LeccionesdeFsicaMatematicaAlonsoSep ulvedaS.InstitutodeFsicaUniversidaddeAntioquiaMedelln,Agostode2004Colecci on CienciayTecnologac _AlonsoSep ulvedac _EditorialUniversidad deAntioquiaISBN:xxxxxxxxxx(volumen)ISBN:xxxxxxxxxx(obra completa)Dise nodecubierta:xxxxxxxxxxDibujosinteriores:GiovannyAtehort uaDise nointernoydiagramaci on:xxxxxxxxxxImpresi on yterminaci on:xxxxxxxxxxImpresoyhechoenColombia/Printed andmadeinColombiaProhibidalareproducci on totaloparcial,porcualquiermediooconcualquierprop osito,sinautorizaci on escritadelaEditorialUniversidad deAntioquiaEditorialUniversidad deAntioquiaTelefono:(574) 2105010.Telefax:(574)2638282E-mail:mercadeo@editorialudea.comP agina web:www.editorialudea.comApartado1226,Medelln,ColombiaImprentaUniversidad deAntioquiaTelefono:(574) 2105330E-mail:imprenta@quimbaya.udea.edu.coA mis estudiantesPrefacioLasleyesb asicasdelafsicasoninvariantes,ensuformamatem atica,bajounconjuntobastantegeneraldetransformaciones,dependientesdelascaractersticasdel espacioyel tiempoenqueocurrenlos fen omenos fsicos. Enel marcodelafsicanewtonianaestasleyestienenlamismaformamatem aticaentodoslossis-temascoordenadosquedierenunorespectoal otroenlaPosici ondesuorigencoordenado. Estaexigenciaprovienedel postuladodehomogeneidaddel espacioeuclidianoy,conducealaconservaci ondel momentolineal. Laformamatem aticadelasleyessepreservatambienenlossistemascoordenadosques olodierenporsuOrientaci on,yestapropiedadindicalaisotropa,esdecirlaequivalenciadelasdiferentesdireccionesdel espacioeuclidiano, queimplicalaconservaci ondel mo-mento angular. Tambien las leyes fsicas son invariantes respecto a la escogencia delcerodelacoordenadatemporal,valedecir,sonlasmismasentodoslosinstantes,loquecorrespondealahomogeneidaddeltiempoenlafsicacl asica:todoslosin-stantes soncualitativamenteidenticos. Implicalaconservaci ondelaenerga. Escierto adem as que las leyes preservan su forma en los m ultiplessistemas dereferen-ciaenmovimientorelativouniforme, loqueequivalealaaceptaci ondel principiode inercia ya la imposibilidad de encontrar el reposo absoluto en el espacio; este esel principio de relatividad especial si adem as se exige la existencia de una velocidadinvariante,ladelaluz.Estasampliasinvarianzasdelasleyesfsicas(hayotras, comosimetrasdere-exi on, de inversi on, o a un m as abstractas como las de cambio de signo de las cargaselectricas) exigen una forma de escritura matem atica que exprese su invarianza anteestosconjuntosdetransformaciones.Elloselograenel ambitodelafsicanewto-nianamediantelaimplementaci ondelan alisisvectorial3-dimensional,elquehacemaniestosestosdiversosprincipiosderelatividadposicional, deorientaci onydemovimiento.Por ellocomenzaremos este cursoproponiendolas bases del an alisis vectori-al3-dimensional,independientementedelaescogenciaespeccadeunsistemadecoordenadas, loque garantizalaidenticaescriturade las leyes entodos ellos yiii PREFACIOpermiteexpresarmatem aticamentelasinvarianzasdelmundo.Consecuentemente,enlos desarrollos del captulo1propondremos las formas generales, encoorde-nadas curvilneasortogonales, delas operacionesdiferenciales b asicas: gradiente,divergencia, rotacional y laplaciano, junto con las nociones elementales sobre trans-formaciones continuas y discontinuas. Lo nalizamos con un estudio de las funcionesdeltadeDiracyconlaconstrucci on dealgunossistemascoordenados.Puesto que las leyes fsicas se expresan usualmente como ecuaciones diferenciales(ED), exploraremosenel captulo2lascondicionesinicialesy/odefronterabajolas cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP) gozan deuna soluci on unica. Estos teoremas de unicidad har an parte en el captulo siguientedeunaclasicaci on generaldelasecuacionesdiferenciales.En el captulo 3, despues de una breve revisi on de las tecnicas de soluci on de lasEDOhomogeneasm assimples,exploraremoslatecnicadeseparaci ondevariablesquepermiteenmuchoscasosdescomponerlasEDPenunconjuntodeEDO,cuyaestructura desarrollaremos en el captulo 6. De la ecuaci on de Laplace, en particulary en coordenadas cilndricas y esfericas, haremos la separaci on de variables que con-ducir aalasecuacionesdeBessel yLegendre. Terminaremosconunaclasicaci onbastantegeneral yentres familias, delasEDPlineales: elpticas, hiperb olicasyparab olicas, cuyascondicionesdeunicidadfueronexploradas enelcaptuloante-rior.Enel captulo4deducimos algunas de las ecuaciones de usocorrienteenlafsicamatem atica: laecuaci ondeondasparacuerdas, membranasysonido, ydevibraciones en s olidos, de conducci on del calor, Poisson, Schr odinger, y proponemoslas ecuaciones de Maxwell. Las primeras sonexponentes tpicas, de ecuacioneshiperb olica, parab olica yelptica.Estas ecuaciones ser an aqu expresadas enla for-mainvariantedesarrolladaenel primer captulo, loquelas haceaptas paraserescritasencualquiersistemadecoordenadascurvilneas ortogonales.Esciertoqueunamuyampliafamiliadeecuacionesdiferencialespresentasolu-ciones expresables comocombinaciones lineales defunciones. Estodalaideadeampliarlanoci ondeespaciosvectoriales(enlosqueunvectoresexpresableco-mounacombinaci onlineal devectores deunabase) extendiendolahacialoqueser anespaciosdefunciones, oespaciosdeHilbert, enloscualeslosvectoresuni-tariossonfuncioneslinealmenteindependientes.Enelcaptulo5exploraremoslosespaciosdeHilbertdiscretosycontinuos,detallandolaspropiedadesdeortogonal-idadycompletezdesusinnitos ejes. Veremosc omolaideadevectorordinarioenespacios3-dimensionalesseextiendeparapermitirlaexpansi ondefuncionesenespacios abstractos, cuyo ejemplo m as conocido es la serie de Fourier, a cuyo estudiodedicaremosla ultimapartedelcaptulo.Losdesarrollos delcaptulo 3,dondehemosmostrado laposibilidaddedescom-poner las EDP en un conjunto de EDO, alcanzan en el captulo 6 un clmax, en tantoque en el lograremos demostrar que todas las EDO lineales de segundo orden tieneniiiunaarquitecturacom unque est acompendiadaenlateorade Sturm-Liouville.Elestudioqueaquharemosenlazaideasexploradasencaptulosanteriores,puesmuestra que bajo una apropiada escogencia de condiciones de frontera y del dominiodelavariableindependiente, lasEDOexhibenunconjuntoinnitodesolucionesortogonales quecorresponden abasesdeunespaciodeHilbert,dean aloga maneraacomolosvectoresunitariosdelabasecartesianaexpandenunespaciovectori-al ordinario.Veremosaquc omolanoci ondeautovalores,tancaraalamec anicacu anticayalateorade matrices, est aasociadaalaexistenciade espacios deHilbert. Consideramos que este captulo es el centro de esta obra en tanto que cadaunadesus conclusiones ilumina, desdelateoradeespacios, el temageneral delassoluciones alas EDOyaclaralos temas relativosalas frecuencias naturalesdeoscilaci on desistemascl asicosocu anticos,comounespectrodeautovalores. LateoradeSturm-Liouvilledescribelasfrecuenciasespeccasdeoscilaci ondeunacuerda o las frecuencias de emisi on de los atomos. Despues de extender estas consid-eracionesalasEDPnalizamosel captuloconuntemasugestivo:elisomorsmoentreoperadoresdiferencialesymatrices, queest aenel centrodelaequivalenciamatem aticaentrelamec anicaondulatoriadeSchr odingerylamec anicamatricialdeHeisenberg.Ahorabien: puestoquemuchas delas EDqueutilizamos enfsicasoninho-mogeneasespertinenteintroducirmetodosdesoluci onquevayanm asall adelosutilizados paralas EDhomogeneas yde los conocidos metodos de variaci ondepar ametrosocoecientes indeterminados. Porelloenel captulo7introducimoslasfuncionesdeGreen, cuyoalcanceest alimitadoaloscasoslineales, perocuyaaplicaci onalosproblemasfsicosseextiendedesdelafsicacl asicaalacu antica,independientementedeladimensi ondelespacio.Lateorade Sturm-Liouvillees, ciertamente, lagranarquitecturadelas EDlineales, peroellamismanoes fuente de metodos desoluci on. Enel captulo8implementaremosunatecnicabastantegeneral basadaenexpansionesenseriesyconocidacomometododeFrobenius, quepermiteresolverunavastacantidaddeEDlinealesyhomogeneas.HaremosenfasisenlasecuacionesdeBessel,Legendre,Hermite y Laguerre, y esbozaremos lo fundamental de las ecuaciones de Chevishev,hipergeometricaehipergeometricaconuente. Dispersaenel captulonavegar alaidea defamiliasdeEDO:las ecuaciones deBessel, Bessel esferica yAiry,por ejem-plo,pertenecenalamismafamilia.Estosugierequeapartirdelasoluci onaunaEDespeccapuedeproponerselacorrespondienteparaunaampliafamiliadeEDconectadaconellaporalg untipodetransformaci on.Encontraremoslaaplicaci onde esta idea en la descripci on mec anico cu antica del oscilador arm onico y del atomodehidr ogeno.Yaquterminalaobra.Cierto es que eltema que aqu hemos explorado es peque no, en tanto queno in-cluimos la sosticaci on que podra introducir la teora de grupos, el c alculo tensorialiv PREFACIOoel estudiodelavariablecompleja. Bastar aconqueel lectoratentocomprendaquelasecuacionesfsicasysussolucionespuedensermiradasdesdelaperspectivaunicadora de la teora de Sturm-Liouville, que proyecta su potente luz sobre teorascl asicas ycu anticas: elsonido delvioln y laluzdel atomo se describen desde ecua-ciones desimilar estructura matem atica.En talteora reside elsecreto matem aticodelacuantizaci on.Estetextoes unacercamientomodestoauntemaextenso, intensoydifcil.Es testimonio de una pasi on. Todaomisi onenel, ycada falta de profundidaddeber aimputarse, noalabrevedaddeloaqu escrito, sinoalaspocas luces dequienquisonavegar enestasaguas.MisagradecimientosaDiegoRestrepo,ELCOSTENODETRIESTEyJohanMazo,quienesendiversas epocastrabajaronenlatranscripci onaLATEX,yaGio-vannyAtehort uaporsusdibujos.AlonsoSep ulvedaS.Medelln,Agostode2004IndicegeneralPrefacio I1. Coordenadascurvilneasortogonales 11.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Nocionesb asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Teora detransformaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Jacobianos ytransformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Rotaci on decoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. VectoresAxialesyPolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Diferencialesdelnea,supercieyvolumen . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5. Dosidentidadesimportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6. IdentidadesVectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7. Unaaplicaci on delteoremadeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8. Tresteoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.1. TeoremadeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.2. PrimerTeoremadeHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8.3. SegundoteoremadeHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9. Dadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.10. DeltadeDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11.Angulos olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.12. Construcci on desistemascoordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.12.1.Coordenadas parab olicas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . 621.12.2.Coordenadas cilndricaselpticas . . . . . . . . . . . . . . . . 641.12.3.Coordenadas esferoidalesoblatas(, , ) . . . . . . . . . . . 651.12.4.Coordenadas esferoidalesprolatas(, , ) . . . . . . . . . . . 66vviINDICEGENERAL1.12.5.Coordenadas bipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.12.6.Coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692. Unicidad 732.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2. Ecuacionesdiferencialesordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3. Ecuacionesdiferencialesparciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.1. Ecuaci on dePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.2. Ecuaci on dedifusi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.3. Ecuaci on deondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.4. Ecuaci on deSchr odinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4. Ecuacionesvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.1. Ecuaci on dePoisson vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.2. Ondasvectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853. EcuacionesDiferenciales 873.1. Ecuacionesdiferencialesordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.1. Ecuacionesdeprimerorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.2. Ecuacionesdeordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.1.3. Solucioneshomogenea einhomogenea . . . . . . . . . . . . . 963.1.4. Segundasoluci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.1.5. Unatransformaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2. Ecuacionesdiferencialesparciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2.1. Clasicaci on delasEDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.2.2. Ecuacioneshomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2.3. Separaci on devariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.3. Separaci on delaecuaci ondeLaplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.1. Coordenadas cartesianasen2D. . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.2. Coordenadas cartesianasen3-D . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.3.3. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.4. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4. Laecuaci ondeondaunidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.5. ANEXO3.1: Clasicaci ondelasecuacionesdiferencialesen3D. . 1353.6. ANEXO3.2: Soluci onaecuacionesc ubicas . . . . . . . . . . . . . 1384. EcuacionesdelaFsicaMatematica 1394.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2. Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.2.1. Ondasencuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.2.2. Ondasenmembranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2.3. Ondaslongitudinalesens olidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.2.4. Ondasel asticasens olidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148INDICEGENERAL vii4.2.5. Ondassonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3. Flujodeuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4. Ecuaci on dedifusi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.4.1. LeydeFourierdedifusi ondelcalor . . . . . . . . . . . . . . . 1534.4.2. Difusi ondeneutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.5. EcuacionesdePoisson yLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.6. EcuacionesdeMaxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.7. Ecuaci on deSchr odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.8. Ecuaci on deKlein-Gordon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.9. Ecuaci on deDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.10. Lasecuacionesbi-arm onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645. BasesOrtogonales 1655.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.2. Basesdiscretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.2.1. EspacioEuclidianon-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 1665.2.2. Espacios deFunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3. Basescontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4. Basesortogonales endosvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.5. SeriesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5.1. Labasetrigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5.2. Labaseexponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.5.3. Labasebidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.6. IntegralesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6.1. Transformada deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6.2. Dualidadonda-partcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.6.3. Transformadas senoycoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.6.4. TeoremadeParseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.7. BasesdeFourieryecuacionesdiferenciales. . . . . . . . . . . . . . . 1945.8. ANEXO5.1: Ortogonalizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996. TeoradeSturm-Liouville 2066.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2. Operadores desegundoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2.1. Eloperadoradjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2.2. 3ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2.3. Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2.4. Hermiticidadyfronteras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.3. Autofuncionesyautovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3.1. Ecuaci on deSturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3.2. Elproblemadeautovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.4. Funcionesespeciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217viiiINDICEGENERAL6.5. Notasobreautovalores yautofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.6. Elproblemaperi odico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.7. Operadores en3DySturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.7.1. Eloperadoradjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.7.2. Autofuncionesyautovalores en3D. . . . . . . . . . . . . . . 2276.7.3. Soluci ondelaecuaci on deondashomogenea . . . . . . . . . 2296.7.4. Soluci ondelaecuaci on homogenea deFourier. . . . . . . . . 2316.8. Operadores diferencialesymatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.9. ANEXO6.1: Operadoresdiferencialesdeordenp. . . . . . . . . . 2386.10. ANEXO6.2: LosBrayKetsdeDirac . . . . . . . . . . . . . . . . 2427. FuncionesdeGreen 2497.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.2. Ecuacionesdiferencialesordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3. Osciladorarm onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.4. Ecuacionesdiferencialesparciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4.1. Laecuaci on dePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4.2. Laecuaci on deondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.5. Expansi on enautofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668. FuncionesEspeciales 2688.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.2. MetododeFrobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.3. FuncionesdeBessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.3.1. Propiedades delasfuncionesdeBessel . . . . . . . . . . . . . 2768.3.2. Ortogonalidad yNormalizaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.3.3. Soluci onalaecuaci ondeLaplace. . . . . . . . . . . . . . . . 2918.3.4. Lafamiliadelaecuaci ondeBessel . . . . . . . . . . . . . . . 2988.3.5. EcuacionesdeBesselinhomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 3028.3.6. FuncionesdeBesselesfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028.3.7. Ecuaci on deBesselmodicada . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.4. FuncionesdeLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.4.1. Ortogonalidad ynormalizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . 3168.4.2. Soluci onalaecuaci ondeLaplaceconm = 0 . . . . . . . . . 3198.4.3. Lafamiliadelaecuaci ondeLegendre . . . . . . . . . . . . . 3218.4.4. Polinomios asociadosdeLegendre . . . . . . . . . . . . . . . 3228.4.5. Arm onicosesfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3248.4.6. Arm onicosesfericos yoperadores escalera . . . . . . . . . . . 3268.4.7. Arm onicosesfericos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.4.8. Soluci ongeneralalaecuaci ondeLaplace . . . . . . . . . . . 3328.5. PolinomiosdeHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.5.1. Lafamiliadelaecuaci ondeHermite. . . . . . . . . . . . . . 341INDICEGENERAL ix8.5.2. Elosciladorarm onicocu antico . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.6. PolinomiosdeLaguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468.6.1. Ecuaci on asociadadeLaguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3508.6.2. Lafamiliadelaecuaci ondeLaguerre . . . . . . . . . . . . . 3518.6.3. El atomodehidr ogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.7. Ecuaci on deGegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3558.8. PolinomiosdeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3598.9. Ecuaci on hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3608.10. ANEXO8.1: Lafunci onGamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Apendice 3661Coordenadascurvilneasortogonales1.1. Introducci onEnel espacioeuclidianotridimensional lascoordenadascartesianassedenenenterminosdetresfamiliasdeplanosperpendicularesx=x0, y=y0, z=z0. Laintersecci ondelosplanosx=x0yy=y0generaunalnearectaparalelaalejezyquepasaporel punto(x0, y0, 0). Laintersecci ondelostresplanosx=x0, y=y0, z= z0generaunpuntodecoordenadas(x0, y0, z0).Las coordenadas esfericas se denenen terminos de tres supercies: esferasconcentricas,conosconel mismoverticeyplanosmeridianos. Unpuntotieneco-ordenadas (r, , ) ylas tres supercies sonperpendiculares encadapunto. Laintersecci on del cono y la esfera genera una circunferencia a lo largo de la cual varas ololacoordenada. Laintersecci ondelaesferayel planomeridianogeneraunarcodemeridianoalolargodel cual s olovara, ylaintersecci ondel conoyelplanogeneraunarectaradialalolargodelacual s olorvara.Laconexi onentrecoordenadas cartesianas yesfericas tienelaforma:x = r sen cos , y = r sen sen , z= r cos Consideraciones an alogas pueden realizarse para las coordenadas cilndricas, queseconstruyencontres supercies perpendiculares: cilindros concentricos, planosmeridianosyplanoshorizontales, acadaunadelascualesseasocian, respectiva-mente, lascoordenadas(, , z). Las reglasdetransformaci onentrecoordenadascartesianas ycilndricastienenlaforma:12 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESxzyz = cte = cteP=cte er e ezFigura1.1:coordenadascilndricas yesfericasx = cos , y= sen , z= z.Unageneralizaci ondirectapermite pensar entres familias de supercies, engeneral curvas,queencadapuntodelespacio seintersectan en angulo recto.Estassuperciespuedendescribirsemediantelasecuaciones:u1= f1(x, y, z), u2= f2(x, y, z), u3= f3(x, y, z)Equivalentemente:x = x(ui), y= y(ui), z= z(ui)Estasecuaciones sonalavezlas reglasdetransformaci onentrecoordenadascartesianas ycoordenadascurvilneasortogonales.Lassuperciesu1= cteyu2=cteseintersectanenunacurvaalolargodelacuals olou3vara, estacurvadenelacoordenada u3;an alogamente lassuperciesu1=cteyu3=ctegeneranlacurvau2; yu2=cteyu3=ctegeneranlacurvau1. Laintersecci ondelastressuperciesgeneraunpuntocuyascoordenadasson(u1, u2, u3).Dadounpunto(x, y, z)esposibleasignarle unvocamente unconjunto(u1, u2, u3)decoordenadas curvilneas.Elsistemadecoordenadascurvilneasconstruidoconestassuperciestienelassiguientescaractersticas:a)Losejescoordenadossonengeneralcurvasqueseintersectanen angulorec-to, demodoquelosvectoresunitarios ei, tangentesalascurvas, generanuna1.1. INTRODUCCION 3zyxe2e1e3Figura1.2:Coordenadas curvilneasortogonalesbase ortonormal tridimensional. No nos interesaremos por sistemas coordenados noortogonales.b) La orientaci on de la base ei puede cambiar de punto a punto, preserv andosesuortonormalidad.c) El signicadofsicodelos diferenciales delas coordenadasnoes necesari-amentelongitud. Encoordenadasesfericas, porejemplo, hayunalongitudydos angulos.Uncampoescalarsedenedandounvalor numerico encadapuntodelespacio.Elvalordeunacantidadescalarenunpuntodenidodelespacioesindependientedel sistemadecoordenadasqueseutilice. Valedecir, si (x, y, z), (, , z), (r, , )denotanel mismopuntodel espaciofsico, el valor queenese puntotome, porejemplo,lapresion atmosferica eselmismo.Loscamposvectorialessedenendandoencadapuntodel espacioel valordetrescantidades, conocidascomolascomponentesvectoriales.Aunquelosvectoresunitariosylosvaloresdecadacomponenteseandiferentesencadasistemadeco-ordenadas,essinembargociertoqueelvectorAnocambiacuandocambiamosdesistemacoordenado, valedecirquesi ei, e

