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F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 1
Lezione 8.
Luogo delle radici
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 2
1. Introduzione
2. Definizione
3. Regole di tracciamento
4. Analisi di sistemi retroazionati mediante luogo delle radici
5. Sintesi di controllori mediante luogo delle radici
Schema della lezione
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 3
1. Introduzione
Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l’analisi e lasintesi di sistemi retroazionati. Sarà definito a tempo continuo.Il tracciamento a tempo discreto è (ovviamente, come vedremo)identico; diverso è il modo in cui deve essere usato per l’analisi.
E’ un ulteriore metodo di progetto non basato sull’analisi infrequenza (loop shaping) ed è applicabile anche a processi percui non valgono le ipotesi di applicabilità del criterio di Bode(quindi anche i sistemi instabili).
E’ applicabile solo a sistemi descritti da funzioni di trasferimentorazionali (quindi non può trattare ritardi).
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 4
2. Definizione
Si consideri il seguente sistema retroazionato
w y
–+ L(s)
dove
sD
sN
ps
zs
sLn
ii
m
ii *
1
1
I poli del sistema in anello chiuso coincidono con le radici dell’equazione caratteristica
01 sL
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 5
Definizione
Si definisce luogo delle radici, il luogo geometrico dei punti delpiano complesso descritto dalle radici dell’equazionecaratteristica al variare del parametro ρ da –∞ a +∞ con ρ≠0.
In particolare, si dice luogo diretto (LD) la parte di luogo delleradici corrispondente a ρ>0 e luogo inverso (LI) la parte diluogo corrispondente a ρ<0.
Note
La costante di trasferimento ρ è proporzionale al guadagno d’anello .
Il caso ρ=0 corrisponde all’assenza di retroazione.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 6
l’equazione si può scrivere come da cui:
sD
sNsL
*
01 sL
Dal momento che
01*
sD
sN
1*
sD
sN
Essendo la precedente un’equazione in campo complesso, i valori di s (complessi) che la soddisfano devono soddisfare le seguenti due equazioni, una per il modulo ed una per la fase:
1
*
sD
sN
(LI) 0 , 1802
(LD) 0 , 18012arg180argarg *
k
ksDsN k intero
Caratteristiche principali
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 7
L’equazione per la fase caratterizza geometricamente il luogo; quella relativa al modulo fornirà la punteggiatura in ρ.
Infatti:
m
ii
m
ii
m
ii zszssN
111
* argargarg
n
ii
n
ii
n
ii pspssD
111
argargarg
dove θi e φi indicano gli angoli formati dalla congiungente il generico punto s, rispettivamente, con lo zero –zi e con il polo –pi, con il semiasse reale positivo.
Im s
Re×–p1 –z1
–z2
–z3
φ1
θ2
θ3
θ1
η1
λ2
λ3λ1
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 8
I punti s del piano complesso per cui risulta
1801211
kn
ii
m
ii
appartengono al luogo diretto.
I punti s del piano complesso per cui risulta
180211
kn
ii
m
ii
appartengono al luogo inverso.
I punti s del piano complesso per cui non risulta verificata nessuna delle due precedenti non appartengono al luogo.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 9
Per punteggiare in ρ i punti del luogo delle radici, cioè per assegnare ad ogni punto del luogo il corrispondente valore di ρ si sfrutta l’equazione del modulo.
1
1
1
*
n
ii
m
ii
ps
zs
sD
sNDefinendo ii zs
ii ps
per i soli punti s appartenenti al luogo
si può scrivere:
m
ii
n
ii
1
1
sIm
Re×–p1 –z1
–z2
–z3
φ1
θ2
θ3
θ1
η1
λ2
λ3λ1
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 10
Matlab
Una volta definita nel Workspace una funzione d’anello L è possibile tracciare il luogo delle radici con il comando
>> rlocus(L)
Per tracciare il luogo inverso è sufficiente usare il comando
>>rlocus(-L)
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 11
3. Regole di tracciamento
Si danno 11 regole che consentono il tracciamento (qualitativo) delluogo delle radici, ovvero l’individuazione dei punti del pianocomplesso che appartengono al luogo.
