LECTURE NOTE

Modern Control System R. C. Dorf

제어공학I

제3장 상태변수모델

(STATE VARIABLE MODELS)

담당교수 : 김 상희

전자공학부

1

제 3 장 상태변수모델(STATE VARIABLE MODELS) 시간영역에서의 해석 : n 차 미분방정식을 n 개의 1 차 미분방정식으로 변환 => 동적방정식(dynamic equation) = 상태방정식 + 출력방정식 3.1 서론(Introduction) 1. 2 장 : 전달함수와 Laplace 변환을 이용한 주파수영역에서의 해석 => 선형, 시불변 시스템에만 적용 가능. 3 장 : 시스템의 내부상태를 표현하는 상태변수를 이용하는 시간영역

해석방법 => 비선형, 시변, 다변수 시스템 해석에 유용하고, 컴퓨터 이용이 용이 2. 시간영역에서의 시스템 해석 1) 과도응답 : 상승시간(rise time), 정정시간(settling time), overshoot 등. 2) 정상상태응답 : steady-state error(정상오차), ... 3.2 동적시스템의 상태변수(The State Variables of a Dynamic System) 1. 상태변수의 정의 상태변수는 시스템의 현재 상태와 입력 값이 주어지고 동특성을 묘사하는 방정식이 주어지면 시스템의 미래응답을 정확히 묘사할 수 있다. 그림 3.1, 3.2

상태변수 , 입력변수 , 출력변수 , 상태변수 초기 상태 )(tX )(tU )(tY )( 0tX

[ ])(,),(),()( 21 txtxtxtX nL=

2. 상태변수해석법의 장점 1) 선형 및 비선형 시스템에 적용 가능 2) 시스템의 내부 상태를 해석 3) 상태변수들은 물리시스템의 동적 특성(dynamic behavior)을 묘사.

2

3. 예제. 예 1) 그림 3-3 의 스프링-질량-댐퍼시스템

)()()()(2

2

tutKydt

tdybdt

tydM =++ - (1)

1) 상태변수 정의; dt

tdytxtytx )()(),()( 21 ==

→ )()()()(;)()(12

22

1 tutKxtbxdt

tdxMtxdt

tdx=++= ;

2) 상태방정식(state equation)

)()(2

1 txdt

tdx=

)(1)()()(21

2 tuM

txMbtx

MK

dttdx

+−−=

예 2) 그림 3-4 의 RLC 회로

1) 상태변수선정 )()(),()(),()( 021 tvtytitxtvtx Lc ===

2) KCL 적용; , 여기서 )()()( tititu CL +=dt

tdvCti CC

)()( =

→ )()()( tutidt

tdvC LC =+ - (6)

KVL 적용; )()()(;)()()( tRidt

tdiLtvtvtvtv LL

CRLC +=+=

→ )()()( tvtRidt

tdiL CLL +−= - (7)

3) 상태방정식 )(1)(1)(2

1 tuC

txCdt

tdx+−=

)()(1)(21

2 txLRtx

Ldttdx

−=

4) 출력방정식 ; )()()( 20 tRxtvty ==

3

4. 상태변수의 선정은 unique 하지 않다. => 상태변수를 다르게 선정하면 다른 동적방정식. 3.3 상태미분방정식(The State Differential Equation)

1. n 차 미방 => 1 차 미방, 여기서 dt

tdxx )(=&

mmnn ububxaxaxax 111112121111 ++++++= LL&

mmnn ububxaxaxax 212122221212 ++++++= LL& …

mnmnnnnnnn ububxaxaxax ++++++= LL& 112211 => 행렬-벡터 표현 : 식 3-14.

