La forza piu’ rilevante per la cosmologia e l’astrofisica e’ quella di gravita’. Ne consegue che per comprendere i fenomeni su scale

astronomico-cosmologiche e’ necessario elaborare una teoria della gravitazione. Questa e’ data dalla teoria della Relativita’ Generale di

Einstein. Ma si noti per molti sistemi e/o scale l’approccio Newtoniano e’ sufficientemente preciso.

L’idea alla base della relativita’ generale e’ quello di trasformare la gravita’ da forza a proprieta’ geometrica dello spazio-tempo.

€

! F g = −

GMmr2! e r ∇

2φ = 4πGρ[ ]! F g = m! a −

! ∇ φ =

! a [ ]

€

Rµν −12Rgµν = 8πGTµν

d2xµ

dλ2 +Γρσµ d x ρ

dλd xσ

dλ= 0

Newton Einstein

La legge di Newton della gravitazione universale (o, equivalentemente l’equazione di Poisson) dice come il campo gravitazionale e’ influenzato dalla materia

Le equazioni di Einstein esprimono la risposta della curvatura spazio-temporale alla materia-energia

€

! F g = −

GMmr2! e r ∇

2φ = 4πGρ[ ]

€

d2xµ

dλ2+Γρσ

µ d x ρ

dλd xσ

dλ= 0

La II legge della dinamica esprime la risposta della materia al campo di gravita’

Le equazioni delle geodetiche esprimono la risposta della materia alla curvatura dello spazio-tempo

Le informazioni sulla curvatura dello spazio-tempo sono contenute nel tensore metrico gµν che quantifica la deviazione dal teorema di

Pitagora Δl2=Δx2+Δy2+Δz2

€

! F g = m! a −

! ∇ φ =

! a [ ]

€

d2xµ

dλ2+Γρσ

µ d x ρ

dλd xσ

dλ= 0

La teoria della relativita’ specialeunifica concetti di spazio e tempo in un sistema unico di coordinate: lo spazio-tempo. Al contrario, la teoria Newtoniana tratta il tempo come una variabile privilegiata, tanto che ha senso dividere lo spazio in diverse “istantanee”.

I punti dello spazio-tempo (eventi) sono caratterizzati da 3 coordinate spaziali + 1 coordinata temporale.

Una particella descrive una traiettoria nello spazio tempo (successione di eventi) detta linea di universo

   

€

(t,x,y,z) ≡ xµ{µ = 0,1,2,3}

€

xµ (λ)

Teoria Newtoniana

•  Il tempo e’ una variabile privilegiata •  Il concetto di contemporaneita’ e’ assoluto •  Le informazioni possono viaggiare a qualsiasi velocita’

Relativita’ Speciale

•  Nessuna differenza tra variabili temporali e spaziali. •  Il concetto di contemporaneita’ e’ relativo •  La massima velocita’ permessa e’ quella della luce nel vuoto

Definito un cono-luce come il luogo dei cammini di tutti i possibili raggi di luce che passano attraverso un punto dello spazio tempo, le traiettorie possibili sono quelle all’interno dei coni luce. Eventi contemporanei sono definiti relativamente alla scelta delle coordinate ma non hanno realta’ fisica

t

Eventi simultanei possono essere definiti in modo non ambiguo come appartenenti alle superfici a tempo costante. E’ possibile immaginare traiettorie a tempo costante, ovvero velocita’ arbitrariamente elevate

v=c

- -

€

Δ

€

Δ

€

Δ

€

Δ

€

Δ

-

Benche’ la scelta del sistema di coordinate sia arbitraria, alcune proprieta’ dello spazio-tempo sono indipendenti da tale scelta. Per esempio la distanza tra 2 punti rimane

costante al variare della scelta di coordinate. In quelle Cartesiane: Δl2=Δx2+Δy2+Δz2 In RS la variabile tempo e’ indistinguibile dalle variabili spaziali. Possiamo cosi’ definire dei sistemi di coordinate detti inerziali che sono equivalenti tra loro e che

differiscono solo per una traslazione spaziale o temporale. In ambito Newtoniano un set di coordinate (t’,x’,y’,z’) deve essere tale che, rispetto a quello (t,x,y,z) sussista la relazione t’=t+cost. In RS questo non e’ piu’ vero. Lo spazio

definito a t costante non e’ in generale equivalente a quello definito a t’ costante.

