laudkertaus 001 086 · 2016-06-13 · osoita laskemalla, ett ... missä a on kolmion mielivaltainen...
TRANSCRIPT
www.otava.fiOtava K51Tno 451LISBN 951-1-21116-1
Tarmo Hautajärvi
Jukka Ottelin
Leena Wallin-Jaakkola
Laudatur
Lukion pitkän matematiikan kertaustaylioppilastehtävien avulla Otava
,!7IJ5B1-cbbbgh!
Laudatur
–
Ylioppilastehtävät vuosittain 1
Matematiikan koe 26.03.2003 Pitkä oppimäärä
Perustaitoja 1. Sievennä lausekkeet
a) 3 34
1 23
, b) xy
yx
xy
yx
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 .
Geometria 2. Tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrä, joka kulkee
kolmion kärkipisteiden kautta. Kolmion sisään asetetaan toi-nen ympyrä siten, että se sivuaa kolmion sivuja. Kuinka monta prosenttia edellisen ympyrän ala on suurempi kuin jälkimmäisen ympyrän ala?
Geometria 3. Laudan leveys on 95 mm ja pituus 1,6 m. Siitä sahataan saman-
pituisia paloja, jotka asetetaan rinnakkain siten, että muodostuu neliön muotoinen levy. Miten pitkä voi neliön sivu enintään olla?
Todennäköisyyslaskenta 4. Tilastojen mukaan eräässä pääsykuulustelussa 25 % pyrkijöistä
epäonnistuu matematiikan ja 17 % fysiikan kokeessa. Pyrkijöistä 10 % epäonnistuu kummassakin kokeessa. Laske todennäköi-syys, että fysiikan kokeessa epäonnistunut pyrkijä epäonnistuu myös matematiikan kokeessa. Millä todennäköisyydellä pyrkijä epäonnistuu ainakin toisessa kokeessa?
Eksponentti ja logaritmi
5. a) Ratkaise yhtälöryhmä x y
x y
+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
2 4
2 8 .
b) Piirrä funktioiden lg⏐x⏐ ja 1/x2 kuvaajat samaan kuvioon ja ratkaise tämän perusteella epäyhtälö lg⏐x⏐ ≥ x−2. Etsi vastaus kahden desimaalin tarkkuudella. (lg = log10)
Trigonometria 6. Kolmion kulmille α, β ja γ pätee sinαsinβ = cosγ. Osoita, että
kolmio on suorakulmainen.
Vektorit 7. Suora on vektorin 3 3i j k+ + suuntainen ja kulkee pisteen
(2, 3, 7) kautta. Määritä sen ja tason x + 2y + z = 1 leikkauspiste.
2 Ylioppilastehtävät vuosittain
Sanalliset ääriarvosovellukset 8. Yksikkösäteisen pallon sisällä on tilavuudeltaan mahdollisimman
suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Määritä lieriön korkeus ja pohjaympyrän säde. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde.
Derivaatan sovellus
9. Määritä funktion f x xx
x( ) ,= +−
>23
3 , käänteisfunktio f −1. Millä
välillä tämä on määritelty? Osoita laskemalla, että f f x x− ( ) =1 ( ) , kun x > 3.
Määrätty integraali 10. Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f : [0,1] → r, jolla on omi-
naisuudet f(0) = f(1) = 0 ja 1
0100∫ =( )f x dx .
Analyyttinen geometria/käyrät
11. Olkoon x y02
02 1+ = . Osoita, että x0x + y0y = 1 on ympyrän
x2 + y2 = 1 tangentti. Mitkä ovat sivuamispisteen koordinaatit?
Lukujonot ja sarjat 12. Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen termin summa on 3 ja
kuuden ensimmäisen termin summa 12. Laske yhdeksän ensim-mäisen termin summa. Suppeneeko vastaava geometrinen sarja?
Raja-arvo ja jatkuvuus 13. Piste on r-säteisen pallon ulkopuolella etäisyydellä d pallon pin-
nasta. Kuinka monta prosenttia p = p(r, d) pallon pinnasta näkyy pisteestä? Määritä limd→∞ p(r, d). Kuinka suuri osa maapallon pinnasta näkyy 500 kilometrin korkeudella olevasta satelliitista? Maapallon säde on 6 370 km.
Differentiaaliyhtälöt, analyysin jatko 14. Määritä alkuarvotehtävän y ′ = y2, y(0) = a (a ∈ r) ratkaisu ya(x).
Laske lima→0 ya(1).
Kompleksiluvut 15. Piirrä kompleksitasoon pisteet z k i k
k= ( ) + ( )cos sinπ π
4 4, kun
k = 0, 1, 2, 3, 4. Laske näiden pisteiden kuvapisteet, kun ne kuva-taan funktioilla f : c → c, f(z) = z2 (c = kompleksitaso). Piirrä toinen kuva kompleksitasosta ja sijoita siihen kuvapisteet.
Kevät 2003
Ylioppilastehtävät vuosittain 3
Matematiikan koe 24.09.2003 Pitkä oppimäärä
Derivaatta 1. Olkoon f(x) = x2 − 3x − 5. a) Ratkaise yhtälö f(x) = 0. b) Millä
x:n arvoilla on f ′(x) = 1? c) Piirrä derivaattafunktion f ′ kuvaaja.
Geometria 2. Neljäkkään sivu on tasan 5 cm, ja lävistäjien pituuksien suhde on
2:1. Laske neljäkkään ala.
Käyrän tangentti ja normaali 3. a) Derivoi funktio f(x) = e2x − 2 + x3 − 1. b) Määritä käyrän
y = e2x − 2 + x3 − 1 pisteeseen (1, 1) piirretyn tangentin yhtälö. c) Määritä sen janan pituus, jonka koordinaattiakselit erottavat edellisen kohdan tangentista.
Vektorit 4. Mistä xy-tason pisteestä pisteisiin A = (−1, 1), B = (1, −2),
C = (2, 1), D = (2, 3) ja E = (−2, −2) piirrettyjen vektoreiden sum-ma on nollavektori?
Prosenttilasku 5. Päärynämehusta ja omenamehusta tehdyn sekamehun sokeripi-
toisuus on 11 %. Määritä mehujen sekoitussuhde, kun päärynä-mehun sokeripitoisuus on 14 % ja omenamehun 7 %.
Trigonometriset lausekkeet ja yhtälöt
6. Määritä sin(x − y), kun sin , / /x x= − ≤ ≤14
2 2π π , ja
cos ,y y= − ≤ ≤13
2π π . Tarkka arvo ja kaksidesimaalinen liki-arvo.
Geometria 7. Tasasivuinen kolmio T0 kiertyy tasossa keskipisteensä ympäri
kulman α verran, jolloin se muuttuu kolmioksi Tα. Laske sen alueen ala, jonka kolmiot T0 ja Tα yhteensä peittävät (ts. unioni T0 ∪ Tα peittää), kun kolmion sivu on a ja kulma α on a) 60°, b) 120°, c) 180°. Piirrä kuviot.
4 Ylioppilastehtävät vuosittain
Todennäköisyyslaskenta 8. Erään satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on
f x
x
x( )
, ,
,=
<0 0
15
kun
kun
kun
0 2
215
23
2 5
0
≤ <
− + ≤ <
x
x x
,
, ,
, kun x ≥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪ 5.
a) Piirrä tiheysfunktion kuvaaja. b) Laske todennäköisyydet P(x ≤ 1), P(1 < x ≤ 3) ja P(x > 3).
Trigonometria 9. Osoita, että kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on
R a=2sinα ,
missä a on kolmion mielivaltainen sivu ja α sen vastainen kulma.
Funktion ääriarvot 10. Piirrä funktion f(x) = ⏐ln⏐x − 2⏐⏐ kuvaaja. Millä väleillä funktio
kasvaa ja millä se vähenee? Esitä funktio kullakin välillä siten, että lausekkeissa ei esiinny itseisarvoja. Millä x:n arvoilla funktio saa pienimmän arvonsa?
Lukujonot ja sarjat
11. Osoita, että lauseke ( )x akk
n −=∑ 2
1, missä ak:t ovat annettuja
reaalilukuja, saa pienimmän arvonsa, kun xn
akk
n==∑1
1. Lausu
tämä pienin arvo lukujen ak avulla mahdollisimman yksinkertai-
sessa muodossa.
Talousmatematiikka 12. Isä tallettaa poikansa tilille joka kuukauden alussa 200 € vuoden-
vaihteessa tapahtuneesta syntymästä alkaen. Tilille maksetaan 1,5 % vuotuista korkoa, joka liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. a) Kuinka paljon rahaa tilillä on, kun poika täyttää 18 vuotta? b) Kuinka kauan isän olisi talletettava, jotta tilillä olisi rahaa kaksiota varten, kun kaksion hinnaksi oletetaan 135 000 €?
Integraalilaskennan sovellus 13. Käyrän y = lnx välillä 1 ≤ x ≤ e oleva osa pyörähtää x-akselin
ympäri. Määritä muodostuneen kappaleen tilavuus.
Syksy 2003
Ylioppilastehtävät vuosittain 5
Määrätty integraali 14. Jatkuvan funktion f : [0, ∞[ → r keskiarvo välillä [0, x] (x > 0)
määritellään seuraavasti: G xx
f t dtx
( ) ( )= ∫10
. Määritä keskiarvo-
funktion derivaatta G′(x) ja lausu se funktionarvojen f(x) ja G(x) avulla. Osoita, että G(x) ≤ f(x), jos f on kasvava. Osoita edelleen, että tällöin myös G on kasvava.
Numeeriset menetelmät 15. a) Totea, että differentiaaliyhtälön y′ + 2sinx = y ratkaisu alku-
ehdolla y(0) = 1 on y(x) = sinx + cosx. b) Määritä Eulerin mene -telmällä kyseisen ratkaisun likiarvot yi (≈ y(xi)) välillä [0, 2] askelpituudella h = 0,5 sekä laadi taulukko, jossa esiintyvät xi, y(xi), yi ja virhe yi − y(xi).
Syksy 2003
Matematiikan koe 19.3.2004 Pitkä oppimäärä
Polynomiyhtälö ja -epäyhtälö 1. Olkoon f(x) = x3 + 3x2 + x + 1 ja g(x) = x3 + x2 − 2x + 3.
a) Laske f(−2). b) Laske g 12( ). c) Ratkaise yhtälö f(x) = g(x).
Määrätty integraali
2. Määritä a siten, että ( )2 3 12
1
x dxa
a
+ =+
∫ .
Prosenttilaskut 3. Perheen vuokramenot olivat 25 % tuloista. Vuokramenot nou-
sivat 15 %. Montako prosenttia vähemmän rahaa riitti muuhun käyttöön korotuksen jälkeen?
Vektorit 4. Pisteestä P = (1, −1) lähtevät vektorit a i j= + 4 ja
b i j= − +2 5 ovat suunnikkaan sivuina. Suunnikkaan lävistä jien leikkauspiste olkoon Q. Määritä vektori PQ
� ��� sekä pisteen Q
koordinaatit.
Käyrän tangentti ja normaali 5. Määritä se paraabelin y = x2 − 2x − 3 piste, jossa paraabelin tan-
gentin suuntakulma on +45°.
6 Ylioppilastehtävät vuosittain
Trigonometria 6. Talosta 4 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu
näkyy 25 asteen korkeuskulmassa ja 12 metriä korkeammalta katsottaessa 22,5 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 21 metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus 0,1 metrin tarkkuudella.
Geometria 7. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle piirretty korkeusjana
jakaa hypotenuusan suhteessa 3:7. Määritä kateettien pituuksien suhde.
Geometria 8. a) Millä parametrin a arvoilla yhtälö
x2 + y2 − 2x − 4ay + 5a2 + 2a = 0 esittää ympyrää? b) Mikä on tällöin ympyrän alan suurin mahdollinen arvo?
Todennäköisyyslaskenta 9. Leirikoulun hyväksi järjestetyissä arpajaisissa ilmoitettiin, että
joka 20:s arpa voittaa. Kuinka monta arpaa on ostettava, jotta todennäköisyys ainakin yhteen voittoon olisi yli 50 %?
Integraalifunktio 10. Muodosta funktio f : ]−∞, 0[ → r, jonka kuvaaja sivuaa suoraa
y = 2 ja jonka derivaatta on f ′(x) = 1 + 1x
.
Funktion ääriarvot 11. Olkoon x ≥ 1. Osoita, että xx − ex − 1 ≥ 0. Millä x:n arvoilla pätee
yhtäsuuruus?
Määrätty integraali 12. Funktio f : r → r määritellään seuraavasti:
f(x) = 2−n, kun nπ ≤ x < (n + 1)π, n ∈ z. Laske integraali
I k f x x dxk
( ) ( )sin= ∫0π
, kun k = 1, 2, 3, ….
Määritä tämän jälkeen raja-arvo limk→∞I(k).
Lukuteoria 13. Kokonaisluku m on kokonaisluvun n tekijä, jos on olemassa
kokonais luku k siten, että n = km. Osoita: a) Jos m on n:n tekijä ja n on m:n tekijä, niin m = ±n. b) Jos m on n:n tekijä ja n on p:n tekijä, niin m on p:n tekijä.
Kevät 2004
Ylioppilastehtävät vuosittain 7
Lukujonot ja sarjat 14. Anna esimerkki sellaisesta suppenevasta lukujonosta x1, x2, x3, …,
että vastaava sarja xnn=
∞∑ 1 hajaantuu. Voiko lukujono hajaantua
ja vastaava sarja supeta?
Differentiaaliyhtälöt 15. Suoran ympyrälieriön muotoisen astian pohjassa on reikä, josta
astias sa oleva vesi valuu ulos. Astiassa oleva vesimäärä ajanhet-kellä t on V(t) = πr2h(t), missä r = 10 cm on astian pohjan säde ja h(t) pinnan korkeus hetkellä t; aika t on ilmaistu sekunteina. Vettä valuu ulos nopeudella V ′(t), joka on suoraan verrannolli-nen pinnan korkeuden neliöjuureen. Muodosta differentiaaliyh-tälö vesimäärän tilavuudelle V(t) ja ratkaise se. Laske, kauanko astian tyhjeneminen kestää, kun tiedetään, että vettä oli aluksi 10 litraa ja 30 sekunnissa vesimäärä oli vähentynyt puoleen.
Matematiikan koe 24.9.2004 Pitkä oppimäärä
Polynomiyhtälö ja -epäyhtälö 1. Ratkaise epäyhtälöt a) 2x − 3 < 3 − 2x, b) (x + 1)2 ≤ 1, c) x3 < x2.
Trigonometria 2. Kolmion sivujen pituudet ovat a − 1, a ja a + 1. Määritä a siten,
että kolmio on suorakulmainen. Määritä kolmion ympäri piirre-tyn ympyrän säde.
Geometria 3. Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi siten, että sen kokonais-
pinta-ala pienenee 36 %. Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee?
Vektorit 4. Origosta O alkava vektori OP
� ��� on vektorin 3 i j+ suuntainen,
ja sen kärki P on pisteiden A = (1, 2) ja B = (7, 1) yhdysjanalla. Missä suhteessa piste P jakaa janan AB?
Kevät 2004
8 Ylioppilastehtävät vuosittain
Todennäköisyys 5. Laite koostuu kolmesta toiminnallisesti riippumattomasta
komponentista A, B ja C, joiden vikaantumistodennäköisyydet takuuaikana ovat pA = 0,01, pB = 0,007 ja pC = 0,05. Laite ei toimi, jos yksikin komponenteista on viallinen. Mikä on laitteen vikaantumistoden näköisyys takuuaikana? Luotettavuuden paran-tamiseksi komponentti C kahdennetaan, ts. laite varustetaan kahdella rinnakkaisella, toisistaan riippumattomalla komponen-tilla C, ja riittää, että ainakin toinen näistä toimii. Mikä on tällöin vikaantumistodennäköisyys takuuaikana?
Funktion ääriarvot 6. Etsi funktion ln(x3 − x) määrittelyalue ja ääriarvot.
Integraalilaskennan sovelluksia: tilavuus 7. Laske sen kappaleen tilavuus, joka syntyy ympyrän
x2 + y2 + 6x + 5 = 0 ja suoran y = −x − 1 muodostaman pienem-män segmentin pyörähtäessä x-akselin ympäri.
Trigonometriset lausekkeet ja yhtälöt 8. Olkoon annettuna trigonometrian kaavat sin2α + cos2α = 1,
sin2α = 2sinα cosα, cos2α = cos2α − sin2α ja tanα = sinα / cosα. Osoita pelkästään näiden perusteella oikeiksi seuraavat kaavat:
sintan
tanx
x
x=
+
22
12
2, cos
tan
tanx
x
x=
−
+
12
12
2
2.
Ilmoita, mitä kaavaa olet missäkin laskun vaiheessa käyttänyt.
Derivaatan määritelmä 9. Funktion f : r → r jakso on 2, toisin sanoen f(x + 2) = f(x) kai-
killa reaaliluvuilla x. Lisäksi on
f xx x
x x( )
, ,
, .=
+ − ≤ <− ≤ ≤
⎧⎨⎩
1 1 0
1 0 1
kun
kun Piirrä funktion f kuvaaja. Missä pisteissä f ei ole derivoituva?
Piirrä funktioiden g ja h kuvaajat, kun g(x) = f(x + 1) ja h(x) = f(x) + f(x + 1). Missä pisteissä nämä eivät ole derivoituvia?
