CombinatoricPartea I. Matematic clasa a 9 a
Capitolul 1. Mulimi de numere reale i elemente de logic matematic
1.1. Mulimea numerelor reale
Sunt cunoscute, din clasele anterioare, urmtoarele mulimi de numere :
a) Mulimea numerelor naturale: ;
b) Mulimea numerelor întregi: ;
c) Mulimea numerelor raionale: ;
d) Mulimea numerelor iraionale: ;
e) Mulimea numerelor reale: ;
- adunare, cu proprietile:
- element neutru, elementul 0: ;
;
- element neutru, elementul 1: ;
;
- distributivitatea înmulirii fa de adunare:
Observaie. 1. Suma dintre a i opusul lui b, unde , se numete diferena numerelor a i b i se scrie ;
Are loc distributivitatea înmulirii fa de scdere:
2. Raportul notat , sau , sau , se numete câtul dintre a i b.
3. La înmulirea numerelor reale, avem urmtoarele relaii de calcul:
a)
h) Operaiile i nu au sens.
i) Fie . Atunci numrul pozitiv notat cu radical din a, adic este numrul pozitiv al crui ptrat este a.
Deci exist numai dac ,
Operaiile de adunare i scdere sunt operaii de ordinul I;
Operaiile de înmulire i împrire sunt operaii de ordinul II;
Operaiile de ridicare la putere i extragerea rdcinii ptratice sunt operaii de ordinul III;
Ordinea efecturii operaiilor cu numere reale
Dac, într-un exerciiu, apar operaii de diferite ordine, mai întâi se efectueaz operaiile de ordinul III, apoi cele de ordinul II i, în final, operaiile de ordinul I.
Dac, într-un exerciiu, apar paranteze rotunde, drepte i acolade, mai întâi se efectueaz operaiile din parantezele rotunde, apoi cele din parantezele drepte, apoi operaiile din acolade, respecându-se ordinea efecturii operaiilor
Formule de calcul prescurtat. Dac :
Medii. Fie . Atunci
d) media ptratic a numerelor a i b:
1.1.2. Proprieti ale numerelor reale.
1. Suma, diferena, produsul i câtul a dou numere raionale sunt numere raionale
2. Suma dintre un numr raional i un numr iraional, este un numr iraional
3. Produsul dintre un numr raional nenul i un numr iraional este un numr iraional.
Demonstraia pentru 2 i 3 se face prin reducere la absurd i este banal.
4. Dac x i y sunt numere reale, atunci este adevrat una i numai una dintre relaiile: , adic
Definiie. Numrul real este mai mic sau egal cu numrul real i scriem , dac sau .
Analog, (i citim x mai mare sau egal cu y) dac sau
Remarc. Relaiile se numesc relaíi de ordine pe mulímea numerelor reale.
Inegaliti elementare între numere reale
1. Inegalitatea mediilor:
3. Inegalitatea Minkowski
1.1.3 Diverse forme ale numerelor reale
1. Modulul unui numr real x. Se mai numete i valoare absolut a numrului real x. Se noteaz .
Avem c i
2. Aproximri ale unui numr real.
Dac vrem s calculm, folosind calculatorul, numrul . Dar tim c numrul este iraional, deci are o infinitate de zecimale neperiodice. Deci numrul afiat de calculator este o aproximare a numrului .
Aproximarea unui numr se poate face prin lips sau prin adaos.
Exerciiu. S se scrie aproximrile pân la 6 zecimale, prin lips i prin adaos, pentru numrul :
Rspuns Prin lips: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592;
Prin adaos: 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160; 3,141593;
Exerciiu. Scriei aproximrile cu 3 zecimale exacte pentru numerele:
Rspuns: 1; ; ; ;
3. Partea întreag i partea fracionar a unui numr întreg.
În general, se demonstreaz c orice se gsete într-un interval de dou numere întregi consecutive, adic
. (1)
Numim partea întreag a numrului real , numrul întreg pentru care are loc (1). Notm partea întreag a lui x cu .
Exemple.
Orice numr real x, poate fi scris sub forma: , unde se numete partea fracionar a numrului real x. Avem .
Exemple.
1. ; sau
Cazul II
Soluia 2. .
Rezolvare.
Rezolvare.
;
Rezolvare. Suma de numere pozitive poate fi nul, dac fiecare termen al ei este nul. Deci,
Rezolvare. deci
8. S se arate c numrul este natural par, unde
Rezolvare.
9.
Rezolvare. ; .
Rezolvare.
Rezolvare. , Adevrat; ; , deci este fals
este Adevrat.
