le rallye mathématique transalpin

Le Rallye Mathématique Transalpin

Objectifs, fonctionnement, rayonnement,

exemples de problèmes

PUC-SP. Juin 2006 Le Rallye Mathématique Transalpin Présentation de Michel HENRY, IREM de Besançon (France)

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• 1 - Buts du rallye


Le RMT est une confrontation entre classes, des degrés 3 à 9 de la scolarité obligatoire (élèves de 8 à 15 ans) dans le but de promouvoir la résolution de problèmes pour améliorer l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques

Il est organisé par « l’Association Rallye Mathématique Transalpin » (ARMT), et concerne plus de 2000 classes en Italie, Suisse, France, Luxembourg et Belgique.

Pour l’enseignement des mathématiques en général et la recherche en didactique, le rallye offre une source très riche de résultats, d'observations et d'analyses.

Des journées d’études internationales permettent aux animateurs des différents pays participants de conduire des analyses a priori ou a posteriori et de déterminer les exploitations didactiques des problèmes du RMT.

• 2 - Le rallye propose aux élèves :


- de faire des mathématiques en résolvant des problèmes, de s’initier à la démarche scientifique;

- de développer leur autonomie, d’apprendre à organiser une recherche, de se confronter à la rigueur des notations, de soigner la communication des résultats;

- d'apprendre les règles élémentaires du débat scientifique en discutant et défendant les diverses solutions proposées;

- de développer leurs capacités à travailler en équipe en prenant en charge l'entière responsabilité d'une épreuve;

- de se confronter avec d'autres camarades, d'autres classes.

• 3 - Le rallye propose aux enseignants :


- d'observer des élèves (les leurs lors de l'épreuve d'essai et ceux d'autres classes) en activité de résolution de problème;

- d'évaluer les productions de leurs propres élèves et leurs capacités d'organisation, de discuter des solutions et de les exploiter ultérieurement en classe;

- d'introduire des éléments de renouvellement dans leur enseignement par des échanges avec d'autres collègues et par l'apport de problèmes stimulants;

- de s'engager dans l'équipe des animateurs et de participer ainsi à la préparation, à la discussion et au choix des problèmes, à l'évaluation en commun des copies, à l'analyse des solutions.

• 4 - Les épreuves:


- Résolution de problèmes par classes entières, réparties en sept catégories, des degrés 3 à 9 (de 8 ans à 14 - 15 ans).

- Le rallye est composé d’une épreuve d’entraînement et de deux épreuves I et II, suivies d’une finale par régions.

- Chaque épreuve dure 50 minutes. Elle est composée de 5 à 7 problèmes à résoudre.

- Les élèves doivent produire une solution unique pour chacun des problèmes. Les solutions sont jugées sur la rigueur des démarches et la clarté des explications fournies.

- L'évaluation des copies est faite selon les critères déterminés dans l’analyse a priori des problèmes. Pour chaque catégorie, un classement est établi, par région, sur l'ensemble des deux épreuves I et II. Les classes arrivées en tête participent aux finales régionales.

• 5 - Conceptions pédagogiques et didactiques du RMT


- La résolution de problèmes constitue l'une des stimulations essentielles des apprentissages.

Le Rallye propose des situations pour lesquelles on ne dispose pas d'une solution immédiate et qui conduisent à inventer une stratégie, à essayer, à vérifier, à justifier sa solution.

- Cette définition se rapproche de celle du "problème ouvert", qu'on s'approprie rapidement, où l'on trouve des défis, du plaisir à chercher, des aspects ludiques.

- Ce n'est pas celle du "problème d'application" destiné à renforcer et assimiler des connaissances.

- Ce n'est pas non plus celle de la "situation-problème" destinée à construire de nouvelles connaissances, exigeant des phases de recherche, des mises en commun et des séquences d'institutionnalisation qui se développent sur une longue durée.

- Les problèmes de rallye doivent être inédits, riches et stimulants, et exploitables en classe après le concours.

• 6 - Le rallye et la recherche en didactique des maths


Le rallye est l'occasion d'un intense travail d'analyse didactique.

- Lors de l'élaboration des sujets, l'équipe de rédaction envisage, a priori les différentes procédures que les élèves pourront adopter, les obstacles qu'ils rencontreront, les représentations qu'ils se feront de la tâche.

- Puis vient l'écriture des textes, le réglage des variables didactiques qui permettra de tirer profit au mieux de la situation.