i, Ai, A

isonlosvectoresunitariosylas4 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALEScomponentesendossistemascoordenadosSyS

,entonces:A =3

i=1Ai ei=3

i=1A

i e

iLo anterior signica que un vector es invariante bajo transformaciones coordenadas.Yestoesciertoyaseaquelastransformacionesvayandeunsistemacartesianoaotrocartesianorotadorespecto al primero, o de uno cartesianoauno esferico.Decimos igualmente que los campos escalares son invariantes bajo transformacionescoordenadas. Lateoradetransformaci onseocupadeestostemas.De esta forma es posible escribir ecuaciones cuya forma matem atica es la mismaentodoslossistemasdecoordenadasenel espacio3-dimensional euclidiano. Pordarunejemplo,laecuaci ondeondasescritaenlaforma:2 1v22t2= 0esv alidaentodoslossistemascoordenados, esdecir, esinvariantebajotransfor-macionescoordenadas.Lasleyesfsicashandeserescritasenformainvarianteconel ndedarleslalibertaddeserescritasencualquiersistemacoordenado.Todoslossistemascoor-denadossonbuenos,ningunodeellosgozadealg unprivilegiofsicoespecial.1.2. Nocionesbasicas1.2.1. Teoradetransformaci onEnel espacioeuclidianoes siempre posible construir unsistemacoordenadocartesiano que se extienda indenidamente; a partir de el podemos generar m ultiplessistemascoordenados,mediantelaintroducci ondelassuperciesui= f(x, y, z).Puesto que, recprocamente, x, y, z son funciones de ui, esto es: x=x(ui), y=y(ui), z=z(ui),podemosescribir:dx =xu1du1 +xu2du2 +xu3du3dy=yu1du1 +yu2du2 +yu3du3dz=zu1du1 +zu2du2 +zu3du3,1.2. NOCIONESBASICAS 5Estastresecuacionessonlascomponentesdelaecuaci onvectorial:dr =ru1du1 +ru2du2 +ru3du3=3

i=1ruidui(1.1)Engeneral,el factorr/uiqueapareceen(1.1)esunvectornounitarioquetomaen cuentalavariaci on der s oloendirecci on deuiyes,portanto,tangentealacurvacoordenadaui.Conelndeintroducirunabasenormalizada ei,esdecir,unconjuntodevectoresunitarios ei,escribimosrui= hi ei(1.2)donde [ ei[=1yhisonfuncionesdeui, queser anllamadasfactoresdeescala. Sesiguequedr =3

i=1hi eiduiPuestoqueestaremospensandotodoeltiempoenbasesortonormales(perpen-dicularesyunitarias)podemosescribir: ei ej= ij(1.3)Esdecir: e1 e2= e2 e3= e3 e1= 0y e1 e1= [ e1[2= [ e2[2= [ e3[2= 1ij, conocidocomodeltadeKronecker, sedeneas:ij=0si i ,=j yij=1sii = j.Dichodeotromodo,losijsonloselementosdelamatrizidentidad.De(1.2):rui = hi(1.4)expresi on que es util en el c alculo de los factores de escala; en consecuencia, de (1.2),losvectores unitariosencoordenadas curvilneasseescriben: ei=1hirui(1.5)Ejercicio:Decartesianasaesfericas6 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESUnpuntoPpuedelocalizarsemediantelascoordenadascartesianas(x, y, z), ytambien mediantelascoordenadas esfericas (r, , ),donde: x , y , z , yr 0, 0 , 0 2r = [r[ es lacoordenadaradial, es lacoordenadapolar yes lacoordenadaazimutal.F acilmente se deduce de la gr aca que la conexi on entre coordenadas cartesianasyesfericas escomosigue:x = r sen cos , r =_x2+y2+z2y= r sen sen , = cos1_z/_x2+y2+z2_z= r cos , = tan1(y/x)Aspues:r =i x +j y + kz=i r sen cos +j r sen sen + kr cos (1.6)Entonces:r/r =i sen cos +j sen sen + kcos [rr[ =_sen2 cos2 +sen2 sen2 + cos2= 1Talqueseg un(1.4):h1= hr= 1r/ =ir cos cos +jr cos sen kr sen[r[ =_r2(cos2 cos2 + cos2 sen2 +sen2) = rdedonde:h2= h= rr/ = ir sen sen +jr sen cos [r[ =_r2( sen2 sen2 +sen2 cos2) = r sen porlocual:h3= h= r sen 1.2. NOCIONESBASICAS 7Ensntesis:hr= 1, h= r, h= r sen (1.7)Adem as, reemplazando en(1.5), los vectores unitarios encoordenadas esfericaspuedenexpresarseenterminosdecoordenadascartesianas, como: er=i sen cos +j sen sen + kcos (1.8) e=i cos cos +j cos sen ksen e= i sen +j cos Donde ( e1, e2, e3) = ( er, e, e) Estas ecuaciones pueden invertirse algebraicamenteparaexpresar i,j,kenterminosde er, e, e;seobtiene:i = er sen cos + e cos cos e sen j = er sen sen + e cos sen + e cos k = er cos e sen Enformamatricial: e =A, = A e,con: e =__ e1 e2 e3__ =__ er e e__, =__123__ =__ijk__A =__sen cos sen sen cos cos cos cos sen sensen cos 0__EsciertoqueAA =I,demodoquelamatrizAesortogonal,yesf acilvericarque [A[ = 1.Nota:De las ecuaciones (1.6) y(1.9) se sigue que: r =r er. Estomuestra que laexpresi on:r = e1u1 + e2u2 + e3u3(1.9)noes v alidaencoordenadasesfericas, pues daralugaralaexpresi onincorrecta(inclusodimensionalmente!):r = r er + e + e.8 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESLaecuaci on(1.9)esv alidas oloencoordenadascartesianas,dondeui=xi. Noob-stante,esciertoquecualquiervectorA,diferenteder,encoordenadascurvilneasortogonales, seescribe:A =

