lecture 12 representación espacial de señales
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2S 2009 - I. Zamora
Unid IV - Rep Space Sñls Dig 1
Comunicaciones II
Conferencia 12: Representación espacial de señales digitalesUNIDAD IV: REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE SEÑALES DIGITALES
Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
Universidad Nacional de Ingeniería
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 2
Outline• Revisión al concepto vectorial• Ortogonalidad• Representación geométrica• Representación geométrica para un espacio n-
dimensional• Propiedades Vectoriales• Modelo de sistema digital vectorial• Conversión formas de onda a vectores espaciales• Representación Espacial de Señales• Ilustración• Algoritmo de ortogonalización Gram-Schmidt
– Procedimiento– Ejemplo
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Revisión al concepto vectorial
• Definición de Vector:– Un segmento lineal dirigido– Su longitud es denominada la longitud del vector– Su dirección es denominada su dirección
a b
Vector a Vector b
•a y b son vectores con distintas direcciones y distintas longitudes•a y c son vectores iguales en longitud y dirección (paralelos).•Producto escalar a•b : producto resultante de la longitud de la proyección del vector a sobre el vector b multiplicado por la longitud del vector b:
c
Vector c
a
ba•b=|a| |b| cos(), con |a| y |b| las longitudes de los vectores a y b respectivamente
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Ortogonalidad
• Vectores ortogonales:– Cuando el ángulo definido por sus direcciones es recto (/2 ó 90°)
a
b
Vector a
Vector b=90°
• Producto escalar o interno de vectores ortogonales es igual a cero:
a•b=|a| |b| cos(/2 )=0
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Representación geométrica
• En espacio Euclideano para el vector x
-Considerando vector en un plano bidimensional: x=(x1, x2)-Dirección de vectores unitarios
ortogonales 1 y 2
-Considerando vector en un espacio tridimensional: x=(x1, x2, x3)-Dirección de vectores unitarios
ortogonales 1,2 y 3
2
2
x2
x1
1
x=x11+x22
x1
x2
x3
1
3x=x11+x22+x33
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Representación geométrica para un espacio n-dimensional
Un vector x=(x1, x2, x3, ..., xn) de N-orden, puede representarse como una
combinación lineal de los n vectores unitarios ortogonales 1, 2, 3,..., N
n
j
x
...x
1j
N321
j
n321
x
xxxx
Con j vectores unitarios de n-orden:
)1,....,0,0,0(
)0,....,0,1,0(
)0,....,0,0,1(
n
2
1
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Propiedades Vectoriales
Longitud del vector:
n
jjx
1
22xxx
Independencia: Un conjunto de vectores de m dimensiones, x1, x2,...,xm, es independiente si ninguno de los vectores de ese conjunto puede representarse como combinación lineal de los vectores restantes del conjunto, es decir:
)(constantea ;aaaa jm321 0321 mx...xxx
Si un espacio contiene un máximo de n vectores independientes, todo vector en ese espacio puede expresarse como una combinación lineal de estos n vectores independientes.
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Propiedades Vectoriales
Vectores base: Son los n vectores independientes en un espacio n-dimensional
Vectores ortonormales: Son vectores ortogonales con longitud unitarias, de un espacio n-dimensional. Satisfacen la propiedad del producto punto o interno:
1
0
ji
jiji
Dado un vector x, sus cómponentes xj pueden determinarse de la forma siguiente:
jjx x
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Modelo vectorial de sistema digital
mm TMR /log2
im
1-M0,1,..., im
Fuente deMensajes
CodificadorVectorial
ModuladorVectorial
Sumidero deMensajes
DecodificadorVectorial
DemoduladorVectorial
Un mensaje cada Tm segundos
),...,s,s(s iNii 21is ,...,M,i)t(si 21
im )t(si
Una señal cada TS segundos
Al canal físico
)t(n
)t(n)t(s)t(r ii
),...,r,r(r iNii 21irim̂
Decisión:Muestra debe procurarmínima probabilidadde error ( corresponda a mi )im̂
)t(ri
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Del modelo
Fuente de Mensaje:
Un símbolo mensaje mi cada Tm segundos, hay m diferentes símbolos y todos ocurren con igual probabilidad,
i , M
emitidomPP ii
1
Codificador Vectorial:
Mapeo de un símbolo a un vector de valor real de dimensión NM,
),...,s,s(sm iNiii 21is
Modulador Vectorial:
Mapeo de un vector de valor real a una forma de onda de valor real en un intervalor 0tTS con energía finita,
T
ii
i
dt)t(sE
)t(s
0
2
is
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Del modelo
Canal de formas de onda:
Sistema LTI, ancho de banda acomoda si(t) sin distorsión, y el ruido es agregado.
