i

LAPORAN TUGAS AKHIR

Topik Tugas Akhir :

Kajian Matematika

ANALISIS ASUMSI ALGORITMA FLOYD WARSHALL

PADA GRAF BERARAH

TUGAS AKHIR

Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

Sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkkan

Gelar Sarjana Pendidikan Matematika

Oleh:

OKTA FEBRIANSYAH

NIM: 201010060311109

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2015

ii

LEMBAR PERSETUJUAN

Tugas Akhir dengan Judul:

ANALISIS ASUMSI ALGORITMA FLOYD WARSHALL

PADA GRAF BERARAH

Oleh:

OKTA FEBRIANSYAH

NIM: 201010060311109

telah memenuhi persyaratan untuk dipertahankan

di depan Dewan Penguji dan disetujui

pada tanggal 26 Agustus 2015

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd.

iii

LEMBAR PENGESAHAN

Dipertahankan di depan Dewan Penguji Tugas Akhir

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

dan Diterima untuk Memenuhi Persyaratan

Memperoleh Gelar Sarjana (S1)

Pendidikan Matematika

pada Tanggal: 26 Agustus 2015

Mengesahkan:

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

Dekan,

Dr. Poncojari Wahyono, M. Kes.

DewanPenguji: TandaTangan

1. Dr. Siti Inganah, M.M.,M.Pd. 1. …………………….

2. Rizal Dian Azmi, M.Sc. 2. …………………….

3. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M. 3. …………………….

4. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd. 4. …………………….

iv

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Okta Febriansyah

Tempat tanggal lahir : Malang, 19 Oktober 1991

NIM : 201010060311109

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Denganini menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa:

1. Skripsi dengan berjudul “Analisis Asumsi Algoritma Floyd Warshall pada

Graf Berarah” adalah hasil karya saya, dan dalam naskah skripsi ini tidak

terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk

memperoleh gelar akademik di suatu Perguruan Tinggi, dan tidak terdapat

karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, baik

sebagian atau keseluruhan, kecuali secara tertulis dikutip dalam naskah ini

dan disebutkan dalam sumber kutipan atau daftar pustaka.

2. Apabila ternyata di dalam naskah skripsi ini dapat dibuktikan terdapat unsur-

unsur plagiasi, saya bersedia skripsi ini digugurkan dan gelar akademik yang

telah saya peroleh dibatalkan, serta diproses dengan ketentuan hukum yang

berlaku.

3. Skripsi ini dapat dijadikan sumber pustaka yang merupakan hak bebas royalty

non eksklusif.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya untuk dipergunakan

sebagaimana mestinya.

Malang, 02 September 2015

yang menyatakan,

Okta Febriansyah

NIM: 201010060311109

v

MOTTO

Jangan pernh mengeluh ketika tangan belum dapat menggapai bintang

di langit, tapi bersyukurlah ketika kamu masih dapat menginjakkan

kaki di bumi.

Kamu tak akan pernah menyesal ketika kamu mati untuk meraih

mimpi mu, namun kamu akan menyesal seumur hidup mu ketika

kamu menyerah untuk meraih mimpi mu itu.

(OP)

“Dan memohonlah pertolongan (kepada Allah) dengan sabar dan

shalat.

Dan (shalat) itu sungguh berat, kecuali bagi orang-orang yang

khusyuk”.

(Q.S Al-Baqoroh: 45)

Setiap orang belum tentu baik, tetapi selalu ada kebaikan pada setiap

orang.

Jangan terlalu cepat menilai seseorang, karena setiap orang suci pasti

punya masa lalu, dan setiap pendosa masih punya masa depan

(Oscar Wilde)

vi

PERSEMBAHAN

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan Rahmat dan

Hidayah-Nya serta shalawat serta salam tetap tercurahkan kepada Rosulullah

Muhammad SAW yang telah menuntun umat islam dari zaman jahiliyah zaman

yang penuh dengan kebodohan serta pembodohan menuju zaman terang dan

zaman kebenaran serta zaman terpelajar.

Tugas Akhir ini saya persembahkan untuk:

1. Ibu saya yang saya cintai serta Alm. Ayah yang selalu saya banggakan,

terimakasih atas doa, dorongan materi dan moral yang selalu di berikan tiada

henti kepada saya.

2. Kakak-kakakku, serta saudara-saudara yang lainnya, terimakasih atas

dukungannya selama ini. Doa ku selalu menyertaimu.