1.1.5. Probleme propuse
O parte dintre aceste exerciii sunt propuse pentru pregtirea examenelor de bacalaureat în anii 2008 - 2013.
1) S se calculeze: ; 2) Calculai ;
3) S calculeze ; b) ;
, pentru
2) 2;
3) 5;
i
.
a)
b)
c)
d)
b) ;
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ; g) ;
k) ; l)
87) S se aproximeze prin lips, cu o eroare de 10-2 i 10-3 numerele:
88) S se aproximeze prin adaos, cu o eroare mai mic de 10-1 i 10-2 numerele:
89) S se rotunjeasc la a doua i la a treia zecimal numerele:
90) S se determine partea întreag i partea fracionar a numerelor:
91) S se determine , unde :
a)
b)
b) ; c) ; d) .
94) S se calculeze
95) S se calculeze
1.1.6. Probleme cu grad de dificultate mai ridicat
1. Determinai
5. Determinati astfel incat
7. Numerele reale au proprietatea
; atunci .
8. Pe un cerc se scriu numerele in aceasta ordine. Se stie ca modulul diferentei oricaror doua numere vecine este acelasi si ca
. Aflati numerele.
. a)Aratati ca suma elementelor lui nu poate fi 1937.
b)Dati un exemplu de multime care verifica cerintele problemei si care are suma elementelor 1938.
10. Determinati cifrele stiind ca .
11. Aratati ca are loc inegalitatea:
12. Aratati ca
3. Daca si , aratati ca
4. Aratati ca:
1.2.1. Propoziie, predicat, cuantificatori.
Numim alfabet , o mulime de semne. Enunul este orice succesiune de semne dintr-un alfabet.
Exemple: 1) 1+9=10; 2) 3≥8; 3) ; 4) x+1≤3; 5) x2+y2=z2, x,y,z, Z
Se numete propoziie un enun care într-un context dat este fie adevrat fie fals. Notm propoziiile cu litere mici : p, q, r, … sau cu litere mici indexate: p1, p2, p3, ….
Valoarea de adevr a unei propoziii este proprietatea acestuia de a fi adevrat sau fals. Se noteaz:
V(p)=
Se numete predicat un enun care conine una sau mai mai multe variabile, crora atribuindu-le “valori” obinem propoziii adevrate sau false.
Exemple: x+1≤3; xR; p(x):x+1≤3 p(x,y): x se divide cu y
Cuantificatorul existenial (x)p(x) (citim exista x pentru care are loc p(x). Ex: p(x) x+5=16 x=11 R
Cuantificatorul universal ()p(x) (citim oricare ar fi x are loc p(x). Ex: p(x) x2+1>0, xR
1.2.2. Operaii logice elementare
Fiind date dou propoziii p, q, putem forma altele noi prin intermediul operatorilor logici de: disjuncie, conjuncie, negaie, implicaie i echivalena
1. Disjuncia propoziiilor. Disjuncia propoziiilor p, q este propoziia (citim p sau q) care este adevrat dac i numai dac cel puin una dintre propoziii este adevrat i fals în caz contrar.
Exemplu. “Florin nu este acas sau telefonul lui este defect" este un enun de forma pq; unde
p este “Florin nu este acas", iar q este “Telefonul lui Florin este defect".
2. Conjuncia propoziiilor. Conjuncia propoziiilor p, q este propoziia (citim p i q) care este adevrat dac i numai dac p i q sunt simultan adevrate i fals în celelalte cazuri.
Exemple. “Trenul oprete i cltorii coboar".
3. Negaia. Negaia unei propoziii p este propoziia “ non p” , notat sau , care este adevrat când p este fals i este fals când p este adevrat
4. Implicaia propoziiilor. Implicaia propoziiilor p, q în aceast ordine este propoziia p→q (p implic q sau dac p atunci q) care este fals dac i numai dac p este adevrat i q fals. este notaia prescurtat pentru propoziia .
Exemple. “Dac plecm într-un minut atunci vom ajunge la timp".
Propoziia p→q se mai poate exprima prin frazele urmtoare, des întâlnite în textele matematice sau în limbajul natural:
· dac p atunci q
· p este o condiie suficient pentru q
· q este o condiie necesar pentru p
· q dac p
· este suficient ca p pentru ca q
· q este o consecin a lui p, etc.