Possiamo comunque definire in modo univoco un intervallo spazio-temporale, che specifica la distanza tra due eventi infinitamente vicini e che non dipende dalla scelta

delle coordinate. In RS questo intervallo, espresso in coordinate Cartesiane, e’

€

ds2 = −(cdt)2 + dx 2 + dy 2 + dz2 =ηµν dxµdxν

Dove abbiamo introdotto la Metrica (o tensore metrico) di Minkowski ηµν che specifica le proprieta’ geometriche dello spazio tempo. La quantita’ c e’ una costante che sperimentalmente coincide con la velocita’ della luce nel vuoto.

t

),( oi txA =

y

x

),( 1txB j=Futuro

Passato

Altrove

Cono di Luce

Un intervallo e’ detto: • Di tipo Tempo se ds2<0. Questo intervallo e’ interno al cono luce. • Di tipo Luce se ds2=0 Esso definisce le pareti cono luce. • Di tipo Spazio se ds2>0 Esso e’esterno al cono luce). Poiche l’intervallo ds2 e’ invariante per cambio di coordinate, neppure la sua tipologia varia. Consideriamo unita’ naturali (c=1). Per intervalli di tipo tempo e’ conveniente definire il tempo proprio dτ2=-ds2 che rappresenta l’intervallo temporale infinitesimo misurato da un osservatore ad una locazione spaziale fissata. Convine anche definire la distanza propria misurata allo stesso tempo τ:

€

dl2 = dx 2 + dy 2 + dz2 = ds2

Tempo proprio τ e coordinata temporale t non sono necessariamente coincidenti. Questa differenza e’ all’origine di alcuni “paradossi” della RS, come quello dei gemelli.

Si consideri il tempo proprio misurato luno 2 diverse traiettorie con identici punti di partenza e di arrivo, A e C. Consideriamo 2 traiettorie: ABC ed AB’C. Nella seconda

traiettoria il punto B’ viene raggiunto con velocita’ costante v=Δx/Δt per poi poi arrivare al punto C con velocita’ -v.

x

t

A

C

B’ B €

ΔτAB =12Δt

€

ΔτAB ' =12Δt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

− Δx 2 =121− v 2Δt

€

ΔτABC = Δt

€

ΔτAB 'C = 1− v 2Δt < Δt = ΔtABC

€

ΔτAB 'C < ΔτABCQuesto risultato costituisce il famoso

paradosso dei gemelli

+ v

- v

Obiettivo della RS e’ quello di definire le trasformazioni tra sistemi inerziali. Queste vengono definite imponendo che l’intervallo spazio-temporale ds2 sia

invariante per traslazioni xµ’=δµµ’(xµ+aµ), per rotazioni spaziali e per boost ovvero

per un offset rappresentato da un vettore velocita’

Questa classe di trasformazioni e’ detta delle trasformazioni di Lorentz: xµ’=Λµ’

ν xν or x’=Λx η=ΛTη Λ or ηρσ=Λµ’

ρηµ’ν’Λν’σ= Λµ’

ρΛν’σηµ’ν’

€

coshϕ −sinhϕ 0 0−sinhϕ coshϕ 0 00 0 1 00 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Questa rappresenta una rotazione nel piano x-y

€

1 0 0 00 cosϑ sinϑ 00 −sinϑ cosϑ 00 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Questa rappresenta un boost in direzione x

Dalle trasformazioni boost-like e’ immediato ricavare le note formule relative alla contrazione spaziale e del ritardo temporale

In ogni punto dello spazio tempo possiamo definire un vettore (campo vettoriale) che, grazie alla metrica di Minkowski, sappiamo trasportare in ogni altro punto dello

spazio tempo. Cosa che non si puo’ fare in presenza di una curvatura, ovvero di una diversa metrica dello spazio-tempo. E’ quindi utile pensare i vettori in modo locale,

associati ad un punto dello spazio tempo, senza presumere di poterli trasportare da un punto ad un altro in modo univoco, come accade in uno spazio piatto.

