lezione3

ARITMETICA

L'ADDIZIONE, LA SOTTRAZIONE E LE RELATIVE PROPRIETÀ

3^ LEZIONE

S.M.S Leonardo da Vinci - Mascalucia (Ct)A.S. 2011/2012

Corso di Matematica Prof. Spina Roberto - [email protected]

L'ADDIZIONELa somma di due numeri naturali, il secondo dei quali diverso da zero, è il numero che si ottiene aggiungendo al primo tante unità quante ne indica il secondo

Es. 3 + 2 = 5 che equivale a: 3 + 1 + 1 = 5

Il procedimento, cioè l'operazione da eseguire per ottenere la somma di due numeri, è detto addizione. Ritornando all'esempio precedente:

Es. 3 + 2 = 5

addendo addendo somma



Inoltre la somma di un qualsiasi numero naturale con lo zero è il numero stesso: per tale motivo lo zero viene definito elemento neutro per la somma.

Es. 3 + 0 = 3 0 + 1 = 1 15 + 0 = 15



L'addizione costituisce per l'insieme dei numeri naturali N una operazione interna o, equivalentemente, N è chiuso rispetto all'operazione di addizione

In entrambi i casi, infatti, la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale

3 5 8

2 10 12

8N

LA TABELLA DELL'ADDIZIONE



+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 145 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 178 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 189 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1910 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Si costruisce ponendo all'inizio di ogni riga e di ogni colonna i numeri naturali da 1 a 10. Per completarla inseriamo all'incrocio di ogni riga con ogni colonna la somma dei numeri individuati dalla riga e dalla colonna considerate.

LA TABELLA DELL'ADDIZIONE



+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 145 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 178 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 189 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1910 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Osserva che tutte le caselle sono state riempite, ciò significa che la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale.

SOMMA DI NUMERI NATURALI SULLA SEMIRETTA



Possiamo rappresentare graficamente l'addizione su una semiretta orientata attraverso il seguente procedimento.

• Partiamo dall'immagine del primo addendo e ci spostiamo verso destra di tante unità quante sono quelle del secondo addendo.

• Raggiungiamo così una nuova posizione corrispondente all'immagine della somma.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Es. 4 + 3 = 7

PROPRIETÀ DELL'ADDIZIONE



Proprietà commutativa: "cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia".

In generale dati due numeri a e b si ha sempre:

a + b = b + a

Es. 4 + 5 = 5 + 4

Proprietà associativa: "la somma di tre o più numeri non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma effettuata".

In generale dati tre numeri a, b e c si ha sempre:

(a + b) + c = a + (b + c)

Es. 6 + 8 + 7 = 6 + 8 + 7

+ 7 = 6 + 14 15 = 21

PROPRIETÀ DELL'ADDIZIONE



Proprietà dissociativa: "la somma di due o più addendi non cambia se a uno o a più di essi ne sostituiamo altri tali che la loro somma sia uguale all'addendo sostituito".

Es. 96 + 15 + 32 = 143

+ 15 + 90 + 6 30 + 2 = 143

REGOLA PRATICA PER L'ADDIZIONE



Per eseguire un'addizione bisogna disporre gli addendi in modo tale che le cifre dello stesso ordine appartengano alla stessa colonna e quindi calcolare la somma delle unità, delle decine, delle centinaia, ecc....

centinaia decine unità

2 4 5 +

3 7 8 =______________________________________

6 2 3

PROVA DELL'ADDIZIONE



Si può verificare la correttezza o meno dell'operazione di addizione applicando la proprietà commutativa.

256 +

_______

100 + 85 =

441

100 +

_______

85 + 256 =

441

CALCOLO RAPIDO



Per calcolare rapidamente e mentalmente la somma di due o più numeri si possono utilizzare le proprietà dell'addizione.

Esempio1 7 + 26 + 13 + 4

Nel primo esempio applichiamo la proprietà commutativa in modo da raggruppare numeri per i quali la somma delle unità dà una decina.

7 + 13 + 26 + 4 = 20 + 30 = 50

Nel secondo esempio applichiamo la proprietà dissociativa in somme in cui il primo addendo è costituito da zero unità:

Esempio2 36 + 59

Poiché 36 = 30 + 6 e 59 = 50 + 9 allora:

36 + 59 30 + 6 + 50 + 9



A questo punto applichiamo la proprietà commutativa raggruppando i numeri che hanno unità nulle:

30 + 6 + 50 + 9 30 + 50 + 6 + 9

Infine applichiamo la proprietà associativa ed otteniamo facilmente il risultato finale:

30 + 50 + 6 + 9 30 + 50 + 6 + 9

80 15 + = 95

Esercizi (da svolgere in classe)

Pag. 70 n. 42 - 44 - 45 - 48 - 55 (applicare proprietà commutativa, associativa e dissociativa)

Esercizi (per casa)

Studiare da pag. 44 a pag. 50. Esercizi pag. 70 n. 43 - 56 - 57 - 58 - 63.