Donde n(t) es ruido blanco aditivo Gaussiano.
Sii Tt0 ),t(n)t(s)t(r
Demodulador Vectorial:
Mapeo de la señal recibida a un vector de valor real y dimensión N,
),...,r,r(r)t(r iNiii 21ir
Detector o Decodificador Vectorial:
Mapea ri a uno de los m mensajes,
La decisión se toma de acuerdo a un criterio estadístico de optimización para reducir la probabilidad de error de símbolo,
m̂ir
iM
iiiie mPmmm̂PP
1
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Conversión formas de onda a vectores espaciales
Considere “V” como un espacio lineal Euclideano, sobre un campo numérico complejo “C”:
3. Linealidad: Cba,V,β,α,α ,β,αbβ,αaβ, bαaα 212121
2. Positivo de facto: 0) si0( 0, ααα,
1. Simetría: V βα, ,βα,βα,
0. Notación del producto escalar, para dos vectores, y : βα,
Producto escalar (interno o punto) de un espacio Euclideano
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Conversión formas de onda a vectores espaciales
Extensión para señales de energía finita:
•Si la señal s(t) puede especificarse mediante una n-ada, entonces también es un vector
)(constantea 0;aaaa jN321 N321 ...
•Espacio de Señales: Se definen n señales 1, 2, 3,..., N, como independientes, si
satisfacen:
•Si toda señal si(t) de un cierto espacio de M señales, se puede representar como una
combinación lineal de n señales independientes {j}, entonces se tiene un espacio de
señales de N dimensiones,
N
1jjiji Tt0 M1,2,...,i (t),s(t)s
T
0 jijiij (t)dt(t)s(t)(t),ss
•Donde los coeficientes sij se obtiene como:NOTA: sij es la proyección de
si sobre j
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Representación Espacial de Señales
•Producto Escalar o Interno de dos señales de valor real s(t) y y(t) sobre un intervalo [0,T] se define como:
T
0s(t)y(t)dty(t)s(t),
•Norma o longitud de una señal s(t) se define como:
0)( E(t)dtss(t)s(t),s(t) 21/2T
0
21/2
•Conjunto de señales ortogonales: Un conjunto de N forma de ondas de señales se denomina ortogonales si,
ji 0
ji c(t)dt(t)(t)(t), jT
0 jiji
•Representación Espacial: Una vez especificadas las señales base {j}, podemos
representar la señal s(t) mediante una N-ada (si1, si2, si3,...,siN)
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Representación Espacial de Señales
ji 0
ji 1(t)dt(t)(t)(t),
T
0 jiji
•Si, , energía unitaria, entonces el conjunto de señales {1 } se denomina ortonormal, i.e.,
1E i.e. j, 1c jj
•Otra vez, para un conjunto ortonormal, los coeficientes sij de una señal si(t) se obtiene por:
T
0 jijiij (t)dt(t)s(t)(t),ss
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Ilustración
Un espacio de señales consta de cuatro señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) como se muestra en la figura:
s1(t)
1
-0.5
1 2t
s2(t)
1
-0.5
12 t
s3(t)
1
1 2
t
-1
s4(t)
1
12 t
-1
0.5
Vectores Ortonormales:
1(t)
1
-0.5
1
2t
2(t)
1
1 2 t
-1
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Ilustración
Puede demostrarse por simple inspección que las señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t)
pueden expresarse como combinaciones lineales de las señales ortonormales 1(t) y 2(t) según se muestra:
(t)s(t)s(t)s(t)s 2i21i1
2
1jjiji
(t)0.5-(t)(t)s(t)s(t)s(t)s 21212111
2
1jj1j1
(t)(t)0.5(t)s(t)s(t)s(t)s 21222121
2
1jj2j2
(t)(t)s(t)s(t)s(t)s 2232131
2
1jj3j3
(t)(t)0.5(t)s(t)s(t)s(t)s 21242141
2
1jj4j4
50 11 .,(t)s
1 502 ,.(t)s
103 , -(t)s
1504 , .(t)s
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Ilustración
Representación espacial de las señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) en un espacio vectorial
euclideano definido por las señales ortonormales 1(t) y 2(t) según la figura de abajo:
2(t)
1
-0.5
10.5-0.5-1
-1
0.5
1(t)
s2(t) s4(t)
s3(t)
s1(t)
•Qué procedimiento permite determinar los vectores ortonormales j(t)? los coeficientes sij? la representación espacial/vectorial de las señales? • El algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt.