)()()( tButAXtX +=& 2. 선형 시불변 시스템의 동적방정식(dynamical equation) 상태방정식 )()()( tButAxtx +=&

출력방정식 )()()( tDutCxty +=

3. 예제 예 1) 그림 3-3 의 spring-mass-damper system;

[ ])(10

)()(10

)()(

2

1

2

1 tuMtx

tx

Mb

MK

txtx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

또는 간단히 )(10

)(10

)( tuM

txMb

MKtx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=&

예 2) 그림 3-4 의 RLC 회로에서 2/1,1,3 === CLR 인 경우;

[ )(0

1

)()(

1

10

)()(

2

1

2

1 tuCtxtx

LR

L

Ctxtx

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

& ] ; [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

0)(2

1

txtx

Rty

; [ ])(02

)()(

3120

)()(

2

1

2

1 tutxtx

txtx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡&

& [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

30)(2

1

txtx

ty

또는 간단히 ; )(02

)(3120

)( tutxtx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=& [ ] )(30)( txty =

4

3. 상태천이행렬(State Transition Matrix) : )(tΦ 1) 정의 0)(),()()( =+= tutButAxtx& (1) 선형동차방정식의 해.

Given )()( tAxdt

tdx= , then )()( tA

dttd

Φ=Φ -(*)

(2) )0()()( xttx Φ=

2) 를 구하는 방법 )(tΦ

(1) eq.(*)의 양변을 L.T. => => )()0()( sAXxssX =− )0()()( 1 xAsIsX −−= [ ] )0()()( 11 xAsILtx −− −= ])[()( 11 −− −=Φ∴ AsILt (2) 를 eq.(*)의 해로 가정 Atettx =Φ= )()(

AtAt

Aedt

de=

여기서 LL +++++==Φ kAt Atk

AtAtIet )(!

1)(!2

1)( 2

3) 상태천이행렬의 특성 (1) 시스템의 자유응답으로 오직 초기조건에 의해 여기되는 응답 (2) 행렬 에만 의존 A 4) 상태천이행렬의 성질 (1) I=Φ )0( (2) : 상태천이과정의 양방향성 )()(1 tt −Φ=Φ−

(3) )()()( 020112 tttttt −Φ=−Φ−Φ : 상태천이과정의 연속성

(4) )()( ktt k Φ=Φ 4. 상태천이방정식(State Transition Equation) 1) 정의 : 선형비동차방정식의 해. 2) 해법 - 상태방정식을 라플라스 변환 ; )()()0()( sBUsAXxssX +=− )()0()(][ sBUxsXAsI +=− 여기서, 가 존재한다면 1][ −− AsI )(][)0(][)( 11 sBUAsIxAsIsX −− −+−= - 역라플라스변환하면 시간응답은

=> ∫∫ −Φ+Φ=+= − tt tAAt dButxtdBuexetx00

)( )()()0()()()0()( ττττττ

∫ +−Φ+Φ=+=t

tDudButCxtCtDutCxty0

)()()()0()()()()( τττ

5

3.4 신호흐름선도 상태모델(Signal-Flow Graph State Models) 1. 신호흐름선도 상태모델에서 전달함수 유도

예) 그림 3-4 의 RLC 회로에서 출력전압 )()(0 tRitv L=

KCL 적용; )(1)(1)( tuC

tiCdt

tdvL

C +=

KVL 적용; )(1)(1)()()()( 00 tvL

tvLdt

tditvdt

tdiLtv CLL

C −=→+=

Let )()(),()( 21 txtitxtv LC ==

상태방정식 )(1)(1)( 21 tuC

txC

tx +−=&

)()(1)( 212 txLRtx

Ltx −=&

출력방정식 )()( 20 tRxtv =

1) 동적방정식에서 신호흐름선도 유도 : 그림 3-5.

2) 그림 3-5 에 Mason 의 이득공식을 적용하여 전달함수 유도

LCs

LRsLCR

LCsLsRLCs

R

sUsV

111)()(

22

20

++=

++=

=> 일반적으로 쉽지 않다. 2. 전달함수에서 신호흐름선도 상태모델 유도 1) 위상변수표준형(Phase Variable Canonical Form)으로의 변환 = 직접분해(Direct Decomposition) 2) 입력피드포워드형(Input Feedforward Form)으로의 변환 3. 위상변수표준형으로의 변환.

6

인수형을 갖지 않는 일반적인 n 차 시스템의 전달함수에서 상태흐름선도 유도.