5. Echivalena propoziiilor. Echivalena propoziiilor p, q este propoziia notat p↔q (p echivalent cu q sau p dac i numai dac q). Propoziia p↔q este notaia prescurtat a expresiei
Mai jos, avem tablele de adevr pentru enunurile fcute
,
,
,
,
Definiia 2.2. Se numete tautologie o expresie care este adevrat, indiferent de valorile de adevr ale variabilelor propoziionale. Se numete contradicie o expresie care este fals, indiferent de valorile de adevr ale variabilelor propoziionale.
Definiia 2.1. Dou expresii propoziionale E i F se numesc echivalente dac, pentru orice valori de adevr ale variabilelor propoziionale care apar în E i F; expresiile au aceeai valoare de adevr: Notm acest lucru prin .
1.2.3. Mulimi. Operaii i relaii cu mulimi (complementar, intersecie, reuniune, incluziune, egalitate).
Definiia 1.1. (Cantor) Prin mulime înelegem o colecie de obiecte bine determinate i distincte. Obiectele din care este constituit mulimea se numesc elementele mulimii. Dou mulimi sunt egale dac ele sunt formate din exact aceleai elemente.
Exemple de mulimi.
.
Mulimea punctelor din plan, egal deprtate de un punct fixat din acelai plan, cercul .
Mulimea vid, notat prin . Ca exemplu, mulimea punctelor de intersecie a dou drepte paralele situate în acelai plan este o mulime vid.
Vom utiliza notaia cunoscut , pentru elementele ce aparin mulimii X, i pentru elementele ce nu aparin lui X.
Dac notm cu p(x) o proprietate a elementului x, mulimea punctelor care au respectiva proprietate se noteaz cu .
Dac rezult c p(x) este adevrat.
Dac rezult c p(x) este fals.
Relaii între mulimi
Relaia de incluziune notat , însemn c oricare ar fi , atunci i .
Relaia de incluzine strict însemn c X este o parte proprie a lui Y.
Relaia de egalitate se definete astfel, dac i în acelai timp , atunci .
Exemplu: Dac, atunci oricare ar fi , rezult c , ca urmare .
Putem reprezenta cele dou mulimi prin diagrame Euler-Venn.
Fig.1.1.
Operaii cu mulimi
Dac notm cu I mulimea universal, atunci
Am utilizat în cele de mai sus simbolurile pentru operaii logice.
Simbolul pentru operatorul “i”, simbolul pentru “sau”, iar pentru „implicaie”, simbolul .
Vom utiliza de asemenea simbolurile numite cuantificatori:
- cuantificatorul universal, notat având semnificaia “oricare ar fi”
- cuantificatorul existenial, notat cu semnificaia “exist”.
De exemplu, propoziia: “ Oricare a r fi x, exist y astfel încât y=2x”, se scrie astfel .
Proprietile mulimii prilor unei mulimi
Dac
Dac
O mulime înzestrat cu operaiile se numete latice dac sunt satisfcute urmtoarele proprieti:
1. Comutativitatea
2. Asociativitatea
3. Absorbia
S notm laticea ca pe o structur algebric dotat cu dou oleraii:.
O latice se numete distributiv dac sunt îndeplinite proprietile:
4. Distributivitatea
5. Idempotena
6. Exist elementele i I astfel ca:
Elementele i I sunt cel mai mic, respectiv cel mai mare element al laticei.
Se numete algebr boolean o latice distributiv , cu prim i ultim element, în care se definete complementul cu proprietile .
Mulimea prilor , cu dou operaii binare , o operaie unar -, complemetarea , având elementele i I se numete algebr boolean.
Notm cu algebra boolean.
În orice algebr boolean au loc legile lui de Morgan
7.
Raionamentul prin care, dintr-o propoziie general se obin propoziii particulare se numete deducie.
Raionamentul prin care, din mai multe propoziii particulare se obine o propoziie general se numete inducie.
1. Deducia direct, sau regula modus ponens: Dac, într-o implicaie adevrat, ipoteza este adevrat, atunci i concluzia este adevrat.
Prin raionament deductiv, din axiome, definiii, etc (propoziii de baz) se obin alte propoziii (teoremele), care sunt folosite la rezolvarea problemelor.
Instrumentul logic al deduciei este implicaia.
Admiând c ipoteza p este adevrat, implicaia i concluzia sunt adevrate doar în prima linie din tabel.
Nu trebuie confundate situaiile când implicaia este adevrat, cu cele în care concluzia este adevrat.
Propoziiile admise ca adevrate, fr demonstraie, se numesc axiome. Orice alte propoziii trebuie demonstrate.
O teorem este o propoziie adevrat, care stabilete c unul sau mai multe obiecte matematice au o anumit proprietate. În enunul teoremei, o propoziie adevrat p, numit ipotez, implic o propoziie q, numit concluzie. Aceasta înseamn s demonstrm teorema.
