lectia vii dreapta si planul - math.uaic.rooanacon/depozit/cursvii_planul_si_drepta.pdf · pentru...
TRANSCRIPT
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Lectia VII
Dreapta si planul
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Table of Contents
1 Planul. Ecuatii, pozitii relative
2 Dreapta. Ecuatii, pozitii relative
3 Aplicatii
Oana Constantinescu Lectia VII
Introducere
In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii
pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative
a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan.
In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am
precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului,
cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre
pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice.
E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct
de vedere analitic.
Introducere
In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii
pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative
a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan.
In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am
precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului,
cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre
pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice.
E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct
de vedere analitic.
Introducere
In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii
pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative
a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan.
In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am
precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului,
cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre
pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice.
E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct
de vedere analitic.
Planul
Fie un plan π. Pentru unica sa determinare, vom considera situatiile:
1 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de doi
vectori necoliniari u, v din spatiul sau liniar director −→π :
π = A + [u, v ].
2 Planul π este unic determinat de trei puncte necoliniare ale
sale: π = (ABC ).
3 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de un
vector normal N ⊥ −→π .
Planul
π = A + [u, v ]
Planul
Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv)
R = {O; i , j , k} in raport cu care vom exprima coordonatele
punctelor, respectiv vectorilor ce intervin.
Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai
daca−→AP = r − rA este un vector din planul vectorial director −→π :
∃ t, s ∈ R a.i . r − rA = tu + sv .
Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului:
r = rA + tu + sv , t, s ∈ R.
Gandind planul π ca un subspatiu a�n al lui E 3, amintindu-ne si de
operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia
a�na a planului:
P = A + tu + sv , t, s ∈ R, ∀P ∈ π.
Planul
Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv)
R = {O; i , j , k} in raport cu care vom exprima coordonatele
punctelor, respectiv vectorilor ce intervin.
Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai
daca−→AP = r − rA este un vector din planul vectorial director −→π :
∃ t, s ∈ R a.i . r − rA = tu + sv .
Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului:
r = rA + tu + sv , t, s ∈ R.
Gandind planul π ca un subspatiu a�n al lui E 3, amintindu-ne si de
operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia
a�na a planului:
P = A + tu + sv , t, s ∈ R, ∀P ∈ π.
Planul
Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv)
R = {O; i , j , k} in raport cu care vom exprima coordonatele
punctelor, respectiv vectorilor ce intervin.
Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai
daca−→AP = r − rA este un vector din planul vectorial director −→π :
∃ t, s ∈ R a.i . r − rA = tu + sv .
Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului:
r = rA + tu + sv , t, s ∈ R.
Gandind planul π ca un subspatiu a�n al lui E 3, amintindu-ne si de
operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia
a�na a planului:
P = A + tu + sv , t, s ∈ R, ∀P ∈ π.
Planul
Exprimand vectorii din ecuatia precedenta in raport cu baza
reperului ales, adica presupunand ca
r = xi + y j + zk ,
rA = x0i + y0j + z0k ,
u = u1i + u2j + u3k ,
v = v1i + v2j + v3k ,
folosind faptul ca i , j , k sunt liniar independenti, se obtin ecuatiile
parametrice ale planului π :x = x0 + tu1 + sv1,y = y0 + tu2 + sv2,z = z0 + tu3 + sv3,
s, t ∈ R.
Planul
Amintim ca trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul
lor mixt se anuleaza. Deci vectorii−→AP = r − rA, u, v sunt coplanari
daca si numai daca
(r − rA, u, v) = 0.
Folosind formula de calcul pentru produsul mixt se obtine ecuatia
planului sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣x − x0 y − y0 z − z0u1 u2 u3v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Dezvoltand determinantul se obtine o ecuatie de tipul:
ax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 6= 0,
numita ecuatia generala a planului, sau ecuatia canonica a planului.
