levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/1.jpg)
MechanikaFBL101E-1
2010. október 15.
3. előadás
Merev testek kinematikMerev testek kinematikáájaja
Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler)
A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk összegeként.
Elfordulás a z-tengely körül:
rvyvxv xy
rrr×=−== ωωω ,,
jobbkéz-szabály
ωr
vr
jobbcsavar
kmhrrr
×=hüvelyk középső
mutatóθsinbac
rrr⋅=
![Page 2: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/2.jpg)
Merev testre hatMerev testre hatóó ererőő
támadáspont
erő
hatásvonal
Merev testre hatMerev testre hatóó ererőőrendszer rendszer redukredukáálláása 1.sa 1.
A merev test két egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erő hatása alatt akkor van egyensúlyban, ha az erők hatásvonalai egybeesnek.
nincs egyensúlyban egyensúlyban van
![Page 3: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/3.jpg)
Merev testre hatMerev testre hatóó ererőőrendszer rendszer redukredukáálláása 2.sa 2.
A merev testre ható erő támadáspontja a testben a hatásvonal menténtetszőlegesen eltolható.
Merev testre hatMerev testre hatóó ererőőrendszer rendszer redukredukáálláása 3.sa 3.
Két nem párhuzamos hatásvonalú erő összetevése.
2211 kFkF =
![Page 4: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/4.jpg)
Merev testre hatMerev testre hatóó ererőőrendszer rendszer redukredukáálláása 4.sa 4.
Két párhuzamos hatásvonalú, azonos irányú erő összetevése.
21 FFF +=
2211 kFkF =
Merev testre hatMerev testre hatóó ererőőrendszer rendszer redukredukáálláása 5.sa 5.
Két párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú, de nem egyenlő nagyságúerő összetevése.
![Page 5: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/5.jpg)
Az erAz erőőppáárr
Erőpár: két antiparalel, egyenlő nagyságú és különböző hatásvonalú erő. Hatása NEM helyettesíthető egyetlen erővel.
Az erőpár forgatónyomatéka független a forgáspont helyzetének megvá-lasztásától, iránya – a jobbcsavarnak megfelelően – merőleges az erőpár síkjára, nagysága pedig az erőkar (d) és az egyik erő nagyságának (F) szorzatával egyezik meg.
FlFrrFrFrMrrrrrrrrrr
×=×−=−×+×= )()( 2121
A tengelyre vonatkoztatott forgatónyomaték ekvivalens az erőpár forgatónyomatékával (az erő „párja” a tengelyben ébred).
dFFlM ⋅=⋅⋅= ϑsinrrr
irány: jobbkéz-szabály
TetszTetszőőleges erleges erőőrendszer rendszer redukredukáálláásasa
Ha egy merev testre n db erő hat, akkor ezen erők hatása ekvivalens a test egy O pontjában vett eredőjük és az erőkből képezhető nerőpár forgatónyomatékainak hatásával.
Egy tetszőleges erőrendszer hatása redukálható egy eredő erőre és egy eredő forgatónyomatékra.
∑∑∑ ×===i
ii
i
ie
i
ie FrMMésFFrrrrrr
![Page 6: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/6.jpg)
A merev test egyensA merev test egyensúúlyalya
A merev test akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha • a rá ható erők eredője zérus ÉS van legalább egy olyan pontja, melyre
nézve a nyomatékok összege is zérus. (A Budó könyv definíciója hibás!) vagy
• a nyomatékok összege a test bármely pontjára vonatkoztatva zérus. (Nincs benne a Budóban.)
00 =×== ∑∑∑i
ii
i
i
i
i FrMésFrrrr
Lássuk be, hogy a fenti két definíció ekvivalens/egyenértékű!
Orr
ir ′r
irr
O’ O
iFri
A 2. definíció szerint
O pontra:
O’ pontra:
01
=×∑=
i
n
i
i Frrr
01
=×′∑=
i
n
i
i Frrr
iOi rrrrrr
+=′ 011
=×+× ∑∑==
i
n
i
ii
n
i
O FrFrrrrr
001
=+×∑=
n
i
iO Frrr
csak akkor teljesülhet, ha 01
=∑=
n
i
iFr
, ami nem más, mint az 1. definíció.