Ciò è particolarmente utile per effettuare analisi di sensitività delleprestazioni di un sistema retroazionato rispetto al guadagnod’anello.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 12
Regola 1
Il luogo delle radici è costituito da 2n rami: n del luogo diretto ed ndel luogo inverso.
Regola 2
Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.
Regola 3
I rami sono orientati e partono dai poli di L(s) (con ρ = 0).
Regola 4
I rami arrivano negli zeri (per ρ→∞). In particolare, considerandogli n rami di uno dei due luoghi, m rami arrivano negli zeri di L(s)e i restanti ν rami tendono all’infinito, dove ν = n–m è il gradorelativo di L(s).
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 13
Regola 5
I rami che tendono all’infinito lo fanno lungo asintoti che si intersecano sull’asse reale nel punto di ascissa
n
ii
m
iia pzx
11
1
e formano con l’asse reale angoli pari a
(LI) 0 , 1,,1,0 , 1802
(LD) 0 , 1,,1,0 , 18012
kk
kk
ak
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 14
Regola 6
Tutti i punti dell’asse reale, tranne quelli corrispondenti asingolarità di L(s), appartengono al luogo delle radici.
In particolare, fanno parte del luogo diretto tutti i punti a sinistra diun numero dispari di singolarità di L(s). Fanno parte del luogoinverso tutti i punti a sinistra di un numero pari (o nullo) disingolarità di L(s).
Regola 7
Quando ν ≥ 2, la somma della parte reale dei poli del sistema in anello chiuso non dipende da ρ (regola del baricentro)
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 15
Regola 8 (opzionale)
(LI) 0 , 1,,1,0 , 18021
(LD) 0 , 1,,1,0 , 180121
1
1
jji
i
m
ii
j
jji
i
m
ii
j
jk
hkkh
hkkh
Si consideri il generico polo –pj di L(s) e si supponga che abbiamolteplicità hj. Gli hj rami del luogo diretto e gli hj rami del luogoinverso che partono da questo polo hanno in quel punto tangentiche formano con l’asse reale angoli pari a
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 16
In particolare, se il polo –pj fosse semplice, la tangente dei due rami uscenti (uno per il LD, l’altro per il LI) presenta un angolo
(LI) 0 ,
(LD) 0 , 180
1
1
jii
m
ii
jii
m
ii
j
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 17
Regola 9 (opzionale)
(LI) 0 , 1,,1,0 , 18021
(LD) 0 , 110 , 180121
1
1
j
n
ii
jii
j
j
n
ii
jii
j
jk
hkkh
,h,,kkh
Si consideri il generico zero –zj di L(s) e si supponga che abbiamolteplicità hj. Gli hj rami del luogo diretto e gli hj rami del luogoinverso che arrivano in questo zero hanno in quel punto tangentiche formano con l’asse reale angoli pari a
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 18
In particolare, se zero –pj fosse semplice, la tangente dei due rami entranti (uno per il LD, l’altro per il LI) presenta un angolo
(LI) 0 ,
(LD) 0 , 180
1
1
n
ii
jii
n
ii
jii
j
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 19
Regola 10
Eventuali punti di incrocio di rami sull’asse reale (in cui si hannoquindi radici reali coincidenti) si possono determinare trovando iminimi ed i massimi relativi della funzione
xN
xDx
* x
Specificamente, se è un punto di minimo ed il punto appartiene al luogo diretto, allora esistono due rami complessi che confluiscono sull’asse reale in .
Se invece è un punto di massimo ed il punto appartiene al luogo diretto, allora esistono due rami reali che si incontrano in e poi si separano diventando complessi.
La situazione è rovesciata se si considera il luogo inverso.