Planul
π = (ABC )
Acest caz se reduce la cel precedent considerand de exemplu
u =−→AB = rB − rA, v =
−→AC = rC − rA. Se obtin astfel, pentru
planul π, ecuatia vectoriala:
r = rA + t (rB − rA) + s (rC − rA) , s, t ∈ R ⇔r = (1− t − s)rA + trB + srC , s, t ∈ R,
ecuatiile parametrice:x = xA + t (xB − xA) + s (xC − xA) ,y = yA + t(yB − yA) + s (yC − yA) ,z = zA + t (zB − zA) + s (zC − zA, )
t, s ∈ R
cat si ecuatia sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣x − xA y − yA z − zAxB − xA yB − yA zB − zAxC − xA yC − yA zC − zA
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Planul
Ultima ecuatie se poate scrie si in forma:∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1
xA yA zA 1
xB yB zB 1
xC yC zC 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
In cazul particular in care A(a, 0, 0), B(0, b, 0) si C (0, 0, c)reprezinta punctele de intersectie ale planului cu axele de
coordonate, se obtine ecuatia planului prin taieturi:
x
a+
y
b+
z
c− 1 = 0.
Planul
A ∈ π, N ⊥ −→π
Planul
In aceasta situatie P(r) ∈ π ⇔ N ⊥−→AP ⇔ ecuatia vectoriala a
planului:
< r − rA,N >= 0.
Daca N are coordonatele l ,m, n in raport cu R si
P(x , y , z), A(x0, y0, z0), atunci ecuatia precedenta devine:
l(x − x0) + m(y − y0) + n(z − z0)= 0 ⇔l x + my + nz + p = 0.
Reobtinem astfel ecuatia generala a planului.
Sa remarcam ca in ecuatia generala a unui plan, coe�cientii lui
x , y , z sunt coordonatele vectorului normal planului.
Planul. Exemple
Planele de coordonate:(xOy) : z = 0
(yOz) : x = 0
(zOx) : y = 0
Plane paralele cu planele de coordonate:π q (xOy) : z = c
π q (yOz) : x = a
π q (zOx) : y = b
a, b, c ∈ R
Plane perpendiculare pe planele de coordonate:π⊥ (xOy) : ax + by + d = 0
π⊥ (yOz) : by + cz + d = 0
π⊥ (zOx) : ax + cz + d = 0
Planul. Exemple
Planele de coordonate:(xOy) : z = 0
(yOz) : x = 0
(zOx) : y = 0
Plane paralele cu planele de coordonate:π q (xOy) : z = c
π q (yOz) : x = a
π q (zOx) : y = b
a, b, c ∈ R
Plane perpendiculare pe planele de coordonate:π⊥ (xOy) : ax + by + d = 0
π⊥ (yOz) : by + cz + d = 0
π⊥ (zOx) : ax + cz + d = 0
Planul. Exemple
Planele de coordonate:(xOy) : z = 0
(yOz) : x = 0
(zOx) : y = 0
Plane paralele cu planele de coordonate:π q (xOy) : z = c
π q (yOz) : x = a
π q (zOx) : y = b
a, b, c ∈ R
Plane perpendiculare pe planele de coordonate:π⊥ (xOy) : ax + by + d = 0
π⊥ (yOz) : by + cz + d = 0
π⊥ (zOx) : ax + cz + d = 0
Planul. Exemple
Plane ce conµin axele de coordonate:π 3 Oz : ax + by = 0
π 3 Ox : by + cz = 0
π 3 Oy : ax + cz = 0
Plan prin origine:
π 3 O : ax + by + cz = 0.
Planul. Exemple
Plane ce conµin axele de coordonate:π 3 Oz : ax + by = 0
π 3 Ox : by + cz = 0
π 3 Oy : ax + cz = 0
Plan prin origine:
π 3 O : ax + by + cz = 0.
Pozitiile relative ale planelor
Fie doua plane de ecuatii generale
(π1) :A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
(π2) :A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Intersectia lor poate �:
1 o dreapta (atunci cand sistemul format din cele doua ecuatii
este compatibil simplu nedeterminat)
⇔ rang
(A1 B1 C1
A2 B2 C2
)= 2;
2 un plan (cele doua plane coincid) ⇔ A2
A1= B2
B1= C2
C1= D2
D1;
3 multimea vida (planele sunt paralele deci au normalele
paralele) ⇔ A2
A1= B2
B1= C2
C16= D2
D1.
Aplicatie
Sa se determine unghiul dintre planele
(π1) :A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
(π2) :A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Indicatii:
Aplicatie
Notam cu ϕ masura unghiului diedru al celor doua plane.
Construind ca in �gura unghiul diedru si normalele la �ecare plan in
puncte convenabil alese, observam ca ϕ este suplementul unghiului
dintre normalele la plane.
