varianza Intervalo de

poblacionales puntual del estimador confianza

Varianza Media

= media conocida muestral V(X) = 2

n xz/2ee(X)

XN(,2) xTamano de Media

= media muestra muestral V(X) = s2

n xz/2ee(X)

n 30 xVarianza descono- Media

= media cida yn < 30 muestral V(X) = s2

n

x

t/2ee(X)

XN(,2) xy n < 30Diferencias Varianzas Diferencia

de conocidas de medias

medias Muestras muestrales V(D) = 2X1

n1+

2X2n2

Dz/2ee(D)X1 X2 independientes D= x1 x2

Xi N(i,2i ),i=1, 2Diferencias Muestras Diferencia

de independientes de medias

medias Tamanos muestrales V(D) = s2

X1n1

+ s2

X2n2

Dz/2ee(D)X1 X2 de muestras D= x1 x2

n1 30 yn2 30Diferencias Varianzas desco- Diferencia

de nocidas e iguales de medias

medias Muestras muestrales V(D) = s2p

1

n1+ 1

n2

D t/2ee(D)

X1 X2 independientes D= x1 x2Xi N(i,2),i=1, 2

Donde

nes el tamano de la muestra

xes la media muestral

s2 es la varianza muestral

z/2 es el valor correspondiente al area bajo la curva normal P(z/2


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t(/2,n1) es el valor correspondiente al area bajo la curva tde students con n 1 grados de libertad para unamuestra, P(t/2,n1 < T


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Estimacion del tamano de muestra

1. Para estimar un promedio X: El tamano necesario para estimar unpromediopoblacional con una con-

fianza100(1

)y unerrorde estimacion alrededor de la media poblacional y con unamuestra aleatoria

simple con reemplazoes:

n=z/2

2Donde

a) Nivel de confianza. Los niveles de confianza es: z/2 es el valor cuantil correspondiente al area bajo la

curva normal P(z/2 < Z< z/2) = 1 y los mas utilizados y sus correspondientes valores z semuestran en la tabla siguiente:

Confianza mas usadas

100(1/2) % 80 % 90 % 95 % 98 %Z 1.28 1.64 1.96 2.58

b) Estimacion de la varianza. Algunas de las maneras de estimar las varianzas de la poblacion para calcular

el tamano de la muestra:

a. Por los resultados de una encuesta piloto.

b. Utilizando estudios anteriores altamente correlacionado con el estudio que estamos haciendo.

c. Conjeturar sobre la estructura de la poblacion y ayudarse con algunos resultados matematicos. Por

ejemplo, si usted cree que la poblacion se distribuye en forma normal entonces rango/4.

c) Estimacion del margen error o precision. La precision deseada se puede establecer, al definir la cantidad

de margen de error tolerable en las estimaciones muestrales. Esta cantidad se determina mejor a la luz de

los usos a los cuales se van utilizar los resultados de la muestra.

2. Para estimar una proporcionP: Para estimar el tamano de muestra para una proporcion poblacion, con

un muestreo aleatorio simple con reemplazo, se utiliza la siguiente expresion:

n= z/2p(1p)

2

Donde

a) Nivel de confianza. El nivel de confianza es: z/2 es el valor cuantil correspondiente al area bajo la curva

normalP(z/2


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c) Estimacion del margen error o precision. El error de estimacion siempre se da en las mismas unida-

des del parametro que se quiere estimar, de manera tal que, con una probabilidad 100(1/2) %, laproporcion muestral p se encuentre en un intervalo aalrededor de la proporcion poblacional.

Resumen de construccion de intervalos de confianza

para la varianza y el cociente de dos varianzas

Parametros Supuestos Estimador Intervalo de

poblacionales puntual confianza

Varianza Varianza

2 XN(,2) muestral

(n1)s2(1/2,n1)

, (n1)s2(/2,n1)

s2

Cociente XyY Cociente

de dos desconocidas de varianzas

varianzas Muestras muestrales

as2X1s2X2

,bs2X1s2X2

2X1/

2X2

independientes s2X1/s2

X2



21/2,n1 es el valor correspondiente al area bajo la curva

2 con n1 grados de libertad con una muestra de

tamanon,P(2 < 21/2,n1) = 1/2.



tamanon,P(2 < 2/2,n1) = /2.

a= 1f1/2,n21,n11

es el cuantil inferior de una distribucionF.

b= f1/2,n1

1,n2

1es el cuantil superior de una distribucionF.