011

1

011

1

)()()(

asasasbsbsbs

sUsYsG n

nn

mm

m

+++++++

== −−

−−

L

L

여기서 이고, 계수 는 실수(real number) mn ≥ ba, 1) 분자, 분모에 을 곱; ns−

nnn

nnmnm

mn

sasasasbsbsbssG −−−−

−

−−−+−−−

−−

++++++++

=0

)1(1

11

0)1(

1)1(

1)(

1)(

L

L (3-34)

2) Mason 의 이득공식 ∆

∆==∑

kkkP

sUsYsG)()()( 에서 모든 궤환루프가 서로

접하고 있고 모든 전향경로가 궤환루프와 접촉한다고 가정하면

factorsloopfeedbacktheofsum

factorspathforwardofSumL

PsG N

q q

k k

−−

=−

=∑∑

=11

)(1

(3-36)

3) 식(3-34)와 (3-36)을 비교하면 식(3-34)의 분모의 계수는 궤환 이득이고, 분자의 계수는 전향경로이득 예 1) 4th-order transfer function;

40

31

22

13

40

012

23

34

0

1)()()( −−−−

−

++++=

++++==

sasasasasb

asasasasb

sUsYsG

가상변수 ) 를 도입하면 (sX

)()1()(

)()(

40

31

22

13

40

sXsasasasasXsb

sUsY

−−−−

−

++++=

)()( 40 sXsbsY −=

)()1()( 40

31

22

13 sXsasasasasU −−−− ++++=

)()()()()()( 40

31

22

13 sXsasXsasXsasXsasUsX −−−− −−−−=

상태변수를 다시 정리하면

)(),(),(),(),( 41

42

33

24

1 sXxsXsxsXsxsXsxsXsx ===== −−−− &

)()()()()()( 102132434 sxasxasxasxasUsx −−−−=& )()( 10 sxbsy =

7

1) 그림 3-7 의 상태흐름선도 유도.

2) 동적방정식 유도 ⇒ 위상변수표준형(Phase Variable Canonical Form)

BuAxx +=& , Cxy =

)(

1000

100001000010

4

3

2

1

32104

3

2

1

tu

xxxx

aaaaxxxx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

&

&

&

&

, [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

0 000)(

xxxx

bty

예 2)

40

31

22

13

40

31

22

13

012

23

34

012

23

3

1)()()( −−−−

−−−−

+++++++

=++++

+++==

sasasasasbsbsbsb

asasasasbsbsbsb

sUsYsG

가상변수 ) 를 도입하면 (sX

)()1()()(

)()(

40

31

22

13

40

31

22

13

sXsasasasasXsbsbsbsb

sUsY

−−−−

−−−−

+++++++

=

)()()()()( 40

11

22

13 sXsbsXsbsXsbsXsbsY −−−− +++=

)()()()()()( 40

31

22

13 sXsasXsasXsasXsasUsX −−−− −−−−=

상태변수를 다시 정리하면

)(),(),(),(),( 41

42

33

24

1 sXxsXsxsXsxsXsxsXsx ===== −−−− &

102132434 )()( xaxaxaxasUtx −−−−=&

10213243)( xbxbxbxbty +++= 1) 그림 3-8 의 상태흐름선도 유도.

8

2) 동적방정식 유도 : 식(3-42), 식(3-43)

)(

1000

100001000010

4

3

2

1

32104

3

2

1

tu

xxxx

aaaaxxxx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

&

&

&

&

; [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

3210)(

xxxx

bbbbty

4. 입력피드포워드형으로의 변환 : Fig. 3.10

40

31

22

13

40

31

22

13

012

23

34

012

23

3

1)()()( −−−−

−−−−

+++++++

=++++

+++==

sasasasasbsbsbsb

asasasasbsbsbsb

sUsYsG

)()()()()( 40

31

22

13

40

31

22

13 sUsbsbsbsbsYsasasasasY −−−−−−−− +++++++−=

1) 상태흐름선도 유도 : )()( 1 txty = 로 정의하고 유도(그림 3-10)

