lectures on dynamic process simulation-part 3 (1)

8/16/2019 Lectures on Dynamic Process Simulation-Part 3 (1)

1/31

Δυναμική Προσομοίωση

Διεργασιών (ΔΔ6)Λέκτορας Χρήστος Χατζηδούκας

Μέρος ο! Μα"ηματική Προσομοίωση #υσικών $Χημικών %υστημ&των


2/31

Μοντέλα σε διαφορετική κλίμακα χώρου και χρόνου

Η μαθηματική προσομοίωση των Φυσικών και Χημικών συστημάτωνπροϋποθέτει την ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων που περιράφουν

φαινόμενα που λαμ!άνουν χώρα σε διαφορετικέ" κλίμακες χώρου και

χρόνου .

Χωρικά ανεξάρτητα-χωρικά εξαρτημένα μοντέλα (lumped-distributed systems)

Μοντέλα μόνιμη" κατάσταση"-#υναμικά μοντέλα

$ραμμικά-μή ραμμικά μοντέλα

Time

Ts

Gs

Ms

ks

s

ms

μs

ns LengthTsMsks s msμs

Μορια

κή

%τομική κλίμακα

Μικροσκοπική

κλίμακα

Μακροσκοπική κλίμακα

Ταξινόμηση των Μαθηματικών Μοντέλων


3/31

&ατανεμημένα 'υστήματα

θερμική αγωγιμότητα του μετάλλου ,

Κ (kJ/(m s K))

συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από το

μεταλλικό πτερύγιο στο περιβάλλον ,

h (kJ/m 2 s K))

Πυκνότητα του μετάλλου , ρ (kg/m 3 )

ειδική θερμότητα του μετάλλου , C p (kJ/(kg K))

επιφάνεια ροής της θερμότητας , Α (m 2 )

περίμετρος του πτερυγίου , P (m)

εταφορά θερμότητας σε μεταλλικό πτερύγιοΠαράδειγμα κατανεμημένου συστήματος μεταφοράς θερμότητας

#x

(x=0) (x=L)

A(m2)

Ta

TwP

; ⁄

(όμο" Fourier (Fourier’s law)


4/31

&ατανεμημένα 'υστήματα

εταφορά θερμότητας σε μεταλλικό πτερύγιοΠαράδειγμα κατανεμημένου συστήματος μεταφοράς θερμότητας

$ια ένα στοιχειώδη όκο #V τουπτερυίου το δυναμικό ισο)*ιο

ενέρεια" διαμορφώνεται ω" εξή":

#x

(x=0)

(x=L)

A(m2)

Ta

Tw

P

VρT

)*+)

)

,- . T )*+) ) ,

- . T

/)*+) /)

,

012345 !! "#$ %!% &'"#$ ! ( (1)


5/31


6/31

$ραμμικά-μή $ραμμικά 'υστήματα

Μοντέλα μόνιμης κατάστασης-Δυναμικά μοντέλα

< =>;[email protected] G BG @.ABBCDEF HIJIKHGFΗ ραμμικότητα είναι συνυφασμένη με τι" αρχέ":

-η" επαλληλία" (superposition) H(u 1+u 2 )=H(u 1 )+H(u 2 )

"ης αναλογικότητας (proportionality) H(c u)=c H(u)

#ραμμικοί τελεστ!ς :

( %L!% M NL! M OL ! P !LQ

! M (LQ ! L% ! L! M (L% ! M NRL! 5L%! M N LQ! OLQ ! M L% !

: ραμμική διαφορική εξίσωση 2η" τάξη", μή ομοενή"

Γραμμικά-μή γραμμικά μοντέλα

ή #ραμμικοί τελεστ!ς :

S ; UU ;U U ;

U U M

U U


7/31

Χωρικά %νεξάρτητα 'υστήματα

Συνεής διεργασ!α "λήρους ανάμιξης

$υναμικό %σο&ύγιο ά&ας q1(t), (m

3 /s)

CA1(t), (kmol/m3)

V(t)CA(t)

q(t), (m3 /s)

CA (t), (kmol/m3)

q2(t), (m3 /s)

CA2(t), (kmol/m3)

U.VU .^_^ M . _ . _ `a8`b8`c8de UVfU _^ M _ _ (1)

$υναμικό %σο&ύγιο #ραμμομορίων

UghU U VhU _^ h^ M _ h _ h- i Uh U M h UV

U _^ h^ M _ h _ h Qi

Uh U _^ h^ h M _ h h

(2)


8/31


9/31


CSTR-#σοθερμοκρασιακή λειτουργ!α

$υναμικό %σο&ύγιο ά&ας

U.VU .n_n . _ `o8`8de UVfU _n _ (5)