- Après l'épreuve, l'analyse a posteriori permet de confirmer ou d'infirmer les hypothèses de départ, de faire apparaître des stratégies ou des représentations non prévues, de calculer la fréquence des types de procédures, de mesurer les difficultés rencontrées par les élèves.

- Les documents préparatoires des épreuves et les copies des élèves sont des ressources précieuses pour le développement des recherches en didactique des mathématiques

• 7 - Exemples de problèmes L’anniversaire de Maman (Cat. 4, 5, 6 : 9 à 12 ans)


André, Anne, Annelise et Albert o nt respectivement 11, 9, 6 et 2 ans. Aujourd’h ui, ils fêtent l’anniversaire de leur maman qui a 40 ans. Annelise dit à sa maman : - « Quand j’aurai 40 ans, tu en auras beaucoup plus, je ne pourrai jamais te rattraper ! » - « Tu as raison » répond sa maman, « mais dans quelques années, en addi tionnant vos quatre âges vous me rattraperez ! » Dans combien d’années les quatre enfants auront-ils,

ensemble le même âge que leur maman ? Indiquez votre solution et expliquez votre

raisonnement.

• 7 - Exemples de problèmes Le tableau volé (Cat. 6, 7, 8 : 11 à 14 ans)


L’inspecteur Derrick doit découvrir les responsables du vol d’un célèbre tableau du XVIe siècle. Les suspects sont quatre personnages bien connus de la police : les frères Augusto et Dante, Bernard le balafré et le clochard Karl.

L’inspecteur les interroge tous les quatre et recueille leurs déclarations :

ｷｷ Augusto : Bernard n’a pas volé le tableau.ｷｷ Karl : Le vol n’a pas été commis par Dante.ｷｷ Bernard : Le voleur est l’un des deux frères.ｷｷ Dante : Ce n’était pas moi.

L’inspecteur sait qu’un seul d’entre eux a menti.

Qui a volé le tableau ?

Donnez votre réponse et justifiez votre raisonnement.

• 7 - Exemples de problèmes Le calendrier (Cat. 6, 7, 8 : 11 à 14 ans)


Un artisan désire fabriquer un calendrier composé de deux cubes posés l’un à côté de l’autre sur trois parallélépipèdes. Sur chacune des faces des cubes il y a un chiffre. On peut ainsi lire un nombre de deux chiffres qui indique le jour du mois. Les noms des mois sont notés sur les faces des parallélépipèdes.

Janvier

?

61

? ?

Quels chiffres l’artisan devra-il écrire sur les faces des deux cubes

pour pouvoir représenter tous les jours des douze mois ? Expliquez votre raisonnement et indiquez les chiffres écrits sur les

différentes faces des deux cubes.

• 7 - Exemples de problèmes Le restaurant chinois (cat. 8 : 13-14 ans)


L’enseigne du restaurant chinois « Le serpent rouge » est un long serpent rouge à l’intérieur d’un rectangle doré. Cette figure est une reproduction fidèle de l’enseigne :

Quelle est la mesure de l’aire du serpent ? Donnez votre réponse et expliquez votre raisonnement

90 cm

350 cm

• 7 - Exemples de problèmes Sudoku (Cat. 3 : 8-9 ans)


Placez dans chaque case vide de ce tabl eau l’une de ces quatre lettres : un A ou un B ou un C ou un D, en respectant les règles suivantes : Il doit y avoir les quatre lettres différentes - dans chaque ligne, - dans chaque colonne, - dans ch acun des quatre carrés de quatre cases (blanc ou gris). Expliquez comment vous avez fait pour remplir les cases vides.

B

C

D A

A

• 7 - Exemples de problèmes La pièce bien méritée (Cat. 6, 7, 8, 9 : 11 à 15 ans)


Au milieu d’une planche à clous, comme le montre cette figure, se trouve une pièce d’or. Max et David utilisent des élastiques et essaient de former le plus possible de carrés qui enferment la pièce de monnaie sans toutefois la toucher. (Le plus petit de ces carrés est déjà dessiné). Celui qui arrive à former le plus de carrés gagnera la pièce d’or.

Max réussit à former 19 carrés, David en trouve 23, il gagne donc la pièce. Pourriez-vous gagner contre David ? À votre avis, combien peut-on former de carrés ? Indiquez les carrés que vous avez trouvés.

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