Les familles de fonctions

Situations

et

Modèles mathématiques

Le salaire en fonction du temps,

l’aire d’un disque en fonction de son rayon, l’ampérage en fonction de la résistance,

la température d’un corps en fonction du temps,

Plusieurs situations concrètes peuvent être représentées par des fonctions.

Exemples

Lorsqu’il s’agit de représenter ce genre de situations, la courbe tracée est alors limitée ; on dit qu’elle est bornée.

Comme ces fonctions représentent des situations concrètes, on pourrait les nommer « fonctions de situations ».

etc.

Exemple

On veut représenter le salaire d’un ouvrier en fonction de ses heures de travail pour une semaine.

Nous dirons qu’il gagne 10 $ l’heure et que sa semaine de travail comporte 40 heures.

Le graphique ci-contre illustre cette situation.

Cette fonction représente une situation concrète; elle varie de 0 à 40 pour le nombre d’heures et de 0 à 400 pour le salaire.

L’étude que l’on en fait est limitée; la fonction est donc bornée.

5

50

Heures

($)

Salaire d’un travailleur

40

400

Remarque

Certains auteurs identifient une fonction bornée avec des points.

Ce n’est pas nécessaire, l’important est de comprendre la situation que représente le graphique.

5

50

Heures

($)

Salaire d’un travailleur

40

400

La situation de l’ouvrier correspond au modèle d’une fonction linéaire de variation directe.

On pourrait « théoriser » cette situation dans tout le plan cartésien.

On obtient ainsi le modèle théorique de la fonction linéaire de variation directe.

Toutes les situations linéaires de variation directe suivront ce modèle qu’il faudra ajuster selon la situation.

y

x

Les fonctions sont associées à des situations bien précises; chaque fonction possède donc son propre modèle théorique.

Fonction polynomiale de degré 0

Fonction polynomiale de degré 1

f(x) = bx0

f(x) = b

f(x) = x1

f(x) = x

Les fonctions de base sont les fonctions les plus simples de leur catégorie.

ou

fonction constante

ou

fonction linéaire

y

x

y

x

fonction rationnelle

Fonction polynomiale de degré 2

Fonction racine carrée

f(x) = x2 f(x) = xf(x) = x

a

ou

Fonction inversement proportionnelle

ou

fonction quadratique

y

x

y

x

y

x

Fonction exponentielle Fonction partie entière Fonction valeur absolue

Fonction périodique Fonction définie par parties

f(x) = cx f(x) = [ x ] f(x) = x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Examinons quelques situations

Aux États-Unis, la mesure de la température ne se fait pas en degré Celsius, mais avec une autre unité de mesure, soit le degré Fahrenheit.

Une formule permet de convertir les degrés Celsius en degré Fahrenheit; cette formule est

:5

0F = 9 0C + 32

La représentation graphique de cette fonction est illustrée ci-contre.

20 0C

25

0F

Conversion de température

La conversion de température des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est une fonction linéaire de variation partielle.

Pour la représenter, nous avons besoin de tout le plan cartésien.

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = x + b

Salaire ($)

Dans l’exemple, déjà cité, du salaire de l’ouvrier, la fonction correspond au modèle linéaire de variation directe.

Dans cet exemple, seulement le premier quadrant du plan cartésien est utilisé, car le travailleur ne peut faire des heures négatives et un salaire négatif.

5 Heures

50

Le modèle de la fonction représentée correspond quand même au modèle linéaire de variation directe, mais ajusté à la situation.

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = x

En électricité, plusieurs phénomènes peuvent être représentés par des fonctions linéaires de variation directe.

Courbe de la tension en fonction du courant

Courant (A)

0,25 0,50 0,75 1

Ten

sion

(V

)

2

4

6

8

Dans une loto, plus on achète de billets et plus on a de chances de gagner. Tu demandes donc à tes amis de participer à l’achat de billets lors d’un tirage de 20 000$. Tu aimerais savoir quel montant recevra chacun en fonction du nombre de participants.

Cette situation représente une fonction inversement proportionnelle (appelée aussi fonction rationnelle).

Plus le nombre de participants sera élevé et plus le montant gagné par chacun sera petit.

Seulement une partie du plan cartésien est utilisé, mais le modèle s’apparente au modèle de la fonction inversement proportionnelle.

Partage d’une somme d’argent de 20 000 $

Nombre de participants2

Somme gagnée ( K $ )

2

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = ax

Le coût d’utilisation d’un stationnement public est de 2,00 $ de l’heure ou partie d’heure. On s’intéresse à la relation entre les heures de stationnement et le coût.