Dar vectorii normali planelor sunt N1(A1,B1,C1) si N2(A2,B2,C2).In acest caz unghiul dintre normale se calculeaza prin
cosψ =A1A2 + B1B2 + C1C2√
A2
1+ B2
1+ C 2
1
√A2
2+ B2
2+ C 2
2
si ϕ = π − ψ.In particular, cele doua plane sunt perpendiculare daca si numai
daca
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Toate tipurile de ecuatii ale dreptei
O dreapta d este unic determinata de:
1 un punct al sau A ∈ d si un vector director a ∈−→d , a 6= 0;
2 doua puncte A 6= B ale sale;
3 doua plane distincte care o contin: π1 ∩ π2 = d ;
4 un punct al sau A ∈ d si o directie planara normala dreptei:−→π = [u, v ] ⊥
−→d .
Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele
patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice,
ecuatiile canonice si ecuatiile generale.
Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Toate tipurile de ecuatii ale dreptei
O dreapta d este unic determinata de:
1 un punct al sau A ∈ d si un vector director a ∈−→d , a 6= 0;
2 doua puncte A 6= B ale sale;
3 doua plane distincte care o contin: π1 ∩ π2 = d ;
4 un punct al sau A ∈ d si o directie planara normala dreptei:−→π = [u, v ] ⊥
−→d .
Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele
patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice,
ecuatiile canonice si ecuatiile generale.
Oana Constantinescu Lectia VII
Dreapta
d = A + [a]
P(r) ∈ d ⇔−→AP ∈
−→d ⇔ r − rA = ta, t ∈ R. Am obtinut ecuatia
vectoriala a dreptei:
r = rA + ta, t ∈ R.
Ecuatia a�na a dreptei este:
P = A + ta, t ∈ R.
Dreapta
Daca presupunem ca in raport cu un reper ales avem
P(x , y , z)⇔ r = xi + y j + zk , A(x0, y0, z0) si a(l ,m, n), atunciecuatia vectoriala determina urmatoarele ecuatii parametrice ale
dreptei d : x = x0 + tl
y = y0 + tm
z = z0 + tn
, t ∈ R.
Exprimand parametrul t din toate cele trei ecuatii si egaland
rezultatele, obtinem ecuatiile canonice:
x − x0l
=y − y0m
=z − z0
n(= t) .
Eliminand parametrul t din ecuatiile parametrice, ori considerand
sistemul format din cate doua ecuatii canonice, dreapta apare ca
intersectie de doua planuri:{mx − ly + (ly0 −mx0) = 0,
ny −mz + (mz0 − ny0) = 0.
Dreapta
d = AB, A 6= B
In toate ecuatiile precedente consideram vectorul director al dreptei
a =−→AB = rB − rA si obtinem:
ecuatia vectoriala:
r = (1− t)rA + trB , t ∈ R;
ecuatiile parametrice:x = (1− t)xA + txB ,y = (1− t)yA + tyB ,z = (1− t)zA + tzB ,
t ∈ R;
ecuatiile canonice:
x − xAxB − xA
=y − yAyB − yA
=z − zAzB − zA
.
Dreapta
d = π1 ∩ π2
Daca (π1) : A1x +B1y +C1z +D1 = 0, (A1)2 +(B1)
2 +(C1)2 6= 0
si (π2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0, (A2)2 + (B2)
2 + (C2)2 6= 0,
sistemul {A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
determina o dreapta daca si numai daca
Dreapta
rang
(A1 B1 C1
A2 B2 C2
)= 2.
Observam ca directia dreptei este N1 × N2, unde N1(A1,B1,C1) si
N2(A2,B2,C2) sunt vectorii normali celor doua plane.
Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva
efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei
ne�ind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile
parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice.
De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile:
Ox :
{y = 0
z = 0, Oy :
{z = 0
x = 0, Oz :
{x = 0
y = 0.
Dreapta
rang
(A1 B1 C1
A2 B2 C2
)= 2.
Observam ca directia dreptei este N1 × N2, unde N1(A1,B1,C1) si
N2(A2,B2,C2) sunt vectorii normali celor doua plane.
Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva
efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei
ne�ind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile
parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice.
De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile:
Ox :
{y = 0
z = 0, Oy :
{z = 0
x = 0, Oz :
{x = 0
y = 0.