$υναμικό %σο&ύγιο #ραμμομορίων

U VhU _n hn _ h V p hYU VsU _n rn _ r M V p hYhiqh M riqr Vρ

q0(t), ρ0(t)

CA0(t), CB0(t)

CA(t)C/(t)

q(t), ρ(t)

CA(t), CB(t)

V(t)ρ(t)

rA: A->B

r A=kC An

(kmol/m 3 s)

(6)(7)'υστατικό B:

'υστατικό %:

(8)

A, M B : μοριακά βάρη των συστατικών Α & (


10/31


11/31


CSTR-#σοθερμοκρασιακή λειτουργ!α

t V UhU M h UiU _n hn _ h V p hY z V Uh U _n hn h VphY (6)

#εν μπορο*με να χρησιμοποιήσουμε ταυτόχρονα και τι" 4

εξισώσει" ι’ αυτό επιλέουμε τι" σχέσει" (5), (6) & (8)

#ια n=1 και q 0 (t)=q(t)=ct προκύπτει ότι V=ct και η παραπάνω διαφορική

ε)ίσωση γίνεται γραμμική- μή ομογενής και διαμορφώνεται ως ε)ής :

V Uh U M _nMi{h _nhn t i

_n M i{Uh U M h

_nhn _n M i{

t ||i _n} M |i i{} Uh U M h || M i_n || {} hn t |

|j M |,

Uh

U M h |

| M j,

hn t j,

j M ,

Uh

U M h ,

, M jhn

'νίσχυση-gain, k p -ρονική σταθερά , τ


12/31


CSTR-Μη #σοθερμοκρασιακή λειτουργ!α

Η λειτουρία τη" διερασία" αυτή"

περιράφεται από τα παρακάτω ισο)*ια

που συνιστο*ν το μαθηματικό μοντέλο τη"

διερασία":

$υναμικό ισο&ύγιο μά&ας αντιδραστήρα $υναμικό ισο&ύγιο γραμμομορίων συστ . Α

$υναμικό ισο&ύγιο εν!ργειας αντιδραστήρα

$υναμικό ισο&ύγιο μά&ας .υκτικού

$υναμικό ισο&ύγιο εν!ργειας .υκτικού

qc0 (t),

Tc0 (t)

q0(t), ρ0(t)

CA0(t), -0(t)

CA(t)T(t)

q(t), ρ(t)

CA(t), T(t)

V(t)ρ(t)

rA: A->B

r A=kC An

(kmol/m 3 s)

qc (t),

Tc (t)


13/31


14/31

Χωρικά Eξαρτημένα 'υστήματα

$μ%ολική ροή σε κυλινδρικό αγωγό

z=0 z=L

δzS (m2)

u(t,0)

ρ(t,0)

.μ!ολική ροή μέσα στον

αωό σημαίνει ότι δεν !χουμε ανάμι)η στην

ακτινική διεύθυνση και η

ταχ*τητα ροή" του

ρευστο* είναι ανε)άρτητη

της ακτινικής διαδρομής / απόστασης και εξαρτάται μόνο από την

α)ονική διαδρομή / απόσταση.

0ρα σε δυναμική κατάσταση λειτουρία" του αωο* η πυκνότητα

και η ταχ*τητα ενό" στοιχειώδου" όκου του ρευστο* θα

εξαρτώνται από το χρόνο και την απόσταση, ρ(t,z) & u(t,z).

u(t,z)

ρ(t,z)

u(t,z+δz)

ρ(t,z+δz)


15/31


16/31


17/31

Μετα%ολή θερμοκρασ!ας ρευστο& σε κυλινδρικό αγωγό ('&ξη ρευστο&)


-ο ισο)*ιο μά)α" στο δοχείο δεν

προσφέρει καμία πληροφορία καθώ" ο

όκο" του δοχείου θεωρείται σταθερό" και

τα ρε*ματα εισόδου και εξόδου, νωστά,σταθερά και ίσα μεταξ* του".

z=0

V (m3)T(t)

Tc(t,0)uc(t,0)

T o (t) (oC)

qo (m3 /s)

T(t) (oC)

qo (m3 /s)

Tc(t,L)uc(t,L)

$υναμικό ισο&ύγιο εν!ργειας

#οχείο πλήρου" ανάμιξη"

Ui.U _n. n j _n. j “” … d 6 W UW9

n

- –"#$ !! 5"#$ 5 ! ! —˜ ™ ! O ! 6 ‰ ‰š5 (1)


18/31


19/31


20/31


21/31


22/31

(ντιδραστήρας εμ%ολικής ροής (PFR)


z=0 z=L

δzS (m2)

CA(t,0)

uc(t,0)

CA(t,z)u (t,z)

CA(t,z+δz)u (t,z+δz)

