l'equazione di fokker-planck in ambiti astrofisici - infn.it ammassi stellari: grande numero di...
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L'equazione di Fokker-Planckin ambiti astrofisici
Laurea Triennale in FisicaCandidato: Domenico Barbato
Relatrice: Prof.ssa Fiorenza Donato
Università degli Studi di Torino
MercoledÌ 5 Dicembre 2012
● Introdotta da Adriaan Daniël Fokker e Max Planck[A.D.Fokker, Ann. Phys. 348, pg 810-820 (1914)][M.Planck, Stiz.ber. Preuß Akad. Pg 324-341(1917)]
Equazione di Fokker-Planck
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● Introdotta da Adriaan Daniël Fokker e Max Planck[A.D.Fokker, Ann. Phys. 348, pg 810-820 (1914)][M.Planck, Stiz.ber. Preuß Akad. Pg 324-341(1917)]
Equazione di Fokker-Planck
● Alcuni utilizzi fisici:● Studio del moto browniano di molte particelle● Collisioni Coulombiane nella fisica del plasma● Studio del moto delle stelle negli ammassi stellari
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● Introdotta da Adriaan Daniël Fokker e Max Planck[A.D.Fokker, Ann. Phys. 348, pg 810-820 (1914)][M.Planck, Stiz.ber. Preuß Akad. Pg 324-341(1917)]
● Altri campi di utilizzo:
● Chimica: evoluzione del numero di molecole di una specie chimica in una reazione● Geologia: infiltrazione dell'acqua in un terreno non coerente e legame con frane● Genetica: probabilità della fissazione di un gene in una popolazione● Matematica finanziaria: modelli di smile di volatilità per opzioni
Equazione di Fokker-Planck
● Alcuni utilizzi fisici:● Studio del moto browniano di molte particelle● Collisioni Coulombiane nella fisica del plasma● Studio del moto delle stelle negli ammassi stellari
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● Equazione di Boltzmann: il moto delle molte particelle di coordinate w = (x , v) nello spazio delle fasi esadimensionale è descritto da:
con f(w , t) funzione di densità dello spazio delle fasi e Γ(f) termine di collisione da essa dipendente.
oppure
Equazione di Fokker-Planck
∂ f∂ t
+ ∑i=1
6
wi∂ f∂wi
= Γ( f ) d fd t
= Γ( f )
2
● Equazione di Boltzmann: il moto delle molte particelle di coordinate w = (x , v) nello spazio delle fasi esadimensionale è descritto da:
oppure
● Detta Ψ(w , Δw) la sezione d'urto delle particelle, è possibile riscrivere il termine Γ come:
Γ (f ) = (∂ f∂ t
)i n
+ (∂ f∂ t
)out
= ∫ [Ψ (w−Δ w ,Δ w) f ( w−Δ w)−Ψ(w ,Δ w) f ( w)]d3 Δ w
Equazione di Fokker-Planck
∂ f∂ t
+ ∑i=1
6
wi∂ f∂wi
= Γ( f ) d fd t
= Γ( f )
2
con f(w , t) funzione di densità dello spazio delle fasi e Γ(f) termine di collisione da essa dipendente.
Equazione di Fokker-Planck
● Dominanza delle collisioni deboli (velocità relative basse). È possibile sviluppare in serie di Taylor il termine:
Ψ( w−Δ w ,Δ w) f (w−Δ w) = Ψ( w ,Δ w) f (w) − ∑i=1
6
Δwi∂
∂wi
[ Ψ(w ,Δ w) f ( w)]
+12
∑i , j=1
6
Δwi Δw j∂2
∂wi∂w j
Ψ(w ,Δ w )f (w ) + ...
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Equazione di Fokker-Planck
● Dominanza delle collisioni deboli (velocità relative basse). È possibile sviluppare in serie di Taylor il termine:
Ψ( w−Δ w ,Δ w) f (w−Δ w) = Ψ( w ,Δ w) f (w) − ∑i=1
6
Δwi∂
∂wi
[ Ψ(w ,Δ w) f ( w)]
+12
∑i , j=1
6
Δwi Δw j∂2
∂wi∂w j
Ψ(w ,Δ w )f (w ) + ...