L’insieme dei vettori definiti relativamente ad punto p e’ detto Spazio Tangente a p, un nome che deriva dall’associare un piano tangente in p ad una varieta’ curva. Lo spazio tangente puo’ essere pensato come spazio vettoriale, ovvero un insieme di

vettori che possono essere composti linearmente tra loro.

E’ spesso utile decomporre I vettori rispetto ad un sistema di basi. Una base e’ un insieme di vettori definiti nello spazio vettoriale per cui ogni vettore e’

decomponibile in termini delle basi mentre, viceversa, i vettori basi non sono ulteriormente decomponibili. La scelta delle basi possibili e’ infinita, ma il numero di vettori che compone la base, ovvero la dimensione dello spazio, e’ sempre la stessa.

Ogni vettore A e’ quindi decomponibile in termini delle basi e

Tipico e’ il vettore tangente ad una curva di tipo tempo:

€

A = Aµ ˆ e (µ ) Aµ = componenti

Mentre il vettore in se’ non varia. Cio’ ci permette di ricavare la regola di trasformazione per i vettori base dove e’ la trasformazione inversa.

I vettori le cui componenti (e basi) si trasformano secondo le regole di cui sopra sono detti vettori controvarianti e sono denotati da indici in basso

In maniera analoga, dato p si puo’ definire uno spazio vettoriale cotangente, duale dello spazio tangente. Lo spazio duale di uno spazio vettoriale e’ definito come lo spazio di tutte le mappe lineari dallo spazio vettore allo spazio reale. Tali mappe formano esse stesse uno spazio vettoriale. I vettori di tale spazio vengono detti vettori covarianti e si indicano con indici in alto. Le regole di trasformazione sono:

Un tipico esempio e’ il vettore tangente ad una curva xµ(λ):

€

V µ =dxµ

dλSotto una trasformazione, (es. di Lorentz), le componenti si modificano

€

V µ' = Λνµ 'V ν

€

Λν 'µ

€

e(ν ' ) = Λν 'µ e(µ )

€

w = wµ'ˆ θ µ ' wµ' = Λµ '

ν wν θ ρ ' = Λσρ 'θσ θσeρ = δρ

σ

Un tipico esempio di vettore covariante e’ il gradiente di una funzione scalare

I tensori possono essere definiti generalizzando ulteriormente le definizioni precedenti. Definiamo tensore una mappa lineare tra spazi vettoriali e/o duali e lo spazio reale. P. es. un tensore di ordine (k,l) e’ definito come

Dove X rappresenta il prodotto Cartesiano e * si riferisce ai vettori duali. Cosi’ che TpxTp rappresenta lo spazio delle coppie ordinate di vettori.

Essendo una mappa lineare, un tensore agisce linearmente su ogni argomento. Un tensore (0,0) e’ uno scalare. Uno (1,0) e’ un vettore. Uno (0,1) e’ un vettore duale.

Lo spazio formato da tensori di uno ordine (k,l) e’pure uno spazio vettoriale in cui, oltre alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare si definisce il prodotto tensoriale.

Il prodotto tensoriale tra 2 tensori di ordine (k,l) ed (m,n) e’ definito come

€

T ⊗ S(w(1),...,w(k+m ),V (1).,...,V ( l+n )) =

= T(w(1),...,w(k ),V (1).,...,V ( l )) × T(w(k+1),...,w(m ),V (l+1).,...,V ( l+n ))

Il che ci permette di definire un set di basi per lo spazio dei tensori di ordine (k,l) e,rispetto a queste, ricavare le componenti del tensore.

