lec13 random variables
DESCRIPTION
lecture notesTRANSCRIPT
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 1
المتغيرات العشوائية و التوزيعات االحتمالية . 7
ومصطلحاتتعاريف▪المتغير العشوائي المتصل والمنفصل ▪التوقع والتباين للمتغيرات العشوائية▪دالة الكتلة االحتمالية ودالة الكثافة االحتمالية ▪توزيع ذو الحدين وخواصه ▪التوزيع الطبيعي وخواصه ▪
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 2
مقدمة 1.7 وصفية الحوادث ▪
T أو H: حادثة رمي قطعة النقود •ناجح أو راسب: حادثة نتيجة الطالب •مشمس أو غائم أو ممطر: حادثة حالة الجو •صعوبة التحليل رياضيا : وصف ▪عناصر قيم حقيقية عناصر الحادثة ▪
صفيةH , T: النقود P , F: الطالب
الجو متغير عشوائي
:S , C , R
قيم حقيقية 0 , 1 , 2.5 , −1 , . . . .
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 3
المتغير العشوائي 2.7 :تعريف
هو تمثيل S المعرف على فضاء العينة Xالمتغير العشوائي بحيث يعطي المتغير Sلعناصر فراغ العينة ) آمي (حقيقي
.S قيمة وحيدة لكل عنصر في Xالعشوائي
: أنواع المتغيرات Discrete Random Variables) متقطعة(متغيرات عشوائية منفصلة 1.
في تجربة رمي قطعة نقود Hعدد مرات ظهور ▪عدد الزبائن الذين يدخلون مرآز تسويق في الساعة ▪
Continuous Random Variables) مستمرة(متغيرات عشوائية متصلة 2.زمن خدمة العميل في بنك ▪وزن المولود الجديد ▪
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 4
المتغير العشوائي 2.7 :1مثال
على أنه عدد Xوعرف المتغير العشوائي . رمية قطعة نقود متزنة مرة واحد .Hمرات ظهور
S = {H,T}فراغ العينة X = عدد مرات ظهورH
X ∈ { 0 , 1 }
فراغ العينةS
H •
T •
األعداد الحقيقية R0-1 1
X(H)
X(T)
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 5
المتغير العشوائي 2.7 :2مثال
على أنه Xوعرف المتغير العشوائي . رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات .Hعدد مرات ظهور
X = عدد مرات ظهورH
X(HHH) = 3X(HHT, HTH, THH) = 2X(HTT, THT, TTH) = 1
X(TTT) = 0
X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }فراغ العينة
Sاألعداد الحقيقية
R0-1 1
HHH •HHT •HTH •HTT •THH •THT •TTH •TTT •
2 3
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 6
المتغير العشوائي 2.7 :3مثال
وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة . سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي
. عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث = Xالمتغير العشوائي X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
. عدد الكرات الحمراء في السحبات الثالث = Yالمتغير العشوائي Y ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
. آرات متتالية بشكل عشوائي 4سحبت . عدد الكرات البيضاء في السحبات األربع = Xالمتغير العشوائي
X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
. سحبت آرتين متتاليتين بشكل عشوائي . عدد الكرات البيضاء في السحبتين = Xالمتغير العشوائي
X ∈ { 0 , 1 , 2 }
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 7
المتغير العشوائي 2.7 :حساب االحتماالت للمتغير العشوائي
x = P(X = x) القيمة Xاحتمال أن يأخذ المتغير العشوائي
x التي لها صورة Sمجموع احتماالت عناصر P(X = x) = ∑ P(w: X(w) = x)
w1 , w2 , w3 عناصر في فضاء العينة S : P(w1) , P(w2) , P(w3) احتماالتها
w1صور , w2 , w3 بالمتغير العشوائيX هي : X(w1 , w2 , w3) = x
= P(w1) + P(w2) + P(w3) P( X = x ) فإن
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 8
المتغير العشوائي 2.7 :1مثال
على أنه Xوعرف المتغير العشوائي . رمية قطعة نقود متزنة مرة واحدة Hعدد مرات ظهور = H. Xعدد مرات ظهور
X ∈ { 0 , 1}
X(H) = 1⇒ P(X=1) = P(H) = 1/2
X(T) = 0⇒ P(X=0) = P(T) = 1/2
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 9
المتغير العشوائي 2.7 :2مثال
Hعدد مرات ظهور = X. رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
X(HHH) = 3⇒ P(X=3) = P(HHH) = 1/8
X(HHT, HTH, THH) = 2 ⇒ P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = 3/8
X(HTT, THT, TTH) = 1⇒ P(X=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = 3/8
X(TTT) = 0⇒ P(X=0) = P(TTT) = 1/8