171 Humberto Barrios. mail: [email protected]


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EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 8.1. Los datos que a continuacion se dan son los vol umenes en cent metros cubicos del contenido de 25

bolsas de leche que se seleccionaron de un proceso de llenado con el proposito de verificar el volumen promedio: 898,

905, 900, 900, 900, 895, 908, 901, 904, 897, 902, 898, 898, 903, 894, 899, 897, 904, 901, 910, 907, 905, 903, 899,

911. Si el volumen de cada bolsa es una variable aleatoria aproximadamente normal con una varianza de2 =36.

Obtener:

a. Un estimacion puntual para el promedio poblacional

b. Los intervalos de confianza estimados del 90 %, 95 % y 99 %.

c. De una conclusion con respecto a los niveles de confianza dados en el punto anterior.

d. Cual debe ser el tamano de muestra necesario para estimar el volumen promedio de las bolsas de leche con una

confianza del 95%, un error de estimacion 2 cc y una varianza2 =36?

Solucion 33.

1. Con base en los datos muestrales, el valor de la media muestral es: x= 901.56. Por lo tanto, una estimacion

puntual para el volumen promedio de las bolsas de leche es de 901.56 cc.

2. Un intervalo de confianza para un promedio poblacional para una poblacion que se distribuye aproximadamente

normal con una varianza conocida y un nivel de confianza 100(1) % es

xz/2

n

,x +z/2

n

As, un intervalo de confianza del 90% para la media del proceso de llenado es

901.561.64

6

5

= (901.561.97) = (899.59,903.53)

Por lo tanto, podemos concluir con una confianza del 90% que en el procedo de llenado de las bolsas de leche

salen con promedio entre 899.59 y 903.53 cc.

Los otros intervalos de confianza se obtienen llevando a cabo el mismo procedimiento. Los resultados se resu-

men en el siguiente cuadro, ver 8.1

Cuadro 8.1: Intervalos de confianza

Confianza z/2 Limite inferior Limite superior

90 % 1.64 899.59 903.53

95 % 1.96 899.21 903.91

99 % 2.58 898.46 904.66



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3. Observando el cuadro 8.1 se ve que para una desviacion y un tamano de muestra dados, para confianzas mas

grandes se obtienen intervalos de confianza mas anchos.

4. Para un muestreo aleatorio simple con reemplazo la formula para hallar tamano de muestra con una confianza

del 100(1/2) %, con un errory una varianza conocidaes

n=

z/2

2De acuerdo a lo anterior, con una confianza 95%, un error= 2 cc y una varianza2 =36. Reemplazando en

la formula obtenemos

n=

1.96(6)

2

2=36.

Por lo tanto, para estimar el contenido promedio de las bolsas de leche, en el proceso de llenado, es necesario

tomar una muestra de tamanon=36, y esto lo hacemos con una confianza del 95 %.

Ejemplo 8.2. Se encontr o en una muestra aleatoria sistematicaque la concentracion promedio de zinc en las aguas

del r o Guatapur en 36 sitios diferentes fue de 2.6 gramos por mililitro y una desviaci on estandar de 0.3 gramos.

Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la concentracion promedio de zinc en las aguas del Ro Guatapur .

Solucion 34.

Se tiene una situacion donde no se supone que tipo de distribucion tiene las mediciones de las concentraciones de

zinc en las aguas del ro Guatapur, pero se tiene un tamano de muestra superior a 30. Por lo tanto, un intervalo de

confianza para esta situacion esta dado por

xz/2

sn

,x +z/2s

n

Donde

x=2.6gres la media muestral, la cual es una estimacion puntual de la media poblacional

s=0.3gres la desviacion estandar obtenida de la muestra

n=36 tamano de muestra superior a 30

z/2= 1.96 es el valor cuantil correspondiente al area bajo la curva normal P(z/2


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Ejemplo 8.3. Un fabricante de vehculos sabe que el consumo de gasolina de sus vehculos se distribuye normal-

mente. Se selecciona una muestra aleatoria simple de coches y se observa el consumo en litros cada cien kil ometros

obteniendo las siguientes observaciones: 6.4, 5.9, 6.4, 6.4, 6.1, 5.9, 5.6, 6.2, 6.8, 6.9, 6.1, 6.5. Obtenga el intervalo de

confianza para el consumo medio de gasolina de todos los vehculos de este fabricante, al nivel de confianza del 99%.

Solucion 35.