i eiAi= e1A1 + e2A2 + e3A3Problemas: Demuestrequeencoordenadascilndricas:r = e +z ezEscribaencoordenadasesfericaselvectorA = xyi xj + 3xk;yexpreseAr,AyAenterminosder, , .Considere la transformaci on de coordenadas: x = 2uv, y= u2+v2,z =w. Demuestre que el nuevo sistemade coordenadas noesortogonal.Considerelatransformaci ondecoordenadas: x=2uv, y=u2v2, z =w. Demuestre queel nuevosistemade coordenadas esortogonal.El sistemadecoordenadas cilndricaselpticas (, , z)sedenemediantelasrelaciones: x=2Acosh cos , y=2Asenh sen ,z= z.Demuestrequeestesistemadecoordenadasesortogonalyqueh2= h2= 4A2(sinh2 +sen2),hz= 1.DerivadasparcialesdelosvectoresunitariosEn aplicaciones del an alisis vectorial es a menudo necesario utilizar las derivadas ei/uj.Partiendodedr =

ihi eidui,ode(1.2),podemosescribirruj= hj ejyrui= hi eidedondesesiguenlasdosecuaciones2ruiuj=ui(hj ej) ,2rujui=uj(hi ei)Restandoestas ecuaciones yteniendoencuentaque ei/ujes paraleloa ejy ej/uiloesa eiobtenemos: eiuj= ejhihjuiv alidaparai ,= j.1.2. NOCIONESBASICAS 9Adem as, como ei=12

jk ijk ej ekse sigue, por derivaci on, utilizandolaecuaci on delcuadroydespuesdealgunospasos,que eiui=

jkl

ijk

ilj elhkhiuk;utilizando(1.24)esposibleconcluirque eiui=

k=i ekhkhiukProblema: Demuestre que encoordenadas cilndricas las unicas derivadasparcialesnonulasson e= e, e= eyqueencoordenadasesfericass ololassiguientessonnonulas: er= e, e= er, er= e sen , e= e cos , e= er sen e cos 1.2.2. JacobianosytransformacionesEncomponentes,laecuaci on(1.1)puedeescribirse:dxi=

jxiujduj=

jJijduj(1.10)con:Jij= xi/uj(1.11)Enformamatriciallaecuaci on(1.10)seescribe: dx=Jdudondedxydusonlosvectores columna:dx =__dx1dx2dx3__du =__du1du2du3__Jeslamatrizdetransformaci ondelosdiferencialesdecoordenadas,cuyosel-ementossonJij=xi/uj.Eldeterminante [J[seconocecomoelJacobiano, quehadeserdiferentedeceroparagarantizar quelatransformaci on seainvertible.Tambien,conr =ix +jy + kz,(1.5)tomalaforma:10 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALES ei=1hi_i xui+j yui+ kzui_(1.12)que es la regla de transformaci on entre vectores unitarios. Introduciendo la notaci on(1, 2, 3) = (i,j,k),escribimosr =

j jxj,talque(1.5)tambienseescribe: ei=

jjhixjui=

jajij(1.13)dondehemosdenido:aji=1hixjui(1.14)Introduciendolosvectorescolumna: e =__ e1 e2 e3__ =__123__y considerando aijcomo elementos de la matriz A (aji son elementos de su transpues-ta),podemosescribir(1.13)como: e = A (1.15)A es la transpuesta deA. Es cierto, de acuerdo a las ecuaciones (1.11) y (1.14), queJji= ajihi, omatricialmente:J =AH (1.16)conH =__h10 00 h200 0 h3__(1.17)Ahorabien, unpostuladob asicodelateoradetransformaci onaseguralain-varianzadel elementodelneadr, yengeneraldecualquiervector,bajotransfor-maci ondecoordenadas.Enconsecuencialosm odulosdelosvectoressontambieninvariantes. Esciertoqueencoordenadascartesianasdl2=

idxidxi, yqueencoordenadas curvilneas:dl2= drdr =

jkhjhk ej ekdujduk=

jkhjhkdujdukjk.Lainvarianzadedl2asegura quesuvaloreselmismoenelsistemacoordenadooriginalyenelnuevo,estoes:1.2. NOCIONESBASICAS 11

idxidxi=

jkhjhkdujdukjk,ypuestoque,seg un(1.11),dxi=

j Jijdujsesigue,delrengl onanterior:

ijkJijJikdujduk=

jkhjhkdujdukjk,dedonde

iJijJik= h2jjk,que en forma matricial se escribe:JJ =H2, siendoJ la transpuesta de J. DeJJ =H2yJ =AHsesiguequeAA =I (1.18)demodoquelamatrizAesortogonal: A =A1.De AA=Isesigue [A[= 1.Ahorabien,lostiposposiblesdetransformaci onson: a)DeunScartesianoaotroS rotado, oreejado, oinvertido. b)DeunScartesiano aunocurvilneo.Enel casoderotaci on, odel pasodecartesianasacurvilneas, puestoquelamatrizdetransformaci onhadecontener laidentidad, entonces [A[ =+1. Parareexi on einversi on: [A[ = 1.Observese que[J[ =ru1

ru2

ru3= h1h2h3 e1 e2 e3es diferente de cero pues e1, e2, e3no son coplanares. De hecho, puesto que e1 e2

e3= 1sesigue [J[ = h1h2h3.1.2.3. Rotaci ondecoordenadasComounaaplicaci onsimplede las ecuaciones (1.5) o(1.12) consideremos latransformaci ondeunsistemacartesiano(x, y, z)convectoresunitarios(i,j,k) aotro sistema cartesiano (x

, y

, z

) rotado un angulo respecto al eje z y con vectoresunitarios(i

,j

,k

).Laregladetransformaci on es:x = x

cos y

sen, y= x

sen + y

cos , z= z

Por aplicaci onde(1.12) yteniendoencuentaquehi= 1sesigue:i

=i cos +j sen,j

= i sen +j cos ,k

=k12 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESEstasexpresionespuedenescribirseenlaformamatricial:______i

j

k

______=A______ijk______, con A =__cos sen 0sen cos 00 0 1__Observemosque [A[ =1, caractersticodetransformacionesquepuedenserreal-izadaspartiendodelaidentidad.Enefecto:si 0,entonces [A[ I.1.2.4. VectoresAxialesyPolaresLadenici ondevector quehemosadoptadoenestecaptuloeslasiguiente:Unvectoresunaformalineal invariantebajotransformaci ondecoordenadas.Estoes,siByB

sonvectoresenSyS

,entonces:B = B

,conB =

iBieiyB

=

j B

je

jCuandoserealizaunatransformaci ondeunsistemacartesianoSaotrocarte-siano S

(transformaci on que puede consistir en una rotaci on, inversi on o reexi on),losvectores unitariossetransforman deacuerdoa(1.13).Puesto que,por denici on,elvector B esunaforma invariante bajo la transfor-maci on esciertoqueB

=

iB

i e

i= B =

iBi ei. (1.19)Reemplazando(1.13)yteniendoencuentalaindependencialinealdelosvectoresdelabasesesiguequeB

i=3

j=1aijBj, (1.20)Deacuerdoa(1.18): AA =I;sesigue,tomandoeldeterminante: [A[ = 1.La rotaci on de coordenadas tiene [A[ = 1 (lo que proviene de que la rotaci on debecontenercomocasolmitelatransformaci ondeidentidad, paralacual [A[ =1),mientras la inversi on y la reexi on de coordenadas tienen, como veremos, [A[ = 1.Problema: Denimoslasiguentesmatrices:e e = ( e1, e2, e3),eB= (B1, B2, B3) e =0@ e1 e2 e31A, B=0@B1B2B31A, A =0@a11a12a13a21a22a23a31a32a331ADemuestreque: B= eB e= e eB, B

=AB, B= eAB

, e= eA e

, e

=A e,B B = B

B

1.2. NOCIONESBASICAS 13yxBx

y

Bz z

Figura1.3:Reexi ondecoordenadasConsideremosReexi ondecoordenadas:S ololacomponentexcambiadesignobajoreexi on:B1= B1,B2= B2,B3= B3VeamosahoracomotransformaBC:B

C

= (B

2C

3B

3C

2,B

3C

1B

1C

3,B

1C

2B

2C

1)= (B2C3B3C2, (B3C1B1C3), (B1C2B2C1))Lasegundayterceracomponentescambiandesigno, luegoel productovectorialsigueunaleydetransformaci on diferente.Encuantoasusreglasdetransformaci onhayentoncesdostiposdevectores:polaresyaxiales.Un vector polarB se transforma como: B

i=

j aijBj, mientras un vector axialVsetransformacomo:V

i= [A[

j aijVj.Esciertoentoncesquebajorotaci on([A[=1)nohaydistinci onentrevectoresaxiales y polares. Pero s la hay bajo inversi on o reexi on de coordenadas, descritasrespectivamenteporlasmatrices:__1 0 00 1 00 0 1__,__1 0 00 1 00 0 1__yparalas cuales [A[ = 1. Estas ultimas sellamantransformacionesimpropiasynopuedenobtenersedelaidentidad, ni sereducenaellaenalg unlmite. Estocontrastaconlastransformacionespropias, queest anconectadasconlaidentidad14 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESy quese reducen a ella en ellmite derotaci on cero, ypara las cuales [A[ = 1.Bajoinversi oncambiandesignolas trescomponentes deunvector, mientraslas trescomponentesdelproductovectorialpermaneceninalteradas.En sntesis, bajo transformaciones m as generales que rotaci on distinguiremos dostiposdevectores:A) Polares, cuyas tres componentes cambianbajoinversi on; bajoreexi oncambias ololacomponentenormalalplanodereexi on.B)Axiales, opseudovectores,cuyascomponentesnocambiandesignobajoinversi on. Bajoreexi oncambiael signodelascomponentessituadasenel planodereexi on.Sonvectorespolares:posici on,velocidad,aceleraci on,fuerza,momentoli neal,campoelectrico, desplazamientoelectrico, polarizaci on, aceleraci onde gra vedad,momentodedipoloelectrico,densidadvolumetricademomentoangular,potencialvectorial magnetico.Sonvectoresaxiales: angulo,velocidadangular,aceleraci onangular,momentoangular, torque, supercie, inducci onmagnetica, intensidaddecampomagnetico,magnetizaci on, momentode dipolomagnetico, densidadde corrientede cargaomasa,vectordePoynting,densidadvolumetricademomentolineal.Enadici ondenimosescalaresypseudoescalarescomocantidadesquesetrans-forman respectivamenteseg unlasreglas:

= ,

= [A[Son escalares: masa, carga electrica, potencial electrico, potencial gravitacional,temperatura, energa, trabajo, entropa, tiempo, corrienteelectrica, permitividad,permeabilidadmagnetica, ujodelcampomagnetico.Son pseudoescalares: densidad volumetrica de masa y de carga, volumen, angu-los olido, densidadvolumetricadeenerga, potencial escalarmagnetico, ujodelcampoelectrico.ConviniendoenqueA, B, C...sonvectoresaxialesyP, Q, R...sonvectorespo-lares,esf acildemostrarque:AB = VectoraxialAP = VectorpolarPQ = VectoraxialA(BC) = VectoraxialP(QR) = VectorpolarA B = escalarP Q = escalarA P = pseudoescalarA (BC) = pseudoescalarP (AB) = pseudoescalar1.2. NOCIONESBASICAS 15A (PQ) = escalarEjemplosfsicosdeestasrelacionessonlossiguientes: p=mv, F=ma, L=r p, = r F, v = r, E = , F = qE, F = qv B, F = mg.ParidadeinvarianzaTeorema:Lasecuacionesvectorialessoninvariantesbajotransformacionescoordenadass olosicontienensumas(orestas)devectoresdel mismotipo.Porejemplo,siA, B, Csonaxiales,A

+B

= C

A

i +B

i= C

i [A[

jaij(Aj+Bj) = [A[3

i=1aijCjAj +Bj= Cj o: A+B = Cluegolaformadelaecuaci onesinvariante.Tambien,siP, Q, Rsonvectorespolares:De P

+Q

= R

sesigue: P+Q = R,ecuaci on queestambieninvariante.Sinembargo,sisesumanvectoresaxialesypolaresenlamismaecuaci on,ten-dremos:A