Derivaatan määritelmä 10. Määritä funktion f(x) = 1/x derivaatta pisteessä x = 2 laskemalla
erotusosamäärän raja-arvo.
Syksy 2004
Ylioppilastehtävät vuosittain 9
Analyysin jatkokurssi 11. Laske integraali
f x dx( )−∞
∞
∫ , kun f xx x x x
x( )
, / ,
/ ,=
= ≤4 4 4
4
0 1
1
jos tai
joos 1 4 4/ .x x≤
⎧⎨⎪
⎩⎪
Lukujonot ja sarjat 12. Mikä on sarjan
an
i=
∞
∑ = + + + +1
13
25
37
49
...
yleisen termin an lauseke? Tutki suppeneeko sarja.
Käyrän tangentti ja normaali 13. Mikä käyrän y = x4 − 7x2 pisteistä on lähinnä suoraa y = 4x − 21?
Mikä on kyseinen lyhin etäisyys? Piirrä kuvio.
Differentiaaliyhtälöt
14. Ratkaise differentiaaliyhtälö y ′ =+y
x x4 2.
Lukuteoria 15. Esitä Fermat’n pieni lause ja osoita sen avulla, että
n2003 ≡ n(mod 2003) kaikilla luonnollisilla luvuilla n.
Matematiikan koe 30.3.2005 Pitkä oppimäärä
Murtoyhtälö ja -epäyhtälö
1. a) Sievennä lauseke xx
xx1 1−
++ .
b) Ratkaise x yhtälöstä x2 − ax − a2 = 0.
Trigonometriset lausekkeet ja yhtälöt 2. a) Ratkaise yhtälöryhmä x + y = a, x − y = 2a. b) Tiedetään, että
sin x = − 15
ja 180°< x < 270°. Määritä cosx ja tanx (tarkat arvot).
Prosenttilaskut 3. Asuinrakennuksesta saadut vuokrat ovat 12 % pienemmät kuin
ylläpitokustannukset. Kuinka monta prosenttia vuokria olisi korotettava, jotta ne tulisivat 10 % suuremmiksi kuin ylläpito-kustannukset, jotka samanaikaisesti kohoavat 4 %?
Syksy 2004
10 Ylioppilastehtävät vuosittain
Vektorit 4. Olkoon OA i j
� ���= +7 9 tason vektori. Määritä kaikki sellaiset
vektorit OB� ���
, että kulma OAB on suora ja vektorin AB� ���
pituus on puolet vektorin OA
� ��� pituudesta.
Analyyttinen geometria 5. Määritä paraabelin y = 2x2 + bx + 3 huippu ja totea, että se ker-
toimen b arvosta riippumatta sijaitsee paraabelilla y = −2x2 + 3.
Trigonometria 6. Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa on toisen kateetin projektio
hypotenuusalle yhtä pitkä kuin toinen kateetti: AD = BC = a. Määritä kolmion kulmat asteen tarkkuudella.
A B
C
a
a D
Geometria 7. Luvulle π saadaan karkea likiarvo sijoittamalla ympyrän sisään
a) säännöllinen kuusikulmio tai b) säännöllinen kahdeksan-kulmio ja rinnastamalla tämän α) piirin pituus tai β) pinta-ala ympyrän kehän pituuteen tai vastaavasti ympyrän alaan. Laske tällä tavoin neljä eri likiarvoa luvulle π. Anna vastaukset tarkkoi-na arvoina (trigonometrisia funktioita käyttämättä) ja kolmidesi-maalisina likiarvoina.
Määrätty integraali 8. Anna esimerkki sellaisesta jatkuvasta funktiosta f : [0, 1] → r,
että f saa arvon 6 jossakin pisteessä ja f x dx( ) =∫ 00
1
. Saako nämä
ehdot täyttävä funktio aina arvon 0 jossakin pisteessä?
Kevät 2005
Ylioppilastehtävät vuosittain 11
Todennäköisyyslaskenta 9. Tikkataulun säde on 20 cm, ja taulu jakautuu kymmeneen sa-
mankeskiseen renkaaseen, jotka on numeroitu ulkoa sisäänpäin 1:stä 10:een. Gabrielin heittämät tikat osuvat tauluun siten, että niiden etäisyys r taulun keskipisteestä noudattaa todennäköisyys-jakaumaa, jonka tiheys funktio on
f rr r
( )( ),
=− ≤ ≤⎧
⎨3
16000400 0 20
0
2 kun
muulloin.
⎪⎪
⎩⎪
Tässä r on ilmaistu senttimetreinä.
10 99 8 7 6 5 4 3 2 1
a) Laske todennäköisyys, että Gabrielin heittämä tikka osuu 9:ään tai 10:een. b) Laske todennäköisyys, että Gabrielin heittä-mistä viidestä tikasta ainakin kolme osuu 9:ään tai 10:een.
Käyrän tangentti ja normaali 10. Neljännen asteen polynomilla on paikallinen maksimi 16, kun
x = −1. Origossa polynomi saa arvon 11. Polynomin kuvaajan pis-teeseen (1, 11) piirretyn tangentin kulmakerroin on 0. Muodosta yhtälöryhmä, josta polynomin kertoimet voidaan ratkaista. Rat-kaise tämä laskinta käyttämättä. Mikä on kyseinen polynomi?
Integraalilaskennan sovellus 11. Rasian pohja on suorakulmio, jonka sivujenpituudet ovat 7 cm ja
15 cm. Rasian laidat kallistuvat ulospäin kaikki samassa kalte-vuudessa siten, että laitojen yläreunat muodostavat suorakulmi-on, jonka sivujen pituudet ovat 11 cm ja 19 cm. Rasian korkeus (pystysuoraan mitattuna) on 8 cm. Laske pinta-ala rasian vaaka-suoralle poikkileikkaukselle korkeudella z (0 ≤ z ≤ 8, z sentti-metreinä). Laske myös rasian tilavuus.
Derivaatan määritelmä 12. Olkoon funktio f jatkuva origossa. Määritä erotusosamäärän
avulla funktion g(x) = xf(x) derivaatta origossa. Voidaanko tulos-ta soveltaa funktioon f(x) = ⏐x⏐ + 1?
Kevät 2005
12 Ylioppilastehtävät vuosittain
Lukujonot ja sarjat 13. Geometrisen sarjan ensimmäinen termi on x2 + 1 ja toinen
x2 + 3x. Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee.
Differentiaaliyhtälöt 14. Etsi ratkaisut differentiaaliyhtälölle y′2 − xy′ + y = 0 derivoimalla
se kerran ja ratkaisemalla tällöin syntynyt uusi differentiaaliyhtä-lö. Ovatko tämän ratkaisut myös alkuperäisen differentiaaliyhtä-lön ratkaisuja? Piirrä alkuperäisen yhtälön ratkaisujen kuvaajia.
Numeeriset menetelmät 15. Määritä funktion f(x) = xsinx pienin positiivinen ääriarvokohta
ja vastaava ääriarvo ratkaisemalla derivaatan nollakohta Newtonin menetelmällä. Anna vastaukset viiden desimaalin tarkkuudella. Hahmottele kuvaaja välillä [0, 2π].
Matematiikan koe 30.9.2005 Pitkä oppimäärä
Polynomiyhtälö ja -epäyhtälö 1. Ratkaise reaalilukualueella yhtälöt
a) 2(x − 1) + 3(x + 1) = −x, b) xx
+ =−
2 12
, c) x16 = 256.
Trigonometria 2. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 4 ja 6.
a) Laske hypotenuusan pituus. Ilmoita tarkka arvo ja kaksi-desimaalinen likiarvo. b) Määritä kolmion kulmat 0,01 asteen tarkkuudella. c) Määritä kolmion ala.
Vektorit 3. Vektorien AB CD
� ��� � ���ja päätepisteet ovat A = (3, l), B = (7, 3),
C = (1, 4) ja D = (−3, −2). Laske vektorien välisen kulman suuruus 0,1 asteen tarkkuudella. Piirrä kuvio.
Funktio 4. Millä a:n arvoilla funktio f(x) = −x2 + ax + a − 3 saa vain negatii-
visia arvoja?
Kevät 2005
Ylioppilastehtävät vuosittain 13
Geometria 5. Puun rungon halkaisija tyvestä mitattuna kasvaa 20 vuoden ai-
kana kolmasosan alkuperäisestä mitastaan. Samaan aikaan puun korkeus kasvaa kuudesosan alkuperäisestä korkeudestaan. Kuin-ka monta prosenttia kasvaa puun rungon tilavuus tuona aikana? Oletetaan, että runko on kartion muotoinen.
Analyyttinen geometria 6. Suora x − y − a = 0, a ≠ 0, jakaa ympyrän x2 + y2 = a2 rajoittaman
alueen kahteen osaan. Määritä pienemmän alueen alan suhde suuremman alueen alaan. Ilmoita tarkka arvo ja kolmidesimaali-nen likiarvo. Piirrä kuvio, kun a) a > 0, b) a < 0.
Derivaatan sovellus 7. Olkoon
f x xx x
( ) =+ +
2
4 2 1.
Kumpi on suurempi, f(a) vai f(b), kun a = l + l0–1500 ja b = l + 2 · l0–1500?
Todennäköisyyslaskenta 8. Laatikossa on 2 ruskeaa, 6 mustaa ja 8 sinistä matkapuhelimen
kuorta. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi kuorta. Millä todennäköisyydellä kuoret ovat samanväriset?
Derivaatan sovellus 9. Laskeva suora kulkee pisteen (3, 4) kautta siten, että sen ja
koordi naattiakselien rajoittaman kolmion ala on mahdollisim-man pieni. Määritä suoran kulmakerroin ja vastaava pienin ala.
Lukujonot ja sarjat 10. Määritä päättymättömän lukujonon
12
43
74
105
136
, , , , ,...
n:s jäsen ja lukujonon raja-arvo. Mistä luvun n arvosta alkaen jonon jäsenen poikkeama tästä raja-arvosta on itseisarvoltaan pienempi kuin 0,001?
Derivaatta, funktion suurin ja pienin arvo 11. Osoita, että yhtälöllä x − 2 ln x = 0 ei ole reaalijuuria.
Syksy 2005
14 Ylioppilastehtävät vuosittain
Integraalilaskennan sovellus: pinta-ala
12. Suorat y x= 12
ja y = 2x sekä hyperbeli xy = l rajaavat kaksiosai-
sen alueen. Laske sen ala. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaali-nen liki arvo.
Numeeriset menetelmät 13. Tarkastellaan lauseketta
L x x
x( ) tan= −
−3
3π
a) Laske lauseketta muokkaamatta sille laskimella likiarvo, kun x n= + −π
310 3 , n = 1, 2, 3, 4, 5. b) Määritä limx→π/3L(x)
tulkitsemalla lauseke sopivan funktion erotusosamääräksi. Mitä voidaan sanoa a-kohdassa lasketuista likiarvoista?
Differentiaaliyhtälöt, analyysin jatko 14. Määritä niiden käyrien yhtälöt, joilla on sellainen ominaisuus,
että koordinaattiakselien väliin jäävän käyrän tangentin osa puo-littuu sivuamispisteessä.
Lukuteoria 15. Etsi jakojäännös, kun a) 2345 jaetaan luvulla 5, b) 34567 jaetaan luvulla 6.
Syksy 2005
15Vastaukset
1. a) 3 34
1 23
15453
94
32
= = =
b) xy
yx
xy
yx
x y xyxy
x yxy
x y xyx
+ −
−=
+ −
−= + −2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 −−= −
+ −
= −+
yx y
x y x y
x yx y
2
2( )( )( )
2. Kolmion sivu a
Tasasivuisen kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde R a= 33
Tasasivuisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde r a= 36
Ympyröiden alojen suhde A
ARr
a
aympäri
sisään
= =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= =ππ
2
2
23
33
6
4 4000 %
eli 300 % suurempi Vastaus: 300 % suurempi
3. Paloja n kpl, jolloin neliön sivu on 95n (mm) ja palojen yhteis-pituus on
n n
n
n
⋅ ≤
≤
≤ ≈
95 1 600
95 1 600
1 60095
4 10
2
,
Joten paloja on enintään 4 ja neliön sivun suurin mahdollinen pituus on 4 · 95 mm = 380 mm
Vastaus: 380 mm
4. Pyrkijöiden kokonaismäärä 100a A = ”Fysiikassa epäonnistunut epäonnistuu myös matematiikassa” B = ”Epäonnistuu ainakin toisessa kokeessa” = ”Epäonnistuu
vain matematiikassa tai vain fysiikassa tai molemmissa”
25a Fys Mat
10a 17a
Kevät 2003
16 Vastaukset
P A aa
( ) ,= = ≈1017
1017
0 59 ja
P B a a a a aa
( ) ( ) ( ) ,= − + − + = =25 10 17 10 10100
32100
0 32
Vastaus: 0,59 ja 0,32
5. a) x y
x yx y x y
+ =
= = =
2 4
2 8 2 2 33eli , josta saadaan jja sijoitetaan ylempään
⎧⎨⎪
⎩⎪
3y + 2y = 4, josta saadaan y = 45
ja edelleen x = 125
b)
Kuvaajista nähdään, että funktion lg⏐x⏐ kuvaaja kulkee funktion
12x
kuvaajan yläpuolella, kun x < −1,9 tai x > 1,9. Haarukoidaan
tarkempi kuvaajien leikkauspisteen x-koordinaatin arvo tutki-
malla funktion lg⏐ ⏐xx
− 12 merkin vaihtumista.
x lg⏐ ⏐xx
− 12
1,89 −0,0034… < 0
1,90 0,0017… > 0 eli nollakohta on välillä ]1,89; 1,90[
1,895 −0,00086… < 0 eli nollakohta on välillä ]1,895; 1,90[
Kahden desimaalin tarkkuudella kuvaajien leikkauspisteen x-koordinaatti on 1,90 tai −1,90. Ja lg(x) ≥ x−2, kun x ≤ −1,90 taix ≥ 1,90.
Vastaus: a) x = 125
ja y = 45
b) x ≤ −1,90 tai x ≥ 1,90
Kevät 2003
17Vastaukset
6. α + β + γ = 180° eli γ = 180° − (α + β)sijoitetaan annettuun yhtälöön
sinα sinβ = cosγ sinα sinβ = cos(180° − (α + β)) sinα sinβ = −cos(α + β)
käytetään kosinin summakaavaa taulukkokirjasta sinα sinβ = −(cosα cosβ − sinα sinβ) sinα sinβ = sinα sinβ − cosα cosβ cosα cosβ = 0 cosα = 0 tai cosβ = 0 eli α = 90° tai β = 90°, joten kummassakin
tapauksessa kolmio on suorakulmainen.
7. Suoran vektorimuotoinen yhtälö r i j k s i j k1
2 3 7 3 3= + + + + +( ) Lasketaan tasolta kolme pistettä ja määritetään tason vektori-
muotoinen yhtälö. Sijoitetaan tason yhtälöön x = y = 0, jolloin z = 1 ja yksi tason
piste on A(0, 0, 1). Sijoittamalla x = z = 0 saadaan piste B 0 12
0, ,( ) . Sijoittamalla y = z = 0 saadaan piste C(1, 0, 0). Muodostetaan tason virittäjävektorit
AB i j k j k= − + −( ) + − = −( ) ( )0 0 12
0 0 1 12
ja
AC i j k i k= − + − + − = −( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 1 ,
jolloin tason vektorimuotoinen yhtälö on
r k t j k u i k2
12
= + −( ) + −( )
Suoran ja tason leikkauspiste on kohdassa, jossa r r1 2
= .
r r
i j k s i j k k t j k u i k
1 2
2 3 7 3 3 12
=
+ + + + + = + −( ) + −( ) ( )
(22 3 3 7 3 12
1+ + + + + = + + − −s i s j s k ui t j t u k) ( ) ( ) ( )
Vektoreiden komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella
2 3
3 12
7
+ =
+ =
s u
s t
sijoitetaan alimpaan yhtälöön
++ = − −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪ 3 1s t u
Kevät 2003
18 Vastaukset
3 12
7 3 1 2 3
+ =
+ = − − +
⎧⎨⎪
⎩⎪
s t
s t s( )
s
t
= −
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1 34
2 12
Sijoittamalla s suoran yhtälöön saadaan suoran ja tason leikkaus-pisteen paikkavektori.
r i j k i j k i j k1
2 3 7 1 34
3 3 3 14
1 14
1 34
= + + − + + = − + +( ) ,
joten leikkauspiste on −( )3 14
1 14
1 34
, , .
Vastaus: leikkauspiste on −( )3 14
1 14
1 34
, ,
8.
r
1 h1–2
Lieriön korkeus h (0 ≤ h ≤ 2) ja pohjan säde r. Suorakulmaisesta
kolmiosta, jonka kateetit ovat 12
h ja r, saadaan Pythagoraan
lauseella 12
12
2 2h r⎛⎝
⎞⎠ + = eli r h2 21 1
4= − .
Lieriön tilavuus V h r h h h h h( ) = = −⎛⎝
⎞⎠ = −π π π π2 2 31 1
414
V ′(h) = π − 34
πh2.
Derivaatan nollakohdat π π− = =34
0 23
2h h, josta .
Tilavuuden suurin arvo saadaan määrittelyvälin
päätepisteissä (h = 0 tai h = 2) tai välillä olevassa
derivaatan nollakohdassa h = 23
.