De la muestra se tiene el tamano de la muestra n= 12, la media de la muestra x= 6.27 litros por cada cien

kilometros y la desviacion estandar de la muestra s = 0.38. Es claro, que una estimacion puntual del consumo promedio

de gasolina por cada cien kilometros es x= 6.27 litros. Por otra parte, tenemos que un intervalo de confianza para el

promedio de una poblacion que se distribuye normalmente, con una varianza desconocida 2 y un tamano de muestra

nmenor que 30 es

x t/2,n1 s

n,x + t/2,n1 s

n

Donde

x= 6.27 litros por cien kilometros es la media muestral, la cual es una estimacion puntual de la media pobla-

cional

s=0.38 es la desviacion estandar obtenida de la muestra

n=12 tamano de muestra superior a 30

t/2,11= 3.11 es el valor cuantil correspondiente al area bajo la curva t-student P(t/2,11 < T < t/2,11) =0.99.

Por consiguiente, reemplazando estos valores en el anterior intervalo obtenemos

6.273.11

0.38

12

,6.27 + 3.11

0.38

12

= (5.93,6.61)

Podemos concluir, con una confianza del 99%, que el consumo promedio de gasolina para este tipo de veh culo

esta entre 5.93 y 6.61 litros por cada cien kilometros.

Ejemplo 8.4. Una muestra aleatoria de tamano n1= 25 que se tomo de una poblacion distribuida normalmente con

una varianza de 21 =25 tiene una media x1= 80. Una segunda muestra aleatoria de tamano n2= 36, que se tomo

de una poblacion distribuida normalmente con una varianza de22 =9, tiene una media de x2= 75. Encuentre un

intervalo de confianza del 95% para12.

Solucion 36.



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Cuadro 8.2:

Poblacion n x s2

I 25 80 25

II 36 75 9

Los datos de las muestras se pueden resumir en el siguiente cuadro 8.2

Es claro que una estimacion puntual para la diferencia de los promedios poblacionales es: x1 x2= 80 75=5. Por otra parte, puesto que las poblaciones estan distribuidas normalmente con varianzas conocidas, entonces un

intervalo de confianza para la diferencias de medias esta dado por la siguiente expresion:

x1 x2

z/2

1

n1

+2

n2

, x1

2+z/2

1

n1

+2

n2

Para una confianza del 95% se tiene quez/2= 1.96. As, reemplazando los valores del cuadro 8.2 en el intervalo

anterior, se tiene:

80751.96

25

25+

9

36, 8075 + 1.96

25

25+

9

36

Por lo tanto (2.81, 7.19). As, podemos afirmar con una confianza del 95% que la verdadera diferencia de los

promedios de las dos poblaciones esta entre 2.81 y 7.19.

Ejemplo 8.5. Se comparan las resistencias de dos clases de hilo. Cincuenta piezas de cada clase de hilo se prueban

bajo condiciones similares. La marca A tiene una resistencia a la tracci on promedio de 78.3 kilogramos con una

desviacion est andar de 5.6 kg., mientras que la marca B tiene una resistencia a la traccion promedio de 87.2 kg.

con una desviacion est andar de 6.3 kg. construya un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias

poblacionales.

Solucion 37.

Los datos de las muestras se pueden resumir en el siguiente cuadro 8.3

Cuadro 8.3:

Clases de hilo n x s

A 50 78.3 5.6

B 50 87.2 6.3

Una estimacion puntual para la diferencia de las resistencias de las dos clases de hilo es: x1 x2=87.378.3=9,a favor del hilo de tipo B. Por otra parte, puesto que los tamanos de muestras son superiores a 30, entonces un intervalo

de confianza para la diferencias de medias esta dado por la siguiente expresion:



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x1 x2z/2

s21n1

+s22n2

, x1 2+z/2

s21n1

+s22n2

Para un nivel de confianza del 95% se tiene que z/2= 1.96. As, reemplazando los valores del cuadro 8.3 en el

intervalo anterior, se tiene:

87.278.31.96

39.69

50 +

31.36

50 , 8075 + 1.96

39.69

50 +

31.36

50


promedios de las resistencias de las dos clases de hilo esta entre 6.56 y 11.24.

