lectia v produsul mixt. aplicatii la calculul distantelor
TRANSCRIPT
![Page 1: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/1.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Lectia V
Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 2: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/2.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Table of Contents
1 Produsul mixt: de�nitie, proprietati
2 Distante
3 Baza reciproca a unei baze
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 3: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/3.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
De�nitia produsului mixt
De�nition
Fie tripletul ordonat de vectori liberi u, v , w ∈ V. Produsul mixt
al celor trei vectori se noteaza cu (u, v ,w) si se de�neste prin
(u, v ,w) =< u, v × w >
Observatie: Din proprietatile produdului scalar si vectorial, rezulta
imediat ca produsul mixt e o aplicatie triliniara
( , , ) : V × V × V → R.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 4: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/4.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
De�nitia produsului mixt
De�nition
Fie tripletul ordonat de vectori liberi u, v , w ∈ V. Produsul mixt
al celor trei vectori se noteaza cu (u, v ,w) si se de�neste prin
(u, v ,w) =< u, v × w >
Observatie: Din proprietatile produdului scalar si vectorial, rezulta
imediat ca produsul mixt e o aplicatie triliniara
( , , ) : V × V × V → R.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 5: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/5.jpg)
Proprietatile produsului mixt
Theorem
Produsul mixt are urmatoarele proprietati:
(a) daca B = {i , j , k} este o baza ortonormata pozitiva si
u = x1i + x2j + x3k , v = y1i + y2j + y3k , w = z1i + z2j + z3k ,atunci
(u, v ,w) =
∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
∣∣∣∣∣∣ .(b) Semnul produsului mixt (u, v ,w) se schima daca se permuta
doi dintre factorii sai dar nu se schimba daca se permuta circular
toti cei trei factori.
(c) (u, v ,w) = 0 ⇔ u, v ,w sunt vectori coplanari.
(d) (Interpretarea geometrica) Daca u, v ,w sunt necoplanari,
atunci |(u, v ,w)| reprezinta volumul paralelipipedului construit pe
cei trei vectori.
![Page 6: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/6.jpg)
Interpretare geometrica
![Page 7: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/7.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Distanta de la un punct exterior unui plan la acel plan
Se stie ca daca π este un plan si A un punct exterior planului,
distanta de la A la π este minimul lungimilor segmentelor ce unesc
punctul A cu punctele planului. Mai exact, daca AA0 ⊥ π, A0 ∈ π,atunci d(A, π) = AA0.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 8: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/8.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Distanta de la un punct exterior unui plan la acel plan
Se stie ca daca π este un plan si A un punct exterior planului,
distanta de la A la π este minimul lungimilor segmentelor ce unesc
punctul A cu punctele planului. Mai exact, daca AA0 ⊥ π, A0 ∈ π,atunci d(A, π) = AA0.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 9: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/9.jpg)
Distanta d(A, π)Pentru a determina formula de calcul, se considera A(rA),B(rB) ∈ π si a, b doi vectori necoliniari din −→π .Se construieste paralelipipedul asociat vectorilor
−→BA, a, b. Se
foloseste interpretarea geometrica a produsului mixt si formula
volumului unui paralelipiped. Se obtine:
d(A, π) =|(rA − rB , a, b)|‖ a × b ‖
.
![Page 10: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/10.jpg)
Distanta d(A, π)Pentru a determina formula de calcul, se considera A(rA),B(rB) ∈ π si a, b doi vectori necoliniari din −→π .Se construieste paralelipipedul asociat vectorilor
−→BA, a, b. Se
foloseste interpretarea geometrica a produsului mixt si formula
volumului unui paralelipiped. Se obtine:
d(A, π) =|(rA − rB , a, b)|‖ a × b ‖
.
![Page 11: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Distanta dintre doua drepte necoplanare
Date doua drepte necoplanare d1 si d2 ce trec prin punctele A1(r1),respectiv A2(r2), de vectori directori a1, a2, distanta dintre cele
doua drepte reprezinta minimul lungimii segmentelor ce unesc un
punct de pe d1 cu un punct de pe d2. Si anume
d(d1, d2) =lungimea segmentului PQ, unde PQ este perpendiculara
comuna celor doua drepte, P ∈ d1, Q ∈ d2.Pentru a calcula d(d1, d2) se construieste paralelilipedul pe
vectorii−−−→A1A2, a1, a2. Se observa ca PQ este chiar inaltimea
paralelipipedului, deci
d(d1, d2) =|(r2 − r1, a1, a2)|‖ a1 × a2 ‖
.
![Page 12: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/12.jpg)
Distanta dintre doua drepte necoplanare
Date doua drepte necoplanare d1 si d2 ce trec prin punctele A1(r1),respectiv A2(r2), de vectori directori a1, a2, distanta dintre cele
doua drepte reprezinta minimul lungimii segmentelor ce unesc un
punct de pe d1 cu un punct de pe d2. Si anume
d(d1, d2) =lungimea segmentului PQ, unde PQ este perpendiculara
comuna celor doua drepte, P ∈ d1, Q ∈ d2.Pentru a calcula d(d1, d2) se construieste paralelilipedul pe
vectorii−−−→A1A2, a1, a2. Se observa ca PQ este chiar inaltimea
paralelipipedului, deci
d(d1, d2) =|(r2 − r1, a1, a2)|‖ a1 × a2 ‖
.
