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Le rayonnement dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
1) Modélisation de la source
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Définition :
On généralise cette propriété en introduisant la notion de dipôle oscillant qui représente un ensemble neutre de particules chargées [qi ; Ai] dont le moment dipolaire électrique est de la forme :
p(t) = qi.OAi = p0.cost.uz
où O est une origine fixe proche des charges A i.
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Le rayonnement dipolaire électrique
I) Le modèle du dipôle oscillant
1) Modélisation de la source
2) Les conditions d’étude
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Ce problème est caractérisé par trois distances :
la longueur d’onde du champ rayonné ;
Nous limitons notre étude au cas : r >> >> a.
• la distance r = OM du dipôle au point M ;
• a = max(OAi) l’extension géométrique du dipôle au voisinage de l’origine O.
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• r >> a constitue l’approximation dipolaire : AiM OM = r
Nous limitons notre étude au cas : r >> >> a.
>> a constitue l’approximation non relativiste :v
1c
• r >> définit la zone de rayonnement
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Le rayonnement dipolaire électrique
II) Les champs rayonnés
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Dans la pratique, l’approximation r >> est justifiée par les ordres de grandeurs usuels :
• En optique, 500 nm et r > 1 cm ;
• En radiodiffusion : en FM, 1 m et r >> 1 m et en GO, 1 km.Seuls les auditeurs à proximité immédiate de l’émetteur ne sont pas dans la zone de rayonnement.
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Le rayonnement dipolaire électrique
II) Les champs rayonnés
1) Les champs électromagnétiques rayonnés
a) Le champ magnétique B
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Le dipôle oscillant étant caractérisé par un moment dipolaire de la forme :
p(t) = p0.cost, p0 = p0.uz
en se limitant à la zone de rayonnement, << r, on montre que le champ magnétique s’écrit dans la base sphérique :
φμ θ
π0.sin r
(r,t) p t .4 r.c c
B u
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En notation complexe :
p(t) = p0.expjt.uz
φμ ω θ
ωπ
20
0sin
(r,t) p .expj( t k.r).4 r.c
B u
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Le rayonnement dipolaire électrique
II) Les champs rayonnés
1) Les champs électromagnétiques rayonnés
a) Le champ magnétique B
b) Le champ électrique E
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En se limitant à la zone de rayonnement, on montre que le champ électrique s’écrit dans la base sphérique :
θ θμ θ θ
π πε0
20
.sin r 1 sin r(r,t) p t . p t .
4 r c 4 cr.cE u u
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En notation complexe :
p(t) = p0.expjt.uz
θω θ
ωπε
20
20
p sin(r,t) .expj( t k.r).
4 r.cE u
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Le rayonnement dipolaire électrique
II) Les champs rayonnés
1) Les champs électromagnétiques rayonnés
2) Les propriétés des champs rayonnés
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Le champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant possède localement la structure d’une onde plane progressive dans le vide se propageant avec la célérité c dans la direction ur ;
E et B sont orthogonaux à la direction de propagation ur
l’ensemble (ur, E, B) forme un trièdre orthogonal direct ;
L’onde est transversale, E et B oscillent en phase perpendiculairement à la direction de propagation ur.
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Le rayonnement dipolaire électrique
II) Les champs rayonnés
1) Les champs électromagnétiques rayonnés
2) Les propriétés des champs rayonnés
3) Aspects énergétiques
a) Le vecteur de Poynting
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Par définition du vecteur de Poynting dans le vide en M, à la date t :
Πμ μ μ
2
0 0 0
x E.B E
.cr rE B
u u
μ θΠ
π
θΠ
π ε
220
2 2
22
2 2 30
.sin r p t .
c16 .r .c
sin r p t .