50 11 .,(t)s
1 502 ,.(t)s
103 , -(t)s
1504 , .(t)s
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Algoritmo de Ortogonalización Gram-Schmidt
• Algoritmo mediante el cual se determinan las N señales independientes y ortogonales de longitud unitaria (ortonormales) 1, 2, 3,..., N, que permiten, a través
de una combinación lineal de las mismas, representar las M señales de energía finita s1(t), s2(t), s3(t),...,sM(t) en
un espacio vectorial euclideano de N-orden.
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Consideraciones
• Cualquier señal si(t) en un conjunto de M señales de energía
puede ser representada por una combinación lineal de un conjunto de N funciones de señales ortonormales donde NM.
Mi1 (t)si
Nj1 (t)j
Tt0 M.1,2,...,i ,(t)s(t)sN
1jiji
j
Donde:
T
0 jijiij (t)dt(t)s(t)(t),ss
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Consideraciones
• Note que:
(t)
(t)
(t)
s,...,s,s(t)s
N
2
1
iNiii 21
Matricialmente:
(t)(t) sobre n de s proyecció que es la s
ponde aado corresuyo result(t)dt c(t)s
jiij
j
T
i
0
• También: iNi2i1 s,...,s,sis
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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle
(t)dt(t)s(t)(t),s s donde
(t)s(t)s
que talN,1,2,...,jy Tt0 para
MN:(t)}{ :bases esortonormal Funciones
j
T
0 ijiij
1jiji
j
N
j
M1,2,...,iy Tt0 para (t)}{s señalesM i Entrada:
Salida:
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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle
T
0
2111
21
1
1
1
1
11
11
(t)dts(t)sE que Recuerde
E
(t)s
unitaria) (longitud (t)s(t)s
(t)g(t)g
(t)
)(dirección (t) s (t)g
2
Paso 1:
unitaria energía tiene (t)y
E sdonde
(t) s (t) E (t)s
1
2111
11112
11
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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle
(t))(t)(g (t)s(t)s(t)g 1212122
)(dirección 0(t)(t),g 12
(t)g de anormalizad versión la es (t) 22
T
0 1221 (t)dt(t)ss
Paso 2:
Calcule:
Fije:
dt(t)sET
0
22 2Calcular la norma de g2(t):
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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle
2 2212
1212
2
22
sE
(t)s(t)s(t)g(t)g
(t)
2 22
2 221
22
2T
0
22
21
21
2
sE
s2sE
(t)dtg (t)g
Paso 2 (cont.):
Fije:
0(t)dt(t) quey
1dt(t)(t)
2
T
0 1
T
0
22 2
Tenemos que:
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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle
2
1n
1j
2nn nj
sE(t)g
1-n2,..., 1,j ,(t)(t),ss jnnj
T
0
22
nn (t)dts(t)sEn
unitaria) (longitud (t)g(t)g
(t)n
nn
Paso n: Calcule:
sE
(t)s(t)s
2
1n
1j
2n
1n
1jjnjn
nj
)(dirección (t)s(t)s(t)g1n
1jjnjnn
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Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle
0.(t) dé
que (t) s señalcualquier ignore te simplemencaso,
este En (t). (t),...,(t), de ncombinació una
por aconsiderad ya sidohaya no que componente
tiene no (t) sque ya 0(t) modo, este De
0.(t)s(t) sque sucederPuede
.procesadas son(t)s(t),...,s(t),s
señaleslas todas que hasta continúa sentoprocedimie Este
n
n
1-n21
nn
1n
1jjnjn
M21
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 28
Ejemplo
Un conjunto de cuatro formas de onda se ilustra abajo. Encuentre un conjunto ortogonal para este conjunto de señales aplicando el procedimiento de Gram-Schmidt.
