Metodat e Analizes se Qarqeve

• Der tani kemi shqyrtuar metoda për analizën e qarqeve të thjeshta, të cilat mund të përshkruhen tërësisht me anën e një ekuacioni të vetëm.

• Analiza e qarqeve më të përgjithshëm çon në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh.

• Shumica e qarqeve në përgjithësi përfshijnë më shumë se një ekuacion, por ekuacionet ishin të një tipi që mund të zgjidheshin lehtë.

Metoda të përgjithshme te analizes

• Do të shqyrtojmë rrugët sistematike të formulimit dhe të zgjidhjes së ekuacioneve që merren gjatë analizës së qarqeve më të ndërlikuar.

• Do te analizojme dy metoda:

– Metoda e bazuar në ligjin e Kirkofit per rrymat, e cila në përgjithësi çon në ekuacione ku si tëpanjohura janë tensionet.

– Metoda e bazuar në ligjin e Kirkofit per tensionetqe çon në ekuacione ku si të panjohura janë rrymat.

METODA E POTENCIALEVE TË NYJEVE

• Metoda e potencialeve te nyjeve eshte njemetode e pergjithshme per analizen e qarqeve qeperdor si variabla te qarkut potencialet e nyjeve, ne vend te tensioneve te elementeve, duke reduktuar numrin e ekuacioneve .

• Meqenëse tensioni përcaktohet si një madhësi që ekziston ndërmjet dy nyjeve është e përshtatshme të zgjidhet në qark një nyje që konsiderohet nyje referimi ose nyje bazë dhe pastaj të shoqërojmë një tension ose potencial me çdo nyje tjetër.

• Tensioni i çdo nyjeje të ndryshme nga ajo e referimit në lidhje me nyjen e referimit përcaktohet si potencial i nyjes.

• Në praktikën e zakonshme zgjedhja epolariteteve është e tillë që potencialet e nyjeve janë pozitive në lidhje me nyjen e referimit.

• Për një qark që përmban N nyje do të jenë N-1 potenciale nyjesh, disa prej të cilëve natyrisht që mund të jenë të njohura në qoftë se janë tëpranishëm burimet e tensionit.

• Per te thjeshtuar problemin , fillimisht do tetrajtojme qarqe qe nuk permbajne burime tensioni.

• Qarqet qe permbajne burime tensioni do t’Ianalizojme me pas.

• Ne metoden e potencialeve te nyjeve jemi teinteresuar te gjejme tensionet e nyjeve.

• Ne nje qark te dhene me n nyje pa burime tensioni , metoda e potencialeve te nyjeve zhvillohet ne tri hapat e meposhtem:

• Zgjidhet nje nyje si nyje referuese. Shpesh si nyje

referimi zgjidhet nyja në të cilën ështe lidhur numri më i

madh i degëve.Caktojme tensionet v1,v2,...,vn-1 ne n -1

nyjet qe mbeten .Tensionet i referohen Nyjes referuese.

• Zbatojme LKR ne secilen prej n-1 nyjet jo referuese.

Perdorim ligjin e Ohmit per te shprehur rrymat e degeve

ne terma te potencialeve te nyjeve.

• Zgjidhim ekuacionet per te marre potencialet e

panjohura te nyjeve.

Le te shpjegojme dhe zbatojme keto tre hapa.

• HAPI I PARE eshte te percaktojme nyjen e referimit, e cila zakonisht quhet toke meqenese ajo konsiderohette kete potencial zero.

• Nyja reference tregohet nga tre simbolet:

• Tipi i tokes ne figuren (b) quhet toke- shasi dhepërdoret në pajisjet ku shasia vepron si një pikëreferimi për të gjitha qarqet.

• Shumë qarqe praktike ndërtohen mbi një bazë metalike ose shasi dhe zakonisht ka një numër elementësh të lidhur me shasinë e cila është një zgjidhje logjike si nyje referimi.

• Tipi i tokes si ne figuren në (a) ose (c) quhet tokë- tokëdhe perdoret kur potenciali i tokes përdoret sireferencë.

• Në shumë raste, si në sistemet elektrike të fuqisë, si shasi shërben vetë toka.

• Ne do te perdorim gjithmone simbolin ne (b).

• Pasi kemi zgjedhur nje nyje referimi , percaktojmeemertimet e tensionit ne nyjet joreference.

• Marrim ne shqyrtim qarkun ne Fig. 3.2(a).