Attenzione! I valori non possono essere poli o zeri di L(s)
x xs
x
x xs
x
x
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 20
Regola 10 (alternativa)
Eventuali punti di incrocio di rami sull’asse reale si possono determinare trovando le soluzioni della seguente equazione:
011
11
m
i i
n
i i zxpx
Le soluzioni xd di questa equazione sono le ascisse dei punti di incrocio dei rami con l’asse reale di entrambi i luoghi (sia diretto che inverso).
Questa equazione non ci dà nessuna informazione sul tipo di “diramazione”, ovvero se siano due poli reali che diventano complessi coniugati o viceversa. Tale informazione va dedotta dal contesto.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 21
Regola 11
In ogni punto del luogo il valore di è dato da
m
ii
n
ii
m
ii
n
ii
zs
ps
1
1
1
1
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 22
4. Analisi di sistemi retroazionati mediante luogo delle radici
In questa sezione sarà illustrato, mediante esempi, come è possibile usare il luogo delle radici per l’analisi di sistemi retroazionati.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 23
Esempio
Si consideri un sistema retroazionato con
53
ssssL
Utilizzando il luogo delle radici valutare la posizione dei poli in anello chiuso al variare di ρ.
Si cominci tracciando il luogo diretto.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 24
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 3 rami.
Regola 4
I rami vanno tutti all’infinito lungo asintoti, poichè ν = n–m = 3
Regola 5
603
1800a
1803
5401a
3003
9002a
3
8530
3
1ax
I tre asintoti del LD si intersecano sull’asse reale nel punto di ascissa
I tre asintoti del LD formano con l’asse reale angoli pari a
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 25
Regola 6
Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < –5 e –3 < x < 0
A questo punto resta da applicare la regola 10 (la regola 7 non è costruttiva, le regole 8 e 9 sono opzionali, la regola 11 serve solo per punteggiare in ρ).
E’ però consigliabile cominciare prima a tracciare sul piano complesso le informazioni già note.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 26
Re
Im
× ××0–3–5
60°
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 27
Regola 10
xxxxxxxxxx 15815853 232
015163 2
xx
dx
xd
3
1982,1
x
166
2
2
xdx
xd 0
21
2
dx
xd12.4
3
1981
x minimo
0
22
2
dx
xd21.1
3
1982
x massimo
2x appartiene al LD ed è un massimoDue rami reali che diventano complessi
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 28
05
1
3
11
xxx
Alternativamente:
053
3553
xxx
xxxxxx
015163 2 xx
21.1
12.4
3
456482,1x
Osservando il grafico parziale sul lucido 25 si capisce che in −1.21 due rami da reali diventano complessi. Il punto −4.12 è invece nel luogo inverso.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 29
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 30
In corrispondenza di valori il sistema retroazionato è instabile.
Per calcolare il valore si può sfruttare la
Regola 7
Siccome il grado relativo di L(s) è 3, la somma della parte reale dei poli non dipende da ρ ed in questo caso è pari a –8.
Ciò deve valere anche per : in questo caso due poli hanno parte reale nulla e quindi il terzo polo si troverà in s = –8. In questo punto si può applicare la
1208533
10
1
3
1
ii
ii
ii
zs
ps
Regola 11
120Quindi
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 31
Seguendo la medesima procedura è possibile tracciare anche il luogo inverso.
Regola 1
Il luogo delle radici inverso è anch’esso costituito da 3 rami.
Regola 4
I rami vanno tutti all’infinito lungo asintoti, poichè ν = n–m = 3
Regola 5
I tre asintoti del LI si intersecano sull’asse reale nel medesimo punto del LD
3
8530
3
1ax
I tre asintoti del LI formano con l’asse reale angoli pari a
00a
1203
3601a
2403
7202a
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 32
Regola 6
Fanno parte del LI tutti i punti dell’asse reale che non fanno parte del LD, ovvero i punti dell’asse reale di ascissa –5 < x < –3 e x > 0
Regola 10
1x appartiene al LI ed è un minimoDue rami reali che diventano complessi
(I calcoli sono già stati eseguiti)
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 33
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15
-10
-5
0
5
10
15Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Si osservi che uno dei rami si sviluppa completamente nel semipiano destro. Il sistema è instabile per ogni ρ<0.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 34
Esempio
Si consideri un sistema retroazionato con
22
22
ss
ssL
Utilizzando il luogo delle radici valutare la posizione dei poli in anello chiuso al variare di ρ.