Kevät 2003
19Vastaukset
V( )0 0 14
0 03= ⋅ − ⋅ =π π ja V( )2 2 14
2 03= ⋅ − ⋅ =π π ja
V 23
23
14
23
43 3
03⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ⋅ − ⋅ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= >π π π , suurin
Pohjaympyrän säde r = − ⋅ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=1 14
23
23
2
Lieriön ja pallon tilavuuksien suhde V
Vlieriö
pallo
= =
43 343
13
π
π
Vastaus: Lieriön korkeus on 23
ja pohjaympyrän säde 23
.
Lieriön ja pallon tilavuuksien suhde on 13
.
9. Koska ′ = − ⋅ − + ⋅−
= −−
<f xx x
x x( )
( ) ( )
( ) ( )
3 1 2 1
353
02 2
, kun x > 3,
on f(x) aidosti vähenevä ja f −1 on olemassa. y xx
= +−
23
,
josta yx − 3y = x + 2 ja edelleen x yy
= +−
3 21
ja f y yy
− = +−
1 3 21
( ) .
Funktion f määrittelyjoukko A = ]3, ∞[.
Koska limx
xx→
+−
= = ∞3
23
50
ja lim limx x
xx
x
x→∞ →∞
+−
=+
−=2
3
1 2
1 31 ,
on funktion f kuvajoukko f(A) = ]1, ∞[ ja käänteis funktion f −1
määrittelyjoukko B = f(A) = ]1, ∞[.
f f x
xx
xx
x xx
x− =
+− +
+− −
=+ + −
−+
13 2
32
23
1
3 6 2 63
2( ( ))
−− −−
= =( )x
x
x x3
3
55
, kun x > 3.
Vastaus: f y yy
− = +−
1 3 21
( ) ja se on määritelty välillä ]1, ∞[.
Kevät 2003
20 Vastaukset
10. Määritetään sellaisen alaspäin aukeavan paraabelin yhtälö, joka leikkaa x-akselin kohdissa x = 0 ja x = 1 ja joka rajaa x-akselin kanssa alueen, jonka pinta-ala on 100.
Origon kautta kulkevan paraabelin yhtälö on muotoa y = ax2 + bx. Sijoittamalla pisteen (1, 0) koordinaatit paraabelin yhtälöön saadaan 0 = a · 12 + b · 1 ja edelleen b = −a eli paraabelin yhtälö on muotoa y = ax2 − ax.
Paraabelin ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala
( )
/
ax ax
ax ax
a a
2
0
1
0
13 2
100
13
12
100
13
12
− =
−( ) =
− =
∫
1100
600a = −
Joten haettu funktio on f(x) = −600x2 + 600x, kun 0 ≤ x ≤ 1 Tarkistus f(0) = −600 · 02 + 600 · 0 = 0 f(1) = −600 · 12 + 600 · 1 = 0
( )− + =∫ 600 600 1002
0
1
x x
Vastaus: f(x) = −600x2 + 600x, kun 0 ≤ x ≤ 1
11. Suora on ympyrän tangentti, jos suoran etäisyys ympyrän keski-pisteestä (0, 0) on ympyrän säteen 1 suuruinen.
Suoran x0x + y0y − 1 = 0 etäisyys origosta.
dx y
x y=
⋅ + ⋅ −
+= − =
⏐ ⏐ ⏐ ⏐0 0
02
02
0 0 1 11
1 , joten suora on ympyrän
tangentti.
Piste (x0, y0) on ympyrällä, koska koordinaatit toteuttavat ympy-
rän yhtälön x02 + y0
2 = 1.
Koordinaatit toteuttavat myös suoran yhtälön, koska x0 · x + y0 · y = x0 · x0 + y0 · y0 = x0
2 + y02 = 1 ja siis piste on myös
suoralla. Tangentilla ja ympyrällä ei voi olla kuin yksi yhteinen piste, joten (x0, y0) on sivuamispiste.
Vastaus: Sivuamispiste on (x0, y0).
Kevät 2003
21Vastaukset
12. Janan ensimmäinen termi a ja peräkkäisten termien suhde q. Ratkaistaan q yhtälöparista
a aq aq
a aq aq aq aq aq
+ + =
+ + + + + =
⎧⎨⎪
⎩⎪
2
2 3 4 5
3
12yhteinen tekijä 3q
a aq aq+ + =2 3 sijoitetaan alemppaan
a aq aq q a aq aq
q
+ + + + + =
⎧⎨⎪
⎩⎪
+ ⋅ =
2 3 2
3
12
3 3 12
( )
,, josta q = 33
S9 = a + aq + … + aq5 + aq6 + aq7 + aq8 = 12 + q6(a + aq + aq2)
= 12 + ( 33 )6 · 3 = 39
Koska q = 33 > 1 ei vastaava geometrinen sarja suppene.
Vastaus: S9 = 39 ja vastaava sarja ei suppene.
13.
r
dr–h
hO B
A
P
Pallokalotin korkeus h Kolmiot AOP ja BOA ovat yhdenmuotoiset (kk, suorakulma ja
yhteinen kulma O), joten saadaan verranto
rd r
r hr
r dr dh r rh
h drd r
+= −
= − + −
=+
2 2
Alojen suhde
A
Arhr
r drd rr
dd
kalotti
pallo
= =⋅ + =
+24
2
4 22 2ππ
π
π ( rrd
d rd
d r) ( )% %=
+⋅ =
+2100 50 ,
joten p r d dd r
( , ) =+
50 ja lim limd d
dd r r
d→∞ →∞+
=+
=50 50
150
Satelliitista näkyvä maapallon osa p( , ) ,6 370 500 50 500500 6 370
3 6= ⋅+
≈
Vastaus: p r d dd r
( , ) =+
50 ja lim ( , )d
p r d→∞
= 50 sekä 3,6 %
Kevät 2003
22 Vastaukset
14. dydx
y
dyy
dx
yx c
yx c
=
=
− = +
= −+
2
2
1
1
Ratkaistaan c
y a
ca
ca
a
( )0
10
1 0
=
−+
=
= − ≠ Jos a = 0 on y vakiofunktio y = 0
Alkuarvotehtävän ratkaisu
y xx
aax
a
aaxa
( ) = −−
= −−
=−
11
11 1
lim ( ) lima a a
y aa→ →
=−
=0 0
11
0
Vastaus: y x aaxa
( ) =−1
ja lim ( )a a
y→
=0
1 0
15. Lasketaan pisteet
z k i k
z i
k= ⎛
⎝⎞⎠ + ⎛
⎝⎞⎠
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ +
cos sin
cos si
π π
π4 4
040
nn cos sin
cos sin
04
0 0 1
14
11
⋅⎛⎝
⎞⎠ = + =
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ +
π
π
i
z i ⋅⋅⎛⎝
⎞⎠ = +
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ + ⋅⎛
⎝⎞⎠ =
π
π π4
12
12
24
242
i
z icos sin ccos sin
cos sin
π π
π2 2
34
33
⎛⎝
⎞⎠ + ⎛
⎝⎞⎠ =
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ +
i i
z i ⋅⋅⎛⎝
⎞⎠ = − +
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ + ⋅⎛
⎝⎞⎠
π
π π4
12
12
44
444
i
z icos sin == + = −cos sinπ πi 1
Kevät 2003
23Vastaukset
Re
z0
z1
z2
z3
z4
Im
Lasketaan edellisten pisteiden kuvapisteet kuvauksessa f(z) = z2
f z z
f z z i i
( )
( )
0 02 2
1 12
2
1 1
12
12
12
= = =
= = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= +⎛⎝⎝⎜
⎞⎠⎟
= + − =
= = = −
= = −
2
2 22 2
3 32
1 2 12
1
i i
f z z i
f z z
( )
( ) 112
12
12
1 2 12
12 2
4
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − − = −i i i
f z( ) == = − =z4
2 21 1( )
Re
f(z0)f(z4)
f(z1)
f(z3)
f(z2)
Im
Kevät 2003
24 Vastaukset
1. a) x x
x
x
2
2
1
3 5 0
3 3 4 1 52 1
3 292
− − =
= − − ± − − ⋅ ⋅ −⋅
= −
( ) ( ) ( )
, xx2
3 292
= +
b) f ′(x) = 2x − 3 = 1, kun x = 2
c)
x y = 2x − 3
0 −3
3 3
Vastaus: a) x x1 2
3 292
3 292
= − = +, b) x = 2
2. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja puolittavat toisensa. Jos toisen lävistäjän puolikas on a, on toisen lävistäjän puolikas 2a. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
a2 + (2a)2 = 52, josta a = 5 . Neljäkäs koostuu neljästä yhtene-västä suorakulmaisesta kolmiosta, joiden yhteinen pinta-ala on
A = ⋅ ⋅ ⋅ =4 12
5 2 5 20 .
Vastaus: 20 cm2
3. a) f (x) = e2x − 2 + x3 − 1 f ′(x) = 2e2x − 2 + 3x2
b) Tangentin kulmakerroin pisteessä (1, 1) on f ′(1) = 2e2 · 1 − 2 + 3 · 12 = 5
Tangentin yhtälö y − 1 = 5(x − 1) eli y = 5x − 4
c) Tangentti leikkaa y-akselin pisteessä (0, −4). Lasketaan x-akselin leikkauspiste sijoittamalla y = 0.
Syksy 2003
25Vastaukset
5x − 4 = 0 eli x = 45
ja leikkauspiste on 45
0,⎛⎝
⎞⎠
Pisteiden (0, −4) ja 45
0,⎛⎝
⎞⎠ välisen janan pituus
45
0 0 4 4 265
22−⎛
⎝⎞⎠ + − − =( ( ))
Vastaus: a) f ′(x) = 2e2x − 2 + 3x2 b) y = 5x − 4 c) 4 265
4. Piste P(x, y). Saadaan vektoriyhtälö PA PB PC PD PE+ + + + = 0 eli
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − + − + − + − − + − + −1 1 1 2 2 1x i y j x i y j x i y j ++
− + − + − − + − − =( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 0x i y j x i y j
( )
(
− − + − + − + − − − +− − − + − + − − −1 1 2 2 2
1 2 1 3 2
x x x x x i
y y y y yy j) = 0
Vektorien komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella
− − + − + − + − − − =− − − + − + − − − =1 1 2 2 2 0
1 2 1 3 2 0
x x x x x
y y y y y
⎧⎧⎨⎩
− =− =
⎧⎨⎩
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 5 0
1 5 0
2515
x
y
x
y
Vastaus: Pisteestä 25
15
,⎛⎝
⎞⎠
5. Päärynämehun määrä P ja omenamehun määrä O. Sokeripitoi-suuksista saadaan yhtälö
0 14 0 07 0 11
0 14 0 07 0 11 0 11
0
, , ,
, , , ,
P OP OP O P O
++
=
+ = +,, ,
: ( )
03 0 04
3 4 3
43
P O
P O O
PO
==
=
Vastaus: Sekoitussuhde on 4 osaa päärynämehua ja 3 osaa omena mehua.
Syksy 2003
26 Vastaukset
6. Käytetään muunnoskaavaa sin(x − y) = sinxcosy − cosxsiny Lasketaan cosx ja siny
sin cos sin
cos
cos
2 2 1 14
154 2 2
x x x
x x
x
+ = =
= ± − ≤ ≤π π
== 154
sin cos cos
sin
sin
2 2 1 13
2 23
2
y y y
y y
y
+ = = −
= ± ≤ ≤
=
π π
−− 2 23
sin(x − y) = sinxcosy − cosxsiny =
14
13
154
2 23
112
2 3012
1 2 30⋅ −⎛⎝
⎞⎠ − ⋅ −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ = − + = − +
1120 83≈ ,
Vastaus: − + ≈1 2 3012
0 83,
7. a)
Kierrossa muodostuu 6-sakarainen tähti, jonka sakarat ovat alku-peräisen kolmion kanssa yhdenmuotoisia tasasivuisia kolmioita yhdenmuotoisuussuhteena 1: 3, jolloin pinta-alojen suhde on 1: 9
ja kysytty ala on A a a a= + ⋅ ⋅ =2 2 234
3 19
34
33
b)
Kierrossa muodostuu alkuperäinen kolmio, joten ala on A a=2 34
c) Kierrossa muodostuu sama kuvio kuin a)-kohdassa eli
A a=2 33
Syksy 2003
27Vastaukset
8. a)
1–1
1
2 3 4 5 6
y
x
b) Lasketaan todennäköisyydet kolmioiden ja puolisuunnikkai-den pinta-alojen avulla.
P(x ≤ 1) on sen kolmion ala, jonka kanta on 1 ja korkeus 15
eli
P(x ≤ 1) = 12
1 15
110
⋅ ⋅ =
P(1 < x ≤ 3) muodostuu kahdesta puolisuunnikkaasta, joista en-
simmäisen yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 15
ja 25
sekä
korkeus 1 ja ala 1
15
25
23
10⋅
+= .
Toisen puolisuunnikkaan ala on 125
215
3 23
213
⋅+ − ⋅ +( )
= eli
P(1 < x ≤ 3) = 310
13
1930
+ =
P(x > 3) on sen kolmion ala, jonka kanta on 2 ja korkeus
− ⋅ +215
3 23
= 415
eli P(x > 3) = 12
2 415
415
⋅ ⋅ =
Vastaus: b) P(x ≤ 1) = 110
, P(1 < x ≤ 3) = 1930
, P(x > 3) = 415
9.
R
R αα
α
1– a2
1– a2
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteessä.
Kolmion sivu a on kolmion ympäri piirretyn ympyrän jänne ja sivun a vastainen kulma α on ympyrän kehäkulma. Kehäkulmaa α vastaavan keskuskulman 2α puolikas on suorakulmaisen kol-mion kulma α ja kyseisestä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
sinα =12
a
R, josta R a=
2sinα.
Syksy 2003
28 Vastaukset
10.
1–1–1
1
2
3
4
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x
f(x) = ⏐ln⏐x – 2⏐⏐
⏐ ⏐ln
ln ,
ln ,y
y y
y y=
≥− < <
⎧⎨⎩⎪
kun
kun
1
0 1
Nyt y = ⏐x − 2⏐ ⏐x − 2⏐ ≥ 1, kun x ≥ 3 tai x ≤ 1
0 < ⏐x − 2⏐ < 1, kun 1 < x < 2 tai 2 < x < 3
Joten
⏐ ⏐ ⏐⏐
⏐ ⏐⏐ ⏐
ln
ln ,
ln ,x
x x
x x− =
− ≤− − <
2
2 1
2
kun
kun 1 <<− − < <
− ≥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
2
2 3
2 3
ln ,
ln ,
⏐ ⏐⏐ ⏐
x x
x x
kun 2
kun⎪⎪⎪
Poistetaan vielä sisimmät itseisarvomerkit huomioimalla, että
⏐ ⏐x
x x
x x x− =
− ≥− − = − + <
⎧⎨⎩⎪
22 2
2 2 2
,
( ) ,
kun
kun
⏐ ⏐ ⏐⏐ln
ln( ),
ln( ),x
x x
x− =
− + ≤− − +
2
2 1
2
kun
kun 1 << <− − < <
− ≥
⎧
⎨⎪
x
x x
x x
2
2 3
2 3
ln( ),
ln( ),
kun 2
kun
⎪⎪
⎩⎪⎪
Funktion kulku
D xx
D xx
D x
ln( ) , ( ln( )) ,
( ln(
− + = −− +
− − + =− +
−
2 12
2 12
−− = −−
− =−
2 12
2 12
)) , ln( )x
D xx
+x
+1
–2
f’(x)
f(x)
3
–
′ <
′ ⎛⎝⎞⎠ >
′ ⎛⎝⎞⎠ <
′ >
f
f
f
f
( )
( )
0 0
32
0
2 12
0
4 0
Syksy 2003
29Vastaukset
Funktio saa vain ei-negatiivisia arvoja, joten sen pienin arvo on nolla, jonka se saa kohdissa x = 1 ja x = 3.
Vastaus: Funktio kasvaa väleillä 1 < x < 2 ja x > 3 ja vähenee väleillä x < 1 ja 2 < x < 3. Funktio saa pienimmän arvonsa koh-dissa x = 1 ja x = 3 ja funktion lauseke on
⏐ ⏐ ⏐⏐ln
ln( ),
ln( ),x
x x
x− =
− + ≤− − +
2
2 1
2
kun
kun 1 << <− − < <
− ≥
⎧
⎨⎪
x
x x
x x
2
2 3
2 3
ln( ),
ln( ),
kun 2
kun
⎪⎪
⎩⎪⎪
11. f x x a x a x a x ak
k
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= − = − + − + − +=
∑ 2
11
22
23
2 ... ( )+ −x an
2
f ′(x) = − + − + − + + −2 2 2 21 2 3
( ) ( ) ( ) ... ( )x a x a x a x an
Derivaatan nollakohta
2 2 2 2 0 21 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) :x a x a x a x an
− + − + − + … + − =
:nx a a a nn
= + + … +1 2
xn
ak
k
n
==
∑1
1
Funktion f kuvaaja
f x x a x xa a nx x ak
k
n
k k kk
( ) ( ) ( )= − = − + = −= =
∑ 2
1
2 2 2
1
2 2nn
k
n
kk
n
a∑∑ ∑= =
+1
2
1
Havaitaan, että funktio on toisen asteen polynomifunktio ja sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktion ainoa ääriarvo-kohta on minimikohta, joten se saa pienimmän arvonsa kohdassa
xn
ak
k
n
==
∑1
1
.