Si on reste 30 minutes, le coût est aussi de 2,00 $.

Si on reste 1 heure plus une minute, le coût augmente subitement à 4,00 $ pour toute la deuxième heure

Dès la première minute, le coût est automatiquement de 2,00 $.

et ainsi de suite.

Coût de stationnement

Temps (heures)

Coût ($)

1

2

4

6

8

32 4

C’est le modèle de variation en escalier. On l’appelle ainsi, car le graphique ressemble à un escalier. Il représente la fonction appelée partie entière.

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = [ x ]

La distance (D) parcourue (en kilomètres) par une fusée durant les trois premières minutes de son vol est définie par la règle D = 50t2 où t est le temps (en minutes).

Cette situation s’apparente au modèle du second degré appelé fonction quadratique.

On peut constater que la variation est de plus en plus rapide.

Ici, nous ne voyons que la moitié de la courbe.

C’est une fonction du second degré, car l’exposant de la variable indépendante est l’exposant 2.

1 2 3 4

Temps (min)

100

400

200

300

Distance parcourue par une fusée

Distance (km)

Un ballon de football est botté dans les airs. La hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps (en secondes) est donnée par la règle H(t) = -2t2 + 12 t.

1 2 6

3

6

9

12

15

18

Temps (sec)

Hauteur (m)

Botté d’un ballon de football

3 4 5

21

Dans cette situation, on voit plus clairement le modèle du deuxième degré.

Ici encore, on ne représente qu’une partie de la parabole soit la partie positive, puisque la situation est une situation réelle.

Ce type de courbe s’appelle une parabole.

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = x2

Au début d'une expérience, il y avait 20 bactéries. Depuis, l'augmentation des bactéries double à chaque heure. On veut connaître le nombre de bactéries après 6 heures.

Voici une table de valeurs

représentant cette situation.

Heures

Bactéries

0 1 2 3 4 5

20 40 80 160 320 640

6

1280

Heures

0 1 2 3 4 5 6

1300

1200

1100

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

Développement de bactéries

Nombre

de bactéries

Cette table de valeurs et ce graphique représentent le modèle exponentielle.

Au début, la relation progresse assez lentement, mais par la suite, elle augmente très rapidement.

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = cx

On voudrait connaître la longueur du côté d’un carré en fonction de son aire.

Dans cet exemple, il faut extraire la racine carré des différentes aires que peut avoir un carré. Aires et côtés de carrés

Aire (m2)

Côté (m)

1

1

4 9

2

3

4

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = x

Sur une droite numérique, la distance de chaque entier et de son opposé par rapport à 0 est la même et bien entendu, cette distance doit être positive.

0 1 2 3- 3 - 2 - 1

distance de 1 distance de 2

Que les nombres soient positifs ou négatifs, la distance de ces nombres par rapport à zéro est nécessairement positive.

1 2 3 4

Nombres

1

4

2

3

Distance par rapport à zéro

-4 -3 -2 -1

Distance

Forme d’équation la plus simple :

f(x) = x

Cette fonction permet en autre de calculer la différence entre une mesure souhaitée et une mesure réelle lors de la fabrication d’un objet.

distance de 1distance de 2

On utilise donc la fonction valeur absolue, ce qui garantit un résultat positif.

Fréquence d’un courant alternatif (110 V)

Temps (sec)

Ten

sion

(V

)

+ 110 V

- 110 V

1

60

L’électricité que nous recevons dans nos maisons à une tension de 110 volts et le courant est alternatif.

Il varie donc constamment de + 110 volts à – 110 volts.

La courbe ci-contre représente un cycle.

Ce cycle a une durée de 1/60 de seconde; il se répète donc 60 fois dans une seconde.

Cette situation s’apparente donc à la fonction périodique.

Une des formes d’équation la plus simple de ce genre de situation :

f(x) = sin x Temps (sec)

Tension (V)

+ 110 V

- 110 V1

60

Il existe encore d’autres fonctions, nous ne les avons pas toutes abordées.

Conclusion

La représentation théorique des fonctions est beaucoup plus vaste et complexe que la représentation associée à des situations concrètes.

Chaque modèle mathématique illustre une multitude de situations ou de phénomènes de la vie courante. Cependant, ces situations ne correspondent le plus souvent qu’à une partie du modèle.

Une bonne connaissance de l’algèbre est essentielle pour pouvoir utiliser adéquatement toutes les notions gravitant autour du concept de fonctions.

Chaque fonction possède ses propres propriétés (domaine, codomaine, intervalles de croissance et de décroissance, etc.). Être capable de les analyser est donc essentiel.