leis de biot-savart e de ampère - udesc - cct · carga somente quando ela está em movimento. ......
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• Vimos que uma carga elétrica cria um campo elétrico e que este
campo exerce força sobre uma outra carga.
• Também vimos que um campo magnético exerce força sobre uma
carga somente quando ela está em movimento.
Será também verdade que uma carga elétrica cria um campo
magnético somente quando ela está em movimento? A resposta é sim.
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Campo magnético gerado no ponto P por UMA carga puntiforme com
velocidade constante
permeabilidade do vácuo 3
Forças entre dois prótons que se movem: dois prótons se deslocam
paralelamente ao eixo Ox em sentidos opostos, com a mesma velocidade v. No
instante da configuração indicada na figura a seguir, determine a força elétrica e a
força magnética sobre o próton da parte superior e calcule a razão entre os módulos
dessas forças.
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Campo magnético gerado pelo próton da parte
inferior:
Portanto:
Força elétrica sobre o próton da parte superior:
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c: velocidade da luz
Força magnética sobre o próton da parte superior:
Portanto, a razão entre o módulo da força
magnética e o módulo da força elétrica é dada por:
Portanto, quando a velocidade v for pequena em comparação à velocidade
da luz c, a força magnética será muito menor do que a força elétrica. 6
Campo magnético de um elemento de corrente
O campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem é a
soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais. 7
Considere que existam n partículas carregadas por unidade de volume em um fio
condutor. A grandeza n denomina-se concentração de partículas; sua unidade SI é
m-3 . Então, a quantidade de carga dQ em um volume diferencial dV = A dl pode ser
escrita como:
Tal que:
Mas,
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Tal que:
“Lei de Biot-Savart”
Vista “frontal do fio”: ele está
perpendicular ao plano desta página.
O símbolo X indica
que a corrente está se
movendo para dentro
do plano desta página.
Então:
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Exemplo 1: campo magnético produzido por um condutor retilíneo de
comprimento 2a transportando uma corrente. Especificamente, analisemos o
campo magnético produzido no ponto P da figura a seguir.
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Uma situação limite: fio de comprimento a muito maior do que x, ou seja,
limite de um fio muito longo.
Para um fio muito longo, temos esquematicamente que:
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Podemos utilizar a simetria do problema! Semelhante ao que observamos no caso do
campo elétrico resultante sobre o eixo central de um anel, aqui ocorrerá o cancelamento
mútuo dos campos magnéticos nas direções y e z da figura acima (ou seja, no plano do
anel). Assim, restará apenas a componente ao longo da direção x.
Exemplo 2: campo magnético de uma espira circular de raio a percorrida
por uma corrente I. Especificamente, analisaremos o campo magnético
produzido no ponto P da figura a seguir.
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Linhas de campo magnético ao redor de uma espira circular percorrida por
uma corrente.
Possível localização do
ponto P do exemplo
anterior.
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Ou seja, uma espira percorrida por corrente produz um campo magnético
semelhante ao de um ímã em forma de barra, com um pólo norte e um pólo sul. O
momento de dipolo magnético da espira, cujo sentido é dado pela regra da mão
direita, aponta do pólo sul para o pólo norte, isto é, na mesma direção que o
campo magnético no interior da espira.
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Campo magnético de uma bobina circular
Suponha agora que, em vez de uma única espira, existam N espiras acopladas, todas
com o mesmo raio e percorridas pela mesma corrente I. Nesse caso, teremos o que
chamamos de bobina. Tomando como referência o resultado de uma única espira, o
campo magnético ao longo do eixo central da bobina, a uma distância x do centro, é
dado por:
Momento de dipolo magnético (ou simplesmente
“momento magnético”) da bobina, com A = 𝑎2 sendo a
área de cada espira.
Então:
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Lei de Ampère
• Para o problema da determinação do campo elétrico, verificamos que, em
situações com elevada simetria, era mais fácil o uso da lei de Gauss.
• Analogamente, existe um modo mais prático para determinar um campo
magnético produzido por uma distribuição de correntes com simetria
elevada. Porém, a lei que nos permite fazer isso, chamada de lei de Ampère,
possui um caráter bastante diferente da lei de Gauss.
A partir do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada, a lei de
Gauss relaciona campos elétricos com distribuições de cargas elétricas:
Lei de Gauss: “O fluxo elétrico total através de qualquer superfície
fechada é igual à carga elétrica total (líquida) existente no interior da
superfície dividida por .” 19
Como já vimos, podemos definir um fluxo magnético. Porém, nesse caso, uma
vez que não temos “cargas magnéticas” (monopolos), a chamada lei de Gauss
para o magnetismo assume o seguinte formato:
A lei de Ampère não é formulada em termos de um fluxo magnético, mas
definida com base em uma integral de linha de B em torno de uma trajetória
fechada, designada por
Para darmos continuidade à formulação da lei de Ampère, voltemos ao exemplo
de aplicação do slide 10.
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Mostramos que o campo magnético
no ponto P é dado por:
No limite de a >> x, por sua vez,
temos que:
Campo magnético produzido por um condutor retilíneo de comprimento 2a
transportando uma corrente. Especificamente, analisemos o campo magnético
produzido no ponto P da figura a seguir.
