lecture 7 probabilidad de error de transmisión pcm. formateo de señales dpcm, adpcm

COM II I. Zamora Uni 2- Conf 7: Cod. Fte. y Fteo. Señales1

Comunicación II

Conferencia 7: Probabilidad de error de transmisión PCM.Formateo de Señales DPCM, ADPCM.

UNIDAD II: CODIFICACIÓN FUENTE Y FORMATEO DE SEÑALES.

Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Agenda

• Probabilidad de transmisión en PCM• Error de transmisión en canal binario

• Estimación de la relación SNR en el receptor PCM

• Criterios de fidelidad de Voz• Codificadores de Voz• Modulación Diferencial PCM (DPCM)• Modulación Diferencial Adaptiva PCM

(ADPCM)

• Codificadores de forma de onda


Probabilidad de errores de Transmisión PCM

• Cuando se transmite una información digital, a menudo se introducen errores en la recepción de los símbolos, debido al efecto del ruido.

• Evidentemente, el error que se introduce tiene significado diferente según sea la posición del bit errado, dentro del caracter (agrupación de los bits que representan una muestra de voz o de imagen codificada, o una letra de un texto, o el valor obtenido a la salida de un conversor A/D en aplicaciones de telemetría,etc.).

• Por ejemplo, si se transmiten octetos codificados de señales de voz, si se produce un error en el MSB, esto se traduce en un error de signo. En cambio, si es en el LSB, afecta sólo al menor nivel de cuantización.

• A continuación se analizará el efecto del ruido de canal en la recepción de una señal codificada en PCM con cuantización uniforme.

• El análisis se basa en poder expresar el valor medio esperado del error, y su varianza, dado que la varianza es una medida de la potencia del error registrado.

• Para este análisis, consideraremos el modelo de canal binario en general, y el caso simétrico en particular.



• Los errores de transmisión pueden ser representados mediante un diagrama de transición de símbolos recibidos.

• Sean los alfabetos fuente y destino: y• En una recepción binaria es posible identificar diferentes transiciones:

{ }10 ,xi ∈

)(PX 1

{ }10 ,y j ∈

)(PX 0

)(PY 1

)(PY 0

1

0

1

0

)/(P X/Y 11

)/(P X/Y 00

)/(P X/Y 01

)/(P X/Y 01

101 =+ )(P)(P XX11011 =+ )/(P)/(P X/YX/Y 101 =+ )(P)(P YY

10001 =+ )/(P)/(P X/YX/Y

),(P)x,y(P)x(P eijie 10111 ==≠== ),(P)x,y(P)x(P eijie 01000 ==≠==



• Por tanto, la probabilidad de error en el canal binario es la suma de las probabilidades de error generados por las dos situaciones anteriormente mostradas.

),(P),(PP eee 1001 +=)/(P)(P),(P X/YXe 01001 =

)/(P)(P),(P X/YXe 10110 =

)/(P)(P)/(P)(PP X/YXX/YXe 101010 +=

• En un canal simétrico binario se tienen que:• Sin importar si se transmiten mas 1’s que 0’s,

se cumple:

• En conferencias posteriores, se estudiará la forma de obtener los valores de esta probabilidad de error de canal en función de la densidad espectral de potencia de ruido y la energía de la señal.

),(P),(P X/YX/Y 1001 =

),(P),(PP X/YX/Ye 1001 ==


Probabilidad de Transmisión Correcta PCM

• Si se envían “b” bits en sucesión, y la probabilidad de error en recepción es Pe y si el error de un bit es independiente del precedente o del siguiente, entonces la probabilidad de recibirlos todos ellos correctamente está dado por la expresión:

ec PP −=1

• La probabilidad que un bit se reciba correctamente es el complemento de la probabilidad de recepción en error:

cbcc

b

kckb,c PPPPP 21

1

⋅== ∏=

• En este caso, considerando que todas las probabilidades son iguales, la expresión se reduce a: ( ) b

eb

cb,c PPP −== 1

• Hoy en día, los sistemas de transmisión han mejorado sustancialmente, de modo que:

310 −≤eP ( ) eb

eb,c bPPP −≈−= 11


• Si suponemos que se han enviado “b” bits codificados PCM. Como se ha indicado desde el inicio, es evidente que el error cometido será diferente según sea la ubicación del o los bits recibidos en error.

• Si 2Vp es el rango total de la señal recibida, codificada mediante L=2b niveles, entonces el error de cuantización ε i cometido por la recepción de un bit errado en la posición “i”, será de magnitud: Vp/2b-i.