Si cominci tracciando il luogo diretto.
Si osservi che in questo caso ρ è proprio il guadagno d’anello.
Nota
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 35
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 2 rami.
Regola 4
Un ramo termina nello zero in –2, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1
Regola 5
L’asintoto del LD forma con l’asse reale un angolo pari a 1800a
0112 ax
L’unico asintoto del LD interseca l’asse reale nel punto di ascissa
Regola 6
Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < –2.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 36
Re
Im
×
×
–2
j
–j
–1
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 37
Regola 10
2
222
x
xxx
02
24
2
222222
2
2
2
x
xx
x
xxxx
dx
xd
44
22
2
2
2
88
2
2242242
x
x
x
xxxxx
dx
xd
0
21
2
dx
xdminimo
0
22
2
dx
xd massimo
1x appartiene al LD ed è un minimoDue rami complessi che diventano reali
222,1 x
41.3221 x
59.0222 x
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 38
02
1
1
1
1
1
xjxjx
Alternativamente:
0
222
2221212
2
xxx
xxxjxxjx
0242 xx
59.0
41.32422,1x
Osservando il grafico parziale sul lucido 36 si capisce che in −3.41 due rami da complessi diventano reali. Il punto −0.59 è invece nel luogo inverso.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 39
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3
-2
-1
0
1
2
3Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 40
Il sistema retroazionato è as. stabile per ogni valore di ρ>0.
Al crescere di ρ lo smorzamento dei poli in anello chiuso cresce fino a che essi diventano reali.
Per completare l’esempio si tracci anche il luogo inverso.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 41
Regola 1
Il luogo delle radici inverso è anch’esso costituito da 2 rami.
Regola 4
Un ramo termina nello zero in –2, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1
Regola 5
L’asintoto del LI forma con l’asse reale un angolo pari a 00a
0112 ax
L’unico asintoto del LI interseca l’asse reale nel medesimo punto del LD di ascissa
Regola 6
Fanno parte del LI i punti dell’asse reale di ascissa x > –2.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 42
Regola 10
(Calcoli già svolti)
2x appartiene al LI ed è un massimoDue rami complessi che diventano reali
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 43
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 44
Per valori di il sistema retroazionato è instabile. E’ possibile determinare tale valore limite mediante la
Regola 11
12
22
1
1
1
1
m
ii
n
ii
m
ii
n
ii
zs
ps
1Quindi
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 45
Esempio
Si consideri un sistema retroazionato con
12
12
ss
sL
Utilizzando il luogo delle radici valutare la posizione dei poli in anello chiuso al variare dello smorzamento ξ > 0.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 46
01 sL
L’equazione caratteristica del sistema retroazionato è
01122 ss
ssN *~ 2
~ 2 ssD
2~
2
~~
~~~
2
*
s
s
sD
sNsL
Ha la stessa equazione caratteristica del problema originario
0~
1 sL
02~2 ss
2~con
01 sD
sN 0 sDsN
0222 ss
0222 ss
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 47
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 2 rami.
Regola 4
Un ramo termina nello zero in 0, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1
Regola 5
L’asintoto del LD forma con l’asse reale un angolo pari a 1800a
000 ax
L’unico asintoto del LD interseca l’asse reale nel punto di ascissa
Regola 6
Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < 0.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 48
Regola 10
x
xx
22
0
2222
2
2
2
x
x
x
xxx
dx
xd
44
22
2
2 4222
x
x
x
xxxx
dx
xd
0
21
2
dx
xd
massimo 0
22
2
dx
xd
minimo
1x appartiene al LD ed è un minimoDue rami complessi che diventano reali
22,1 x
41.121 x
41.122 x
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 49
01
2
1
2
1
xjxjx
Alternativamente:
0
2
2222
2
xx
xjxxjxx
022 x
41.1
41.12,1x
Il punto −1.41 appartiene al luogo diretto. Il punto 1.41 è invece nel luogo inverso (che non interessa questo problema).
