lampiran - eprints.umpo.ac.ideprints.umpo.ac.id/4289/8/lampiran.pdfrpp siklus 1 b. rpp siklus 2 c....
TRANSCRIPT
29
LAMPIRAN
30
Lampiran 1. Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian
31
32
Lampiran 2. Perangkat Pembelajaran dan Lembar Observasi
a. RPP Siklus 1
b. RPP Siklus 2
c. Lembar Observasi Aktivitas Guru (OAG)
33
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Satuan Pendidikan : SMKNegeri 1 Kebonsari
Kelas/Semester : X/2
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pokok : Barisandan Deret Aritmetika
Waktu : 8 × 45 menit
A. Kompetensi Inti:
KI 3: Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan
faktual, konseptual, operasional dasar, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan
lingkup kajian matematika pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks,
berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam
konteks pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja,
warga masyarakat nasional, regional, dan internasional.
KI 4 : Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja
yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai dengan bidang kajian
matematika. Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas
yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja. Menunjukkan keterampilan
menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri,
kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas
spesifik di bawah pengawasan langsung. Menunjukkan keterampilan mempersepsi,
kesiapan, meniru, membiasakan, gerak mahir, menjadikan gerak alami dalam ranah
konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta
mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi
Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
3.5 Menganalisis barisan dan deret aritmetika.
3.6.1 Menjelaskan konsep barisan dan deret aritmetika.
3.6.2 Menentukan nilai suku ke-n barisan aritmetika.
3.6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika.
3.6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.
4.5 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.
4.6.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
4.6.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
Lampiran 2a
34
C. Tujuan Pembelajaran :
Melalui metode diskusi, tanya jawab dan pemberian tugas dengan pendekatan Realistic
Mathematics Education (RME) diharapkan siswa mampu:
1. Menjelaskan konsep barisan dan deret aritmetika dengan benar.
2. Menentukan nilai suku ke-� barisan aritmetika dengan benar.
3. Menentukan jumlah � suku pertama deret aritmetika dengan benar.
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika dengan
benar.
5. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan barisan aritmetika dalam
kehidupan sehari-hari.
6. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan deret aritmetika dalam
kehidupan sehari-hari.
D. Materi
Barisan dan deret aritmetika (terlampir)
E. Pendekatan /Model /Metoda Pembelajaran :
Pendekatan Pembelajaran : Realistic Mathematics Education (RME)
Model Pembelajaran :Pembelajaran Kooperatif
Metode Pembelajaran :Ceramah, tanya jawab, diskusi dan pemberia ntugas
F. KegiatanPembelajaran:
Pertemuan ke-1
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.
2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari
barisan aritmetika dan memberikan gambaran tentang aplikasi
barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
“Dengan mempelajari barisan aritmetika kita dapat
memprediksi bilangan selanjutnya dari sebuah barisan
aritmetika. Contoh dalam kehidupan sehari-hari adalah
menentukan jumlah kursi setiap baris dalam sebuah
pertunjukan jika jumlah kursi pada baris berikutnya selalu
ditambah kursi dengan jumlah yang sama.”
5. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.
“Kita telah mempelajari beberapa pola bilangan. Antara lain
adalah pola bilangan ganjil, pola bilangan genap, pola
bilangan segitiga, dan pola bilangan persegi.”
6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
yaitu menjelaskan konsep barisan aritmetika dengan benar,
10 menit
35
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
menentukan nilai suku ke-� barisan aritmetika dengan benar,
dan memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan
aritmetika.
Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai
barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
“Dalam sebuah gedung banyak kursi pada baris paling depan
adalah 5 kursi. Banyak kursi baris-baris berikutnya selalu
lebih banyak 3 kursi dibanding baris depannya. Jika terdapat 8
baris, maka berapakah jumlah kursi pada baris ke-8?”
2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang
materi barisan aritmetika.
“Secara manual menentukan jumlah kursi pada setiap baris.
Dari sini akan diperoleh barisan aritmetika dan banyak kursi
pada baris ke-8.”
3. Guru membagi siswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap
kelompok terdiri atas 5 siswa.
4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan pertama
kepada setiap kelompok sebagai bahan diskusi kelompok.
5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-
kan, mengarahkan, dan mendorong semua siswa untuk terlibat
aktif berdiskusi, dan mengarahkan bila ada kelompok yang
melenceng jauh dari pekerjaannya, serta membimbing
kelompok yang mengalami kesulitan.
6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-
kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.
7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian
barisan aritmetika dan rumus untuk menentukan nilai suku ke-
� dari barisan aritmetika.
70menit
Penutup 1. Siswa dengan bimbingan guru membuat rangkuman materi
yang dipelajari secara bersama-sama.
2. Siswa dan guru melaksanakan refleksi.
3. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai barisan
aritmetika, pekerjaan rumah pertemuan pertama.
4. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya.
5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan
untuk tetap belajar.
10 menit
36
Pertemuan ke-2
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.
2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari
deret aritmetika dan memberikan gambaran tentang aplikasi
barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
“Dengan mempelajari barisan dan deret aritmetika kita dapat
memprediksi jumlah bilangan dari bilangan pertama sampai
bilangan ke-� dari sebuah barisan aritmetika. Contoh dalam
kehidupan sehari-hari adalah menentukan jumlah semua kursi
dalam sebuah pertunjukan jika jumlah kursi pada baris
berikutnya selalu ditambah kursi dengan jumlah yang sama.”
5. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.
“Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari barisan
aritmatika, yaitu menentukan suku pertama, beda, rumus suku
ke-�, dan nilai suku ke-�. Rumus suku ke-� barisan
aritmetika adalah �� = � + (� − 1)�.”
6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
yaitu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan
aritmetika dalam kehidupan sehari-hari, menjelaskan konsep
deret aritmetika dengan benar, menentukan jumlah � suku
pertama deret aritmetika dengan benar.
10 menit
Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai
barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
“Dalam sebuah gedung banyak kursi pada baris paling depan
adalah 5 kursi. Banyak kursi baris-baris berikutnya selalu
lebih banyak 3 kursi dibanding baris depannya. Jika terdapat
8 baris, maka berapakah jumlah kursi dalam gedung
tersebut?”
2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang
materi barisan dan deret aritmetika.
“Secara manual menjumlahkan semua kursi dari baris ke-1
sampai baris ke-8. Dari sini akan diperoleh jumlah semua
kursi yang ada dalam gedung tersebut.”
3. Guru membagi siswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap
kelompok terdiri atas 5 siswa.
4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan kedua
kepada setiap kelompok.
5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-
kan dan mendorong semua siswa untuk terlibat diskusi, dan
70menit
37
mengarahkan bila ada kelompok yang melenceng jauh dari
pekerjaannya.
6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-
kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.
7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian deret
aritmetika dan bentuk umum deret aritmetika.
Penutup 1. Siswa dengan bimbingan guru membuat rangkuman materi
yang di pelajari secara bersama-sama.
2. Siswa dan guru melaksanakan refleksi.
3. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai barisan
dan deret aritmetika, pekerjaan rumah pertemuan kedua.
4. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya.
5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan
untuk tetap belajar.
10 menit
Pertemuanke-3
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.
2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari
barisan dan deret aritmetika dan memberikan gambaran
tentang aplikasi barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan
sehari-hari.
“Meliya bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10
bulan dan gaji awal Rp 1.600.000. Setiap bulan Meliya
mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 200.000. Berapa total
seluruh gaji yang diterima Meliya hingga menyelesaikan
kontrak kerja?”
5. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.
“Kita telah mempelajari barisan dan deret aritmetika. Barisan
aritmetika digunakan untuk menentukan suku ke-�,
contohnya jumlah barang atau gaji pada waktu tertentu.
Sedangkan deret aritmetika digunakan untuk menentukan
jumlah � suku pertama, contohnya jumlah semua barang dari
awal produksi sampai bulan tertentu.”
6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
yaitu memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret
aritmetika dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
10 menit
Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai 70 menit
38
barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
“Fikri memiliki seutas tali rafia yang dipotong menjadi 6
bagian dan membentuk barisan aritmetika. Panjang tali yang
terpendek adalah 6 cm dan yang terpanjang adalah 36 cm.
Berapa meter panjang tali rafia semula?”
2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang
materi barisan dan deret aritmetika.
“Tali yang terpendek sebagai suku ke-1 dan tali yang
terpanjang sebagai suku ke-6 (karena dipotong menjadi 6
bagian). Kita masukkan pada rumus suku ke-6 maka nanti
akan diperoleh beda(�).”
3. Guru membagi siswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap
kelompok terdiri atas 5 siswa.
4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan ketiga
kepada setiap kelompok.
5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-
kan dan mendorong semua siswa untuk terlibat diskusi, dan
mengarahkan bila ada kelompok yang melenceng jauh dari
pekerjaannya.
6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-
kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.
7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian deret
aritmetika dan bentuk umum deret aritmetika.
Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan cara menyelesaikan masalah
barisan dan deret.
2. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai
penerapan rumus yang diperoleh, pekerjaan rumah pertemuan
ketiga.
3. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya.
4. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan
untuk tetap belajar.
10 menit
G. Alat/Media/Sumber Pembelajaran
1. Lembar aktivitas siswa (LAS).
2. Buku paket Matematika untuk kelas XI, Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
Republik Indonesia, 2013.
3. Tes pemahaman konsep matematika.
H. Penilaian Pemahaman Konsep Matematika
1. Teknik Penilaian : Tes tertulis (tes pemahaman konsep matematika)
2. ProsedurPenilaian : Terlampir
39
I. Instrumen Penilaian Pemahaman Konsep Matematika
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar
1. Jelaskan pengertian barisan aritmetika dan deret aritmetika?
2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan aritmetika berikut:
a. 2, 9, 16, 23, 30, …
b. 6, 2, -2, -6, -10,…
3. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan aritmetika berikut:
a. Suku ke-27 pada barisan 8, 11, 14, 17, …
b. Suku ke-19 pada barisan 49, 42, 35, 28, …
4. Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-bilangan semula
dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Tentukan
barisan yang terbentuk!
5. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ketiganya adalah 11 dan suku kesepuluhnya
adalah 39. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-�!
6. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut:
a. 2 + 7 + 12 + 17 + …
b. 3 + 6 + 9 + 12 + …
7. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan aritmetika? Berikan
alasannya, jika merupakan barisan aritmetika maka tentukan suku ke-10 dari setiap
barisan bilangan berikut:
a. 2, 4, 8, 16, … .
b. 4, 11, 18, 25, … .
c. 42, 34, 26, 18, … .
d. 3, 6, 10, 15, … .
Madiun, 9 April 2018
Mengetahui Guru Pembimbing,
Praktikan,
KHOLAELA, S.Pd. NIP. 19690414 200801 2 024
IMAM BUDIONO NIM. 14321767
Menyetujui
Kepala Sekolah SMK Negeri 1 Kebonsari,
BUDI SETIAWAN, S.Pd., M.Si. NIP. 19580515 198303 1 020
40
Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Pertama
1. Tentukan rumus suku ke−� dari barisan aritmetika berikut:
a. 3, 7, 11, 15, ⋯
b. 70, 78, 86, 94, ⋯
2. Diketahui barisan aritmetika17, 20, 23, 26, 29, ⋯
Tentukan:
a. U8 + U12
b. U30 – U10
3. Suku ketiga suatu barisan aritmetika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh sama
dengan 39.
a. Carilah suku pertama dan beda barisan itu.
b. Tentukan suku ke-30.
