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8/18/2019 Ley de Composición - Wikipedia, La Enciclopedia Libre

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Árbol de clasificación

Ley de composiciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre

En álgebra abstracta, la ley de composición es un tipo deoperación binaria que da lugar a distintas estructurasalgebraicas.

Se trata de una función o aplicación que toma dos elementosde dos conjuntos dados y los asigna a otro elemento,

perteneciente a uno de los dos conjuntos.

Podemos diferenciar ley de composición interna y externa. Laley de composición es interna si la aplicación que la define «mantiene» el mismo conjunto, tanto en el pde conjuntos de par tida, como en el de llegada. Si los conjuntos de partida son diferentes entre sí, se dicque la ley de composición es externa.

Índice1 Notación2 Clasif icación

2.1 Ley de composición interna2.1.1 Ejemplos

2.2 Ley de composición externa2.2.1 Ley de composición externa por la derecha2.2.2 Ley de composición externa por la izquierda2.2.3 Ejemplos

3 Propiedades de las leyes de composición interna3.1 Conmutatividad3.2 Asociatividad3.3 Distributividad

3.3.1 Distributividad por la izquierda3.3.2 Distributividad por la derecha

3.4 Elemento neutro3.5 Elemento simétrico

3.5.1 Elemento simétrico por la izquierda3.5.2 Elemento simétrico por la derecha

4 Propiedades de las leyes de composición externa4.1 Conmutatividad4.2 Distributividad

4.2.1 Distributiva por la derecha4.2.2 Distributiva por la izquierda

5 Estructura algebraica5.1 Una ley de composición interna5.2 Dos leyes de composición interna

5.2.1 Álgebra de Boole6 Véase también7 Referencias

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstractahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstractahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Codominiohttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:AL_Ley_de_composici%C3%B3n.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)


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La función que asigna a dos puntos e punto medio es una ley decomposición interna.

8 Enlaces externos

Notación

Para representar las leyes de composición internas, emplearemos los siguientes símbolos:

Estos signos para representar las leyes de composición externa:

Representaremos a los conjuntos con letras mayúsculas,

y los elementos de los conjuntos los indicaremos con letras minúsculas.

Clasificación

Ley de composición interna

Dado un conjunto A y una operación , que representaremos :

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de A por A se le asigna un c de A.1 2 3

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado doperar a con b.

Se llama ley de composición interna, que también se denomina Operación interna4

Ejemplos

Son operaciones internas

1. La suma entre dos números naturales

2. La multiplicación entre dos números racionales

3. La aplicación

que asigna a cada par de puntos del plano el punto medio delsegmento que los une.

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_internahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mid_point.svg


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4. La unión y la intersección de dos conjuntos.

Ley de composición externa

Si los dos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa,5 pudienddiferenciar:

Ley de composición externa por la derecha

Dado dos conjunto A y B, y una operación: , que representaremos :

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de A por B, le asigna un c de A.6

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado doperar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la derecha.

Ley de composición externa por la izquierda

Del mismo modo también se considera ley de composición externa, que se denota: :

Donde a cada par de valores (a, b) de A por B se le asigna un valor c de B.7

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado doperar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la izquierda.

Ejemplos

1. Se define la multiplicación por un escalar, por izquierda, como

http://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos


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La función «ensancha» y

«comprime» al segmento u, según se o , respectivamente.

Esta función, también denotada por o , esuna ley de composición externa por izquierda.

2. Del mismo es posible definir la multiplicación por derecha, yaque es un cuerpo conmutativo. En este caso, la funcióndefinida constituiría una ley de composición externa por derecha.

3. De modo similar al anterior, puede definirse un producto entreun número real y una función, cuyo resultado es otra función.

En general, siempre podemos definir una operación entre loselementos de un cuerpo y un grupo abeliano de modo queresulte una ley de composición externa. Esta es una de las

bases para definir el concepto de espacio vectorial.

Propiedades de las leyes de composición interna

Dado un conjunto A no vacío y definida una aplicación de A por A sobre A, donde a cada par ordenad(a,b) se le asigna un valor c de A, que representamos:

Pueden tener las siguientes propiedades:

Conmutatividad

Se dice que esta ley de composición interna , tiene la propiedad conmutativa si:

para todo a, b de A, se cumple que operar a con b es igual a operar b con a.