2) 상태방정식을 식(3-44)와 같이 정의 ubxxaxubxxax 2312232131 , ++−=++−= && ubxaxubxxax 010414113 , +−=++−= && 출력방정식 정의 1xy = 3) 상태방정식 : 식(3-45)

)(

000100010001

0

1

2

3

4

3

2

1

0

1

2

3

tu

bbbb

xxxx

aaaa

dtdx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

5. 예제 3.1 : 두 개의 상태변수 모델 그림 3-11 로 주어진 단위루프 제어시스템에서

1) 폐루프전달함수

9

)()61681(

)()682(6168

682)()()( 321

321

23

2

sXssssXsss

sssss

sUsYsT −−−

−−−

+++++

=+++

++==

)(6)(8)(2)(),()(6)(16)(8)( 321321 sXssXssXssYsUsXssXssXssX −−−−−− ++=+−−−=

2) 위상변수표준형의 유도 : 그림 3-12

상태방정식 )(100

8166100010

tuXX⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=&

출력방정식 [ ] )(286)( tXty =

3) 입력피드포워드형의 유도 : 그림 3-13

상태방정식 )(682

0061016018

tuXX⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=&

출력방정식 [ ] )(001)( tXty =

6. 1) 두 모델은 dual(쌍대) 관계로 선형변환(linear transform)을 통하여 변환. 2) 신호흐름선도 상태모델은 전달함수의 아날로그 컴퓨터 시뮬레이션 3.5 다른 형태의 신호흐름선도 상태모델 1. 물리적 변수 신호흐름선도 상태모델 =종속분해(Cascade Decomposition) 분자와 분모를 인수분해하여 부분분수로 전개한 후에 적용. 1) 신호흐름선도의 유도

10

)()(

)()(

)()(

)3)(2)(5(6)1(5

)()(

sIsY

sUsI

sRsU

ssss

sRsY

⋅⋅=+++

⋅+= ;종속분해

i) )()51()()55(

)5()1(5

)()(

1

1

sXssXs

ss

sRsU

−

−

++

=++

=

)(5)(5)( 1 sXssXsU −+=

)()(5)(

)(5)()(1

1

sRsXssXsXssXsR+−=→

+=−

−

로 변환 31 )( xsXs →−

ii) )()21(

)(2

1)()(

1

1

sXssXs

ssUsI

−

−

+=

+=

)()( 1 sXssI −= )()(2)( 1 sUsXssX +−= −

21 )( xsXs →− 로 변환

iii) )()31(

)(63

6)()(

1

1

sXssXs

ssIsY

−

−

+=

+=

))

(6)( 1 sXssY −= ()(3)( 1 sIsXssX +−= −

11 )( xsXs →− 로 변환

iv) i) ii) iii)의 신호흐름선도를 을 직렬연결

2) 동적방정식의 유도 : 식(3-51), 식(3-52) 211 63 xxx +−=&

rxxx 5202 322 +−−=&

rxx +−= 33 5&

11

)()( 1 txty =

2. 대각형 또는 표준형(Canonical Form) = 병렬분해(Parallel Decomposition) 분자와 분모를 인수분해하여 적용하며, 다중근이 존재하지 않을 때 사용. 1) 신호흐름선도의 유도 : 그림 3-16.

3

302

105

20)3)(2)(5(

)1(30)()(

++

+−

++

−=

++++

=ssssss

ssRsY

i) 5

20)()(

+−

=ssR

sY

ii) 2

10)()(

+−

=ssR

sY

iii) 3

30)()(

+=

ssRsY

iv) 병렬연결

2) 동적방정식의 유도 : 식(3-54)

12

[ ]XtytrXX 301020)(),(111

300020005

−−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=&

3. Jordan 표준형(Jordan Canonical Form) 대각형의 특수한 형태로 다중근이 존재하는 경우에 사용.

360

260

)2(30

)3()2()1(30

)()(

22 +−

++

++−

=++

+=

ssssss

sRsY

[ ]XtytrXX 606030)(),(110

300020012

−−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=&

예제 3.3 : 도립단진자 제어(Inverted Pendulum Control) 1. 설계목적 : 도립단진자를 수직으로 유지 2. 선형화를 위한 가정 : 이며, mM >> 회전각 θ 는 작다고 가정.->선형화