4. Diketahui suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 6, suku terakhirnya 72, dan
beda 11.Tentukan:
a. Banyak suku
b. Suku tengahnya
5. Hitunglah banyak bilangan asli antara 1 sampai 100 yang tidak habis dibagi 6.
Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Kedua
1. Hitunglah jumlah 40 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut: a. 33 + 40 + 47 + 54 + ⋯. b. 58 + 50 + 42 + 34 + ⋯.
2. Diketahui �� adalah suku ke−� suatu deret aritmetika. Jika �� + �� + �� = 21 dan �� + �� + �� = 45. Tentukan: a. Suku pertama dan beda b. Jumlah lima suku pertama deret tersebut.
3. Suatu deret aritmetika mempunyai suku ke-5 sama dengan 40 dan suku ke-8 sama dengan 13. Tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret tersebut.
Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Ketiga
1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret
aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika
banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka
jumlah seluruh permen adalah … buah.
2. Di antara bilangan 7 dan 448 disisipkan enam bilangan sehingga bilangan-bilangan
semula denga nbilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika.
Tentukan beda dan jumlah dari barisan tersebut!
3. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksi.
Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah keramik juga meningkat
sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap
bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkan selama satu tahun pertama?
41
Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Pertama
1. Suku ke-28 barisan aritmetika 45, 38, 31, 24, ⋯ adalah…
2. Suku ke-� barisan aritmetika dirumuskan dengan �� = 15 − 4�. Suku pertama dan beda
barisan tersebut berturut-turut …
3. Rumus suku ke-� dan barisan 6, 2, −2, −6, −10 ⋯ adalah …
4. Bilangan 237 pada barisan 3, 12, 21 ⋯ merupakan suku ke-…
5. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57.
Suku ke-15 barisan ini adalah …
6. Diketahui barisan bilangan aritmetika dengan �� adalah suku ke-�. Jika �� + ��� +
��� = 165, nilai ��� adalah …
7. Jumlah suku ke-5 dan suku ke-7 suatu barisan aritmetika adalah 144. Jumlah suku ke-5
sampai suku ke-7 adalah …
Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Kedua
1. Diketahui deret aritmetika 25 + 19 + 13 + 7 + ⋯ Jumlah 12 suku pertama deret
tersebut adalah …
2. Diketahui deret aritmetika2 + 8 + 14 + 20 + 26 + ⋯ Rumus jumlah � suku pertama
deret tersebut adalah …
3. Diketahui deret aritmetika 4 + 7 + +10 + 13 + ⋯ + 31. Jumlah deret tersebut adalah
…
4. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut 2 dan −13.
Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …
5. Suatu barisan aritmetika memiiki suku kedua 8, suku keempat 14, dan suku terakhir 23.
Jumlah semua suku barisan tersebut adalah …
Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Ketiga
1. Banyak bilangan asli antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 4 adalah…. Serta tentukan
jumlah dari semua bilangan yang habis dibagi 4 tersebut.
2. Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-
bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan
aritmetika. Barisan aritmetika tersebut adalah…
3. Pak Badu hendak membagikan uang sebesar Rp 100.000.000,00 kepada 5 orang
anaknya. Anak pertama mendapat Rp 5.000.000,00 lebih dari anak kedua. Anak kedua
mendapat Rp 5.000.000,00 lebih dari anak ketiga, dan demikian seterusnya. Besar uang
yang diterima oleh anak pertama adalah…
4. Setiap hari Senin Resti menabung di koperasi sekolah. Pada minggu pertama Resti
menabung Rp 30.000,00. Pada minggu kedua dan seterusnya ia menabung Rp 8.000,00.
Besar tabungan Resti setelah 14 minggu adalah….
42
Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Pertama
1. Mentukan rumus suku ke-� barisan aritmetika
a. 3, 7, 11, 15, ⋯. � = 3 dan � = 7 − 3 = 4, maka rumus suku ke-� adalah
�� = � + (� − 1)�
�� = 3 + (� − 1)4
�� = 3 + 4� − 4
�� = 4� − 1
Jadi, rumus suku ke-� adalah 4� − 1
b. 70, 78, 86, 94, ⋯. � = 70 dan � = 78 − 70 = 8, maka rumus suku ke-� adalah
�� = � + (� − 1)�
�� = 70 + (� − 1)8
�� = 70 + 8� − 8
�� = 8� + 62
Jadi, rumus suku ke-� adalah 8� + 62
2. Barisan aritmetika 17, 20, 23, 26, ⋯, � = 17 dan � = 20 − 17 = 3
a. �� + ��� = (17 + (8 − 1)3) + (17 + (12 − 1)3)
�� + ��� = (17 + 7 ∙3) + (17 + 11 ∙3)
�� + ��� = (17 + 21) + (17 + 33)
�� + ��� = 38 + 50
�� + ��� = 88
b. ��� − ��� = (17 + (30 − 1)3) − (17 + (10 − 1)3)
��� − ��� = (17 + 29 ∙3) − (17 + 9 ∙3)
��� − ��� = (17 + 87) − (17 + 27)
��� − ��� = 104 − 44
��� − ��� = 60
3. Barisan aritmetika dengan �� = 11 dan ��� = 39
a. �� = 11 ⟹ � + 2� = 11
��� = 39 ⟹ � + 9� = 39
−7� = −28
−7� =−28
−7
� = 4
� = 4substitusikan ke persamaan � + 2� = 11
� + 2 ∙4 = 11
� + 8 = 11
� = 11 − 8
� = 3
Jadi, suku pertama adalah 3 dan beda adalah 4
b. ��� = 3 + (30 − 1)4
��� = 3 + 29 ∙4
��� = 3 + 116
��� = 119
43
4. Barisan aritmetika dengan � = 6, � = 11 dan �� = 72
a. Banyak suku
�� = � + (� − 1)�
72 = 6 + (� − 1)11
72 = 6 + 11� − 11
72 = 11� − 5
11� = 72 + 5
11� = 77
� =77
11
� = 7
b. Suku tengah
�� =� + ��
2
�� =6 + 72
2
�� =78
2
�� = 39
5. Bilangan antara 1 sampai 100 terdiri dari 98 bilangan. 1 dan 100 tidak termasuk dalam
anggota karena sebagai batas.
Bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan kelipatan 6 yaitu 6, 12, 18, 24, ⋯ , 96 yang
merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama � = 6, beda � = 6, dan suku terakhir
�� = 96.
Banyak bilangan yang habis dibagi 6 adalah
�� = � + (� − 1)�
96 = 6 + (� − 1)6
96 = 6 + 6� − 6
96 = 6�
� =96
6
� = 16
Jadi, banyak bilangan yang tidak habis dibagi 6 adalah 98 − 16 = 82
44
Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Kedua
1. Jumlah 40 suku pertama deret aritmetika
a. 33 + 40 + 47 + 54 + ⋯, � = 33 dan � = 40 − 33 = 7
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =40
2∙(2 ∙33 + (40 − 1)7)
��� = 20 ∙(66 + 39 ∙7)
��� = 20 ∙(66 + 278)
��� = 20 ∙339
��� = 6.780
Jadi, jumlah 40 suku pertama adalah 6.780
b. 58 + 50 + 42 + 34 + ⋯, � = 58 dan � = 50 − 58 = −8
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =40
2∙(2 ∙58 + (40 − 1) ∙(−8))
��� = 20 ∙(116 + 39 ∙(−8))
��� = 20 ∙(116 − 312)
��� = 20 ∙(−196)
��� = −3.920
Jadi, jumlah 40 suku pertama adalah −3.920
2. Deret aritmetika dengan �� + �� + �� = 21 dan �� + �� + �� = 45.
a. �� + �� + �� = 21 ⇒ � + (� + �) + (� + 2�) = 21 ⇒ 3� + 3� = 21
�� + �� + �� = 45 ⇒ (� + 2�) + (� + 3�) + (� + 4�) = 45 ⇒ 3� + 9� = 45
−6� = −24
−6� =−24
−6
−6� = 4
� = 4 substitusikan ke persamaan 3� + 3� = 21
3� + 3 ∙4 = 21
3� + 12 = 21
12 + 3� = 21 − 12
12 + 3� = 9
12 + 3� =9
3
12 + 3� = 3
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 3 dan bedanya adalah 4
b. �� =�
�∙(2� + (� − 1)�)
�� =5
2∙(2 ∙3 + (5 − 1)4)
�� =5
2∙(6 + 4 ∙4)
45
�� =5
2∙(6 + 16)
�� =5
2∙22
�� = 55
Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 55
3. Deret aritmetika dengan �� = 40 dan �� = 13
�� = 40 ⟹ � + 4� = 40
�� = 13 ⟹ � + 7� = 13
−3� = 27
−3� =27
−3
−3� = −9
� = −9 substitusikan ke persamaan� + 4� = 40
� + 4 ∙(−9) = 40
� − 36 = 40
12 + � = 40 + 36
12 + � = 76
��� =12
2(2 ∙76 + (12 − 1) ∙(−9))
��� = 6(152 + 11 ∙(−9))
��� = 6(152 − 99)
��� = 6 ∙53
��� = 818
46
Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Ketiga
1. �� = 11 ⟹ � + 3� = 11
�� = 19 ⟹ � + 3� = 19
−2� = −8
−3� =−8
−2
−3� = 4
� = 4 substitusikan ke persamaan � + � = 11
� + 4 = 11
4 + � = 11 − 4
4 + � = 7
Jumlah seluruh permen adalah
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
�� =5
2∙(2 ∙7 + (5 − 1)4)
�� =5
2∙(14 + 4 ∙4)
�� =5
2∙(14 + 16)
�� =5
2∙30
�� = 75
Jadi, jumlah seluruh permen adalah 75 buah
2. Di antara bilangan 7 dan 448 disisipkan enam bilangan sehingga membentuk barisan
aritmetika, yaitu 7, ��, ��, ��, ��, ��, ��, 448 dengan � = 7 dan �� = 448
�� = 448
� + 7� = 448
7 + 7� = 448
� + 7� = 448 − 7
� + 7� = 441
� + 7� =441
7
� + 7� = 63
Jumlah dari semua bilangan tersebut adalah
�� =8
2(7 + 448)
�� = 4 ∙455
�� = 820
Jadi, jumlah dari semua bilangan tersebut adalah 820
3. Produksi pertama sebanyak 5.000, peningkatan/beda sebanyak 300 setiap bulan. Jumlah
produksi selama satu tahun pertama adalah
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =12
2∙(2 ∙5.000 + (12 − 1)300)
��� = 6 ∙(10.000 + 11 ∙300)
��� = 6 ∙(10.000 + 3.300)
��� = 6 ∙13.300
��� = 79.800
Jadi, jumlah keramik yang diproduksi selama satu tahun pertama adalah 79.800 buah.
