ley hooke grupal definitiva
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LEY GENERALIZADA DE HOOKE
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RESISTENCIA DE MATERIALES LEY GENERALIZADA DE HOOKE
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Tabla de contenido
INDICE DE GRAFICOS ..................................................................................................................................... 3
INTRODUCCIN ............................................................................................................................................. 4
TEMA ............................................................................................................................................................. 5
OBJETIVOS ..................................................................................................................................................... 5
OBJETIVO GENERAL................................................................................................................................... 5
OBJETIVOS ESPECIFICOS ........................................................................................................................... 5
MARCO TEORICO .......................................................................................................................................... 5
DEFINICIONES BASICAS ............................................................................................................................. 5
LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES ........................................................................................ 13
Ley de Hooke para Esfuerzos Biaxiales ........................................................................................... 13
Ley de Hooke para Esfuerzos Triaxiales .......................................................................................... 14
INSTRUMENTOS .......................................................................................................................................... 15
MEDIOS ....................................................................................................................................................... 15
EJERCICIOS DE APLICACIN ........................................................................................................................ 16
EJERCICIO N.- 1 ............................................................................................................................................ 16
EJERCICIO N.- 2 ............................................................................................................................................ 17
La deformacin volumtrica ser: .............................................................................................................. 19
De esta manera, la variacin absoluta de volumen es: .............................................................................. 19
APLICACIONES ............................................................................................................................................. 20
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...................................................................................................... 20
CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 20
RECOMENDACIONES ................................................................................................................................... 20
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 20
ANEXOS ....................................................................................................................................................... 21
PRACTICA LEY DE HOOKE ..................................................................................................................... 22
CARACTERISTICAS DE ETABS 9.7.4: ......................................................................................................... 25
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INDICE DE GRAFICOS
GRAFICO 1 Traccin, compresin, torsin...........7
GRAFICO 2 Tensin.....7
GRAFICO 3 Compresin......8
GRAFICO 4 Esfuerzo Cortante.....9
GRAFICO 5 Deformacin.....9
GRAFICO 6 Materiales Frgiles y Dctiles....11
GRAFICO 7 Esfuerzos Principales....13
GRAFICO 8 Esfuerzo Normal y Tangencial...14
GRAFICO 9 Pilar de un puente.....16
GRAFICO 10 Cubo de Aluminio......17
GRAFICO 11 Ejercicio N.-3........20
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RESISTENCIA DE MATERIALES LEY GENERALIZADA DE HOOKE
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INTRODUCCIN
La resistencia de materiales clsica es una disciplina de la ingeniera mecnica y la ingeniera estructural
que estudia los slidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se
define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones
permanentes o deteriorarse de algn modo.
Un modelo de resistencia de materiales establece una relacin entre las fuerzas aplicadas, tambin
llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las
simplificaciones geomtricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicacin de las cargas hacen
que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.
La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es vlida dentro de lo
que se denomina rgimen lineal elstico. Esta ley establece que si la tensin normal se mantiene por
debajo de un cierto valor, llamado tensin de proporcionalidad, las deformaciones especficas y las
tensiones son directamente proporcionales.
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TEMA
LEY GENERALIZADA DE HOOKE
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Analizar y Sintetizar los conceptos, formulas y aplicaciones de la Ley Generalizada de Hooke.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Estudiar los conceptos bsicos de la Ley de Hooke, para comprender la aplicacin de cada una de las
formulas aplicables en la resolucin de problemas.
Aprender a razonar y resolver ejercicios aplicando la ley de Hooke, as como construir sus respectivos
diagramas, para facilitar el clculo de los mismos.
Demostrar con una aplicacin la Ley de Hooke, y sintetizar todos sus conceptos.
MARCO TEORICO
DEFINICIONES BASICAS
Cuando una barra se estira debido a las fuerzas F, los esfuerzos son esfuerzos de tensin o esfuerzos de
traccin; si las fuerzas tienen direccin contraria y hacen que la barra se comprima, se trata de esfuerzos de
compresin. Siempre que los esfuerzos acten en una direccin perpendicular a la superficie del corte, este es
el esfuerzo normal.
Ley Generalizada de Hooke
Un medio se dice que es elstico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y deformaciones son cero, y al
cual se puede volver luego de que las fuerzas aplicadas son removidos.
Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones cambian juntos, y las relaciones entre estos,
denominadas relaciones constitutivas, son una importante caracterstica de los medios.
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Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace ms de 300 aos atrs, con las determinaciones
experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre cuerpos elsticos.
Hooke concluy que el esfuerzo es proporcional a la deformacin.
Propiedades de los slidos.
En los slidos, las molculas, estn muy juntas y es por eso que tienen poco espacio entre ellas. Estas son
algunas de sus caractersticas:
Forma propia, volumen determinado, son compresibles (no iguales a los gases) densidad elevada, no se
difunden, las molculas ocupan posiciones fijas y solo tienen movimientos vibratorios porque en ellos
predomina la cohesin.
Una propiedad importante que tienen los slidos es la elasticidad
Propiedad de la elasticidad.
Es la propiedad que tienen los materiales o cuerpos de recuperar su forma original cuando cesa la fuerza o
esfuerzo que los deforma.
Esto me lleva a comentar que una DEFORMACION, es el cambio de forma geomtrica producida por una fuerza
aplicada a un cuerpo y se puede medir.
Es decir, que si aplicamos una fuerza a un slido, este se deforma proporcionalmente a la fuerza aplicada, cuan
mayor sea la fuerza, mayor la deformacin. Ejemplo bsico, son los resortes. Este comportamiento nos arroja
una grfica de forma lineal, mientras no sobrepase el lmite elstico permitido del material.
Existen tres maneras para someter a esfuerzo un material: traccin o tensin, compresin y torsin
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T
T
Lo
Que sucede en cada caso.