3. 1) 평형상태: 0)(,0)( ==dt

tdt θθ

2) 상태변수: )(),( tytθ

4. 1) 회전축에서 토크의 합

수평 : Hllymlydtdm =−+=+ )sin()sin( 2

2

2

θθθθ &&&&&

수직 : mgVmlldtdm −=−−= )cossin()cos( 2

2

2

θθθθθ &&&

13

θθθθθ cossin0cossin 2 ymlmlmglHlVl &&&& −−==−⇒2) Cart Eq 0)()( =−+=−++ tumlyMtuykHyM θ&&&&&&&

5. 1) 수평방향으로 작용하는 힘 : 0)( =−+ tumlyM θ&&&&

2) 축에 작용하는 Torque : 02 =−+ θθ gmlmlyml &&&&

3) )()( 4321 θθ &&yyxxxx =

0)(42 =−+ tuxmlxM && --(1) 0342 =−+ gxxlx && --(2)

(2)식에서 을 (1)식에 대입하면 234 xgxxl && −=

0)(232 =−−+ tuxmmgxxM && mM >> 이므로

)(32 tumgxxM =+& --(3)

(2)식에서 를 (1)식에 대입 432 xlgxx && −=

0)()( 443 =−+− tuxmlxlgxM && mM >> 이므로

0)(34 =+− tuMgxxMl& --(4)

)(1,),(1, 34433221 tuMl

xlgxxxtu

Mx

Mmgxxx −==+−== &&&&

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

Ml

MtX

lg

Mmg

tX1

0

10

)(

0001000

0000010

)(&

3.6 상태방정식으로부터 전달함수를 구하는 방법 (The Time Response and the State Transition Matrix) 1. Given SISO system )()()( tutt BAxx +=& )()()( tutty DCx += 초기조건을 0 으로 하고 라플라스 변환 )()()( sUsss BAXX +=

)()()()()()()()( 1 sUssUsssUss BΦBAIXBXAI =−=⇒=−⇒ −

14

)())(()()()()( sUssYsUssY DBCΦDCX +=⇒+=

1) 전달함수 DBAICDBCΦ +−=+== −1)()()()()( ss

sUsYsG

여기서, 이면 0=D BAsICBssUsYsG 1)()(

)()()( −−=== CΦ

2) 특성방정식 0011

1 =++++=− −− asasass n

nn LAI

2. 예제 3.4) RLC 회로의 전달함수 page 125 eq. 3.18, 3.19 참조

동적방정식 ; )(0

1)(1

10)( tuCtX

LR

L

CtX⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=&

[ ] )(0)( tXRty =

resolvent matrix [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=−

)(1

1

LRs

L

Cs

AsI

상태천이행렬 [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+

∆=−=Φ −

sL

CLRs

sAsIs 1

1)(

)(1)( 1

여기서, LC

sLRss 1)( 2 ++=∆

∴ 전달함수 [ ] [ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+

∆=−= −

0

1

1

1)(

)(10)( 1

Cs

L

CLRs

sRBAsICsG

LCs

LRsLCR

sLCR

1)( 2 ++=

∆= --- (3-32)

15

3.7 시간응답과 상태천이행렬(Time response and the state transition matrix) 1. 일반적인 선형 시불변 시스템의 동적방정식(dynamical equation) )()()( tutt BAXX +=&

)()()( tutty DCX +=

1) 상태천이방정식

∫∫ −+=−+=t ttt

deedttt0

)(

0)()0()()()0()()( τττττ τ BUXBUΦXΦX AA

즉, 초기조건 와 , 그리고 입력)0(X )(tΦ )(τU 를 알면 의 시간응답을 구할 수 있다.

)(tX

2) 상태천이행렬 }]{[!