● Approssimazione di Fokker–Planck: tronchiamo la serie al secondo ordine. Sostituendo in Γ(f) otteniamo l'equazione di Fokker-Planck:
dfdt
= −∑i=1
6∂
∂w i
[f (w )D(Δwi)] +12 ∑
i , j=1
6∂2
∂wi∂w j
[f (w )D(ΔwiΔw j)]
avendo definito i coefficienti di diffusione:
D(Δwi) = ∫ΔwiΨ(w ,Δ w )d 3Δ w
D(ΔwiΔw j) = ∫ΔwiΔw j Ψ( w ,Δ w)d3Δ w
3
Applicazione in astrofisicadell’equazione di Fokker-Planck
NGC 6093 (Foto: HST) NGC 5139 (Foto: HST) NGC 6624 (Foto: HST)
Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi perturbano le rispettive orbite.
4
Applicazione in astrofisicadell’equazione di Fokker-Planck
● Chiamiamo stella di test una stella campione di cui seguiamo l'orbita e stelle di campo le stelle i cui incontri ne perturbano la traiettoria
● La dominanza degli incontri deboli è giustificata dalle grandi distanze interstellari e conseguenti basse velocità relative.
NGC 6093 (Foto: HST) NGC 5139 (Foto: HST) NGC 6624 (Foto: HST)
Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi perturbano le rispettive orbite.
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● Non ci sono collisioni ma avvicinamenti tra stelle.
Approssimazione Localedell’equazione di Fokker-Planck
Lungo range della forza gravitazionale: la stella di test è perturbata da tutte le stelle dell'ammasso, anche le più lontane. Occorre considerare solo le perturbazioni dovute agli avvicinamenti, non quelle causate dalla presenza di stelle di campo lontane.
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Approssimazione Localedell’equazione di Fokker-Planck
Lungo range della forza gravitazionale: la stella di test è perturbata da tutte le stelle dell'ammasso, anche le più lontane. Occorre considerare solo le perturbazioni dovute agli avvicinamenti, non quelle causate dalla presenza di stelle di campo lontane.
● Incontri locali: parametro d'impatto negli incontri molto inferiore al raggio del sistema stellare. L'incontro influenza così solo le velocità e non la posizione delle stelle coinvolte:
D(Δ xi) = D(Δ xiΔ x i) = D(Δ xiΔ v i) = 0
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b < < RΔ w = (0 , Δ v )
Approssimazione Localedell’equazione di Fokker-Planck
Lungo range della forza gravitazionale: la stella di test è perturbata da tutte le stelle dell'ammasso, anche le più lontane. Occorre considerare solo le perturbazioni dovute agli avvicinamenti, non quelle causate dalla presenza di stelle di campo lontane.
● Incontri locali: parametro d'impatto negli incontri molto inferiore al raggio del sistema stellare. L'incontro influenza così solo le velocità e non la posizione delle stelle coinvolte:
b < < RΔ w = (0 , Δ v )
D(Δ xi) = D(Δ xiΔ x i) = D(Δ xiΔ v i) = 0
dfdt
= −∑i=1
3∂
∂ v i
[ f (w)D (Δ v i)] +12 ∑
i , j=1
3∂2
∂ v i∂ v j
[ f ( w)D (Δ vi Δ v j)]
● Equazione di Fokker-Planck in approssimazione locale:
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Calcolo dei coefficienti di diffusione
● In approssimazione locale, incontri indipendenti e tra due stelle. Stella di test di massa m, velocità v . Stelle di campo di massa m
a , con distribuzione di velocità f
a(v
a).