– En general, se tiene:

– Si el error se comente en el MSB, i=b y:

– Si el error se comente en el LSB, i=1 y:

• Por ejemplo, con b=4, si el error se comete en el LSB, entonces:

Análisis del efecto del error en PCM

pb V=ε1

1 2 −=ε bp /V

#nivelestalrango to

/V/V/V ppp ====ε − 16282 141

ibpi /V −=ε 2


• Partimos del hecho que Pe es el error que se comete en la recepción de un bit, bajo el análisis realizado en un modelo de canal binario.

• De allí tenemos que el promedio estadístico del error cuando se recepcionó el bit “i” de “b” es:

• Desacondicionando respecto de “i” y, tomando en cuenta que el bit mas significativo corresponde al bit de signo, tendremos, entonces:

Error medio en el canal de transmisión binario

[ ] ibep

eie

PVPPE −=⋅ε==ε

2b"" de i"" bit el recepcionó se

[ ] [ ][ ] 022

1

1

1

1

=

−==ε ∑∑

−

=−

−

=−

b

iibep

b

iibep

ee

PVPVPibitelrecibesePEEE



• Si Pe es la probabilidad de cometer un error en la recepción de un bit y es independiente de su ubicación, entonces asumiendo “uno” y “cero” equiprobables, el error promedio de la muestra decodificada está dado por:

[ ] 0=ε=µ ε E Como ya se vio antes (diapositiva anterior).

• El valor cuadrático medio promedio (varianza para un proceso ergódico) debido al error de los bits, (error de canal) estará dado por:

[ ]( )[ ] [ ] ∑∑=

−=

ε =ε=ε=ε−ε=σb

ie)b(p

b

iei PVPEEE

112

2

1

2222

2

1

( ) ( )∑−

=ε −==σ

1

0

22

2

222 12

23

4

2

1b

j

b

b

epejpe

PVPVP



• Recordemos que en probabilidades, si dos variables aleatorias se suman, el valor medio de la nueva variable aleatoria es igual a la suma de los valores medios.

• Si las variables son independientes, la varianza de la nueva variable aleatoria resultante, también es la suma de ambas.

[ ] [ ] [ ] yxyExEzEyxz µ+µ=µ+=⇒+= z :

222QN σ+σ=σ ε

[ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ]222 yEyExExEzEzEntesindependiey,x −+−=−⇒

[ ]( )[ ] 2222yxzzEzE σ+σ=σ=−

• Combinando el error de cuantización (ver resultado en diapositiva 12 de conferencia 6), y el error debido al canal de transmisión, tenemos:

( ) ( )b

pb

b

epN

VPV2

22

2

22

2312

23

4

⋅+−=σ

( ) ( )( )112423

22

22 +−=σ b

eb

pN P

V


Razón Señal a Ruido en el receptor PCM

• En esta ocasión consideramos el ruido en el receptor como el resultante de la suma de las perturbaciones propias del canal (ruido de canal “ε”) y el error de cuantización que resulta en el generador PCM (ruido de cuantización “Q”).

• Si se considera que la potencia de señal de un proceso de transmisión de un señal analógica, muestreada y codificada en PCM es

• Entonces la relación SNR es:

( ) ( )( )112423

2

2

2

2

2

2

22

2

+−=

σσ

=σ+σ

σ=

ε beb

p

p

N

x

Q

x

PCM PV

kV

N

S

22px kV=σ

Ver diapositiva 11 en conferencia 6.

( )( )( )1241

232

2

−+⋅=

be

b

PCM P

k

N

S


Criterios de Fidelidad de la Voz

• Debido a la subjetividad de la percepción humana existe dificultad para encontrar un criterio objetivo de la calidad de la señal recuperada en el receptor.

• El método mayormente empleado consiste en reconocer palabras y sonidos, con diferentes oyentes humanos y obtener promedios de satisfacción. Ejemplo: estándar MOS (Mean Opinion Score) .

• También se aplican medidas objetivas sobre muestras de corta duración, que unidas a las pruebas mencionadas anteriormente, establecen guías para el diseño de codificadores de voz.


Criterios de Fidelidad de la Voz

• Existen básicamente 2 tipos de codificadores de voz:

– los codificadores de señal o forma de onda son aquellos que utilizan información redundante de las muestras de voz de tal forma que permiten una codificación más eficiente que PCM con cuantización uniforme, pero no son tan dependientes de las propiedades espectrales y estadísticas de la voz que no sean aplicables otras fuentes, como son los módem y los fax, por ejemplo.