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 50
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
~
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 51
Per valori di i poli del sistema retroazionato sono reali. ~
Regola 11
222
22~
1
1
1
1
m
ii
n
ii
m
ii
n
ii
zs
ps
Quindi 22
~
Si può quindi concludere che i poli del sistema retroazionato sono complessi coniugati per e reali per 20 2
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 52
5. Uso del luogo delle radici nella sintesi del controllore
In modo analogo a quanto avviene per i noti metodi di progetto infrequenza, la sintesi del controllore mediante luogo delle radiciviene effettuata per tentativi.
In particolare, il luogo delle radici è uno strumentoparticolarmente efficace nel progetto quando gli obiettivi delcontrollo possono essere espressi direttamente mediante laposizione dei poli in anello chiuso.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 53
I vincoli sulla posizione dei poli in anello chiuso sono del tipo seguente.
Vincoli sullo smorzamento
Corrispondono ad imporre che i poli si trovino in regioni del piano complesso come la seguente
Re
Im
arccos
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 54
E’ noto che la risposta allo scalino di un sistema a tempo continuoas. stabile può presentare oscillazioni dipendentemente dal valoredello smorzamento ξ dei poli dominanti.
Inoltre, in un sistema retroazionato, lo smorzamento dei polidominanti è strettamente connesso al margine di fase(e quindi alla robustezza della stabilità del sistema).
Quindi, richiedere che il valore dello smorzamento ξ sia superiore ad un certo valore , equivale a richiedere che i transitori del sistema non presentino oscillazioni eccessive prima di raggiungere il regime.
Si tratta quindi di un vincolo sulla robustezza e sulla precisione dinamica del sistema.
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 55
Vincoli sullo pulsazione naturale nn
Corrispondono ad imporre che i poli si trovino all’esterno di circonferenze di raggio e centro l’origine
Re
Im
n
nj
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 56
In un sistema retroazionato, la pulsazione naturale dei poli dominanti è (approssimativamente) pari alla pulsazione critica del sistema retroazionato. E’ quindi strettamente connessa alla banda passante di un sistema retroazionato
Quindi, richiedere che il valore della pulsazione naturale ωn dei poli dominanti di un sistema retroazionato sia superiore ad un valore assegnato , equivale a richiedere che la banda passante del sistema abbia limite superiore a tale valore.
Si tratta quindi di un vincolo sulla velocità del sistema.
n
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 57
Tali vincoli si possono esprimere richiedendo che la parte reale dei poli in anello chiuso sia maggiore in modulo di un valore assegnato, cioè . Ciò corrispode a richiedere che i poli stiano nel semipiano definito da
Vincoli sul massimo tempo di assestamento
Re
Im
s
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 58
E’ noto che la risposta allo scalino di un sistema a tempo continuo as. stabile ha (approssimativamente) tempo di assestamento pari a:
5at
dove σ è la parte reale (senza segno) dei poli dominanti del sistema.
Quindi, richiedere che il valore assoluto della parte reale dei poli dominanti sia superiore ad un certo valore , equivale a richiedere che la durata dei transitori del sistema sia inferiore a .
Si tratta quindi di un vincolo sulla velocità del sistema.
5at
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 59
Si progetti un regolatore proporzionale tale che il tempo di assestamento della risposta ad uno scalino unitario del riferimento sia inferiore od uguale a
Esempio
G(s)y(t)w(t)
+ _R(s)
u(t)e(t)
Si consideri il seguente sistema di controllo
con 101
3
sss
ssG
RsR
s 5.2at
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 60
Una specifica sul tempo di assestamento può essere interpretata come una richiesta sulla posizione dei poli dominanti del sistema in anello chiuso.