![Page 13: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Distanta dintre doua drepte necoplanare
![Page 14: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Baza reciproca a unei baze
De�nition
Fie B = {e1, e2, e3} o baza in V. Se numeste baza reciproca bazei
B o baza B∗ = {e∗1, e∗
2, e∗
3} cu proprietatile:
< e∗i , e j >= δij =
{1, i = j
0, i 6= j∀i , j ∈ 1, 3.
Theorem
Pentru orice baza B exista o unica baza reciproca B∗ la fel
orientata cu B.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 15: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/15.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Baza reciproca a unei baze
De�nition
Fie B = {e1, e2, e3} o baza in V. Se numeste baza reciproca bazei
B o baza B∗ = {e∗1, e∗
2, e∗
3} cu proprietatile:
< e∗i , e j >= δij =
{1, i = j
0, i 6= j∀i , j ∈ 1, 3.
Theorem
Pentru orice baza B exista o unica baza reciproca B∗ la fel
orientata cu B.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 16: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/16.jpg)
Baza reciproca a unei baze
e∗1 =e2 × e3
(e1, e2, e3), e∗2 =
e3 × e1(e1, e2, e3)
, e∗3 =e1 × e2
(e1, e2, e3).
![Page 17: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/17.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Aplicatie
Example
Rezolvati sistemul de ecuatii vectoriale:< a, x > = m
< b, x > = n
< c , x > = p
unde a, b, c sunt trei vectori necoplanari si m, n, p ∈ R.
Indicatii: Vectorii a, b, c �ind necoplanari formeaza o baza in V.Fie B∗ = {a∗, b∗, c∗} baza reciproca acesteia.
Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza:
x = αa∗ + βb∗+ γc∗.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 18: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/18.jpg)
Produsul mixt: de�nitie, proprietatiDistante
Baza reciproca a unei baze
Aplicatie
Example
Rezolvati sistemul de ecuatii vectoriale:< a, x > = m
< b, x > = n
< c , x > = p
unde a, b, c sunt trei vectori necoplanari si m, n, p ∈ R.
Indicatii: Vectorii a, b, c �ind necoplanari formeaza o baza in V.Fie B∗ = {a∗, b∗, c∗} baza reciproca acesteia.
Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza:
x = αa∗ + βb∗+ γc∗.
Oana Constantinescu Lectia V
![Page 19: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/19.jpg)
Aplicatie
Rezulta ca α =< x , a >= m, β =< x , b >= n, γ =< x , c >= p.Deci sistemul are solutia unica:
x =1
(a, b, c)(mb × c + nc × a + pa × b).
![Page 20: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/20.jpg)
Concluzii
In aceste prime cinci lectii am reusit sa studiem spatiul liniar
euclidian al vectorilor liberi, spatiu pe care l-am si orientat. Am
studiat temeinic proprietatile produsului scalar, vectorial si mixt.
Aceste produse au aplicatii in calculul lungimilor unor segmente, al
masurii unghiurilor, al ariei unui triunghi sau paralelogram, al
volumului unui paralelipiped, al distantelor de la un punct la o
dreapta, de la un punct la un plan ori dintre doua drepte
necoplanare.
Tot proprietatile produselor de vectori ne ajuta in rezolvarea
ecuatiilor sau sistemelor de ecuatii vectoriale.
Am vazut de asemenea ca, �xand o baza, �ecarui vector liber i e
asociaza coordonatele sale in acesta baza:
B = {i , j , k}.........u = xi + y j + zk .
Astfel se obtine un izomor�sm de spatii liniare
f : V → R3, f (u) = (x , y , z).
![Page 21: Lectia V Produsul mixt. Aplicatii la calculul distantelor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050915/588c81191a28ab8c218ba1ae/html5/thumbnails/21.jpg)
Concluzii
Dar si oricarui punct din spatiu ii putem asocia un triplet de numere
reale. Anume, se considera un reper cartezian de origine O si baza
B si punctului arbitrar P i se asociaza coordonatele vectorului sau
de pozitie in raport cu baza reperului.
P(x , y , z)⇔ rP =−→OP = xi + y j + zk .
Astfel, �xand un punct O ∈ S, se obtine o bijectie
S → R3, P → (x , y , z).Am stabilit de asemenea formula schimbarii de repere atat in cazul
general, cat si pentru reperele ortonormate, in plan si in spatiu.
Suntem pregatiti sa gasim o legatura subtila intre multimea
punctelor spatiului S si spatiul liniar V (ce este izomorf cu R3).
Astfel, in cursurile urmatoare vom studia spatiul a�n euclidian 3
dimensional E 3 cat si subspatiile sale a�ne: dreapta si planul.