Dreapta
rang
(A1 B1 C1
A2 B2 C2
)= 2.
Observam ca directia dreptei este N1 × N2, unde N1(A1,B1,C1) si
N2(A2,B2,C2) sunt vectorii normali celor doua plane.
Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva
efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei
ne�ind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile
parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice.
De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile:
Ox :
{y = 0
z = 0, Oy :
{z = 0
x = 0, Oz :
{x = 0
y = 0.
Aplicatie
Sa se determine ecuaµiile canonice ale dreptei
d :
{2x − 3y − 3z − 9 = 0
x − 2y + z + 3 = 0.
Rezolvare: Rezolvand sistemul obtinem ecuatiile parametrice
d :
x = 9t,y = 5t,z = t − 3,
t ∈ R si de aici imediat ecuatiile canonice
d : x9
= y5
= z+3
1.
Dreapta
A ∈ d si −→π = [u, v ] ⊥−→d
Ecuatiile dreptei se obtin ca in primul caz, stiind un punct al ei A si
vectorul director u × v .
Aplicatie
Sa se scrie ecuatiile dreptei d ′ care trece prin punctul A(2,−5, 3) si
este:
a) paralela cu axa Oz ;
b) paralela cu dreapta d : x−14
= y−2−6 = z+3
9;
c) paralela cu dreapta d :
{2x − y + 3z + 1 = 0
5x + 4y − z − 7 = 0.
Rezovare a) d ′ :
{x − 2 = 0,y + 5 = 0,
sau d ′ : x−20
= y+5
0= z−3
1.
b) d ′ : x−24
= y+5
−6 = z−39.
c) Avem nevoie de un vector director pentru dreapta d ′. Acestaeste produsul vectorilor N1(2,−1, 3) si N2(5, 4,−1), vectoriinormali planelor ce determina dreapta data. Se obtine
N1 × N2 = −11i + 17j + 13k , deci: d ′ : x−2−11 = y+5
17= z−3
13.
Pozitiile relative a doua drepte in spatiu
Fie d1 = A1 + [a1] si d2 = A2 + [a2] doua drepte in spatiu.
Dreptele d1si d2 sunt coplanare daca si numai daca vectorii
a1, a2,−−−→A1A2 sunt coplanari ⇔ (a1, a2,
−−−→A1A2) = 0.
Pentru a veri�ca daca dreptele sunt paralele sau nu, se determina
daca vectorii a1 si a2 sunt sau nu coliniari, calculand produsul lor
vectorial. Iar pentru a distinge intre cazurile drepte paralele si
drepte confundate se veri�ca si coliniaritatea vectorilor a1,−−−→A1A2.
Obtinem astfel:
Pozitiile relative a doua drepte in spatiu
Theorem
Dreptele d1 si d2 sunt:
1) necoplanare ⇔ (a1, a2, rA2− rA1
) 6= 0
2) concurente ⇔
{(a1, a2, rA2
− rA1) = 0 (coplanare)
a1 × a2 6= 0 (neparalele)
3) paralele ⇔
{a1 × a2 = 0
a1 × (rA2− rA1
) 6= 0 (distincte)
4) confundate ⇔
{a1 × a2 = 0
a1 × (rA2− rA1
) = 0
Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan
Fie drepta d = A + [a] si planul π = B +−→π , cu N ⊥ −→π .
Atunci:
d ‖ π ⇔< a,N >= 0 si <−→AB,N >6= 0;
d ⊂ π ⇔<−→AB,N >= 0;
d ∩ π = {P} ⇔< a,N >6= 0.
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul
π : 4x + 3y − z + 5 = 0.
Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu
vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34
= y+2
3= z−5−1 .
Example
2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta
d : x−13
= y−2 = z+1
4.
Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia
dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica
B(7729,−32
29, 3529
). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d
si conditia−→AB ⊥
−→d .Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul
π : 4x + 3y − z + 5 = 0.
Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu
vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34
= y+2
3= z−5−1 .
Example
2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta
d : x−13
= y−2 = z+1
4.
Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia
dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica
B(7729,−32
29, 3529
). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d
si conditia−→AB ⊥
−→d .Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul
π : 4x + 3y − z + 5 = 0.
Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu
vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34
= y+2
3= z−5−1 .
Example
2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta
d : x−13
= y−2 = z+1
4.
Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia
dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica
B(7729,−32
29, 3529
). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d
si conditia−→AB ⊥
−→d .Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul
π : 4x + 3y − z + 5 = 0.
Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu
vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34
= y+2
3= z−5−1 .
Example
2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta
d : x−13
= y−2 = z+1
4.
Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia
dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica
B(7729,−32
29, 3529
). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d
si conditia−→AB ⊥
−→d .Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, dacad : x
4= y−4
3= z+1
−2 , π : x − y + 3z + 8 = 0.
Rezolvare: Se veri�ca faptul ca dreapta d nu este perpendiculara
pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur
punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia
dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d,
perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si
planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al
dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului
π. Se obtin ecuatiile: {x − 2y − z + 8 = 0,
x − y + 3z + 8 = 0.Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, dacad : x
4= y−4
3= z+1
−2 , π : x − y + 3z + 8 = 0.
Rezolvare: Se veri�ca faptul ca dreapta d nu este perpendiculara
pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur
punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia
dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d,
perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si
planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al
dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului
π. Se obtin ecuatiile: {x − 2y − z + 8 = 0,
x − y + 3z + 8 = 0.Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
4) A�ati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π,respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0),
π : x + 2y − z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2
1= y+1
0= z−1−1 ; c)
A(3,1,2) si d : x−22
= y2
= z+1
1; d) A(1,2,3) si
π : 2x + y + z − 1 = 0.
Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorulperpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele
simetricului A′ se calculeaza din conditia ca A0 este mijlocul
segmentului (AA′). a) (−7
3,−2
3, 43); b) (−1,−4, 0); c)
(379, 199,−22
9); d) (-3,0,1).
Oana Constantinescu Lectia VII
Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative
Aplicatii
Aplicatii
Example
4) A�ati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π,respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0),
π : x + 2y − z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2
1= y+1
0= z−1−1 ; c)
A(3,1,2) si d : x−22
= y2
= z+1
1; d) A(1,2,3) si
π : 2x + y + z − 1 = 0.
Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorulperpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele
simetricului A′ se calculeaza din conditia ca A0 este mijlocul
segmentului (AA′). a) (−7
3,−2
3, 43); b) (−1,−4, 0); c)
(379, 199,−22
9); d) (-3,0,1).
Oana Constantinescu Lectia VII
Aplicatii
Example
5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor
(d1)x−71
= y−32
= z−9−1 si (d2)
x−3−7 = y−1
2= z−1
3.
Rezolvare: Veri�cam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.
Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind
ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara
comuna, P ∈ d1 si Q ∈ d2 ⇒ P(t + 7, 2t + 3,−t + 9) si
Q(−7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director−→PQ sa
�e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date
se determina t, s si se obtine−→PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile
dreptei prin P, de directie−→PQ.
Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre
doua plane π1 si π2, π1 �ind planul proiector al dreptei (d1) pe
planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul
proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu
(d2). Se obtin ecuatiile: x−12
= y1
= z+3
4.
Aplicatii
Example
5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor
(d1)x−71
= y−32
= z−9−1 si (d2)
x−3−7 = y−1
2= z−1
3.
Rezolvare: Veri�cam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.
Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind
ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara
comuna, P ∈ d1 si Q ∈ d2 ⇒ P(t + 7, 2t + 3,−t + 9) si
Q(−7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director−→PQ sa
�e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date
se determina t, s si se obtine−→PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile
dreptei prin P, de directie−→PQ.
Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre
doua plane π1 si π2, π1 �ind planul proiector al dreptei (d1) pe
planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul
proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu
(d2). Se obtin ecuatiile: x−12
= y1
= z+3
4.
Aplicatii
Example
5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor
(d1)x−71
= y−32
= z−9−1 si (d2)
x−3−7 = y−1
2= z−1
3.
Rezolvare: Veri�cam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.
Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind
ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara
comuna, P ∈ d1 si Q ∈ d2 ⇒ P(t + 7, 2t + 3,−t + 9) si
Q(−7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director−→PQ sa
�e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date
se determina t, s si se obtine−→PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile
dreptei prin P, de directie−→PQ.
Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre
doua plane π1 si π2, π1 �ind planul proiector al dreptei (d1) pe
planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul
proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu
(d2). Se obtin ecuatiile: x−12
= y1
= z+3
4.