Pienin arvo
f x nx x a a
fn
a
kk
n
kk
n
kk
n
( ) = − +
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= =
=
∑ ∑
∑
2
1
2
1
1
2
1 ==⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟− ⋅
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= = =∑ ∑n
na
na a
kk
n
kk
n
kk
n1 2 1
1
2
1 1∑∑ ∑
∑ ∑
+
=⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−
⎛
⎝⎜⎞
⎠
=
= =
a
na
na
kk
n
kk
n
kk
n
2
1
1
2
1
1 2⎟⎟ +
= −⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
=
= =
∑
∑ ∑
2
2
1
2
1 1
2
1
a
an
a
kk
n
kk
n
kk
n
Vastaus: Pienin arvo on an
ak
k
n
kk
n2
1 1
2
1
= =∑ ∑−
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
Syksy 2003
30 Vastaukset
12. a) Lasketaan ensimmäisen säästövuoden aikana tilille kertynyt summa. Ensimmäinen 200 euron talletus kasvaa korkoa 12 kuu-kautta, toinen 11 kuukautta ja niin edelleen. Alle vuoden talle-tuksesta saatu korkotulo r on
r = kit ⏐i = 1,5 % = 0,015, k = 200 €,
⏐t = 12, 11, 10, … 1 kk = 1212
1112
112
, , … a
Koko vuoden talletuksista kertynyt korko
r = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅200 0 015 1212
200 0 015 1112
200 0 015 1, , , 0012
200 0 015 112
200 0 015 112
12 11 1
+ …
+ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ + +
,
, ( 00 1 212 12 1
200 0 0
1
1
+ … + = ⋅+
= = =
= ⋅
),
, ,
,
S na a
n a a
nn
n
115 112
12 12 12
19 50
⋅ ⋅ ⋅ +
= ,
Talletettu pääoma vuoden lopussa koron lisäyksen jälkeen k = 12 · 200 + 19,50 = 2 419,50
Vuosittaisia talletuksia on 18. Korkotekijä q = 1,015
Pääoma talletusajan lopussa
Talletus 1. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,01517
Talletus 2. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,01516
Talletus 3. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,01515 . . . Talletus 17. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,015 Talletus 18. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50
Talletukset yhteensä
S18
17 162 419 50 1 015 2 419 50 1 015 2 419 50= ⋅ + ⋅ +, , , , , ⋅⋅ + …
+ ⋅ += ⋅ −
1 015
2 419 50 1 015 2 419 501
15
1
,
, , ,S a q
n
n
112 419 50
1 015 18
2 419 50 1 1 1
1−=
= =
= ⋅ ⋅ −
qa
q n
, , ,
, ,
, ,,,
,
0151 1 015
49 574 04
18
−=
Syksy 2003
31Vastaukset
b) S a qq
a q Sn
n
n= ⋅ −
−= = ≥
1 111
2 419 50 1 015 135 000, , , , ,
2 419 50 1 1 0151 1 015
135 000
1 015 1 8369
, ,,
, ,
⋅ −−
≥
≥
n
n .... lg
lg , lg , ... : lg ,
lg ,
n
n
1 015 1 8369 1 015 0
1 8
≥ >
≥ 33691 015
40 843
...lg ,
, ...n ≥
Eli pitäisi tallettaa vähintään 41 vuotta.
Vastaus: a) Tilillä on rahaa 49 574,04 €, b) pitäisi tallettaa vähintään 41 vuotta.
13. Tilavuus V x dxe
= ∫π (ln )2
1
Osittaisintegrointi
′ = − ′ = =∫ ∫f gdx fg g fdx f x x g x xa
b
a
b
a
b
/ ( ) , ( ) (ln )
(l
2
nn ) / (ln ) ln
/
x dx x x xx
xdx
e
e e e
e
2
11
2
1
1
2 1
2
∫ ∫= − ⋅ ⋅
= − (( ln ) ( ( ))x x x e e e e− = − − − − = −2 0 1 2
Tilavuus V x dx ee
= = −∫π π(ln ) ( )2
1
2
Vastaus: π(e − 2)
14. G xx
f t dtx
F tx
F x Fx
xx
( ) ( ) / ( ) ( ( ) ( ))= = = − =∫1 1 1 0 10
0
⋅⋅ − ⋅F xx
F( ) ( )1 0
′ = − + − − ⋅ + ⋅
= −
G xx
F xx
F xx
Fx
x
( ) ( ) '( ) ( ( ) )1 1 1 0 1 0
1
2 2
22 2
2 2
1 1 0
1 1 0 1
F xx
f xx
F
xF x
xF
x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + ⋅
= − + ⋅ + ff x
x xF x
xF
xf x
xG x
x
( )
( ) ( ) ( )
( )
= − ⋅ −( ) +
= − +
1 1 1 0 1
1 1 ff x( )
Syksy 2003
32 Vastaukset
Jos f on kasvava, on f(x) ≥ f(t), kaikilla x ≥ t
Jos f(x) ≥ f(t), niin
f x dt f t dt
x x
( ) ( )≥∫ ∫0 0
/( ( ) ) ( )0
0
x x
f x t f t dt⋅ ≥ ∫
xf x f t dt x
x
( ) ( ) : ( )≥ >∫ 00
f x
xf t dt G x
x
( ) ( ) ( )≥ =∫1
0
Koska G(x) ≤ f (x), on G ′(x) = − + >1 1 0x
G xx
f x( ) ( ) , joten myös G(x) on kasvava.
Vastaus: G ′(x) = − +1 1x
G xx
f x( ) ( )
15. a) y(x) = sinx + cosx, joten y′(x) = cosx − sinx, sijoitetaan differen-tiaaliyhtälöön y′ + 2sinx = cosx − sinx + 2sinx = cosx + sinx = y(x) eli toteuttaa yhtälön.
Tarkistetaan toteutuuko alkuehto y(0) = 1, sijoitetaan x = 0 y(0) = sin0 + cos0 = 1 eli toteutuu
b) Alkuarvoprobleeman y′ = f(x, y), y(x0) = y0 Eulerin menetel-män iteraatiokaava on
yi +1 = yi + hf(xi, yi) ja xi +1 = xi + h, missä i = 0, 1, 2, …
Muokataan alkuperäistä yhtälöä
y′ + 2sinx = y
y′ = y − 2sinx
Sovelletaan Eulerin menetelmää
yi +1 = yi + hf(xi, yi) ⏐h = 0,5, f(xi, yi) = yi − sinxi
yi +1 = yi + 0,5 · (yi − 2sinxi) = 1,5yi − sinxi
Alkuehdon mukaan x0 = 0 ja y0 = 1
xi y(xi) yi yi − y(xi)
0 1 1 0
0,5 1,3570 1,5 0,1430
1 1,3818 1,7706 0,3888
1,5 1,0682 1,8144 0,7462
2 0,4931 1,7241 1,2309
Syksy 2003
33Vastaukset
1. a) f(x) = x3 + 3x2 + x + 1 f(−2) = (−2)3 + 3 · (−2)2 − 2 + 1 = −8 + 12 − 2 + 1 = 3
b) g(x) = x3 + x2 − 2x + 3
g 1
212
12
2 12
3 18
14
1 3 2 33 2⎛
⎝⎞⎠ = ⎛
⎝⎞⎠ + ⎛
⎝⎞⎠ − ⋅ + = + − + =
88
c) f x g x
x x x x x x
x x
x
( ) ( )=
+ + + = + − +
+ − =
= −
3 2 3 2
2
3 1 2 3
2 3 2 0
33 3 4 2 22 2
3 54
3 54
12
3 54
2
1
2
± − ⋅ ⋅ −⋅
= − ±
= − + =
= − −
( )
x
x
x == −2
Vastaus: a) f(−2) = 3 b) g 12
2 38
⎛⎝
⎞⎠ = c) x x= − =2 1
2tai .
2. ( )2 3 12
1
x dxa
a
+ =+
∫
/ ( )
( ) ( ) ( )
a
a
x x
a a a a
a
++ =
+ + + − + =
+
12
2 2
2
3 12
1 3 1 3 12
2aa a a a
a
a
a
a
+ + + − − =
+ =
= −
= −
= −
1 3 3 3 12
2 4 12
2 7274
1 34
2
Vastaus: a = −1 34
Kevät 2004
34 Vastaukset
3. Tulot a
Vuokramenot alussa 0,25 a Vuokramenojen nousu 15 % Prosenttikerroin 100 % + 15 % = 115 % = 1,15 Vuokramenot korotuksen jälkeen 1,15 · 0,25a = 0,2875a
Muu käyttö alussa a − 0,25 = 0,75a Muu käyttö korotuksen jälkeen a − 0,2875a = 0,7125a
Muun käytön muutos 0 71250 75
0 95,,
,aa
=
Käytön pienennys 100 % – 95 % = 5 %
Vastaus: Muuhun käyttöön riitti rahaa 5 % vähemmän kuin ennen.
4. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa, joten
AQ AB b a� ���� � ���
= = −12
12
( ) .
OQ OP a b aP
a i j b
� ���� � ���= + + −
−= +
12
1 1
4( )
( , ),
, == − +
= − + + + − + − +⎡⎣ ⎤⎦
= +
2 5
4 12
2 5 4
12
7
i j
i j i j i j i j
i
( )
22j
Pisteen Q koordinaatit ovat 12
72
,⎛⎝
⎞⎠
Vektori PQ i j i j� ���
= −⎛⎝
⎞⎠ + +⎛
⎝⎞⎠ = − +1
21 7
21 1
292
Vastaus: PQ i j� ���
= − +12
92
, Q = 12
72
,⎛⎝
⎞⎠
1–1–1
1
2
3
4
5
6
7
8
–2 2 3 4
y
x
P(1, –1)
AQ
B
–a
–b
Kevät 2004
35Vastaukset
5. Funktion f(x) kuvaajalle y piirretyn tangentin kulmakerroin k kohdassa x = a on yhtä suuri kuin funktion derivaatan arvo kyseisessä pisteessä.
f(x) = x2 − 2x − 3 f ′(x) = 2x − 2
Toisaalta suoran kulmakerroin k saadaan suoran suuntakulman α = 45° avulla
k = tanα = tan 45° = 1
Haetaan ne kohdat, joissa funktion derivaatta saa arvon 1
′ = ′ = −
− ==
=
f x f x x
x
x
x
( ) ( )
:
1 2 2
2 2 1
2 3 2
32
Pisteen y-koordinaatti
f x x x
f
( ) = − −
⎛⎝
⎞⎠ = ⎛
⎝⎞⎠ − ⋅ − = −
2
2
2 3
32
32
2 32
3 3 34
Vastaus: Piste 32
3 34
, −⎛⎝
⎞⎠
6. Muodostetaan yhtälöpari
tan ,
tan
22 5
25 12
�
�
=
= +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
xa
xa
Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä a ja sijoitetaan alempaan
tan ,
tan ,
22 5
22 5
�
�
=
=
xa
a x
a
a25°
22,5°
12 12 21
x + 12
4
Kevät 2004
36 Vastaukset
tan
tan
tan ,
tan (
25 12
25 12
22 5
25 1
�
�
�
�
= +
= +
= +
xa
xx
x 22 22 5 0
25 22 5 12 2
) tan ,
tan tan , tan
⋅ ⋅ ≠
= + ⋅
�
� �x
x
x x 22 5
25 22 5 12 22 5
,
(tan tan , ) tan , :(ta
�
� � �x − = ⋅ nn tan , )
tan ,tan tan ,
25 22 5
12 22 525 22 5
� �
�
� �
−
= ⋅−
x
Maston korkeus
x + + − = ⋅
−− ≈12 4 21 12 22 5
25 22 55 90 4tan ,
tan tan ,,
�
� �
Vastaus: Maston korkeus on 90,4 m
7. On laskettava kateettien suhde ab
Kolmion hypotenuusa c
AD c c= =7
100 7,
DB c c= =3
100 3,
Koska α + β = 90°, niin �BCD = 90° − β = α Tällöin kolmiot ABC, ADC ja CDB ovat yhdenmuotoisia (kk) – kaikissa terävä kulma α – kaikissa suora kulma
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on vakio. Kolmioista ADC ja CDB saadaan
hc
ch
h c h c
h c
0 70 3
0 21 0 0
0 21
2 2
,,
, , ,
,
=
= > >
= Kolmioista ABC ja CDB saadaan
ab
ch
h c
ab
cc
= =
= = = =
0 3 0 21
0 30 21
0 090 21
921
37
, ,
,,
,,
Vastaus: Kateettien suhde on 3 7: .
B
D
C Ab
a
β
αα
h
(3)
(7)
Kevät 2004
37Vastaukset
8. a) Muutetaan neliöön täydentämällä ympyrän yhtälö keskipiste- muotoon (x − x0)
2 + (y − y0)2 = r2.
(x2 + y2 − 2x −4ay + 5a2 + 2a = 0
x2 − 2x + 1 +y2 − 4ay + (2a)2 = −5a2 − 2a + 1+ (2a)2
(x − 1)2 + (y − 2a)2 = −a2 − 2a + 1
Yhtälö esittää ympyrää, jos r2 = −a2 − 2a + 1 > 0
Ratkaistaan epäyhtälö
−a2 − 2a + 1 > 0
Nollakohdat
− − + =
= ± − ⋅ − ⋅⋅ −
= ±−
= +
a a
a
a
a
2
2
1
2 1 0
2 2 4 1 12 1
2 82
2
( )( )
22 22
1 2
2 2 22
1 22
−= − −
= −−
= − +a
Merkkikaavio
− − + >
− − < < − +
a a
a
2 2 1 0
1 2 1 2
b) Ympyrän pinta-ala A = πr2 on suurin, kun säteen neliö r2 on mahdollisimman suuri.
Haetaan säteen neliön r2 = −a2 − 2a + 1 suurin arvo, kun
− − < < − +1 2 1 2a .
Merkitään r2 = f(a) = −a2 − 2a + 1
Funktion f(a) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saavut-taa suurimman arvonsa huipussa. Paraabelin huipussa funktion derivaatta on nolla.
a–
a– + + –
–
−1 − 2 −1 + 2
Kevät 2004
38 Vastaukset
Derivoidaan funktio
f(a) = −a2 − 2a + 1
f ′(a) = − 2a − 2
Derivaatan nollakohta
f ′(a) = 0
− 2a − 2 = 0
− 2a = 2
a = −1
Koska derivaatan nollakohta kuuluu välille
− − < < − +1 2 1 2a , niin säteen neliö on suurimmillaan tässä kohdassa.
Suurin mahdollinen pinta-ala
A = πr2 ⏐r2 = f(−1) = −(−1)2 − 2 · (−1) + 1 = 2
A = π · 2 = 2π
Vastaus: a) Yhtälö esittää ympyrää, kun − − < < − +1 2 1 2a . b) Ympyrän suurin ala on 2π.
9. Todennäköisyys, että arpa yksi
– voittaa p = =120
0 05,
– ei voita q = 1 − p = 1 − 0,05 = 0,95
Arpoja ostetaan n (kpl), n ∈ r
Tapaus A = ”Ainakin yksi arpa n:stä voittaa.” Tapauksen A komplementti A = ”Ei yhtään voittoa n:stä arvasta.”
P P P
P
P P
( ) , ( ) ( )
( ) ,
( ) ,
A A A
A
A
> = −
− >
<
0 5 1
1 0 5
0 5 (( ) ,
, ,lg(), lg
A q
x
n n
n
= =
<
0 95
0 95 0 5aidosti kaasvava,
säilyttää järjestyksen
lg , lg ,0 95 0n < 55
0 95 0 5 0 9lg , lg , : lg ,
potenssin logaritmi
n < 55 0
0 50 95
13 51
<
>
>
,
lg ,lg ,
,
järjestys kääntyy
n
n …… ∈
≥
n
n
r
14
Vastaus: Arpoja on ostettava ainakin 14 kappaletta.
Kevät 2004
39Vastaukset
10. Funktio f : ] −∞, 0[ → r on se funktion ′ = +f xx
( ) 1 1 integraali-funktio, mikä sivuaa suoraa y = 2.
Haetaan kaikki integraalifunktiot f : ] −∞, 0[ → r
f x f x dx
xdx
x x C x
( ) ( )
ln ln l
= ′
= +⎛⎝
⎞⎠
= + + =
∫∫ 1 1
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ nn( ),
ln( )
− <
= + − +
x x
x x C
koska 0
Funktio sivuaa suoraa y = 2, joten funktion derivaatan arvo on sivuamispisteessä sama kuin suoran kulmakerroin k = 0. Haetaan ne kohdat, joissa derivaatta saa arvon nolla.
′ = ′ = +
+ =
= −
= −
f x f xx
x
xx
( ) ( )0 1 1
1 1 0
1 1
1
Funktion arvo kohdassa x = −1 on 2, koska funktio sivuaa suoraa.
Ratkaistaan C
f x x x C
f
C
( ) ln
( )
ln ln
= + +− =
− + − + = −
⏐ ⏐
⏐ ⏐ ⏐ ⏐
1 2
1 1 2 1 ==
=
0
3C
Kysytty funktio f(x) = x + ln(−x) + 3
Vastaus: f(x) = x + ln(−x) + 3
11. Merkitään g(x) = xx − ex − 1, kun x ≥ 1
g(x) = xx − ex − 1 = elnxx − ex − 1
Koska ex on aidosti kasvava, niin g(x) ≥ 0, kun lnxx ≥ x − 1
Merkitään f(x) = lnxx − (x − 1) = xlnx − x + 1, kun x ≥ 1 Osoitetaan, että funktio on ei-negatiivinen aina, kun x ≥ 1. Haetaan funktion pienin arvo, kun x ≥ 1.