Esto mismo también puede decirse:

Una ley de composición interna , tiene la propiedad conmutativa si: no existen dos valores a, b eA, para los que el resultado de operar a con b sea distinto de operar b con a.

Asociatividad

Se dice que una ley de composición interna , tiene la propiedad asociativa si:

para todo a, b, c de A, se cumple que: operar a con b y el resultado con c, es igual a operar a con resultado de operar b con c.

Lo que también puede decirse:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:SubespacioProducto.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)


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Una ley de composición interna , tiene la propiedad asociativa si: no existen valores a, b, c en A para los que el resultado de operar a con el resultado de operar b con c, sea distinto de operar a con resultado de operar b con c.

Distributividad

Dado un conjunto A, no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición internas, que denotamo, tiene la primera propiedad distributiva sobre la segunda si es distributiva por la izquierda y po

la derecha.

Distributividad por la izquierda

Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas: , la primera es distributiv por la izquierda sobre la segunda si:

Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley a con el resultado de operar con la segundley b con c, es igual al resultado de operar con la segunda ley los resultados de operar con la primera leycon b y a con c.

Distributividad por la derecha

Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas: , la primera es distributiv por la derecha sobre la segunda si:

Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley, el resultado de operar por la segunda leycon b, con c, es igual al resultado de operar con la segunda ley, los resultados de operar con la primera leycon c y b con c.

Elemento neutro

Para un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna: , se dice que este conjunt

con esta ley de composición interna, tiene elemento neutro: e, si se cumple que:

Para todo a de A, existe un e de A que cumple que operando a con e el resultado es a.

Elemento simétrico


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Para un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna: , se dice que este conjuncon esta ley de composición interna, tiene elemento simétrico, si tiene elemento simétrico por la izquierda

por la derecha, si se expresa del siguiente modo:

Para todo a en A, existe el simétrico de a en A, que cumple que operando a con su simétrico, es igualoperar el simétrico de a con a, y el resultado es el elemento neutro en el conjunto A, para la ley d

composición interna: e.

Elemento simétrico por la izquierda

Un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna: , tiene elemento simétrico pla izquierda, si:

Para todo a en A, existe el simétrico por la izquierda de a en A, que cumple que operando el simétrico decon a, el resultado es el elemento neutro: e, en el conjunto A, para la ley de composición interna.

Elemento simétrico por la derecha

Un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna: , tiene elemento simétrico pla derecha, si:

Para todo a en A, existe el simétrico por la derecha de a en A, que cumple que operando a con el simétricde a, el resultado es el elemento neutro: e, en el conjunto A, para la ley de composición interna.

Propiedades de las leyes de composición externa

Conmutatividad

Dados dos conjuntos, no vacíos:

En el que se ha definido una ley de composición externa , que representaremos :

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, u) de A por K , le asigna un b de A.


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Esta ley de composición tiene la propiedad conmutativa si se cumple que:

por lo tanto esta ley de composición externa se puede definir indistintamente de estos dos modos:

o de forma equivalente:

Estas dos expresiones solo son iguales si la ley de composición es conmutativa, en el resto de los casos debe tener cuidado en el orden de los operandos, dado que puede que la operación no pueda realizarse o qude resultados diferentes.

Distributividad

Dado un conjunto A y una ley de composición interna: y un segundo conjunto K , que junto contiene una ley de composición externa . Dando lugar a la estructura algebraica: ,

ley de composición externa es distributiva sobre la interna si es distributiva por la derecha y por izquierda.

Distributiva por la derecha

Dado un conjunto A y una ley de composición interna:

Y un segundo conjunto K que tiene con A una ley de composición externa:

Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la derecha sobre la interna si:

Distributiva por la izquierda

Dado un conjunto A que tiene una ley de composición interna:


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Y un conjunto K que tiene con A una ley de composición externa:

Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la izquerda sobre la interna cuando se cumpque:

Estructura algebraica

Dado uno o más conjuntos, dotados de una o más leyes de composición, cada uno de esos grupos dconjuntos y sus leyes de composición son una estructura algebraica, independientemente del aspecto dconjunto y de la ley de composición, distintos conjuntos y operaciones pueden tener una misma estructualgebraica que define las operaciones que se pueden realizar. Veamos algunas de estas estructuraalgebraicas.