47
Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Pertama
1. 45, 38, 31, 24, ⋯, diperoleh � = 45 dan � = 38 − 45 = −7. Suku ke-28 adalah
�� = � + (� − 1)�
��� = 45 + (28 − 1) ∙(−7)
��� = 45 + 27 ∙(−7)
��� = 45 + (−189)
��� = −144
Jadi, suku ke-28 adalah −144
2. Suku ke-� barisan aritmetika dirumuskan dengan �� = 15 − 4�
Suku pertama adalah
�� = 15 − 4 ∙1
�� = 15 − 4
�� = 11
� = �� − ��
� = 15 − 4 ∙2 − 11
� = 15 − 8 − 11
� = −4
Jadi, suku pertama dari barisan tersebut adalah 11 dan bedanya adalah −4
3. Rumus suku ke-� dari 6, 2, −2, −6, ⋯, diperoleh � = 6 dan � = 2 − 6 = −4
�� = � + (� − 1)�
�� = 6 + (� − 1) ∙(−4)
�� = 6 − 4� + 4
�� = 10 − 4�
Jadi, rumus suku ke-� barisan tersebut adalah 10 − 4�
4. Pada barisan aritmetika 3, 12, 21, 30, ⋯ bilangan 237 terletak pada suku ke…
Diperoleh � = 3, � = 12 − 3 = 9, dan �� = 237
�� = � + (� − 1)�
237 = 3 + (� − 1)9
237 = 3 + 9� − 9
237 = 9� − 6
9� = 237 + 6
9� = 243
� =243
9
� = 27
Jadi, bilangan 237 terletak pada suku ke-27
5. �� = 22 ⟹ � + 4� = 22
��� = 57 ⟹ � + 11� = 57
−7� = −35
−3� =−35
−7
−3� = 5
� = 5 substitusikan ke persamaan � + 4� = 22
� + 4 ∙5 = 22
� + 20 = 22
� = 22 − 20
� = 2
48
��� = 2 + (15 − 1)5
��� = 2 + 14 ∙5
��� = 2 + 70
��� = 72
Jadi, suku ke-15 adalah 72
6. Diketahui �� + ��� + ��� = 165, maka
� + � + � + 14� + � + 39� = 165
� + � + � + 1� + 3� + 54� = 165
� + � + � + 14� + � + 18� = 55 ……….persamaan (1)
��� = � + 18�…………………………….persamaan (2)
Perhatikan persamaan 1 dan 2, kedua persamaan tersebut adalah sama. Jadi, nilai suku
ke-19 adalah 55.
7. Diketahui �� + �� = 144, maka
� + 4� + � + 6� = 144
� + +2� + 10� = 144
� + 4� + � + 5� = 77…………….persamaan (1)
Jumlah suku ke-5 sampai suku ke-7 adalah
�� + �� + �� = � + 4� + � + 5� + � + 6�
�� + �� + �� = 3� + 15�
�� + �� + �� = 3(� + 5�), substitusikan persamaan 1
�� + �� + �� = 3 ∙77
�� + �� + �� = 231
Jadi, jumlah suku ke-5 sampai suku ke-7 adalah 231
49
Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Kedua
1. Deret aritmetika 25 + 19 + 13 + 7 + ⋯, diperoleh � = 25 dan � = 19 − 25 = −6
Jumlah 12 suku pertama adalah:
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =12
2∙(2 ∙25 + (12 − 1) ∙(−6))
��� = 6 ∙(50 + 11 ∙(−6))
��� = 6 ∙(50 + (−66))
��� = 6 ∙(−16)
��� = −96
Jadi, jumlah 12 suku pertama adalah −96
2. Deret aritmetika 2 + 8 + 14 + 20 + 26 + ⋯, diperoleh � = 2 dan � = 8 − 2 = 6
Rumus jumlah � suku pertama adalah:
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
�� =�
2∙(2 ∙2 + (� − 1)6)
�� =�
2∙(4 + 6� − 6)
�� =�
2∙(6� − 2)
�� = 3�� − �
3. Deret aritmetika 4 + 7 + +10 + 13 + ⋯ + 31, diperoleh � = 4, � = 7 − 4 = 3 dan
�� = 31
Jumlah deret tersebut adalah:
�� = � + (� − 1)�
31 = 4 + (� − 1)3
31 = 4 + 3� − 3
31 = 3� + 1
3� = 31 − 1
3� = 30
3� =30
3
3� = 10
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =10
2∙(2 ∙4 + (10 − 1)3)
��� = 5 ∙(8 + 9 ∙3)
��� = 5 ∙(8 + 9 ∙3)
��� = 5 ∙(8 + 27)
��� = 5 ∙35
��� = 175
Jadi, jumlah dari deret tersebut adalah 175
4. Diketahui barisan aritmetika dengan �� = 2 dan �� = −13, jumlah 20 suku pertama
adalah
�� = 2 ⟹ � + 2� = 2
�� = −13 ⟹ � + 7� = −13
−5� = 15
−3� =15
−5
−3� = −3
50
� = −3 substitusikan ke persamaan � + 2� = 2
� + 2 ∙(−3) = 2
� − 6 = 2
6 − � = 2 + 6
6 − � = 8
Jumlah 20 suku pertama adalah:
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =20
2∙(2 ∙8 + (20 − 1) ∙(−3))
��� = 10 ∙(16 + 19 ∙(−3))
��� = 10 ∙(16 − 57)
��� = 10 ∙(−41)
��� = −410
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah −410
5. Diketahui barisan aritmetika dengan �� = 8,�� = 14, dan �� = 23
�� = 8 ⟹ � + � = 8
�� = 14 ⟹ � + 3� = 14
−2� = −6
−3� =−6
−2
−3� = 3
� = 3 substitusikan ke persamaan � + � = 8
� + 3 = 8
3 + � = 8 − 3
3 + � = 5
�� = � + (� − 1)�
23 = 5 + (� − 1)3
23 = 5 + 3� − 3
23 = 3� + 2
3� = 23 − 2
3� = 21
3� =21
3
3� = 7
�� =�
2∙(� + ��)
�� =7
2∙(5 + 23)
�� =7
2∙(28)
�� = 7 ∙14
�� = 98
Jadi, jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah 98
51
Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Ketiga
1. Bilangan asli antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 4 adalah bilangan kelipatan 4, yaitu
4, 8, 12, 16, ⋯ , 196 yang merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama 4, beda 4,
dan suku terakhir 196.
�� = � + (� − 1)�
196 = 4 + (� − 1)4
196 = 4 + 4� − 4
196 = 4�
� =196
4
� = 49
�� =�
2(� + ��)
��� =49
2(4 + ���)
��� =49
2(4 + 196)
��� =49
2(200)
��� = 4.900
Jadi, banyak bilangan antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 4 adalah 49 dan jumlah
dari bilangan tersebut adalah 4.900
2. 4, ��, ��, ��, ��, ��, 28
�� = � + 6�
28 = 4 + 6�
6� = 28 − 4
6� = 24
6� =24
6
6� = 4
�� = � = 4
�� = �� + � = 4 + 4 = 8
�� = �� + � = 8 + 4 = 12
�� = �� + � = 12 + 4 = 16
�� = �� + � = 16 + 4 = 20
�� = �� + � = 20 + 4 = 24
�� = 28
Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.
3. Jumlah seluruh uang adalah Rp 100.000.000,00. Dibagikan pada 5 orang anaknya,anak
pertama mendapat Rp 5.000.000,00 lebih dari anak kedua. Anak kedua mendapat Rp
5.000.000,00 lebih dari anak ketiga, dan demikian seterusnya.
Beda (�) = −5.000.000
�� =5
2(2� + (5 − 1) ∙(−5.000.000))
100.000.000 =5
2(2� + 4 ∙(−5.000.000))
100.000.000 =5
2(2� − 20.000.000)
100.000.000 = 5� − 50.000.000
5� = 100.000.000 + 50.000.000
5� = 150.000.000
5� =150.000.000
5
5� = 30.000.000
Jadi, uang yang diterima anak pertama adalah Rp 30.000.000,00.
52
4. Tabungan pertama (�) = 30.000, � = 8.000
��� =14
2(2 ∙30.000 + (14 − 1) ∙8.000)
��� = 7(60.000 + 13 ∙8.000)
��� = 7(60.000 + 104.000)
��� = 7(164.000)
��� = 1.148.000
Jadi, besar tabungan Resti setelah 14 minggu adalah Rp 1.148.000,00.
53
A. Barisan dan Deret Aritmetika Pak Herman menggunakan motornya untuk aktivitas sehari-hari. Pada spedometer motor
Pak Herman tertera bilangan 120 yang berarti motor tersebut telah menempuh jarak 120 ��.
Hari-hari berikutnya Pak Herman mencatat bilangan yang tertera pada spedometer motornya
sebagai berikut: 160, 200, 240, 280, 320, 360, ⋯. Jika Pak Herman harus menservis motornya
setelah menempuh jarak 2.000 ��, dapatkah ditentukan waktunya?
Bilangan-bilangan dari pembacaan spedometer motor tersebut membentuk barisan
aritmetika. Pelajarilah materi berikut agar Anda memahami barisan aritmetika sehingga dapat
menyelesaikam masalah-masalah yang berkaitan dengan barisan aritmetika seperti di atas.
1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda/selisih setiap dua suku yang
berurutan adalah sama. Beda dua suku pada barisan aritmetika dinotasikan b dan dirumuskan
sebagai berikut.
� = �� − �� = �� − �� = �� − �� = ⋯ = �� − ����
�= bilangan asli sebagai nomor suku. �� adalah suku ke−� dan ���� adalah suku ke−(� − 1).
Contoh:
Barisan: 3, 10, 17, 24, 31, … merupakan barisan aritmetika dengan beda = 7
Barisan: 14, 9, 4, -1, -6, … merupakan barisan aritmetika dengan beda = -5
Jika ��, ��, ��, ��, ��, … , �� merupakan suku-suku barisan aritmetika. Rumus suku ke−�
barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut:
�� = � + (� − �)�
� = �� = suku pertama
� = �� − �� = beda
� = banyak suku
Barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b mempunyai rumus suku ke−�:
�� = � + (� − 1)�. Bagaimana rumus tersebut diperoleh? Pahamilah dan lengkapilah uraian
berikut ini.
Diketahui barisan aritmetika: ��, ��, ��, ��, ��, …
Misalkan: suku pertama = �� = � dan beda = �� − �� = �, maka diperoleh:
+� +� +� +�
�� �� �� �� �� … ��� … ��� … � � + � � + 2� � + 3� � + ⋯ … � + ⋯ … � + ⋯ …
Selengkapnya dituliskan dalam tabel berikut
Suku ke- Rumus Pola 1 �� = � �� = � + (1 − 1)� 2 �� = � + � �� = � + (2 − 1)� 3 �� = � + 2� �� = � + (3 − 1)� 4 �� = � + 3� �� = � + (… − 1)� 5 �� = � + 4� �� = � + (… − 1)� ⋮ n �� = � + (� − 1)�
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah �� = � + (� − �)�
2. Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah penjumlahan berturut-turut suku-suku suatu barisan aritmetika.