Kevät 2004
40 Vastaukset
Derivaatta
f x x x x
f x x xx
x
( ) ln
( ) ln ln
= − +
′ = + ⋅ − =
1
1 1
f ′(x) = lnx ≥ 0, kun x ≥ 1 ja yhtäsuuruus on voimassa vain, kunx = 1. Näin ollen funktio f(x) on aidosti kasvava ja saavuttaa pienimmän arvonsa välin alkupisteessä x = 1.
Pienin arvo f(x) = xlnx − x + 1 f(1) = 1 · ln1 − 1 + 1 = 0
Tällöin f(x) ≥ 0 aina, kun x ≥ 1 eli x ln x − x + 1 ≥ 0, kun x ≥ 1. Joten
g(x) = xx − ex −1 ≥ 0 aina, kun x ≥ 1.
Yhtäsuuruus g(x) = 0 on voimassa, kun x = 1: 11 − e1−1 = 1 − 1 = 0.
12. Funktio f : r → r f(x) = 2−n, nπ ≤ x < (n + 1)π, n ∈ z Koska kyseessä on paloittain määritelty funktio, pitää myös
integraalin arvo määrittää samoissa paloissa.
I k f x xdx f x xdx f x xdx( ) ( )sin ( )sin ( )sin ...= = + +π
2ππππ
π
π
∫∫∫
∫+−
00
1
k
k
k
f x xdx( )sin( )
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
=
−
−
∫∑ f x xdx
xdx
n
n
n
k
n
( )sin
sin
( )
π
π1
0
1
2nn
n
n
k
n
n
n
xdx
π
π
π
π
( )
( )
/ cos
+
=
−
−+
∫∑⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
1
0
1
1
2⎛⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + −
=
−
−
=
−
∑n
k
n
n
k
n n
0
1
0
1
2 1[ (cos( ) cos ]π π∑∑ = −
+ = −
= − −
+
−
cos ( ) ,
cos( ) ( )
{ [(
n
n
n
n
n
π
π
1
1 1
2 1
1
)) ( ) ]}
[ ( ) ( )]
n n
n
k
n n
n
+
=
−
−
=
− −
= − ⋅ − ⋅ − −
∑ 1
0
1
0
1
2 1 1 1kk
n n
n
k
−
− +
=
−
∑
∑= − ⋅
1
1
0
1
1 2( )
Kevät 2004
41Vastaukset
Kyseessä on geometrinen sarja, jonka ensimmäinen termi on
a1 = 2 ja suhdeluku q = − 12
.
Sarjan summa
S aqq
k
k
k
= −−
= ⋅− −( )− −( ) = − −⎛
⎝⎞⎠
⎡
⎣11
21 1
2
1 12
43
1 12
⎢⎢⎤
⎦⎥
Raja-arvo
lim ( ) limk k
k
I k→∞ →∞
= − −⎛⎝
⎞⎠
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −⎛
⎝⎞⎠
43
1 12
12
kk
k→ → ∞
=
0
43
, kun
Vastaus: Integraali I kk
( ) = − −( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥4
31 1
2 ja raja-arvo lim ( )
kI k
→∞= 4
3.
13. a) Oletus: Luku m on luvun n tekijä ja luku n on luvun m tekijä ja m, n ∈ r
Väite: m = ±n
Todistus: Oletuksesta seuraa, että n = km, k ∈ r ja m = sn, s ∈ r Tällöin
m = sn ⏐n = km
m = skm
m − skm = 0
m(1 − sk) = 0
Jos m = 0, niin n = km = 0, jolloin väite on tosi. Jos m ≠ 0, 1 − sk = 0, tällöin sk = 1. Lukujen tulon ollessa 1 luvut ovat toistensa käänteislukuja.
Koska luvut s ja k ovat kokonaislukuja, niin joko s = 1 ja k = 1, tai s = −1 ja k = −1. Näin ollen m = ±n.
b) Oletus: Luku m on luvun n tekijä ja luku n on luvun p tekijä ja m, n, p ∈ r
Väite: Luku m on luvun p tekijä
Todistus: Oletuksesta seuraa, että n = km, k ∈ r ja p = sn, s ∈ r Tällöin
p = sn ⏐n = km
p = skm
Kevät 2004
42 Vastaukset
Koska s ja k ovat kokonaislukuja, niin näiden tulo sk on koko-naisluku, sk = t, t ∈ r.
Näin ollen p = skm = tm, t ∈ r, joten luku m on luvun p tekijä.
14. Lukujono (ak) suppenee, jos ja vain jos limk k
a a→∞
= . Sarja ak
k =
∞
∑1
hajaantuu, jos limk k
a→∞
≠ 0 .
Suppeneva lukujono x1, x2, x3, … ja sitä vastaava sarja xn
n=
∞
∑1
hajaantuu, kun valitaan esimerkiksi, että xk = 1.
Lukujono 1, 1, 1, … suppenee, koska limk k
x→∞
= 1 .
Vastaava sarja hajaantuu, koska limk k
x→∞
= ≠1 0 .
Jos sarja suppenee, niin lim lim( ) limn n n k k
k
n
nk
n
a a a a→∞ →∞ =
−
→∞== − =∑∑
1
1
1nn
= 0 ,
jolloin vastaava lukujono (ak) suppenee.
Siis ei voi olla mahdollista, että jono hajaantuu, kun vastaava sarja suppenee.
15. Ympyrälieriön pohjan säde r = 10 cm = 1 dm
Veden pinnan korkeus hetkellä t(s) on h(t) yksikkönä desimetri.
Astian vesimäärä hetkellä t(s) on V(t) = πr2h(t) yksikkönä litra eli kuutiodesimetri.
Veden valumisnopeus on suoraan verrannollinen pinnan-korkeuden neliöjuureen, eli saadaan differentiaaliyhtälö
′ =V t k h t( ) ( ) , josta ratkaistaan vesimäärä hetkellä t, eli V(t). Tilavuuden lausekkeesta saadaan ratkaistua h(t)
V t r h t r
h tr
V t
( ) ( ) : ( )
( ) ( )
=
=
π π
π
2 2
21
Differentiaaliyhtälö
′ = ′ = = =V t k h t V t dVdt
h t V t V t( ) ( ) ( ) , ( ) ( ), ( )1π
VV
dVdt
kr
V k kr
dVV
k dt
= =
=
1 12 1 2
1
π π
Kevät 2004
43Vastaukset
V dV k=−
∫12
11
1 1 21
21
2 2
2 22 2
dt
V k t C kk
CC
V k t C
∫= + = =
= +
: , ,
()22
2 22V k t C= +( )
Alkuehdoista V V( ) ( )0 10 30 12
10 5= = ⋅ =ja saadaan yhtälöpari
10 0
5 302 2
2 2
= ⋅ +
= ⋅ +
⎧⎨⎪
⎩⎪
k C
k C
Ylemmästä yhtälöstä saadaan C2
10= . Sijoitetaan tämä alem-paan yhtälöön.
5 30 10
30 5 10
5 103
2
2
2
= ⋅ +
= −
= −
k
k
k00
Tilavuuden lauseke V t k t C t( ) ( )= + = − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 2
22
5 1030
10
Astia on tyhjä, kun
V t
t
t
t
( ) =
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
− = −
= − ⋅
0
5 1030
10 0
5 1030
10
10 3
2
005 10
10 2 5
2 5 305 1 2
30 22 1
102
−= ⋅
= − ⋅ ⋅−
=−
≈
t
t
t
( )
Vastaus: V t t( ) = − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 1030
102
. Astian tyhjeneminen
kestää 102 sekuntia.
Kevät 2004
44 Vastaukset
1. a) 2 3 3 2
4 6 4
1 12
x x
x
x
− < −<
<
:
b) ( )x
x x
x x
+ ≤
+ + ≤
+ ≤
1 1
2 1 1
2 0
2
2
2
Nollakohdat
x x
x x
x x
2 2 0
2 0
0 2 0
+ =+ =
= + =( )
tai x = –2 Merkkikaavio
x–2
– ++0
(x + 1)2 ≤ 1, kun −2 ≤ x ≤ 0
c) x3 < x2
x3 − x2 < 0
Nollakohdat x3 – x2 = 0 x2(x – 1) = 0 x2 = 0 tai x – 1 = 0 x = 0 x = 1
Merkkikaavio f(x) = x3 − x2
+
x–
0–
1
f(−1) = −(−1)3 − (−1)2 = −1 − 1 = −2 < 0
f(0,5) < 0
f(2) > 0
x3 < x2, kun x < 1 ja x ≠ 0
Vastaus: a) x < 1 12
b) −2 ≤ x ≤ 0 c) x < 1 ja x ≠ 0
2. Kolmion sivut a − 1, a ja a + 1 Pisin sivu a + 1 Määrittelyehto a − 1 > 0, a > 0 ja
a + 1 > 0 eli a > 1
Syksy 2004
a
a – 1a + 1
45Vastaukset
Pythagoraan lause (a − 1)2 + a2 = (a + 1)2 ⏐ a > 1 a2 − 2a + 1 + a2 = a2 + 2a + 1 a2 − 4a = 0 a(a − 4) = 0 a = 0 tai a = 4
Ei käy
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on sivujen keski-normaalien leikkauspisteessä.
Kolmion sivujen pituudet 3, 4 ja 5.
r11–2
2
Pythagoraan lause
r
r r
r
22
2
2
1 12
2
254
0
2 12
= ⎛⎝
⎞⎠ +
= >
=
,
Vastaus: a = 4 ja r = 2 12
3. Kuution särmä s Alkuperäinen kokonaispinta-ala A = 6s2 Pinta-alasta jää jäljelle 100 % – 36 % = 64 % = 0,64 alkuperäi-
sestä Uusi pinta-ala 0,64A = 0,64 · 6s2 = 3,84s2 Uusi särmä x
6 3 84 6
0 64 0 0
2 2
2 2
x s
x s x s
x
=
= > >
=
, :
, , ,
00 8, s
Syksy 2004
46 Vastaukset
Kuution tilavuuden muutos VV
xs
ss
2
1
3
3
3
30 8 0 512= = =( , ) ,
Tilavuuden pieneneminen prosentteina 100 % – 51,2 % = 48,8 %
Vastaus: Tilavuus pienenee 48,8 %.
4.
1–1
1
2
3
2 3 4 5 6 7
y
x
A(1, 2)
B(7, 1)P
Paikkavektori OA i j� ���
= + 2
Vektori AB i j i j� ���
= − + − = −( ) ( )7 1 1 2 6
Vektori OP x i j x� ���
= + ∈( ),3 r
Toisaalta OP OA yAB y� ��� � ��� � ���
= + ∈, r
Koska kyseessä on yksi ja sama vektori niin
x i j OA yAB x y
xi x
( ) ,3
3
+ = + ∈
+
� ��� � ���r
jj i j y i j
xi xj i j yi yj
xi xj
= + + −+ = + + −+ = +
2 6
3 2 6
3 1
( )
( 66 2y i y j) ( )+ − Koska i j i j, ≠ ⊥0 ja , niin
3 1 6
2
x y
x y
= += −
⎧⎨⎩⎪
Sijoitetaan alemman yhtälön muuttujan x lauseke ylempään
yhtälöön.
3 2 1 6
6 3 1 6
9 5 9
59
( )
: ( )
− = +− = +− = − −
=
y y
y y
y
y
Lasketaan x
x y= − = − =2 2 5
9139
Syksy 2004
47Vastaukset
Vektori OP i j i j� ���
= + = +139
3 133
139
( )
Pisteen P koordinaatit P = ⎛⎝
⎞⎠
133
139
,
Vektori AP i j i j� ���
= −⎛⎝
⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠ = −13
31 13
92 10
359
Vektorin AP� ���
pituus ⏐ ⏐AP� ���
= ⎛⎝
⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠ = =10
359
92581
5 379
2 2
Vektorin AB� ���
pituus ⏐ ⏐AB� ���
= + =6 1 372 2
Vektorin BP� ���
pituus ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐BP AB AP� ��� � ��� � ���
= − = − =37 5 379
4 379
Pituuksien suhde ⏐ ⏐⏐ ⏐
AP
BP
� ���
� ��� = =5 37
94 37
9
54
Vastaus: Piste P jakaa janan AB suhteessa 5:4.
5. Vikaantumistodennäköisyydet takuuaikana pA = 0,01, pB = 0,007 ja pC = 0,05
Todennäköisyys, että A ei vikaannu on pA
= 1 – 0,01 = 0,99
Todennäköisyys, että B ei vikaannu on pB
= 1 – 0,007 = 0,993
Todennäköisyys, että C ei vikaannu on pC = 1 – 0,05 = 0,95
A = ”Laite vikaantuu takuuaikana” = ”Jokin laitteen kolmesta komponentista A, B tai C ei toimi”
A = ”Kaikki kolme komponenttia toimivat”
P(A) = 1 – P( A ) = 1 − p p pA B C
= 1 − 0,99 · 0,993 · 0,95 ≈ 0,066 = 6,6 %
Komponentti C kahdennetaan C1:ksi ja C2:ksi. B = ”Laite vikaantuu takuuaikana” = ”Jompi kumpi laitteen kahdesta komponentista A tai B ei
toimi ja molemmat C1 ja C2 eivät toimi”
B = ”Komponentit A ja B toimivat ja C1 tai C2 toimii”
p
C C1 2 = P(C1 tai C2 toimii) = 1 – P(kumpikaan C1 ja C2 ei toimi)
= 1 1 0 05 0 05 0 99751 2
− = − ⋅ =p pC C
, , ,
P(B) = 1 – P( B ) = 11 2
− p p pA B C C
= 1 − 0,99 · 0,993 · 0,9975 ≈ 0,019 = 1,9 %
Vastaus: Vikaantumistodennäköisyys takuuaikana on 6,6 %. Komponentin C kahdentamisen jälkeen 1,9 %.
Syksy 2004
48 Vastaukset
6. Funktio f(x) = ln(x3 – x) on määritelty, kun x3 – x > 0 Nollakohdat x3 – x = 0 x (x2 – 1) = 0 x = 0 tai x2 – 1 = 0 x2 = 1 ⏐ x = ±1 Merkkikaavio g(x) = x3 − x
–x
––1
+0
+1
g(−2) = (−2)3 − (−2) = −8 + 2 = −6 < 0
g(−0,5) > 0
g(0,5) < 0
g(2) > 0
Funktio f(x) = ln(x3 – x) on määritelty, kun –1 < x < 0 tai x > 1.
Ääriarvot
Funktio f(x) = ln(x3 – x)
Derivaatta ′ = −−
f x xx x
( ) 3 12
3
Derivaatan nollakohdat
3 1 0
3 1 3
13
13
2
2
2
x
x
x
x
− =
=
=
= ±
:
Kulkukaavio
x
–+
0
f’(x)
f(x)max
+
1–1 1– ––– 3
1––– 3
Maksimi
f −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=13
13
13
3
ln lnn ln ,23 3
2 39
0 95⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ≈ −
Vastaus: Funktio ln(x3 – x) on määritelty, kun –1 < x < 0 tai x > 1.
Funktion maksimi on ln 2 39
.
Syksy 2004
49Vastaukset
7. Tilavuus V y dxa
b
= ∫π 2
1–1–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x
Integroimisrajat
x y x
y x
2 2 6 5 0
1
+ + + == − −
⎧⎨⎪
⎩⎪ Sijoitetaan alemmasta yhtälöstä y ylempään yhtälöön.
x x x
x x x x
x x
2 2
2 2
2
1 6 5 0
2 1 6 5 0
2 8 6
+ − − + + =
+ + + + + =
+ + =
( )
00 2
4 3 0
4 4 4 1 32 1
4 42
3
2
2
1
:
x x
x
x
x
+ + =
= − ± − ⋅ ⋅⋅
= − − = −
224 4
21= − + = −
Integroitavat funktiot
x y x
y x x
2 2
2 2
6 5 0
6 5
+ + + =
= − − −
Syksy 2004
50 Vastaukset
Tilavuus
V V V
x x dx x dx
ulko sisä= −
= − − − − − −−
−
∫π π( ) ( )2
3
126 5 1
−−
−
−
−
∫
∫= − − − − + +⎡⎣
⎤⎦
= −
3
1
2 2
3
1
6 5 2 1π
π
( ) ( )
(
x x x x dx
22 8 6
23
4 6
23
2
3
1
3
13 2
x x dx
x x x
− −
= − − −
= −
−
−
−
−
∫ )
/ ( )π
π 44 6 18 36 18
83
+⎛⎝
⎞⎠ − − +⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
=
( )
π
Vastaus: Pyörähdyskappaleen tilavuus 83π .