• Nyja 0 eshte nyja referuese (v=0), ndersa nyjeve 1 dhe 2 i jane caktuar tensionet v1 dhe v2 ,respektivisht .

• Mbani mend se tensionet e nyjeve janë të përcaktuaranë lidhje me nyjen e referencës.

• Siç ilustrohet ne Fig. (a), secili tension nyje është rritjatensionit nga nyja referuese tek nyja joreferuesekorresponduese ose thjesht tensioni i kesaj nyje ne lidhje me nyjen referuese.

• HAPI DYTE Zbatojme LKR ne secilen nyje joreferuese.

• Për të shmangur vënien e shumë informacioni në te njejtinqark, qarku rivizatohet si në Fig.(b), ku ne tani kemi shtuari1, i2, dhe i3, si rryma qe kalojne respektivisht nëpërmjetresistoreve R1, R2, dhe R3.

• Ne nyjen 1, zbatimi LKR jep:

(1)

• Ne nyjen 2 :

(2)

• Zbatojme ligjin e Ohm-it per te shprehur rrymat e panjohura i1, i2, dhe i3 ne terma te tensioneve te nyjeve.

• Ideja kryesore që duhet të mbajmë mend është se, pasirezistenca është një element pasiv, nga konvencioni ishenjave pasive, rryma duhet gjithmonë të rrjedhe nganjë potencial me i lartë tek një potencial më i ulët.

• Ne mund te shprehim kete parim si :

Rryma rrjedh nga nje potencial me i larte tek njepotencial me i ulet ne nje rezistor .

• Duke u bazuar mbi kete parim, i cili perputhet me menyren si kemi percaktuar rezistencen me pare, marrim :

(3)

(1) (2)

• Duke zevendesuar (3) tek (1) dhe (2) kemi:

(4)

(5)

• Ne terma te percjellshmerise ekuacionet (4) dhe (5) behen :

4.1

5.1

• HAPI I TRETË në analizen me metoden e potencialeve te nyjeve është të gjejme potencialet enyjeve.

• Nëse aplikojmë LKR tek n-1 nyjet joreference, ne marrim njekohesisht n-1 ekuacione, si ekuacionet (4) dhe (5) ose (4.1) dhe (5.1) .

• Zgjidhim ekuacionet (4) dhe (5) ose (4.1) dhe (5.1) për të marrë tensionet e nyjeve v1 dhe v2, duke përdorur ndonjë metodë standarde, të tilla si metoda e zëvendësimit, metoda eliminimit, rregullin Cramer, ose matricat inverse.

• Për të përdorur metoden e fundit, duhet të shprehim ekuacionet në formë matricore.

• Për shembull, ekuacionet (4.1) dhe (5.1) mund të shprehen në formë matricore dhe te zgjidhen per temarre v1 dhe v2:

• Zgjidhja e ekuacioneve mund te behet duke perdorurSoftware si Matlab,Mathcad, etj.

SHEMBULL 1

Llogaritni potencialet e nyjeve ne qarkun e dhene.

• Pergatisim qarkun per metoden e potencialeve tenyjeve.

• Zgjedhim nyjen reference dhe rrymat për zbatimin e LKR.

• Me përjashtim të degëve me burime rryme, etiketimi irrymave është arbitrar, por konsistent. (Me konsistent do të kuptojme qe nëse, p.sh supozojmë se i2 hyn ne rezistorin 4 Ω nga ana e majtë, i2 duhet të lërë rezistorinnga ana e djathtë).

• Duhen percaktuar potencialet e nyjeve v1 dhe v2 .

• Ne nyjen 1 duke zbatuar LKR dhe ligjin e Ohmitmarrim :

Duke shumezuar çdo term me 4 kemi :

• Bejme te njejten gje per nyjen 2:

Duke shumezuar çdo term me 12 kemi :

• Tani duhet te zgjidhim ekuacionet e meposhtme me ndonje nga metodat e permendura , per te mnarrevlerat e v1 dhe v2 :

METODA ELEMINIMIT

• Duke perdorur metoden e eleminimit , mbledhim dyekeuacionet dhe kemi :

• Duke zevendesuar v2 marrim :

RREGULLI CRAMER

• Per te perdorur rregullin Cramer , nevojitet te vendosimekuacionet ne forme matricore:

• Determinanti i matrices eshte :

• Tani marrim v1 dhe v2 :

• Rrymat mund te llogariten lehtesisht nga vlerat e potencialeve te nyjeve .

