Leonhard Paul Euler

NÚMEROS COMPLEJOS

Martti Oliva - Números complejos 1

Índice

1. Historia

2. Números complejos

a. Definición

b. Representación

c. Operar con números complejos

d. Números complejos de forma polar

e. Propiedades interesantes

3. Aplicaciones de los números complejos

4. Fórmula de Euler y trigonometría

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1. HistoriaDurante todo el transcurso de primaria y secundaria, hemos oído hablar de unos números un tanto complejos e inexplicables hasta ese momento. Pero al comenzar 1º de Bachillerato, podemos observar que en los libros de matemáticas, ha aparecido un nuevo tema en concreto: Números Complejos. Antes de profundizar en la historia de los números, es bueno saber que son. Existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, la ecuación x2 + 9 = 0 no tiene solución real, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9. Para comenzar, debemos conocer el origen de los números complejos. La primera referencia que se encontró de los números complejos fue en la obra Estereometría de Herón de Alejandría, alrededor de la mitad del siglo I. En un fragmento, aparece la raíz cuadrada de un número negativo. La siguiente referencia sobre los números complejos se data en el año 275 en la obra de Diophantus, Arithmetica. En su intento de calcular los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336 x2 + 24 = 172 x, ecuación de raíces complejas. La primera explicación a estos números la dan los matemáticos hindúes. Mahavira, en el año 850, comentó en su tratado de los números negativos la primera definición:

“como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”.

Posteriormente, Bhaskara, en 1150, hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz cuadrada de un número negativo de esta forma:

“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.”

Primeros estudios: S. XVI

En 1545, Jerome Cardan, matemático, físico y filósofo italiano, publicó “Ars Magna” en el cual describe un método para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se convertía así en el mayor tratado de álgebra desde los Babilonios, 3000 años antes, que dedujeron cómo resolver la ecuación de segundo grado. Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:

“Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que esta cuestión es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma.”

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1. HistoriaFue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli, unos treinta años después de la publicación de la obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento a las conclusiones de Cardan. Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombellidesarrolló un cálculo de operaciones con números complejos que se ajusta a los que conocemos en la actualidad. A principios de 1620, Albert Girard sugirió que las ecuaciones de grado n tenían n raíces. René Descartes, que bautizó con el nombre de imaginarios a estos números, apuntó también que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque alguna de ellas podían ser números imaginarios. Los números complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan Bernoulli usaron números imaginarios en la resolución de integrales. Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean D'Alembert en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas erróneas del teorema fundamental del álgebra. Euler fue el primero en usar la notación haciendo además un uso fundamental de los números complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonométricas por la expresión. Por otro lado, Euler expuso su identidad, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Además, tenemos los cinco números fundamentales:

■ El cero: 0

■ El uno: 1

■ El número

■ El número e

■ El número i

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss, en su tesis doctoral, daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del álgebra. La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba qué lógica regía sobre las operaciones con números complejos que permitiese su enseñanza. En el siglo XIX ya proponen algunos matemáticos, de Cambridge principalmente, que debíahaber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para muchos. La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand.

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1. HistoriaNo obstante sería la referencia de Gauss la que tendría el impacto suficiente. En 1833, William Rowan Hamilton da la primera definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de números reales. Más tarde, es Augustin-Louis Cauchy quien da una definición abstracta de los números complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basándose en las clases de congruencias de enteros dada por Gauss.Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los números complejosya habían desaparecido.La presencia de los numeros complejos en diversas areas de las matemáticas puede ser clasificadas de manera muy genérica de la siguiente forma:

■ Álgebra

■ Análisis

■ Geometría

■ Teoría de números

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2. Números complejos1. Definición

Para empezar, debemos definir un número complejo. Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. La unidad

imaginaria es el número y se designa por la letra i.■

■

Un número imaginario se denota por bi, donde :

■ b es un número real■ i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

Números complejos en forma binómicaAl número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

■ El número a se llama parte real del número complejo.■ El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

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2. Números complejos2. Representación

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

1. Por el punto (a,b), que se llama su afijo

2. Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

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2. Números complejos2. Representación

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje

imaginario, Y.

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2. Números complejos3. Operar con números complejos

Para poder comprender los números complejos, debemos saber operar con ellos.

■ Suma y diferencia: Se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes

imaginarias entre sí.

■ Multiplicación: el producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad

distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = −1.

■ División: el cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto

es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

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2. Números complejos

4. Números complejos de forma polar

■ El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de

coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

5. Propiedades interesantes

■ Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

■ Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

■ Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

■ Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

■ Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma

componente imaginaria.

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3. Aplicaciones: números complejos

■ En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación

espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en

números el comportamiento de los fluidos.

■ Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de una

máquina-herramienta por medio de números.

■ En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica

del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable

imaginaria.

■ Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los

define a través de cálculos con números complejos en el plano.

■ Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de procesos

físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales

electrónicas.

■ Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha,

amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica,

centrales hidroeléctricas.

■ Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas

sobre vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los físicos),

además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor.

■ En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación

de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta

fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para las

aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos.

■ Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una

descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z =

r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal

de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de

la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z

nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,

capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias

para las dos últimas.

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4. Números complejos: Fórmula de Euler y trigonometríaComo vimos antes, la fórmula de Euler abarcaba prácticamente todas las unidades matemáticas.

Se encuentra otra expresión tal que así:

siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy

Por otro lado, esta fórmula de Euler se puede ilustrar en el plano complejo.

Gracias a este trabajo, hemos podido conocer más a fondo todo lo que abarcan los números

complejos, la manera de operarlos, sus aplicaciones en la vida cotidiana y un poco de historia

de las matemáticas. Sin duda, la clasificación de los números queda mucho más clara, simple y

comprensible.

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