c16 .r .c
r
r
u
u
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Le rayonnement dipolaire électrique
II) Les champs rayonnés
3) Aspects énergétiques
a) Le vecteur de Poyntingb) La puissance rayonnée
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La puissance élémentaire instantanée dP rayonnée par le dipôle oscillant à travers la surface mésoscopique dS dans le sens de dS est donnée par la relation :
dP = .dSDans ces conditions, la puissance instantanée rayonnée par le dipôle oscillant à travers une sphère (), de centre O, de rayon r est donnée par :
Σ
Σ ΠP( t) .d, S
dS = r2.sin.d.d.ur
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En remplaçant le vecteur de Poynting par son expression :
π π θΣ θ θ φ
π ε
22 2 2
2 2 30 00
sin rP( t) p t .r .sin .d .d
c16 .r .c,
π θΣ θ
πε
32
300
sin rP( t) p t .d
c8 c,
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Comme sur (), r est constant on obtient :
πΣ θ θ
πε
2
33 0
0
rp tcP( t) sin .d
8 c,
Σπε
23
0
1 rP( t) p t
c6 c,
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La puissance moyenne dans le temps que rayonne le dipôle oscillant à travers la sphère (), de centre O, de rayon r, est donnée par :
Σ Σπε
2T
300
p1P( t) P( t).dt
T 6 c, ,
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Or, p(t) = p0.cost :
ωΣ
πε
2 40
30
pP( t)
12 c,
ω ω2 4 2 20p p .cos t
ω2 4 20
1p p
2
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θΠ
π ε
22
2 2 30
dP sinI . p
dS 16 .r .cru
Indicatrice de rayonnement
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Le rayonnement dipolaire électrique
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
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Définition :
La diffusion électromagnétique : c’est le rayonnement électromagnétique réémis par une substance soumise à un rayonnement électromagnétique
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Le rayonnement dipolaire électrique
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
1) Modèle de l’électron élastiquement lié
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Le modèle de Thomson
. Les différents électrons liés de charges – e d'une même molécule sont traités indépendamment ;
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. Les noyaux ayant une masse très grande devant celle des électrons, on les suppose immobiles dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;
Le modèle de Thomson
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. Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti ; L'électron est soumis à une force de rappel qui rend compte de l'action du champ électrique créé par le noyau et les autres électrons ; Il est soumis, en outre à une force de frottements fluides qui rend compte des diverses causes d'amortissement telles que les collisions entre électrons et le rayonnement dipolaire.
ω20 m. .rf r Γ m. .vf r
Le modèle de Thomson
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. L’électron est placé dans le champ électromagnétique créé par le soleil qu’on peut ramener par superposition à une O.P.P.H. polarisée rectilignement de pulsation , décrite par le champ [Es ; Bs], avec 2.1015 rad.s–1 < < 5.1015 rad.s–1 pour la lumière visible.
Le modèle de Thomson
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Le rayonnement dipolaire électrique
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
1) Modèle de l’électron élastiquement lié
2) Les couleurs du ciel
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ω Γ ω20m m. . m. . e. .cos t0r r r E
ω ω Γω2 2s0m j e.r E
ω ω Γωs
2 20
e
m jE
r
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ωω
ω ω Γω
2
2 20
.expj te e. .expj t
m j0
0E
p r p
ω ω Γω
2
0 2 20
e
m j0E
p
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La puissance moyenne dans le temps rayonnée à travers la sphère () de rayon r, est donnée par :
ωΣ
πε
2 40
30
pP( t)
12 c,
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ω ω Γ ω
242 00 2 22 2 2 2
0
Eep
m
ω
Σπε ω ω Γ ω
24 40
2 3 22 2 2 20 0
E1 eP( t)
12 m c ,
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Trois cas se dégagent :
0 : c’est la diffusion résonante (absorption)
>> 0 : c’est la diffusion de Thomson
<< 0 : c’est la diffusion de Rayleigh qui intervient dans la diffusion du
rayonnement solaire par l’atmosphère
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Pour l’atmosphère, 0 1016 rad.s-1 et 108 rad.s-
1 ce qui correspond au rayonnement ultraviolet :
Dans ces conditions :
ω ω2 20 Γ ω ω2
0.
ωΣ
πε ω
24 40
2 3 40 0
E1 eP( t)
12 m c,
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Le rayonnement dipolaire électrique
III) Notion sur la diffusion de Rayleigh
1) Modèle de l’électron élastiquement lié
2) Les couleurs du ciel
3) Polarisation par diffusion
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