le coniche. circonferenza ellisse parabola iperbole le coniche come intersezione fra un piano ed un...
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LE CONICHELE CONICHE
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CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE
Le coniche come intersezione fra un piano ed un cono matematico
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Equazione generale della retta
ax + by + c = 0
In forma esplicita y = mx+q
dove m è il coefficiente angolare
asse x asse x y = 0y = 0
asse y asse y x = 0x = 0
retta parallela all’asse x retta parallela all’asse x y = ky = k
retta parallela all’asse y retta parallela all’asse y x = kx = k
retta passante per l’origine retta passante per l’origine ax + by ax + by = 0= 0
RICHIAMI SULLA RETTA
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La Circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato CENTRO.
r
C
La sua equazione è
022 cbyaxyx
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Le coordinate del centro e la lunghezza del raggio sono date
da:
C( α, β) dove α = -a/2 e β= -b/2
cr 22
le coordinate del centro sono sempre calcolabili, il valore invece del raggio dipende dal fatto che il radicando sia positivo.
Nel caso in cui sia nullo, si ha una circonferenza ridotta ad un punto e raggio zero.
Se il radicando è negativo, si tratta teoricamente di una circonferenza non reale
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Circonferenza e retta
Retta secante
Retta tangente
Retta esterna
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Circonferenza e retta
Per trovare, nel piano cartesiano, le coordinate degli eventuali punti di intersezione di una circonferenza con una retta, si risolve un sistema di secondo grado con le equazioni assegnate
022 cbyaxyx
0''' cybxa
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retta secante
se >0
retta tangente
se =0
retta esterna
se <0
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L’Ellisse
Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2
(detti fuochi).
F1F2
P
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Se F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse
per ogni punto P dell’ellissesi ha che:
PF1 + PF2 = costante
F1 F2
P
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Consideriamo un’ellisse con centro nell’originee fuochi sull’asse delle ascisse.
F1 F2
A1 A2
B2
B1
I punti A1, A2, B1, B2
sono detti “vertici”dell’ellisse.
A1A2 è l’ “asse maggiore” B1B2 è l’ “asse minore”
F1F2 è l’ “asse focale”
A1(-a,0) A2(a,0)
B1(0,-b) B2(0,b)
F1(-c,0) F2(c,0)
dove: 22 bac
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L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ascisse è: 1
2
2
2
2
b
y
a
x
con a > b misure dei semiassi
b
ax
y
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Se i fuochi sonosull’asse delle ordinatesi avrà un’ellisse simile a quella in figura.
Evidentemente, l’asse maggiore è il segmento B1B2
A1 A2
B1
B2
F1
F2
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L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ordinate è:
12
2
2
2
b
y
a
x
con b > a misure dei semiassi
22 abc
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Viene chiamata eccentricità“e” di un’ellisse il rapportotra la semidistanza focale “c” e la lunghezza delsemiasse maggiore:
a
ce
0 ≤ e ≤ 1
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LA PARABOLA
cbxaxy 2
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti fa un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE
Se a >0 la parabola volge la concavità verso l’alto
Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso
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V è IL VERTICE DELLA PARABOLA
a
acb
a
bV
4
4
2
2
,
a
acb
aa
bF
4
4
4
1
2
2
,
Nb.in alternativa per ricavare la y del vertice basta sostituire la x nella equazione della parabola
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Per tracciare con sufficiente precisione il grafico di una parabola è necessario
determinarne:
•Concavità
•Vertice
•Intersezioni con gli assi cartesiani
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IPERBOLE
Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissiF1
eF2 detti fuochi.
12
2
2
2
b
y
a
x
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• Equazione:
• Lunghezze degli assi: 2a asse trasverso 2b asse non trasverso
• Coordinate dei vertici: ( -a, 0 ) , ( a, 0 )
• Coordinate dei fuochi: ( -c, 0 ) , ( c, 0 )
12
2
2
2
b
y
a
x
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FINE PRESENTAZIONE
G. Barbaro