le modèle de black & litterman
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Opinions et équilibreTRANSCRIPT
Le paradoxe de Markowitz
Empiriquement il arrive fréquemment que le portefeuille equipondéré fasse mieux même sur 10 ans et plus que les portefeuilles optimisés!!!« Optimisation du portefeuille ou maximisation des erreurs »?
Un exemple : déc 1992-sep. 2007
nom capitalisation
US LARGE CAP VALUE 21,74%US MID CAP VALUE 3,02%US SMALL CAP VALUE 1,61%US LARGE CAP GROWTH 18,01%US MID CAP GROWTH 1,61%US SMALL CAP GROWTH 1,85%EM ASIA 3,19%EM EUROPE 1,61%EM LATIN AMERICA 2,12%EMU 19,25%JAPAN 15,62%UNITED KINGDOM 10,36%
Un exemple
(1) Simulation à partir des données initiales de 1000 histoires ayant
la même durée (177 mois)les mêmes paramètres (moyennes, variances)suivant une loi normale multivariée
(2) Pour chaque échantillon simulé, détermination du portefeuille optimal(3) Evaluation sur l’échantillon initial
Un exemple
Eu ratio de Sharpe Er volatilitéequipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55%
marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47%optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45%
moyenne 3,10% 0,55 12,23% 18,40%écart-type 5,28% 0,20 2,80% 5,18%
5,00% -6,84% 0,17 6,67% 12,75%25,00% -1,22% 0,42 11,26% 13,61%50,00% 4,65% 0,57 12,73% 17,23%75,00% 7,60% 0,70 14,21% 22,10%95,00% 9,65% 0,85 16,25% 29,50%
ExplicationsSans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation, l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers qui ne sont que des miragesD’où « l’optimisation à la Markowitz = la maximisation des erreurs »
Le paradoxe de Markowitz
Que faire?
une piste : l’approche bayésienneLe modèle de Black & Litterman et les modèles bayésiens
Inférer un paramètre inconnu de l’historique en utilisant un a priori
Les fondations statistiques
La relation de Bayes
Le cas de B&L : B = échantillonA = rendement espéré (inconnu)
)(/)()()( BPAPABPBAP =
)( trP µ
Les fondations statistiques
Le cas statistique de B&LLois normalesEspérance inconnue, variance connue
Les fondations statistiques
La probabilité conditionnelle du rendement moyen
Où est le rendement espéréest la variance (échantillonnée)
La distribution a priori du rendement espéré
)/ˆ,(~ˆ NN σµµµ
N/σ
),(~ Σµµ N
Les fondations statistiques
Le résultat essentiel :
),(~ prevprevN Σµµ( )( ) 1
1111 ˆ −−−−− +Σ+Σ= σµσµµ NN T
prev
( ) 111
−−− +Σ=Σ σNprev
Les fondations statistiques
La réponse statistique :Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.”
Combiner une information a priori avec un échantillon.“mixed estimation”
Le modèle de Black & Litterman
Fischer Black & Robert Litterman « Global Portfolio Optimization », Financial AnalystsJournal, September / October 1992, pp. 28-43Robert Litterman and the Quantitative ResourcesGroup, GS Asset Management Modern Investment Management : an equilibrium approach, John Wiley & Sons, 2003
Le modèle de B&L
L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions.
Le modèle de B&L
Une exigence de la démarche bayésienne : avoir un a priori La préférence de F. Black : le CAPM
Les rendements implicites
Comment utiliser le CAPM?Quels rendements espérés induits par cette notion d’équilbre?