– Los codificadores de fuente, que sí explotan las características de la voz de tal manera que no producen buenos resultados cuando la fuente no es la voz humana. Se conocen también como vocoders.


Clasificación de los codificadores de Voz

Codificadores de forma de Onda

Codificadores de fuente de Voz

Basado en las característicastemporales

Diferencial

No diferencial

PCM

Basado en las característicasespectrales

Codificación conTransformaciónAdaptiva ATC

Codificación por SubbandasSBC

ADPCM

DM

Codificación Adaptiva conPredicciónAPC

Codificadores Predictivoslineales LPC.

Vocoders


MOS > 4: Calidad de transmisión de difusión musical, similar a FM (> 64 kb/s ).

MOS > 3: Calidad telefónica internacional (entre 16 y 64 kb/s).

MOS > 2: Calidad de transmisión de comunicaciones móviles (entre 7.2 y 12 kb/s) señales inteligibles con distorsiones perceptibles.)

MOS > 1: Calidad sintética ( bajo los 5.2 kb/s, uso de vocoders).

MOS < 1: Calidad no aceptable

Calidad de la transmisión de la voz codificada

Según se vió anteriormente, la calidad de una señal de voz decodificada depende de la tasa de transmisión.


Calidad de la voz


Modulación PCM

VIRTUDES• Robustez al ruido y la interferencia del canal.• Regeneración eficiente de la señal codificada a lo largo de la trayectoria de

transmisión.• Intercambio eficiente del ancho de banda incrementado del canal por una relación

señal a ruido mejorada, obedeciendo a una ley exponencial.

• Un formato uniforme para la transmisión de diferentes tipos de señales de banda base, y de ahí su integración con otras formas de datos digitales con una red común.

• Facilidad comparativa con la cual las fuentes de mensajes tal vez se eliminen o reincorporen en un sistema de multiplexado por división de tiempo.

• Comunicación segura mediante el uso de esquemas de modulación o encriptado especiales.

DESVENTAJAS• Mas complejidad del sistema.• Mayor ancho de banda de transmisión.• Mayor costo.


Modulación Diferencial PCM (DPCM)

La representación (codificación) en PCM de fuentes “suaves” o “lentas” guarda una fuerte correlación.

Ejemplo de señal de video:

Xk (Ts,1:4): 155 155 157 158

t/TS1 3 42

(155)d

(157)d

(158)d

(155)d

xk

Representación binaria en 8bit-PCM155: 10011011157: 10011101158: 10011110

¡¡¡Los primeros 5 bits MSB no cambian!!!Ocurre un desperdicio de recursos...

SOLUCIÓN:• Predecir cada muestra a partir de su vecinas• Cuantizar el residuo (diferencia entre dos muestras sucesivas) de la

predicción con PCM• Se obtiene un menor error de cuantización para la misma tasa de bits.

Se reduce la tasa de transmisión (asumiendo que el bit MSB es de signo:1. Con 8bit-PCM: 64Kbps2. Con 3bit-DPCM: 18.28Kbps



• Es un esquema de modulación basado en el principio de PCM pero a diferencia de este último, la información transmitida es la diferencia entre muestras adyacentes.

• Se toma provecho que para señales analógicas, en general, las amplitudes de muestras consecutivas muestran un alto nivel de correlación, por lo que la diferencia entre cualquier par de muestras consecutivas será siempre pequeña.

• Esta correlación es aprovechada en DPCM para cuantizar y codificar únicamente la diferencia entre dos muestras adyacentes.

• Por tanto, en términos de desempeño, DPCM es muy similar a PCM pero al codificarse sólo la diferencia entre muestras adyacentes se requiere un menor número de bits de cuantización.

• La motivación es usar la correlación entre muestras de datos para predecir el valor futuro de la señal, o, considerar cómo remover la correlación entre muestras.



• Un menor número de bits de cuantización implica una menor velocidad de transmisión (bit rates) y por tanto menor ancho de banda.

• DPCM tiene gran aplicación en compresión de voz e imagen (sistemas de vigilancia son un clásico ejemplo de aplicación).

• En este esquema se requiere entonces que la frecuencia de muestreo exceda la frecuencia de Nyquist (sobremuestreo), es decir, fs >2fm.

