Lezione 14 1

Lezione 14 2

Funzioni di trasferimento

Lezione 14 3

Introduzione

Lezione 14 4

Cosa c’è nell’Unità 4

• In questa sezione si affronteranno:– Introduzione– Uso dei decibel e delle scale logaritmiche– Diagrammi di Bode

Lezione 14 5

Funzione di trasferimento• Si consideri una rete con ingresso s(t) ed un uscita y(t)

• Si lavori nel dominio delle frequenze

• Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata di Fourierdell'uscita e quella dell'ingresso:

( )( )( )

YH jSωωω

=

Lezione 14 6

Esempio

• Si consideri la rete nel dominio di Fourier

ingresso: e(t)uscita: v(t)funzione di trasferimento

( ) 1( )( ) 1

VH jE j RCωωω ω

= =+

Lezione 14 7

Introduzione

Lezione 14 8

Filtro passa basso 1/3 • Importanza funzioni trasferimento

• È molto difficile prevedere nel tempo quale potrebbe essere l'andamento dell'uscita v(t) facendo variare l'ingresso e(t).

• Lavorando però nel dominio delle frequenze si hanno relazioni algebriche. Tutto diventa semplice

Lezione 14 9

Filtro passa basso 2/3

• Per elevati valori della frequenza la funzione di trasferimento tende ad annullarsi

• La rete filtra, cioè lascia passare solo le frequenze più basse contenute nel segnale e(t).

• La banda del segnale di uscita si riduce rispetto a quella dell'ingresso nel senso che sono praticamente eliminate tutte le frequenze superiori ad un certo valore.

Lezione 14 10

Filtro passa basso 3/3

• Il circuito si comporta quindi come un filtro passa basso.

1( )1

H jj RC

ωω

=+

Lezione 14 11

Filtri passa alto e passa banda1/2

• Tutte le reti dinamiche hanno proprietà filtranti.

• Il circuiti indicato a sinistra rappresenta un filtro passa alto. Il circuito a destra un filtro passa banda.

Lezione 14 12

Filtro passa alto e passa banda2/2

• Il comportamento di un filtro dipende da come si comporta al variare della frequenza il modulo della funzione di trasferimento ossia dalla sua banda

• La banda della funzione di trasferimento è costituita dagli intervalli di frequenza dove il suo modulo è convenzionalmente significativo

Lezione 14 13

Introduzione

Lezione 14 14

Significato 1/2 • La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita

della rete quando l’ingresso è il segnale impulsivo:

– La funzione di trasferimento è una trasformata di Fourier

– Nel dominio del tempo la funzione di trasferimento è un segnale

• Conseguenza: *( ) ( )H j H jω ω− =

Lezione 14 15

Significato 2/2

– Il modulo della funzione di trasferimento è funzione pari della frequenza

– La fase della funzione di trasferimento è funzione dispari della frequenza

Lezione 14 16

Notazione più semplice• Per rendere più evidenti le proprietà delle

funzioni di trasferimento conviene introdurre la pulsazione complessa

• La funzione di trasferimento viene quindi scritta

• Esempio per il filtro passa basso:

s jω=

( ) ( )H j H sω =

1( )1

H ssRC

=+

Lezione 14 17

Dominio dei fasori 1/2

• Per le reti in regime sinusoidale con pulsazione , indicando con Y il fasoreassociato all’uscita e con S il fasoreall’ingresso vale la seguente proprieta:

oω

( )oY H jS

ω=

Lezione 14 18

Dominio dei fasori 2/2

• Se l’ingresso è somma di due o più sinusoidi non isofrequenziali:

• A regime l’uscita vale:

1 1 1 2 2 2( ) cos( ) cos( ) ...m ms t S t S tω ϕ ω ϕ= + + + +

1 1 2 21 1 2 2( ) Re[ ( ) ] Re[ ( ) ] ...j j t j j t

m my t H j S e e H j S e eϕ ω ϕ ωω ω= + +

Lezione 14 19

Esempio 1 1/3

• Nel filtro passa basso con R= 1 k ohm, C=1 nF, l’ingresso vale:

determinare l’uscita v(t) a regime

6( ) 0.5 0.5cos(1000 ) 10cos(10 )e t t t= + +

Lezione 14 20

Esempio 1 2/3

• Risulta: RC=10-6,

1 1 1

1 6

2 2 2

2 6

0, 0.5, 0,1( ) (0) 1

1 10 01000, 0.5, 0,

1 1000000 1000( ) ( 1000)1 10 1000 1000001 1000001

m

m

S

H j Hj

S

H j H j jj

ω ϕ

ω

ω ϕ

ω

−

−

= = =

= = =+ ×

= = =

= = = −+ ×

Lezione 14 21

Esempio 1 3/3 6( ) 0.5 0.5cos(1000 ) 10cos(10 )e t t t= + +

1 1 2 21 1 2 2

6 6

( ) Re[ ( ) ] Re[ ( ) ] ...0.5 0.5cos(1000 ) 0.0005sin(1000 )5cos(10 ) 5sin(10 )

j j t j j tm my t H j S e e H j S e et t

t t

ϕ ω ϕ ωω ω= + + =

= + + +

+ +

63 3 3

63 6 6

10 , 10, 0,1 1 1( ) ( 10 )