€

T :Tp* × ...× Tp

* ×k−volte

Tp × ...× Tpl−volte

→R

€

ˆ e (µ1) ⊗ ...⊗ ˆ e (µk ) ⊗ˆ θ (ν1) ⊗ ...⊗ ˆ θ (νn )

€

T = Tν1...νnµ1...µk ˆ e ( µ1) ⊗ ...⊗ ˆ e ( µk ) ⊗

ˆ θ (ν1) ⊗ ...⊗ ˆ θ (νn ) ≡ Tν1...νnµ1...µk

Il modo in cui i tensori agiscono su vettori e vettori duali e’ simile a quello in cui I vettori duali agiscono sui vettori:

Il modo in cui le componenti di un tensore si modificano sotto trasformazioni (es. di Lorentz) e’ ricavabile dalle analoghe leggi per i vettori e i vettori duali.

I tensori possono essere piu’ operativamente definiti come tabelle di numeri, rappresentabili come matrici, che si trasformano sotto le regole che abbiamo visto.

Non bisogna dimenticare che, in RG, tensori e campi tensoriali sono sempre definiti relativamente ad un punto dello spazio-tempo

€

V µ = T µνV ν U µ

ν = T µσUσ

ν

€

T(w(1),...,w(k ),V (1).,...,V ( l )) = T µ1...µkν1...νlwµ1

(1)...wµk(k )V (1)ν1...V (l )νl

L’ordine degli indici e’ importante poiche’ il tensore non agisce necessariamente allo stesso modo su tutti i vettori.

Anche se I tensori sono definiti come mappe lineari su R nulla vieta di applicarli a collezioni di argomenti per ottenere mappe su campi vettoriali o tensoriali

Un esempio gia’ incontrato e’ quello dal tensore metrico grazie al quale possiamo definire il prodotto scalare nello spazio-tempo di Minkowski

€

ηµν

Altro esempio di tensore (1,1) e’ la δ di Kronecker, δµρ, che definisce la mappa

identita’ tra vettori e vettori. Legata a questa quantita’ e’ la metrica inversa:

€

ηµνVµV ν

< 0 V µ

= 0 V µ

> 0 V µ

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

e' di tipo tempo e' di tipo luce e' di tipo spazio

€

A⋅ B =ηµν AµBν

A e B sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare si annulla. Il prodotto scalare, essendo uno scalare, e’ invariante per trasformazioni di Lorentz. La norma di un vettore e’ definita come il prodotto scalare del vettore con se’ stesso.

Diversamente dal caso Euclideo non e’ necessariamente positiva.

€

ηµνηνρ =ηρνηνµ = δρ

µ che, in uno spazio di Minkowski, ha le stesse componenti del tensore metrico. Questa

proprieta’ non e’ piu’ valida in caso di spazi curvi/

Le operazioni “permesse” tra tensori li trasformano in altri tensori (ovviamente si possono anche eseguire altre operazioni che pero’, in generale, hanno una validita’ solamente locale). Una operazione importante e’ la contrazione, che trasforma un tensore (k,l) in uno (k-1,l-1) sommando su un indice in alto e su uno in basso:

€

Sµρσ = T µνρ

σν T µνρσν ≠ T µρν

σν

dove la seconda diseguaglianza indica che l’ordine degli indici conta

Infine nello spazio di Minkowski e’ possibile definire la derivata parziale di un tensore (che e’ pure un tensore).

€

∂αRµν = Tα

µν

Il tesore metrico puo’ essere usato per alzare o abbassare gli indici

€

Tαβµδ =ηµνTαβνδ Tµ

βγδ =ηµαT

αβγδ

Questa operazione non modifica la posizione relativa degli indici. Questa operazione trasforma vettori in vettori duali e viceversa

€

Vδ =ηδαVα wβ =ηβνwν

Si definiscono tensori simmetrici in n indici quelli che non varano scambiando n indici tra loro. In modo analogo si definiscono i tensori antisimmetrici.