• Otra ventaja de la codificación diferencial resulta del hecho que cuando datos en serie se pasa a través de muchos circuitos a lo largo de un canal de comunicaciones, la forma de onda a menudo, no intencionalmente, es invertida (datos complementados). Este resultado puede ocurrir en un canal de transmisión basados en par trenzado simplemente al conmutar las dos puntas cuando se usa codificación de línea tipo polar.


DPCM usando predicción de las muestras de la señal diferencial cuantizada

kx ke

ky

*kx

kx̂

)t(x

kx̂

limI)t(x

kx̂ky

ky *kx

)t(x*



DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DPCM

Σ Cuantizador

Q(x)

Σ

+

-

kx keky

*kxkx̂

TRANSMISOR

Muestreador

)t(x

+

+

kk*k x̂yx +=

kkk x̂xe −=

Filtro de PredicciónZ-T (Tc=1)

Forma de Onda DPCM

kx̂

kkk qey +=

kkk x̂xe −=

kkk qey +=

Entrada al cuantizador, denominado el error de predicción.

Salida del cuantizador, donde qk es denominado error de cuantización.

kk*k x̂yx += Entrada al predictor.




Σ+*kxky

kx̂

RECEPTOR

Filtro de PredicciónZ-T (T=1)

DecodificadorPCM

SecuenciaDPCM

+

Filtro dereconstrucción

)t(x*kk

*k x̂yx +=

• El filtro de predicción generalmente se implementa a través de un predictor lineal el cual las últimas “r” muestras se usan para predecir los valores de la siguiente muestra.

kx̂ Salida del predictor.




• Para la estructura DPCM ilustrada en las dos diapositivas anteriores, el error de cuantización entre xk y su valor reestructurado xk* es el mismo que el error de cuantización entre la entrada y salida del cuantizador, es decir:

kk*k x̂yx +=

Señal símbolo reconstruida

Salida delcuantizador

Valor estimado de xk

kkk*k x̂qex ++=⇒

kkkk x̂q)x̂x( ++−=

kk*k qxx +=⇒ kkk

*kk eyxxq −=−=

Por tanto tenemos la propiedad:

kkk qey +=



• Generalmente, el rango de variación de ek es mucho menor comparado con el de xk y, por tanto, ek puede ser cuantizado con menos bits.

• Debe observarse que qk es independiente del predictor. Así, DPCM puede alcanzar niveles de desempeños comparados con PCM a menores tasas de bits lo que encuentra una amplia gama de aplicaciones en la compresión de voz e imágenes.

• El resultado anterior demuestra que en ausencia de ruido de canal, la diferencia entre x(t) y x*(t) es debida al ruido de cuantización qk.



• El predictor lineal es un filtro discreto en el tiempo con respuesta al impulso de duración finita (FIR):

–Este contiene un conjunto de “r” elementos de retardo unitario, cada uno de los cuales se representa por D,–La salida del filtro es la suma convolución:

donde r, el número de elementos de retardo unitario (Tap), es denominado el orden del predictor, y ci son los coeficientes del filtro.

PREDICTOR LINEAL PARA DPCM

∑=

−−−− =+++=r

iikirkrkkk xcxcxcxcx̂

12211




])X̂X[(E]E[ED kkk22 −==

D

c1

Σ

D

c2

Σ

D

Cr-1 cr

Σ

. . .

. . .

. . .

1−kxkx 2−kx rkx −1+−rkx

kx̂

• El objetivo de diseño es escoger los coeficientes del filtro c1, c2, ..., cr, de modo que se minimice el error cuadrático medio dado por:

Donde: ∑=

−−=−=r

iikikkkk XcXX̂XE

1

Ambos Ek y Xk son las secuencias aleatorias con media cero, y ek y xk son valores muestras de Ek y Xk, respectivamente. En este caso, el filtro se denominado el predictor óptimo.



−= ∑

=−

2

1

r

iikik XcXED

∑=

≤≤=−r

1ii ; c rj)j(R)ji(R XX 1


Expandiendo la expresión anterior, y asumiendo que el proceso es estacionario, obtenemos:

∑∑∑= ==

−+−=r

i

r

jXjiX

r

iiX )ji(Rcc)i(Rc)(R D

1 11

20

donde RX denota la función de autocorrelación del proceso X={Xk}. Para minimizar D, diferenciamos con respecto a ci’s y encontramos las raíces. Luego de diferenciar, tendremos:




Esta colección de ecuaciones (una para cada “j”) puede arreglarse en forma matricial conocida como Ecuaciones Normales. Su forma es:

−−−

−−−−−−

=

4

3

2

1

0321

3012

2101

1210

3

2

1

c

c

c

c

)(R)r(R)r(R)r(R

)r(R)(R)(R)(R

)r(R)(R)(R)(R

)r(R)(R)(R)(R

)r(R

)(R

)(R

)(R

XXXX

XXXX

XXXX

XXXX

X

X

X

X

Resolviendo el conjunto de ecuaciones generadas de la diferenciación (las que se conocen como las ecuaciones Yule-Walker), podemos encontrar el conjunto óptimo de coeficientes del predictor.