8. Merkitään kaavoja numeroilla
Nu-mero
Kaava Sovellus
(1) sin cos2 2 1α α+ = sin cos2 2
2 21x x+ =
(2) sin sin cos2 2α α α= sin sin cos22
22 2
⋅⎛⎝
⎞⎠ =x x x
(3) cos cos sin2 2 2α α α= − cos cos sin22 2 2
2 2⋅⎛⎝
⎞⎠ = −x x x
(4) tan sin / cosα α α= tan sin / cosx x x2 2 2
=
sin sin sin cos
sin
( )cos )
x x x xx
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ =
=
22
22 2
2
2
2�
xx x
xx x
x
2 2
2
22 2
22
1
2 4
2
2
cos
costan cos
tan
cos
( )
=
=
�
xx
x
x x
x
x
2
22
2 2
2
21
2 2
2
4
=+
=( ) ( )
tan
cos sin
cos
tan� �22
12
2+ tan x
Syksy 2004
51Vastaukset
cos cos cos sin
cos
( )
x x x x
x
= ⋅⎛⎝
⎞⎠ = −
= −
22 2 2
21
3
2 2
2
�
ssin
coscos tan
( )2
2
4
2 22
22
12
x
xx x
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = −⎛
⎝⎞
�
⎠⎠
=−
=−
+
12
1
2
12
2
2
2
1 2
2 2
tan
cos
tan
sin cos
( )x
x
x
x x
�
22
2
12
12
2
4 2
2
cos
tan
tan
( )
x
x
x=
−
+
�
9. f x
x x
x x( )
, ,
, .=
+ − ≤ <− ≤ ≤
⎧⎨⎩
1 1 0
1 0 1
kun
kun
Funktion f kuvaaja, kun f(x + 2) = f(x)
1–1
–1
1
2
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x
Funktion f derivaatta
′ =
− < <− < <
⎧⎨⎩
f xx
x( )
,
1 1 0
1 0 1
, kun
kun
Funktio f ei ole derivoituva kärkipisteissä x ∈ z, sillä esimerkiksi
lim ( ) lim ( )
x xf x f x
→ − → +′ = ≠ ′ = −
0 01 1
Funktio g(x)
g x f xx x
x( ) ( )
( ),
( ),= + =
+ + − ≤ + <− +
11 1 1 1 0
1 1
kun
kun
kun
0 1 1
2 2 1
≤ + ≤⎧⎨⎪
⎩⎪
=+ − ≤ < −
−
x
x x
x
,
, kun
kun 0
k− ≤ ≤⎧⎨⎩
=≤ <
−1 0
1
x
x x
x
,
, uun − ≤ ≤⎧⎨⎩ 1 0x
1–1–1
1
2
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x
Syksy 2004
52 Vastaukset
Funktio g ei ole derivoituva kärkipisteissä x ∈ z, sillä esimerkiksi
lim ( ) lim ( )
x xg x g x
→ − → +′ = − ≠ ′ =
0 01 1
Funktio h(x)
h(x) = f(x) + f(x + 1) = 1 1 0
1 0 1
+ − − ≤ <− + ≤ ≤
⎧⎨⎩
x x x
x x x
,
,
kun
kun
=
− ≤ <≤ ≤
⎧⎨⎩
1 1 0
1 0 1
,
,
kun
kun
x
x
Täten h(x) = 1 aina, kun x ∈ r.
1–1–1
1
2
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x
Funktio g on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla,sillä h′(x) = 0 aina, kun x ∈ r.
10. Funktio f xx
( ) = 1
Derivaatta erotusosamäärän avulla
′ =−−→
f xf x f x
x xx x( ) lim
( ) ( )0
0
00
Derivaatta pisteessä x = 2
′ =
−
−=
−
−=
→ →f x
x
xx
xx
x
x( ) lim lim lim
) )
2
1 12
2
22
22
2
2 xx
x
xx x
x
→
→
− ⋅−
⎛⎝
⎞⎠
= −⎛⎝
⎞⎠ = −
2
2
22
12
12
14
lim
Vastaus: ′ = −f ( )2 14
Syksy 2004
53Vastaukset
11. Funktio f xx x x x
x( )
, / ,
/ ,=
= ≤4 4 4
4
0 1
1
jos tai
joos 1 4 4/ .x x≤
⎧⎨⎪
⎩⎪
Osien määrittelyalueet
xx
xx
xx
x
44
44
8
4
1
1 0
1 0
4
≤
− ≤
− ≤
)
Osoittajan nollakohdat
x
x
x
8
8 8
1 0
1
1
− =
=
= ± Nimittäjän nollakohdat
x
x
4 40
0
=
=
x
–+
0
+
1–1
–
xx
44
1≤ , kun −1 ≤ x < 0 tai 0 < x ≤ 1
xx
44
1≥ , kun x ≤ −1 tai x ≥ 1
Funktio f xx x
x x( )
,
/ ,=
− ≤ ≤
≤ −
4
4
1 1
1 1
jos
jos taii x ≥
⎧⎨⎪
⎩⎪ 1
Integraali f x dxx
dx x dxx
dx( )−∞
∞
−∞
−
−
∞∫ ∫ ∫ ∫= + +1 1
4
1 4
1
1
41
Lasketaan integraali osina
1 134
1 41 1
xdx x dx x
a a a a−∞
−
→−∞
−−
→−∞
−
∫ ∫= = −lim lim / −−
→−∞
− −
⎛⎝
⎞⎠
= − ⋅ − − −⎛⎝
⎞⎠
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
3
3 313
1 13
lim ( )a
a 113
x dx x4
1
1
1
15 5 51
515
1 15
1 25− −∫ = ⎛
⎝⎞⎠ = ⋅ − ⋅ − =/ ( )
Syksy 2004
54 Vastaukset
1 1341
4
1 1
3
xdx x dx x
a
a
a
a∞
→∞
−
→∞
−∫ ∫= = −⎛⎝
⎞⎠lim lim /
== − − − ⋅⎛⎝
⎞⎠
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
→∞
− −lima
a13
13
1 13
3 3
Integraali
f x dx
xdx x dx
xdx( )
−∞
∞
−∞
−
−
∞∫ ∫ ∫ ∫= + + = +1 1 1
34
1 4
1
1
41
225
13
1 115
+ =
Vastaus: f x dx( )−∞
∞∫ = 1 1
15
12. Sarja an
i=
∞
∑ = + + + +1
13
25
37
49
...
n an
1 13
12 1 1
=⋅ +
2 25
22 2 1
=⋅ +
3 37
32 3 1
=⋅ +
n a nnn
=+2 1
Yleinen termi a nnn
=+2 1
, kun n ∈ z+
Raja-arvo lim lim limn n n n
a nn
n
nn
→∞ →∞ →∞=
+=
+⎛⎝
⎞⎠
=2 1 2 1
12
Koska limn n
a→∞
≠ 0 , niin sarja ei suppene.
Vastaus: Yleinen termi on a nnn
=+2 1
, kun n ∈ z+. Sarja ei suppene.
Syksy 2004
55Vastaukset
13.
1–1–5
–10
–15
–20
5
10
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x(x, y)
Suora y = 4x – 21 Suoran kulmakerroin ks = 4
Käyrän y = x4 – 7x2 pisteistä lähinnä suoraa y = 4x – 21 on sellai-nen piste, johon piirretty tangentti on suoran suuntainen.
Käyrä y = x4 – 7x2
Käyrän tangentin kulmakerroin kohdassa x kt = y′ = 4x3 – 14x Käyrän tangentti ja suora yhdensuuntaiset. 4x3 – 14x = 4 2x3 − 7x − 2 = 0 Kokeilemalla yhtälön juureksi saadaan x = 2,
sillä 2 · 23 − 7 · 2 − 2 = 0. Polynomin 2x3 − 7x − 2 tekijänä on x − 2.
2 4 12 2 0 7 2
2
3 2x x
x x x x+ +
− + − −
∓2 4
4 7
3 2
2
x x
x x
±
−
∓∓
∓
4 8
2
2
2x x
x
x
±
−±
0 Nollakohdat
2 7 2 0
2 2 4 1 0
2 0 2
3
2
2
x x
x x x
x x
− − =
− + + =
− = +
( )( )
tai 44 1 0
2 4 4 4 2 12 21
2
x
x x
+ =
= = − ± − ⋅ ⋅⋅
x
x
x
= − ±
= − − ≈ −
= − + ≈ −
4 84
2 22
1 71
2 22
0 29
2
3
,
,
Syksy 2004
56 Vastaukset
Kuvaajasta nähdään, että käyrän lähin piste x = 2 y = 24 − 7 · 22 = −12
Lyhin etäisyys on suoran 4x − y − 21 = 0 etäisyys pisteestä (2, −12).
dax by c
a b
x y
x=
+ +
+
= −
−
⏐ ⏐0 0
2 20 0
2 12
4
( , ) ( , )
yy
d
− =
= ⋅ − ⋅ − −
+ −= = ≈
21 0
4 2 1 12 21
4 1117
17172 2
⏐ ⏐( )
( )00 24,
Vastaus: Lähin piste on (2, –12). Lyhin etäisyys on 1717
.
14. Differentiaaliyhtälö
′ =+
=+
=+
y yx x
dydx
yx x
dyy
dxx x
4
4
4
2
2
2
Jaetaan jälkimmäinen lauseke osamurtoihin
14 4
442
4
2x xAx
Bx
Ax A Bxx x
x x
+≡ +
+= + +
+
+ ) )
Koska lausekkeet ovat identtiset, niin
A B
A
+ ==
⎧⎨⎩
0
4 1
A = 14
ja B = − 14
Jatketaan integrointia
dyy
dxx x
dyy x x
dx
y
=+
= −+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
∫ ∫4
14
14 4
1
2
( )
ln⏐ ⏐44
14
4 4
4
1
1
ln ln ln
ln ln
⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ ⏐⏐ ⏐
⏐
x x C
yC x
x
− + + ⋅
=++ 4⏐
Syksy 2004
57Vastaukset
=+ 4
4 1⏐ ⏐
⏐ ⏐y
C x
x
,
4
14
4
4
4
yC x
x
y C xx
C
=+
=+
∈
⏐ ⏐
⏐ ⏐
r
Vastaus: y C xx
C=+
∈4
4 , r
15. Fermat’n pieni lause: Olkoon p alkuluku ja a kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Tällöin ap −1 ≡ 1 (mod p).
Väite: n2003 ≡ n(mod 2003) eli 2003⏐(n2003 − n)
Luku 2 003 on alkuluku, sillä se ei ole jaollinen – 2:lla, koska se ei ole parillinen – 3:lla, koska sen numeroiden summa ei ole jaollinen 3:lla – 5:lla, koska se ei pääty lukuun 5 – 7:llä, koska 2003 = 286 · 7 + 1 – 9:lla, koska sen numeroiden summa ei ole jaollinen 9:lla – 11:llä, koska 2003 = 182 · 11 + 1 – 13:llä, koska 2003 = 154 · 13 + 1 – 17:llä, koska 2003 = 117 · 17 + 14 – 19:llä, koska 2003 = 105 · 19 + 8 – 23:llä, koska 2003 = 87 · 23 + 2 – 29:llä, koska 2003 = 69 · 29 + 2 – 31:llä, koska 2003 = 64 · 31 + 19 – 37:llä, koska 2003 = 54 · 37 + 5 – 41:llä, koska 2003 = 48 · 41 + 35 – 43:llä, koska 2003 = 46 · 43 + 25 Riittää tutkia kaikki alkuluvut lukuun 43 saakka, koska
2 003 44 8≈ , .
Koska 2 003 on alkuluku, voidaan soveltaa Fermat’n pientä lau-setta, kun n ≠ t · 2003, t ∈ z. Tällöin on voimassa
n2002 ≡ 1(mod 2003) ⏐· n ≠ t · 2003
n2003 ≡ n(mod 2003) Jos n = t · 2003, t ∈ z
n n t t t2 003 2 003 2 002 2 02 003 2 003 2 003 2 003− = − = ⋅( ) ( 003 −⎡⎣
⎤⎦
∈
t
Z
� ���� ���
Täten väite on voimassa, kun n on jaollinen luvulla 2 003.
Syksy 2004
58 Vastaukset
1. a) xx
xx
x x x xx x
x x x x
1 11 1
1 12 2
−+
+= + + −
− +
= + + −
( ) ( )( )( )
112
112 2−
=−
≠ ±x
xx
x,
b) x ax a
xa a a
x a a
2 2
2 2
2
0
4 12 1
5
− − =
= − − ± − − ⋅ ⋅ −⋅
= ±
( ) ( ) ( )
225
212
1 5
52
12
1 5
1
2
x a a a
x a a a
= − = −
= + = +
( )
( )
Vastaus: a) 21
12xx
x−
≠ ±, b) x a x a= − = +12
1 5 12
1 5( ) ( )tai
2. a) x y a
x y a
x+ =− =
⎧⎨⎩⎪ 2
ratkaistaan laskemmalla yhtälöt
puolittain yhteen
2 3x a= : 2
32
x a=sijoitetaan ylempään yhttälöön ja
ratkaistaan y
x y a x a
a y a
y a
+ = =
+ =
= −
32
32
12
x a y a= = −3
212
ja
b) sin ,x x= − < <15
180 270� �
cos x < 0 ja tan x > 0, kun x ∈ ]180°, 270[
Kevät 2005
59Vastaukset
Määritetään cos x
sin cos
cos sin , cos
cos si
2 2
2 2
1
1 0
1
x x
x x x
x
+ =
= − <
= − − nn sin
cos
cos
2
2
15
1 15
25
x x
x
x
= −
= − − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −
Määritetään tan x
tan sincos
x xx
= =−
−=
15
25
12
Vastaus: cos x = − 25
ja tan x = 12
3. Ylläpitokustannukset alussa a Vuokrat 12 % pienemmät eli vuokrat 0,88a
Ylläpitokustannukset nousevat 4 %, eli lopussa 1,04a Vuokrat 10 % suuremmat eli vuokrat lopussa 1,10 · 1,04a
Vuokrien muutos 1 10 1 040 88
1 3, ,,
,⋅ =aa
Vuokrien korotusprosentti 130 % − 100 % = 30 %
Vastaus: Vuokria pitäisi korottaa 30 %.
4. OA i j A
OB xi yj
� ���
� ���= +
= +
7 9 7 9, ( , )
,
piste
pistte B x y
AB x i y j
( , )
( ) ( )� ���
= − + −7 9
Kulma OAB on suora, eli OA AB
� ��� � ���⊥ , josta saadaan
OA AB
i j x i y j
� ��� � ���⋅ =
− ⋅ − + − =−
0
7 9 7 9 0
7
( ) [( ) ( ) ]
(xx y
x y
− − − =+ =
7 9 9 0
7 9 130
) ( )
O
A(7, 9)
B(x, y)
Kevät 2005
60 Vastaukset
Vektorin AB� ���
pituus on puolet vektorin OA� ���
pituudesta, josta saadaan
⏐ ⏐ ⏐ ⏐AB OA
x y
� ��� � ���=
− + − = +
12
7 9 12
7 92 2 2 2( ) ( ) ()2
(( ) ( )
( ) ( ) ,
x y
x y
− + − = ⋅
− + − =
7 9 14
130
7 9 32 5
2 2
2 2
Muodostetaan yhtälöpari
7 9 130x y x+ = ratkaistaan ja sijoitetaan alemmpaan
( ) ( ) ,x y− + − =
⎧⎨⎪
⎩⎪ 7 9 32 52 2
7 9 130
7 130 9 7
1307
97
x y
x y
x y
+ == −
= −
:
( ) ( ) ,x y x y
y
− + − = = −
−⎛⎝
⎞
7 9 32 5 1307
97
1307
97
2 2
⎠⎠ + − =
− + − =
22
22
9 32 5
81 949
9 32 5
( ) ,
( )( ) ,
y
yy ; ( )
( ) ( )
⋅ − = ± − −
− + −
49 81 9 9 9
81 9 49 92
y y
y y 22
2
1592 5
130 9 1592 5 130
9 12 25
=
− =
− =
,
( ) , :
,
y
y
,y − = ±9 3 5
y = 3,5 + 9 tai y = −3,5 + 9 y = 12,5 y = 5,5
Ratkaistaan x
y x y
y
= = − = − ⋅ =
=
12 5 1307
97
1307
97
12 5 2 5
5 5
, : , ,
, : xx y= − = − ⋅ =1307
97
1307
97
5 5 11 5, ,
Vektori
OB xi yj i j� ���
= + = +2 5 12 5, , tai OB xi yj i j� ���
= + = +11 5 5 5, ,
Vastaus: OB i j� ���
= +2 5 12 5, , tai OB i j� ���
= +11 5 5 5, ,
Kevät 2005
61Vastaukset
5. Paraabelin huipun x-koordinaatti sijaitsee derivaatan nolla-kohdassa.
Derivoidaan funktio
y = f(x) = 2x2 + bx + 3 f ′(x) = 4x + b
Derivaatan nollakohta
′ =+ =
= −
= −
f x
x b
x b
x b
( )
:
0
4 0
4 4
4 Huipun y-koordinaatti
y f x x bx
f b b b b
= = + +
−⎛⎝
⎞⎠ = ⋅ −⎛
⎝⎞⎠ + ⋅ −⎛
⎝⎞
( ) 2 3
42
4 4
2
2
⎠⎠ + = − + = − +38 4
38
32 2 2b b b
Huippu sijaitsee pisteessä − − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
b b4 8
32
, Huippu sijaitsee b:n arvosta riippumatta paraabelilla y = −2x2 + 3,
jos huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön olipa vakio b mikä tahansa.
y x x b y b
b b
= − + = − = − +
− + = − ⋅ −⎛⎝
⎞⎠ +
−
2 34 8
3
83 2
43
22
2 2
,
bb b
b b
2 2
2 2
83 2
163
83
83
0 0
+ = − ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
− + = − +
= ideenttisesti tosi
Vastaus: Huippu on − − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
b b4 8
32
, ja se sijaitsee kaikilla
vakion b arvoilla paraabelilla y = −2x2 + 3.