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 10
المتغير العشوائي 2.7 :3مثال
وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة عدد الكرات = X المتغير العشوائي .سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي
. البيضاء في السحبات الثالث X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
X(WWW) = 3⇒ P(X=3) = P(WWW) = 6/336
X(WWR, WRW, RWW) = 2 ⇒ P(X=2) = P(WWR) + P(WRW) + P(RWW) = 90/336
X(WRR, RWR, RRW) = 1⇒ P(X=1) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336
X(RRR) = 0⇒ P(X=0) = P(RRR) = 60/336
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 11
المتغير العشوائي 2.7 :3مثال
P(X=3) = P(WWW) = 6/336
P(X=2) = P(WWR) + P(WRW) + P(RWW) = 90/336
P(X=1) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336
P(X=0) = P(RRR) = 60/336
(3)(2)(1)=
(8)(7)(6)
(3)(2)(5)=
(8)(7)(6)(5)(3)(2)
+(8)(7)(6)
(3)(5)(2)+
(8)(7)(6)
(3)(5)(4)=
(8)(7)(6)(5)(4)(3)
+(8)(7)(6)
(5)(3)(4)+
(8)(7)(6)
(3)(2)(1)=
(8)(7)(6)
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 12
المتغير العشوائي 2.7 :العمليات على المتغير العشوائي
:2مثال Hعدد مرات ظهور = X. رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات
X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } P(X=3) = 1/8 , P(X=2) = 3/8 , P(X=1) = 3/8 , P(X=0) = 1/8
P(X > 2) = P(X=3) = 1/8P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) = 3/8 + 1/8 = 4/8 P(X ≠ 1) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=3) = 1/8 + 3/8 + 1/8 = 5/8P(X ≤ 6) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1P(0 < X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = 3/8 + 3/8 = 6/8P( X < 0) = 0P( X ≤ 0) = P(X=0) = 1/8
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 13
المتغير العشوائي 2.7 آرات 3سحبت . آرات حمراء متماثلة 5آرات بيضاء متماثلة و 3 :3مثال ∋ X. عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث = Xمتتالية { 0 , 1 , 2 , 3 }
P(X=1) =180/336,P(X=0) = 60/336P(X=2) = 90/336 , P(X=3) = 6/336
.احتمال ظهور آرة بيضاء على األقل . 1P(X ≥ 1) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = (180+90+6)/336 = 276/336
.احتمال ظهور آرة بيضاء على األآثر . 2P(X ≤ 1) = P(X=0)+P(X=1) = (60+180)/336 = 240/336
.احتمال ظهور آرة واحدة حمراء فقط . 3P( آرة حمراء) = P( آرتين بيضاء) = P(X = 2) = 90/336
احتمال ظهور آرة حمراء على األقل . 4P( 1≤الكرات الحمراء)= P(الكرات الحمراء = 1)+P( 2=الكرات الحمراء) + P( الكرات الحمراء = 3)
= P(X=2)+(X=1)+P(X=0) = (60+180+90)/336 = 330/336
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 14
) المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7تعريف
القيم الممكنة للمتغير متقطعة أو قابلة للعد
: أمثلة X ∈ قيم صحيحة موجبه منتهية { 4 , 3 , 2 , 1 , 0 }Y ∈ { −1, −2 , 0 , 1 , 2 , 3 } قيم صحيحة منتهية Z ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 , . . . . } غيرمنتهيةقيم صحيحة موجبه M ∈ { −1.2 , −0.31 , 2 , 3.5 , 4.31 } قيم حقيقية منتهية T ∈ { 0 , 0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 2.5 , . . . . } غيرمنتهيةقيم حقيقية
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 15
)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7:رمية قطعة نقود ثالث مرات أوجد قيم المتغيرات التالية : مثال
Hعدد مرات ظهور = Xالمتغير العشوائي Hنصف عدد مرات ظهور = Yالمتغير العشوائي Hالجذر التربيعي لعدد مرات ظهور = Zالمتغير العشوائي T مطروحا منه عدد مرات ظهور Hعدد مرات ظهور = Tالمتغير العشوائي
Sفراغ العينة X(w) Y(w) Z(w) T(w)HHH 3 1.5 1.732 3HHT 2 1 1.414 1HTH 2 1 1.414 1HTT 1 0.5 1 −1THH 2 1 1.414 1THT 1 0.5 1 −1TTH 1 0.5 1 −1TTT 0 0 0 −3
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 16
)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7:رمية قطعة نقود ثالث مرات أوجد قيم المتغيرات التالية : مثال