)( 11

0

−−∞

=

−=== ∑ AIAΦ A sLktet

k

kkt

1][)()0()()( −−=←= AIΦXΦX ssss 예) 2 차계 시스템인 경우 )0()()0()()( 2121111 xsxssX φφ += )0()()0()()( 2221212 xsxssX φφ += 이므로 )}({)( 1 sLt ΦΦ −=

)0()()()()(

)(;)0()()(2221

1211 XXXΦX ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

tttt

tttφφφφ

즉, )0()()0()()( 2121111 xtxttx φφ += )0()()0()()( 2221212 xtxttx φφ +=

2. 예제 3.5) 상태천이행렬의 계산

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=3120

A

, )2)(1(232)3()(,)3(1

2][ 2 ++=++=++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=− ssssssss

ss ∆AI

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=−= −

ss

sss

12)3(

)(1][)( 1

∆AIΦ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−−−

==⇒−−−−

−−−−−

tttt

tttt

eeeeeeee

sLt 22

221

322

)}({)( ΦΦ

1)0()0( 21 == xx 일 때의 시간응답 는 )(),( 21 txtx

⇒ 시간응답은 그림 3-22 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

t

t

ee

txtx

2

2

2

1

11

)()(

Φ(t)

16

3. 상태흐름선도에서 상태천이행렬의 계산 초기조건을 고려한 RLC 회로의 상태흐름선도 : 그림 3-20 및 3.21

)(11 sφ 는 과의 관계; )0()( 11 xsX ↔)(

]/)0([)(1)( 111 s

sxssX∆⋅∆⋅

= 로 부터

여기서 11

21 31)(,231)( −−− +=∆++=∆ sssss

)2)(1(

)3()231(

)31()0()()( 21

11

1

111 ++

+=

+++

== −−

−−

sss

ssss

xsXsφ

)(12 sφ 는 과의 관계; )0()( 21 xsX ↔)(

]/)0([)2()( 21

1 ssxssX

∆⋅−

=−

로 부터

)2)(1(

2)231(

2)0()()( 21

2

2

112 ++

−=

++−

== −−

−

sssss

xsXsφ

)(21 sφ 는 과의 관계; )0()( 12 xsX ↔)(

]/)0([)( 11

2 ssxssX

∆⋅

=−

로 부터

)2)(1(

1)231()0(

)()( 21

2

1

221 ++

=++

== −−

−

sssss

xsXsφ

)(22 sφ 는 )0()( 22 xsX ↔ 과의 관계; )(

]/)0([1)( 22 s

sxsX∆

⋅= 로 부터

)2)(1()231()0(

)()( 21

1

2

222 ++

=++

== −−

−

sss

sss

xsXsφ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++−

+++

=

)2)(1()2)(1(1

)2)(1(2

)2)(1()3(

)(

sss

ss

sssss

sΦ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−−−

==⇒−−−−

−−−−−

tttt

tttt

eeeeeeee

sLt 22

221

322

)}({)( ΦΦ

1)0()0( 21 == xx 일 때의 시간응답 는 )(),( 21 txtx

17

⇒ 시간응답은 그림 3-22 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

t

t

ee

ttxtx

2

2

2

1

11

)()()(

Φ

3.9 설계 예: Printer belt drive system 1. 일반적인 컴퓨터용 프린터는 인쇄장치를 수평으로 이동시키기 위한 벨트 전동 장치 사용 2. 종류 : ink-jet 방식, print ball 방식, thermal 전사방식, ... 3. 그림 3-24 : 프린터 벨트 전동장치 시스템. 1) 광센서는 인쇄장치의 위치를 측정하는 데 사용 2) 벨트 장력은 벨트의 스프링 유연성을 조정. 4. 설계목적

1) 외란 의 영향을 최소로 하는 벨트 스프링 상수 의 결정 dT

2) 전동기, 벨트 도르래 및 제어기의 적당한 변수 선정. 5. 설계과정 1) 적절한 벨트 구동시스템의 모델 결정 2) 선정된 모델의 매개변수 결정 3) 상태변수의 선정 및 신호흐름선도 작성 4) 전달함수의 결정과 스프링 상수를 제외한 다른 변수들을 선정 5) 실제상황에서 스프링 상수를 변화시켰을 때의 효과(영향) 고찰 (1) 그림 3-24 : 프린터 벨트 전동장치 모델 (2) 변수선정 : 벨트의 스프링 상수; k 도르래(Pully)의 반경; r 모터 축의 각변위; θ