Le rappresentazioni dei tensori dipendono dal sistema di coordinate utilizzato. Le RELAZIONI tra tensori NON DIPENDONO dal sistema di coordinate.

   

€

U µ =dxµ

dτ ηµνU

µUν = −1

Il quadrimomento e’ definito come: Il parametro m definisce la massa

mentre l’energia E=p0 e non si conserva. Tuttavia nel sistema della particella:

Nel limite Newtoniano di basse velocita’ v<<1

Per una particella che si muove su una traiettoria di tipo tempo e’ conveniente parametrizzare la sua linea di

mondo utilizzando il tempo proprio. In questo caso il vettore tangente e’ la quadrivelocita’.

€

pµ = m dxµ

dτ= mU µ

   

€

pi = 0 E = p0 = m = mc 2

In un sistema in moto uniforme le componenti di p sono ottenute attraverso

una trasformazione di Lorentz. Se consideriamo un sistema in moto lungo

l’asse x con velocita’ v:    

€

pµ = (γm,γmv,0,0) γ = 1/ 1− v 2

pµ pµ = −m2 E = m2 + ˆ p 2 ˆ p 2 = δij pi p j

   

€

p0 = m +12mv 2

p1 = mv

Per un sistema di particelle che descriviamo come un fluido continuo il concetto di quadrimomento e’ generalizzato dal Tensore Energia-Momento Tµν

Questo e’ un tensore simmetrico che misura il flusso di momento attraverso superfici con xµ costante. Per cui:

• T00 e’ il flusso di energia nel tempo = densita’ di energia • T01=T10 e’ la densita’ di momento. • Tij=stress=flusso di momento=forze tra elementi di fluido. • Tij (elementi non diagonali)=viscosita’ • Tii=forza per unita’ di area nella direzione i =pressione

La pressione in ogni direzione e’ zero, come ci si aspetta:

Consideriamo il caso di un fluido di polvere ovvero composto di particelle con velocita’ relativa nulla. La quadrivelocita’ Uµ e’ costante in ogni punto.

Definiamo il quadrivettore flusso numerico Nµ=nUµ dove n e’ la densita’ numerica di particelle misurata nel loro sistema a riposo. N0 e’ la densita’ misurata

in ogni altro sistena e Nι e’ il flusso di particelle lungo xi. Se le particelle hanno la tesssa massa m allora ρ=mn e’ la densita’ di energia

della polvere nel sistema delle particelle. m ed n sono le componenti 0 dei quadrivettori Nµ=(n,0,0,0) e pµ=(M,0,0,0) o la componente 0-0 del tensore sempre misurata nel sistema a riposo. E’ quindi naturale definire il

tensore energia-momento per un fluido di polvere:

€

Tµη = pµNν = mnU µUν = ρU µUν€

p⊗N

L’ovvia generalizzazione dal fluido di polvere sembrerebbe essere:

Per un fluido perfetto e non viscoso, ovvero un fluido che sia completamente definito da densita’ e pressione isotropa nel sistema di riferimento del fluido in

quiete. Una conseguenza dell’isotropia e’ che il tensore energia-momento e’ diagonale nel sistema in quiete. Inoltre le componenti diagonali spaziali devono

tutte essere uguali. Il tensore T nel sistema di riferimento in quiete e’ quindi

€

Tµη = (p + ρ)U µUν + pηµν

€

∂µTµν = 0

ν = 0→continuityν ≠ 0→Euler

⎧ ⎨ ⎩

€

ρ 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

€

Tµη = (p + ρ)U µUν

Che pero’ non ha termini di pressione. La generalizzazione diventa

Oltre ad essere diagonale il tensore energia-momento e’ conservato