Deret aritmetika dituliskan sebagai berikut:
�� = �� + �� + �� + �� + … + ���� + ��
= � + (� + �) + (� + 2�) + (� + 3�) + ⋯ + (� + (� − 2)�) + (� + (� − 1)�)
54
Rumus untuk deret aritmetika diturunkan sebagai berikut:
�� = � + (� + �) + (� + 2�) + ⋯ + (� + (� − 2)�) + (�
+ (� − 1)�)
�� = (� + (� − 1)�) + (� + (� − 2)�) + (� + (� − 3)�) + ⋯ + (� + �) + �
2�� = (2� + (� − 1)�) + (2� + (� − 1)�) + ⋯ + (2� + (� − 1)�) + (2� + (� − 1)�
⟺ 2�� = � ∙(2� + (� − 1)�)
⟺ �� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah sebagai berikut:
�� =�
�(�� + ��) atau �� =
�
�(�� + (� − �)�)
� = �� = suku pertama
� = �� − �� = beda
� = banyak suku
Suku ke-� barisan aritmetika juga dapat dihitung dengan rumus:
�� = �� − ����
�� = �����ℎ � ���� �������
���� = �����ℎ (� − 1)���� �������
Contoh Soal
1. Tentukan rumus suku ke-n setiap barisan aritmetika berikut ini
a. 8, 12, 16, 20, …
b. 26, 20, 14, 8, …
Penyelesaian:
a. Suku pertama (�) = 8, beda (�) = 12 − 8 = 4
Rumus suku ke-n:
�� = � + (� − 1)�
�� = 8 + (� − 1)4
�� = 8 + 4� − 4
�� = 4� + 4
Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika tersebut adalah �� = 4� + 4
b. Suku pertama (�) = 26, beda (�) = 20 − 26 = −6
Rumus suku ke-n:
�� = � + (� − 1)�
�� = 26 + (� − 1)(−6)
�� = 26 − 6� + 6
�� = 32 − 6�
Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika tersebut adalah �� = 32 − 6�
2. Carilah suku yang diminta pada sertiap barisan aritmetika berikut ini
a. Suku ke-27 pada barisan 8, 11, 14, …
b. Suku ke-19 pada barisan 49, 42, 35, …
c. Suku ke-33 pada barisan 4, 3�
�, 2
�
�, 1
�
�, …
Penyelesaian:
a. Suku pertama (�) = 8, beda (�) = 11 − 8 = 3
Suku ke-27:
�� = � + (� − 1)�
55
��� = 8 + (27 − 1)3
��� = 8 + 26 ∙3
��� = 8 + 78
��� = 86
Jadi, suku ke-27 barisan aritmetika tersebut adalah 86
b. Suku pertama (�) = 49, beda (�) = 42 − 49 = −7
Suku ke-19:
�� = � + (� − 1)�
��� = 49 + (19 − 1)(−7)
��� = 49 + 18 ∙(−7)
��� = 49 + (−126)
��� = −77
Jadi, suku ke-19 barisan aritmetika tersebut adalah −77
c. Suku pertama (�) = 4, beda (�) = 3�
�− 4 = −
�
�
Suku ke-33:
�� = � + (� − 1)�
��� = 4 + (33 − 1) �−3
4�
��� = 4 + 32 ∙�−3
4�
��� = 4 + (−24)
��� = −20
Jadi, suku ke-33 barisan aritmetika tersebut adalah −20
3. Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 11, sedangkan suku ke-10 adalah 39.
a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut.
b. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-20.
Penyelesaian:
a. �� = 11 ⟹ � + 2� = 11 ......................... (i)
��� = 39 ⇒ � + 9� = 39 ......................... (ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) eliminasi variabel �
� + 2� = 11
� + 9� = 39
−7� = −28
⇔ � = 4
� = 4 substitusikan ke persamaan (i)
� + 2� = 11
⇔ � + 2 ∙4 = 11
⇔ � + 8 = 11
⇔ � = 3
Jadi, suku pertama = 3 dan beda = 4
b. Rumus suku ke-n
�� = � + (� − 1)�
�� = 3 + (� − 1)4
�� = 3 + 4� − 4
�� = 4� − 1
Suku ke-20
56
��� = 4 ∙20 − 1
��� = 80 − 1
��� = 79
Jadi, rumus suku ke-n adalah �� = 4� − 1 dan suku ke-20 adalah 79
4. Tentukan banyak suku dari barisan aritmetika berikut ini
a. 1, 4, 7, … , 79
b. 55, 51, 47, … , −1
Penyelesaian:
a. Barisan aritmetika dengan � = 1, � = 3, dan �� = 79
�� = � + (� − 1)�
⇔ 79 = 1 + (� − 1)3
⇔ 79 = 1 + 3� − 3
⇔ 3� = 81
⇔ � = 27
Jadi, banyak suku dalam barisan aritmetika tersebut adalah 27
b. Barisan aritmetika dengan � = 55, � = −4, dan �� = −1
�� = � + (� − 1)�
⇔ −1 = 55 + (� − 1)(−4)
⇔ −1 = 55 − 4� + 4
⇔ 4� = 60
⇔ � = 15
Jadi, banyak suku dalam barisan aritmetika tersebut adalah 15
5. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut ini
a. 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯.
b. 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯.
Penyelesaian:
a. Deret aritmetika dengan � = 4 dan � = 1
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =20
2∙(2 ∙4 + (20 − 1)1)
��� = 10 ∙(8 + 19 ∙1)
��� = 10 ∙(8 + 19)
��� = 10 ∙(27)
��� = 270
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 270
b. Deret aritmetika dengan � = 3 dan � = 3
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =20
2∙(2 ∙3 + (20 − 1)3)
��� = 10 ∙(6 + 19 ∙3)
��� = 10 ∙(6 + 57)
��� = 10 ∙(63)
��� = 630
Jadi,jumlah 20 suku pertama adalah 630
57
6. Hitunglah banyak bilangan antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 6, dan hitunglah jumlah semua
suku yang habis dibagi 6 dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Bilangan antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 adalah 6, 12, 18, 24, … , 96 yaitu merupakan
barisan aritmetika dengan � = 6 dan � = 6. Maka banyak bilangan adalah
�� = � + (� − 1)�
⇔ 96 = 6 + (� − 1)6
⇔ 96 = 6 + 6� − 6
⇔ 96 = 6�
⇔ � = 16
Jumlah 16 suku pertama adalah
�� =�
2∙(� + ��)
��� =16
2∙(6 + 96)
��� = 8 ∙(102)
��� = 816
Jadi, banyak bilangan antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 adalah 16 bilangan, dan jumlah
dari 16 bilangan tersebut adalah 816.
58
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Satuan Pendidikan : SMK Negeri 1 Kebonsari
Kelas/Semester : X/2
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pokok : Barisan dan Deret Geometri
Waktu : 12× 45 menit
A. Kompetensi Inti :
KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasitentang pengetahuan faktual,
konseptual, operasional dasar, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup
kajian matematikapada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam konteks
pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja, warga
masyarakat nasional, regional, dan internasional.
KI 4 :Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja
yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai dengan bidang kajian
matematika. Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas
yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja.Menunjukkan keterampilan
menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri,
kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas
spesifik di bawah pengawasan langsung.Menunjukkan keterampilan mempersepsi,
kesiapan, meniru, membiasakan, gerak mahir, menjadikan gerak alami dalam ranah
konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta
mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi
Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
3.6 Menganalisis barisan dan deret
geometri.
3.6.1 Menjelaskan konsep barisan dan deret geometri.
3.6.2 Menjelaskan konsep geometri tak hingga.
3.6.3 Menentukan nilai suku ke-n barisan geometri.
3.6.4 Menentukan jumlah n suku pertama deret geometri.
3.6.5 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deretgeometri.
4.6 Menyelesaikan masalah kontekstual
yang berkaitan dengan barisan dan
deret geometri.
4.6.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.
4.6.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.
Lampiran 2b
59
C. Tujuan Pembelajaran :
Melalui metode diskusi, tanya jawab dan pemberian tugas dengan pendekatan Realistic
Mathematics Education (RME) diharapkan siswa mampu:
1. Menjelaskan konsep barisan dan deret geometri dengan benar.
2. Menjelaskan konsep geometri tak hingga dengan benar.
3. Menentukan nilai suku ke- � barisan geometri dengan benar.
4. Menentukan jumlah �suku pertama deret geometri dengan benar.
5. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri dengan
benar.
6. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan barisan geometri dalam
kehidupan sehari-hari.
7. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan deret geometri dalam
kehidupan sehari-hari.
D. Materi
Barisan dan deret geometri (terlampir)
E. Pendekatan /Model /Metoda Pembelajaran :
Pendekatan Pembelajaran : Realistic Mathematics Education (RME)
Model Pembelajaran :Pembelajaran Kooperatif
Metode Pembelajaran :Ceramah, tanya jawab, diskusi dan pemberian tugas
F. Kegiatan Pembelajaran:
Pertemuan ke-1
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.
2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari
barisan geometri dan memberikan gambaran tentang aplikasi
barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.
“Dengan mempelajari barisan geometri kita dapat
memprediksi bilangan selanjutnya dari sebuah barisan
geometri. Contoh dalam kehidupan sehari-hari adalah
menentukan harga jual sepeda motor setelah sekian tahun
apabila setiap tahun mengalami penurunan sekian persen dari
tahun sebelumnya.”
5. Guru memberikan apersepsi berupa operasi pada bilangan
bulat serta sifat-sifat bilangan berpangkat.
6. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.
“Pada barisan aritmetika yang telah kita pelajari bahwa selisih
dua suku yang berurutan adalah sama. Pada barisan geometri
10 menit
60
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
ini yang membedakan dengan barisan aritmetika adalah rasio.
Rasio adalah pembanding antara dua suku yang berurutan.”
7. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
yaitu menjelaskan konsep barisan geometri dengan benar,
menjelaskan konsep barisan geometri tak hingga dengan
benar, dan menentukan nilai suku ke- � barisan geometri
dengan benar.
Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai
barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.
“Budiman membeli sebuah komputer seharga Rp
3.000.000,00. Setiap satu bulan terjadi penyusutan sebesar
10% dari harga jual bulan sebelumnya. Berapakah harga jual
komputer tersebut pada akhir 5 bulan kerja?”
2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang
materi barisan geometri.
“Secara manual menentukan harga jual komputer pada setiap
bulan. Dari sini akan diperoleh barisan geometri dan harga
jual komputer pada akhir 5 bulan kerja.”
3. Guru membagi siswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap
kelompok terdiri atas 5 siswa.
4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan pertama
kepada setiap kelompok sebagai bahan diskusi kelompok.
5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-
kan, mengarahkan, dan mendorong semua siswa untuk
terlibat aktif berdiskusi, dan mengarahkan bila ada kelompok
yang melenceng jauh dari pekerjaannya, serta membimbing
kelompok yang mengalami kesulitan.
6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-
kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.
7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian
barisan geometri dan bentuk umum barisan geometri.
70 menit
Penutup 1. Siswa dengan bimbingan guru membuat rangkuman materi
yang dipelajari secara bersama-sama.
2. Siswa dan guru melaksanakan refleksi.
3. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai barisan
geometri, pekerjaan rumah pertemuan pertama.
4. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya.
5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan.
10 menit
61
Pertemuan ke-2
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.
2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari
deret geometri dan memberikan gambaran tentang aplikasi
barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.
“Dengan mempelajari barisan dan deret geometri kita dapat
memprediksi jumlah bilangan dari bilangan pertama sampai
bilangan ke-� dari sebuah barisan geometri. Contoh dalam
kehidupan sehari-hari adalah menentukan ketinggian suatu
bola yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu dan tinggi
pantulannya adalah sekian kali dari tinggi sebelumnya.”
5. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.
“Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari barisan
geometri, yaitu menentukan rasio dan nilai suku ke−�.
Selanjutnya kita akan menerapkannya pada masalah yang
berkaitan dengan kehidupan sehari-hari.”
6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yangakan dicapai
yaitu memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan
geometri, menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari, dan
menjelaskan konsep deret geometri dengan benar.
10 menit
Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai
barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.
“Harga sebuah sepeda motor baru adalah Rp 20.000.000.
Setelah digunakan selama setahun harga sepeda motor
tersebut turun 10% menjadi Rp 18.000.000. Pada tahun
berikutnya harga sepeda motor tersebut diperkirakan menjadi
Rp 16.200.000. Kapan harga sepeda motor tersebut menjadi
dibawah Rp 10.000.000?”
2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang
materi barisan dan deret geometri.
“Secara manual dihitung harga jual sepeda motor setiap
tahunnya sampai harga jual di bawah Rp 10.000.000. Dari
sini akan diketahui pada tahun ke berapa harga jual di bawah
Rp 10.000.000.”
3. Guru membagisiswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap
kelompok terdiri atas 5 siswa.
4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan kedua
kepada setiap kelompok.
70 menit
62
5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-
kan dan mendorong semua siswa untuk terlibat diskusi, dan
mengarahkan bila ada kelompok yang melenceng jauh dari
pekerjaannya.
6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-
kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.
7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian deret
geometri dan bentuk umum deret geometri.
Penutup 1. Siswa dengan bimbingan guru membuat rangkuman materi
yang di pelajari secara bersama-sama.
2. Siswa dan guru melaksanakan refleksi.
3. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai barisan
dan deret geometri, pekerjaan rumah pertemuan kedua.
4. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya.
5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan
untuk tetap belajar.
10 menit
Pertemuan ke-3
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi
Waktu
Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.
2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.
3. Guru mengecek kehadiran siswa.
4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari
barisan dan deret geometri dan memberikan gambaran tentang
aplikasi barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-
hari.
“Contoh dalam kehidupan sehari-hari adalah menentukan
panjang lintasan suatu bola yang dijatuhkan dari ketinggian
tertentu dan tinggi pantulannya adalah sekian kali dari tinggi
sebelumnya.”
5. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.
“Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari
penerapan barisan geometri pada masalah yang berkaiatan
dengan kehidupan sehari-hari. Pada pertemuan hari ini kita
akan mempelajari deret geometri, yaitu penjumlahan berurut
pada barisan geometri. Idenya sama seperti pada barisan
aritmetika yang kemarin.”
6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
yaitu menentukan jumlah � suku pertama deret geometri
dengan benar, memecahkan masalah yang berkaitan dengan
deret geometri, dan menyelesaikan masalah yang berkaitan
10 menit
63
dengan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.
Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai
barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.
“Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan
memantul kembali dengan ketinggian �
� kali tinggi sebelumnya,
begitu seterusnya hingga bola berhenti. Berapa panjang
lintasan bola tersebut?”
2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang
materi barisan dan deret geometri.
“Panjang lintasan bola terdiri dari dua lintasan, yaitu lintasan
turun dan lintasan naik. Lintasan turun dan lintasan naik akan
membentuk barisan geometri tak hingga.”
3. Guru membagi siswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap
kelompok terdiri atas 5 siswa.
4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan ketiga
kepada setiap kelompok.
5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-
kan dan mendorong semua siswa untuk terlibat diskusi, dan
mengarahkan bila ada kelompok yang melenceng jauh dari
pekerjaannya.
6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-
kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.
7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian deret
geometri dan bentuk umum deret geometri.
70 menit
Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan cara menyelesaikan masalah
barisan dan deret.
2. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai deret
geometri tak hingga, pekerjaan rumah pertemuan ketiga.
3. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya.
4. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan
untuk tetap belajar.
10 menit
G. Alat/Media/Sumber Pembelajaran
1. Lembar aktivitas siswa (LAS).
2. Buku paket Matematika untuk kelas XI, Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
Republik Indonesia, 2013.
3. Tes pemahaman konsep matematika
H. Penilaian Hasil Belajar
1. Teknik Penilaian : Tes tertulis (tes pemahaman konsep)
2. Prosedur Penilaian : Terlampir
64
I. Instrumen Penilaian Pemahaman Konsep Matematika
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar
1. Jelaskan pengertian barisan geometri dan deret geometri?
2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan geometri berikut:
a. �
�,
�
�, 1, 2, 4, …
b. 64, 32, 16, 8, …
3. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut:
a. Suku ke-10 dari 3, 6, 12, 24, …
b. Suku ke-6 dari 6, 3,�
�,
�
�, …
4. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu
membentuk barisan geometri. Tentukan barisan yang terbentuk!
5. Barisan geometri suku ke-3 dan suku ke-5 berturut-turut adalah 18 dan 162. Tentukan
rasio dan suku ke-6 dari barisan geometri tersebut!
6. Hitunglah jumlah 8 suku pertama pada setiap deret geometri berikut:
a. 3, 6, 12, 24, ⋯.
b. 64, 32, 16, 8, ⋯.
7. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan geometri? Berikan
alasannya, jika merupakan barisan geometri maka tentukan suku ke-10 dari setiap
barisan bilangan berikut:
a. 2, 4, 8, 16, ⋯ .
b. 4, 11, 18, 25, ⋯ .
c. 36, 24, 16,��
�, ⋯ .
d. 2, 3, 5, 8 , ⋯ .
Madiun, 9 April 2018 Mengetahui
Guru Pembimbing, Praktikan,
KHOLAELA, S.Pd. NIP. 19690414 200801 2 024
IMAM BUDIONO NIM. 14321767
Menyetujui
Kepala Sekolah SMK Negeri 1 Kebonsari,
BUDI SETIAWAN, S.Pd., M.Si. NIP. 19580515 198303 1 020
65
Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Pertama
1. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 100.000.000,00. Setiap tahun harga jualnya
menjadi 90% dari harga sebelumnya. Berapa harga jual setelah dipakai 5 tahun?
2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan memantul kembali dengan
ketinggian �
� kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Berapa
panjang lintasan bola tersebut?
Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Kedua
1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-� dari setiap barisan
berikut!
1. 2, 6, 18, ⋯ , ��
2. �
��,
�
��,
�
�, ⋯ , ���
3. 128, 64, 32, … . , ���
2. Tentukan rumus suku ke-� pada setiap barisan berikut!
a. 8, 16, 32, 64, ⋯
b. �
�,
�
�, 1, 2, ⋯
c. 36, 24, 16,��
�, ⋯
3. Suku ke-5 suatu deret geometri adalah 12 dan suku ke-8 adalah 96. Tentukanlah jumlah
8 suku pertama deret tersebut!
Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Ketiga
1. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk
barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek adalah 6 cm dan potongan tali
terpanjang adalah 384 cm, tentukan panjang keseluruhan tali tersebut!
2. Perhatikan gambar di bawah ini.
66
Sebuah persegi ABCD mempunyai panjang sisi 10 cm. Di dalamnya dibuat persegi
EFGH dengan titik sudutnya berada di tengah-tengah sisi-sisi ABCD.Di dalam persegi
EFGH dibuat lagi persegi IJKL yang titik sudutnya berada di tengah-tengah sisi-sisi
EFGH, dan seterusnya sampai banyak persegi tak hingga. Tentukan:
a. Jumlah keliling persegi yang terbentuk.
b. Jumlah luas persegi yang terbentuk.
67
Pekerjaan Rumah (PR) Pertemuan Pertama
1. Diketahui barisan geometri 125, 25, 5, 1, ⋯. Suku ke-8 dari barisan geometri tersebut
adalah…
2. Rumus suku ke-� dari barisan geometri 1, 8, 64, ⋯ adalah…
3. Suku ke-5 sebuah barisan geometri adalah �
� dan rasionya
�
�. Suku ke-9 barisan geometri
tersebut adalah…
4. Suku ke-3 dan suku ke-5 barisan geometri secara berturut-turut adalah 18 dan 162. Suku
ke-7 barisan tersebut adalah…
5. Jumlah dari deret geometri tak hingga 6 + 3 +�
�+
�
�+
�
�+ ⋯ adalah…
6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah −6 dengan rasio −�
�. Suku pertama deret
tersebut adalah…
Pekerjaan Rumah (PR) Pertemuan Kedua
1. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu
membentuk barisan geometri. Tentukan barisan yang terbentuk!
2. Jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯ adalah….
3. Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku ke-3 = 36 dan suku ke-5 = 324. Jumlah
enam suku pertama adalah….
4. Rumussuku ke-� dan jumlah deret geometri �
�+
�
�+ 1 + 2 + 4 + ⋯ + 64tersebut
adalah….
5. Diketahui suatu deret geometri dengan suku pertama 3 dan suku terakhir 96. Jika banyak
suku deret tersebut ada 6, jumlah deret tersebut adalah….
Pekerjaan Rumah (PR) Pertemuan Ketiga
1. Seutas tali dipotong menjadi 9 bagian. Panjang masing-masing potongan tali mengikuti
barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali paling
panjang 1.024 cm. Panjang tali semula adalah…
2. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 5 m dan memantul kembali dengan
tinggi �
� dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola sampai bola berhenti adalah…
68
Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Pertama
1. Diketahui � = 100.000.000 dan � = 90%
�� = �����
�� = 100.000.000 × �90
100�
���
�� = 100.000.000 ×65.610.000
100.000.000
�� = 65.610.000
Jadi, harga mobil setelah dipakai selama 5 tahun adalah Rp 65.610.000,00.
2. Lintasan bola turun: 10,��
�,
��
��, ⋯
Lintasan bola naik: ��
�,
��
��,
���
��, ⋯
Panjang lintasan bola turun:
�� =�
1 − �
�� =10
1 −�
�
�� =10
�
�
�� = 10 ×4
1
�� = 40
Panjang lintasan bola naik:
�� =�
1 − �
�� =
��
�
1 −�
�
�� =
��
��
�
�� =30
4×
4
1
�� = 30
Jadi, panjang lintasan bola adalah 40 + 30 = 70 meter.
69
Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Kedua
1. Menentukan nilai suku ke-� barisan geometri
a. 2, 6, 18, ⋯, diperoleh � = 2 dan � =�
�= 3
�� = �����
�� = 2 × 3���
�� = 2 × 3�
�� = 2 × 6561
�� = 13.122
Jadi, suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah 13.122.
b. �
��,
�
��,
�
�, ⋯, diperoleh � =
�
�� dan � =
�
���
��
=�
��×
��
�= 3
�� = �����
��� =1
81× 3����
��� =1
3�× 3�
��� = 3�� × 3�
��� = 3�
��� = 243
Jadi, suku ke-10 barisan geometri tersebut adalah 243.
c. 128, 64, 32, ⋯, diperoleh � = 128 dan � =��
���=
�
�= 2��
�� = �����
��� = 128 × (2��)����
��� = 2� × (2��)��
��� = 2� × 2���
��� = 2��(���)
��� = 2��
��� =1
2�
��� =1
16
Jadi, suku ke-12 barisan geometri tersebut adalah �
��.