1. En la traccin, la probeta, aumenta su longitud, disminuye su rea pero
aumenta su volumen, ya que aumenta el espacio entre las molculas.
2. En la compresin, disminuye su longitud, aumenta su rea y tambin
disminuye su volumen, ya que elimina el poco espacio haba entre ellas.
3. Para este caso, la torsin, generar un ngulo de giro, producido por un
par aplicado
Esfuerzo de Tensin
Es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material. Donde las fuerzas que actan sobre el mismo
tienen la misma direccin, magnitud y sentidos opuestos hacia fuera del material. Como se muestra en la
siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:
GRAFICO N.- 1: Traccin, Compresin, Torsin FUENTE: http://albapendiente.blogspot.com/
GRAFICO N.- 2: Tensin FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g./ Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg.,
52
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T
T
Lf
Esfuerzo de compresin
Es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga y acortar al miembro en s. Donde las fuerzas
que actan sobre el mismo tienen la misma direccin, magnitud y sentidos opuestos hacia dentro del material.
Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:
Esfuerzo Cortante Simple
Este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza acta de forma tangencial al rea de corte. Como se
muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:
GRAFICO N.- 3: Compresin FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g. / Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg., 52
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Lf
CIRCULO DE MOHR
Los esfuerzos y tambin se pueden determinar en forma grfica, por medio del crculo de Mohr. El crculo de
Mohr es un conjunto de puntos geomtricos, cuyas abscisas y ordenadas son correspondientemente iguales a
los esfuerzos normal y tangencial, que surgen en los planos.
DEFORMACION
Son los cambios en la forma o dimensiones originales del cuerpo o elemento, cuando se le somete a la accin de
una fuerza. Todo material cambia de tamao y de forma al ser sometido a carga
GRAFICO N.- 4: Esfuerzo Cortante FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g./ Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg., 52
GRAFICO N.- 5: Deformacin FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g./ Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg., 60
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Deformacin longitudinal
Dnde:
Deformacin transversal
Dnde:
Poisson establece la relacin entre la deformacin unitaria transversal y la longitudinal era constante para cada
material, denominndose Relacin de Poisson.
Las deformaciones lineales en las direcciones de los ejes principales se llaman deformaciones principales.
Entre el esfuerzo normal y la deformacin, existe una deformacin lineal, llamada LEY DE HOOKE y se
determina con la siguiente formula:
Deformacin elstica
Es el grado con que una estructura o cuerpo se deforma dependiendo de la magnitud de tensin impuesta.
De esto resulta una relacin:
ESFUERZO = MODULO DE ELASTICIDAD X SU DEFORMACION UNITARIA
A esta relacin, se le conoce tambin como la LEY DE HOOKE, y se define como:
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LA DEFORMACION PRODUCIDA POR UN CUERPO, DETRO DE LOS
LIMITES ELASTICOS, ES PROPORCIONAL A LA FUERZA APLICADA
La forma de representacin grfica del comportamiento de algunos
materiales al someterlos a tensin o aplastamiento, la mayora de ellos
proponen una grfica, como la que se muestra. A estos materiales se le
conoce como FRAGILES
Existen otros materiales como el acero, que su comportamiento, adems
de similar a los anteriores, tienen otra zona entre la zona elstica y la zona
plstica y se reconoce como zona elastoplstica, capacidad que tienen para
soportar grandes cantidades de cargar antes de su ruptura. A este tipo de
material se le conoce como DCTILES.
Con lo anterior, podemos deducir que la zona de trabajo de elasticidad de un material, no debe sobrepasar el
lmite de elasticidad,
La ley de Hooke es entonces:
Siendo:
F= carga a o fuerza dado en Newton
A= seccin transversal en
MATERILES DUCTILES
GRAFICO N.- 6: Materiales Frgiles, y dctiles FUENTE: SINGER, Resistencia de Materiales, 4ta Edicin, pg. 61-65
MATERILES FRAGILES
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Aplica que debemos calcular la deformacin generada por este esfuerzo y es:
Dnde:
Entonces tenemos que:
Dnde:
De esta relacin, podemos obtener E la cual nos representa la rigidez de un material (se puede decir que
es una constante).Para calcular E, analizamos de manera dimensional su equivalencia y resulta:
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Esta relacin nos ayuda a:
conocer su zona elstica y se podr disear productos que eviten su ruptura
En otros casos saber hasta dnde se pueda deformar el material de manera permanente.
Saber la zona de rigidez y seleccionar el correcto para la aplicacin que se desea
LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES
Ley de Hooke para Esfuerzos Biaxiales
Esfuerzos Principales
Recordemos que para esfuerzos axiales
Por lo tanto:
Ahora:
Relacin unitaria en x= deformacin en x producida por + deformacin en x producida por
GRAFICO N.- 7: Esfuerzos Principales FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, Lima Per, 2010, Pg. 48.
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Calculemos la deformacin unitaria total en x producida por
Ley de Hooke para Esfuerzos Triaxiales
Esfuerzo Normal y Tangencial
Relacin unitaria en x= deformacin en x producida por + deformacin en x producida por +
deformacin en x producida por
Por lo tanto:
( )
GRAFICO N.- 8: Esfuerzo Normal y Tangencial FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, Lima Per, 2010, Pg. 49
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( )
A partir de estas expresiones obtenemos los esfuerzos:
[ ( )]
[ ]
[ ( )]
Cambio unitario de volumen o deformacin:
( )
La densidad total de energa de deformacin:
[
]
INSTRUMENTOS
Computadora (software Etabs 9.7.4), Maqueta de un puente colgante marca PASCO.
MEDIOS
Libros de Resistencia de Materiales, documentos de Internet y software q permitan la simulacin de esfuerzos y
deformaciones.
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EJERCICIOS DE APLICACIN
EJERCICIO N.- 1
PROBLEMA 1.18 Un pilar de un puente consta de dos partes prismticas, tal como se muestra en la figura y soporta
una carga P =380T. El peso especfico del material =2,2T / m3, el esfuerzo admisible por compresin es
[ ] y el mdulo de elasticidad E= 24000kg/cm^2.