Reciproca teoremei se obine luând concluzia drept ipotez i ipoteza drept concluzie (sau pri ale lor).
Exemplul 1. Dac patrulaterul ABCD este paralelogram, atunci laturile sale opuse sunt congruente
Exemplul 2. Implicaia: Dac x=2, atunci este propoziie adevrat.
Reciproca, “Dac atunci x=2” este fals, deoarece, dac x=-2, implicaia este fals.
2. Deducia indirect (reducerea la absurd). Este utilizat la demonstrarea teoremelor pentru care demonstraia direct este dificil sau imposibil. Procedeul se bazeaz pe înlocuirea propoziiei cu propoziia echivalent
Observaii. O consecin imediat a unei propoziii se numete corolar;
O propoziie care servete la demonstrarea unei propoziii se numete lem.
Denumirea de teorem se folosete pentru propoziiile cele mai importante, cu o semnificaie deosebit.
3. Inducia matematic . Inducia matematic este o metod de raionament prn care, pornind de la un numr finit de propoziii particulare, adevrate, obinem o propoziie general adevrat.
Principiul induciei matematice se enun astfel:
Fie n un numr natural oarecare i , numr natural fixat (de ex, 0, 1, etc). Fie P(n) o propoziie care depinde de n i propoziia obinut înlocuind pe n cu .
Dac
- Implicaia este adevrat pentru
Exemple rezolvate.
Soluie. Notm aceast afirmaie cu P(n) ,
- Pentru n=1 ,avem propoziie adevrat.
- Presupunem c P(k) este adevrat, k arbitrar, k>1
P(k):
Demonstraie.
Conform principiului induciei matematice, P(n) este adevrat ,
2. S se demonstreze c
Soluie. Notând cu P(n) inegalitatea de demonstrat, parcurgem cele dou etape:
1) Pentru n=2, P(2)
2) Presupunem c P(k) este adevrat(ipoteza inductiv).
;
Demonstrm
În partea stâng a inegalitii P(k+1) apar toi termenii sumei din ipoteza P(k) fr ;
Adunând acest termen în ambii membri ,obinem:
Deci e suficient s demonstrm c , care este adevrat
3. S se demonstreze c
Soluie.
2) Presupunem c
Din ipoteza inductiv rezult c exist m∈N astfel încât
Atunci
, pentru c produsul a dou numere naturale consecutive este divizibil cu 2.
Deoarece, i suma lor este divizibil cu 6/
Test:
1.
2.
S se arate c dac a este numar par, atunci
3.
Calculai i i comparai aceste numere în cazurile 1) x=6, y=11; 2) x=-10, y=-36; 3) x=3.3 , y=2.6
4.
Calculai i i comparai aceste numere în cazurile 1) x=4,6, y=9,5; 2) x=2,4, y=3,3;
5.
6.
Se consider predicatele p1(x) x+1>0, xR i p2(x): x-2≤0 , xR. S se determine valorile lui x pentru care 1) p1(x) este adevrat , 2) p2(x) este adevrat 3) p1(x) p2(x) este adevrat 4) p1(x) p2(x) este adevrat
1.3. Exerciii propuse
1. Folosind metoda induciei matematice , sa se demonstreze ca pt. orice numr natural n , sunt adevrate egalitile :
a). ; b). ;
a). ;
b). ;
c). ;
d).
e). ;
f).
a). ; b). .
a). ;
b). ;
c). .
5) Sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n avem :
a) ; b). ;
c). ; d). ;
e). ;f).
1). ; 2). ;
3). ; 4). ;
5). ; 6). ;
7). ; 8). ;
9). ; 10). ;
11). ; 12). .
1). ; 2). ;
3). ; 4). ;
5). ; 6). ;
1). ; 2). ;
3). ; 4). ;
2.1. iruri. Breviar teoretic i exerciii
În limbajul uzual prin ir de numere înelegem o mulime de numere aranjate într-o anumit ordine. Elementele unui ir se numesc termenii irului.
Exemple de iruri de numere: 1) (an)n≥1 ; 1, 2, 3, …,n, … 2)
; 4)
Un ir de numere reale se numete ir constant dac toi termenii si sunt egali: a,a,a,a,...
Observaie. Un ir de numere reale nu este o mulime de numere reale
· Într-un ir elementele se pot repeta, pe când într-o mulime elementele sunt distincte
· Ordinea elementelor unei mulimi nu este esenial, pe când pentru un ir este foarte important
Definiia1 : Se numete ir de numere reale orice funcie x:A→R, unde A este o submulime finit a lui N.