Ejemplo 8.6. En un proceso qumico por lotes, se comparan los efectos de dos catalizadores sobre la potencia de la

reaccion del proceso. Se prepar o una muestra de 12 lotes con el uso del catalizador 1 y se obtuvo una muestra de 10

lotes con el catalizador 2. Los 12 lotes para los que se utilizo el catalizador 1 dan un rendimiento promedio de 85 con

una desviaci on estandar muestral de 4, y para la segunda muestra el promedio es 81 con una desviacion estandar de

5. Encuentre un intervalo de confianza de 90 % para la diferencia entre las dos medias poblacionales:Suponga que

las poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.

Solucion 38.

Los datos de las muestras obtenidos de los efectos de dos catalizadores se pueden resumir en el siguiente cuadro

8.4

Cuadro 8.4:

Catalizadores n x s

1 12 85 4

2 10 81 5

Una estimacion puntual para la diferencia de los efectos de los dos catalizadores: x1 x2=8581=4, a favor delcatalizador 1. Por otra parte, puesto que los tamanos de muestras son superiores menores a 30, las poblaciones estan

distribuidas aproximadamente normal y con varianzas iguales pero desconocidas, entonces un intervalo de confianza

para la diferencias de medias esta dado por la siguiente expresion:

x1 x2 t(/2,n1+n22)sp

n1

+ 1

n2, x1 x2+ t(/2,n1+n22)sp

1

n1+

1

n2

Dondes2pes la varianza muestral combinada es

s2p=(n11)s21+ (n21)s22

n1+ n22



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As,

s2p=(121)42 + (101)52

12 + 102 =20.05 sp= 4.48

Para un nivel de confianza del 95% se tiene que t0.95,20= 1.72. As, reemplazando los valores del cuadro 8.4 en el

intervalo anterior, se tiene:

85811.72(4.48)

1

12+

1

10, 85811.72(4.48)

1

12+

1

10


promedios de los efectos de los dos catalizadores esta entre 0.70 y 7.30.

Ejemplo 8.7. Una encuesta realizada por Gallup revelo que si las elecciones fueran el pr oximo domingo, 17 de

noviembre 2013. La intencion de voto de los 1.200 encuestados, el 27% lo hara por el presidente Juan Manuel

Santos, el 14.9% elegir a a Oscar Ivan Zuluaga, en el tercer puesto se mantiene Antonio Navarro Wolff con 12%, en

el cuarto lugar figura Clara L opez con 7.2% y por ultimo Marta Luca Ramrez, con 5 % de electores. Por otra parte,

la encuesta revelo que el 30.9% votar a en blanco y un 3.2% no sabr a o no respondieron. Responda las siguientes

preguntas, bajo el supuesto que la encuesta se realizo con un muestreo aleatorio simple con reemplazo.

1. Construir un intervalo de confianza del 95% de la verdadera proporci on de intencion de voto de los colombiano,

para cada uno de los candidatos que aspiran a la presidencia de la republica, para el pr oximo periodo.

2. Construir un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones del voto en blanco y la intenci on

de voto para el presidente Juan Manuel Santos. De una conclusion.

3. Con una confianza del 95% y un error del 3% cual debe ser el tamano de muestra para estimar la verdadera

proporcion de la intencion de voto que favorece al presidente Santos?

Solucion 39.

En el siguiente cuadro se muestran los estimadores puntuales de las proporciones de la intencion de vota corres-

pondiente a cada candidato incluyendo al del voto en blanco, ver 8.5.

a. Un intervalo de confianza aproximado de 100(1) % para la verdadera proporcion poblacional es

pz/2

p(1p)

n, p +z/2

p(1p)

n

Dondez/2es el valor cuantil correspondiente al area bajo la curva normal P(z/2


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Cuadro 8.5:

Intencion

Pre-candidatos de voto

Juan M. Santos 27.0 %

Oscar I. Zuluaga 14.9%

Antonio Navarro 12.0%

Clara Lopez 7.2 %

Marta L. Ramrez 5.0%

Voto en blanco 30.6%

Otros 3.2 %

> #INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCION CON R

> n=1200 #tama~no de muestra

> p=0.27 #proporcion en la muestra

> con=0.95 #confianza

> #INTERVALO DE CONFIANZA

> round(p+c(-1,1)*qnorm(con+(1-con)/2)*sqrt(p*(1-p)/n),3)

[1] 0.245 0.295

0.271.960.27(0.73)1200 , 0.27 + 1.96

0.27(0.73)

1200

= (0.245, 0.295)

Por lo tanto, estimamos con una confianza del 95% que la proporcion de votantes que apoyaran a Santos bajo el

supuesto que el proximo domingo fueran las elecciones estara entre 24.5% y 29.5%.