D (m)CA(t,L)

uc(t,L)

³ ´# ´ (kmol/(m 3

s) $υναμικό ισο&ύγιο γραμμομορίων για το συστατικό Α σε στοιχειώδη όγκο $V

3Ž 3‰‘’3‰45 µ¶ > ¶ 6 WW M W ”h µ¶ˆ {hY- µ¶ M

>¶W ”hµ¶W {hY6W

$ια αμελητέο όρο διάχυση" και μόνιμη κατάσταση η παραπάνω σχέση απλοποιείται στην ακόλουθη μορφή:

>¶

W {hY W G >†¶

i {hY i t ·¶

i {hY i (4)

όπου F A=SuC A η ραμμομοριακή παροχή του % (4): Σεδιαστική εξ!σωση PFR


23/31


24/31

Μή ισοθερμοκρασιακή λειτουργ!α PFR


δz

CA(t,z)

u (t,z)

CA(t,z+δz)

u (t,z+δz)D

1(m)

CA(t,L)

uc(t,L)

4 ¸ ? ³ # ´ (kmol/(m 3

s)

S1 (m2)

CA(t,0)

-(t,0)

z=0 z=L

D2

(m)

-c(t,L)

-c(t,0)

2εωρο*με το διαφορικό όκο #V1=S1δz. -ότε το δυναμικό ισο)*ιο ενέρεια" σε

αυτόν τον όκο ομοιόμορφη" θερμοκρασία" -(t,z) είναι:

Œ^W. > 6 W Œ^.6W 7‹ > 6 W Œ̂ . 6 W 7‹*+‹ M Œ^J ©W ‹

Œ^J ©W ‹*+‹

Œ^W{hY~¿•€6‚ À”^W… d

εισροή θερμότητα" εκροή θερμότητα"

μοριακή μεταφορά-εισροή θερμότητα" λόω αωή"

μοριακή μεταφορά-εκροή

θερμότητα" λόω αωή"

παραωή θερμότητα"

λόω αντίδραση"

μεταφορά" θερμότητα"

στο 1υκτικό μέσο

λ:συνελεστής

θερμικής

αγωγιμότητας,

(kJ/(m K s))


25/31



2εωρο*με ρ και Cp χωρικά και χρονικά ανεξάρτητα οπότε η προηο*μενη εξίσωση

διατυπώνεται ω" εξή":

Œ^W. © Œ^. > 6 W 6 W 7‹*+‹ > 6 W 6 W 7‹ M Œ^J œÁœ‹ 7‹*+‹ Œ^JœÁœ‹ 7‹ Œ^W{hY~¿•€6‚ À”^W… d

+ÄÅ Æa+‹‘’ÇÈ4o

. œÁœe .

œ ¥ÁœÂ M

œœÂ Ã

œÁœÂ {hY~¿•€6‚

»ƒºa 6Wd6W (5)

Παραδοές

• Μόνιμη κατάσταση,→ œÁœe :• %μελητέα αωή θερμότητα",→ œ

œÂ Ã œÁœÂ :• Χωρικά ανεξάρτητη ταχ*τητα ροή" ρευστο*,→ > 6 W = >

- > . œÁœÂ {hY~¿•€6‚ »ƒºa 6Wd6W(5) (6)(6): Προφ!λ θερμοκρασ!ας μόνιμης κατάστασης του ρευστο& στον PFR


26/31



-ο αντίστοιχο δυναμικό ισο)*ιο ενέρεια" του 1υκτικο* μέσου (σε αντιρροή με τη ροή

του ρευστο* στον PFR διατυπώνεται ω" εξή":

Παραδοές

• ρc και Cp,c χωρικά και χρονικά ανεξάρτητα • Χωρικά ανεξάρτητη ταχ*τητα ροή" ρευστο*,→ > 6 W = >

ŒW.d6dd

>d 6 W Œ.d6dd6W 7‹*+‹ >d 6 W Œ.d6dd 6 W 7‹ ŒJ dW ‹*+‹ M ŒJdW ‹ M À”^W… 6Wd 6 W (7)

+ÄÅ Æb+‹‘’ÇÈÉo .d6d d >d .d6d

dW Ã W

dW M ›…”^

” ”^ 6Wd 6 W(7) (8)

4αράδειμα #υναμική" 4ροσομοίωση"


27/31

Συστοι!α αντιδραστήρων CSTR σε σειρά

4αράδειμα #υναμική" 4ροσομοίωση" 'υστημάτων

Μετά τη διακριτοποίηση μεταξ* χωρικά εξαρτημένων και χωρικά ανεξάρτητων μοντέλων,

δυναμικών και μόνιμη" κατάσταση" και ραμμικών-μη ραμμικών ένα ενδιαφέρον

παράδειμα δυναμική" προσομοίωση" φυσικών και χημικών διερασιών είναι η

συστοιχία αντιδραστήρωνCSTR

σε σειρά:

CSTRi, i=1,2,3

Η αντίδραση Ê Ë4 Ì με ρυθμό αντίδραση"Íh {h (1

η"

τάξη") λαμ!άνει χώρα σε τρει"διαδοχικο*" ισοθερμοκρασιακο*"

αντιδραστήρε" CSTR όπου το ρεύμα ε)όδου

του ενός αποτελεί ρεύμα εισόδου του

επόμενου .