6
Calcolo dei coefficienti di diffusione
● Studiando l'incontro con interazione Newtoniana tra i due corpi è possibile ottenere i coefficienti di diffusione come:
D(Δ vi) = 4 πG2ma(m+ma) lnΛ∂h( v )
∂ vi
; D(Δ v iΔ v j) = 4 πG2ma2 lnΛ
∂2g ( v )
∂ v i v j
Λ =bmaxv typ
2
G (m+ma); h( v )=∫
f a (v a)
∣v−va∣d3 Δ va ; g( v )=∫ f a ( va)∣v−va∣d
3Δ va
Con:
h(v) e g(v) sono detti potenziali di Rosenbluth.
6
● In approssimazione locale, incontri indipendenti e tra due stelle. Stella di test di massa m, velocità v . Stelle di campo di massa m
a , con distribuzione di velocità f
a(v
a).
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
● Possiamo avere scritture più semplici dei coefficienti di diffusione se fa
dipende solo da va
= | va|. Direzione preferenziale è quella di v.
7
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
● Definendo un sistema di coordinate { e1, e
2, e
3 } per cui v ║ e
1 si ha:
D(Δ v2)= D (Δ v3)= 0
D [(Δ v2)2]= D [(Δ v3)
2]
D(Δ v1Δ v2)= D(Δ v1 Δ v3)= D(Δ v2Δ v3)= 0
troviamo che restano tre coefficienti indipendenti:
D(Δ v1) ≡ D(Δ v║)
D [(Δ v1)2] ≡ D (Δ v║
2)
2D [(Δ v 2)2] = 2D [(Δ v3)
2] ≡ D(Δ v┴
2)
decelerazione nella direzione e1
7
tasso di diffusione totale parallelo a e1
tasso di diffusione totale nel piano perpendicolare a e
1
● Possiamo avere scritture più semplici dei coefficienti di diffusione se fa
dipende solo da va
= | va|. Direzione preferenziale è quella di v.
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
● Sfruttiamo la simmetria sferica nello spazio delle velocità per sviluppare in polinomi di Legendre. Detto γ l'angolo compreso tra v e v
a:
∣v− va∣−1 = ∑
l=0
∞ vminl
vmaxl+1 Pl (cos γ)
∣v− va∣= ∑l=0
∞ vminl
vmaxl+1 Pl(cos γ)(v2+v a
2−2v va cos γ)
8
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
h (v ) =∫f a( va)
∣v− v a∣d
3Δ v a
= 4 π[1v∫0
v
v a2 f a(va)dva +∫
v
∞
v a f a( va)dva ]
g( v ) =∫ f a(v a)∣v− va∣d3Δ v a
=43
π v [ ∫0
v
(3v a2 +
v a4
v 2 ) f a(va)dva + ∫v
∞
(3va
2
v+v va)f a( va)dva ]
È possibile riscrivere i potenziali di Rosenbluth come:
∣v− va∣−1 = ∑
l=0
∞ vminl
vmaxl+1 Pl (cos γ)
∣v− va∣= ∑l=0
∞ vminl
vmaxl+1 Pl(cos γ)(v2+v a
2−2v va cos γ)
8
● Sfruttiamo la simmetria sferica nello spazio delle velocità per sviluppare in polinomi di Legendre. Detto γ l'angolo compreso tra v e v
a:
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
● Questa riscrittura ci permette di dire:
D(Δ v║) =−16 π2G2 ma lnΛ
v 2 (m+ma) ∫0
v
v a2 f a(va)dva
D(Δ v║2) =
32π2G
2ma lnΛ
3v[∫
0
vva
4
v2 f a(va)dv a + v∫v
∞
v a f a(va)dv a ]
D(Δ v┴2) =
32π2G2 ma lnΛ
3v[∫
0
v
(3va2 −
v a4
v 2 ) f a(v a)dva + 2v∫v