Determinar el acortamiento del pilar.
Ahora, analizamos la parte inferior del pilar, calculando su rea A II:
Ahora, analizamos la parte inferior del pilar, calculando su rea :
GRAFICO N.- 9: Pilar de un puente FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, ejercicio 1.18, Lima Per, 2010, Pg. 28
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Asumimos:
Para calcular el acortamiento total del pilar, aplicamos el Principio de Superposicin de Cargas e
integramos en el caso del peso propio por cada tramo, as como el efecto de que el peso propio de la parte
superior despus de su accin se convierte en carga puntual para el otro tramo.
EJERCICIO N.- 2
Un cubo de aluminio de lado a=5cm, se coloca libremente sin holguras en un cuerpo slido
indeformable, tal como se muestra en la figura 2.25 y es comprimido por una fuerza P=180kN.
Determinar los esfuerzos principales y deformaciones principales para cualquier punto del cubo.
Calcular la deformacin volumtrica y la variacin absoluta de volumen, as como la densidad total
de energa de deformacin, densidad de la energa por variacin de volumen y densidad de la
energa por variacin de forma. Considere E = 0,7.105 M Pa , 0,36
GRAFICO N.- 10: Cubo de Aluminio FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, ejercicio 2.1, Lima Per, 2010, Pg. 70
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Solucin:
El cubo se encuentra en un estado de esfuerzo homogneo (igual en todos sus puntos) y en consecuencia se
puede aplicar la Ley de Hooke generalizada en su totalidad del elemento. El lado libre perpendicular al eje OZ
est achurado y libre de esfuerzos, esto es 0
El esfuerzo en los lados superior e inferior del cubo ser:
0, debido a
que por condicin del problema el cuerpo donde se coloca el cubo, es slido e indeformable.
A travs de la Ley de Hooke generalizada, tenemos:
[ ( )]
De donde:
Finalmente tenemos que:
Ahora determinamos las deformaciones principales:
[ ( )]
[ ]
[ ]
[ ]
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La deformacin volumtrica ser:
De esta manera, la variacin absoluta de volumen es:
Ahora calculamos la densidad total de energa de deformacin:
[ { }]
Las densidades de la energa por variacin de volumen y de forma sern:
[ ]
[ ]
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APLICACIONES
Aplicacin de La Ley de Hooke Generalizada
La ley de Hooke generalizada en el campo de ingeniera civil se aplica en su mayora en el clculo estructural,
siempre que el material no carezca de fluencia, como por ejemplo el hormign.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
La Ley de Hooke es aplicable en esfuerzos uniaxiales, biaxiales y triaxiales, puesto que todos los
cuerpos sufren una deformacin ya sea longitudinal o transversal al aplicarles una fuerza o
carga.
La ley de Hooke Generalizada se la define as a esta propiedad, ya que esta cumple en su
mayora en esfuerzos triaxiales, estudiando sus deformaciones.
Un cuerpo cuando llega a la zona plstica, ya no cumple con la ley de Hooke puesto que perdi
esta propiedad.
RECOMENDACIONES
Tomar en cuenta que en el hormign no se aplica la Ley de Hooke Generalizada, ya que este
carece de fluencia.
Intentar demostrar con un breve ensayo esta propiedad, para as reforzar los conocimientos y
comprender mejor el tema.
Los temas expuestos deben ser reforzados por el docente, para mejorar nuestra compresin y
razonamiento en la resolucin de ejercicios.
BIBLIOGRAFIA
Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, Lima Per, 2010, Pg.20-105
Ing. VILCHEZ Ramn, Resistencia de los Materiales gua N 2. Esfuerzos Simples, ao
2010; pginas: 3, 5, 6, 7, 8.
NASH William A. , Resistencia de Materiales de Schaum; pginas: 1-20
Beer Johnston Mecnica Vectorial Para Ingenieros - Esttica
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ANEXOS
GRAFICO N.- 12: Piezas del Puente
GRAFICO N.- 13: Pensando en el Diseo
GRAFICO N.- 20: Tirantes el puente
GRAFICO N.- 14: Armando las bases del Puente GRAFICO N.- 15: Armando las bases del Puente
GRAFICO N.- 16: Colocando los Cables del Puente
GRAFICO N.- 19: Colocando los Sensores en los cables del puente
GRAFICO N.- 18: Colocando los Cables del Puente
GRAFICO N.- 17: Armando el puente
GRAFICO N.- 21: Instalando el software Pasco Scientific
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PRACTICA LEY DE HOOKE
LABORATORIO DE ESTUDIOS ESPECIALIZADOS
OBJETIVO GENERAL:
Aclarar las ideas acerca de lo que se trata la ley de Hooke y demostrarla a travs de un ensayo casero
mediante la utilizacin de dos materiales elsticos.
OBJETIVOS ESPECFICOS:
Determinar la deformacin del elstico mediante la aplicacin sucesiva de pesos.
Determinar la deformacin del caucho mediante la aplicacin sucesiva de pesos.
MATERIALES UTILIZADOS:
Dos soportes.
Una varilla de 1 metro.
3 metros de piola
Una regla de 60 cm
Marcadores
Caucho de 10.1 cm
1 Pedazo de elstico.
1 tapa de 25cm de radio.
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PROCEDIMIENTO DE EL ENSAYO:
1. Colocamos los soportes con una varilla transversal entre ellos.
2. En uno de los soportes colocamos la regla de manera vertical
3. Colgamos el caucho de tal manera que se pueda medir con la regla el alargamiento del mismo.
4. En el extremo inferior del caucho colocamos el porta pesos casero.
5. Tomamos como referencia una medida de la regla (15.5cmen este caso) y colocamos una marca
sobre el caucho para de esta manera poder observar desde ese punto el alargamiento del
material.