+P

= Q

o A

i +P

i=Q

i,dedonde

jaij([A[Aj+Pj) =

jaijQjyportanto [A[Aj+Bj= Qj o [A[A+ P = Q ,ecuaci on quenoesdelaformaA+P = Q.Enconsecuencialamezcladevectoresaxialesypolaresgeneraecuacionesquenosoninvariantes bajoreexi one inversi on. Se dice entonces que este tipodeecuacionesviolalaparidad.An alogamente, ecuacionesquemezclanescalaresypseudoescalaresnosonin-variantesbajoinversi on yreexi on:Si e, f, g son escalares y p, q, r son pseudoescalares, entonces e+f= g y p+q = rconservan laparidad,peroe +p = fnolaconserva.Esposiblecombinarescalares,pseudoescalares,vectoresypseudovectoresparaformar ecuaciones invariantes (ono invariantes) bajo reexi on e inversi on, como enlossiguientesproblemas.16 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESProblemas: a) Demostrar quelas siguientesecuacionesconservanla pari-dad:P+q A = Q, A+ e C = B, P+e R = Q, A+q P = Bb) Demostrar quelas siguientes ecuaciones violanlaparidad: P+e A = Q, A+ e P = B, P+q R = Q, A+p C = BS ololasinteraccionesdebilesviolanlaparidad. Lasinteraccionesfuertes, elec-tromagneticasygravitacionalessoninvariantesbajoreexi oneinversi ondecoor-denadas. Ytodas las leyes fsicas soninvariantes bajorotaci on(ytraslaci on) decoordenadas.1.3. Diferencialesdelnea, supercieyvolumenUtilizando(1.5)en(1.1)podemosescribir:dr =3

i=1hi eidui=3

i=1dli, (1.21)dondedli= hi eidui(1.22)representa elelementodiferencial delneaalolargodelejeui.Laexpresi on (1.21)aseguraquecualquierelementodelneaconorientaci onarbitrariapuededescom-ponerseenunasumavectorial.Encoordenadas esfericas:dlr= erdr dlr= drdl= er d dl= rddl= er sen ddl= r sen dLassuperciesdiferencialessedescribencomovectoresperpendicularesal areadiferencialyorientadasseg unlaregladelamanoderecha:dS1= dl2dl3dS2= dl3dl1dS3= dl1dl2As:dS1= h2h3 e2 e3du2du3= h2h3 e1du2du3= e1dS1dS2= h3h1 e3 e1du3du1= h3h1 e2du3du1= e2dS2dS3= h1h2 e1 e2du1du2= h1h2 e3du1du2= e3dS3,1.3. DIFERENCIALESDELINEA,SUPERFICIEYVOLUMEN 17u2u1u3dS1dS2dS3Figura1.4:Elementosdiferencialesde areaencoordenadascurvilneasdondehemosintroducidolasrelaciones e1 e2= e3, e2 e3= e1, e3 e1= e2,v alidasensistemascoordenadoscurvilneosortonormalesenespacios3Deuclidia-nos.Enformasintetica: ei ej=3

k=1

ijk ek(1.23)

ijkesel llamadosmbolodeLevi-Civita, denidocomo: 123=1yantisimetricoparacadaparejade ndicescontiguos.Esdecir:

ijk= ikj= jki= jik= kij= kjidemodoque:

123= 132= . . . etc = 1, 111= 112= . . . etc = 0Unaformaalgebraica bastantesimplequecontienetodassuspropiedadeses:

ijk=12(i j)(j k)(k i)18 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESElelementodevolumendiferencialsedenecomo:dV = dl1 dl2dl3= h1h2h3 e1 e2 e3du1du2du3= h1h2h3du1du2du3Encoordenadas esfericas:dS1= dSr= hhd d = r2sen d ddS2= dS= hhr ddr= r sen dr ddS3= dS= hrh dr d = r dr d , ydV = hrhhdr d d = r2sen dr d dProblema: Lavelocidadylaaceleraci onsedenenenlaformavectorial si-guiente:v=drdt= r, y a = v = r.Encoordenadascilndricasdemuestreque1. e= e , e= e , ez= 02. v= e + e + ez z3. a = e( 2) + e( + 2 ) + ez z.Demuestrequeencoordenadasesfericas:1. er= e + e sen , e= er + e cos , e= e cos er sen 2. v= er r + er + er sen 3. a = er( r r2r 2sen2) + e(2 r +r r 2sen cos ) + e(2 r sen + r sen + 2r cos ).Problemas: Calcular los factores de escalaylos elementos de lnea,supercieyvolumenencoordenadascilndricas.Demostrarque:1. AB =Pijk ei

ijkAjBk2. A BC =Pijk ijkAiBjCk3. A BC = B CA = C AB4. A BA = 0NotasobreLevi-Civita: DelaidentidadA (B C)=(A C)B (A B)Csesigue, reemplazandoA=

Ai ei, etc, yteniendoencuentalaecuaci on(1.23):

ijlm_

k

ijk

lmk iljm +imjl_AjBlCm ei= 0 ,1.3. DIFERENCIALESDELINEA,SUPERFICIEYVOLUMEN 19demodoque:3

k=1

ijk

lmk= iljmimjl(1.24)Estaecuaci on puedeescribirsecomo:3

k=1

ijk

lmk=ilimjljm(1.25)Esf acildemostrarque:1.

3jk=1 ijk

ljk=

jilijjljj = 2il2.

3ijk=1 ijk

ijk= 63.

3j=1 ij

ijk= 0Laecuaci on (1.25)eslasumaenk,conn = k,delaexpresi on:

ijk

lmn=iliminjljmjnklkmknEl smbolode Levi-Civitapuede utilizarse paraescribir determinantes. Es enefectociertoque[A[ijk=

lmn

lmnailajmaknUtilizandoestaexpresi onesbastantef acildemostrarque [AB[ = [A[[B[.EnRelatividadEspecialelsmbolo,enelque, , , tomanvaloresentre0 y3, puedeser denidoen forma an aloga: 0123= 1yantisimetrico en cada parejadendices contiguos. Es demostrableque= 1y, siendounadeltadeKronecker, esciertoque:

=Problema: Utilizando(1.24)demuestreque: (AB) (AB) = A2B2(A B)2 (AB) (CD) = (A C)(B D) (A D)(B C)20 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALES1.4. OperadoresdiferencialesEntenderemosporcampounsistemafsicoconvaloresdenidosencadapuntodelespacio.Uncampoescalarest acaracterizado porunafunci onf(u1, u2, u3)quelodeterminaporenteroencadapuntodelespacio.Latemperaturaencadapuntode un s olido, la presi on y la densidad de la atm osfera, los potenciales gravitacional yelectrost atico, la amplitud de una onda de sonido, son campos escalares. = zy3x2esuncampoescalar.Uncampovectorialsecaracteriza con tresfuncionesescalares (esdecir,unafun-ci onvectorial) encadapuntodel espacio. Lavelocidadde unapartculade unuido,elcampo electrico deunadistribuci on decargas electricas, los camposgrav-itacionales, elcampo magnetico terrestre, las ondas electromagneticas, el campo develocidadesenuntornado,soncamposvectoriales.A = yz2i 2zx3j +xy2kesuncampovectorial.Asumiremos que los campos en consideraci on son funciones regulares, continuas yderivables,exceptoposiblementeenpuntosaislados.Todosloscampospuedenser,adem as, funciones del tiempo. En general los campos ser an descritos por ecuacionesdiferenciales parcialescuyas variablesindependientesser an laposici on yeltiempo.1.4.1. GradienteAl pasar de unpunto P(u1, u2, u3) aotroinnitesimalmente cercanoP(u1+du1, u2+du2, u3+du3) el cambiodiferencial deunafunci on(ocampo) escalar(u1, u2, u3)est adadopor:d =u1du1 +u2du2 +u3du3=3

i=1uidui(1.26)Teniendoencuentalaecuaci on(1.21)sesiguedr =3

j=1hj ejduj(1.27)Multiplicandoescalarmentepor ei:dr ei=3

j=1hj ej eiduj=3

j=1hjijduj= hidui= dui=1hidr ei,1.4. OPERADORESDIFERENCIALES 21talquereemplazandoen(1.26):d =3

i=1ui1hi ei dr = dr _3

j=1 eihiui_El terminoentre parentesis lo denotaremos , donde es conocidocomo eloperador nabla.As: 3

i=1 eihiui=3

i=1 ei ()i(1.28)ylollamaremosgradientedelafunci onescalar (ui).portantod = dr (1.29)Puestoquedr= ndl, sesigue: d/dl = n, quecorrespondealadenici ondederivadadireccional delafunci onendirecci on n.Paraestudiarlas propiedadesdel gradientetomemosunpardesupercies in-nitesimalmentecercanas,sobrecadaunadelascualeslafunci ontomavaloresconstanteseinnitesimalmentediferentes,y + d. Enteoradecamposselesllamasuperciesequipotenciales.De(1.29) sesigue:d = dr = [dr[[[ cos dondeesel anguloentredry. Si el vectordrsesit uaenel plano=cte,entoncesd = 0;portanto:0 = [dr[[[ cos Como esengeneraldiferentedecero, pues(ui)esunafunci onarbitraria,ycomo [dr[ ,= 0sesiguequecos = 0,porlocual = 900.Enconsecuencia: esperpendicularalasupercie = constante.0.5cmElm aximovalordedocurrecuando = 0;esdecirdm ax= [[[dr[ = [[ dlo:_ddl_m ax= [[As pues, elm odulodelgradientecorrespondealvalorm aximodeladerivadadirec-cionalyelgradienteapuntaenladirecci onenquetalderivadaesm axima.Ahora bien: puesto que desde cada punto de una lnea o supercie equipotencial esposibletrazarelvector ,resultaentoncesposibleconstruirunaredcoordenada22 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESrdr +dFigura1.5:Superciesequipotencialesortogonal a las equipotenciales; por lo cual, dada una familia de curvas en el plano (ode supercies curvas en el espacio) es posible obtener otras que le son ortogonales. Deac a surgeunmetodoecazdeconstrucci on desistemasdecoordenadas curvilineasortogonales queimplementaremosenlasecci on1.12.Hemosdetenerencuentaque noesunvectorsinounoperadorvectorial: notienedirecci on,amenosqueoperesobreunafunci on.Encoordenadas esfericas: =3

i=1 eihiui= erhrr+ eh+ eh= err+ er+ er senProblemas: Escriba encoordenadascartesianasycilndricas.Demuestreque: () = + Si f =f(r) conr =px2+y2+z2, demuestre que f(r) =rdf(r)/dr.Enparticular,si f(r) = 2r4r,hallarf(r).Hallarel vectorunitarionormal alasuperciex2y + 2xz=4enel punto (1, 2, 1) y la ecuaci ondel plano tangenteque pasa por esepunto.Hallarel anguloqueformanlas supercies x2+ y2+ z2=9yx2+y2z= 3enelpunto(2, 1, 2).Hallarladerivadadireccional de=x2yz + 4xz2en(1, 2, 1)endirecci ona = 2i j 2k.SiA =constanteencoordenadascartesianas,demuestreque:(r A) = A.Demuestreque ui= ei/hi1.4. OPERADORESDIFERENCIALES 23Demuestreque:rui uj= ij.Estosignicaquelasdosfamiliasdevectoresr/uiy ujsonortogonales,yformanbasesrecprocas.Partiendo de la forma cartesiana del gradiente de un escalar:=Pi/xiy utilizando argumentos de la secci on 1,2obtenga laforma(1.28). Estodemuestra lainvarianzadel gra-dientebajotransformaci ondecoordenadas.El potencial electrost atico de undipoloelectrico p=p0 ez es: = p0 cos /r2,conp0constante.Calculeelcampoelectrost aticoE = encoordenadasesfericas.Laecuaci onb asicade lahidrost atica(ver secci on4.3) tiene laforma: P +G= 0, donde P, y Gsonla presi on, la densidadyel potencial gravitacional. Demuestreque, encadapunto, lasnormales alas supercies de presi onypotencial constante sonparalelas.1.4.2. DivergenciaDada una supercie diferencial orientada dS, denimos el ujo del campo vectorialBatraves dedScomo:d = ujodiferencial = B dSBdSFigura1.6:FlujodelcampoBatraves deunasupercieabiertaObviamenteelujoesm aximosiB| dSycerosiB dS.Nosinteresaremos enloquesigueencalcularel ujoatravesdeunasupercediferencial cerrada, quecontengaunvolumendiferencialdV limitadoporsuperciescoordenadas.Nuestrovolumenser aentoncesunparaleleppedo curvilineo.24 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESB1dS1B2dS1u1Figura1.7:ElementodiferencialdevolumenConsideremos elujototalcomo lasumadelosujosatraves decada pareja desupercies.AnalicemosprimeroelujosobrelascarasdS1:d1= du1+du1+du1= (B1dS1)u1+du1 (B1dS1)u1= (B1h2h3du2du3)u1+du1 (B1h2h3du2du3)u1= (B1h2h3)u1+du1 du2du3(B1h2h3)u1du2du3Loselementosdiferencialesdu2du3hansidoextradosdel primerterminopuessonindependientesdeu1.Sihacemosunaexpansi on deTayloralrededordeu1:(B1h2h3)u1+du1= (B1h2h3)u1+(B1h2h3)u1du1 +Enconsecuencia:d1=(B1h2h3)u1du1du2du3=(B1h2h3)u1dVh1h2h3Demodocompletamentean alogo:d2=(B2h3h1)u2dVh1h2h3d3=(B3h1h2)u3dVh1h2h3Elujototaldqueatraviesa elvolumendV esentonces1.4. OPERADORESDIFERENCIALES 25d = d1 +d2 +d3=_(B1h2h3)u1+(B2h3h1)u2+(B3h1h2)u3_dVh1h2h3Introduciendolaconvenci on:h h1h2h3:d =_u1_B1hh1_+u2_B2hh2_+u3_B3hh3__dVh=Div BdVdonde hemos denido la divergenciadelcampo B como la siguiente funci on escalar:Div B=1h3