2. Menentukan rumus suku ke-� barisan geometri
a. 8, 16, 32, 64, ⋯, diperoleh � = 8 dan � =��
�= 2
�� = �����
�� = 8 × 2���
�� = 2� × 2���
�� = 2�����
�� = 2���
Jadi, rumus suku ke-� barisan geometri tersebut adalah 2���.
70
b. �
�,
�
�, 1, 2, ⋯, diperoleh � =
�
� dan � =
�
��
�
= 2
�� = �����
�� =1
4× 2���
�� = 2�� × 2���
�� = 2������
�� = 2���
Jadi, rumus suku ke-� barisan geometri tersebut adalah 2���.
c. 36, 24, 16,��
�, ⋯, diperoleh � = 36 dan � =
��
��=
�
�
�� = �����
�� = 36 × �2
3�
���
�� = 2� × 3� ×2���
3���
�� =2�����
3�����
�� =2���
3���
Jadi, rumus suku ke-� barisan geometri tersebut adalah =����
����.
3. Barisan geometri �� = 12 dan �� = 96 ��
��=
96
12
���
���= 8
�� = 8
� = 2
Substitusikan � = 2 pada
��� = 12
� × 2� = 12
� × 16 = 12
� =12
16=
3
4
Karena � = 2 > 1, maka jumlah deret geometri
adalah
�� =�(�� − 1)
(� − 1)
�� =
�
�× (2� − 1)
(2 − 1)
�� =3
4× (256 − 1)
�� =3
4× 255
�� =765
4
Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah ���
�.
71
Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
Pertemuan Ketiga
1. Tali dipotong menjadi 7 bagian dan membentuk barisan geometri, panjang tali terpendek
6 cm dan yang terpanjang 384 cm
� = 6, � = 7, dan �� = 384
�� = 384
��� = 384
6 × �� = 384
�� =384
6
�� = 64
� = √64�
= 2
Panjang seluruh tali:
�� =�(�� − 1)
(� − 1)
�� =6(2� − 1)
(2 − 1)
�� =6(128 − 1)
1
�� = 6 × 127
�� = 762
Jadi, panjang seluruh tali adalah 762 cm.
2. Panjang �� = �� × √2 = 5√2
Panjang �� = �� × √2 = 2,5√2 × √2 = 5
Panjang �� = �� × √2 = 2,5 × √2 = 2,5√2
a. Keliling persegi ABCD = 4 × �� = 4 × 10 = 40 ��.
Keliling persegi EFGH = 4 × �� = 4 × 5√2 = 20√2 ��.
Keliling persegi IJKL = 4 × �� = 4 × 5 = 20 ��.
Keliling persegi MNOP = 4 × �� = 4 × 2,5√2 = 10√2 �� dan seterusnya.
Dengan demikian diperoleh deret keliling persegi sebagai berikut:
40 + 20√2 + 20 + 10√2 + ⋯, diperoleh� = 40 dan� =��√�
��=
�
�√2.
Jumlah deret tak hingga:
�� =�
1 − �
�� =40
1 −�
�√2
�� =40
1 −�
�√2
×1 +
�
�√2
1 +�
�√2
�� =40 × (1 +
�
�√2)
1 −�
�
72
�� =40 × (1 +
�
�√2)
�
�
�� = 80 × (1 +1
2√2)
�� = 80 + 40√2
Jadi, jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah 80 + 40√2 ��.
c. Luas persegi ABCD = �� × �� = 10 × 10 = 100 ���
Luas persegi EFGH = �� × �� = 5√2 × 5√2 = 50 ���
Luas persegi IJKL = �� × �� = 5 × 5 = 25 ���
Luas persegi MNOP = �� × �� = 2,5√2 × 2,5√2 = 12,5 ���
Dengan demikian diperoleh deret luas persegi sebagai berikut:
100 + 50 + 25 + 12,5 + ⋯, diperoleh � = 100 dan � =��
���=
�
�
�� =�
1 − �
�� =100
1 −�
�
�� =100
�
�
�� = 100 ×2
1
�� = 200
Jadi, jumlah luas persegi yang terbentuk adalah 200 ���.
73
Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Pertama
1. Barisan geometri 125, 25, 5, 1, ⋯, diperoleh � = 125 dan � =��
���=
�
�
�� = �����
�� = 125 ∙�1
5�
���
�� = 5� ∙�1
5�
�
�� = 5� ∙5��
�� = 5��(��)
�� = 5��
�� =1
5�
�� =1
625
Jadi, suku ke-8 barisan tersebut adalah �
���.
2. Barisan geometri 1, 8, 64, ⋯, diperoleh � = 1 dan � =�
�= 8
�� = �����
�� = 1 ∙8���
�� = (2�)���
�� = 2����
Jadi, rumus suku ke-�barisan tersebut adalah 2����.
3. �� =�
� dan � =
�
�
�� =1
3
� �1
3�
�
=1
3
� =1
3∙3�
� = 3�
�� = 3� ∙(3��)���
�� = 3� ∙(3��)�
�� = 3� ∙3��
�� = 3��
�� =1
3�
�� =1
243
Jadi, suku ke-9 barisan tersebut adalah �
���.
4. Barisan geometri �� = 18 dan �� = 162 ��
��=
162
18
���
���= 9
�� = 9
� = √9
� = 3
��� = 18
� ∙9 = 18
� =18
9
� = 2
�� = �����
�� = 2 ∙3���
�� = 2 ∙3�
�� = 2 ∙729
�� = 1458
Jadi, suku ke-7 barisan tersebut adalah 1458.
74
5. Deret geometri tak hingga 6 + 3 +�
�+
�
�+ ⋯, diperoleh � = 6 dan � =
�
�=
�
�
�� =�
1 − �
�� =6
1 −�
�
�� =6�
�
�� = 6 ×2
1
�� = 12
Jadi, jumlah deret geometri tak hingga adalah 12.
6. Diketahui �� = −6 dan � = −�
�
�� =�
1 − �
−6 =�
1 − (−�
�)
−6 =�
�
�+
�
�
−6 =��
�
−� = −6 ×5
3
−� = −10
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah −10.
75
Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Kedua
1. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan
geometri, yaitu 4, ��, ��, ��, 64.
�� = 64
��� = 64
4 ∙�� = 64
�� =64
4
�� = 16
� = √16�
� = 2
�� = � = 4
�� = � ∙� = 4 ∙2 = 8
�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 16
�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 32
�� = 64
Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 16, 32, 64
2. Deret geometri3 + 6 + 12 + 24 + ⋯, diperoleh � = 3 dan � =�
�= 2
�� =�(�� − 1)
(� − 1)
��� =3(2�� − 1)
(2 − 1)
��� =3(1.024 − 1)
1
��� = 3 × 1.023
��� = 3.069
Jadi, jumlah 10 suku pertamabarisan tersebut adalah 3.069.
3. �� = 36 dan �� = 324 ��
��=
324
36
���
���= 9
�� = 9
� = √9
� = 3
��� = 36
� ∙9 = 36
� =36
9
� = 4
�� =�(�� − 1)
(� − 1)
�� =4(3� − 1)
(3 − 1)
��� =4(729 − 1)
2
��� = 2 × 728
��� = 1.456
Jadi, jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah 1.456.
4. Deret geometri�
�+
�
�+ 1 + 2 + ⋯ + 64, diperoleh � =
�
� dan � =
�
��
�
=�
�×
�
�= 2
Rumus suku ke-�:
�� = �����
�� =1
4∙2���
�� = 2�� ∙2���
�� = 2������
�� = 2���
Banyak suku:
�� = 64
2��� = 2�
� − 3 = 6
� = 6 + 3
� = 9
Jumlah semua suku:
�� =
�
�(2� − 1)
(2 − 1)
�� =
�
�(512 − 1)
1
�� =511
4
76
Jadi, rumus suku ke-� adalah 2��� dan jumlah semua suku adalah ���
�
5. � = 3, �� = 96, dan � = 6
�� = 96
3 ∙�� = 96
�� =96
3
�� = 32
� = √32�
� = 2
Jumlah semua suku:
�� =�(�� − 1)
(� − 1)
�� =3(2� − 1)
(2 − 1)
�� =3(64 − 1)
1
�� = 3 × 63
�� = 189
Jadi, jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah 189.
77
Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)
Pertemuan Ketiga
1. Tali dipotong menjadi 9 bagian dan membentuk barisan geometri, panjang tali terpendek
4 cm dan yang terpanjang 1.024 cm
� = 4, � = 9, dan �� = 1.024
�� = 1.024
��� = 1.024
4 × �� = 1.024
�� =1.024
4
�� = 256
� = √256�
= 2
Panjang seluruh tali:
�� =�(�� − 1)
(� − 1)
�� =4(2� − 1)
(2 − 1)
�� =4(512 − 1)
1
�� = 4 × 511
�� = 2.044
Jadi, panjang seluruh tali adalah 2.044 cm.
2. Lintasan bola turun: 5,��
�,
��
��, ⋯
Lintasan bola naik: ��
�,
��
��,
���
��, ⋯
Panjang lintasan bola turun:
�� =�
1 − �
�� =5
1 −�
�
�� =5�
�
�� = 5 ×4
1
�� = 20
Panjang lintasan bola naik:
�� =�
1 − �
�� =
��
�
1 −�
�
�� =
��
��
�
�� =15
4×
4
1
�� = 15
Jadi, panjang lintasan bola adalah 20 + 15 = 35 meter.
78
B. Barisan dan Deret Geometri
Harga sebuah sepeda motor baru adalah Rp 20.000.000. Setelah digunakan selama
setahun harga sepeda motor tersebut turun 10% menjadi Rp 18.000.000. Pada tahun berikutnya
harga sepeda motor tersebut diperkirakan menjadi Rp 16.200.000. Kapan harga sepeda motor
tersebut menjadi dibawah Rp 10.000.000?
Penurunan harga sepeda motor tersebut membentuk barisan geometri. Pelajarilah materi
berikut agar Anda memahami barisan geometri sehingga dapat menyelesaikam masalah-masalah
yang berkaitan dengan barisan geometri seperti di atas.
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku
yang berurutan selalu tetap. Rasio dinotasikan dengan � merupakan nilai perbandingan dua suku
berurutan. Nilai � dinyatakan sebagai berikut:
� =��
��=
��
��=
��
��= ⋯ =
��
����
�� = ���� �� − �
���� = ���� �� − (� − 1)
Contoh:
Barisan 2, 4, 8, 16, 32, ⋯ merupakan barisan geometri.
Rasio barisan = � =��
��=
�
�= 2.
Jika ��, ��, ��, … , �� merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan �� = � dan �
adalah rasio, maka suku ke-� dinyatakan sebagai berikut:
�� = �����
� = �� = suku pertama
� =��
��= rasio
� = banyak suku
Barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio � mempunyai rumus suku ke-n:
�� = �����. Bagaimana rumus tersebut diperoleh? Pahamilah dan lengkapilah uraian berikut
ini.