6. En el porta pesos ubicamos el primer peso de 0.131 kg y procedemos a tomar la diferencia o
alargamiento que ser produjo en el cuerpo del caucho.
7. Repetimos este proceso varias veces y tomamos los datos respectivos de con incremento de
pesos y disminucin sucesiva de pesos respectivamente para comprobar que el material vuelve
a su estado original.
CALCULOS REALIZADOS:
Con la ayuda de la frmula conocida
=*
De esta frmula queremos obtener el mdulo de elasticidad del material para ello podemos calcular el
esfuerzo con los datos tomados de la prctica de la siguiente manera.
Tomando en cuenta que las fuerzas son el incremento de las masas y que el rea podemos calcularla
siendo esta (10*0.1)cm de esta manera procedemos a calcular sucesivamente cada uno de los
esfuerzos.
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Despus de obtenidos los esfuerzos procedemos a calcular la deformacin unitaria longitudinal
tomando en cuenta que la longitud inicial son los 10 cm del material y la longitud final ser la resta de la
lectura tomada como referencia y los datos de el alargamiento del material.
Ahora obtenidas las incgnitas calculamos el mdulo de elasticidad del material para esto con la ayuda
de Excel realizamos una grfica que contenga en el eje de las abscisas la deformacin longitudinal y en el
eje de las ordenadas el esfuerzo y con tringulos semejantes en esta grafica tomando los puntos que
formen un lnea recta procedemos a calcular.
CONCLUSIONES:
Podemos concluir que ningn material regresa a su estado original aunque es mnima su
deformacin.
Podemos concluir que la ley de Hooke acta en casi todos los elementos relacionados con la
construccin.
Actualmente estos clculos ya no se realizan manualmente debido a que existen tecnologas que
ayudan a optimizar tiempo.
RECOMENDACIONES:
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Al realizar el ensayo procurar el aumento o disminucin de pesos sea lo ms rpido posible ya
que esto influye en la deformacin del elemento.
Realizar las grficas en algn software para comprobar segn los criterios si hemos o no
realizado correctamente el ensayo.
CARACTERISTICAS DE ETABS 9.7.4:
ETABS es una propuesta especial de un Programa de diseo y anlisis sofisticado, pero fcil de usar, y
desarrollado especficamente para los sistemas de Edificacin. La versin 9 de ETABS ofrece un interfaz
grfico intuitivo y de gran alcance unido incomparables los procedimientos de modelar, analticos, y de
diseo, que han sido integrados usando una base de datos comn. Aunque es rpido y sencillo para
estructuras simples, ETABS puede ser usado en los modelos de edificaciones ms grandes y complejas,
incluyendo un amplio rango de comportamientos no lineales, que lo hacen la herramienta de opcin
para los ingenieros estructurales en el sector de la industria de la construccin.
Ventajas:
La mayora de los edificios se forman de geometra directa, con vigas horizontales y columnas
verticales. Aunque configurar cualquier edificio es posible con ETABS, en muchos de los casos,
un simple sistema de cuadricula definido por pisos horizontales y columnas verticales puede
establecer la geometra del edificio con un esfuerzo mnimo
Muchos de los niveles del piso en los edificios son similares. Esta concordancia se puede utilizar
numricamente para reducir esfuerzo computacional.
Las convenciones de entrada y de salida usadas corresponden a la terminologa comn de
edificaciones. Con ETABS, los modelos se definen de forma lgica piso por piso, columna por
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columna, tramo por tramo, muro por muro y no como corrientes de puntos no descritos y
elementos como lo hacen la mayora de los programas para fines generales. As la definicin
estructural es simple, sucinta y significativa.
En muchos edificios, las dimensiones de sus miembros son grandes en relacin a los grosores de
los tramos y alturas de los pisos. Esas dimensiones tienen efectos significativos en la densidad
de la barra. ETABS corrige para tales efectos en la formulacin de la rigidez de la pieza, de forma
diferente a la que lo hacen los programas de uso general que trabajan en dimensiones de a
lnea central.
Los resultados producidos por los programas deben ser usados de forma directa por el
ingeniero. Los programas de uso general producen resultados en los que se requiere de
procesos adicionales antes de que sean usadas en el diseo estructural.
Lo que ETABS Puede Hacer:
ETABS ofrece los surtidos ms amplios de herramientas de anlisis y de diseo disponibles para el
ingeniero estructural que trabaja en las estructuras de edificios. La siguiente lista representa solo una
porcin de los tipos de sistema y anlisis que ETABS puede manejar fcilmente:
Pisos mltiples con facilidades comerciales, gubernamentales y de salud.
Garajes de Estacionamiento con rampas circulares y lineales
Edificios escalonados armadura
Edificios con barras de Acero, Concreto o piso compuesto o de viguetas.
Edificios basados en sistemas de cuadricula o rejillas rectangulares o cilndricas.
Edificios de concreto Plano o losa aligerado (waffle)
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Edificios sujetos a cualquier combinacin de compartimientos verticales o laterales, incluyendo
cargas de viento y ssmicas automatizadas.
Respuestas mltiples a cargas de espectros, con curvas Mltiple integradas.
Transferencias de carga automatizadas en pisos y de vigas a muros.
Anlisis P-Delta con anlisis esttico y dinmico
Deformaciones explicitas de zona de panel
Construccin del anlisis de la secuencia de cargas.
Time History Mltiple de compartimientos de carga lineales y no lineales en cualquier direccin
Establecimiento de la Cimentacin/ Apoyo
Anlisis de Grandes Desplazamientos
Pushover lineal y esttico
Edificios con apagadores y aisladores base
Moldeado de pisos con diafragmas rgidos o semi-rgidos
Reducciones de carga vertical automatizadas, entre muchas ms.