오른쪽 도르래의 각변위; pθ

18

인쇄장치의 질량; m 인쇄장치의 위치; )(ty (3) 센서의 출력전압; )()( 11 tyktv =

제어기의 출력전압; )]()([)( 131

22 tvkdt

tdvktv +−=

여기서, 즉 속도궤환(velocity feedback)이라 가정(그림 3-25) 0,1.0 32 == kk

(4) 표 3-2 : 인쇄장치의 변수들

(5) 시스템의 운동방정식; )()( trty pθ=

장력 ))()(())()(()(1 tytrktrtrktT p −=−= θθθ

장력 ))()(()(2 trtyktT θ−= 질량 에서의 순 장력은 m

))()((2))()(())()(()()()( 2

2

21 tyyrktrtyktytrkdt

tydmtTtT p −=−−−==− θθθ

- 상태변수 정의; ))()(()(1 tytrtx −= θ

dt

tdytx )()(2 =

dt

tdtx )()(3θ

=

=> )()()()()( 231 txtrxdt

tdydt

tdrtx −=−=θ

&

)(2)()( 12

2

2 txmk

dttydtx ==&

(6) 계자제어 DC 모터의 운동방정식(그림 2-17 참조);

19

- 이라 가정하면 계자전류는 0=L )(1)( 2 tvR

ti =

- 모터의 토크 방정식 )()()()()( 2 tTtTtvR

KtiKtT dLm

mm +===

- 벨트구동(또는 pulley shaft 구동)토크는

))()(()()()( 212

2

tTtTrdt

tdbdt

tdJtTL −++=θθ

=> ))()(()()(1)()( 212

2

3 tTtTJr

dttd

JbtT

Jdttdtx L −−−==

θθ&

J

tTtTtxJkrtx

Jb dm ))()(()(2)( 13

−+−−=

여기서 )()()(),()( 2212122 txkkdt

tdykktvtvR

KtT mm −=−==

=> )(1)()()(2)( 3221

13 tTJ

txJbtx

JRkkKtx

Jkrtx d

m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=&

∴ 상태방정식; )(1

00

)(

2

00210

)(

21

tT

J

tX

Jb

JkkK

Jkr

mk

rtX d

m ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=&

(7) 그림 3-26 : 프린터 벨트 전동장치의 흐름선도 모델

(8) 전달함수; 214321

2

1

)(1)()(

LLLLLL

sJr

sTsX

d ++++−

−=

−

여기서 mJR

skkkrKLJ

skrLsmkLs

JbL m

321

4

22

32

21

12,2,2,

−−−− −=−=−=−=

20

=> ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

JmRkkkrK

Jmkbs

Jkr

mks

Jbs

sJr

sTsX

md 212

23

1

2222)()(

- 표 3-2 의 변수값을 대입하면,

∴)15.025.0(10005.1425

15)()(

223

1

kkkssss

sTsX

d ++++−

=

(9) 외란이 인가될 때 상태변수 )()(1 tytrx −= θ 이 낮은 값으로 빨리 감소하도록 스프링상수 와 이득 의 선정 k 2k

- 계단외란(step disturbance)을 sasTd /)( = 로 가정;