3. Bapak. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M. dan Ibu Alfiani Athma Putri

Rosyadi, M.Pd. selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu sabar

membimbing serta memberi arahan saya hingga tugas akhir ini terselesaikan.

4. Teman-teman kelas Matkom C angkatan 2010, Ustad, Paeq, Ucup, Aris, Pras,

Johan, Fadhil dan Aris yang selalu memberi motifasi, semangat dan saling

memberi masukan pada setiap langkah hidup ini.

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur Alhamdulillah kepada Allah SWT, yang Maha Mengetahui

lagi Maha Penyayang, karena dengan rahmat dan hidayah-Nya, penulis dapat

menyelesaikan tugas Tugas Akhir judul “Analisi Algoritma Floyd Warshall pada

Graf Berarah”. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada Rosulullah

Muhammad SAW, Keluarga dan para Sahabatnya.

Tugas Akhir ini merupakan kajian mengenai asumsi dari algoritma Floyd

Warshall untuk menentukan jalur terpendek pada graf berarah. Dimana apabila

asumsi tersebut tidak terpenuhi, maka akan menjadikan suatu algoritma yang tidak

memberikan solusi yang benar serta akan menjadikan suatu algoritma yang tidak

efektif dan tidak efisien dalam proses pengerjaannya.

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini dapat terselesaikan berkat

bimbingan, bantuan dan motivasi dari banyak pihak. Oleh karena itu, dengan

setulus hati penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M., selaku dosen pembimbing I yang telah

meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi petunjuk, bimbingan dan

pengarahan kepada penulis sehingga terselesaikan Tugas Akhir ini.

2. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd., selaku dosen pembimbing II yang telah

meluangkan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan Tugas

Akhir ini.

Semoga Allah SWT menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya, serta

melapangkan dada kita dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-

Nya. Penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi semua

pihak yang berkepentingan. Namun dalam penulisan Tugas Akhir ini penulis

menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan karena terbatasnya

kemampuan penulis, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat

dibutuhkan, guna mengembangkan Tugas Akhir ini ke depannya.

Malang, 02 September 2015

Penulis

x

DAFTAR ISI

Halaman Judul ........................................................................................... i

Lembar Persetujuan ................................................................................... ii

Lembar Pengesahan .................................................................................. iii

Halaman Pernyataan Keaslihan ................................................................. iv

Halaman Motto .......................................................................................... v

Halaman Persembahan .............................................................................. vi

Kata Pengantar .......................................................................................... vii

Abstrak ...................................................................................................... viii

Abstract ..................................................................................................... ix

DAFTAR ISI .............................................................................................. x

DAFTAR GAMBAR ................................................................................. xii

DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................. xiii

BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ........................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ................................................................... 5

1.3 Pembatasan Masalah ............................................................... 5

1.4 Tujuan Kajian .......................................................................... 5

1.5 Manfaat Kajian ........................................................................ 5

1.6 Metode Penelitian ................................................................... 6

1.7 Kerangka Konseptual ............................................................. 7

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................... 9

2.1 Graf ........................................................................................... 9

2.1.1 Graf Secara Umum ........................................................ 9

2.1.2 Jenis Graf Berdasarkan Orientasi Arahnya ................... 10

1. Graf Tak-Berarah ...................................................... 10

2. Graf Berarah .............................................................. 11

2.2 Representasi Graf Kedalam Bentuk Matriks ........................... 12

xi

2.3 Lintasan .................................................................................... 14

2.4 Jarak Terpendek (Shortes Path) Pada Graf ............................. 15

2.4.1 Algoritma Jarak Terpendek ........................................... 15

1. Algoritma Floyd Warshall ....................................... 15

BAB III PEMBAHASAN ............................................................. 18

3.1 Analisis Asumsi ke-1 .............................................................. 18

3.1.1 Dibuktikan dengan graf yang memiliki arah ganda pada

garisnya ............................................................................. 18

3.1.2 Dibuktikan dengan graf yang memiliki satu arah pada

setiap garisnya .................................................................. 21

3.2 Analisis Asumsi ke-2 ............................................................... 27

3.3 Pengaruh dari asumsi tersebut ................................................. 27

3.3.1 Pengaruh Asumsi ke-1 ..................................................... 18

3.3.2 Pengaruh Asumsi ke-2 ..................................................... 21

BAB IV PENUTUP ................................................................................... 28

4.1 Kesimpulan ............................................................................... 28

4.2 Saran ......................................................................................... 28

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 29

LAMPIRAN ............................................................................................... 31

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Peta Konsep ....................................................................... 8

