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8/20/2019 Lattices clase

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IIC 2252: Matemática Discreta

Clase 4 - Ordenes completos, reticulados,

relaciones de equivalencia

Luis Dissett V.

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Aspectos administrativos

Sala de ayudant́ıa:

se cambió la sala por la sala S3 (queda en el sector norte del campus,

en el área donde está letras).

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(Q, ≤) no es un orden completo

En efecto: sea S el subconjunto de Q dado por

S =

q ∈ Q : q 2


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(R, ≤) es un orden completo

Intuitivamente, R se obtiene a partir de Q “llenando los agujeros” quese forman en Q (los supremos que le faltan a algunos conjuntos de

racionales).

Más adelante esbozaremos algunas formas de construir los reales a

partir de los racionales.

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El teorema de Knaster-Tarski

Un teorema útil al tratar con órdenes completos es el siguiente:

Teorema (Knaster-Tarski). Sea (A, ) un orden completo, con un

elemento m´ aximo y un elemento mı́nimo.

Sea ϕ : A → A una funci´ on -mon´ otona; en otras palabras, ϕ preserva el orden :

x y =⇒ ϕ(x) ϕ(y).

Entonces existe ã ∈ A tal que ϕ(ã) = ã (o sea, ϕ tiene un punto fijo).

Demostraci´ on. Ejercicio.

Ejercicio. Muestre por qué se necesitan las hipótesis de que A debe

tener un elemento máximo y un elemento mı́nimo.

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Reticulados (lattices)

Definición. Un orden parcial (A, ) es un reticulado si todo

subconjunto de A de cardinalidad 2 tiene un supremo y un ı́nfimo.

Ejemplos:

(P ( U ), ⊆) es un reticulado.

(N − {0} , |) es un reticulado.

Ejercicio. Dé definiciones expĺıcitas de sup {x, y} e inf {x, y} para los

ejemplos anteriores.

A futuro veremos otros ejemplos . . .

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Relaciones de equivalencia

Definición. Sea A un conjunto. Una relaci´ on de equivalencia en A es

una relación ∼ definida en A que es:

1. refleja en A,

2. simétrica, y

3. transitiva.

Ejemplos

La igualdad es siempre una relación de equivalencia, en cualquier

conjunto A.

Si f : A → B es una función cualquiera, entonces la relación ∼

definida en A por x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y) es una relación de

equivalencia.

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Más ejemplos

Sea n ∈ N, n > 0. La relación ≡n, definida en Z por

x ≡n y ⇐⇒ n | (x − y), es una relación de equivalencia.

La relación ↑ definida en Z × (N − {0}) por

(a, b) ↑ (c, d) ⇐⇒ ad = bc

es una relación de equivalencia.

¿Más ejemplos?

Ejercicio. Demuestre las afirmaciones contenidas en los ejemplos

anteriores.

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Clases de equivalenciaSea ∼ una relación de equivalencia definida en A. Para cada a ∈ A,

consideremos el conjunto

[a]∼

= {x ∈ A : x ∼ a} .

Llamamos al conjunto [a]∼

la clase de equivalencia de a por ∼. Cuando

la relación sea clara del contexto, omitiremos el sub́ındice que la

menciona.

El conjuntoA/∼ = {[a]

∼: a ∈ A}

es llamado el conjunto cuociente de A por ∼.

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Propiedades de las clases de equivalencia

Las clases de equivalencia de A por ∼ satisfacen lo siguiente:

cada una de ellas es no vaćıa;

dos cualesquiera distintas de ellas son disjuntas;

la unión de todas ellas es A.

Ejercicio. Demuestre lo anterior.

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ParticionesDefinición. Dado un conjunto A, un conjunto Π ⊆ P (A) es una

partici´ on de A si satisface lo siguiente:

∀S ∈ Π(S = ∅),

∀S, T ∈ Π(S = T =⇒ S ∩ T = ∅),

Π = A.

Aśı, hemos probado que, si ∼ es una relación de equivalencia en A,

entonces A/∼ es una partición de A.Viceversa: si Π es una partición de A, es posible definir una relación de

equivalencia ∼ en A tal que A/∼ = Π. ¿Cómo?

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Definiendo nuevos objetos con RE

Uno de los mayores usos de las relaciones de equivalencia es la

definición de nuevos objetos, como conjunto cuociente de otro por una

relación de equivalencia.

Ejemplo. Formalmente, los enteros son definidos como el conjunto

cuociente de N × N por la relación

(m, n) ↓ (r, s) ⇐⇒ m + s = n + r.

Ejercicio. Defina formalmente los racionales a partir de una relación deequivalencia en Z × (N − {0}).

Ejercicio. Defina formalmente los números reales a partir de una

relación de equivalencia entre las sucesiones de Cauchy de racionales.

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Ejemplo: los enteros módulo n

Consideremos la relación ≡n, definida en Z por x ≡n y ⇐⇒ n | (x − y).

Llamamos conjunto de los enteros m´ odulo n al conjunto

Zn = {[i] : i ∈ Z}

(aqúı estamos usando la convención de que si la relación de

equivalencia es clara del contexto no la mencionamos expĺıcitamente).

Es fácil ver que

Zn = {[0] , [1] , . . . , [n − 1]} .

Los enteros tienen una estructura dada por dos operaciones, + y ·.

¿Será posible que Zn “herede ” esta estructura?

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Operaciones en Zn

La manera “natural” de definir una suma y un producto en Zn es como

sigue:

[i] + [ j] = [i + j] ,

[i] · [ j] = [i · j] ,

¿Cuál es el (posible) problema con esta definición?

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Independencia de los representantes

El cuidado que hay que tener al definir operaciones o funciones en

términos de miembros de clases de equivalencia de A/∼ es que dicha

definición sea independiente de los representantes . En otras palabras, si

por ejemplo definimos f ([a]) en términos de a, debemos cerciorarnos deque, si en lugar de a elegimos b ∼ a como representante de [a] (ya que

b ∼ a =⇒ [a] = [b]), obtengamos el mismo resultado; o sea, si

f ([a]) = g(a) entonces debe tenerse:

b ∼ a =⇒ g(b) = f ([b]) = f ([a]) = g(a).

Por ejemplo, en el caso de Zn al definir la suma, tendŕıamos: si a ≡n c

y b ≡n d entonces [a + b] = [c + d].

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