Hعدد مرات ظهور = Xالمتغير العشوائي Hنصف عدد مرات ظهور = Yالمتغير العشوائي Hالجذر التربيعي لعدد مرات ظهور = Zالمتغير العشوائي T مطروحا منه عدد مرات ظهور Hعدد مرات ظهور = Tالمتغير العشوائي
X ∈ {0 , 1 , 2 , 3 }
Y ∈ {0 , 0.5 , 1 , 1.5 }
Z ∈ {0 , 1 , 1.414 , 1.732 }
T ∈ {−3, −1 , 1 , 3 }
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 17
)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات متتالية أوجد احتماالت : مثال
Hعدد مرات ظهور = Xنقاط العينة و قيم نقاط العينة للمتغير العشوائي P(H) = 0.5 ⇐قطعة النقود متزنة
× P(HHH) = P(H)×P(H) ⇐الرميات متتالية ومستقلة P(H) = 0.53
Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 P(H)×P(H)×P(H) = (0.5)3 = 0.125HHT 2 P(H)×P(H)×P(T) = (0.5)3 = 0.125HTH 2 P(H)×P(T)×P(H) = (0.5)3 = 0.125HTT 1 P(H)×P(T)×P(T) = (0.5)3 = 0.125THH 2 P(T)×P(H)×P(H) = (0.5)3 = 0.125THT 1 P(T)×P(H)×P(T) = (0.5)3 = 0.125TTH 1 P(T)×P(T)×P(H) = (0.5)3 = 0.125TTT 0 P(T)×P(T)×P(T) = (0.5)3 = 0.125
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 18
)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال أوجد احتماالت نقاط العينة و قيم نقاط العينة للمتغير العشوائي 0.6
X = عدد مرات ظهورH و الرميات متتالية ومستقلةP(H) = 0.6 ⇐قطعة النقود متزنة
Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 P(H)×P(H)×P(H) = (0.6)3 = 0.216HHT 2 P(H)×P(H)×P(T) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTH 2 P(H)×P(T)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTT 1 P(H)×P(T)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096THH 2 P(T)×P(H)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144THT 1 P(T)×P(H)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTH 1 P(T)×P(T)×P(H) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTT 0 P(T)×P(T)×P(T) = (0.4)3 = 0.064
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 19
)المنفصل( المتغير العشوائي المتقطع 3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال أوجد احتماالت نقاط العينة و قيم نقاط العينة للمتغير العشوائي 0.6
Y = مربع عدد مرات ظهورH و الرميات متتالية ومستقلةP(H) = 0.6 ⇐قطعة النقود متزنة
Sفراغ العينة Y(w) P(w)HHH 9 P(H)×P(H)×P(H) = (0.6)3 = 0.216HHT 4 P(H)×P(H)×P(T) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTH 4 P(H)×P(T)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144HTT 1 P(H)×P(T)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096THH 4 P(T)×P(H)×P(H) = (0.6)2(0.4)1 = 0.144THT 1 P(T)×P(H)×P(T) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTH 1 P(T)×P(T)×P(H) = (0.6)1(0.4)2 = 0.096TTT 0 P(T)×P(T)×P(T) = (0.4)3 = 0.064
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 20
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7تعريف
دالة االحتماالت المرافقة لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي المتقطع
fX(x) = P(X = x ), if x∈X(S)0, if x∉X(S)
⎛⎨⎝
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 21
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات متتالية أوجد دالة الكتلة : مثال
Hعدد مرات ظهور = X االحتمالية للمتغير العشوائي
Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 0.125HHT 2 0.125HTH 2 0.125HTT 1 0.125THH 2 0.125THT 1 0.125TTH 1 0.125TTT 0 0.125
X X(w) fx(X)0 TTT 0.1251 HTT , THT , TTH 0.3752 HHT , HTH , THH 0.3753 HHH 0.125
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 22
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال عدد مرات = X أوجد دالة الكتلة االحتمالية للمتغير العشوائي 0.6
Hظهور
Sفراغ العينة X(w) P(w)HHH 3 0.216HHT 2 0.144HTH 2 0.144HTT 1 0.096THH 2 0.144THT 1 0.096TTH 1 0.096TTT 0 0.064
X X(w) fx(X)0 TTT 0.0641 HTT , THT , TTH 0.2882 HHT , HTH , THH 0.4323 HHH 0.216
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 23