Infatti, in un sistema retroazionato il tempo di assestamento può essere approssimato (sotto opportune ipotesi) come segue:
5at
Quindi, la specifica può essere riscritta come aa tt at
5
at
5 I poli dominanti in anello chiuso
devono avere parte reale inferiore a (nel caso considerato −2)
at
5
essendo –σ è la parte reale di un polo dominante (reale).
at
5
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 61
101
3
sss
ssGsRsL R
La funzione di trasferimento d’anello è
Quindi, ponendo , è possibile tracciare il luogo delle radici e cercare (se esistono!) i valori di per cui i poli dominanti in anello chiuso rispettano la specifica di avere parte reale inferiore a –2.
Si cominci tracciando il luogo diretto.
R
R
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 62
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 3 rami.
Regola 4
Un ramo termina nello zero in –3; due rami vanno all’infinito lungo asintoti, poichè ν = n–m = 2
Regola 5
902
1800a
270
2
5401a
4101032
1ax
I due asintoti del LD si intersecano sull’asse reale nel punto di ascissa
I due asintoti del LD formano con l’asse reale angoli pari a
Regola 6
Sono del LD i punti dell’asse reale di ascissa –10 < x < –3 e –1 < x < 0
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 63
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 64
In corrispondenza di valori il controllore rispetta le specifiche.
Per calcolare il valore si può sfruttare la
R
Regola 7
Siccome il grado relativo di L(s) è 2, la somma della parte reale dei poli non dipende da ρ ed in questo caso è pari a –11.
Ciò deve valere anche per : in questo caso due poli hanno parte reale –2 e quindi il terzo polo si troverà in s = –7. In questo punto si può applicare la
Regola 11
5.31R
Quindi5.314
763
1
1
1
1
m
ii
n
ii
m
ii
n
ii
zs
ps
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 65
Esempio
Si consideri il seguente sistema retroazionato
225.0
5.12
zzz
zzG
Utilizzando il luogo delle radici progettare un controllore R(z)=ρ>0 in modo tale che il sistema retroazionato sia asintoticamente stabile.
G(z)y(k)w(k)
+ _R(z)
u(k)e(k)
con
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 66
225.0
5.12
zzz
zzGzRzL
La funzione di trasferimento d’anello è:
Si deve quindi tracciare il luogo delle radici diretto
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 67
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 3 rami.
Regola 4
Un ramo termina nello zero in –1.5, due rami vanno all’infinito lungo due asintoti, poichè ν = n–m = 2
Regola 5
Gli asintoti del LD formano con l’asse reale angoli 900a
2115.05.12
1ax
Gli asintoti del LD intersecano l’asse reale nel punto di ascissa
Regola 6
Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa –1.5<x < 0.5
2701a
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 68
Re
Im
×
×0 0.5–1.5
×
1
j
– j
2
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 69
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Due rami del luogo si sviluppano interamente fuori dal cerchio di raggio unitario e quindi non esiste ρ>0 che stabilizza il sistema.
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 70
Esempio
Si consideri un processo descritto dalla seguente funzione di trasferimento
2.0
1
ssG
Usando un periodo di campionamento T=1 s progettare, se possibile, un regolatore digitale R(z) tale che la funzione di trasferimento d’anello sia di tipo 1 ed il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile.
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 71
Utilizzando l’approccio a tempo discreto per il progetto del controllore digitale, si faccia riferimento al seguente schema:
_R*(z)
u*(k)+
w*(k) e*(k)G*(z)
y*(k)
con y(t)u(t)G(s)D/A
u*(k) y*(k)A/D
Per prima cosa si deve calcolare la funzione di trasferimento del sistema a segnali campionati.
