les carrés gréco-latins, ou la problématique queuler ne put résoudre présenté par: sami barrit...
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Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre
Présenté par:Sami Barrit
Kevin GeversKim Lê
Simon MehannaBalthazar Kabeya
Collège Saint-Michel 2010
Plan de la présentation
Introduction: Euler et les 36 officiers Les carrés latins Les carrés latins orthogonaux Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n
impair Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n pair
1. n multiple de 42. n non-multiple de 4
Utilités et applications
Euler et les 36 officiers
1782 Leonhard Euler 6 régiments, 6 grades,
36 officiers Carré gréco-latin
d’ordre 6 Impossibilité
démontrée par Tarry
Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents 1 2 3 4 5
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne
1 2 3 4 5
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
Carrés latins orthogonaux
Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.
Exemple de 2 carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
5 4 3 2 1
1 5 4 3 2
2 1 5 4 3
3 2 1 5 4
4 3 2 1 5
Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
A B C D E
E A B C D
D E A B C
C D E A B
B C D E A
Sans la méthode des diagonales opposées
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
A B C D E
B C D E A
C D E A B
D E A B C
E A B C D
1A
2B
3C
4D
5E
2B
3C
4D
5E
1A
3C
4D
5E
1A
2B
4D
5E
1A
2B
3C
5E
1A
2B
3C
4D
Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
A B C D E
E A B C D
D E A B C
C D E A B
B C D E A
Superposition de ces 2 carrés latins orthogonaux
1A
2B
3C
4D
5E
2E
3A
4B
5C
1D
3D
4E
5A
1B
2C
4C
5D
1E
2A
3B
5B
1C
2D
3E
4A
Création d’un carré gréco-latin pair
n pair multiple de 4 - n/4 est pair - n/4 est impair n pair non-multiple de 4
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
A B C D E F G H
B A D C F E H G
C D A B G H E F
D C B A H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres
A1
B 2
C3
D4
E F G H
B4
A3
D2
C1
F E H G
C7
D8
A5
B6
G H E F
D6
C5
B8
A7
H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres Division en 4 mini-carrés
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F G H A B C D
F5
E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F7
G H A B C D
F5
E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F7
G H A B C D
F5
E6
H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré Terminer le carré à la manière
d’un sudoku
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F7
G6
H5
A4
B3
C2
D1
F5
E6
H7
G8
B1
A2
D3
C4
G2
H1
E4
F3
C6
D5
A8
B7
H3
G4
F1
E2
D7
C8
B5
A6
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F7
G6
H5
A4
B3
C2
D1
F5
E6
H7
G8
B1
A2
D3
C4
G2
H1
E4
F3
C6
D5
A8
B7
H3
G4
F1
E2
D7
C8
B5
A6
n pair non-multiple de 4
1ère étape : Les groupes
Majeurs Mineurs
Type 1 A, B, C, D, E, F, G H, I, J
Type 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10
2ème étape : Les zones
3ème étape : Le remplissage
8 9 10
9 10 8
10 8 9
1. La zone des mineurs :
H I J
J H I
I J H
2. La zone mixte :
• Nos mineurs étant associés entre eux, il faut associer ceux du type 1 aux majeurs du type 2 ainsi que ceux du type 2 aux majeurs du type 1.• Cependant, il nous reste : -3 mineurs du type 1 à associer à 7 majeurs du type 2 = 21 cases. -3 mineurs du type 2 à associer à 7 majeurs du type 1 = 21 cases.• Il nous reste donc 42 cases à remplir donc 7 qui seront chacune une association de 2 majeurs
H I J
H I J
H I J
J H I
J H I
I J H
H I J
5 2 3
6 3 4
7 4 5
6 1 5
7 2 6
7 1 3
4 1 2
8 10 9
9 8 10
10 9 8
10 9 8
8 10 9
8 10 9
8 10 9
G D F
G A E
F A B
G B C
D A C
E B D
F C E
On va rassembler maintenant les 5 carrés créés précédemment en deux carrés latins. Le premier rassemblera le type 1, le deuxième le type 2.
A H I G J D F
G B H I A J E
F A C H I B J
J G B D H I C
D J A C E H I
I E J B D F H
H I F J C E G
1 5 2 8 3 10 9
9 2 6 3 8 4 10
10 9 3 7 4 8 5
6 10 9 4 1 5 8
8 7 10 9 5 2 6
7 8 1 10 9 6 3
4 1 8 2 10 9 7
3. La zone des majeurs :
Nous pouvons construire 2 carrés gréco-latins différents. Celui dont les zones des majeurs des caractères du type 1 sont identiques (notre exemple) et celui dont les zones des majeurs des caractères du type 2 sont symétriques par rapport à la diagonale.
E B C
F C D
G D E
A E F
B F G
C G A
D A B
E F G A B C D
B C D E F G A
C D E F G A B
4 7 6
5 1 7
6 2 1
7 3 2
1 4 3
2 5 4
3 6 5
2 3 4 5 6 7 1
3 4 5 6 7 1 2
5 6 7 1 2 3 4
Comment choisir les mineurs?
Généralisation: pour n’importe quel n pair non-multiple de 4, le nombre de mineurs vaudra:
Utilités et applications
Médecine Agronomie Organisation de tournois …
Exemple d’application
Merci pour votre écoute!