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7fx(x)خواص
0 ≤ fX(x) ≤ 1
∑ fX(x) = 1
P(X∈A) = ∑ fX(x) = ∑ P(X = x)
∀x
x∈A x∈A
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 24
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7 = H ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنة رمية قطعة نقود : مثال عدد مرات = X أوجد دالة الكتلة االحتمالية للمتغير العشوائي 0.6
Hظهور
X X(w) fx(X)0 TTT 0.2161 HTT , THT , TTH 0.2882 HHT , HTH , THH 0.4323 HHH 0.064
∑ fX(x) = 1
≤ 1≥ 0
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 25
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7:مثال
وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة المتغير العشوائي .سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي
X = عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث .X ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }
: Xدالة الكتلة االحتمالية لـ fX(3)=P(X=3) = P(WWW) = 6/336fX(2)=P(X=2) = P(WWR) + P(WRW) + P(RWW) = 90/336fX(1) = P(X=1) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336fX(0) = P(X=0) = P(RRR) = 60/336
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 26
دالة الكتلة االحتمالية 1.3.7:مثال
وعاء يحتوي على ثالث آرات بيضاء متماثلة وخمس آرات حمراء متماثلة المتغير العشوائي .سحبت ثالث آرات متتالية بشكل عشوائي
Y = ضعف عدد الكرات البيضاء في السحبات الثالث .Y ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 }
: Yدالة الكتلة االحتمالية لـ fY(6) = P(Y=6) = P(WWW) = 6/336fY(4) = P(Y=4) = P(WWR) + P(WRW)+ P(RWW) = 90/336fY(2) = P(Y=2) = P(WRR) + P(RWR) + P(RRW) = 180/336fY(0) = P(Y=0) = P(RRR) = 60/336
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 27
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7X متغير عشوائي متقطع
X ∈{ x1, x2 , x3 , . . . }fX(x) هي Xدالة الكتلة االحتمالية لـ
X = E[X] = µXلـ ) المتوسط ( القيمة المتوقعة
µX = E[X] = ∑ x.fX(x) = ∑x.P(X=x)
= x1fX(x1) + x2fX(x2) + x3fX(x3) + . . .
∀x∈X(S) ∀x∈X(S)
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 28
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7
الوسط الحسابي المرجح
القيمة المتوقعة
∑ xi . wi∀i
µX = E[X] = ∑ x . fX(x)∀x∈X(S)
القيم األوزان
Xw =
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 29
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7رمية قطعة نقود متزنة ثالث مرات متتالية أوجد القيمة المتوقعة : مثال
Hعدد مرات ظهور = X للمتغير العشوائي
µX = E[X] = 0.fX(0) + 1.fX(1) + 2.fX(2) + 3.fX(3) = 0.(0.125) + 1.(0.325) + 2.(0.325) + 3.(0.125)= 0 + 0.375 + 0.65 + 0.375 = 1.50
X fx(X)0 0.1251 0.3752 0.3753 0.125
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 30
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
Hعدد مرات ظهور = X للمتغير العشوائيالمتوقةأوجد القيمة
µX = E[X] = 0.fX(0) + 1.fX(1) + 2.fX(2) + 3.fX(3) = 0 + 0.288 + 0.864 + 0.648 = 1.80
X fx(X) x . fx(X)0 0.064
0.2880.4320.216
0.001 0.2882 0.8643 0.648
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 31
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7:خواص التوقع
المتغير العشوائي بهاالتوقع يتأثر جبريا بنفس الطريقة التي يتأثر
ثوابتb وa متغير عشوائي متقطع و Xإذا آان E[a] = a
E[ X±b ] = E[X] ± b E[ aX ] = a E[X]
E[ aX±b ] = aE[X] ± b
(.)g فإن القيمة المتوقعة لـ g(X)ألي دالة حقيقية في المتغير العشوائي E[g(X)] = ∑g(x).fX(x)
∀x∈X(S)
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 32
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
Hنصف عدد مرات ظهور = Y أوجد القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي
H ⇐ Y = 0.5 Xعدد مرات ظهور = Xعلما بأن µX = E[X] = 0.fX(0) + 1.fX(1) + 2.fX(2) + 3.fX(3)
= 0 + 0.288 + 0.864 + 0.648 = 1.80⇒ µY = E[Y] = E[0.5 X] = 0.5 E[X] = 0.5(1.8) = 0.9
X fx(X) Y0.064 0
0.51
1.5
0.2880.4320.216
