le problème deshelby ( proc. r. soc. lond. a 241 (1957) 376 ) champ de déformation pour une...
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Le problème d’Eshelby (Proc. R. Soc. Lond. A 241 (1957) 376)
Champ de déformation pour une inclusion déformée homogènement ?
F
Déformations internes et externes supplémentaires,- à l’évidence, les déformations externes sont non-uniformes puisque nulles à l’infini
Recherche de la fonction de Green dans le cas d’élasticité anisotrope
Les équations maîtresses
Cas de la ligne de force parallèle à y. Espace direct : le calcul de Stroh.
On injecte dans
non tous nuls , équation du sixième degré à coefficients réels
Six conjugués deux à deux.
On choisit
On obtient :
Phil. M. 3(1958) 625
Cas de la nappe de force parallèle à y. Espace réciproque : les modes propres
On choisit
On réécrit les équations maîtresses
équations de conformité
On injecte les dans et les équations de conformité
où la la loi de Hooke a été utilisée sous la forme suivante
équation du sixième degré à coefficients réels
non tous nuls
Quelques remarques à ce stade :
1)les contraintes et les déplacements décroissent à l’infini : le cristal est un filtre passe-bas qui sélectionne le de plus petite partie imaginaire
2) les polarisations sont également sélectionnées par ce processus sauf cas pathologique où le mode de plus petit n’est pas excité.
Les conditions limites.
Cas du cristal infini.Deux façons d’écrire les conditions limites.
L’une utile pour les calculs dans l’espace direct
L’autre utile pour les calculs dans l’espace réciproque
Cas du cristal semi-infini.On doit ajouter la condition sur la surface « libre »
A ce stade, on a calculé, dans le cas anisotrope,la fonction de Green pour des lignes de force dans l’espace directet pour des nappes de force dans l’espace réciproque.
Pour des objets plus compliqués, on utilise la méthode classique des fonctions de Green, i.e. intégrer le produit de la fonction de Green par la force.
Avec les fonctions de Green de l’espace direct, on peut traiter les fils enterrés de section quelconque.Avec les fonctions de Green de l’espace réciproque, on peut traiter tous les objets enterrés.
La restriction majeure reste sur la forme des interfaces. On a introduit celles-ci au moment du calcul de la fonction de Green,
On ne sait pas traiter les interfaces non-plans, par exemple les fils non-enterrés.
On cherche des solutions du type
qui satisfont les conditions limites.
pour l’espace direct
pour l’espace réciproque
Dans le cas de l’espace réciproque et pour le cristal semi-infini, on trouve
Phys. Rev. 73(2006) 045434
Dans le même esprit Ting introduit des forces images Pour un calcul dans l’espace direct Q. J. Mech. appl. Math. 45(1992) 119
Cas isotrope
Cristal infini avec
Cristal semi-infini avec forces à la surface
Landau et Lifchitz, Théorie de l’élastcité
Un peu de physique.
1) Eshelby a montré que dans le cas isotrope et pour le cristal infini,des déformations homogènes dans une inclusion ellipsoïdale conduisait à des déformations homogènes après relaxation.
2) Propriétés de symétrie des tenseurs de rang 2Les tenseurs de rang 2 de symétrie cubique sont des scalaires.Une contrainte homogène de symétrie cubique est hydrostatique.
2bis) Une contrainte hydrostatique correspond à des forces extérieures normales à l’interface et de module constant.
3) La fonction de Green enterrée dans le cristal semi-infini décroît avec la profondeur d’enterrement.
3bis) Le résultat d’Eshelby pour les inclusions ellipsoïdales, n’est pas conservépour les inclusions dans un cristal semi-infini.
Discussion
Les approximations faites
a)Elasticité linéaire
b)Elasticité des milieux continus
c)Même constantes élastiques pour l’inclusion et la matrice.
Les questions
1)Validité de a) et de b)Comparaison entre simulations moléculaires et calcul analytique
2) Interactions entre objets ?
Elasticité linéaire
des milieux continus
Simulationsatomistiques
(dynamique moléculaure trempée)
Cu crystal
F
Déplacements F=1.0 Nm -1
x 200
Calcul des déplacements élastiquesO/Cu(101) =0.5
=0.85
Elasticité linéaire anisotrope :comparaison entre ALE et AS,
le cas N/Cu(001).
-0.04
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0 50 100 150 200 250
300 350
Ux *
exp
(z/1
6.5
)
x-28*z
-0.16
-0.12
-0.08
-0.04
0
0.04
Uz * exp(z/21
.7)
uzALE
AS
uxALE
AS
B. Croset et al., PR B 76 (2007) 073405.
=0.44
-150-100-50050100150-1500-1000-500050010001500E(int)meV Eint(Kelvin)
-8
0
2
4
6
8
-2
-4
-6
-150
-100
-50
0
50
100
150
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
E(int)meV
Eint(Kelvin)
-150-100-50050100150-1500-1000-500050010001500-8-6-4-202468E(int)meV Eint(Kelvin)
-150-100-50050100150-1500-1000-500050010001500-8-6-4-202468E(int)meV Eint(Kelvin)
-150
-100
-50
0
50
100
150
-1500-1000-5000
50010001500
Eint(m
eV)
Eint(K
)
1/r3
Elasticité linéaire anisotrope:rôle de l’anisotropie, le cas des faces (001).
Théorème de la divergence
Cas de systèmes biphasés avec contrainte de surface :
les forces sont à la lisière
Symétrie carrée ou ternaire
Les parties de de divergence nulle ne contribuent pas à l’énergie.
Cas anisotrope : deux approximations équivalentes pour les calculs énergétiques
//,0
122
122
///0
0/F
ry
rxbupn
nn
nn
n
21
2134
,0
42relax /)sin(cos
S
n
pn
nn
S
dsdsraFE
I] Pour des calculs d’intégrales le long des lisières
II] Pour des interactions entre quadripoles
Cas du cuivre(très anisotrope
2C44/(C11-C12)=3.2).
Approximation pour p=1
Calcul exact par TF
Utilisation du théorème de la divergence pour des calculs dans l’espace direct