Kevät 2005
62 Vastaukset
6. Merkitään CD = h Koska α + β = 90°, niin kulma DCB = α
Kolmiosta ADC saadaan tanα = ha
Kolmiosta CDB saadaan cosα = ha
Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan sinα.
tan cos tan sincos
sincos
cos cos
α α α αα
αα
α α
= =
= ⋅ ≠ 00 0 90
1
1
2 2 2
,
sin cos cos sin
sin si
� �< <
= = −
= −
α
α α α α
α nn
sin sin
sin
2
2
2
1 0
1 1
α
α α
α
+ − =
=− ± −
ratkaisukaava
44 1 12 1
1 52
1 52
1 61
⋅ ⋅ −⋅
= − ±
= − − ≈ −
( )
sin
sin ,
α
α ei kääy , sin
sin
− < <
= − +
1 1
1 522
α
α
Ratkaistaan α
sin
, ...
α
α
α
= − +
=
≈
1 52
38 1727
38�
Lasketaan β
β = 90° − 38,1727…° ≈ 52°
Kolmas kulma on 90°.
Vastaus: Kulmat ovat 38°, 52° ja 90°.
7. Säännöllisen monikulmion ympäri voidaan aina piirtää ympyrä. a) Säännöllisen kuusikulmion sivun pituus on sama kuin sen
ympäri piirretyn ympyrän säde.
π :n likiarvo kuusikulmion piirin avulla
A B
C
a
a
h
Dα β
α
Kevät 2005
63Vastaukset
ympyrän piiri = kuusikulmion piiri 2πr = 6r ⏐ : 2r π = 3
π :n likiarvo kuusikulmion pinta-alan avulla Kuusikulmion pinta-ala lasketaan kolmion
pinta-alan avulla.
Kolmion pinta-ala
A ab a b a b r a b
A r
= = = = °
= °
12
60
12
602
sin ( , ) , ( , )
sin
� �
ympyrän pinta-ala = kuusikulmion pinta-ala
π
π
π
r r
r r r
2 2
2 2 2
6 12
60 60 32
6 12
32
= ⋅ ° ° =
= ⋅ ⋅
=
sin sin
:
33 32
2 598π ≈ ,
π :n likiarvo kahdeksankulmion piirin avulla
Kolmion OAB kulma α = ° = °3608
45
Kolmion OAB kanta AB = a
a r r rr
a r r
a r
2 2 2
2 2 2
2 2
2 45
2 2 12
2 2
= + − °
= − ⋅
= −
cos
( ) , aa r
a r
> >
= −
0 0
2 2
,
ympyrän piiri = kahdeksankulmion piiri
2 8 2 2 2
4 2 2
3 061
π
ππ
r r r= ⋅ −
= −≈ ,
π :n likiarvo kahdeksankulmion pinta-alan avulla
Kolmion OAB pinta-ala
A r r r= ° = °1
245 1
2452sin sin
60°r r
r
O
A
B
r
ar
α
Kevät 2005
64 Vastaukset
ympyrän pinta-ala = kahdeksankulmion pinta-ala
π
π
π
r r
r r r
2 2
2 2 2
8 12
45 45 12
8 12
12
= ⋅ ° ° =
= ⋅ ⋅
sin sin
:
==
=≈
42
2 2
2 828
ππ ,
Vastaus: a) π π= = ≈3 3 32
2 598, ,
b) π π= − ≈ = ≈4 2 2 3 061 2 2 2 828, , ,
8. Funktiosta f tiedetään, että f on jatkuva ja
f : [0, 1] → r, f x dx( )0
1
0∫ = ja on olemassa x1 ∈ [0, 1] siten,
että f(x1) = 6.
Koska integraali f x dx( )0
1
0∫ = ,
voidaan ajatella, että käyrän ja x-akselin väliin jää akselin ylä- ja
alapuolelle yhtä suuret pinta-alat.
Esimerkiksi 1. asteen polynomifunktio f(x) = ax + b. Lasketaan a
ja b, kun tiedetään, että f f12
0 1 6⎛⎝
⎞⎠ = =ja ( ) .
a b b⋅ + =12
0 ratkaistaan ja sijoitetaan alempaaan
a b⋅ + =
⎧⎨⎪
⎩⎪ 1 6
12
0
12
6
12
6
12
6
12
a b
b a
a b
a a
a
a
+ =
= −
+ =
− =
=
=
–2
–4
–6
2
4
6
1
y
x
Kevät 2005
65Vastaukset
Lasketaan b
b a= − = − ⋅ = −1
212
12 6
f(x) = 12x − 6, x ∈ [0, 1]
Tarkistetaan, että funktio f(x) = 12x − 6, x ∈ [0, 1] toteuttaa anne-tut ehdot.
Funktio on polynomifunktiona jatkuva ja f : [0, 1] → r
f x dx( )
0
1
0∫ =
f x dx x dx x x( ) ( ) ( )/0
1
0
1
0
12
2
12 6 6 6
6 1 6 1
∫ ∫= − = −
= ⋅ − ⋅ −− ⋅ − ⋅ =( )6 0 6 0 02
f(1) = 6, 1 ∈ [0, 1]
Ehdot toteutuvat. Ehdot täyttävä funktio saa sekä positiivisia että negatiivisia
arvoja, koska sen määrätty integraali kyseisellä välillä saa arvon nolla. Koska funktio on jatkuva, on aina olemassa jokin muuttu-jan x arvo, jossa funktio saa arvon nolla.
Vastaus: Esimerkiksi f(x) = 12x − 6, x ∈ [0, 1]. Ehdot täyttävä funktio saa aina arvon nolla jossakin pisteessä.
9. Tiheysfunktio
f rr r
( )( ),
=− ≤ ≤⎧
⎨3
16000400 0 20
0
2 kun
muulloin.
⎪⎪
⎩⎪
a) Tikkataulun säde 20 cm, jolloin tikkataulun keskipisteen ja yhdeksikön välisen ympyrän säde on 4 cm. Todennäköisyys saada 9 tai 10 on
P(0 4 316 000
400 3
0
42
0
4
0
4
≤ ≤ = = − =∫ ∫x f r dr r dr) ( ) ( ) /440
116 000
340
4 116 000
4 0 37125
3
3
r r−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅ − ⋅ − = == 0 296,
Kevät 2005
66 Vastaukset
b) Viidestä ainakin kolme osuu tarkoitta, että kolme, neljä tai vii-si osuu. Kyseessä on toistokoe eli binomitodennäköisyys, koska tikka joko osuus tai ei osu ko. alueel le. Jokaisen tikan heitto on riippumaton muista heitoista.
Todennäköisyys, että tikka osuu p = 0,296 Todennäköisyys, että ei osu q = 1 − p = 1 − 0,296 = 0,704 P(”Ainakin kolme viidestä”) = P3 + P4 + P5
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅5
30 296 0 704
5
40 2496 0 73 2 4, , , , 004
5
50 296 0 7045 0+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅, ,
≈ 0,158
Vastaus: a) 0,296 b) 0,158
10. Polynomifunktio f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Polynomifunktion ääriarvot sijaitsevat derivaatan nollakohdissa,
ja kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin funktion derivaatta ko. pisteessä.
Funktion derivaatta f ′(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d. Tiedoista saadaan yhtälöryhmä
′ − =− =
==
′ =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
f
f
f
f
f
( )
( )
( )
( )
( )
1 0
1 16
0 11
1 11
1 0
⎪⎪⎪⎪
eli
− + − + =− + − + =
=+ + + + =
4 3 2 0
16
11
11
4
a b c d
a b c d e
e
a b c d e
a ++ + + =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪ 3 2 0b c d
Sijoitetaan e = 11 muihin yhtälöihin. Tämän jälkeen lasketaan yhteen 2. ja 4. yhtälö ja ratkaistaan a.
2 2 22 27
2 5 2
2 12
a c
a c
a c
+ + == −
= −
Lasketaan yhteen 1. ja 5. yhtälö ja ratkaistaan d.
6 2 0
3
b d
d b
+ == −
Sijoitetaan kaikki alkuperäisen yhtälöryhmän 2. yhtälöön.
Kevät 2005
67Vastaukset
a b c d e a c d b e
c b c
− + − + = = − = − =
− − + − −
16 2 12
3 11
2 12
3
, ,
( bb
b
b
)
:
+ =
=
=
11 16
2 2 12
2
1 14
Lasketaan d: d b= − = − ⋅ = −3 3 1 14
3 34
Sijoitetaan saadut arvot alkuperäisen yhtälöryhmän 1.yhtälöön.
− + − + == −
= = −
− ⋅ −
4 3 2 02 1
2
1 14
3 34
4 2 12
a b c da c
b d
c
,
,
⎛⎛⎝
⎞⎠ + ⋅ − − =
==
3 1 14
2 3 34
0
2 10
5
c
c
c
Lasketaan a: a c= − = − = −2 12
2 12
5 2 12
Polynomi
ax bx cx dx e x x x x4 3 2 4 3 25
254
5 154
11+ + + + = − + + − +
Vastaus: − + + − +52
54
5 154
114 3 2x x x x
11. Alapohjan pituus 7 cm ja leveys 15 cm Yläpohjan pituus 11 cm ja leveys 19 cm
Koska sivutahkojen kallistus-kulma on sama, saadaan poikkileikkauksen sivujen pituudet samalla tavoin käyttäen yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita.
a z
a z2 8
2
4
= ⋅
= z a8
72 2
7
Kevät 2005
68 Vastaukset
Sivujen pituudet korkeudella z
Pituus (cm)
7 2 7 2
47 1
2+ = + ⋅ = +a z z
Leveys (cm)
15 2 15 2
415 1
2+ = + ⋅ = +a z z
Poikkileikkauksen pinta-ala A (cm2) korkeudella z
A z z z z= +⎛
⎝⎞⎠ +⎛
⎝⎞⎠ = + +7 1
215 1
214
11 1052
Koska poikkileikkaukset ovat kaikki yhden muotoisia, saadaan rasian tilavuus integroimalla.
V z z dz
z z z
= + +
= ⋅ + ⋅ +
∫ 14
11 105
14
13
11 12
105
2
0
8
0
83 2/ (( )
= ⋅ + ⋅ + ⋅ −
=
≈
112
8 112
8 105 8 0
3 7043
1234 23
3 2
Vastaus: Poikkileikkauksen pinta-ala kohdalla z on
A z z= + +14
11 1052 (cm2) , rasian tilavuus on 1234 23
cm3.
12. Funktion g(x) erotusosamäärä origossa
g h gh
g h gh
g x xf x
h f h f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
0
+ − = − =
= − ⋅ (( ) ( )0 0h
f
f
on äärellinen,
koska on jatkuvaa origossa
= f h( )
Koska funktio f(x) on jatkuva origossa, niin lim ( ) ( )h
f h f→
=0
0 , joten funktion g(x) derivaatta origossa
′ = + − = =→ →
gg h g
hf h f
h h( ) lim
( ) ( )lim ( ) ( )0
0 00
0 0
Funktio f(x) = ⏐x⏐ + 1 on jatkuva kaikilla muuttujan x reaaliar-voilla, erityisesti siis origossa, joten tulosta voidaan soveltaa.
Vastaus: Derivaatta g′(x) = f(0); tulosta voidaan soveltaa.
z
a8
2Kevät 2005
69Vastaukset
13. Geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos ⏐q⏐ < 1, missä q on sarjan suhdeluku.
Ensimmäinen termi a1 = x2 + 1 Toinen termi a2 = x2 + 3x
Sarjan suhdeluku qaa
= 2
1
Suppenemisehdosta ⏐q⏐ < 1 saadaan epäyhtälö
⏐ ⏐
⏐ ⏐⏐ ⏐
⏐
q qa
a
x xx
x x
xx
< =
++
<
++
< ⋅ +
1
31
1
3
11
2
1
2
2
2
22 11 1 0 1 0
3 1
2 2
2 2
⏐
⏐ ⏐
= + ≠ + >
+ < +
−
x x
x x x
,
(
koska aina
xx x x x2 2 21 3 1+ < + < +)
Saadaan kaksi epäyhtälöä, joiden pitää olla samanaikaisesti voi-massa.
−x2 − 1 < x2 + 3x ja x2 + 3x < x2 + 1 −2x2 − 3x − 1 < x2 + 3x ja 3x < 1
Epäyhtälön 3x < 1 ratkaisu on x < 13
.
Määritetään epäyhtälön −2x2 − 3x − 1 < 0 ratkaisu hakemalla vastaavan yhtälön ratkaisut.
− − − =
= − − ± − − − ⋅⋅ −
= ±
2 3 1 0
3 3 4 2 12 2
3 1
2
2
x x
x
x
( ) ( ) ( )( )
−−
= +−
= −
= −−
= −
43 1
41
3 14
12
1
2
x
x
Päätellään epäyhtälön ratkaisu merkkikaavion avulla.
x–
x–
–1+ –
++–2x2 – 3x – 1
1– –2
Kevät 2005
70 Vastaukset
Epäyhtälöryhmän −2x2 − 3x − 1 < 0 ja 3x < 1 ratkaisu
–x
––1
+1– –2
1–3
Epäyhtälöryhmän ratkaisu on x x< − − < <1 12
13
tai
Vastaus: Sarja suppenee, kun x x< − − < <1 12
13
tai
14. Differentiaaliyhtälö y′2 − xy′ + y = 0
Derivoidaan yhtälön vasen puoli (oikean puolen derivaatta on 0)
D(y′2 − xy′ + y) = 2y′y′′ − y′ − xy′′ + y′
Saadaan yhtälö
2y′y′′ − y′ − xy′′ + y′ = 0 y′′(2y′ − x) = 0 ⏐tulon nollasääntö
y′′ = 0 tai 2y′ − x = 0
Tarkastellaan yhtälöä y′′ = 0. Koska funktion y′(x) derivaatta on nolla, funktio y′ on vakio-
funktio, y′(x) = a. Tällöin funktio y on
y adx ax b= = +∫
Tarkastellaan yhtälöä 2y′ − x = 0
2 0
12
′ − =
′ =
y x
y x
dydx
x
dy xdx
y x c
=
=
= +
∫ ∫
12
1 12
14
2
Ratkaisuiksi saadaan y ax b y x c a b c= + = + ∈ja ja14
2 , , n
Sijoitetaan ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön.
Ratkaisu y = ax + b
Kevät 2005
71Vastaukset
′ − ′ + = = + ′ =
− ⋅ + + =
+ =
=
y xy y y ax b y a
a x a ax b
a b
b
2
2
2
0
0
0
,
−−a2
Ratkaisun y = ax + b funktiosta vain muotoa y = ax − a2 olevat funktiot toteuttavat alkuperäisen differentiaaliyhtälön.
Ratkaisu y x c= +14
2
′ − ′ + = = + ′ =
⎛⎝
⎞⎠ − ⋅ +
y xy y y x c y x
x x x
2 2
2
0 14
12
12
12
14
,
xx c
x x x c
c
2
2 2 2
0
14
12
14
0
0
+ =
− + + =
=
Ratkaisun
y x c= +14
2 funktiosta vain muotoa y x c x= + =14
14
2 2 olevat
funktiot toteuttavat alkuperäisen differentiaaliyhtälön.
Ratkaisujen kuvaajia.
(Ratkaisuja tarkasteltaessa havaitaan, että suorat y = ax − a2 ovat
ratkaisuparaabelin y x= 14
2 tangentteja.)
1–1–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
6
7
8
–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
y
x
Vastaus: Alkuperäisen yhtälön ratkaisuja ovat y = ax − a2 ja
y x= 14
2 , kun a ∈ n.
Kevät 2005
72 Vastaukset
15. Funktio f(x) = xsinx Koska f(x + 2nπ) = (x + 2nπ)sin(x + 2nπ) ⏐sin(x + 2nπ) = sinx = xsinx + 2nπsinx = f(x) + 2nπsinx niin pienin positiivinen ääriarvo kuuluu välille ]0, π [
Derivaatan nollakohta Newtonin menetelmällä
x xf x
f x
f x x x
n nn
n+ = −
′′′
′ = +
1
( )
( )
( ) sin coos
( ) cos cos sin
cos
x
f x x x x x′′ = + −= 2 xx x x
xx x x
x x x
x
nn n n
n n n
n
−
= −+−
= +
sin
sin cos
cos sin2
ssin cos
sin cos
x x x
x x xn n n
n n n
+− 2
Taulukoidaan tulokset, kun alkuarvaus on x0 = 2
n x xx x x
x x xn nn n n
n n n+ = +
+−1 2
sin cossin cos
1 2 2 2 22 2 2 2
2 029048+ +−
=sin cossin cos
, ...
2 2,0287578…
3 2,0287578… Iteroinnista havaitaan, että x2 = x3 ainakin kuuden desimaalin
tarkkuudella, joten kysytty derivaatan nollakohta on a ≈ 2,02876.
Lasketaan vastaava ääriarvo f(a) = f(2,02876) = 2,02876 · sin2,02876 ≈ 1,81971
Hahmotellaan kuvaaja, kun x ∈ [0, 2π]
Vastaus: Pienin positiivinen ääriarvokohta on 2,02876 ja vastaa-va ääriarvo 1,81971.