s1(t)
1
-0.5
1 2 t
s4(t)
1
-0.5
1 2 t3
s3(t)
1
-1
1 2 t3
s2(t)
1
1 2
t
-1
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 29
Ejemplo
2t0 ,2
1
2
(t)s(t)
2E entonces
2tdt1(t)sE con E
(t)s(t)
2t0 1,(t) s (t)g
221
1
221
3
0
2
0
22
1121
11
11
Paso 1:
unitaria energía tiene (t)y
2 sdonde
(t) s (t) 2 (t)s
1
211
11112
1
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 30
Ejemplo
(t)s(t)s(t)s(t)g 212122
)(dirección 0(t)(t),g 12
(t)g de anormalizad versión la es (t) 22
0(t)dt2
1dt
2
1
(t)dt(t)s(t)dt(t)ss
2
1 2
1
0 2
3
0 12
T
0 1221
Paso 2:
Calcule:
Fije:
2dt1-dt1dt(t)sE2
1
21
0
2T
0
22 2
Para calcular la norma de g2(t):
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Ejemplo
2t1 2
1
1t0 2
1
(t)
(t)s2
1
sE
(t)s(t)s(t)g(t)g
(t)
2
2
2
222 2212
1212
2
22
222
2 22
2 221
22
2T
0
22
2EsE
s2sE
(t)dtg (t)g
21
21
2
Paso 2 (cont.):
Fije:
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Ejemplo
Paso 2 (cont.):
0(t)dt(t) quey
1dt(t)(t)
2
T
0 1
T
0
22 2
Note que:
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 33
Ejemplo
2 2-dt2
11dt
2
11-
(t)dt(t)s(t)dt(t)ss
2
1 2
1
0 2
3
0 23
T
0 2332
Paso 3: Calcule:
0dt2
11dt
2
11-
(t)dt(t)s(t)dt(t)ss
2
1 2
1
0 2
3
0 13
T
0 1331
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 34
Ejemplo
3
1
21
0
2
3
0
23
T
0
23
2
33
3dt1dt1-
(t)dts(t)dts(t)sE
Paso 3Cont.:
(t)2(t)s
(t)2(t)0-(t)s
(t)s-(t) s-(t) s
(t)s(t)s(t)s(t)s(t)g
22
3
22
13
2321313
2
1jj3j3
13
1jj3j33
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 35
Ejemplo
3t0 (t)2(t)s(t)g(t)g
(t) 22
33
33
Paso Cont. 3:
12222
2
2 2232
13
1j
233
03
ssEsE(t)g32313j
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 36
Ejemplo
1y s 0,s
2(t)dt(t)ss
:que calcularse Puede
4342
T
0
21441
(t)s(t)s(t)s(t)s 3214
0(t)-(t)2(t)s(t)g 312
44
Paso 4:
(t)(t)(t)s
(t)-(t)(t)(t)(t)s
314
23214
2
222
2
222
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 37
Ejemplo
En resumen, el conjunto de señales ortonormales 1(t), 2(t), 3(t) se grafican abajo.
1(t)
1 2 t
2(t)
1 2
t
3(t)
1
1 2 t3
2 2
1
2 2
1
2 2
1
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 38
Ilustración
La representación espacial se muestra en la gráfica de abajo.
2(t)
1(t)
s2(t)
s3(t)
s1(t)
3(t)
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
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Unid IV - Rep Space Sñls Dig 39