lecciÓn 4 mecanismos de dispersiÓn de los portadores - tiempo de relajaciÓn y probabilidad de...

LECCIÓN 4LECCIÓN 4

MECANISMOS DE DISPERSIÓN MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE LOS PORTADORESDE LOS PORTADORES

- TIEMPO DE RELAJACIÓN Y PROBABILIDAD DE DISPERSIÓNTIEMPO DE RELAJACIÓN Y PROBABILIDAD DE DISPERSIÓN

- DISPERSIÓN POR IMPUREZAS IONIZADAS

- DISPERSIÓN DE LOS PORTADORES POR LOS FONONES ACÚSTICOS

Probabilidad de dispersión 3D

kx

ky

kz

k

'k 'kkW

'kkW

)kE()kE(H2

=W kkkk

2

V(r) origina transiciones entre los estados estacionarios del sistema con una probabilidad por unidad de tiempo dada por la regla de oro de Fermi:

)r()rV()r(=H kkkk

']'1[']1[1 3

' kd)kf()kf(W)kf()kf(W4

=dtdf

kkkk3col

funciones de Bloch

Ecuación de balance detallado:

kd)kf()kf(W4

=dtdf

kk3col

3]'[1

Las transiciones originan una variación de f(k). Para colisiones elásticas se cumple Wkk' = Wk'k y, por tanto,

)k(

)k(f=

)k(

)k(f)kf(=

tf 10

col

k)]dkf()k[f(W)k(f4

1=

)k(1

kk1

3

3

Atendiendo a la aproximación del tiempo de relajación que vimos en el tema anterior:

Probabilidad de dispersión

Lo que nos permite calcular el tiempo de relajación en función de la probabilidad de dispersión (a su vez calculada de la Regla de Oro de Fermi):

kd

)k(f

)k(f1W

4

1=kd

)k(f

)k(f)k(fW

4

1=

)k(1

1

1kk3

1

11kk3

33

donde A representaba un campo externo. Suponiendo colisiones elásticas, que A0, y un tiempo de relajación que sólo dependa de la energía,

Avf

=kf k0

1

)(

cos'cos

.

.

.

.1

4

11 33

Fv

Fv

kdFv

FvW

k

k

k

kkk

cossinsintancos

'cos

coscossinsinsin'cos

kdW kk

33

cos14

11

El factor angular en la expresión del tiempo de relajación confirma el hecho intuitivo de que grandes ángulos de dispersión influirían más en las propiedades de transporte que los ángulos pequeños.

Sistema de referencia y deducción en: J. Singh, Electronic and optoelectronic properties of semiconductor structures, Cambridge, 2003.


elegiendo el eje k'z a lo largo del vector k


'sin'cos2cos 23 dkd]k[1W4

1=k]d[1W

4

1=

(k)1

kk3kkkk3

d)sen)(1(2vN=(k)Nv=

(k)1

0kk )(cos

Atendiendo a la definición de la sección eficaz de colisión:

'dkWkNv4

1=)( kk

2

0k3

'

'

)]dEkE()k[E(|H|2

kkN4

*m=

=dEWkkN4

*m=)(

2kk

033

2

kk0

33

2

|H|2

*m=)( 2

kk42

2

*;

*''

';*2'

'222

mk

vm

dkkdE

mk

E k

kk

Dispersión por impurezas ionizadas r4

Ze=V(r)

potencial culombiano

Este tipo de potencial no se corresponde con la situación típica, en la que existen, además, portadores libres en el semiconductor. El potencial culombiano de la impureza cargada modifica la posición de las bandas y, por tanto, la distribución de los portadores de carga.

El potencial efectivo será, por tanto, el asociado a la carga efectiva, solución de una ecuación de Poisson en coordenadas esféricas

kTeV(r)

+1nn(r)

enkT

EeV(r)EN=n(r)

0

kTeV(r)

0FC

C exp

)( kTeV

Si definimos la longitud de Debye como LD=(kT/e2n0)1/2, la ecuación diferencial queda:

kT

V(r)nenn(r)

eV(r)r

dr

d

r 0

2

02

2

2

2

1

2

22

2

2

DL

V(r)rV(r)r

dr

d

Dispersión por impurezas ionizadas

El potencial asociado a la impureza queda apantallado, tanto más cuanto menor es la longitud de difusión LD=(e2n0/kT)1/2.

4D

r

LZeV(r)= e

r

dD

d

d

dd

Ne

kTL

kTreV

NkT

reVnne

Nn

NN

2

0

0

)()(

(Z contiene el signo de la impureza)


kk'

k-k'

los elementos de matriz de dicho potencial

0

cos

0

/2

0

cos

0

2/2

3).(/2

3).(

12

4sin2

14

14

)(

rkkiLrrkkiLr

rkkiLrrkkikk

erkki

rdreZe

dedrrer

Ze

rdeer

ZerdereVH

DD

D

dr

kk

rkke

Ze DLr

sin2

2 0

/2

22

2 1

Dkk

Lkk

ZeH

222

2

222

2

22

sin

1

42

sin4

1

DD

kkkLk

Ze

Lk

ZeH

k

kk

22sin

(hay que recordar que los choques son elásticos y, en módulo, k = k’)


Para LD grande, esta expresión se reduce a la fórmula de Rutherford, que daba una sección eficaz de colisión de partículas , ()=cte [sin ()]-4.