i=1ui_Bihhi_(1.30)Enconsecuencia:ladivergenciaesel ujoporunidaddevolumen:Div B=ddVLaanteriorformulaci onhasidorealizadaparaunvolumendiferencial. Paraunvolumennito: =_B dSdondeel smbolo_representaintegraci onsobreunasuperciecerrada. Pararea-lizar estaintegral (que equivale asumar ujos diferenciales) descomponemos elvolumenV enunconjuntodevol umenesdiferencialesdV ; las carascomunesdelosparaleleppedos diferencialescontribuyen conujosigualesyopuestosensigno,que se cancelanal hacer lasuma, de modoque ensntesis, las partes nonulasdelaintegral de areasonaquellas que correspondenacaras enlafrontera. Enconsecuencia: =_B dS =_Div BdVLaintegral deladivergenciasobreunvolumenpuedetransformarseenunain-tegral queinvolucras oloel valordel camposobrelasupercie. EsteresultadoesconocidocomoTeoremadeladivergencia:_B dS =_Div BdV (1.31)LaintegralseextiendesobrelasupercequerodeaelvolumenV .26 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESDemodoalterno:Div B= lmV 0_B dSVEsciertoencoordenadas curvilneasortogonales que:Div B= BElladoizquierdodelaigualdad secalculautilizando(1.30) yelderechoutilizandoeloperadorgradientede(1.28).Encoordenadas esfericas: B =Div B =1h3

i=1ui_Bihhi_=1r2sen _r(Brr2sen ) +(r senB) +(rB)_=1r2r(r2Br) +1r sen (sen B) +1r sen BEjercicio: Demostrarque: (A) = A+A De(1.30): (A) =1h

iui_ hhiAi_=1h_

iui_ hhiAi_+

ihhiAiui_= _1h

iui_ hhiAi__+

iAi_1hiui_= A+A .Problemas: Utilizando coordenadas cartesianas y cilndricas demuestreque B =Div B.Escriba Bencoordenadascartesianasycilndricas.Evaluar (rrn)y (rrn)encoordenadascartesianas.Demostrar,encoordenadascartesianas,que (r/r3) = 0Compruebeel teoremadeladivergenciaparael campovectorialA =4xi 2yj + z2k,sobrelasupercieyvolumendeunaesferaderadio4.Hallar el ujodel campoA=zi+xj 3y2zkatraves de lasuperciedelcilindrox2+ y2= 16.HallarladivergenciadeA =i(x2+ yz) +j(y2+ xz) + k(z2+ xy)DemuestrequeHr dS = 3V.1.4. OPERADORESDIFERENCIALES 27Demuestrequeelcampoelectricodeunacargapuntual,E =qr40r2cumple E = 0parar = 0.LaleydeGaussparaelcampoelectricotienelaforma:IE dS =q

0donde q =RdV es lacargaencerradaenlasupercieysudensidadvolumetrica. Demuestre laleyde Gauss enformadi-ferencial: E =

0Calcule el ujo del campo vectorial A = r a travesde una super-cie cerrada limitada por los planos coordenados y el primer octantedeunaesferaderadioa. Primero, porc alculodirectousandoladenici ondeujo.Segundo, utilizandoelteoremadeGauss.1.4.3. RotacionalDenimoslacirculaci ondeunvectoralolargodeunacurvacerradacomo:_B dldS3B2u2u3u1B1Figura1.8:Trayectoria cerradasobrelasupercieu1u3Para elcircuitodiferencialdelagura:_3B dl = (B2dl2)u1+ (B1dl1)u2+ (B2dl2)u1+du1(B1dl1)u2+du2ExpandiendoenTaylorycancelandoterminos:28 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALES_3B dl =_u1(B2h2) u2(B1h1)_du1du2=_u1(B2h2) u2(B1h1)_dS3h1h2= ( Rot B)3dS3(1.33)El c alculo ha sido restringido s olo a la supercie dS3. Si incluimos trayectorias sobrelassuperciesu1 =cteyu2=cte,tendremos:_1B dl = ( Rot B)1dS1_2B dl = ( Rot B)2dS2Los c alculos anteriores se han referido a paralelogramos curvilneos localizados enlas supercies coordenadas. El caso general lo conforma una curva cerrada c en el es-pacio, que rodea una supercie diferencial dS. Puesto que esta puede descomponerseendS1,dS2ydS3,podemosescribir:_cB dl =Rot BdSAspues:Rot B = e1h2h3_u2(B3h3) u3(B2h2)_+ e2h3h1_u3(B1h1) u1(B3h3)_+ e3h1h2_u1(B2h2) u2(B1h1)_UtilizandoelsmbolodeLevi-Civitayconh = h1h2h3:Rot B=1h3

i,j,k=1 ei

ijkhiuj(Bkhk) =3

i=1 ei ( Rot B)i(1.34)1.4. OPERADORESDIFERENCIALES 29Enformamatricial:Rot B=h1 e1h2 e2h3 e3/u1/u2/u3B1h1B2h2B3h3Eloperador /uiact uas olosobrelatercerala.Encoordenadasesfericas:B = err sen_(sen B) B_+ e_1r sen Br1rr(rB)_+ er_r(rB) Br_EsdemostrablequeRot B= BDelaexpresi on_B dl = (B)dSsesigue:_B dl = [B[dS cos Lam aximacirculaci on seobtienecon = 0:__B dldS_m ax= [B[Esdecir:el m odulodel rotacional eslam aximacirculaci onporunidadde area.Losc alculosrealizadoshastaahorasonv alidosparauncircuitodiferencial. Enel casodeunacurvacerradaqueencierreunasupercieabiertanitatendremosquesumarsobreel conjuntodecircuitoselementalescomomuestralagura. Loscircuitosconladoscomunesnocontribuyenalacirculaci on.Lacontribuci onnetavienes olodeloselementosdelneaubicadosenelcontornoc.As:_cB dl =_SB dS (1.35)Laanteriorexpresi on-conocidacomoTeoremadeStokes-permitereemplazarintegrales de areaporintegralesdelnea.Problemas: Escriba Bencoordenadascartesianasycilndricas.Evaluar (rf(r))encoordenadascartesianasyesfericas.f(r)esfunci onder=px2+ y2+ z2.Si v=r, con constante,demuestre que v = 0 y v=230 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESdScFigura1.9:Descomposici on deunasupercienitaenelementosdiferencialesDemuestreque: (A) = A+ ADemostrarquelacondici onnecesariaysucienteparaqueF drseaundiferencialexactoes F = 0HallarelrotacionaldeA =i(x2+ yz) +j(y2+ xz) + k(z2+ xy)Hallarlacirculaci ondel campobidimensional A=i(y 2x) +j(3x + 2y)alolargodeunacircunferenciaderadio2,concentroen(0, 0)yubicadaenelplanoxy.Considerelos siguientes campos develocidadenunuido: v=C er/r2, v=C e/, v=C e, v=kC(L y). Sonirrota-cionales?Siloson,h alleseelpotencialdevelocidad.Hallarlacirculaci ondel campoA=(x2y2)i + 2xyjalolargodeuncontornocuadrado(limitadoporlosejescoordenadosylasrectasx = a, y= a)situadoenelplanoxyyrecorridoensentidoantihorario.Hallar la circulaci ondelcampoA =ixiy,alo largo dela curvay2= 4x,desde(0, 0)hasta(4, 4).El campoelectrost aticodeundipoloelectricop=p0 ez es: E=p0(2 er cos + e sen )/r3. Demuestre que E = 0, y que, parar = 0: E = 0.Consideredos funciones u=u(r)yv=v(r), continuas yderi-vables. Demuestrequesi uyvsatisfacenlaecuaci onf(u, v)=0entonces: u v= 0.LaleydeAmpereparaelcampomagneticoBtienelaforma:IcB dl = 0i,dondeiesla corrienteelectricaqueatraviesalatrayectoriacerra-dac, ala queseconocecomoamperiana.Teniendoencuentaquei=RJ dS, dondeJesladensidaddecorriente, yutilizandoelteorema de Stokes, obtenga la ley de Ampere en forma diferencial:B = 0J1.4. OPERADORESDIFERENCIALES 311.4.4. LaplacianoEl laplacianodeunafunci onescalarf(ui), querepresentamospor 2f(ui), esdenidocomo:2f= fas,deacuerdoa(1.30)conBi= (f):2f=1h3

i=1ui_ hhi(f)i_ycomo,seg un(1.28):(f) =1hifui,sesigueque:2f=1h3

i=1ui_hh2ifui_(1.36)Encoordenadas cartesianas,cilndricasyesfericas :2f =2fx2+2fy2+2fz22f =1_f_+122f2+2fz22f =1r2r_r2fr_+1r2sen_senf_+1r2sen 2f2Encoordenadas cartesianasesf acildemostrarque2A = ( A) (A),donde2A =i2Ax +j2Ay + k2Ak.En otros sistemas de coordenadas el Laplaciano de una funci on vectorial se deneenlaforma:2A = ( A) (A).Como veremos, el Laplaciano 2aparece en electrost atica, magnetost atica, grav-itaci on,ondas,ujodeuidos,mec anicacu anticaydifusi ondecalorentreotros.Eltipom assencillodecampovectorial F(r)eselqueesirrotacional, solenoidal,continuo y derivable. Por ser irrotacional (F = 0) existe un potencial : F = ;por ser solenoidal (F=0) entonces 2=0. Lasoluci onalaecuaci ondeLaplacesedenominafunci onarm onica.Elpotencialdeuncampoelectrost aticoesarm onico en el exterior de las cargas. En un uido de densidad constante el potencialdevelocidadesarm onicosinohayfuentesnisumideros.32 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESProblemas: Encoordenadascartesianasdemuestreque2rn= n(n 1)rn2Utilizandocoordenadascurvilneasdemuestreque:2() = 2 + 2 + 2 Demuestreque 2[ (r/r2)] = 2r4Demostrar que 2y Asoninvariantes bajo rotaci ondecoordenadas.Demuestreque:2(r) =1r2ddrr2ddr =1rd2dr2hri =d2dr2+2rddrEl potencialelectrost aticosatisfacela ecuaci ondePoisson 2 =4/0. Si enel interiordeunaesferaderadioRel potencial es = R2r2,ysienelexteriorescero,evaluarladistribuci ondecargaquegeneraestepotencial.Sidentrodeunaesfera deradio RelcampoelectricoesE = ryfueradeellaescero,obtengaladistriduci onqueloproduce.Si aunadistancia besciertoque = b2[1 +ln(/b)],evaluarladistribuci ondecarga

quelogenera.Nota:Algunostextosdean alisisvectorial denominandel al operador . Algunoses-cribenenvezde 2.1.5. DosidentidadesimportantesDemostraremos aqu dos identidades queson de importancia notable en la teoradecampos.A)Delasecuaciones(1.30)y(1.34): A =1h

iui_ hhi(A)i_=1h

ijkui_ hhi

ijkhihuj(hkAk)_=1h

ijk

ijk2uiuj(hkAk)Debidoalasimetradelasegundaderivadayalaantisimetradel smbolodeLevi-Civitabajointercambiodeijsesiguequelasumaescero,talque: A = 0 (1.37)1.6. IDENTIDADESVECTORIALES 33[Enformageneral,siAij= AjiyBij= Bjientonces:

ij AijBij 0]B)Delasecuaciones(1.29) y(1.34): =1h

i ei

ijkhiuj(hk()k)=1h

ijk ei

ijkhi2ujukylasumaenjkdenuevoesceroporelargumentoyavisto.Aspues: 0 (1.38)Delasidentidades(1.37)y(1.38)sesigue:a) Todo campo vectorial cuyo rotacional sea nulo puede siempre expresarse comoel gradiente de una funci onescalar. Unejemplofsicosignicativoes el campoelectrost aticoE,cuyorotacionalesnulo,porlocualpodemosescribir:E= .Otroesel campogravitacionalg= (, yunom asel campodevelocidadesenunuidoquenotieneremolinos.Loscamposvectoriales cuyorotacional esnulosellamanirrotacionales.El gradienteesirrotacional.b) Todo campo cuyadivergenciasea nulapuede siempre expresarse como elrotacional deotrocampovectorial. Tal esel casodel campomagnetost atico, quesatisface: B=0, porlocual B= A. Enconsecuencia,_BdS=0: Elujodel campomagnetost aticoessiemprenuloencadapuntodel espacio, porlocualsuslneasdecamposoncerradas.Loscamposvectorialescuyadivergenciaesnulasellamansolenoidales.El rotacional essolenoidal.Problema: DadoelcampovectorialA =i(x + 2y + az) +j(bx 3y z) + k(4x + cy + 2z),hallar los valores de a, b, c paralos cuales A=0. Ental casoA = .Hallar.Problemas: Si u y v son irrotacionales, demuestre que u v essolenoidal.SiAesirrotacional,demuestrequeAressolenoidal.Si satisfacelaecuaci ondeLaplace, demuestreque esalavezsolenoidaleirrotacional.1.6. IdentidadesVectorialesPoraplicaci ondirectadelasdenicionesdelosoperadoresdiferencialespuedenobtenerselassiguientesidentidades:34 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALES ( +) = + (A+B) = A+ B (A+B) = A+B (A B) = (A )B+ (B )A+A(B) +B(A) (A) = A+A (AB) = B (A) A (B) (A) = ( A) 2A (A) = A+ A (AB) = A( B) B( A) + (B )A(A )B r = 3 r = 0 rn= nrrn1 _1/[r r