Los demas intervalos de confianzas, para los otros candidatos, se obtienen de manera similar.

b. Un intervalo de confianza del 100(1) % para la diferencia de dos proporciones, con tamanos de muestrasgrandes, poblaciones independientes y utilizando el Teorema del Limite Central es

|p1p2|z/2p1(1p1)n1 +p

2(1

p2

)

n2,|p1p2|+z/2p1(1p1)n1 +

p2

(1

p2

)

n2

Realizando los calculos en R, con p1=0.306,p2=0.27,n1=n2=1200 y con una confianza del 95%, obtenemos

#INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES CON R

> n1=1200 #tama~no de muestra para la poblacion 1

> n2=1200 #tama~no de muestra para la poblacion 2

> p1=0.306 #proporcion en la muestra 1



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> p2=0.27 #proporcion en la muestra 2

> con=0.95 #confianza


> round(abs(p1-p2)+c(-1,1)*qnorm(con+(1-con)/2)*sqrt(p1*(1-p1)/n1+p2*(1-p2)/n2),3)

[1] 0.000 0.072

Por lo tanto, podemos afirmar con una confianza del 95% que no hay evidencias para afirmar que existe diferencias

significativa entre el voto en blanco y el de Santos, es decir, hay un empate tecnico.

c. Para estimar el tamano de muestra para una proporcion poblacion, con un muestreo aleatorio simple con reemplazo,

se utiliza la siguiente expresion:

n= z/2p(1p)

2

Donde el error de estimacion sera la diferencia absoluta entre p de una muestra y la verdadera proporci on que

podemos aceptar y y p se puede tomar de estudios anterior o simplemente p= 0.5 el cual es un maximo para el

tamano de la muestra, como se puede ver a continuacion: sea p =0.20, 0.30, 0.40, 0.50, 0.40, 0.30, 0.20. Haciendo

los calculos en R, obtenemos

> p=c(0.20, 0.30, 0.40, 0.50, 0.40, 0.30, 0.20)# proporciones

> con=0.95 #nivel de confianza

> ee=0.03 #error de estimacion

> n=round(qnorm(con+(1-con)/2)^2*p*(1-p)/(ee^2),0)

> #TAMA~NOS DE MUESTRAS

p;n

[1] 0.2 0.3 0.4 0.5 0.4 0.3 0.2

[1] 683 896 1024 1067 1024 896 683

Observemos que para diferentes valores de p con una confianza y un error fijo obtenemos diferentes tamanos de

muestras, pero para p=0.50 se obtiene el maximo. Esto solo ocurre en el caso de una proporcion.

Ejemplo 8.8. Se espera tener una cierta variacion aleatoria nominal en el espesor de las laminas de plastico que

una maquina produce. Para determinar cuando la variacion en el espesor se encuentra dentro de ciertos limites, cada

d a se selecciona en forma aleatoria 12 laminas de plastico y se mide en mil metros su espesor. Los datos que se

obtuvieron son los siguientes: 10.7, 10.5, 11.4, 11.7, 16.1, 12.5, 11.0, 12.3, 12.2, 14.2, 13.1, 12.4. Si se supone que el

espesor es una variable aleatoria distribuida normal. Obtener los intervalos de confianza del 90 %, 95 % y 99 % para

la varianza desconocida del espesor.

Solucion 40.



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Para hallar un intervalo de confianza del 90% para la varianza del espesor, se aplica la siguiente formula:

(n1)s2(1/2,n1)

, (n1)s2(/2,n1)



21/2,n1 es el valor correspondiente al area bajo la curva 2 con n1 grados de libertad con una muestra de

tamanon,P(2 < 21/2,n1) = 1/2.



tamanon,P(2 < 2/2,n1) = /2.

Realizando los calculo en R

> #INTERVALO DE CONFIANZA DE LA VARIANZA CON R

> x=c(10.7, 10.5, 11.4, 11.7, 16.1, 12.5, 11.0, 12.3, 12.2, 14.2, 13.1, 12.4)#datos

> n=length(x)#numero de datos

> lg=n-1#grados de libertad

> ss=var(x)#varianza de la muestra

> con=0.90#confianza

> chi1=qchisq(con+(1-con)/2,11)#cuantil superior

> chi2=qchisq((1-con)/2,11)#cuantil inferior> #INTERVALO DE CONFIANZA

> round(c((n-1)*ss/chi1,(n-1)*ss/chi2),2)

[1] 1.39 5.99

Por lo tanto, un intervalo de confianza del 99% para la varianza poblacional, 2, esta entre 1.39 y 5.99.