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Tabla de contenido
INDICE DE GRAFICOS ..................................................................................................................................... 3
INTRODUCCIN ............................................................................................................................................. 4
TEMA ............................................................................................................................................................. 5
OBJETIVOS ..................................................................................................................................................... 5
OBJETIVO GENERAL................................................................................................................................... 5
OBJETIVOS ESPECIFICOS ........................................................................................................................... 5
MARCO TEORICO .......................................................................................................................................... 5
DEFINICIONES BASICAS ............................................................................................................................. 5
LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES ........................................................................................ 13
Ley de Hooke para Esfuerzos Biaxiales ........................................................................................... 13
Ley de Hooke para Esfuerzos Triaxiales .......................................................................................... 14
INSTRUMENTOS .......................................................................................................................................... 15
MEDIOS ....................................................................................................................................................... 15
EJERCICIOS DE APLICACIN ........................................................................................................................ 16
EJERCICIO N.- 1 ............................................................................................................................................ 16
EJERCICIO N.- 2 ............................................................................................................................................ 17
La deformacin volumtrica ser: .............................................................................................................. 19
De esta manera, la variacin absoluta de volumen es: .............................................................................. 19
APLICACIONES ............................................................................................................................................. 20
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...................................................................................................... 20
CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 20
RECOMENDACIONES ................................................................................................................................... 20
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 20
ANEXOS ....................................................................................................................................................... 21
PRACTICA LEY DE HOOKE ..................................................................................................................... 22
CARACTERISTICAS DE ETABS 9.7.4: ......................................................................................................... 25
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GRUPO N.- 5 Pgina 30 de 54
INDICE DE GRAFICOS
GRAFICO 1 Traccin, compresin, torsin...........7
GRAFICO 2 Tensin.....7
GRAFICO 3 Compresin......8
GRAFICO 4 Esfuerzo Cortante.....9
GRAFICO 5 Deformacin.....9
GRAFICO 6 Materiales Frgiles y Dctiles....11
GRAFICO 7 Esfuerzos Principales....13
GRAFICO 8 Esfuerzo Normal y Tangencial...14
GRAFICO 9 Pilar de un puente.....16
GRAFICO 10 Cubo de Aluminio......17
GRAFICO 11 Ejercicio N.-3........20
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RESISTENCIA DE MATERIALES LEY GENERALIZADA DE HOOKE
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INTRODUCCIN
La resistencia de materiales clsica es una disciplina de la ingeniera mecnica y la ingeniera estructural
que estudia los slidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se
define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones
permanentes o deteriorarse de algn modo.
Un modelo de resistencia de materiales establece una relacin entre las fuerzas aplicadas, tambin
llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las
simplificaciones geomtricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicacin de las cargas hacen
que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.
La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es vlida dentro de lo
que se denomina rgimen lineal elstico. Esta ley establece que si la tensin normal se mantiene por
debajo de un cierto valor, llamado tensin de proporcionalidad, las deformaciones especficas y las
tensiones son directamente proporcionales.
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TEMA
LEY GENERALIZADA DE HOOKE
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Analizar y Sintetizar los conceptos, formulas y aplicaciones de la Ley Generalizada de Hooke.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Estudiar los conceptos bsicos de la Ley de Hooke, para comprender la aplicacin de cada una de las
formulas aplicables en la resolucin de problemas.
Aprender a razonar y resolver ejercicios aplicando la ley de Hooke, as como construir sus respectivos
diagramas, para facilitar el clculo de los mismos.
Demostrar con una aplicacin la Ley de Hooke, y sintetizar todos sus conceptos.
MARCO TEORICO
DEFINICIONES BASICAS
Cuando una barra se estira debido a las fuerzas F, los esfuerzos son esfuerzos de tensin o esfuerzos de
traccin; si las fuerzas tienen direccin contraria y hacen que la barra se comprima, se trata de esfuerzos de
compresin. Siempre que los esfuerzos acten en una direccin perpendicular a la superficie del corte, este es
el esfuerzo normal.
Ley Generalizada de Hooke
Un medio se dice que es elstico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y deformaciones son cero, y al
cual se puede volver luego de que las fuerzas aplicadas son removidos.
Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones cambian juntos, y las relaciones entre estos,
denominadas relaciones constitutivas, son una importante caracterstica de los medios.
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Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace ms de 300 aos atrs, con las determinaciones
experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre cuerpos elsticos.
Hooke concluy que el esfuerzo es proporcional a la deformacin.
Propiedades de los slidos.
En los slidos, las molculas, estn muy juntas y es por eso que tienen poco espacio entre ellas. Estas son
algunas de sus caractersticas:
Forma propia, volumen determinado, son compresibles (no iguales a los gases) densidad elevada, no se
difunden, las molculas ocupan posiciones fijas y solo tienen movimientos vibratorios porque en ellos
predomina la cohesin.
Una propiedad importante que tienen los slidos es la elasticidad
Propiedad de la elasticidad.
Es la propiedad que tienen los materiales o cuerpos de recuperar su forma original cuando cesa la fuerza o
esfuerzo que los deforma.
Esto me lleva a comentar que una DEFORMACION, es el cambio de forma geomtrica producida por una fuerza
aplicada a un cuerpo y se puede medir.
Es decir, que si aplicamos una fuerza a un slido, este se deforma proporcionalmente a la fuerza aplicada, cuan
mayor sea la fuerza, mayor la deformacin. Ejemplo bsico, son los resortes. Este comportamiento nos arroja
una grfica de forma lineal, mientras no sobrepase el lmite elstico permitido del material.
Existen tres maneras para someter a esfuerzo un material: traccin o tensin, compresin y torsin
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T
T
Lo
Que sucede en cada caso.
1. En la traccin, la probeta, aumenta su longitud, disminuye su rea pero
aumenta su volumen, ya que aumenta el espacio entre las molculas.