(Kísérlet: rúd egyensúlyaFilm: 700/71)
A tA töömegkmegköözzééppont megkeresppont megkereséésese
Egy test súlypontja az a pont, melyen a test súlyának hatásvonala a test minden helyzetében átmegy, s amely pont ezért a test súlyának táma-dáspontjaként tekinthető. Archimedes
∑∑
=
i
i
i
ii
TKPm
rm
r
r
r
TKPösszes
j
TKPj
j
j
i
ii
j
j
i
ii
j
j
j
j
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
i
ikülső
amdt
rdm
dt
m
rm
d
mdt
rmd
m
m
dt
rmd
dt
dt
rmd
d
dt
dt
rdmd
dt
vmd
dt
Id
F
rr
r
r
r
r
rrr
r
==
=
=
=
=
=
=
==
∑∑∑
∑∑
∑
∑
∑∑
∑∑∑∑
2
2
2
2
2
2
2
2
,
a deriválás és az összegzés
sorrendje felcserélhető
a tömegpontok tömege
időben állandó
bővítve a pontrendszer
össztömegével
]
Ez pedig a tömegközép-pont mozgásának tétele.
[a pontrendszerre vonatkozó impulzustétel:
(Kísérlet: tömegközéppont megkeresése)
![Page 7: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/7.jpg)
stabil labilis közömbös
Egy merev test, amelyre szabaderőként csak a saját súlya hat, akkor van stabilis (labilis) helyzetben, ha ebben a helyzetben a test súlypontja mélyebben (magasabban) van, mint bármely szomszédos helyzetben. (Stabil egyensúlyi helyzet esetén a tömegközéppontban támadó súly forgatónyomatéka olyan, hogy a testet az egyensúlyi helyzet felé téríti vissza.)
(Kísérlet: golyó óraüveggel)
(Kísérlet: Jancsika a drótkötél táncosFILM: Egyensúlyi helyzetek)
Az egyensAz egyensúúlyi helyzet tlyi helyzet tíípusai pusai éés s jellemzjellemzééssüükk
Dirichlet tétele: A mechanikai energia tételnek eleget tevő rendszerek akkor vannak stabilis egyensúlyi helyzetben, ha ebben a rendszer potenciális energiájának minimuma van.
A A virtvirtáálislis munkamunka elveelve
A legtöbb egyensúlyi problémánál az anyagi pontra, illetve a kiterjedt testre ható erők között a szabaderők mellett előre nem megadott kényszererők is fellépnek. Ilyen esetekben jelentősen egyszerűsíti a problémák kezelését, a virtuális munka elve.
Tekintsük a matematikai inga esetét:
mgmg
ABc c
aa
b
b
Virtuális elmozdulás, δr: a kényszer által megengedett elemi elmozdulás (pl. a, b, c)
Virtuális munka, δW: a virtuális elmozdulás során végzett elemi munka
az A pontban: δWa>0, δWb<0, δWc=0
a B pontban: δWa=0, δWb=0, δWc<0
A szabaderő virtuális munkája
Egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszer bármely virtuális elmozdulásánál a szabaderők összes munkája zérus, vagy negatív. Bernoulli
A virtális munka elve:
)),(cos( gmrmgrWrr
δδδ ∠⋅⋅=
![Page 8: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/8.jpg)
EgyszerEgyszerűű ggéépek 1.pek 1.
Emelő típusúak:emelők
A munkagépek legegyszerűbb alaptípusai, melyek erőátviteli eszközök is. Segít-ségükkel erőt „megtakaríthatunk”, de munkát/energiát természetesen nem!
egykarú kétkarú
GF kGkF ⋅=⋅
hengerkerék (kerekes kút)
GF rGrF ⋅=⋅
Az erő és a teher hatása alat álló rendszer egyensúlyának vizsgálátával az egy-szerű gépek működése megérthető, leírható.
Csigák, csigasorok
Mérlegek:
EgyszerEgyszerűű ggéépek 2.pek 2.
mozgócsiga
közönséges csigasor2
GF =
2
2
=
=
n
n
GF
differenciális csigasor
R
rRGF2
−=
hídmérleg asztali mérlegbillenősúlyos mérleg
![Page 9: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/9.jpg)
Lejtő típusúak:ék
EgyszerEgyszerűű ggéépek 3.pek 3.
21
2sin2
GGG
l
aGGF
rr==
=
=α
πα
r
hGGtgF2
==
Fr
Gr
csavar
RRöögzgzíített tengely ktett tengely köörrüül forgl forgóó merev merev test test --> > tehetetlenstehetetlenséégigi nynyoomatmatéékk
Az impulzusmomentumot eddig pontra vonatkoztatva ismertük. Ezt most meg szeretnénk fogalmazni tengelyre.