[n1_ = (n 1)(r r

)/[r r

[n1, n ,= 1Problemas: Demostrarque:Delaidentidad (A) = ( A) 2Asesigue:2A = 2Ay 2A = 2 A,demodoquelosoperadores y conmutancon 2.Delasidentidadespara (AB)y (A B)sesigue:(AB) +(A B) = A( B) B( A)+ 2(B )A+A(B)+ B(A)Si A y B son vectoresconstantes,entonces: (A Br) = ABProblemas: Demostrarque: A = A , A = A () = 0( ) = 0 (r/r3) = 0, r = 0 (rr3) = 6r32(ln r) = 1/r22rn= n(n + 1)rn22() = 2 + 2 +2`r(1/r2) = 3r32` (r/r2) = 2r4(r ) = r2 (r )1.6. IDENTIDADESVECTORIALES 35(A) r = 0, (A) r = 2A2f(r) = d2f/dr2+ (2/r)df/dr.Evaluarf(r)si 2f(r) = 0.RdV=HdS(HagaA = a cona constante,enel teoremade Gauss). De ac a se sigue queHdS = 0: toda gura cerrada tienesupercie(noarea)nula.RdS =Hdl (Haga A = a con a constante, en el teoremadeStokes). SesiguequeHdl =0: lalongitudvectorial detodatrayectoriacerradaescero.RFdV=HdS F(HagaA = a Fconaconstante, enelteoremadeGauss).La condici on necesaria y suciente para que las funciones u = u(r),v=v(r)yw=w(r)satisfaganlaecuaci onf(u, v, w)=0esqueeljacobiano u v wseacero.Problemas: El potencialelectrost aticodeundipolo electricopes: =p r/r3.CalcularelcampoelectricoE = .Problema: Elcampomagneticoesexpresablecomo: B = A.De-muestrequesiBesconstanteentonces:A =12Br.Sugerencia:utilicelaidentidadpara (Br).Elvectorpotencialdeundipolomagneticomes:A(r) =04mrr3Demuestrequesucampomagneticotienelaforma:B(r) =04r3 [3r3(r m) m]Encoordenadas cilndricas el potencial vectorial deunalambrelargoes:A(r) = ez0i2ln(/0)Demuestrequeelcampomagneticoes:B(r) = e0i2Problema: En el exterior de cargas y corrientes los campos electromagneticosvariablesconeltiempodeltipoE = E(r)eit, B = B(r)eitsatisfacenlaecuaci ondeHelmholtz(2+ k2)E = (2+ k2)B = 0.Es cierto que E = 0 es satisfecho por el campo transverso E = r.Enefecto,r E = 0.36 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESDemostrar que Esatisfacelaecuaci ondeHelmholtzsi tambienlasatisface.Ahora,paracamposcondependenciatemporaleitlaleydeinducci ondeFaradaytomalaforma: B=ic E/, demodoqueel campoBcorrespondienteaE=r es B=i (r ).Deotrolado, el campoBsatisface B=0, loquepermiteescribirB=r .Estecampoestransverso: r B=0.UtilizandolaleydeAmpere-Maxwell con J = 0 demuestre que: E = i(r)/0

0.As,loscamposarm onicosEyBenelexteriordeyJseescriben:E =r i0

0(r )eitB =r +i(r )eitProblema: (a)Considerelaecuaci ondeondassinfuentes:2(r, t) 1v2(r, t) = 0,donde(r, t) representa lasegunda derivada temporal de uncampoescalarreal.Multiplicandoporyhaciendousodelasidentidades vectorialesex-preseestaecuaci onenlaformadeunaleydeconservaci on: S +Et= 0,donde:S = KE =K2()2+1v22Estaexpresi ondescribelaconservaci ondelaenergadelasondasescalares. Ses el vector dePoynting, quedaladensidaddeujodeenerga de la onda (dE/dA dt) y Ees su densidad volumetrica de energa(dE/dV ). Laconstante Kdepende delas caractersticas fsicas delaonda(enelaire,enloss olidos...)(b)Enel casodecamposescalarescomplejosdebemosasegurarnosdeque S y Eseancantidadesreales. Para ello multiplicamos la ecuaci ondeondasporyel complejoconjugadodelaecuaci ondeondaspor.Demuestrequeal sumarlosresultadosdeestasoperacionesseobtiene S +Et= 0,conS = K( +) yE = K12( + ) +1v2Considere= 0ei(krt).Demuestrequedelaecuaci ondeondassesiguek=/v, yque E=2k2||2/v2yS=2kk2||2/v. Demuestreque,enconsecuencia, S =kEv.Problema: (a)Multiplicandolaecuaci ondeSchr odinger

22m2(r, t) + V (r, t) (r, t) = i(r, t)t1.7. UNAAPLICACIONDELTEOREMADESTOKES 37por, multiplicandosucomplejaconjugadaporyrestandoambasdemuestreque J + /t = 0,dondeJ =

22im[ ] y = J es la densidad de corriente de probabilidad y es la densidadvolumetricadeprobabilidad.Laecuaci on J +/t = 0describelaconservaci ondelaprobabilidadenmec anicacu antica. (b)Multi-plicando la ecuaci onde Schr odinger por , multiplicando su conjugadaporysumandoambasecuaciones, conV independientedel tiempo,demuestreque: S + E/t=0, dondeSy Erepresentan, respecti-vamente, ladensidaddeujodeenergayladensidadvolumetricadeenerga:S =

22m( +) yE =

22m +V Este desarrollo se asocia a la conservaci ondeenerga enla mec anicacu antica.1.7. Unaaplicaci ondel teoremadeStokesCamposconservativosSi uncampoEtienerotacional ceropodemosescribirE=dondeesuncampoescalar,alqueseconocecomopotencial.Evaluemoslaintegraldelneadelcampoirrotacional Eentrelospuntosayb:_baEdl =_badl =_bad= (b) (a)dondehemosutilizadolaecuaci on d= dl.Laintegral_baE dlcon E = 0,esindependientedelcaminoydependes olodelospuntosinicialynaldelatrayectoria.Calculamosahora_E dl(integralsobretrayectoria cerrada) delcampoE:_E dl =_acbE dl +_bdaE dl= (b) (a) +(a) (b) = 0_E dl =_acbE dl +_bdaE dl = (b) (a) +(a) (b) = 0 _Edl = 038 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESbaEdlFigura1.10:Trayectoria deunapartculaenuncampovectorialbaEcdFigura1.11:Trayectoria cerradadeunapartculaenuncampovectorialComoseve, las cuatrosiguientes expresionessonequivalentes_Edl =0 ,E = 0 , E = ,_baE dl = (b) (a).Campos conestacaractersticase denominanconservativos yest anasociadossiempreavectorespolares(versecci on1.2.4).Loscamposelectrost aticoygravita-cional son conservativos. En ellosescierto queeltrabajo realizado para mover unapartcula (cargaomasa)alolargodeunatrayectoria cerrada escero.1.8. TRESTEOREMAS 39Problemas: DemostrarqueF=r2ryF=(2xy + z3)i + x2j + 3xz2ksoncamposconservativos. Hallarelpotencial.EsF = (y2z3cos x 4x3z)i + 2z3y sen xj + (3y2z2sen x x4)kuncampoconservativo?Siloeshalleelpotencial.Dado elcampo vectorialA = (3x2+6y)i 14yzj +20xz2k, hallarla integral de lneaRA dl, desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1), a lo largodelatrayectoriax = t, y= t2, z= t3.1.8. Tresteoremas1.8.1. TeoremadeGreenEnelteoremadeladivergencia:_ AdV=_A dShagamosA = .Sesigue: A = + ,con lo cualobtenemos laprimeraidentidaddeGreen:_[2 +] dV=_dS =_ndS, dS = ndS (1.39)donde:/n = nesladerivadanormalalasupercie.Problema: Delteoremaanterior demuestrelasegundaidentidaddeGreen:_[2 2] dV =_[ ]dS (1.40)=_ _n n_dS (1.41)1.8.2. PrimerTeoremadeHelmholtzUncampovectorial est aespecicadodemodo unicosiseconocensudivergenciaysurotacional dentrodeunaregi onV ysucomponentenormal sobrelafronteraS.Queremos, por tanto, demostrar que si del campo vectorial A se conocen: A =, A = b,A n[S= f(r),entoncesAes unico.Conesteprop osito, asumiremosqueexisteunsegundocampoA

quesatisfacelastresecuacionesanteriores: A

= , A

= b,A

n[S= f(r).Para elcampoW = A

Aesciertoque: W = 0, W = 0, W n[S= 0.Delaecuaci on W=0sesigue: W=, yreemplazandoen W=0obtenemos: 2 = 0.Ahorabien,delaprimeraidentidaddeGreen,ec.(1.39),con = = :_[2 + ()2] dV=_dS =_W ndS40 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESy como: W n[S= 0, 2 = 0 y ()2= W2, se sigue que:_W2dV= 0, de dondeW = 0.EnconsecuenciaA

= A,loquedemuestraelteorema.1.8.3. SegundoteoremadeHelmholtzTodocampovectorial Acuyadivergenciayrotacional seanulenenel innitopuedeexpresarsecomolasumadeunaparteirrotacional (olongitudinal) yotrasolenoidal (otransversa.Esdecir:A = AL +AT= +a (1.42)En vez de deducirla forma (1.42) demostraremos que es posible,equivalentemente,expresar yaen terminos deA.Tomandoladivergencia de(1.42): 2 = A,cuyasoluci on(deacuerdoalasecci on 1.10)es:(r) = 14_

A(r

)[r r

[dv

y tomandoelrotacional de(1.42): A = (a) = ( a) 2a.En la ultimaecuaci ons oloconocemos a,porlocual,podemosimponerlacondici on a = 0;tendremos:2a = A,cuyasoluci ones:a(r) =14_

A(r

)[r r

[dV

.Hemosdeimponerlacondici ondeque Ay Aagrandistanciatiendanacerodemodosucientementer apido,paragarantizarlaconvergenciadelasdosintegrales.PortantoyapuedensercalculadosapartirdeA, loquegarantizalaforma(1.42).En general, las componentes AL y ATdieren fsicamente. Por ejemplo, las veloci-dadesdelasondaslongitudinalesytransversas enunmedioel asticosondiferentes(versecci on3.2.4).Laseparaci on enestascomponentestieneventajas. Para ALesciertoqueAL=, de modo que las tecnicas para resolver ecuaciones escalares pueden ser usadas.Eltrabajom asdifcilestar aenlacomponentetransversa.El campo a, asociado a ATen la forma: AT= a, tiene a su vez partes longitudi-nal y transversa: a = aL+aT, pero al tomar el rotacional desaparece la contribuci ondeaL,demodoqueAT= aT; enconsecuenciaaquedaindeterminadoenlacantidadaLqueenprincipiopuedesercualquiervectorquecumpla aL=0.Dadaestaindeterminaci onesusualimponerlacondici on a = 0parajaraL.Enefecto, puestoqueaLsatisface aL=0esciertoqueaL= ycomoa = 0 se sigue: 2= 0. Podemos, en sntesis escribir: a = +aTcon 2 = 0.1.9. DIADAS 411.9. DadasUncampovectorialen3Dseescribe:A(r) =3

i=1Ai ei,entantoqueuncampoescalarseexpresacomo(r).Estosignicaqueuncampoescalarnocontienevectoresunitariosysedeterminaconunsolon umeroencadapuntodelespacio, entantoqueun campovectorial est aasociado aunadirecci on yseespecicacon3cantidadesAiencadapunto.Unvectoresunaformalineal en ei.Estas nociones pueden ampliarse para denir cantidades, conocidas como Dadas,asociadas a ei ej:unadadaesunaformabilineal,quetienelaformageneral:T =3

ij=1Tij ei ejLas dadas permiten describir cantidades fsicas asociadas a dos direcciones, comoeselcasodelosesfuerzos.Enparticular,sinosrestringimosalplanoxy(elvectordesupercieesdS3)resultaquesobreel puedenejercerseaccionescomopresi on(direcci on3)yesfuerzostangenciales(endirecciones1y2); as,podemosescribirT33, T31, T32, dondeel primer ndicesereerealadirecci ondelasupercieyelsegundo a la direcci on de la fuerza. En general, y considerando las dem as direcciones,resultaunconjunto Tijde9componentesqueconformaladadadeesfuerzosT.yxzT11T13T12T22T31T23T21T32T33Figura1.12:Esfuerzosenuns olido42 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESLasoperacionesb asicascondadas serealizan sindicultad: TA =