2. En la compresin, disminuye su longitud, aumenta su rea y tambin
disminuye su volumen, ya que elimina el poco espacio haba entre ellas.
3. Para este caso, la torsin, generar un ngulo de giro, producido por un
par aplicado
Esfuerzo de Tensin
Es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material. Donde las fuerzas que actan sobre el mismo
tienen la misma direccin, magnitud y sentidos opuestos hacia fuera del material. Como se muestra en la
siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:
GRAFICO N.- 1: Traccin, Compresin, Torsin FUENTE: http://albapendiente.blogspot.com/
GRAFICO N.- 2: Tensin FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g./ Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg.,
52
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T
T
Lf
Esfuerzo de compresin
Es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga y acortar al miembro en s. Donde las fuerzas
que actan sobre el mismo tienen la misma direccin, magnitud y sentidos opuestos hacia dentro del material.
Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:
Esfuerzo Cortante Simple
Este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza acta de forma tangencial al rea de corte. Como se
muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente frmula:
GRAFICO N.- 3: Compresin FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g. / Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg., 52
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Lf
CIRCULO DE MOHR
Los esfuerzos y tambin se pueden determinar en forma grfica, por medio del crculo de Mohr. El crculo de
Mohr es un conjunto de puntos geomtricos, cuyas abscisas y ordenadas son correspondientemente iguales a
los esfuerzos normal y tangencial, que surgen en los planos.
DEFORMACION
Son los cambios en la forma o dimensiones originales del cuerpo o elemento, cuando se le somete a la accin de
una fuerza. Todo material cambia de tamao y de forma al ser sometido a carga
GRAFICO N.- 4: Esfuerzo Cortante FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g./ Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg., 52
GRAFICO N.- 5: Deformacin FUENTE: Ing. Ramn E. Villchez g./ Resistencia de Materiales. Esfuerzos simples, pg., 60
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Deformacin longitudinal
Dnde:
Deformacin transversal
Dnde:
Poisson establece la relacin entre la deformacin unitaria transversal y la longitudinal era constante para cada
material, denominndose Relacin de Poisson.
Las deformaciones lineales en las direcciones de los ejes principales se llaman deformaciones principales.
Entre el esfuerzo normal y la deformacin, existe una deformacin lineal, llamada LEY DE HOOKE y se
determina con la siguiente formula:
Deformacin elstica
Es el grado con que una estructura o cuerpo se deforma dependiendo de la magnitud de tensin impuesta.
De esto resulta una relacin:
ESFUERZO = MODULO DE ELASTICIDAD X SU DEFORMACION UNITARIA
A esta relacin, se le conoce tambin como la LEY DE HOOKE, y se define como:
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LA DEFORMACION PRODUCIDA POR UN CUERPO, DETRO DE LOS
LIMITES ELASTICOS, ES PROPORCIONAL A LA FUERZA APLICADA
La forma de representacin grfica del comportamiento de algunos
materiales al someterlos a tensin o aplastamiento, la mayora de ellos
proponen una grfica, como la que se muestra. A estos materiales se le
conoce como FRAGILES
Existen otros materiales como el acero, que su comportamiento, adems
de similar a los anteriores, tienen otra zona entre la zona elstica y la zona
plstica y se reconoce como zona elastoplstica, capacidad que tienen para
soportar grandes cantidades de cargar antes de su ruptura. A este tipo de
material se le conoce como DCTILES.
Con lo anterior, podemos deducir que la zona de trabajo de elasticidad de un material, no debe sobrepasar el
lmite de elasticidad,
La ley de Hooke es entonces:
Siendo:
F= carga a o fuerza dado en Newton
A= seccin transversal en
MATERILES DUCTILES
GRAFICO N.- 6: Materiales Frgiles, y dctiles FUENTE: SINGER, Resistencia de Materiales, 4ta Edicin, pg. 61-65
MATERILES FRAGILES
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Aplica que debemos calcular la deformacin generada por este esfuerzo y es:
Dnde:
Entonces tenemos que:
Dnde:
De esta relacin, podemos obtener E la cual nos representa la rigidez de un material (se puede decir que
es una constante).Para calcular E, analizamos de manera dimensional su equivalencia y resulta:
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Esta relacin nos ayuda a:
conocer su zona elstica y se podr disear productos que eviten su ruptura
En otros casos saber hasta dnde se pueda deformar el material de manera permanente.
Saber la zona de rigidez y seleccionar el correcto para la aplicacin que se desea
LEY DE HOOKE EN DOS Y TRES DIMENSIONES
Ley de Hooke para Esfuerzos Biaxiales
Esfuerzos Principales
Recordemos que para esfuerzos axiales
Por lo tanto:
Ahora:
Relacin unitaria en x= deformacin en x producida por + deformacin en x producida por
GRAFICO N.- 7: Esfuerzos Principales FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, Lima Per, 2010, Pg. 48.
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Calculemos la deformacin unitaria total en x producida por
Ley de Hooke para Esfuerzos Triaxiales
Esfuerzo Normal y Tangencial
Relacin unitaria en x= deformacin en x producida por + deformacin en x producida por +
deformacin en x producida por
Por lo tanto:
( )
GRAFICO N.- 8: Esfuerzo Normal y Tangencial FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, Lima Per, 2010, Pg. 49
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( )
A partir de estas expresiones obtenemos los esfuerzos:
[ ( )]
[ ]
[ ( )]
Cambio unitario de volumen o deformacin:
( )
La densidad total de energa de deformacin:
[
]
INSTRUMENTOS
Computadora (software Etabs 9.7.4), Maqueta de un puente colgante marca PASCO.
MEDIOS
Libros de Resistencia de Materiales, documentos de Internet y software q permitan la simulacin de esfuerzos y
deformaciones.
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EJERCICIOS DE APLICACIN
EJERCICIO N.- 1
PROBLEMA 1.18 Un pilar de un puente consta de dos partes prismticas, tal como se muestra en la figura y soporta
una carga P =380T. El peso especfico del material =2,2T / m3, el esfuerzo admisible por compresin es
[ ] y el mdulo de elasticidad E= 24000kg/cm^2.