Θ== ∑ ωωi
iiz lmN 2
22
2
1, mrmr hengercső =Θ=Θ
)( rmrvmrNrrrrrr
××=×= ω
∑=Θi
iilm2
Θ kiszámítása néhány egyszerű esetben
(Kísérlet: babilon építőkészlet)
![Page 10: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/10.jpg)
Steiner tSteiner téételtel
Ha ismerjük egy m tömegű test tehetetlenségi nyomatékát egy a tömegközép-pontján átmenő tengelyre vonatkozóan, akkor egy ezzel párhuzamos, attól stávolságban levő másik tengelyre vonatkozóan:
2msTKP +Θ=Θ
Henger/cső tiszta gördülése lejtőn
Θ=
αsin2mgRaTKP
(Kísérlet: tömör henger és cső gördülése lejtőnFilm: 700/75)
A A rröögzgzíített tett zz tengely ktengely köörrüül forgl forgóómerev testmerev test mozgmozgáásegyenletesegyenlete
2
2
dt
dM z
ϕΘ=
![Page 11: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/11.jpg)
MegfelelMegfelelééseksek
kinetikai energiakinetikai energia
mozgásegyenletmozgásegyenlet
Nz
impulzusmomentumIx
impulzus
Mz
formatónyomatékFx
erő
Θtehetetlenségi nyomatékmtömeg
βz
szöggyorsulásax
gyorsulás
ωz
szögsebességvx
sebesség
ϕszögelfordulásxkoordináta
Haladó mozgás x tengely mentén Forgómozgás z-tengely körül
2
2
dt
xdmFx = 2
2
dt
dM z
ϕΘ=
2
2
1xmv 2
2
1zωΘ
IngamozgIngamozgááss
Matematikai ingaFizikai inga (redukált hossz)Csavarási (torziós) inga
Alkalmazások: reverziós inga, ingaóra, metronóm ...
)5(sin
)sin(0
oha
t
≤≈
+=
ϕϕϕ
αωϕϕ
Θ=
Θ==
*Dmgs
l
gtorziósfizikaiimatematika ωωω
Lineáris nyomaték törvény
(Kísérlet: állítható szögű, kétágú fizikai inga)
(Kísérlet: spirálrugós torziós inga hengerrel és csővelFILM: 700/76)
![Page 12: levelezo mechanika 2010-10-15 - u-szeged.hutitan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/oktatas/... · 2010. 10. 23. · 2010. október 15. 3. előadás Merev testek kinematik ája Egy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022071419/6117ce3dc3615b751872fdac/html5/thumbnails/12.jpg)
Szabad tengelySzabad tengely
A merev testnek általános esetben három, egymásra merőleges szabad tengelye van, nevezetesen a test tömegközéppontján átmenő három főtehetetlenségi tengely.
A forgás stabilis a legnagyobb és a legkisebb, míg labilis a középsőtehetetlenségi nyomatéknak megfelelő tengely körül.
Legstabilisabb a legnagyobb tehetetlenségi nyomatékhoz tartozó tengely körüli forgás.
(Kísérlet: madzagra függesztett cső forgatása, mely nem merőlegesen van átfúrva)
(Kísérlet: felfüggesztett rúd és korong forgatása szimmetriatengelyük körül)
(Film: utalás a pörgettyűknél bemutatásra kerülő bicikli kerék giroszkópra)
PPöörgettyrgettyűűkk
Erőmentes
A súlypont körül forog.a) a szimm. tengely helyzete
nem változikb) a szimm. tengely egy
körkúpon mozog a térben állandó impulzustengely körül. (nutáció)
Súlyos
A szimm. tengely függőleges tengelyű körkúp palástja mentén mozog. (precesszió)
Giroszkopikus nyomaték:
Pörgettyűnek nevezünk egy tetszőleges alakú és tömegeloszlású merev testet, ha egy rögzített, vagy rögzítettnek képzelhető pont körül foroghat.
.0 áll=⇒= NM
N
mgsp =ω
0≠M
p
*ωNM ×=
http://www.gyroscopes.org/
(Filmek: bicaj kerékFILM: MIT Physics Demo -- Bicycle Wheel Gyroscope
FILM: giroscope)