1 10 10 2 2

mS

H j H j jj

ω ϕ

ω −

= = =

= = = −+ ×

Lezione 14 22

Esempio 2 1/2

• In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento:

2

3 2

3 1( )6 11 6

s sH ss s s

+ +=

+ + +

Lezione 14 23

Esempio 2 2/2• L’ingresso della rete sia dato da:

determinare l’uscita y(t) a regime: regimesinusoidale con

il fasore associato all’ingresso è:il fasore associato all’uscita risulta:

uscita:

( ) 3sin(4 )s t t=

4oω =

3S j= −

2

3 24

3 1 99 207( ) ( 4)( 3) ( 3)6 11 6 260 260o

s j

s sY H j S H j j j js s s

ω=

+ += = − = − = − −

+ + +

99 207( ) cos(4 ) sin(4 )260 260

y t t t= − +

Lezione 14 24

• L’ingresso della rete sia dato da:

Determinare l’uscita y(t) a regime utilizzando la formula generale

Esempio 3

• In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: 2

3 2

3 1( )6 11 6

s sH ss s s

+ +=

+ + +

( ) 30 10cos(2 )s t t= +

2 69 33( ) 30 (0) Re[ ( 2)10 ] 5 cos(2 ) sin(2 )26 26

j ty t H H j e t t= + = + +

Lezione 14 25

Dominio di Laplace 1/2 • Per le reti inizialmente scariche, indicando con

S(s) la trasformata di Laplace dell’ingresso e con Y(s) la trasformata di Laplace dell’uscitavale la seguente proprietà:

• Poichè la funzione di trasferimento rimane sempre la stessa nel dominio dei fasori, nel dominio di Fourier e nel dominio di Laplace, si parla di H(s) definita nel dominio delle frequenze senza ulteriori specificazioni

( ) ( )( )

Y s H sS s

=

Lezione 14 26

• La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita della rete quando l’ingresso è il segnale impulsivo:– La funzione di trasferimento H(s) è una trasformata di

Laplace– H(s) è una funzione analitica che possiede un

semipiano destro di regolarità dove essa ha crescita lenta

– Per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa

– In generale i poli di H(s) coincidono con i poli della rete

Dominio di Laplace 2/2

Lezione 14 27

Proprietà 1/2 • Nelle reti a parametri concentrati:

– La funzione di trasferimento H(s) è una funzione razionale fratta in s

– I coefficienti dei polinomi che definiscono il numeratore ed il denominatore di H(s) sono reali

• se esiste uno zero (polo)di H(s) complesso, esiste anche lo zero (il polo) complesso coniugato.

– Gli zeri del denominatore costituiscono i poli della funzione di trasferimento

Lezione 14 28

– Gli zeri del numeratore costituiscono gli zeri della funzione di trasferimento

– Per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa

• In una rete stabile, i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale non positiva

• Gli zeri di una funzione di trasferimento possono avere parti reali positive (reti a fase non minima)

• In generale i poli della funzione di trasferimento non dipendono né dall’ingresso, né dall’uscita considerate

Proprietà 2/2

Lezione 14 29

• La funzione:

non è una funzione di trasferimento

• Infatti posto

si ha:

Esempio

3 3

2 2

1 3 1 3( 9) ( 9)

j sj s s

ωω ω− −

= −− +

s j j sω ω= ⇒ = −

3

2

1 3( 9)j

ωω ω−

−

Lezione 14 30

Introduzione

Lezione 14 31

Esempio 1 1/4

• Nel circuito in figuraa) calcolare la funzione di trasferimento H(s)=I/Eb) posto L=0.1 H, C=2F, R=1 ohm, alfa=6,

calcolare i poli e gli zeri di H(s)

Lezione 14 32

Esempio 1 2/4 • Rete nel dominio delle frequenze

– Sovrapposizione degli effetti:

21

( 1)1 1 1

xx x

sL sC E s LC IE sCI IR sL R sL R sL

sC sC sC

αα+ + +

= + =+ + + + + +

Lezione 14 33

Esempio 1 3/4

• Risolvendo rispetto Ix:

ne consegue:

Risposta a:

2(1 ) 1xsCI E

s LC sRCα α=

− + + −

2

(1 )(1 )(1 ) 1x

sCI I Es LC sRC

ααα α

−= − =

− + + −

2

(1 )( )(1 ) 1

I sCH sE s LC sRC

αα α

−= =

− + + −

Lezione 14 34

Esempio 1 4/4

• Con i dati indicati

Risposta b:– zero in zo =0– poli in p1,2=

• Rete instabile

2

10( )2 5sH s

s s=

− +

1 2j±

Lezione 14 35

Esempio 2 1/3

• Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze– calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E

Lezione 14 36

Esempio 2 2/3

• Circuito equivalente

• Applicando Millman:

1 2

(1 ) (1 2 )1 1|| (1 1/ )1 1 4 21 1|| (1 1/ )

E Vs E s VsVs ss

s

++ + ++= =

+ ++ ++

1

12

1 1/ 01 1 11 1/

V VV sVsV V V

ss

− +

+ += = = = =

++

Lezione 14 37

Esempio 2 3/3 • L’equazione

• porge:

• Sostituendo in

si ottiene:

• Funzione di trasferimento:

1 2

(1 ) (1 2 )4 2

s E s VVs s

+ + +=

+ +

12 0

1V sVV

s+

= =+

1V sV= −

3 2 2

1 14 4 1 3 1

sV E Es s s s s

+= − = −

+ + + + +

2

1( )3 1

H ss s

= −+ +

Lezione 14 38

Esempio 3 1/4

• Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze– calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E

Lezione 14 39

Esempio 3 2/4

• Circuito equivalente

• Applicando Millman:

11 (1/ ) || (1 1/ )

1 1 11 1 (1/ ) || (1 1/ )

E Vs sV

s s

++=

+ ++

1

12

1 1/ 01 1 11 1/

V VV sVsV V V

ss

− +

+ += = = = =

++

Lezione 14 40

Esempio 3 3/4• L’equazione

porge:

• Sostituendo in

si ottiene:

• Funzione di trasferimento:

12 0

1V sVV

s+

= =+

11V Vs

= −

11 (1/ ) || (1 1/ )

1 1 11 1 (1/ ) || (1 1/ )

E Vs sV

s s

++=

+ ++

2 2 2sV E

s s= −

+ +

2( )2 2sH s

s s= −

+ +

Lezione 14 41

Procedimento con il metodo dei nodi

1 11 1

2

1

nodo 1 : ( )1 1

1

nodo 2 : s 01

E V Vs V V sV

sV Es s

VV

−= − + +

⇒ = −+ +

+ =

Esempio 3 4/4

Lezione 14 42

Esempio 4

Lezione 14 43

Altro metodo per l’esempio 4

Lezione 14 44

Introduzione

Lezione 14 45

Risuonatori• I circuiti risuonatori sono particolari circuiti che

hanno una funzione di trasferimento che presenta una banda molto stretta nell'intorno di una pulsazione che prende il nome di pulsazione di risonanza.

Risuonatoriserie

Risuonatoriparallelo

Lezione 14 46

Risuonatore parallelo 1/4

• Funzione di trasferimento

( ) 1 1( ) || ( ) || 1 1( )V sH s R sLA s sC sC

sL R

= = = + +

1( ) 1 1H jj C

j L R

ωω

ω

=+ +

Lezione 14 47

Risuonatore parallelo 2/4 • Funzione di trasferimento:

• Parametri del risuonatore parallelo:

– pulsazione di risonanza:

– fattore di qualità:

1o LC

ω =

1( ) 1 11 o

o

RH jj C j Qj L R

ωωωω

ω ω ω

= = + + + −

oQ RCω=

Lezione 14 48

Risuonatore parallelo 3/4 • Spettro di ampiezza della funzione di

trasferimento– la banda è centrata nella pulsazione di risonanza.– al crescere di Q diminuisce la banda

Lezione 14 49

Risuonatore parallelo 4/4 • Larghezza di banda (a 3 dB) della funzione di

trasferimento– la banda viene definita dall’intervallo di pulsazione

dove lo spettro risulta nel margine di 3 dB dal valoremassimo

oBQω

≈

– per valori elevati di Q risulta:

Lezione 14 50

Espressione generale di Q • In un risuonatore arbitrario che funziona in

regime sinusoidale alla pulsazione di risonanza– la somma W della energia sul condensatore e

dell’energia sull’induttore non varia nel tempo– in un periodo viene dissipata una energia che è pari

alla potenza attiva moltiplicata il periodo• Il fattore di qualità Q è espresso anche dalla

formula:

2energia dissipata in un periodo

WQ π=

Lezione 14 51

Esempio

• Valutare il fattore di qualità di un risuonatoreche lavorando alla frequenza di fo= 1 MHz abbia un banda di Bf= 1 kHz

– Risulta: 6

3

10 100010

o o

f

fQB Bω

= = = =