Determinar el acortamiento del pilar.
Ahora, analizamos la parte inferior del pilar, calculando su rea A II:
Ahora, analizamos la parte inferior del pilar, calculando su rea :
GRAFICO N.- 9: Pilar de un puente FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, ejercicio 1.18, Lima Per, 2010, Pg. 28
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Asumimos:
Para calcular el acortamiento total del pilar, aplicamos el Principio de Superposicin de Cargas e
integramos en el caso del peso propio por cada tramo, as como el efecto de que el peso propio de la parte
superior despus de su accin se convierte en carga puntual para el otro tramo.
EJERCICIO N.- 2
Un cubo de aluminio de lado a=5cm, se coloca libremente sin holguras en un cuerpo slido
indeformable, tal como se muestra en la figura 2.25 y es comprimido por una fuerza P=180kN.
Determinar los esfuerzos principales y deformaciones principales para cualquier punto del cubo.
Calcular la deformacin volumtrica y la variacin absoluta de volumen, as como la densidad total
de energa de deformacin, densidad de la energa por variacin de volumen y densidad de la
energa por variacin de forma. Considere E = 0,7.105 M Pa , 0,36
GRAFICO N.- 10: Cubo de Aluminio FUENTE: Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, ejercicio 2.1, Lima Per, 2010, Pg. 70
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Solucin:
El cubo se encuentra en un estado de esfuerzo homogneo (igual en todos sus puntos) y en consecuencia se
puede aplicar la Ley de Hooke generalizada en su totalidad del elemento. El lado libre perpendicular al eje OZ
est achurado y libre de esfuerzos, esto es 0
El esfuerzo en los lados superior e inferior del cubo ser:
0, debido a
que por condicin del problema el cuerpo donde se coloca el cubo, es slido e indeformable.
A travs de la Ley de Hooke generalizada, tenemos:
[ ( )]
De donde:
Finalmente tenemos que:
Ahora determinamos las deformaciones principales:
[ ( )]
[ ]
[ ]
[ ]
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La deformacin volumtrica ser:
De esta manera, la variacin absoluta de volumen es:
Ahora calculamos la densidad total de energa de deformacin:
[ { }]
Las densidades de la energa por variacin de volumen y de forma sern:
[ ]
[ ]
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APLICACIONES
Aplicacin de La Ley de Hooke Generalizada
La ley de Hooke generalizada en el campo de ingeniera civil se aplica en su mayora en el clculo estructural,
siempre que el material no carezca de fluencia, como por ejemplo el hormign.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
La Ley de Hooke es aplicable en esfuerzos uniaxiales, biaxiales y triaxiales, puesto que todos los
cuerpos sufren una deformacin ya sea longitudinal o transversal al aplicarles una fuerza o
carga.
La ley de Hooke Generalizada se la define as a esta propiedad, ya que esta cumple en su
mayora en esfuerzos triaxiales, estudiando sus deformaciones.
Un cuerpo cuando llega a la zona plstica, ya no cumple con la ley de Hooke puesto que perdi
esta propiedad.
RECOMENDACIONES
Tomar en cuenta que en el hormign no se aplica la Ley de Hooke Generalizada, ya que este
carece de fluencia.
Intentar demostrar con un breve ensayo esta propiedad, para as reforzar los conocimientos y
comprender mejor el tema.
Los temas expuestos deben ser reforzados por el docente, para mejorar nuestra compresin y
razonamiento en la resolucin de ejercicios.
BIBLIOGRAFIA
Dr. G. Villarreal Castro, Resistencia de Materiales, Lima Per, 2010, Pg.20-105
Ing. VILCHEZ Ramn, Resistencia de los Materiales gua N 2. Esfuerzos Simples, ao
2010; pginas: 3, 5, 6, 7, 8.
NASH William A. , Resistencia de Materiales de Schaum; pginas: 1-20
Beer Johnston Mecnica Vectorial Para Ingenieros - Esttica
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ANEXOS
GRAFICO N.- 12: Piezas del Puente
GRAFICO N.- 13: Pensando en el Diseo
GRAFICO N.- 20: Tirantes el puente
GRAFICO N.- 14: Armando las bases del Puente GRAFICO N.- 15: Armando las bases del Puente
GRAFICO N.- 16: Colocando los Cables del Puente
GRAFICO N.- 19: Colocando los Sensores en los cables del puente
GRAFICO N.- 18: Colocando los Cables del Puente
GRAFICO N.- 17: Armando el puente
GRAFICO N.- 21: Instalando el software Pasco Scientific
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PRACTICA LEY DE HOOKE
LABORATORIO DE ESTUDIOS ESPECIALIZADOS
OBJETIVO GENERAL:
Aclarar las ideas acerca de lo que se trata la ley de Hooke y demostrarla a travs de un ensayo casero
mediante la utilizacin de dos materiales elsticos.
OBJETIVOS ESPECFICOS:
Determinar la deformacin del elstico mediante la aplicacin sucesiva de pesos.
Determinar la deformacin del caucho mediante la aplicacin sucesiva de pesos.
MATERIALES UTILIZADOS:
Dos soportes.
Una varilla de 1 metro.
3 metros de piola
Una regla de 60 cm
Marcadores
Caucho de 10.1 cm
1 Pedazo de elstico.
1 tapa de 25cm de radio.
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PROCEDIMIENTO DE EL ENSAYO:
8. Colocamos los soportes con una varilla transversal entre ellos.
9. En uno de los soportes colocamos la regla de manera vertical
10. Colgamos el caucho de tal manera que se pueda medir con la regla el alargamiento del mismo.
11. En el extremo inferior del caucho colocamos el porta pesos casero.
12. Tomamos como referencia una medida de la regla (15.5cmen este caso) y colocamos una marca
sobre el caucho para de esta manera poder observar desde ese punto el alargamiento del
material.