Ejemplo 8.9. Una empresa fabrica propulsores. A los ingenieros les gustar a saber cual de dos procesos tiene la

menor rugosidad en las superficies. Para ello se toman muestras aleatorias de cada proceso. Datos.

Proceso 1 n1= 16, s1= 4.7

Proceso 2 n2= 12, s2= 5.1

Solucion 41.

Supongase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 21 y 22 , res-

pectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamanosn1 y n2, respec-

tivamente, seans21 y s22 las dos varianzas muestrales. Si se desea, por ejemplo, conocer un intervalo de confianza del

1000(1) % por ciento para el cociente de las dos varianzas 2122

se tiene



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8.2. EJERCICIOS Universidad Popular del Cesar

as2X1

s2X2

,bs2X1

s2X2

n1 es el tamano de la muestra de la poblacion 1

n2 es el tamano de la muestra de la poblacion 2

s21 es la varianza muestral de la poblacion 1

s22 es la varianza muestral de la poblacion 2

a= 1f1/2,n21,n11

es el cuantil inferior de una distribucionF.

b= f1/2,n11,n21es el cuantil superior de una distribucionF.

Los resultados se derivan de R, se muestran a continuacion:

> #INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE DOS VARIANZAS

> con=0.90

> n1=16#tama~no de muestra de la primera poblacion 1

> n2=12#tama~no de muestra de la primera poblacion 2

> s1=4.7#desviacion e la primera poblacion 1

> s2=5.1#desviacion e la primera poblacion 1

> a=1/qf(con+(1-con)/2,n1-1,n2-1)#cuantil inferior de F

> b=qf(con+(1-con)/2,n2-1,n1-1)#cuantil superior de F


> round(c(a*s1 2/(s2^2),b*s1 2/(s2^2)),2)

[1] 0.31 2.13

Como el intervalo de confianza(0.31, 2.13)incluye al uno, no se puede concluir que exista alguna diferencia entre

la variabilidad de los dos procesos. Es decir, el intervalo de confianza incluye la posibilidad de que las dos desviaciones

estandar sean iguales, puesto que el cociente puede ser igual a uno.

8.2. EJERCICIOS1. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fabrica sigue una distribucion normal con

una desviacion tpica de 0.12 kilos. En el da de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso

medio es de 4.07 kilos.

a. Calcular un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.

b. Sin realizar los calculos, determinar si un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional tendra

mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.



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c. Se decide que manana se tomara una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los calculos, determinar si un

intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos manana tendra mayor, menor

o la misma longitud que el calculado en el apartado a.

d. Se sabe que la desviacion tpica poblacional para la produccion de hoy es de 0.15 kilos. Sin realizar los

calculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy

tendra mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.

e. Hallar el tamano muestral necesario para calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio

poblacional de los ladrillos, cuya amplitud a cada lado de la media muestral sea igual a 0.01 kilos.

2. Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta en cada lata vara, pues

hay ciertos factores imposibles de controlar que afectan a la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es

importante, pero igualmente importante es la variacion s2 de la cantidad de llenado. Si s2 es grande, algunas

latas contendran muy poco, y otras, demasiado. A fin de estimar la variacion del llenado en la enlatadora, el

supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo el siguiente pesaje (en onzas):

7.96,7.90,7.98,8.01,7.97,8.03,8.02,8.04,8.02 Establezca un intervalo de confianza de 90% para la verdadera

variacion del llenado de latas en la enlatadora.

3. Es comun utilizar el acero inoxidable en las plantas qumicas para manejar fluidos corrosivos. Sin embargo, este

acero tienen especial susceptibilidad al agrietamiento por corrosion causada por esfuerzos en ciertos entornos.

En una muestra de 295 fallas de aleaciones de acero que ocurrieron en refineras de petroleo y plantas petro-

qumicas en Venezuela durante los ultimos 10 anos, 118 se debieron a agrietamiento por corrosion causada por

esfuerzos y a fatiga de corrosion. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporcion de

fallas de aleaciones causadas por agrietamiento por corrosion debido a esfuerzos.

4. Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada asignatura a preparar el

examen final tiene una distribucion normal. Se toma una muestra aleatoria de 6 estudiantes cuyos resultados son

los siguientes: 12.2,18.4,23.1,11.7,8.2,24

a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

b. Calcular un intervalo de confianza del 99 % para la varianza poblacional.

c. Sin realizar los calculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% tendra una amplitud mayor o

menor que el hallado en el apartado b.

5. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones de Colombia se toman dos muestras aleatorias

de tamanos 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:

Supuesta la distribucion de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98%:

a. Intervalo de confianza de la media poblacional de la region 1.



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Region x s n

Andina 1.73 0.10 150

Costa 1.70 0.12 250

b. Intervalo de confianza de la media poblacional de la region 2.

c. Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales.

6. Un gabinete de investigacion quiere estimar la proporcion de consumidores que adquiriran antes un producto

de fabricacion nacional que uno elaborado por un competidor extranjero. Su intencion es construir un intervalo

de confianza para la proporcion poblacional con una amplitud maxima a cada lado de la proporcion muestral de

0.04. Cuantas observaciones se necesitan, incluir en la muestra, para alcanzar este objetivo?

7. Se encuentra que la concentracion promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones

de zinc en 36 sitios diferentes del rio Guatapur es de 2.6 gramos por mililitros. Encuentre un intervalo de

confianza de 95% y 99% para la concentracion media de zinc en el ro. Suponga que la desviacion estandar de

la poblacion es 0.3.

8. Una empresa electrica fabrica bombillas y su tiempo de duracion se distribuyen aproximadamente normal, con

una varianza de 1296. Se ensaya una muestra de 35 bombillas y arroja una duracion promedia de 800 horas.

a. Hallar una estimacion puntual para la media poblacional. De una interprete.

b. Con un nivel de confianza del 95% estime la media poblacion de todos las bombillas que produce la empresa.

Interprete los resultados.

c. Cuantas bombillas se deben probar para un nivel de confianza 95%, si se desea que nuestra estimaci on

puntualeste dentro de las 10 horas de la media real? Interprete el resultado obtenido.

d. Con relacion al punto anterior. Que le ocurre al tamano de la muestra s: S aumente el nivel de confianza?

Si se disminuye la varianza? Si se disminuye el error de estimacion?. Haga una conclusion de lo observado.

9. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes de la Universidad Popular del Cesar (UPC) da una

media de 175 centmetros y una desviacion estandar de 7 centmetros.

a. Hallar una estimacion puntual para la media poblacional. Interprete los resultados.

b. Hallar una estimacion para la varianza del promedio muestral? Interprete los resultados.

c. Hallar un error de estimacion para la media muestral? Interprete los resultados.

d. Estime el promedio poblacional de las estaturas de los estudiantes de la UPC, con una confianza del 95%.

Interprete los resultados.

10. Una maquina produce piezas metalicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de nueve piezas y las medidas

de los diametros son: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centmetros. Se conoce que el diametro

de las piezas producidas por la maquina se distribuyen aproximadamente normal.



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a. Hallar una estimacion puntual para la media poblacional. Interprete los resultados.

b. Hallar una estimacion para la varianza del promedio muestral? Interprete los resultados.

c. Hallar un error de estimacion para la media muestral? Interprete los resultados.

d. Estime un intervalo de confianza para el promedio poblacional del diametro de los cilindros producidos por

la maquina, con una confianza del 99%. Interprete los resultados.

e. Realice una nueva estimacion con un nivel de confianza menor, compare con los resultados anteriores y

concluya con su juicio crtico.

11. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fabrica sigue una distribucion normal con

una desviacion tpica de 0.12 kilos. En el da de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso

medio es de 4.07 kilos.

a. Calcular un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.

b. Sin realizar los calculos, determinar si un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional tendra

mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.

c. Se decide que manana se tomara una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los calculos, determinar si un

intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos manana tendra mayor, menor

o la misma longitud que el calculado en el apartado a.

d. Se sabe que la desviacion tpica poblacional para la produccion de hoy es de 0.15 kilos. Sin realizar los

calculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy

tendra mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.

e. Hallar el tamano muestral necesario para calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio

poblacional de los ladrillos, cuya amplitud a cada lado de la media muestral sea igual a 0.01 kilos.

12. Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta en cada lata vara, pues

hay ciertos factores imposibles de controlar que afectan a la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es

importante, pero igualmente importante es la variacion s2 de la cantidad de llenado. Si s2 es grande, algunas

latas contendran muy poco, y otras, demasiado. A fin de estimar la variacion del llenado en la enlatadora, el

supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo el siguiente pesaje (en onzas):

7.96, 7.90, 7.98, 8.01, 7.97, 8.03, 8.02, 8.04, 8.02. Establezca un intervalo de confianza de 90% para la verdadera

variacion del llenado de latas en la enlatadora.