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Logo, no limite de fios muitos longos, em qualquer ponto ao longo de uma
circunferência de raio r, centralizada no condutor, o módulo do campo
magnético será dado por:
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Considere agora a vista frontal de um condutor com corrente saindo do plano desta
página:
Mas:
Portanto:
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De uma forma geral, para qualquer trajetória englobando um condutor, teremos que:
Mas:
Então:
Portanto:
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Mas:
Então:
Neste caso, a variação do ângulo θ durante uma
volta completa através do percurso de
integração é zero. Portanto:
Se a trajetória não englobar um condutor percorrido por uma corrente, teremos:
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Assim, podemos enunciar a lei de Ampère da seguinte maneira:
Com Iinte sendo a corrente total dada pela soma algébrica das correntes
no interior ou englobadas pelo percurso de integração.
Embora a lei de Ampère, que, como vimos, pode ser demonstrada a partir da lei de
Biot-Savart, tenha recebido o nome do físico francês André-Marie Ampère (1775-
1836), ela foi na realidade proposta pelo físico inglês James Clerk Maxwell (1831-
1879).
O círculo no símbolo da integral indica que a
integração deve ser realizada para uma curva
fechada, conhecida como amperiana.
amperiana
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Regra da mão direita da lei de Ampère
Envolva a amperiana com a mão direita, com os dedos apontando no sentido
da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal
positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.
Se o sinal do campo magnético, obtido via lei de Ampère, for negativo, isso
indicará apenas que o sentido correto do campo ao redor dos fios é oposto ao
adotado durante o cálculo.
E se a amperiana envolver mais de um fio?
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E se as correntes englobadas pela amperiana se cancelarem? Isso indicará um
campo magnético nulo em todos os pontos da amperiana?
Nos dois casos acima, o da esquerda por cancelamento das correntes englobadas
pela amperiana, o da direita pela ausência de correntes, teremos que:
É importante salientar que o resultado acima não significa necessariamente que
B = 0 em todos os pontos do percurso, mas apenas que a soma algébrica das
correntes no interior do percurso de integração é igual a zero. 30
Cilindro condutor longo de raio R
Um condutor cilíndrico longo, de raio R, conduz uma corrente I. A corrente está
uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro. Determine o módulo
do campo magnético em função da distância radial r para todos os pontos dentro
(r < R) e fora do condutor (r > R).
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1. Dentro do cilindro (r < R)
Como a corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro,
podemos escrever que:
Assim:
Mas:
Portanto:
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O campo produzido pelo fio inferior é dado por:
Em termos vetoriais, podemos escrever o campo
magnético atuando no fio superior da seguinte
maneira:
Assim, o vetor força magnética atuando no fio superior será:
Portanto:
Ou seja, cada um dos dois fios é submetido a
uma força de atração cujo módulo, por unidade
de comprimento, é dado por: 36
Consideraremos aqui um “solenóide ideal”: campo magnético uniforme no interior do
solenóide e nulo fora dele.
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A última figura do slide anterior é equivalente à figura deste slide. A única diferença
está no sentido da corrente elétrica (e, consequentemente, o sentido do campo
magnético).
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Considerando que o solenóide tem n espiras por unidade de comprimento, podemos
escrever que:
Assim, o módulo do campo magnético no interior de um solenóide ideal é dado por:
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Considerando que há N espiras no enrolamento do toróide,
podemos escrever que:
Assim:
Mas:
Portanto:
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O magneton de Bohr – magnetismo em escala atômica
• Considerando o modelo atômico em que os elétrons orbitam os núcleos com um
raio de órbita r, o movimento eletrônico pode ser visto como formando uma
espira de corrente. Tal espira, por sua vez, dará origem a um campo magnético,
como vimos nos slides 13 – 17, com um momento magnético orbital
característico. Além disso, um elétron possui momento magnético de spin.
Momento angular
Momento magnético
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Para encontrarmos a corrente associada ao movimento do elétron, notamos que o período
orbital T (o tempo que o elétron leva para completar uma órbita) é dado por:
Assim, a corrente I pode ser escrita como:
O momento magnético da “espira” formada pelo movimento orbital do elétron é dada por
O momento angular associado ao movimento orbital do elétron, por sua vez, é dado por
Portanto:
“Magneton de Bohr”, em homenagem ao físico
dinamarquês Niels Bohr, que propôs um modelo
atômico com órbitas eletrônicas quantizadas
(conhecido como ‘modelo de Bohr’) em 1913. 45
Em sistemas de muitos átomos, muitos momentos magnéticos orbitais e de spin se
somam vetorialmente, podendo produzir uma resultante igual a zero. Um ‘ferromagneto’
apresenta uma magnetização espontânea abaixo de uma temperatura crítica: todos os
momentos magnéticos se alinham ao longo de uma direção única, no mesmo sentido.
Representação esquemática:
Ferromagnetismo:
Temperatura crítica para o aparecimento
do estado ferromagnético: “temperatura
de Curie” - TC.
Em caráter macroscópico, o alinhamento
de momentos magnéticos dará origem,
por exemplo, a um ímã.
Momentos magnéticos alinhados
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