y . fY(y)0 0.001 0.1442 0.4323 0.324
E[Y] = 0 + 0.144 + 0.432 + 0.324 = 0.9
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 33
للمتغير العشوائي المتقطع ) المتوسط ( التوقع 2.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
Hمكعب عدد مرات ظهور = Zأوجد القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي
H ⇐ Y = X3عدد مرات ظهور = Xعلما بأن
⇒ µZ = E[Z] = E[X3] = ∑x3 fX(x)
X fx(X) X3
0.064 01827
0.2880.4320.216
x3 . fX(x)0 0.001 0.2882 3.4563 5.832
E[Z] = 0 + 0.288 + 3.456 + 5.832 = 12.168
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 34
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7X متغير عشوائي متقطع
X ∈{ x1, x2 , x3 , . . . }fX(x) هي Xدالة الكتلة االحتمالية لـ
X = Var[X] = σ2التباين لـ X
σ2X = Var[X] = E[(X− µX)2]
= ∑ (X− µX)2 P(X=x) ∀x∈X(S)
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 35
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7نتيجة
المعياري اإلنحراف
σ2X = Var[X] = E[(X− µX)2]
= E[X2] − (µX)2
σX = SD [X] = ( Var[X] )½
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 36
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
Hعدد مرات ظهور = X أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي
µX = E[X] = 1.80σ2
X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72
X fx(X) x . fx(x) (x − µx)2 (x − µx)2 fx(x)0.00 3.24
0.640.041.44
0.2880.207360.184320.017280.864
0.648 0.31104
0.0640.2880.4320.216
0123
σ2X = Var[X] = E[(X− µX)2]
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 37
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
Hعدد مرات ظهور = X أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي
µX = E[X] = 1.80σ2
X = Var[X] = E[X2] − (µX)2 = 3.96 − 3.24 = 0.72σX = SD[X] = ( Var[X] )½ = ( 0.72 ) ½ = 0.8485
X fx(X) x . fx(x) x2 fx(x)0.00 0
0.2881.7281.944
0.2880.8640.648
0.0640.2880.4320.216
0123
σ2X = E[X2] − (µX)2
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 38
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7:خواص التباين
ال يتأثر بجمع أو طرح ثابت من المتغير العشوائي يتأثر بالضرب بمربع الثابت عند ضرب المتغير العشوائي في ثابت
ثوابتb وa متغير عشوائي متقطع و Xإذا آان Var[a] = 0
Var[ X ± b ] = Var[X]Var[ aX ] = a2 Var[X]
Var[ aX±b ] = a2 Var[X]
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 39
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
H +2عدد مرات ظهور = Y أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي Hعدد مرات ظهور = Xإذا آان
فإنµX = E[X] = 1.80σ2
X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72
Y = X+2Var[Y] = Var[X+2] = 0.72
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 40
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
H أضعاف عدد مرات ظهور Y = 3 أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي Hعدد مرات ظهور = Xإذا آان
فإنµX = E[X] = 1.80σ2
X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72
Y = 3XVar[Y] = Var[3X] = 32 Var[X] = 9(0.72) = 6.48
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 41
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7 H = 0.6 ثالث مرات متتالية باحتمال غيرمتزنةرمية قطعة نقود : مثال
أوجد القيمة التباين للمتغير العشوائي Y = 3 أضعاف عدد مرات ظهور H+100
Hعدد مرات ظهور = Xإذا آان فإن
µX = E[X] = 1.80σ2
X = Var[X] = ∑ (X− µX)2 P(X=x) = 0.72
Y = 3X + 100Var[Y] = Var[3X+100] = (32) Var[X] = 9 (0.72) = 6.48
STAT101-Dr.Khalid Al-Nowibet 42
التباين للمتغير العشوائي المتقطع 3.3.7إذا آان . 40 والتباين 50 له التوقع Yمتغير عشوائي متقطع : مثال
: معرف آالتالي Xالمتغير العشوائي Y = 3 X − 2
Xأوجد التوقع والتباين لـ µY = E[X] = 50 σ2
Y = Var[X] = 40
Y = 3X −2 ⇒ X = (Y+2)/3E[X] = E[(Y+2)/3] = ( E[Y] +2)/3 = ( 50+2)/3 = 17.333
Var[X] = Var[(Y+2)/3] = (1/32) Var[Y] = (1/9) (40)= 4.44