• Fakti qe i2 eshte negative tregon se rryma rrjedh ne drejtimte kundert me ate te supozuar.

SHEMBULL 2

Percaktoni potencialet e nyjeve.

Zgjidhje :

• Qarku ka tre nyje joreferuese. Caktojme potencialet e tre nyjeve dhe etiketojme rrymat.

• Ne niyen 1:

• Ne nyjen 2:

• Ne nyjen 3 :

• Duhet te zgjidhim tre ekuacione per te marrepotencialet e nyjeve v1, v2, and v3. Do te zgjidhimekuacionet ne dy menyra.

METODA E ELEMINIMIT

Perdorim tekniken e eleminimit .

Mbledhim ekuacionet (1) dhe (3) :

(1)

(2)

(3)

Marrim:

(4)

• Duke mbedhur (2) dhe (3) , marrim :

(5)

• Zevendesojme (5) tek (4)

marrim :

• Nga ekuacioni (3) marrim :

Pra :

RREGULLI CRAMER

• Per te perdorur rregullin Cramer shkruajmeekuacionet ne formen matricore:

• Prej ketej marrim :

• Ku jane percaktoret qe do tellogarisim me poshte:

• Per te llogaritur determinantet e nje matrice 3x3 , perserisim dy rreshtat e pare

• Pastaj gjejme :

Metoda e potencialeve te nyjeve me burimetensioni

• Ne tani do te trajtojme si burimet e tensionit ndikojnëne analizën e potrencialeve te nyjeve . Perdorim qarkunne figure për ilustrim.

Trajtojme dy mundësitë e meposhtme:

RASTI 1.

• Nëse një burim tensioni lidhet ndermjet nyjesreferuese dhe nje nyje joreferuese, vendosimpotencialin ne nyjen joreferuese te barabarte me tensionin e burimit te tensionit, për shembull,

• Prandaj analiza jone thjeshtohet nga njohja e tensionitne kete nyje.

Rasti 2

• Nese burimi I tensionit lidhet ndermjet dy nyjevejoreferuese, dy nyjet joreferuese formojne nje nyje tepergjithesuar ose nje supernyje; zbatojme LKR dhe LKT per te percaktuar potencialin e nyjes.

Nje supernyje formohet nga nje burim tensioni lidhurndermjet dy nyjeve joreferuese dhe çdo element ilidhur ne paralel me te.

• Nyjet 2 dhe 3 formojne nje supernyje (mund te kemime shume se 2 nyje qe formojne nje supernyje tevetme).

• Nje qark me supernyje e analizojme duke perdorur tenjejtat hapa te përmendura me pare, përveç se supernyja trajtohet ndryshe. Pse? Sepse një komponentthelbësor i analizes se potencialeve te nyjeve zbatonLKR , e cili kërkon njohjen e rrymes përmes çdoelementi.

• Nuk ka asnjë mënyrë për të njohur paraprakisht rrymenpermes një burimi tensioni. Megjithatë, LKR zbatohet ne nje supernyje si ne çdo nyje tjetër.

• Prandaj, në supernyjen në qarkun e dhene kemi :

• Per te zbatuar LKT ne supernyje rivizatojme qarkun .

• Duke shkuar rreth konturit ne sensin antiorar marrim:

• Konstatojme qe :

Karakteristikat e nje supernyje jane si me poshte :

• Burimi tensionit brenda supernyjes ofron njëekuacion i nevojshem per të zgjidhur potencialet e nyjeve.

• Një supernyje nuk ka tension te tij.

• Një supernyje kërkon aplikimin e te dy ligjeve ; LKR dhe LKT.

SHEMBULL

Per qarkun e dhene te gjendet tensionet e nyjeve .

Zgjidhje

• Supernyja permban burimin e tensionit 2-V, nyjet 1 dhe2 dhe rezistorin 10Ω.

• Duke zbatuar LKR tek supernyja kemi :

• Duke shprehur i1 dhe i2 ne terma te tensioneve tenyjeve, kemi:

(1)

• Per te marre lidhjen ndermjet v1 dhe v2, zbatojme LKR ne qarkun ne Fig.(b). Duke shkuar rreth konturit marrim:

(2)

• Nga ekuacionet (1) dhe (2) shkruajme:

dhe

• Rezistori nuk bën asnjë dallim për shkak se ajo është e lidhur nëpër supernyje .