CSTR1

CSTR2

CSTR3

V3(t) CA,3(t)

q3(t), CA,3(t)

V2(t) CA,2(t)

q2(t), CA,2(t)

q0(t)

CA,0(t)

V1(t) CA,1(t)

q1(t), CA,1(t)


28/31

4αράδειμα #υναμική" 4ροσομοίωση"


29/31

Συστοι!α αντιδραστήρων CSTR σε σειρά

4αράδειμα #υναμική" 4ροσομοίωση" 'υστημάτων

,ι αρχικέ" συνθήκε" των διαφορικών εξισώσεων (11), (12) & (13) ια την επίλυσή του" είναι:

µh6^ : h6^oµh6 : h6oµh6½ : h6½o$ια νωστή χρονική μετα!ολή του CA,0(t), μπορο*με να !ρο*με τι" χρονικέ"

μετα!ολέ" των συκεντρώσεων CA,1(t), CA,2(t), CA,3(t) στου" τρει" αντιδραστήρε".

Π)*Σ*+,!!

Η χρονική μετα!ολή του CA,1(t) συναρτήσει του CA,0(t), είναι 1η" τάξη".




30/31

Στρατηγική 9-%ημάτων

%λόριθμο" ανάπτυξη" δυναμικών μοντέλων

1. ,ρί)ουμε τη σκοπιμότητα του μοντέλου και την χρήση ια την οποία

προορί)εται. 5τσι προσδιορί)ουμε έμμεσα το !αθμό λεπτομέρεια" και

ακρί!εια" του μοντέλου.2. 'χεδιά)ουμε ένα σχηματικό διάραμμα τη" διερασία" που θέλουμε να

μοντελοποιήσουμε και ονοματί)ουμε όλε" τι" μετα!λητέ" τη" διερασία".

3. &αταράφουμε όλε" τι" παραδοχέ" / θεωρήσει" που εμπλέκονται στη

διαδικασία ανάπτυξη" του μαθηματικο* μοντέλου. %ποφε*ουμε άσκοπε"

παραδοχέ" / απλοποιήσει", το μοντέλο δεν πρέπει να είναι πιο πολ*πλοκο

από όσο χρειά)εται ια να εξυπηρετεί το σκοπό ια τον οποίο προορί)εται.

4. %ποφασί)ουμε αν είναι σημαντική η χωρική εξάρτηση των μετα!λητών τη" διερασία". 'την περίπτωση αυτή το μοντέλο θα εμπεριέχει μερικέ"

διαφορικέ" εξισώσει".

5. $ράφουμε τι" απαραίτητε" εξισώσει" διατήρηση" (μά)α", συστατικών,ενέρεια", κ.ά.)


31/31

Στρατηγική 9-%ημάτων

%λόριθμο" ανάπτυξη" δυναμικών μοντέλων

6. .ισάουμε εξισώσει" ισορροπία" και άλλε" αλε!ρικέ" εξισώσει" (από

αρχέ" θερμοδυναμική", φαινομένων μεταφορά", κινητική" χημικών

αντιδράσεων, εωμετρία" συσκευών, κλπ.)7. #ιενερο*με ανάλυση !αθμών ελευθερία" ια να εξασφαλί)ουμε ότι το

σ*στημα των εξισώσεων του μοντέλου μπορεί να επιλυθεί .

8. %πλοποιο*με το μοντέλο. .φόσον είναι εφικτό, διατυπώνουμε τι" εξισώσει"

κατά τρόπο ώστε οι εξαρτώμενε" μετα!λητέ" (εξόδου) να εμφανί)ονται στο

αριστερό μέλο" των εξισώσεων και οι ανεξάρτητε" μετα!λητέ" (εισόδου) να

εμφανί)ονται στο δεξί μέλο". %υτή η διαμόρφωση του μοντέλου διευκολ*νει

την υπολοιστική προσομοίωση και οποιαδήποτε περαιτέρω ανάλυση.9. &ατηοριοποιο*με τι" μετα!λητέ" εισόδου σε διαταραχέ" και σε μετα!λητέ"

χειρισμο*.

lectures on dynamic process simulation-part 3 (1)

Documents