13. Es comun utilizar el acero inoxidable en las plantas qumicas para manejar fluidos corrosivos. Sin embargo, este

acero tienen especial susceptibilidad al agrietamiento por corrosion causada por esfuerzos en ciertos entornos.

En una muestra de 295 fallas de aleaciones de acero que ocurrieron en refiner as de petroleo y plantas petro-

qumicas en Venezuela durante los ultimos 10 anos, 118 se debieron a agrietamiento por corrosion causada por

esfuerzos y a fatiga de corrosion. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporcion de

fallas de aleaciones causadas por agrietamiento por corrosion debido a esfuerzos.



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14. Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada asignatura a preparar el

examen final tiene una distribucion normal. Se toma una muestra aleatoria de 6 estudiantes cuyos resultados son

los siguientes: 12.2, 18.4, 23.1, 11.7, 8.2, 24.

a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

b. Calcular un intervalo de confianza del 99 % para la varianza poblacional.

c. Sin realizar los calculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% tendra una amplitud mayor o

menor que el hallado en el apartado b.

15. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones de Colombia se toman al azar dos muestras

aleatorias de tamanos 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:

Region x s n

Andina 1.73 0.10 150

Costa 1.70 0.12 250

Supuesta la distribucion de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98%:

a. Intervalo de confianza de la media poblacional de la region 1.

b. Intervalo de confianza de la media poblacional de la region 2.

c. Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales.

16. Un gabinete de investigacion quiere estimar la proporcion de consumidores que adquiriran antes un producto

de fabricacion nacional que uno elaborado por un competidor extranjero. Su intencion es construir un intervalo

de confianza para la proporcion poblacional con una amplitud maxima a cada lado de la proporcion muestral de

0.04. Cuantas observaciones se necesitan, incluir en la muestra, para alcanzar este objetivo?

17. Se encuentra que la concentracion promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones

de zinc en 36 sitios diferentes del rio Guatapur es de 2.6 gramos por mililitros. Encuentre un intervalo de

confianza de 95% y 99% para la concentracion media de zinc en el ro. Suponga que la desviacion estandar de

la poblacion es 0.3.

18. De 1000 casos de cancer pulmonar seleccionados aleatoriamente, 823 son de pacientes que fallecieron.

a. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la tasa de cancer pulmonar.

b. Que grande debe ser el tamano de la muestra para tener una confianza del 95% de que el error al estimar la

tasa de mortalidad del cancer pulmonar no sea superior a 0.03%?

19. Se tomo una muestra aleatoria de 50 cascos utilizados por los corredores de motocicletas y los conductores de

automoviles de carrera, y se someten a una prueba de impacto. En 18 de los cascos se observa cierto da no.



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a. Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporcion de cascos de este tipo que mos-

traran dano como resultado de la prueba?

b. Al utilizar la estimacion puntual de p obtenida a partir de la muestra preliminar de 50 cascos. Cuantos

cascos debe probarse para tener una confianza del 95% de que el error al estimar el verdadero valor de psea

menor que 0.02?

c. De que tamano debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que el error al estimar psea

menor que 0.02, sin importar el valor verdadero de p?

20. Un fabricante de calculadoras electronicas esta interesado en estimar la fraccion de unidades defectuosas pro-

ducidas.Toma una muestra aleatoria de 50 calculadoras y resultaron 5 defectuosas. Calcule un intervalo de

confianza del 99% para la fraccion de calculadoras defectuosas?

21. Se lleva a cabo un estudio para determinar la efectividad de una nueva vacuna contra la gripe. Se administra lavacuna a una muestra aleatoria de 3000 sujetos, y de este grupo 13 contraen gripe. Como grupo de control se

seleccionaron de manera aleatoria 2500 sujetos, a los cuales no se les administro la vacuna, y de este grupo 170

contraen gripe. construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dos proporciones.

22. Se analiza la fraccion de productos defectuosos por dos lneas de produccion. Una muestra de 100 unidades

provenientes de la lnea 1 contiene 10 que son defectuosas, mientras una muestra aleatoria de 120 unidades de

la lnea 2 tiene 25 que son defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en

fracciones de productos defectuosos producidos por las dos l neas?

li broest adi stica

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