Gambar 2.1 Graf G ................................................................................. 10

Gambar 2.2 Graf berarah (undirected graph) ........................................ 11

Gambar 2.3 Graf Berarah (directed graph/digraph) ............................. 11

Gambar 2.4 Graf Sederhana dan Graf Rangkap .................................... 12

Gambar 2.5 Representasi Graf G kedalam Bentuk Matriks Kedekatan 13

Gambar 2.6 Graf Berarah (directed graph/digraph) .............................. 13

Gambar 2.7 Graf G ................................................................................. 14

Gambar 2.8 Graf G ................................................................................. 14

Gambar 2.9 Digraph G ........................................................................... 15

Gambar 2.10 Flowchart .......................................................................... 17

Gambar 3.1 Digraph G dengan arah ganda ............................................ 18

Gambar 3.2 Digraph G dengan satu arah .............................................. 21

Gambar 3.3 Digraph G dengan arah ganda ............................................ 24

Gambar 3.4 Digraph G dengan satu arah ............................................... 25

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1: Proses pembahasan algoritma jalur terpendek pada graf

yang memiliki arah ganda pada garisnya .......................... 31

29

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir, Nilna Niswatin A. dan Fifi Framelia N. 2009.Teori Graf. UIN-

Malang Press: Malang.

Aji, Rizqon Halal Syah .15 juni 2014: jurnal: “Khazanah Sains dan Matematika

Dalam Islam” http://www.academia.edu/9990160/KHAZANAH_SAINS_D-

AN_MATEMATIKA_DALAM_ISLAM_Rizqon_Halal_Syah_Aji,diakses pada

tanggal 30 Maret 2015.

Andhy. 2011. Jurnal Unikom: “Penerapan Algoritma Label-Setting Untuk

Menentukan Jalur Terpendek Dari Dua Node Pada Peta Kota Bandung“,

http://elib.unikom.ac.id/gdl.php?mod=browse&op=read&id=jbptunikompp

-gdl-andhynim10-26393&q=andhy, diakses pada tanggal 15 Maret 2015.

Ali, Thantowi. 2003 : Jurnal:”Analisis Teori Graf, Volume II Univ. Diponegoro”,

http://eprints.undip.ac.id/32238/6/M03_Ali_Thantowi_chapter_II.pdf,

diakses pada tanggal 21 April 2015

Cahyono, Hendarto.2000:PengantarTeori Graf. UMM: Malang.

Hidayat, Andri, Mei 2013. Jurnal: ”Pencarian rute terpendek dengan

menggunakan algoritma Fyold Warshall untuk taksi dengan rute Terminal

Leuwi Panjang – Dipati Ukur”, http://elib.unikom.ac.id/files/disk1/625-

/jbptunikompp-gdl-andrihiday31214-10-unikom_a-i.pdf, diakses pada

tanggal 4 Maret 2015.

Kurniawati, Anik. 2007: Jurnal UMM: “Implementasi Algoritma Floyd Warshall

Untuk Mencari Jarak Terpendek Dengan Menggunakan Program Turbo

Pascal”.

Lipschutz, Seymour dan Lipson, March. 2008: Matematika Diskrit, Edisi Ketiga.

Erlangga.

Masido, Nurio Juliandatu. 2007: jurnal Program Studi Teknik Informatika, Institut

Teknologi Bandung : “Pengaplikasian Graf Dalam Kehidupan Sehari-Hari”,

30

http://infor-matika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2006-2007/Makalah-

/Makalah060-784.pdf, diakses pada tanggal 30 Maret 2015.

Siang, Jong Jek. 2002: Matematika Diskrit Dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.

Andi: Yokyakarta.

Suryadi. MT. 1996: Pengantar Analisis Algoritma. Gunadarma: Jakarta.

Saniman dan M. Fathoni. 2008: Jurnal Saintikom: “Pengantar Algoritma Dan

Pemrograman”, http://lppm.trigunadharma.ac.id/public/fileJurnal/6BEB3-

OK-Jurnal13-Sani-MF-Algo1-1.pdf, diakses pada tanggal 4 Maret 2015.

Wibisono, Samuel. 2008: Matematika Diskrit Edise Ke-II. Graha Ilmu:

Yogyakarta.

Wilson, Robin J. dan Watkins, John J.1989: Graphs An Introductory Approach.