Lunedì 7 Novembre 2011



LA SOTTRAZIONE

La differenza di due numeri naturali, il secondo dei quali non superi il primo, è un terzo numero che addizionato al secondo da come risultato il primo. In pratica la sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.

Es. 10 - 6 = 4 6 + 4 = 10

Il procedimento, cioè l'operazione da eseguire per ottenere la differenza di due numeri, è detto sottrazione. Ritornando all'esempio precedente:

Es. 10 - 6 = 4

Minuendo SottraendoDifferenza



che corrisponde alla prova della sottrazione

⇔



La sottrazione non costituisce per l'insieme dei numeri naturali N una operazione interna o, equivalentemente, N non è chiuso rispetto all'operazione di sottrazione.

In entrambi i casi, la differenza di due numeri naturali non è ancora un numero naturale: infatti le sottrazioni fra numeri naturali possono essere eseguite solo quando il minuendo è ≥ del sottraendo.

15 5

2 10

10

-8

NZ-

LA TABELLA DELLA SOTTRAZIONE



- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 01 1 02 2 1 03 3 2 1 04 4 3 2 1 05 5 4 3 2 1 06 6 5 4 3 2 1 07 7 6 5 4 3 2 1 08 8 7 6 5 4 3 2 1 09 9 8 7 6 5 4 3 2 1 010 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Si costruisce ponendo all'inizio di ogni riga e di ogni colonna i numeri naturali da 1 a 10. Per completarla inseriamo all'incrocio di ogni riga con ogni colonna la differenza dei numeri individuati dalla riga e dalla colonna considerate.

LA TABELLA DELLA SOTTRAZIONE



- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 01 1 02 2 1 03 3 2 1 04 4 3 2 1 05 5 4 3 2 1 06 6 5 4 3 2 1 07 7 6 5 4 3 2 1 08 8 7 6 5 4 3 2 1 09 9 8 7 6 5 4 3 2 1 010 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Osserva che non tutte le caselle sono state riempite, ciò significa che la differenza di due numeri naturali non sempre è un numero naturale.



Infatti possiamo eseguire la sottrazione 10 - 2 ma non 2 - 10 perché nella sottrazione non vale la proprietà commutativa. Perciò:

10 - 2 ≠ 2 -10

Inoltre la sottrazione non gode neanche della proprietà associativa.

Infatti data la sottrazione: 10 - 4 - 2 si ha

(10 - 4) - 2 ≠ 10 - (4 - 2)

perché (10 - 4) - 2 = 4 e 10 - (4 - 2) = 8



Casi particolari della sottrazione:

• Se il minuendo è uguale al sottraendo la differenza è 0;

Es. 16 - 16 = 0

• Se il minuendo è un qualsiasi numero naturale e il sottraendo é 0, la differenza é il numero stesso;

Es. 30 - 0 = 30

PROPRIETÀ DELLA SOTTRAZIONE



Proprietà invariantiva: "se si addiziona o si sottrae al minuendo e al sottraendo uno stesso numero, la differenza non cambia".

Es. 35 - 15 = 20

(35 - 4) - (15 - 4) = 31- 11 = 20

Sottraiamo al minuendo e al sottraendo la stessa quantità 4.

(35 + 10) - (15 + 10) = 45 - 25 = 20

Aggiungiamo al minuendo e al sottraendo la stessa quantità 10.

In entrambi i casi otteniamo un valore uguale a quello relativo alla differenza iniziale.

SOMMA E DIFFERENZA DI NUMERI DECIMALI



In entrambi i casi bisogna incolonnare i numeri in modo tale che le unità intere e quelle decimali dello stesso ordine si trovino nella stessa colonna. Si esegue quindi l'addizione o la sottrazione, partendo dal valore posizionale più piccolo delle unità decimali.

27,8

_________

100,33

80,3 208,43

842,5

_________

6,22

836,28

++

=

_

=

Nell'incolonnamento dell'addizione e della sottrazione si può completare la parte decimale dei numeri aggiungendo degli zeri che lasciano invariato il valore di ciascun numero.

27,80

100,33

80,30

208,43

++

=

________

842,50

6,22

836,28

_

________=

Esercizi (da svolgere in classe)

Pag. 75 n. 75 - 79 - 88 - 89 - 90.

Esercizi (per casa)

Espressioni pag. 80 n. 139-140 (fascia A) pag. 79 n. 112-113. Esercizi pag. 75 n. 74-85

Giovedì 17 Novembre 2011



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