∞
v a f a( va)dv a ]
9
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
● Questa riscrittura ci permette di dire:
D(Δ v║)=−16π
2G2ma ln Λ
v2 (m+ ma)∫0
v
va2 f a(va)dva
D(Δ v║2)=
32π2G 2ma lnΛ
3v[∫
0
v va4
v2f a(va)dva + v∫
v
∞
va f a(va)dva ]
D(Δ v┴2)=
32π2G2ma lnΛ
3v[∫
0
v
(3va2−
va4
v2 ) f a(va)dva + 2v∫v
∞
va f a(va)dva]
● La cui relazione con i coefficienti di diffusione in un sistema di coordinate arbitrario è data da:
D (Δ v i)=vi
vD(Δ v║)
D (Δ v iΔ v j)=viv j
v2[D (Δ v║
2)−12D (Δ v┴
2)]+12
δ ijD (Δ v┴2)
9
Coefficienti di diffusione per fa maxwelliana
● Calcoliamo i coefficienti di diffusione per una fa(v
a) particolare, la
distribuzione maxwelliana:
f a(va) =ρ
ma(2πσ 2)3 /2 e−
va2
2σ2
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Coefficienti di diffusione per fa maxwelliana
● Calcoliamo i coefficienti di diffusione per una fa(v
a) particolare, la
distribuzione maxwelliana:
f a(va) =ρ
ma(2πσ 2)3 /2 e−
va2
2σ2
per la quale:
D(Δ v║)=−4πG 2
ρ(m+ ma)lnΛ
σ2 F (
v
√ 2σ)
D(Δ v║2)=
8G2πρma lnΛ
vF (
v
√ 2σ)
D(Δ v┴2)=
8G 2πρma lnΛ
v[erf (
v
√ 2σ)− F (
v
√ 2σ)]
con:
F (v
√2σ) = σ
2
v 2 [ erf (v
√2σ) −
2v
√2 πσe
−v2
2σ 2
] ; erf (x ) =2
√π∫0
x
e− t2dt
10
Coefficienti di diffusione per fa maxwelliana
● Consideriamo un tipico ammasso globulare con:
m = 2 M ☉
ma = 2 M☉
vtyp = 8 km s−1
σ = 7 km s−1
bmax = 1.5pc = 4.63 1013 km
ρ = 2.72 10−37 M☉ km−3 = 5.41 10−19 g cm−3
Con questi valori calcoliamo i coefficienti di diffusione.
11
Massa della stella di test
Massa della stella di campo
Tipica velocità stellare
Dispersione di velocità delle stelle di campo
Parametro d'impatto massimo
Densità delle stelle di campo
Coefficiente D(Δv║) per f
a maxwelliana
D(Δ v║)=−4πG 2
ρ(m+ ma)lnΛ
σ2 F (v
√ 2σ)
12
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
Diverse ma
Λ =bmaxv typ
2
G (m+ma)
Coefficiente D(Δv║) per f
a maxwelliana
D(Δ v║)=−4πG 2
ρ(m+ ma)lnΛ
σ2 F (v
√ 2σ)
12
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
Diverse m
Λ =bmaxv typ
2
G (m+ma)
Coefficiente D(Δv║) per f
a maxwelliana
D(Δ v║)=−4πG 2
ρ(m+ ma)lnΛ
σ2 F (v
√ 2σ)
12
0.001 km/s
7 km/s
100 km/s
Diverse σ
Coefficiente D(Δv║
2) per fa maxwelliana
D(Δ v║2)=
8G 2πρma lnΛ
vF (
v
√ 2σ)
13
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
Diverse ma
Λ =bmaxv typ
2
G (m+ma)
Coefficiente D(Δv║
2) per fa maxwelliana
13
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
Diverse m
D(Δ v║2)=
8G 2πρma lnΛ
vF (
v
√ 2σ) Λ =
bmaxv typ2
G (m+ma)
Coefficiente D(Δv║
2) per fa maxwelliana
13
0.001 km/s
7 km/s
100 km/s
Diverse σ
D(Δ v║2)=
8G 2πρma lnΛ
vF (
v
√ 2σ)
Coefficiente D(Δv┴