Per fare ciò si utilizzi il metodo basato sull’equivalenza della risposta allo scalino.
zG*
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 72
1. 2.0
1
sss
sGsY
2. Antitrasformando si ha
0per ,55 2.0 tety t
,2,1,0per ,55 2.0* kekTyky kT
3. Effettuando la trasformazione Z
Tez
z
z
zzY
2.0
* 5
1
5
4. La funzione di trasferimento del sistema a segnali campionati è
221.1
107.155155
15
1
52.0
2.0
1
2.02.0
*
zez
e
ez
z
z
z
ez
z
z
zzG
T
TT
2.0
55
2.0
1
sssssY
da cui
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 73
221.11221.11
107.1***
zzzzzGzRzL R
Dal momento che è di tipo 0, il regolatore deve avere un integratore. Un possibile controllore è quindi
zG*
11
*
zz
TzR RR
da cui
R 107.1con
Tracciando il luogo delle radici di si può verificare se esistono valori di ρ che stabilizzano il sistema.
zL*
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 74
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 2 rami.
Regola 4
Entrambi i rami vanno all’infinito lungo due asintoti, poichè ν = n–m = 2
Regola 5
Gli asintoti del LD formano con l’asse reale angoli 900a
110.1221.1102
1ax
Gli asintoti del LD intersecano l’asse reale nel punto di ascissa
Regola 6
Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa 1<x < 1.221
2701a
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 75
0221.1
1
1
1
xx
Regola 10 (versione semplificata)
0221.11 xx 110.1x
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Non esiste ρ>0 che stabilizzi il sistema retroazionato.
Si provi quindi a tracciare il luogo inverso.
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 76
Regola 1
Il luogo delle radici inverso è costituito da 2 rami.
Regola 4
Entrambi i rami vanno all’infinito lungo due asintoti, poichè ν = n–m = 2
Regola 5
Gli asintoti del LI formano con l’asse reale angoli 00a
Gli asintoti del LI intersecano l’asse reale nello stesso punto di ascissa trovato per il LD.
Regola 6
Fanno parte del LI i punti dell’asse reale di ascissa x <1 e x >1.221
1801a
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 77
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Root Locus
Real Axis
Imag
ina
ry A
xis
Il LI ha un ramo che giace interamente fuori dal cerchio unitario.
Quindi, non esiste ρ<0 che stabilizzi il sistema retroazionato.
Bisogna cambiare la struttura del regolatore!
Osservando il LD si nota che l’introduzione di uno zero all’interno del cerchio potrebbe “attirare” i rami a giacere almeno parzialmente nella regione di asintotica stabilità.
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 78
221.11
8.0
221.11
8.0107.1***
zz
z
zz
zzGzRzL R
1
8.0
1
8.0*
z
z
z
zTzR RR
da cui
Si può scegliere
Tracciando il luogo delle radici di si può verificare se esistono valori di ρ che stabilizzano il sistema.
zL*
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 79
Regola 1
Il luogo delle radici diretto è costituito da 2 rami.
Regola 4
Un ramo termina nello zero in 0.8, un ramo va all’infinito lungo un asintoto, poichè ν = n–m = 1
Regola 5
L’asintoto del LD forma con l’asse reale un angolo 1800a
021.3221.118.0 ax
L’asintoto del LD interseca l’asse reale nel punto di ascissa
Regola 6
Fanno parte del LD i punti dell’asse reale di ascissa x < 0.8 e 1<x<1.221
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 80
08.0
1
221.1
1
1
1
xxx
Regola 10 (versione semplificata)
0221.118.01221.18.0 xxxxxx
0221.1221.28.08.19768.0021.2 222 xxxxxx
05558.06.12 xx
510.0
090.12,1x
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 81
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag
ina
ry A
xis
1
2
1
Il sistema retroazionato è as. stabile per 21
E’ possibile calcolare , mentre può solo essere valutato approssimativamente per via grafica.
21
approfondimento
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 8 82
Regola 11
468.28.1
221.22
1
12
m
ii
n
ii
zz
pz
28.0
1
11
m
ii
n
ii
zz
pz
Un possibile regolatore che rispetta le specifiche si ha scegliendoda cui si ha 1 9.0R
1
8.09.0*
z
zzR
approfondimento