ij ei ejTij

k ekAk=

ijk ei ej ekTijAk=

ijk eijkTijAk=

ij eiTijAj,demodoqueelproductoescalardeunadadayunvectorproduceunvector.Observese queelproductoescalarentrevectoresseformaconaquellosqueseancontiguos: ei ej ek el= ei el. TA =

ijk ei( ej ek)TijAk=

ijkl ei

jkl elTijAk,= ATAs,elproductovectorialdeunadadayunvectorproduceunadada. TV =

ij ei ejTij

kl ek elVkl=

ijkl ei( ej ek) elTijVkl=

ilk ei elTikVkl.Podemosdenireldobleproductoescalarenlasiguienteforma: ei ej: ek el= ( ej ek)( ei el) = jkilAspues,eldobleproductoescalarentredadasesunescalar:T :V =

ikTikVkiEsf acilmentedemostrableque:A TB = BA :T =T : BALacantidadAB,conocidacomoproductodi adico,esunadada:AB =

i eiAi

j ejAj=

ij ei ejAiBjUnadadadeinteresparticularesconocidacomolaidentidad,ysatisface:IA = A I = A;1.9. DIADAS 43encoordenadascartesianas, cilndricasyesfericasseescribe:I =ii +jj + kk= e e + e e + ez ez= er er + e e + e eProblemas: Demuestrequeengeneral A T=T As olosi Tesunadadasimetrica,estoes,siT = eT,con eT =Pij ei ejTji.Demuestrequesi Tesunadadaantisimetrica:A T = T A, y A T A = 0DemuestrequeA T Besunescalar.Utilizandolasderivadasdelosvectoresunitariosencoordenadasesfericas ycilndricas, desarrolladas al nal de lasecci on1.2.1,demuestreque r =IUtilizandolasreglasdetransformaci ondelosvectores unitariosentrecoordenadascartesianasyesfericasdemuestreque:I =ii +jj + kk = er er+ e e+ e eEstopruebalainvarianzadeladadaidentidadbajolatransfor-maci ondecoordenadas.Demuestreel siguienteteorema: todovectorAen3Dpuedede-scomponerse, respectoaunplanocuyanormal es hatn, endospartes,unaperpendicularalplanoydemagnitudA nyotraAtque se sit ua en el plano: A = (A n) n+At= (A n) n+A(I n n)Eval uebsA,siA = 3yi + 2zj + xkProblemas: Encoordenadascartesianasdemuestreque:r =II I =II :I = 3A (T B) = (A T) BSi Tes unadadadiagonal constante, laexpresi onr T r=1describeelipsoidesohiperboloidesdeunaodoshojas.r T r = 0representauncono, silossignosnosontodoslosmismos.Elgradientedeunvectoresunadada.Ladivergenciadeunadadaesunvector.Elrotacionaldeunadadaesunadada.Elgradientedelgradientedeunescalaresunadada.44 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESProblema: Demuestre las siguientes identidades utilizando coordenadascartesianas (son v alidas tambien en coordenadas curvilneas ortogo-nales): (AB) = B( A) + (A )B (T) = T + T(AB) = (A)B(A)B (T A) = ( T) A(eT ) A;eT eseltranspuestodeT:eT =Xij ei ejTji (AT) = (A) T A (T) (A T) = A (eT) +T : (A) (T A) = ( T) A+ eT : (A)(T A) = T A+A T(T :R) = T :R +R :T (T R) = ( T) R + eT:R(A T) = (eT) A+ (A) T(A T B) = A T B+eT : AB+BeT A(rnr) =I rn+ nrn2rrProblema: En medios electricamente anisot opicos la conexi onentre el campoelectricoEyel vectordedesplazamientoDtienelaforma:D=E E,dondeEesla dadadepermitividad.DemuestrequeDi=Pj EijEj,yqueenmediosisotr opicosE = I,dondeeselescalardepermitividad.Ejercicio: Demostrar queT es invariante bajo transformaciones coordenadas.Delasreglasdetransformaci onsesigue:T

=Xij e

i e

jT

ij=Xijklmnaikajl ek elaimajnTmn=Xkl ek elTkl=TProblema: ProbarquelascomponentesT12,T23,T31deunadadasetrans-formanbajoreexi ondel ejexcomo: T

12= T12,T

23=T23, T

31=T31. Estoimplicaqueestas tres componentes deladadasetrans-formancomolas componentes de unvector axial. De hecho, si Tesuna dadaantisimetrica, s olotendr a tres componentes nonulas, conlas cuales podemos construir unvector axial A, enlaforma: A1=T23,A2= T31,A3= T12,o,engeneral:Ai=12Pjk ijkTjk.1.9. DIADAS 45Problema: Elcuadrupoloelectricodeunadistribuci ondecarga(r)esunadadasimetricaQdenidacomoQ =Z(r)[3rr r2I] dVdondeIesladadaidentidad.DemuestrequelatrazadeQescero:P3i=1Qii= 0Elpotencial electrost aticodeladistribuci onseescribe:(r) =r Q r2r5Calculeelcampoelectrost atico.Ejercicio: Como una aplicaci on importante de la teora de dadas est a la ecuaci ondeondasanisotr opica,que describe lapropagaci on de ondas luminosas es-calaresenmedioscristalinos,enlosquelavelocidaddepropagaci on esdifer-enteparacadaejecristalino,existiendoportantotres ndicesderefracci on.Esta es la base de la optica escalar. La ecuaci on anisotr opica con fuente f(r, t)paraelcampodeondasescalares es:A : (r, t) 1c22(r, t)t2= f(r, t)EnladadasimetricaAest acontenidalainformaci onsobrelaanisotropaeinhomogeneidaddelmedio.Engeneral, Apuedeserfunci ondelaposici onydeltiempo.Nolodemostraremos aqu,peroesciertoqueessiempreposiblereorientarelsistemadecoordenadasdeformatal queAlogreunaformadiagonal. (Unaformasimpledecomprenderlo eslasiguiente:loselementosdeunadada sonequivalentesaelementosmatricialesysabemosquetodamatrizsimetricaesdiagonalizable).Coni /xiy 2/t2podemosentoncesescribir:3

i=1Aii2i (r, t) 1c2(r, t) = f(r, t)Consideremos,enparticular,lapropagaci ondeunaondaluminosaendirec-ci onxyenausenciade fuentes; si c es lavelocidadde laluz enel vacotendremos:A1121(r, t) 1c2(r, t) = 0,demodoquev1= cA11corresponde alavelocidad delaluzenladirecci onx, enlaqueel ndicederefracci ones: n1=c/v1=1/A11. An alogamente:n2= 1/A22, n3= 1/A33.46 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESProblema: Considerelaecuaci ondeondasanisotr opicaparauncampoes-calar complejo. Demuestre quelaconservaci onde laenergatomalaformausual: S + E/t = 0conS = KA +E = K12A : (+) +1v2Demuestre, utilizando una onda plana = 0ei(krt), que la direcci ondepropagaci ondelaenerganoesladirecci onkdepropagaci ondelosfrentesdeonda,sinoA k.Utilizandolaecuaci ondeondasanisotr opicademuestre, adem as,queA: = kk.Cu al eslaconexi onentreSy E?Problema: Laconservaci ondel momentolineal del campodeunaon-daescalarreal puedeserdeducidamultiplicandolaecuaci ondeondasPiii /v2=0(donde i=/xiy=2/t2) por j.DemuestrequeXij(ij) 12j(ii)t1v2j+ j

22v2! = 0queenformacompactatomalaforma:" +I2

2v2()2!#+t

v2! = 0.Esta ecuaci on tiene la forma de una ley de conservaci on, que correspondealademomentolineal: T +g/t = 0,dondeT = " +I2

2v2()2!#esladadadeesfuerzos, quedescribeladensidaddeujodemomentolineal,yg = "v2#esladensidadvolumetricademomentolineal. Laconstante, depen-dientedelaspropiedadesfsicasdelcampo,balanceadimensionalmentelaecuaci on.Demuestrequeparalaecuaci ondeondas anisotr opicaycomplejaesciertoque:T =2hA ( +) +I(:A)ig = 2v2h +i1.9. DIADAS 47Problema: Utilizandolasformasde yAencoordenadasesfericas, juntoconlas derivadas parciales delos vectores unitarios, estudiadas enel ultimoproblemadelasecci on1.2.1,demuestreque:A = er errAr+ er erA+ er erA+ e er(Ar A) + e e(A + Ar) + e eA+ e er(Ar A sen ) + e e(AA cos )+ e e(A + Ar sen + A cos )TeoremasintegralesdiadicosAs comolasidentidades vectorialestienensucorrespondienteextensi onhaciadadas,haytambienteoremasintegralesqueinvolucrandadas.Asporejemplo,apartirdelteoremadeladivergencia_ AdV=_dSA,yconA=Ta, donde Tes uncampodi adicoyaes unvector constante(encoordenadascartesianas), es posibledemostrarqueel teoremadeGauss paraladadaTtienelaforma: _ TdV=_dST.Tambien esciertoque:_TdV =_dS T_dST =_dlTLa ultimaecuaci on correspondealaversi ondi adicadelteoremadeStokes.Puededemostrarsequelostresteoremasintegralessonv alidosencoordenadascurvilneas ortogonales.Desarrollaremosacontinuaci onalgunosteoremasintegralesquesondeutilidadenelestudiodelasfuncionesdeGreendi adicas.DelteoremadeladivergenciaparaladadaT:_ TdV=_dSTsesigue:A)ConT = AB:_[B( B) + (A )B] dV=_( nA)BdS (1.43)B)ConT = AU :_[(A)U A (U)] dV =_ n(AU) dS=_( n A)U) dS (1.44)48 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESEnel ultimopasohemostenidoencuentalaidentidadB (AU) = B(A U).C)ConT = G:_[ G+G] dV=_ nUdS (1.45)FormasmultilinealesenfsicaLaspropiedadeselectromagneticasy opticasdelosmaterialescristalinossonengeneral anisotr opicas, esto es, varan con la direcci on. Su descripci on puedehacerseenformaconcisautilizandoformasmultilineales.Consideremos, por ejemplo, la conductividadelectrica. Cuando unconductorcristalinoescolocadoenuncampoelectricoapareceensuinteriorunacorrientecuyaintensidaddependecrticamentedeladirecci onydelaintensidaddelcampoelectrico. UnaformasucientementegeneraldelaleydeJouletienelaforma:Ji=

jijEj+

jkijkEjEk +

jkijklEjEkEl +El primer terminoes lineal enel campoelectricoycontiene unaformabilineal(dadaotensordesegundoorden)ijcon9componentes. El segundoterminoescuadr aticoenel campoycontieneunaformatrilineal (otensordetercerorden)ijkde 27componentes yel tercero, c ubicoenel campo, contiene el tensor decuarto orden ijklde 81 componentes. Estos n umeros pueden ser reducidos medianteconsideraciones termodin amicas quehacen simetricos los coecientes; si se toma encuenta lasimetra deloscristales eln umerodeelementosindependientespuedeserreducidoa unm as.Enlasiguientelistaaparecen algunosfen omenosysusleyesenterminosdeten-soresdediversoorden.Nosrestringimosalaaproximaci on lineal:Efecto piroelectrico: generaci on de calor por polarizaci on de un material: Pi=iT,dondeTeslatemperaturaabsolutayPlapolarizaci on.Conductividadelectrica:Ji=

j ijEj.Conexi onentrecampoelectricoypolarizaci on:Pi=

j (e)ijEj.Conexi onentrecampomagneticoymagnetizaci on:Mi=

j (m)ijHj.Efecto Seebeck: Un campo electrico puede generar gradientes de temperatura:(T)i=

j ijEj.Efecto piezoelectrico: Los esfuerzos jkejercidos sobre un s olido pueden gener-arpolarizaci on:Pi=

jk ijkjk.1.10. DELTADEDIRAC 49Efecto piezoelectrico inverso: cuando un material se polariza se deforma: ij=

kijkPk.Eltensordedeformaci onesij.Magnetostricci on: deformaci on producida en un material por un campo magnetico:

ij=

kijkBk.Magneto-resistividad: Ji=

jkl fijklEjBkBl.Expansi on termica: el calentamiento de un material genera deformaci on: ij=ijT.LeydeHooke:losesfuerzos ejercidossobreunmaterialgeneran deformaci on:ij=