2) per fa maxwelliana
D(Δ v┴2)=
8G 2πρma lnΛ
v[erf (
v
√ 2σ)− F (
v
√ 2σ)]
14
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
Diverse ma
Λ =bmaxv typ
2
G (m+ma)
Coefficiente D(Δv┴
2) per fa maxwelliana
14
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
Diverse m
D(Δ v┴2)=
8G 2πρma lnΛ
v[erf (
v
√ 2σ)− F (
v
√ 2σ)] Λ =
bmaxv typ2
G (m+ma)
Coefficiente D(Δv┴
2) per fa maxwelliana
14
0.001 km/s
7 km/s
100 km/s
Diverse σ
D(Δ v┴2)=
8G 2πρma lnΛ
v[erf (
v
√ 2σ)− F (
v
√ 2σ)]
Soluzione analitica dell’equazione di Fokker-Planck in regime stazionario
● Riprendiamo l'equazione in approssimazione locale:
dfdt
= −∑i=1
3∂
∂ v i
[ f (w)D (Δ v i)] +12 ∑
i , j=1
3∂2
∂ v i∂ v j
[ f ( w)D (Δ vi Δ v j)]
che sotto le precedenti condizioni (v1=v, v
2=v
3=0) è riscrivibile come:
dfdt
= − ∂∂ v
[ f (w )D(Δ v║)] +12
∂2
∂ v 2 [ f (w )D(Δ v║2)]
15
Soluzione analitica dell’equazione di Fokker-Planck in regime stazionario
● Riprendiamo l'equazione in approssimazione locale:
dfdt
= −∑i=1
3∂
∂ v i
[ f (w)D (Δ v i)] +12 ∑
i , j=1
3∂2
∂ v i∂ v j
[ f ( w)D (Δ vi Δ v j)]
che sotto le precedenti condizioni (v1=v, v
2=v
3=0) è riscrivibile come:
dfdt
= − ∂∂ v
[ f (w )D(Δ v║)] +12
∂2
∂ v 2 [ f (w )D(Δ v║2)]
● Imponendo condizioni di stazionarietà, la soluzione di questa equazione è:
f st(v ) =N
D (Δ v║2)
exp [∫0
v D(Δ v '║)
D(Δ v '║2)dv ' ] =
N
D(Δ v║2)
exp[ −m+ma
4ma
v2
σ2 ]
15
f st(v ) =N
D (Δ v║2)
exp [ −m+ma
4ma
v 2
σ2 ]
16
Soluzione analitica dell’equazione di Fokker-Planck in regime stazionario
Tempo di rilassamento di una stella● Diciamo tempo di rilassamento il tempo dopo il quale l'orbita della
stella di test è significativamente perturbata:
t relax =v 2
D(Δ v║2)
17
Tempo di rilassamento di una stella● Diciamo tempo di rilassamento il tempo dopo il quale l'orbita della
stella di test è significativamente perturbata:
t relax =v 2
D(Δ v║2)
● Per un valore tipico di v (8 km/s), si trova che trelax
= 3.7 107 yr; l'età
tipica di un ammasso globulare è 1010 yr. 17
Considerazioni finali
In questo lavoro di tesi ho:
● studiato l’equazione di Fokker-Planck
● applicato questa equazione ad un contesto astrofisico
● calcolato i coefficienti di diffusione in approssimazione locale e per una distribuzione delle stelle di campo maxwelliana
● ricavato la soluzione analitica dell’equazione in approssimazione locale ed in regime stazionario
● analizzato il tempo di rilassamento di una stella dell’ammasso
18
Questo lavoro ha seguito una trattazione analitica altamente accademica; il reale studio del problema richiede approssimazioni meno stringenti e metodi di analisi numerica complicati.