Les rendements implicites
Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72
Deux approches pour déterminer le rendement implicitele CAPM → le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le bétal’optimisation inverse (Sharpe (1974))
L’optimisation inverse
Les conditions marginales (avec actif sans risque)
Où est le portefeuille de marché
mktwΣ=Π λmktw
Un exemple
Idzorek (2004) A step by step guide to the Black Litterman modelSimulations de Zephyr Associates (2005)
US Bonds $8,360,741,000,000 20.16%Global Bonds xUSD $11,583,275,710,000 27.93%World Equity xUS $9,212,460,000,000 22.21%Emerging Equity $964,647,000,000 2.33%
US Large Cap Growth $5,217,844,438,500 12.58%US Large Cap Value $5,217,844,438,500 12.58%
US Small Cap Growth $459,897,061,500 1.11%US Small Cap Value $459,897,061,500 1.11%
Total $41,476,606,710,000 100.00%
Le portefeuille de marché
Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient.Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.
Le problème de la prise en compte d’opinions différentes du consensus.La solution de B&L : la combinaison des opinions et du consensus
Le mécanisme de B&L
Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inversePrise en compte des opinions :opinion absolue : « l’actif A aura un rendement de x% »opinion relative : « l’actif A sur-performera l’actif B par x points de % »
Le mécanisme de B&L
La nature des opinionsDes intuitions d’investisseursDes données empiriques (valeurs des rendements moyens récents)Des prévisions économétriques des rendements
Les variables des opinions
La détermination du rendement espéré:un scalaire mesurant le poids accordé au
rendement d’équilibreP la matrice des opinions (KxJ) définissant
les actifs impliqués dans chaque opinionla matrice de covariance des erreurs dans
les opinionsQ le vecteur des opinions (Kx1)
τ
Ω
=Ω
32
1
000000
ωω
ω
La matrice des erreur-types des opinions
NB : (1) Chez la plupart des auteurs, matrice diagonale(aucune corrélation).(2) Relâchement possible
Un exemple (Idzorek)ImpliedEquilibriumReturn
Asset Class Historical CAPM GSMI Portfolio VectorUS Bonds 3.15% 0.02% 0.08% 0.08%Int’l Bonds 1.75% 0.18% 0.67% 0.67%US Large Growth -6.39% 5.57% 6.41% 6.41%US Large Value -2.86% 3.39% 4.08% 4.08%US Small Growth -6.75% 6.59% 7.43% 7.43%US Small Value -0.54% 3.16% 3.70% 3.70%Int’l Dev. Equity -6.75% 3.92% 4.80% 4.80%Int’l Emerg. Equity -5.26% 5.60% 6.60% 6.60%
Weighted Average -1.97% 2.41% 3.00% 3.00%Standard Deviation 3.73% 2.28% 2.53% 2.53%
High 3.15% 6.59% 7.43% 7.43%Low -6.75% 0.02% 0.08% 0.08%
CAPM
Un exemple
3 opinions :Intern’ Developped Equity va avoir un rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%)Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%)US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)
La matrice de « participation »
Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)
=P0 0 0 0 0 0 1 0
-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,5 -0,5 0,5 -0,5 0 0
La formule de B&L
( ) 11111 ))(()( −−−−− Ω+ΣΩ+ΠΣ= PPQP TTpred ττµ
111 ))(( −−− Ω+Σ=Σ PPTpred τ
),(~ predpredN Σµµ
Les paramètres de confiance
Comment fixer tau, le paramètre de confiance dans l’a priori?Comment fixer Omega la matrice des erreur-types des opinions?Méthodes :
Approche purement subjectiveAjuster sur les données
Problème de mise en oeuvre
Quelle valeur pour tau ?Comment fixer la matrice Omega mesurant la confiance dans les opinions?