1–1–1
–2
–3
–4
1
2
2 3 4 5 6
y
x
Kevät 2005
73Vastaukset
1. a) 2 1 3 1
2 2 3 3
6 1 6
16
( ) ( )
:
x x x
x x x
x
x
− + + = −− + + = −
= −
= −
b) xx
x x
x
x
x
+ =−
⋅ − ≠
− =
=
= ±
2 12
2 2
4 1
5
5
2
2
( ),
c) x
x
x
x
x
16
16 8 16
816
816
256
2
2
2
2
=
=
= ±
= ±
= ±
Vastaus: a) x = − 16
b) x = ± 5 c) x = ± 2
2. a) Hypotenuusa
x
x x
x
x
x
2 2 2
2
4 6
52 0
52
2 13
7 21
= +
= >
==≈
,
,
b) Kolmion kulmat γ = 90,00°
tan
,
α
α
=
≈ °
4633 69
β = 180° − α − γ = 180° − 33,69° − 90,00° = 56,31°
c) Kolmion ala A ah= = ⋅ =2
6 42
12
Vastaus: a) Hypotenuusan pituus on 2 13 7 21≈ , b) Kolmion kulmat ovat 33,69°, 56,31° ja 90,00°. c) Kolmion ala on 12
x
α γ
β
6
4
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 2 p.
Syksy 2005
74 Vastaukset
3. Päätepisteet A = (3, 1) ja B = (7, 3)
Vektori AB i j i j� ���
= − + − = +( ) ( )7 3 3 1 4 2
Päätepisteet C = (1, 4) ja D = (−3, −2)
Vektori CD i j i j� ���
= − − + − − = − −( ) ( )3 1 2 4 4 6
Vektorien AB CD� ��� � ���
ja välinen kulma α
cos
cos(
α
α
= ⋅
= ⋅ −
AB CDAB CD
� ��� � ���� ��� � ���
⏐ ⏐⏐ ⏐4 44 2 6
4 2 4 6
2820 52
2 2 2 2
) ( )
( ) ( )
cos
cos
+ ⋅ −
+ − + −
= −
=
α
α −−
≈ °
765
150 3α ,
D(–3, –2)
B(7, 3)
A(3, 1)
C(1, 4)
αAB
CD
AB
1–1–1
–2
1
2
3
4
5
6
–2–3 2 3 4 5 6 7 8
y
x
Vastaus: Vektorien välinen kulma on 150,3°.
4. Funktio f(x) = −x2 + ax + a − 3
Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa vain negatiivisia arvoja, kun sillä ei ole nolla-kohtia.
Yhtälöllä −x2 + ax + a − 3 = 0 ei ole juuria, kun diskrimi-nantti D < 0.
D < 0
a2 − 4 · (−1) · (a − 3) < 0
a2 + 4a − 12 < 0
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
75Vastaukset
Nollakohdat
a a
a
a
a
2
2
1
4 12 0
4 4 4 1 122 1
4 642
6
+ − =
=− ± − ⋅ ⋅ −
⋅
= − − = −
( )
224 64
22= − + =
Merkkikaavio
a+
a+
–6–
–++
2D
D < 0 –6 < a < 2
Vastaus: Funktio saa vain negatiivisia arvoja, kun –6 < a < 2.
5. Puun tilavuus alussa V r halku
= 13
2π
Säde 20 vuoden kuluttua r r r rloppu
= + =13
43
Puun pituus 20 vuoden kuluttua h h h hloppu
= + =16
76
Puun tilavuus 20 vuoden kuluttua
V r h r hloppu
= ⎛⎝
⎞⎠ ⋅ =1
343
76
5681
22π π
Tilavuuksien suhde V
V
r h
r h
loppu
alku
= = ⋅ =568113
5681
3 5627
21
2
1 27
1π
π
Kasvu prosentteina 5627
1 1 07 107− ≈ =, %
Vastaus: Puun tilavuus kasvaa 107 %.
6. Suoran x − y − a = 0, a ≠ 0 ja ympyrän x2 + y2 = a2 leikkauspisteet
x y a
x y a
− − =
+ =
⎧⎨⎪
⎩⎪
02 2 2
Syksy 2005
+ 2 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
76 Vastaukset
Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y
x − y − a = 0
y = x − a
Sijoitetaan alempaan yhtälöön.
x2 + (x − a)2 = a2
x2 + x2 − 2ax + a2 = a2
2x2 − 2ax = 0
2x(x − a) = 0
2x = 0 tai x − a = 0
x = 0 x = a Pisteiden y-koordinaatit x = 0 : y = 0 − a = −a x = a : y = a − a = 0
Ympyrän x2 + y2 = a2 keskipiste on (0, 0) ja säde r = ⏐a⏐
Suuremman alueen ala
A A A
aa a
a
iso sektori kolmio= +
= + ⋅ =34 2
34
2π π⏐ ⏐ ⏐ ⏐⏐ ⏐ 22 2 212
34
12
+ = +⎛⎝
⎞⎠a aπ
Pienemmän alueen ala
A A A
a a a
pieni ympyrä iso= −
= − +⎛⎝
⎞⎠ =π π⏐ ⏐2 2 23
412
14
ππa a2 212
−
Alojen suhde
A
A
a
a
pieni
iso
=−⎛
⎝⎞⎠
+⎛⎝
⎞⎠
=−
14
12
34
12
14
21
2
1
2
π
π
π))
)
,
12
34
12
24
43 2
23 20 100
2π
ππ
ππ
+
= − ⋅+
= −+
≈
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
77Vastaukset
a) Kun a > 0
b) Kun a < 0
Vastaus: Alojen suhde on ππ
−+
≈23 2
0 100, .
7. Tutkitaan funktion f x xx x
( ) =+ +
2
4 2 1 kasvamista.
Derivoidaan funktio
′ = + + − ++ +
= +
f xx x x x x x
x x
x
( )( ) ( )
( )
2 1 4 2
1
2
4 2 3 2
4 2 2
5 22 2 4 21
2 21
3 5 3
4 2 2
5
4 2 2
x x x xx x
x xx x
+ − −+ +
= − ++ +
( )
( )
Derivaatan nollakohdat
−2x5 + 2x = 0
−2x = 0 tai x4 − 1 = 0
x = 0 x4 = 1
x = ±1
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
x2 + y2 = a2
x – y
– a = 0
1–1–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–2–3–4–5 2 3 4 5
y
x
x2 + y2 = a2
x – y
– a = 0 1–1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–2–3–5 2 3 4 5
y
x
78 Vastaukset
Derivaatan nimittäjän nollakohdat
(x4 + x2 + 1) = 0
x4 + x2 + 1 = 0
Sijoitetaan x2 = t
t t
t
t
2
2
1 0
1 1 4 1 12 1
1 32
+ + =
= − ± − ⋅ ⋅⋅
= − ± −
Nimittäjällä ei ole nollakohtia
Kulkukaavio f ′(−2) = 2,85… > 0 f ′(−0,5) = −0,71… > 0 f ′(−0,5) = 0,71… > 0 f ′(2) = −2,85… < 0 Kyseessä olevat luvut a = 1 + 10−1500 ja b = 1 + 2 · 10−1500 Koska 1 < a < b ja funktio on vähenevä, kun x ≥ 1,
niin f(a) > f(b).
Vastaus: f(a) on suurempi.
8. Laatikossa 2 ruskeaa, 6 mustaa ja 8 sinistä matkapuheli-men kuorta.
A = ”Molemmat kuoret samanväriset”
P(A) = P(”ruskea ja ruskea tai musta ja musta tai sininen ja sininen”)
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
216
115
616
515
816
715
1130
Vastaus: Kuoret ovat samanväriset toden-
näköisyydellä 1130
.
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 2 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 2 p.
+ 3 p.
+ 1 p.
79Vastaukset
9.
(3, 4)
y
x1–1–1
1
2
3
4
5
6
7
–2 2 3 4 5 6 7 8 9
Pisteen (3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö
y − y0 = k(x − x0) ⏐(x0, y0) = (3, 4)
y − 4 = k(x − 3)
y = kx − 3k + 4
Suoran ja x-akselin leikkauspiste. Sijoitetaan y = 0.
0 3 4
3 4 0
3 4
= − += − ≠
= −
kx k
kx k k k
x kk
: ,
Suoran ja y-akselin leikkauspiste. Sijoitetaan x = 0. y = k · 0 − 3k + 4 = −3k + 4
Kolmion ala A k kk
k
k kk
( ) ( )= ⋅ − − +
= − − +
12
3 4 3 4
9 24 162
2
Derivaatta
′ = − − − − +
= − −
A kk k k k
k
k
( )( )( ) ( )18 24 2 2 9 24 16
4
36
2
2
2 448 18 48 324
18 324
18 324
2
2
2
2
2
2
k k kk
kk
kk
− + −
= − −
= − +
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
80 Vastaukset
Derivaatan nollakohdat
− + =
=
= ±
18 32 0
16943
2
2
k
k
k
Derivaatan nimittäjän nollakohdat
k
k
2 0
0
=
= Suora on laskeva, joten kulmakerroin k < 0.
Kulkukaavio, kun k < 0
A′(−2) = −2,5 < 0 A′(−1) = 3,5 > 0
Kolmion ala A k kk
k( ) ( )= ⋅ − − +12
3 4 3 4
Pienin ala A −⎛⎝
⎞⎠ = ⋅
⋅ −⎛⎝
⎞⎠ −
−⋅ − ⋅ −⎛
⎝⎞⎠ +⎡
⎣⎢⎤4
312
3 43
4
43
3 43
4⎦⎦⎥
= ⋅ −−
⋅ =12
843
8 24
Vastaus: Pienin ala on 24 kulmakertoimen arvolla k = − 4
3.
10. Lukujonon jäsenet 12
43
74
105
136
, , , , , …
a
112
3 1 21 1
= = ⋅ −+
a
243
3 2 22 1
= = ⋅ −+
a
374
3 3 23 1
= = ⋅ −+
a
4105
3 4 24 1
= = ⋅ −+
a
5136
3 5 25 1
= = ⋅ −+
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
k
–
4– –3+
0
A’(k)
A(k)min
81Vastaukset
Lukujonon n:s jäsen
a n
nn
n= −
+= …3 2
11 2 3, , , ,
Lukujonon raja-arvo
lim limn n
nn
nn
nn
→∞ →∞
−+
=−⎛
⎝⎞⎠
+⎛⎝
⎞⎠
→3 21
3 2
1 13
1
1
,
sillä 2 0n
→ ja, 1 0n
→ kun n → ∞.
Koska
a a nn
nn n nn n+ − = + −
+− −
+=
+ +>
13 1 2
23 2
13
1 20( )
( )( ),
sillä n > 0, niin lukujono on aidosti kasvava.
Poikkeama raja-arvosta
3 21
3 0 001
3 2 3 31
0 001
51
1nn
n nn
n
n−+
− <
− − −+
<
−+
<
+ ) ,
,
00 001
51
0 0011
0 0010
1 500
,
,,⏐ ⏐
⏐ ⏐
⏐ ⏐
n
n
n
+< ⋅ + >
+ > 00
1 5000 1 5000
4999 500
n n
n n
+ > + < −> < −
tai
11
Ei käy, koska n > 0
Koska n > 4 999, niin lukujonon 5 000. jäsen poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaan vähemmän kuin 0,001.
Vastaus: Lukujonon n:s jäsen on
a nn
nn
= −+
= …3 21
1 2 3, , , , . Lukujonon raja-arvo on 3 ja
jonon 5 000. jäsen poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaan vähemmän kuin 0,001.
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 2 p.
+ 1 p.
82 Vastaukset
11. Yhtälö x – 2ln x = 0, x > 0
Tutkitaan funktiota f(x) = x − 2ln x, x > 0
Funktion derivaatta ′ = −f xx
( ) 1 2
Derivaatan nollakohta
1 2 0
2 1 0
2
− =
= ⋅ >
=
x
xx
x Kulkukaavio
′ = − <
′ = >
f
f
( )
( )
1 1 0
3 23
0 Funktion pienin arvo f(2) = 2 − 2ln ≈ 0,6
Koska funktion pienin arvo on 0,6 > 0, niin funktiolla f ei ole nollakohtia ja siten myöskään yhtälöllä x − 2ln x = 0 ei ole reaalijuuria.
12. y = 2x
xy = 11–1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–2–3–5 2 3 4 5
y
x
xy = 1
y = – x12
Suorat y x= 12
ja y = 2x sekä hyperbeli xy = l rajaavat
kaksiosaisen alueen, joka on yhtä suuri y-akselin molem-min puolin. Lasketaan koordinaatiston 1. neljännekseen muodostuva ala.
Suoran y x= 12
ja hyperbelin xy = l leikkauspisteet
y x
xy
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
121
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
83Vastaukset
Sijoitetaan y x= 12
yhtälöparin alempaan yhtälöön.
x x
x x
x
⋅ = ⋅
= >
=
12
1 2
2 0
2
2 ,
Suoran y = 2x ja hyperbelin xy = l leikkauspisteet
y x
xy
==
⎧⎨⎩⎪
2
1
Sijoitetaan y = 2x yhtälöparin alempaan yhtälöön.
x x
x x
x
⋅ =
= >
=
2 1 2
12
0
12
2
:
,
Pinta-ala 1. neljänneksessä
A x x dxx
x dx
x
= −⎛⎝
⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠
=
∫ ∫2 12
1 12
34
0
12
12
2
0
12/ 22
12
221
4
34
12
0 2 14
2
⎛⎝
⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠
= −⎛⎝
⎞⎠ + − ⋅
/ ln
ln
x x
−− − ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − = − =−
ln
ln ln ln ln ln
12
14
12
2 12
2 212
12 22
2
2
12
12
−= ln
Symmetrisyyden perusteella koko kaksiosaisen alueen ala on 2 ln 2.
Vastaus: Kaksiosaisen alueen ala on 2 ln 2.
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
84 Vastaukset
13. Lauseke L x x
x( ) tan= −
−
3
3π
a) Lausekkeen arvot, kun xn
n= + −π3
10 3 , n = 1, 2, 3, 4, 5
n L(x)
1 4,00694
2 4,00000693
3 4
4 0
5 0
b) Olkoon funktio f(x) = tan x
Tällöin f π π3 3
3⎛⎝
⎞⎠ = =tan
Funktio f(x) = tan x on derivoituva Raja-arvo
lim ( ) lim tan
lim(
/ /
/
x x
x
L x x
x
f x
→ →
→
= −
−
=
π π
π
π3 3
3
3
3
)) − ⎛⎝
⎞⎠
−= ′ ⎛⎝
⎞⎠
f
xf
π
ππ3
33
Funktion derivaatta ′ =f xx
( )cos
12
Derivaatan arvo ′ ⎛⎝⎞⎠ = =f π
π31
3
42cos
Koska ′ ⎛⎝⎞⎠ =f π
34 , niin a-kohdan arvojenkin pitäisi lähes-
tyä neljää. Laskimen tarkkuus ei kuitenkaan riitä lausek-
keen arvojen laskemiseen, kun poikkeama luvusta π3
on
riittävän pieni.
Syksy 2005
+ 2 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
85Vastaukset
14.
(x0, y0)
1–1–1
–2
1
2
3
4
–2–3–4–5 2 3 4 5
y
x
y = y(x)(2x0, 0)
Käyrä y = y(x) Pisteeseen (x0, y0) piirretyn tangentin yhtälö
y y k x x k y x
y y y x x x
− = − = ′
− = ′ −0 0 0
0 0
( ) (
( )(00)
Koska koordinaattiakseleiden väliin jäävä tangentin osa puolittuu, niin tangentin ja käyrän leikkauspiste on koor-dinaattiakseleiden väliin jäävä tangentin osan keskipiste. Täten tangentin ja x-akselin leikkauspiste on (2x0, 0).
y y y x x x x x
yy y x
− = ′ − =
=− = ′
0 0 0 0
0
2
00
( )( )
(00 0 0
0 0 0
2)( )
( )
x x
y y x x
−
− = ′
Edellisestä saadaan differentiaaliyhtälö
− = ⋅
− =
= −
ydydx
x dxxy
dxx
dyy
dyy
ddxx
y x C C
yC
x
y
ln ln ln
ln ln
⏐ ⏐ ⏐ ⏐
⏐ ⏐⏐ ⏐
⏐
= − + >
=
1 1
1
0
⏐⏐⏐ ⏐
= ∈
= ±
=
C
xC
yC
x
y Cx
22
2
r
CC C= ∈2
r
Vastaus: Käyrien yhtälöt ovat y Cx
C= ∈, r .
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 2 p.
86 Vastaukset
15. a) Koska 2345 = 22 · 174 + 1 = 22 · 174 · 2 = (22)174 · 2 = 4174 · 2, niin
2235 ≡ 4172 · 2 ⏐4 ≡ −1(mod5)
≡ (−1)172 · 2
≡ 1 · 2
≡ 2(mod5)
Jakojäännös on 2.
b) Kokeilemalla saadaan
31 ≡ 3(mod6)
32 ≡ 9(mod6)
33 ≡ 27(mod6)
Oletetaan 3n ≡ 3(mod6), että kaikilla n ∈ n, n > 0.
Osoitetaan väite oikeaksi induktiolla.
1° Jos n = 1, niin väite on tosi edellisen kokeilun perus-
teella.
2° Oletetaan, että 3n ≡ 3(mod6) on tosi.
Tällöin
3n + 1 ≡ 3n · 3 3n ≡ 3(mod6) induktio-oletuksen perusteella
≡ 3 · 3
≡ 9
≡ 3(mod6)
Kohtien 1° ja 2° perusteella 3n ≡ 3(mod6) kaikilla n ∈ n,
n > 0. Erikoistapauksena myös 34567 ≡ 3(mod6), joten jakojään-
nös on 3.
Vastaus: a) Jakojäännös on 2. b) Jakojäännös on 3.
Syksy 2005
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.
+ 1 p.