Grazie dell'attenzione
BIBLIOGRAFIA
J.Binney, S.Tremaine, “Galactic Dynamics” (Princeton University Press) 1987
L.Spitzer, “Dynamical Evolution of Globular Clusters” (Princeton University Press) 1987
M.N. Rosenbluth, W.M. MacDonald, D.L. Judd, Phys. Rev., 107, 1, 1967
H.Risken, “The Fokker-Planck Equation” II ed (Springer-Verlag) 1989
C.W.Gardiner, “Handbook of Stochastic Methods” II ed (Springer-Verlag) 1989
A.1 – Energia cinetica della stella di test
● In approssimazione locale e per v1=v, v
2=v
3=0 il tasso di variazione
dell'energia cinetica della stella di test è:
D(ΔE) = m∑i=1
3
[vi D(Δ vi) +12
D (Δ vi2)]
= m [v D (Δ v║) +12
D(Δ v║2) +
12
D (Δ v┴2)]
= 16 π2G2mma lnΛ [ma∫
v
∞
va f a(v a)dva −m∫0
v v a2
vf a(v a)dva ]
● Il primo integrale descrive la tendenza della stella di test ad essere scaldata dalle stelle di campo, il secondo l'effetto raffreddante dell'attrito dinamico. La stella di test raggiunge l'equilibrio quando i due termini si bilanciano, cioè per velocità quadratiche media proporzionali a m-1.
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale
● Il valore iniziale della velocità relativa V=v – va è V
0 e la sua variazione
a seguito dell'incontro è ΔV. Sistema di coordinate per cui V0 ║ e
1. ;
diciamo φ l'angolo tra il piano orbitale e e1 in modo da scrivere:
Δ v =−Δ v║ e1 + Δ v┴ (cosϕ e2 +sin ϕ e3)
Con le relazioni di parallelismo e perpendicolarità intese rispetto a V0
, e:
Δ v║ =2maV 0
m+ma
[1+b2V 0
4
G2(m+ma)
2 ]−1
Δ v┴ =2ma bV 0
3
G (m+ma)2 [1+
b2V 04
G2(m+ma)2 ]
−1
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale
● Possiamo scrivere le variazioni della velocità dopo un incontro come:
Δ v i = ∑k
(Δ v⋅ ek ) (ei⋅ek )
Δ v iΔ v j =∑k ,l
(Δ v ⋅ ek ) (Δ v⋅ el) (ei⋅ek ) (e j⋅ el)
Mediando su φ (0, 2π) si ottiene:∈
⟨Δ vi⟩ϕ =−Δ v║ (ei⋅ e1)
⟨Δ viΔ v j⟩ϕ =(Δ v║)2(e i⋅e1)(e j ⋅e1) +
12
(Δ v┴ )2[( ei⋅e 2)(e j ⋅e2) + (ei ⋅e3)(e j⋅e3)]
● Sommando gli effetti di tutti gli incontri si ha:
D(Δ vi) = 2π∫ f a(v a)V 0 ⟨Δ v i⟩ϕb db d3 v a
D(Δ vi Δ v j)= 2 π∫ f a(v a)V 0⟨Δ vi Δ v j⟩ϕb db d3v a
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale
Cioè:
D(Δ vi) =−2π∫ f a( va)V 0(ei⋅e1) d3 v a ∫
0
b max
Δ v║b db
D(Δ vi Δ v j)= 2 π∫ f a(v a)V 0 d3 v a ×
×{(ei ⋅e1)(e j⋅ e1)∫0
bmax
(Δ v║)2b db +
12[δij−(e i⋅e 1)(e j ⋅e1)∫
0
bmax
(Δ v┴)2 b db ]}
Notando che:
e1 =V 0
V 0
(ei⋅e1) =V 0i
V 0
D(Δ vi) =−2π∫ f a( va)V 0i d3 v a ∫
0
b max
Δ v║b db
D(Δ vi Δ v j)= 2 π∫ f a(v a)V 0 d3 v a ×
si ottiene:
δ ij−(ei⋅ e1)(e j⋅e1) = δij−V 0iV 0j
V 02
×{V 0iV 0j
V 02 ∫
0
bmax
(Δ v║)2b db+
12
[ δij−V 0iV 0j
V 02 ∫
0
b max
(Δ v┴)2 b db ]}
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale
∫0
bmax
Δ v║b db = G2 ma(m+ma)
V 03
ln (1+Λ 2)
∫0
bmax
(Δ v║)2d db = 2
G2ma2
V 02 (1− 1
1+Λ2 )
∫0
bmax
(Δ v┴ )2 b db = 2G2ma
2
V 02 [ ln(1+Λ2)−1+
1
1+Λ2 ]
● Gli integrali in db nei coefficienti di collisione sono::
con Λ =bmax V 0
2
G(m+ma)
● Nelle nostre applicazioni Λ è molto grande; approssimiamo e diciamo:
∫0
bmax
Δ v║b db = 2G2 ma(m+ma)
V 03
lnΛ
∫0
bmax
(Δ v║)2d db = 0
∫0
bmax
(Δ v┴ )2 b db = 4G2ma
2
V 02 lnΛ
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale
● Allora:
D(Δ vi) =−4πG2ma(m+ma) ∫V 0i
V 03 f a(v a) lnΛ d3 v a
D(Δ vi Δ v j)= 4πG2ma2∫ [
δij
V 0
−V 0iV 0j
V 03 ] f a(v a) lnΛ d 3 v a
Essendo Λ grande, non compiamo grandi errori nel porlo indipendente da v
a :
Λ =bmax V 0
2
G(m+ma)Λ =
bmax V 02
G(m+ma)
In modo da avere:
D(Δ vi) =−4πG2ma(m+ma) lnΛ ∫V 0i
V 03 f a(va) d3 va
D(Δ vi Δ v j)= 4πG2ma2 lnΛ ∫ [
δ ij
V 0
−V 0iV 0j
V 03 ] f a(v a) d3 va
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in approssimazione locale
● Essendo infine:
V 0 = √∑i=1
3
(v i − v ai)2
V 0i
V 03 =− ∂
∂v i
1V 0
δij
V 0
−V 0iV 0j
V 03 = ∂2
∂v i∂ v j
V 0
Otteniamo:
D(Δ vi) = 4 πG2ma(m+ma) lnΛ
∂h( v )
∂ vi
D(Δ viΔ v j)= 4πG2ma
2ln Λ
∂2g( v )
∂ vi v j
h (v ) =∫f a(v a)
∣v−v a∣d 3
Δ v a ; g( v ) =∫ f a( va)∣v− v a∣d3Δ va
con:
A.3 – Sviluppo dei potenziali di Rosenbluth
● Se la fa è isotropa possiamo sviluppare i potenziali di Rosenbluth in
serie di polinomi di Legendre. Diciamo γ l'angolo compreso tra v e va e
siano vmin
, vmin
rispettivamente il minore e maggiore tra v e va :
1∣v− va∣
= ∑l=0
∞ vminl
vmaxl+1 Pl (cos γ)
Per cui:
h (v ) = 2π∑l=0
∞
∫0
∞ va2 vmin
l
vmaxl+1 f a( va) d va ∫
0
π
Pl(cos γ) sin γd γ
Che, per l'ortogonalità dei polinomi di Legendre:
∫−1
1
Plm(X)P n
m(X )dX =2
2l+1(l+m)!(l−m)!
δ lm ∫−1
1
Pl (X )dX = 2δl0
Diventa:
h (v ) = 4 π[1v∫0
v
va2 f a(v a)dv a +∫
v
∞
va f a(v a)dva ]
A.3 – Sviluppo dei potenziali di Rosenbluth
● Analogamente:
∣v− va∣= ∑l=0
∞ vminl
vmaxl+1 Pl(cos γ)(v2+v a
2−2v va cosγ)
Per cui:
g( v ) = 2π∑l=0
∞
∫0
∞ v a2 vmin
l
vmaxl+1 f a(v a) d v a×
×[(v 2+v a2)∫
0
π
Pl (cosγ)sin γd γ − 2v v a∫0
π
Pl (cosγ)sin γ cos γd γ ]
Che, per l'ortogonalità dei polinomi di Legendre:
∫−1
1
Pl (X )dX = 2δl0 ; ∫−1
1
Pl(X) XdX =23
δ l1
Diventa:
g( v ) =43
π v [ ∫0
v
(3v a2 +
v a4
v 2 ) f a( va)dva +∫v
∞
(3va
2
v+v va)f a(v a)dva ]