)15.025.0(10005.1425

15)(2

231 kkksssasX

++++−

=

- 최종치 정리를 이용하여 의 정상값을 구하면 )(1 tx

0)(lim)(lim 101 ==→∞→

ssXtxst

- 실제 스프링상수 의 범위는 k 401 ≤≤ k 이므로, 로

가정하면,

1.0,20 2 == kk

)93.23444.2)(56.22(15

53002902515)( 2231 +++

−=

+++−

=sss

asss

asX

- 부분분수 전개; 221

)28.15()22.1()56.22()(

+++

++

=s

CBss

Aa

sX

여기서 4381.0,0218.0,0218.0 −==−= CBA A 와 B 가 C 에 비하여 상당히 작으므로 근사화하면

221

)28.15()22.1(4381.0)(++

−≅

sasX

- 역변환하면 teatx t 28.15sin0287.0)( 22.11 −−≅

- 그림 3-27 : 계단외란에 대한 의 시간응답 => 의 최대크기가 외란의 0.025 이하이므로 설계목적 달성 )(1 tx

21

3.11 Matlab 을 이용한 상태변수모델 해석 1. Matlab function; TF2SS, SS2TF, lsim, expm, ...

2. state equation model ⇌ transfer function model

)()()( tButAXtX +=&

)()()( tDutCXty +=

여기서 )상태벡터, ; 단일입력, ; 단일출력 1();( ×ntX )(tu )(ty 시스템행렬, )(; nnA × )(; mnB × 입력행렬 출력행렬, )(; npC × )(; mpD × 피드포워드행렬 단, 단일입출력 시스템에서 1== mp

- 전달함수 01

11

011

1

)()()(

asasasbsbsbsb

sRsYsT n

nn

mm

mm

++++++++

== −−

−−

L

L

예) 3 차 전달함수를 상태공간 표현법으로 변환

;

6168682

)()()( =sT 23

2

+++++

=sss

sssRsY

=> Matlab script and Results(Fig3.29)

태천이행렬, 상태의 시간응답(출력) 계산

dBu0

)()]exp[)0)exp()( τττ

) 를 계산하는 Matlab 함수; expm()

RLC 회로31 ⎥

⎦⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣ −

3. 상

상태천이방정식 −+=t

tAXAttX (( ∫ 상태천이행렬 Φ( Atet =

예) 그림 3.14 의 ; )(2

)(20

)( tutXtX⎤⎡

+⎤⎡ −

=& 0

[ ] )(01)( tXty = 초기조건은 0)(,1)0()0( 21 === tuxx

ript and Results (Fig 3.31 ig3.32, Fig3.33) => Matlab sc , F

22

.12 순차적 설계 예 : Disk Drive Read System

. 사양 : 고급 디스크는 5000[track/cm]이고, 트랙 간격은

3 1 ][1 mµ 2. 휨판 설치대를 포함한 디스크 구동시스템의 상태변수 모 델을 유도

판을

어변수는 헤드의 위치 로 정확을 요구

3-34 : 스프링 휨판을 가지는 두 개의 질량시스템 모델

1) 그림 2-65 의 헤드 설치대는 빠른 이동을 위하여 경량의 팔과 휨요구 2) 제 3. 그림

4. 표 3-3 : 두 개의 질량 모델의 매개변수

그림 의 간략화 모델로부터; )()()(12

2 yd5. 3-34(b) tudt

ydybdt

tM =+

전달함수 )20(

40)410.0025.0(

1)(

1)()(sY

1 +=

+=

+=

ssssbMsssU

6. 그림 3-35 : 강체 스프링을 가지는 헤드 판독기의 전달함수

)1000)(20(

500)()( ==sYsG )( ++ ssssV

23

7. 두 개의 질량시스템에 대한 상태변수 모델.

Mass )())()(()()(: 12

2

11 tutytqkdt

tdqbdt

tqdMM =−++

0))()(()()(: 22

2

22 =−++ tqtykdt

tdybdt

tydMM Mass

dttdytx

dttdqtxtytxtqtx )()(;)()();()();()( 4 상태변수1) 정의; 321 = ===

;

, ⎢⎢⎡

−−−

0/100

,

/0//0//1000

100

1

2222

1111 MB

MbMkMMbMkM

A

L )를 무시하고

)()()( tButAXtX +=& 2) 동적방정식

)()( tCXty =

여기서⎢−

=/k

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

0

⎣ k

3) 인덕턴스( = 0 , )()( tvKtu m= , 스프링상수를 으로

가정

∴

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

−−−−

=

05000

,

2.82005.2050050010000100

BA

3-36 : 두 개의 질량모델에 대해 일 때의 계단입력에 대한 응답

10=k

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦⎣ 0000,000,20

8. 그림

24