Finalmente, podemos calcular el tiempo de relajación :

)2

sin(

sincossincos

22D

20

i442

422

0

ii

)kL(2+

d)(12vN

k32eZ*m

=d))(1(2vN=(E)vN=(E)

1

kL2=

+1)+(1

1E

N

m

Ze=(E)

D

2

22

3/2

ii

ln

*21622

2

222

2

22

sin

1

4

D

kkkLk

ZeH

|H|2

*m=)( 2

kk42

2

222

8

u

duu


El tiempo de relajación para la dispersión por impurezas ionizadas es inversamente proporcional a Ni , y a E3/2 (en rangos estrechos de T), ya que el término del denominador varía suavemente con la energía. Ello indica que este mecanismo será mas eficaz para menores energías de los portadores, por lo que su contribución será mas importante a bajas temperaturas. En efecto, la movilidad de los portadores, en el caso no degenerado será:

2

3

2

3

)(kTN

1Cte>=E<

N

1Cte=

iii

02

22

ne

kTLD

*m><e

= ii

GaAsVALORES EXPERIMENTALES

VALORES CALCULADOS

Dispersión por fonones acústicos Una forma de interacción entre portadores de carga y la red cristalina tiene su origen en el hecho de que la propagación de cualquier fonón (vibraciones) a través de la red implica el desplazamiento de los átomos y, por tanto una variación de las distancias entre ellos, lo que conduce necesariamente a una variación de la energía de las bandas. A este tipo de interacción se le llama interacción por potencial de deformación, y es, obviamente de corto alcance, ya que solo actúa en la zona por la que se propaga el fonón. En el caso de propagación de fonones polares, este tipo de interacción suele ser poco significativo respecto a la interacción dominante (Fröhlich = las vibraciones dan lugar a ondas de polarización y, por tanto, a campos eléctricos de largo alcance). Para los fonones ópticos no polares y para los fonones acústicos, el potencial de deformación es la única forma posible de interacción, salvo en los cristales piezoeléctricos, en los que los fonones acústicos pueden crear también campos eléctricos.

Cuando se propaga una onda acústica en un cristal, la oscilación de los átomos vendría dada por

)()( trqieA=ru k k

Ello implica zonas del cristal bajo compresión y zonas bajo dilatación, o, lo que es lo mismo, zonas donde la banda prohibida será mayor o menor.

aa

DEaa

DE VVCC

Dispersión por fonones acústicos

Si consideramos únicamente los fonones de longitud de onda larga, para los que la frecuencia viene dada por = cs q, donde cs es la velocidad del sonido en el sólido. Una onda acústica longitudinal produce, al propagarse, una serie de compresiones y expansiones del cristal, que conducen a variaciones en la energía de las bandas. El cambio de energía es proporcional a la presión en cada punto y, por tanto, a la divergencia del desplazamiento. A la constante de proporcionalidad se le llama “potencial de deformación”. La variación de la energía de los electrones, y, por tanto, el hamiltoniano asociado a la interacción electrón-fonón acústico longitudinal será:

eAqiD=uD=rV t)rqi(acacac

)(

)qkk()Aq(iD=rdeAqiD>=|V|=<H acr)qkki(

ackackkk

3

)()( trqieA=ru

El elemento de matriz sólo es distinto de cero cuando y valdrá Hkk' = i Dacq.A.

La presencia de la delta significa que en la interacción electrón-fonón se conserva el cuasi-impulso. Para pasar a una descripción completamente cuántica hemos de expresar la amplitud de vibración en función del número de fonones excitados:

M2n

=A n=AM21 22

qkk


)()( trqieA=ru

M

2n=A n=AM

21 22

FONONES


)()( trqieA=ru

M

2n=A n=AM

21 22


El elemento de matriz para la interacción electrón-fonón tendrá pues la siguiente forma:

Así, la probabilidad de transición será la misma para ambos procesos (absorción y emisión de fonones). Por otra parte, al ser la energía de los fonones acústicos mucho menor que la de los electrones, el proceso puede considerarse como elástico y la sección eficaz diferencial resulta ser independiente de la dirección y energía de los electrones:

TCCacacqkk NV

nqDAqD=H

221

21

)qkk(AqiD=H ackk

TC

nA=2MN

TC

( +1)nA=2MN

M es la masa de la celda unidad, que puede ponerse en función de su volumen y de la densidad del cristal, M = Vc, y NTC es el número total de celdas.

Absorción

Emisión

CUÁNTICAMENTE

Como para los fonones acústicos la energía es muy pequeña, h << kT y el número de ocupación se reduce a n = kT /h: TCCs

ac

TCCacqkk NV

kTc

D=

NV

kTqD=H 22 2

2*

)(2

42

2 kTc

D

N

m=

s

ac

|H|2

*m=)( 2

kk42

2


La dependencia del tiempo de relajación respecto a la temperatura y a la energía es de la forma = cte T-1 E-1/2, lo que indica que la dispersión de electrones por fonones acústicos es mas eficaz cuanto mayor es la temperatura y energía de los electrones. Al promediar en energía, obtenemos una movilidad tanto menor cuanto mayor es T en la proporción T-3/2.

2

3

2

1

cteT>=E<T

1cte=

*m

><e= ac

ac

2*

)(2

42

2 kTc

D

N

m=

s

ac

d)sen(12Nv=(k)Nv=

(k)1

0

)(cos

212

4

2/3*)2(4

)(1

EkT

cDm

Nv=E s

ac


(E)1

=(E)1

ii

Esta es la llamada regla de Mathiessen, que, obviamente, presupone que cada proceso de dispersión es independiente, y no se ve afectado por la presencia de los otros. A bajas temperaturas, la energía de los electrones es pequeña y la movilidad se verá limitada por las impurezas ionizadas. A altas temperaturas, la energía de los electrones es grande y el tiempo de relajación por impurezas se hace muy largo, por lo que es la dispersión por fonones la que predomina.

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