kl ijkl

kl.1.10. DeltadeDiracElsmbolodeltadeKroneckerijquehemosutilizadohastaahoratienevalores1o0,parai, j= 1, 2, 3.Esposiblegeneralizarloparaincluirvaloresenterosdei, jentre e .Diracproponeunanuevadeltaqueseleccionecualquieradelosn umerosreales.Esdecir,pretendeunaextensi onalcontinuodeladeltadeKronecker.LadeltadeDiracpuedeintroducirseapartir delaconsideraci onde lacurvagaussiana:f(x) =e2x2Esta curva tiene area unidad,para cualquier valor delpar ametro de0a .Lasecuencia,paravalorescadavezmayores de,escomosigue:Figura1.13:SecuenciadegaussianasSe logra una curva progresivamente m as alta y m as estrecha. En el lmite lagaussianaseconvierteenunacurvainnitamentealtaeinnitamenteestrechade area1.50 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESDenimosladeltadeDirac,entonces,como(x) =lme2x2resultandoque(x) si x 0(x) = 0 si x ,= 0Esto signica que (x) es una funci on patol ogica; estrictamente hablando no es unafunci on,sinounadistribuci on.Enformam asgeneral,desplazandoax0elpicodelagaussiana, tendremos:f(x) =e2(xx0)2 (x x0) =lme2(xx0)2,siendociertoque_(x x0) dx = 1.Este proceso de lmite puede realizarse tambien con otras funciones de area 1 queexhibenunpicodenidoenx = 0.Esciertoasque(x) =lm11 +2x2, (x) =lmsen xxUna forma bastante simple que da lugar a una (x) es un rect angulo de base 1/ yaltura . El area es obviamente 1. A medida queaumenta disminuye el tama no dela base pero aumenta la altura manteniendo constante el area. En el lmiteseconsigueunaagujaverticalinnitamentealtayde area1.En forma general, y sin acudir a funciones especcas como las cuatro propuestasantes, denimosla deltadeDirac, real ysimetrica, mediantela siguientepropiedadselectiva:_f(x)(x x0) dx = f(x0) (1.46)As pues, al realizar la integral, la delta selecciona entre todos los valores posiblesdeunafunci onarbitrariaf(x)suvalorenx=x0. Estapropiedadeslaan aloga,enelcontinuo,alaecuaci on

iaiij= ajqueseleccionaunasolacomponentedelvectora.1.10. DELTADEDIRAC 51N otesequesif(x) = 1sesiguequeel areabajoladeltaes1.Comounaaplicaci on delaec(1.46)volvamos alcasodelafunci ongaussiana:_f(x)(x x0)dx = lm_e2(xx0)2f(x) dx= lmf(x0)_e2(xx0)2dx= f(x0)Ahora,debidoaque(x x0)existes oloenelpuntox = x0,esciertoque_f(x)(x x0) dx =_x=x0+x=x0f(x)(x x0) dx_baf(x)(x x0) dx =_f(x0) sia x0 b0 six0> b o x0< a_x(x x0) dx =_0 six < x01 six x0Esta ultima integral se conoce como funci on paso, o escal on, o funci onde Heaviside,yseescribe:(x x0) =_x(x x0) dxtalqued(x x0)/dx = (x x0).Enformadeintegral deFourier, comoseexplicaenel captulo5, unarepre-sentaci on muy utileslasiguiente:(x x0) =12_eik(xx0)dk(x x0) =12i_eik(xx0)kdkPropiedades: Lasm asnotablessonlassiguientes:(x x0)tieneunidadesde(longitud)1sixeslongitud,yesadimen-sionalsixloes.52 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALES(x x0)

ax0

bFigura1.14:DeltadeDirac(x x0)1x0xFigura1.15:Funci onpaso_f(x)ddx(x x0) dx = _df(x)dx_x=x0_f(x)dndxn(x x0) dx = ()n_dnf(x)dxn_x=x0_f(x)[g(x)] dx=

Nk=0_f(x) [dg(x)/dx[1_x=xk, dondexksonlasNraces deg(x) = 0;exigimos g(xn) ,= 0.g(x)(x x0) = g(x0)(x x0)(ax) = (x)/[a[x(x) = 01.10. DELTADEDIRAC 53f(x)(x x0) = f(x0)(x x0)ddx(x x0) = ddx(x0x)xddx(x) = (x)x2 ddx(x) = 0xm+1 dmdxm(x) = 0(x x0) = (x x0) =real_(x x

)(x

x

) dx

= (x x

)_dmdxm(x x

)dndxn(x

x

) dx

=dm+ndxm+n(x x

)(x x0)describeelplanox = x0.(xx0)(yy0) describe la lnea que es intersecci on de los planos x = x0yy= y0.(x x0)(y y0)(z z0)describeunpuntoqueesintersecci on delostresplanosperpendiculares.(r r0) = (x x0)(y y0)(z z0)_f(r)(r r0) dV= f(r0)La ultima ecuaci on es v alida en coordenadas curvilneas, si se dene apropiadamente(r r

),queencoordenadascartesianas est adadaporlapen ultimaecuaci on.Encoordenadas esfericas ycilndricastenemos:(r r

) =1r2(r r

)(cos cos

)(

)(r r

) =1(

)(

)(z z

)con_0(r r

) dr = 1,_0(cos cos

) sen d = 1_20(

) d = 1,_0(

) d = 1Problema: DemuestrequeRf(r)(r r

) dV= (f(r))r=r

Problema: Eval ueZf(r)(r a) , dVZf(r)(r a) dV yZf(r)(r a) dVsif(r) = x2+ 2y2+ 3z2ya = 2i + 5j + 7k.54 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESLas propiedades de ladeltade Dirac puedenser probadas rigurosamentepormediodelaTeoradeDistribuciones. Puedentambienserprobadasformalmente,aunquenodemodoriguroso,mostrandoquelasintegralesdel productoconf(x)soniguales paracualquier f(x) sucientemente regular, comoloveremos enlosejerciciossiguientes.Ejercicios: Demostraci on detresidentidades:(a) Cony= [a[xpodemosescribir:_(ax)f(x) dx =_(y)f(y/[a[) dy/[a[=1[a[_(y)f(y/[a[) dy=f(a)[a[=_(x)f(x) dx,aspues:(ax) =1[a[(x)El valor absolutohasidointroducidoenel cambiodevariabley = [a[xyaque(ax) = (ax).(b) Para la siguiente demostraci on dividimos el intervalo (, ) en dos partes:(, 0)+(0, ), a continuaci on usamos el resultado del ejercicio (a), y la propiedad1.10. DELTADEDIRAC 55selectivadeladelta._(x2a2)f(x) dx =_[(x +a)(x a)]f(x) dx=_0[(x +a)(x a)]f(x) dx+_0[(x +a)(x a)]f(x) dx=_0(x +a)f(x)[x a[dx+_0(x a)f(x)[x +a[dx=12[a[f(a) +12[a[f(a)=12[a[_f(x)(x +a) dx=12[a[_f(x)(x a) dxportanto:(x2a2) =12[a[[(x +a) +(x a)](c) Enel ejercicioanterior x=ayx= asonlas dos races de x2a2=0. Unageneralizaci onincluira, enlaintegral_f(x)[g(x)] dx, todaslasracesx0, x1, x2 deg(x) =0. Podemos, portanto, escribirg(x) =(x x0)h0(x) =(x x1)h1(x)=.Aspues,enelcasoenqueelargumentodeladeltanoeslavariabledeintegraci on xsinounafunci ong(x)tendremos:_f(x)[g(x)] dx =_x0+x0f(x)[(x x0)h0(x)] dx+_x1+x1f(x)[(x x1)h1(x)] dx + =_x0+x0f(x)h0(x)(x x0) dx+_x1+x1f(x)h1(x)(x x1) dx=f(x0)h0(x0)+f(x1)h1(x1)+ =N

k=0f(xk)hk(xk)56 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESycomodg(xk)/dxk= hk(xk),entonces:_f(x)[g(x)] dx =N

k=0_f(x)_dg(x)dx_1_x=xkUnaaplicaci onLa delta de Dirac puede utilizarse para describir distribuciones de carga electrica omasa. Armamos que: toda distribuci on de carga, ya sea puntual, lineal o supercial,esequivalenteaunadistribuci onvolumetrica.Lo probaremos en casos particulares. Para una carga puntual localizada en r0: q =_(r) dV , y puesto que_(r r0) dV= 1sesigue:q = q 1 = q_(r r0) dV=_(r) dV,dedonde:(r) = q(r r0) Unaporci ondeunalneadecarga(z),paralelaalejez,yquepasaporelpunto(x0, y0),tieneunacarga:q =_(r) dV=_(z) dz=_(z) dz_(x x0) dx_(y y0) dy,porlocual:(r) = (z)(x x0)(y y0) Paraunaplacaplanacolocadaenel planoz=z0, condensidadsupercialdecarga(x, y),esciertoque:(r) = (x, y)(z z0) ParaunanillodecargaderadioRydensidadlineal (), localizadoenelplanoz= 0:(r) = ()( R)(z) Para undiscoderadioRydensidadsupercial(, ),colocadoenz= 0:(r) = (, )(z) Para uncascar on esfericoderadioRydensidadsupercial(, ):(r) = (, )(r R)1.11.ANGULOSOLIDO 57Nota: DistribucionesDenotemos por (xn) una funci on de n variables continuas x1, , xn, con derivadasde todos los ordenes respecto a estas variables. Por denici on, una distribuci on T[]esunafuncionallinealycontinuadelasfunciones.LinealidadsignicaqueT[11 +22] = T[11] +T[22]Continuidadsignica:paracadasecuencia1, , n, tal quelmii=secumplequelmiT[i] = T[]M asdetallesenMessiah,pag.462.1.11.Angulos olidoAnte todo introduzcamos la noci on de anguloplano diferencial d, denido comoun vector perpendicular al plano en el que se sit uan el radio vector r y el diferencialdelneadr. Deladenici ondeelementodiferencialdesupercie:dS=12rdr=k12r(r d) =k12r2d=12r2d:d=r drrDeacuerdoalasecci on1.2.3el anguloplanoesunvectoraxial.Sesigue:d r = dr r(rdr)r2, dedonde:dr = d r +r(rdr)r2Enelcasoparticularenquedr r(correspondienteaunatrayectoriacircular)tendremos:dr = d rEl angulod= [d[existeenelplano.En el espacio, denimos el angulo s olido diferencial d, asociado al area diferencialdS,enlaforma:d =rdSr2=dSrr2donde dSres la proyecci on de dS a lo largo de r, de modo que el elemento diferencialdSr es perpendicular a r. El angulo s olido es una cantidad pseudoescalar (ver secci on58 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESdrdrFigura1.16:Anguloplano1.2.3).Recuerdesequeelproductoescalardeunvectorpolar(r)yunvectoraxial(dS)esunpseudoescalar.Encoordenadasesfericas:d =dSrr2=sen d d (1.47)0.5cmSiel angulo s olidoest aasociado aunasuperciecerradapodemosdistinguirdoscasos:1) El punto O est a en el interior. Realizando la integraci on sobre toda la supercie: =_=2=0_=2=0sen dd = 4El resultado, = 4, es independiente de la forma de la supercie cerrada. Decimosqueel espaciocompletosubtiendeun angulode4 estereoradianes, as comoelplanosubtiendeun angulode2 radianes.2)SielpuntoOest aenelexterior,lasuperciecerradapuedesepararseendospartes: una para la cual en cada punto r n < 0 y otra para la cual r n > 0. Resultaque puedesepararse en parejas deelementos como elasociado adS1ya dS2quesubtiendenelmismo angulos olidoperoconvaloresopuestosder n.Elresultadoes: =_dSrr2=_S1dS1 rr2=_S2dS2 rr2= _S1dS1rr2+_S2dS2rr

2= 01.11.ANGULOSOLIDO 59rndSFigura1.17:Angulos olidoAspues: =_dSrr2=_4 siOest adentrodeS.0 siOest afueradeS.En forma m as general, si el punto O, desde el cual se traza el angulo s olido, est a enr

,esdecir,sinocoincideconelorigendecoordenadasO: =_dS(r r

)[r r

[3= 4_(r r

) dV (1.48)donde(r r

) = 0sir

est afueradelvolumen.Problema: Cu alesel angulos olidoquesubtiendela caravisible delaluna,vistadesdelatierra,sisuanchoangulares0,5grados?Demostrar que el angulo s olido subtendido por el cono de aberturaencoordenadasesfericases = 2(1 cos ).Hallarel angulos olido, medidodesdeel orgencoordenado, quesubtiendeel rect angulosituadoenel planoy=bylimitadoporlaslneasx = a,x = a,z= c,z= c.60 1. COORDENADASCURVILINEASORTOGONALESOdS2dS1Figura1.18:Angulos olidomedidodesdeelexteriordeunasuperciecerradarr

00

rr/dFigura1.19:Geometra deun angulos olido1.12. CONSTRUCCIONDESISTEMASCOORDENADOS 61Unaaplicaci onLo anterior puedeutilizarse para la demostraci on deun teorema bastante utilenteora decampos.ConsideremosuncampovectorialB(r) = _1[r r

[_ = r r

[r r

[3Reemplazandoenelteoremadeladivergenciayseg un(1.48):_ BdV =_2_1[r r

[_dV=_B dS = _(r r

)dS[r r

[3= 4_(r r

) dVEnconsecuencia:2_1[r r

[_ = 4(r r

) (1.49)Este resultado es la ecuaci on de Poisson para el potencial generado por una partculapuntual con carga (o masa) demagnitud 1. Como esbien sabido, el potenciales enestecaso1/[r r

[.Problema: Demuestrequeelpotencial(r) =Zf(r

)|r r

|dV

satisfacelaecuaci ondePoisson:2(r) = 4f(r)1.12. Construcci ondesistemascoordenadosParaconstruirunsistemadecoordenadasenunespacioeuclidianobastacon-tarconunafamiliadecurvasplanas,denidaenformatalqueacadavalordeunpar ametro le corresponda una curva. La teora vista en la secci on 1.4.1 permite con-struir una familia de curvas ortogonales a la familia original. De este modo se obtieneunsistemadecoordenadascurvilneasortogonalesenelplano.Porrotaci onoadi-ci ondelejezpuedengenerarsesistemascoordenadosen3-D.As,lascoordenadascilndricasyesfericaspuedenserobtenidasdelascoordenadaspolaresincluyendoelejez orotandoalre