WeightBased on
Weight ImpliedWeight Based on Equilibrium MarketBased on CAPM GSMI Return Capitalization
Asset Class Historical wGSMI Vector WeightUS Bonds 1144.32% 21.33% 19.34% 19.34%Int’l Bonds -104.59% 5.19% 26.13% 26.13%US Large Growth 54.99% 10.80% 12.09% 12.09%US Large Value -5.29% 10.82% 12.09% 12.09%US Small Growth -60.52% 3.73% 1.34% 1.34%US Small Value 81.47% -0.49% 1.34% 1.34%Int’l Dev. Equity -104.36% 17.10% 24.18% 24.18%Int’l Emerg. Equity 14.59% 2.14% 3.49% 3.49%
High 1144.32% 21.33% 26.13% 26.13%Low -104.59% -0.49% 1.34% 1.34%
La solution de He & Litterman (1999)
kkk pp Σ=τω /Numériquement :
025,0=τ
=Ω
000866,0000000141,0000000709,0
Eu ratio de Sharpe Er volatilité VAR 5%equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06%
marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86%optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%
moyenne 6,82% 0,64 10,42% 12,00% -9,32%écart-type 0,01% 0,00 0,00% 0,01% 0,02%
5,00% 6,81% 0,64 10,41% 11,98% -9,34%25,00% 6,82% 0,64 10,42% 11,99% -9,33%50,00% 6,82% 0,64 10,42% 12,00% -9,32%75,00% 6,83% 0,64 10,42% 12,00% -9,30%95,00% 6,83% 0,64 10,43% 12,01% -9,29%
Exemple sur données MSCI 1992-2007Les vraies covariances connues
Exemple
Covariances « observées »
Eu ratio de Sharpe Er volatilité VAR 5%equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06%
marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86%optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%
moyenne 7,30% 0,67 11,59% 13,10% -9,96%écart-type 0,25% 0,02 0,22% 0,28% 0,45%
5,00% 6,95% 0,65 11,16% 12,58% -10,48%25,00% 7,22% 0,67 11,54% 13,01% -10,17%50,00% 7,30% 0,67 11,64% 13,16% -10,02%75,00% 7,40% 0,68 11,70% 13,26% -9,80%95,00% 7,60% 0,70 11,80% 13,39% -9,23%
La propriété de stabilisation de B&L
Avec VAD et vraies covariances
Eu ratio de Sharpe Er volatilité VAR 5%equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06%
marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86%optimal 12,12% 0,97 19,81% 17,54% -9,04%
moyenne 6,72% 0,63 9,88% 11,25% -8,62%écart-type 0,01% 0,00 0,01% 0,02% 0,03%
5,00% 6,71% 0,63 9,86% 11,21% -8,66%25,00% 6,72% 0,63 9,87% 11,23% -8,64%50,00% 6,72% 0,63 9,88% 11,25% -8,62%75,00% 6,72% 0,63 9,89% 11,26% -8,60%95,00% 6,73% 0,63 9,90% 11,29% -8,58%
Cependant avec covariances « observées » résultatsBeaucoup moins favorables
Le problème de l’ajustement de Omega
Si l’on cale Omega sur la variance des portefeuillesD’opinion, l’introduction d’un multiplicateur peut améliorerLes résultats.Ex : pour les simulations, coef. De 2000
Les fondements de B&L
La statistique bayésienneA priori sur les paramètres + vraissemblancesC. Robert La décision bayésienne
Les modèles bayésiens de choix de portefeuille
Scherer & McDouglas
Autres modélisations
Les ajustements des covariances (Ledoit)
Modèle diagonaleModèle uniformeModèle de marché
Les modèles bayésiens pour le CAPM (bêtas et alphas) -> Vasicek (1971)
Un exemple : le modèle diagonal
Eu ratio de Sharpe Er volatilité VAR 5%equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06%
marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86%optimal 12,12% 0,97 19,81% 17,54% -9,04%
moyenne -26,90% 0,39 18,07% 40,50% -48,55%écart-type 27,61% 0,22 9,89% 12,59% 19,66%
5,00% -76,26% -0,01 2,05% 21,99% -83,57%25,00% -38,20% 0,24 11,47% 31,35% -58,95%50,00% -21,07% 0,41 17,99% 38,89% -46,22%75,00% -7,81% 0,55 23,97% 47,85% -34,28%95,00% 2,29% 0,70 34,63% 63,56% -22,65%