13. En el porta pesos ubicamos el primer peso de 0.131 kg y procedemos a tomar la diferencia o
alargamiento que ser produjo en el cuerpo del caucho.
14. Repetimos este proceso varias veces y tomamos los datos respectivos de con incremento de
pesos y disminucin sucesiva de pesos respectivamente para comprobar que el material vuelve
a su estado original.
CALCULOS REALIZADOS:
Con la ayuda de la frmula conocida
=*
De esta frmula queremos obtener el mdulo de elasticidad del material para ello podemos calcular el
esfuerzo con los datos tomados de la prctica de la siguiente manera.
Tomando en cuenta que las fuerzas son el incremento de las masas y que el rea podemos calcularla
siendo esta (10*0.1)cm de esta manera procedemos a calcular sucesivamente cada uno de los
esfuerzos.
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Despus de obtenidos los esfuerzos procedemos a calcular la deformacin unitaria longitudinal
tomando en cuenta que la longitud inicial son los 10 cm del material y la longitud final ser la resta de la
lectura tomada como referencia y los datos de el alargamiento del material.
Ahora obtenidas las incgnitas calculamos el mdulo de elasticidad del material para esto con la ayuda
de Excel realizamos una grfica que contenga en el eje de las abscisas la deformacin longitudinal y en el
eje de las ordenadas el esfuerzo y con tringulos semejantes en esta grafica tomando los puntos que
formen un lnea recta procedemos a calcular.
CONCLUSIONES:
Podemos concluir que ningn material regresa a su estado original aunque es mnima su
deformacin.
Podemos concluir que la ley de Hooke acta en casi todos los elementos relacionados con la
construccin.
Actualmente estos clculos ya no se realizan manualmente debido a que existen tecnologas que
ayudan a optimizar tiempo.
RECOMENDACIONES:
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Al realizar el ensayo procurar el aumento o disminucin de pesos sea lo ms rpido posible ya
que esto influye en la deformacin del elemento.
Realizar las grficas en algn software para comprobar segn los criterios si hemos o no
realizado correctamente el ensayo.
CARACTERISTICAS DE ETABS 9.7.4:
ETABS es una propuesta especial de un Programa de diseo y anlisis sofisticado, pero fcil de usar, y
desarrollado especficamente para los sistemas de Edificacin. La versin 9 de ETABS ofrece un interfaz
grfico intuitivo y de gran alcance unido incomparables los procedimientos de modelar, analticos, y de
diseo, que han sido integrados usando una base de datos comn. Aunque es rpido y sencillo para
estructuras simples, ETABS puede ser usado en los modelos de edificaciones ms grandes y complejas,
incluyendo un amplio rango de comportamientos no lineales, que lo hacen la herramienta de opcin
para los ingenieros estructurales en el sector de la industria de la construccin.
Ventajas:
La mayora de los edificios se forman de geometra directa, con vigas horizontales y columnas
verticales. Aunque configurar cualquier edificio es posible con ETABS, en muchos de los casos,
un simple sistema de cuadricula definido por pisos horizontales y columnas verticales puede
establecer la geometra del edificio con un esfuerzo mnimo
Muchos de los niveles del piso en los edificios son similares. Esta concordancia se puede utilizar
numricamente para reducir esfuerzo computacional.
Las convenciones de entrada y de salida usadas corresponden a la terminologa comn de
edificaciones. Con ETABS, los modelos se definen de forma lgica piso por piso, columna por
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columna, tramo por tramo, muro por muro y no como corrientes de puntos no descritos y
elementos como lo hacen la mayora de los programas para fines generales. As la definicin
estructural es simple, sucinta y significativa.
En muchos edificios, las dimensiones de sus miembros son grandes en relacin a los grosores de
los tramos y alturas de los pisos. Esas dimensiones tienen efectos significativos en la densidad
de la barra. ETABS corrige para tales efectos en la formulacin de la rigidez de la pieza, de forma
diferente a la que lo hacen los programas de uso general que trabajan en dimensiones de a
lnea central.
Los resultados producidos por los programas deben ser usados de forma directa por el
ingeniero. Los programas de uso general producen resultados en los que se requiere de
procesos adicionales antes de que sean usadas en el diseo estructural.
Lo que ETABS Puede Hacer:
ETABS ofrece los surtidos ms amplios de herramientas de anlisis y de diseo disponibles para el
ingeniero estructural que trabaja en las estructuras de edificios. La siguiente lista representa solo una
porcin de los tipos de sistema y anlisis que ETABS puede manejar fcilmente:
Pisos mltiples con facilidades comerciales, gubernamentales y de salud.
Garajes de Estacionamiento con rampas circulares y lineales
Edificios escalonados armadura
Edificios con barras de Acero, Concreto o piso compuesto o de viguetas.
Edificios basados en sistemas de cuadricula o rejillas rectangulares o cilndricas.
Edificios de concreto Plano o losa aligerado (waffle)
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Edificios sujetos a cualquier combinacin de compartimientos verticales o laterales, incluyendo
cargas de viento y ssmicas automatizadas.
Respuestas mltiples a cargas de espectros, con curvas Mltiple integradas.
Transferencias de carga automatizadas en pisos y de vigas a muros.
Anlisis P-Delta con anlisis esttico y dinmico
Deformaciones explicitas de zona de panel
Construccin del anlisis de la secuencia de cargas.
Time History Mltiple de compartimientos de carga lineales y no lineales en cualquier direccin
Establecimiento de la Cimentacin/ Apoyo
Anlisis de Grandes Desplazamientos
Pushover lineal y esttico
Edificios con apagadores y aisladores base
Moldeado de pisos con diafragmas rgidos o semi-rgidos
Reducciones de carga vertical automatizadas, entre muchas ms.