Moduri de a defini un ir:
- definire descriptiv: termenii se succed i se poate defini o rehul pentru termenul general: Exemplu. 2, 4, 8, …, cu regula
- printr-o regul de calcul. Formula de definire a irului se numete termenul general la irului i se noteaz , etc
Exemplu: irul (an)n≥1 cu an=. Termenul =, etc
- prin mai multe reguli de calcul
Exemplu: irul (an)n≥1 cu termenul general
- printr-o relaie de recuren
Exemple: (an)n≥0 cu a0=-1, an+1=an+3; n≥0;
irul este ir mrginit, dac exis un interval mrginit , pentru care s avem
Observaie. irurile care nu sunt mrginite, se numesc iruri nemrginite.
Exemple: irul este mrginit;
irul este ir monoton cresctor(strict cresctor) dac i numai dac
(), sau dac i numai dac , .
irul este ir monoton descresctor(strict descresctor) dac i numai dac () sau dac i numai dac , .
Exerciiu.
S se completeze cu înc 3 termeni fiecare ir:
a)1, 5, 9, 13, 17, .....,; b) 2, 12, 22, 32,..... ; c) 7, 9, 11, 13, ......;
d) 19, 16, 13, 10, ......; e) 36, 31, 26, 21, ......;
Probleme rezolvate.
1) S se determine termenii de rang 8 i 12 al irului
Soluie. Se vede c i elementele irului cresc din 3 în 3. Cum
2) S se scrie termenii , ai irului
Soluie. ;; ;
.
Rezolvare. Folosim definiie monotniei. irul este monoton cresctor, dac
, care este relaie adevrat. Deci irul este cresctor.
5) Studiai monotonia irului .
. Obinem:
Rezolvare. Rezolvm problema calculând raportul i comparându-l cu .
; . Deci irul este cresctor
Rezolvare. Demonstrm monotonia prin inducie matematic. ; Presupun c i demonsterz .
Demonstraie. Din
8) S se studieze mrginirea irului .
Rezolvare. Se vede c . Verific[m dac . Deci
Deci , irul fiind m[rginit.
9) S se studieze mrginirea irului
Rezolvare. Folosim metoda prin majorare sau minorare.
Se vede c . Deoarece ; Dând valori lui k i însumând, obinem:
, deci irul este mrginit.
10. S se studieze mrginirea irului .
Rezolvare. Rezolvm problema folosind monotonia irului
Folosim faptul c irul este cresctor (vezi exerciiul 7). Din monotonia irului, rezult . Ridicând la patrat, obinem inecuaia
; ecuaia i se obine, din regla semnelor c sunt soluiile ecuaiei.
Exerciii propuse.
1. Calculai primii 4 termeni, ai irului, având termenul general:
2. Determinai termenii pentru irurile: ;
; ;
a) ; b) ;
4. Scriei termenul general al irurilor date descriptiv:
a) 2, 4, 8, 16, …; b) ; c) 1, 3, 5 , 7 , …;d) 0, 2, 4, 6, 8, …
5. studiai monotonia i mrginirea irurilor
a) ; b) ; c) ; d) ;
2.2. Progresia aritmetic
2.2.1. Breviar teoretic
Definiia 2: Un ir (an)n≥1 pentru care fiecare termen al su, începând cu al doilea , se obine din precedentul prin adugarea aceluiai termen r se numete progresie aritmetic. Nunrul r se numete raia progresiei. Raia r se calculeaz ca diferena a doi termeni consecutivi ai progresiei, adic:
Observaie. Raia r este un numr unic. De aici deducem :
Definitia 3. irul numeric este progresie aritmetic, dac exist un numr real d, numit raia progresiei, astfel incât
,
Observaie: Orice termen al unei progresii aritmetice începând cu al doilea este medie aritmetic între precedentul i succesorul su. Adic, între oricare trei termeni consecutivi ai unui ir în progresie aritmetic, exist relaia:
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice (an)n≥1 este
i se calculeaz cu relaia:
Teorema 1
2.2.2. Exerciii rezolvate
Exerciii: Se d progresia aritmetic (an)n≥1. Determinai în fiecare din cazuri , elementele cerute: 1) a1=3; r=2. Calculai a15 i S15;
2) a1=-2; a25=22. Calculai r i S15; 3) Dac a1+a2=42 i a10+a3=21 Calculai a1 i r
Soluia pentru Ex.1) a15=a1+(15-1) r = 31; S15=
Rezolvare. Se utilizeaz condiia de ca 3…