Relación señal a ruido en DPCM

,E2σ

• Para determinar la razón señal a ruido en DPCM podemos escribir:

PPQ

E

E

X

Q

XQ )SNR(G)SNR( ⋅=

σσ⋅

σσ=

σσ= 2

2

2

2

2

2

• Donde:

,Q2σ

Q)SNR(

,)SNR(Q

EP 2

2

σσ=

,GE

XP 2

2

σσ=

La varianza del error de predicción de media cero, ek,

La varianza del error de cuantización de media cero, qk,

La razón para el transmisor DPCM,

La razón para el cuantizador, denominado razón de señalde predicción a ruido de cuantización,

La ganancia de predicción producida por DPCM.

Así, la razón señal a ruido de cuantización en DPCM está determinado por el producto de la razón de señal de predicción a ruido de cuantización y la ganancia de predicción.


Relación señal a ruido en DPCM

• Para una señal bandabase x(t), la varianza σ2X es fija, así:

imizadamin σimizada max G EP ↓↔↑ 2

• Si el predictor es bueno, entonces σ 2E < σ 2

X . En otras palabra, para un número dado de niveles de cuantización, la varianza del error de cuantización qk para ek es mas pequeño que la varianza del error de cuantización qk para xk en PCM.


DPCM Adaptivo o ADPCM


Codificadores de Forma de Onda en el dominio de la frecuencia

• Explotan básicamente las siguientes redundancias de la señal de voz :

• Densidad espectral no uniforme.• Ciertos sonidos específicos presentan bajos niveles de

densidad espectral de energía.

• Ejemplos:• Codificación por sub-bandas de frecuencia:

Sub Band Coding (SBC).• Codificación mediante transformada adaptiva: Adaptive

Transform Coding (ATC).


Espectro de frecuencia de transmisión de Voz en función del tiempo


Codificación por sub-bandas:SBC: Sub Band Coding

• La SBC se puede interpretar como un método de controlar y distribuir el ruido de cuantización sobre el espectro de frecuencias de la señal.– La cuantización es un proceso no lineal que produce un espectro de

frecuencias amplio.– El oído humano no percibe el ruido de cuantización de igual forma a

todas las frecuencias.

– En consecuencia hay una ventaja comparativa en dividir el espectro en sub-bandas para ser codificadas individualmente.

– En SBC, el espectro de voz se divide típicamente en 4 o 8 bandas, y c/sub-banda se muestrea a la tasa de Nyquist.

– La selección de las sub-bandas puede ser realizada de diversas maneras.


Codificación por sub-bandas:SBC: Sub Band Coding

• Un esquema es el de considerar las sub-bandas con frecuencias de corte ubicadas en : 200-700-1310-2020- 3200 Hz.

• Hay diversas maneras de procesar las sub-bandas. Una forma es la de trasladar el contenido espectral a frecuencias bajas mediante modulación equivalente a SSB

• Los filtros pasabanda no presentan problemas derivados del traslape si se diseñan de modo que las respuestas de frecuencia en los cruces son complementarios.


Codificación por sub-bandas SBC

• Ejemplo: considere un sistema SBC con sub-bandas con frecuencias de corte ubicadas en : 200-700-1310-2020-3200 Hz. Suponga que se requiere de 4, 3, 2, 1 b/muestra en las subbandas indicadas, respectiva-mente. Además, que el muestreo que se realiza es a la tasa de Nyquist y que no se requiere de información adicional. Determine la mínima tasa de Tx.

• Respuesta:– Subbanda 1: R1 = 1000·4 b/s

– Subbanda 2: R2 = 1220·3 b/s

– Subbanda 3: R3 = 1420·2 b/s

– Subbanda 4: R2 = 2360·1 b/s

– Total = 12,86 kb/s

Valores típicos de tasas de Tx están en el rango de 9,6 a 32Kbps.

El sistema CD-900 usa SBC.

lecture 7 probabilidad de error de transmisión pcm. formateo de señales dpcm, adpcm

Education