Una ley de composición interna

Sea A un conjunto. En principio, si definimos

el par se denomina magma. La estructura de magma garantiza la existencia y unicidad del resultad

de la operación, puesto que, cualesquiera sean , existe un único , que es el resultado doperar a con b.

A continuación se presenta una tabla de clasificación de estructuras algebraicas, según las propiedades qucumple su única ley de composición interna.

PropiedadAsociativa Elemento neutro Elemento simétrico

Estructura

Semigrupo Sí

Monoide Sí Sí

Grupo Sí Sí Sí

Bucle Sí Sí

Además, si la ley de composición definida es conmutativa, la estructura se denomina conmutativa abeliana.

Dos leyes de composición interna

http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Semigrupohttp://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)http://es.wikipedia.org/wiki/Monoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_sim%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conmutativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Magma_(%C3%A1lgebra)http://es.wikipedia.org/wiki/Cuasigrupo#Bucle


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Definamos para el anterior conjunto A una segunda ley de composición interna

del mismo modo que con la operación , para todo par (a, b) de elementos de A, existe un único elemend de A para el cual . Esto se deduce de la misma definición de función.

El conjunto A junto con las dos leyes definidas se representa con la terna .

Supongamos que una de las leyes de composición es distributiva con respecto a la otra. Por ejemplo, distributiva con respecto a , lo que significa que

Elegimos este caso ya que la notación resulta favorable para la comprensión, debido a las nociones ddistributividad de la aritmética.

Particularmente, sólo bajo esta condición, se definen las estructuras algebraicas que se muestran en la tabsiguiente.

Condición de magma

Estructura

Semianillo Monoide Monoide

Anillo Grupo conmutativo Semigrupo

Cuerpo Grupo conmutativo Grupo conmutativo

(salvo elemento neutro de )

Donde es distributiva con respecto a .

Si es un anillo, puede pasar que

es un semigrupo conmutativo, en cuyo caso se habla de un anillo conmutativo. es un monoide, en cuyo caso hablamos de un anillo con unidad. es un monoide conmutativo. Se denomina a la estructura anillo conmutativo con unidad.

Álgebra de Boole

Las estructuras algebraicas suelen estar orientadas a las operaciones con números, por lo cual el álgebra dBoole no suele incluirse en este grupo.Sin embargo, ésta define operaciones con los elementos de uconjunto y por lo tanto es una estructura algebraica.

Dado un conjunto y dos leyes de composición interna, diremos que tiene estructura

algebraica de Álgebra de Boole, si se cumple que:

http://es.wikipedia.org/wiki/Distributividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_conmutativohttp://es.wikipedia.org/wiki/Semianillohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo


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1. , es un monoide conmutativo.

2. , es un monoide conmutativo.

3. es distributiva sobre4. es distributiva sobre

Véase tambiénOperación binariaPropiedades de las operaciones binariasEstructura algebraica

Referencias

1. ↑ Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2». Curso de matemáticas (2 edición). REVERTE. p. 47. ISBN 97-884-29

065-0.2. ↑ Díaz Martín, José Fernando (2005). «4.1». Introducción al álgebra (1 edición). Gesbiblo SL. p. 117. ISBN 89745-128-7.

3. ↑ Gregori Gregori, Valentín (1995). «3». MATEMATICA DISCRETA (2 edición). REVERTE. p. 79. ISBN 98842-915-179-4.

4. ↑ Padró, Francesc Comellas (2009). Univ. Politèc. de Catalunya, ed. Matemática discreta (1 edición). p. 20ISBN 84-8301-456-4.

5. ↑ Díaz Martín, José Fernando (2005). Introducción al álgebra (1 edición). Gesbiblo SL. p. 125. ISBN 84-9745-127.

6. ↑ Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2». Curso de matemáticas (2 edición). REVERTE. p. 47. ISBN 97-884-29065-0.

7. ↑ Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2». Curso de matemáticas (2 edición). REVERTE. p. 47. ISBN 97-884-29065-0.

Enlaces externos

Ley de composición (http://matematica.laguia2000.com/general/ley-de-composicion)LEYES DE COMPOSICION INTERNAS (http://www.math.arq.uva.es/GYCGA/LeyesCompos.pdf

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