Diketahui barisan geometri: ��, ��, ��, ��, ��, …
Misalkan: suku pertama = �� = � dan rasio =��
��= �, maka diperoleh:
× � × � × � × � �� �� �� �� �� … ��� … ��� … � � × � � × �� � × �� � × … … � × … … � × … …
Selengkapnya dituliskan dalam tabel berikut
Suku ke- Rumus Pola 1 �� = � �� = � × ���� 2 �� = � × � �� = � × ���� 3 �� = � × �� �� = � × ���� 4 �� = � × �� �� = � × ���� 5 �� = � × �� �� = � × … ⋮ N �� = � × ����
Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri adalah �� = �����
79
2. Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan berturut-turut suku-suku suatu barisan geometri.
Rumus jumlah � suku pertama deret geometri adalah sebagai berikut:
�� =�(����)
(���) untuk � < 1,
�� =�(����)
(���), untuk � > 1, atau
�� = � ∙� , untuk � = 1.
� = �� = suku pertama
� = �� − �� = beda
� = banyak suku
Deret geometri dituliskan sebagai berikut:
�� = �� + �� + �� + �� + … + ���� + ��
= � + (� × �) + (� × ��) + (� × ��) + ⋯ + (� × ����) + (� × ����)
Rumus untuk deret geometri diturunkan sebagai berikut:
�� = � + ���� + ����� + ����� + ⋯ + ������� + �������
�� × � = �� + ����� + ����� + ����� + ⋯ + ������� + �����
�� − �� × � = � − ���
⇔ ��(1 − �) = �(1 − ��)
⇔ �� =�(1 − ��)
(1 − �)
Jadi, rumus jumlah � suku pertama deret geometri adalah �� =�(����)
(���)
3. Deret Geometri Tak Hingga
Barisan geometri tak hingga adalah barisan geometri yang mempunyai banyak suku tak
hingga (untuk � mendekati tak hingga). Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan
sedemikian hingga ditulis �� + �� + �� + �� + ⋯, maka disebut deret geometri tak hingga.
Adapun untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan dengan cara
berikut.
Ingat bahwa jumlah � suku pertama deret geometri adalah �� =�(����)
(���). Jika �
mendekati tak berhingga, jumlah deret geometri tak hingga tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut:
lim�→�
�� = lim�→�
�(1 − ��)
(1 − �)
= lim�→�
�
1 − �− lim
�→�
���
1 − �
=�
1 − �−
�
1 − �lim
�→���
Dari hasil di atas tampak bahwa lim�→� �� ditentukan oleh nilai lim�→� ��. Di sisi lain,
nilai lim�→� �� bergantung pada nilai �.
1. Jika −1 < � < 1 maka lim�→� �� = 0 sehingga diperoleh lim�→� �� =�
���. Deret
geometri tak hingga yang seperti ini dikatakan konvergen (mempunyai jumlah yang
terbatas).
2. Jika � < −1 atau � > 1 maka lim�→� �� = ±∞ sehingga diperoleh lim�→� �� = ±∞.
Deret geometri tak hingga yang seperti ini dikatakan divergen (mempunyai jumlah tak
terbatas).
80
Contoh Soal
1. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut:
a. Suku ke-10 dari 3, 6, 12, 24, ⋯.
b. Suku ke-6 dari 6, 3,�
�,
�
�, ⋯.
Penyelesaian:
a. 3, 6, 12, 24, ⋯ suku pertama (�) = 3, rasio (�) =�
�= 2
Suku ke−10:
�� = �����
��� = 3 ∙2����
��� = 3 ∙2�
��� = 3 ∙512
��� = 1536
Jadi, suku ke−10 barisan geometri tersebut adalah 1536
b. 6, 3,�
�,
�
�, ⋯ suku pertama (�) = 6, rasio (�) =
�
�=
�
�
Suku ke−6:
�� = �����
�� = 6 ∙�1
2�
���
�� = 6 ∙�1
2�
�
�� = 6 ∙1
32
�� =3
16
Jadi, suku ke−6 barisan geometri tersebut adalah �
��
2. Tentukan tiga suku pertama barisan geometri jika diketahui �� dan � berikut:
a. ��� = 59.049 dan � = −3.
b. �� =�
�� dan � =
�
�.
Penyelesaian:
a. ��� = 59.049
⇔ � ∙(−3)� = 59.049
⇔ −19.683� = 59.049
⇔ � =59.049
−19.683
⇔ � = −3
�� = � = −3
�� = �� = −3 ∙(−3) = 9
�� = ��� = −3 ∙(−3)� = −27
Jadi, ketiga suku tersebut adalah −3, 9, −27.
b. �� =�
��
⇔ � ∙�1
3�
�
=1
81
⇔ � ∙1
81=
1
81
⇔ � = 1
81
�� = � = 1
�� = �� = 1 ∙1
3=
1
3
�� = ��� = 1 ∙�1
3�
�
=1
9
Jadi, ketiga suku tersebut adalah 1,�
�,
�
�.
3. Antara −64 dan −4 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu membentuk barisan
geometri. Tentukan barisan yang terbentuk.
Penyelesaian:
Misalkan barisannya adalah −64, ��, ��, ��, −4.
Maka � = −64 dan �� = −4
�� = −4
⇔ −64�� = −4
⇔ �� =−4
−64
⇔ � = �1
16
�
⇔ � =1
2
�� = � ∙� = −64 ∙1
2= −32
�� = � ∙�� = −64 ∙�1
2�
�
= −16
�� = � ∙�� = −64 ∙�1
2�
�
= −8
Jadi, barisan yang terbentuk adalah −64, −32, −16, −8, −4
4. Tentukan rumus suku ke−� dan jumlah deret geometri berikut:
a. �
�+
�
�+ 1 + 2 + 4 + ⋯ + 64.
b. 36 + 24 + 16 +��
�+ ⋯ +
���
��.
Penyelesaian:
a. �
�+
�
�+ 1 + 2 + 4 + ⋯ + 64 suku pertama (�) =
�
� dan rasio (�) =
�
��
�
=�
�× 4 = 2
Rumus suku ke−�:
�� = �����
�� =1
4∙2��� = 2�� ∙2��� = 2���
Suku terakhir adalah 64, maka:
�� = 64 ⇔ 2��� = 64
�� = 64 ⇔ 2��� = 2�
�� = 64 ⇔ � − 3 = 6
�� = 64 ⇔ � = 9
Diperoleh banyak suku deret tersebut adalah 9
Oleh karena � = 2 > 1, maka rumus jumlah deret geometri adalah �� =�(����)
(���)
82
�� =
�
�(2� − 1)
(2 − 1)
�� =1
4∙(512 − 1) =
511
4
Jadi, rumus suku ke−� adalah �� = 2�−3 dan jumlah deret adalah ���
�
b. 36 + 24 + 16 +��
�+ ⋯ +
���
�� suku pertama (�) = 36 dan rasio (�) =
��
��=
�
�
Rumus suku ke−�:
�� = �����
�� = 36 ∙�2
3�
���
�� = 2� ∙3� ∙2���
3���
�� =2�����
3�����
�� =2���
3���
Suku terakhir adalah ���
��, maka:
�� =256
81⇔ 36 ∙�
2
3�
���
=256
81
�� =256
81⇔ 36 ∙�
2
3�
���
=256
81 × 36
�� =256
81⇔ 36 ∙�
2
3�
���
=64
81 × 9
�� =256
81⇔ 36 ∙�
2
3�
���
=2�
3�
�� =256
81⇔ 36 ∙�
2
3�
���
= �2
3�
�
�� =256
81⇔ 36 ∙� − 1 = 6
�� =256
81⇔ 36 ∙� = 7
Diperoleh banyak suku deret tersebut adalah 7
Oleh karena � =�
�< 1, maka rumus jumlah deret geometri adalah �� =
�(����)
(���)
�� =36 �1 − �
�
��
�
�
�1 −�
��
�� =4 × 9 �1 −
��
���
�
�
�� = 4 × 3� × 3 �1 −128
2187�
�� = 4 × 3� ×2059
2187
83
�� = 4 × 3� ×2059
3�
�� =8236
3�
�� =8236
81
Jadi, rumus suku ke−� adalah �� =����
���� dan jumlah deret adalah ����
��.
5. Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga berikut:
a. 9 + 3 + 1 +�
�+ ⋯.
b. 1 +�
�+
�
�+
�
�+ ⋯.
Penyelesaian:
a. 9 + 3 + 1 +�
�+ ⋯, diperoleh � = 9 dan � =
�
�=
�
�
�� =�
1 − �
�� =9
1 −�
�
�� =9�
�
�� = 13,5
Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 13,5
b. 1 +�
�+
�
�+
�
�+ ⋯, diperoleh � = 1 dan � =
�
�
�=
�
�
�� =�
1 − �
�� =1
1 −�
�
�� =1�
�
�� = 2
Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 2
84
84
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS GURU
Pertemuan/siklus ke :
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Barisan dan deret
Sub Pokok Bahasan : Barisan dan deret aritmetika
Hari, tanggal :
Kelas/semester : X/Genap
Jumlah Siswa : 30
Guru Peneliti : Imam Budiono
Petunjuk:
Beri tanda (√) pada kolom yang sesuai dengan pengamatan Anda!
No Aspek yang diamati Penilaian
1 2 3 4 1 Pendahuluan a. Memotivasi/membangkitkan minat siswa. b. Menghubungkan dengan materi sebelumnya. c. Menyampaikan tujuan pembelajaran. 2 Kegiatan Inti a. Memberikan masalah kontekstual. b. Mengarahkan siswa untuk menemukan jawaban dan cara
menjawab soal.
c. Mengamati cara siswa menyelesaikan masalah. d. Mendorong siswa untuk mendiskusikan jawaban dengan teman
sekelompoknya.
e. Mendorong siswa untuk mengemukakan pendapatnya atau menanggapi pendapat temannya pada diskusi kelas.
f. Menghargai berbagai pendapat siswa. g. Mengarahkan siswa untuk menarik kesimpulan. h. Memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai
materi yang belum dipahami.
3 Penutup a. Menegaskan kembali kesimpulan materi. b. Memberi tugas pada siswa. 4 Pengelolaan waktu 5 Penampilan guru (menarik, rapi, ceria) 6 Suasana kelas a. Antusias siswa. b. Antusias guru. Saran:
Keterangan: 1. Tidak ada/kurang baik 2. Cukup 3. Baik 4. Baik sekali
Madiun, Pengamat KHOLAELA, S.Pd NIP. 19690414 200801 2 024
Lampiran 2c
85
85
Lampiran 3. Instrumen Penelitian
a. Kisi-kisi Kisi-kisi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1 dan 2
b. Soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1
c. Soal tes pemahaman konsep matematika siklus 2
d. Penyelesaian tes pemahaman konsep matematika siklus 1
e. Penyelesaian tes pemahaman konsep matematika siklus 2
f. Pedoman penskoran tes pemahaman konsep matematika
86
86
KISI-KISI SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA SIKLUS 1
MATERI BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Indikator Nomor soal Menyatakan ulang sebuah konsep 1 Mengklasifikasi objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsepnya 7 Memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep 7 Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika 2 Mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep 4 Menggunakan dan memanfaatkan serta memilih prosedur atau operasi tertentu 3, 6 Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah 5
KISI-KISI SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA SIKLUS 2
MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Indikator Nomor soal Menyatakan ulang sebuah konsep 1 Mengklasifikasi objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsepnya 7 Memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep 7 Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika 2 Mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep 4 Menggunakan dan memanfaatkan serta memilih prosedur atau operasi tertentu 3, 6 Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah 5
Lampiran 3a
87
87
SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA
SIKLUS 1
Materi : Barisan dan Deret Aritmetika
Kelas : X
Alokasi waktu : 60 menit
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar
8. Jelaskan pengertian barisan aritmetika dan deret aritmetika?
9. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan aritmetika berikut:
c. 2, 9, 16, 23, 30, … .
d. 6, 2, −2, −6, −10, … .
10. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan aritmetika berikut:
c. Suku ke-27 pada barisan 8, 11, 14, 17, ….
d. Suku ke-19 pada barisan 49, 42, 35, 28, ….
11. Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan
bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Tentukan barisan yang
terbentuk!
12. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ketiganya adalah 11 dan suku kesepuluhnya adalah
39. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-�!
13. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut:
c. 2 + 7 + 12 + 17 + …
d. 3 + 6 + 9 + 12 + …
14. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan aritmetika? Berikan alasannya,
jika merupakan barisan aritmetika maka tentukan suku ke-10 dari setiap barisan bilangan
tersebut:
e. 2, 4, 8, 16, … .
f. 4, 11, 18, 25, … .
g. 42, 34, 26, 18, … .
h. 3, 6, 10, 15, … .
Lampiran 3b
88
88
SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA
SIKLUS 2
Materi : Barisan dan Deret Geometri
Kelas : X
Alokasi waktu : 60 menit
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar
8. Jelaskan pengertian barisan geometri dan deret geometri?
9. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan geometri berikut:
c. �
�,
�
�, 1, 2, 4, …
d. 64, 32, 16, 8, …
10. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut:
c. Suku ke-10 dari 3, 6, 12, 24, …
d. Suku ke-6 dari 6, 3,�
�,
�
�, …
11. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu membentuk
barisan geometri. Tentukan barisan yang terbentuk!
12. Barisan geometri suku ke-3 dan suku ke-5 berturut-turut adalah 18 dan 162. Tentukan rasio dan
suku ke-6 dari barisan geometri tersebut!
13. Hitunglah jumlah 8 suku pertama pada setiap deret geometri berikut:
c. 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯.
d. 64 + 32 + 16 + 8 + ⋯.
14. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan geometri? Berikan alasannya,
jika merupakan barisan geometri maka tentukan suku ke-10 dari setiap barisan bilangan tersebut:
e. 2, 4, 8, 16, ⋯ .
f. 4, 8, 24, 96, ⋯ .
g. 36, 24, 16,��
�, ⋯ .
h. 2, 6, 10, 14 , ⋯ .
Lampiran 3c
89
89
PENYELESAIAN TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA
SIKLUS 1
Materi : Barisan dan Deret Aritmetika
Kelas : X
Alokasi waktu : 60 menit
1. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah
sama. Deret aritmetika adalah penjumlahan berurut pada suku-suku barisan aritmetika.
2. Rumus suku ke-� barisan aritmetika
a. 2, 9, 16, 23, 30, … .
� = 2 dan � = 9 − 2 = 7, maka rumus suku ke-� adalah
�� = � + (� − 1)�
�� = 2 + (� − 1)7
�� = 2 + 7� − 7
�� = 7� − 5
Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 7� − 5
b. 6, 2, −2, −6, −10, … .
� = 6 dan � = 2 − 6 = −4, maka rumus suku ke-� adalah
�� = � + (� − 1)�
�� = 6 + (� − 1)(−4)
�� = 6 − 4� + 4
�� = 10 − 4�
Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 10 − 4�
3. Menentukan nilai suku ke-� barisan aritmetika
a. 8, 11, 14, 17, ⋯
� = 8 dan � = 11 − 8 = 3, maka suku ke-27 adalah
�� = � + (� − 1)�
��� = 8 + (27 − 1)3
��� = 8 + 26 ∙3
��� = 8 + 78
��� = 86
Jadi, suku ke-27 adalah 86
b. 49, 42, 35, 28, ⋯
� = 49 dan � = 42 − 49 = −7, maka suku ke-19 adalah
�� = � + (� − 1)�
��� = 49 + (19 − 1)(−7)
��� = 49 + 18 ∙(−7)
��� = 49 + (−126)
��� = −77
Jadi, suku ke-19 adalah −77
4. Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga membentuk barisan
aritmetika, yaitu 4, ��, ��, ��, ��, ��, 28 dengan � = 4 dan �� = 28.
�� = 4 + (7 − 1)�
28 = 4 + 6�
6� = 28 − 4
6� = 24
�� = � = 4
�� = � + � = 4 + 4 = 8
�� = � + 2� = 4 + 2 ∙4 = 12
�� = � + 3� = 4 + 3 ∙4 = 16
Lampiran 3d
90
� =24
6
� = 4
�� = � + 4� = 4 + 4 ∙4 = 20
�� = � + 5� = 4 + 5 ∙4 = 24
�� = 28
Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
5. Barisan aritmetika dengan �� = 11 dan ��� = 39
�� = 11 ⟹ � + 2� = 11
��� = 39 ⟹ � + 9� = 39
−7� = −28
� =−28
−7
� = 4
� = 4 substitusikan ke persamaan � + 2� = 11
� + 2 ∙4 = 11
� + 8 = 11
� = 11 − 8
� = 3
Rumus suku ke-� adalah:
�� = � + (� − 1)�
�� = 3 + (� − 1)4
�� = 3 + 4� − 4
�� = 4� − 1
Jadi, suku pertama = 3, beda = 4, dan rumus suku ke-� adalah �� = 4� − 1
6. Jumlah 20 suku pertama deret aritmetika
a. 2 + 7 + 12 + 17 + ⋯, � = 2 dan � = 7 − 2 = 5
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =20
2∙(2 ∙2 + (20 − 1)5)
��� = 10 ∙(4 + 19 ∙5)
��� = 10 ∙(4 + 95)
��� = 10 ∙(99)
��� = 990
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 990
b. 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯, � = 3 dan � = 6 − 3 = 3
�� =�
2∙(2� + (� − 1)�)
��� =20
2∙(2 ∙3 + (20 − 1)3)
��� = 10 ∙(6 + 19 ∙3)
��� = 10 ∙(6 + 57)
��� = 10 ∙(63)
��� = 630
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 630 7. Menentukan barisan aritmetika atau bukan barisan aritmetika
a. 2, 4, 8, 16, ⋯ .
�� = �� − �� = 4 − 2 = 2
�� = �� − �� = 8 − 4 = 4
91
�� = �� − �� = 16 − 8 = 8
Karena �� ≠ �� ≠ �� maka bukan merupakan barisan aritmetika
b. 4, 11, 18, 25, ⋯ .
�� = �� − �� = 11 − 4 = 7
�� = �� − �� = 18 − 11 = 7
�� = �� − �� = 25 − 18 = 7
Karena �� = �� = �� = 7 maka merupakan barisan aritmetika
��� = 4 + (10 − 1) ∙7
��� = 4 + 9 ∙7
��� = 4 + 63
��� = 67
c. 42, 34, 26, 18, ⋯ .
�� = �� − �� = 34 − 42 = −8
�� = �� − �� = 26 − 34 = −8
�� = �� − �� = 18 − 26 = −8
Karena �� = �� = �� = −8 maka merupakan barisan aritmetika
��� = 42 + (10 − 1) ∙(−8)
��� = 42 + 9 ∙(−8)
��� = 42 + (−72)
��� = −30
d. 3, 6, 10, 15, ⋯ .
�� = �� − �� = 6 − 3 = 3
�� = �� − �� = 10 − 6 = 4
�� = �� − �� = 15 − 10 = 5
Karena �� ≠ �� ≠ �� maka bukan merupakan barisan aritmetika
92
92
PENYELESAIAN TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA
SIKLUS 2
Materi : Barisan dan Deret Geometri
Kelas : X
Alokasi waktu : 60 menit
1. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang
berurutan adalah sama. Deret geometri adalah penjumlahan berurut pada suku-suku barisan
geometri.
2. Menentukan rumus suku ke-� barisan geometri
a. �
�,
�
�, 1, 2, 4, ⋯
� =�
� dan � =
�
��
�
= 2, maka rumus suku ke-� adalah
�� = �����
�� =1
4∙2���
�� = 2�� ∙2���
�� = 2���
Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 2���
b. 64, 32, 16, 8, ⋯
� = 64 dan � =��
��=
�
�, maka rumus suku ke-� adalah
�� = �����
�� = 64 ∙�1
2�
���
�� = 2� ∙2����
�� = 2����
Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 2����
3. Menentukan nilai suku ke-� barisan geometri
a. 3, 6, 12, 24, ⋯
� = 3 dan � =�
�= 2, maka suku ke-10 adalah
�� = �����
��� = 3 ∙2����
��� = 3 ∙2�
��� = 3 ∙512
��� = 1536
Jadi, suku ke-10 adalah 1536
b. 6, 3,�
�,
�
�, ⋯
� = 6 dan � =�
�=
�
�, maka suku ke-6 adalah
�� = �����
�� = 6 ∙�1
2�
���
�� = 6 ∙�1
2�
�
Lampiran 3e
93
�� = 6 ∙1
32
�� =3
16
Jadi, suku ke-6 adalah �
��
4. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan geometri, yaitu
4, ��, ��, ��, 64 dengan � = 4 dan �� = 64.
�� = � ∙��
64 = 4 ∙��
�� =64
4
�� = 16
� = √16�
� = 2
�� = � = 4
�� = � ∙� = 4 ∙2 = 8
�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 16
�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 32
�� = 64
Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 16, 32, 64
5. Barisan geometri dengan �� = 18 dan �� = 162
� ⟹��
��=
162
18
���
���= 9
���� = 9
�� = 9
� = √9
� = 3
�� = ���
18 = � ∙3�
18 = � ∙9
� =18
9
� = 2
�� = 2 ∙3�
�� = 2 ∙243
�� = 486
Jadi, rasionya adalah 3 dan suku ke-6 adalah 486
6. Jumlah 8 suku pertama deret geometri
a. 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯
� = 3 dan � =�
�= 2, maka jumlah 8 suku pertama adalah
�� =�(�� − 1)
� − 1
�� =3(2� − 1)
2 − 1
�� = 3(256 − 1)
�� = 3(255)
�� = 765
Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 765
b. 64 + 32 + 16 + 8 + ⋯
� = 64 dan � =��
��=
�
�, maka jumlah 8 suku pertama adalah
�� =�(1 − ��)
1 − �
�� =64(1 −
�
�
�)
1 −�
�
�� =64(1 −
�
���)
�
�
94
�� = 64 �255
256� ∙2
�� = 127,5
Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 127,5
7. Menentukan barisan geometri atau bukan barisan geometri
a. 2, 4, 8, 16, ⋯
�� =��
��=
4
2= 2
�� =��
��=
8
4= 2
�� =��
��=
16
8= 2
Karena �� = �� = �� = 2, maka merupakan barisan geometri.
��� = 2 ∙2����
��� = 2 ∙2�
��� = 2 ∙512
��� = 1024
b. 4, 8, 24, 96, ⋯
�� =��
��=
8
4= 2
�� =��
��=
24
8= 3
�� =��
��=
96
24= 4
Karena �� ≠ �� ≠ ��, maka bukan merupakan barisan geometri
c. 36, 24, 16,��
�, ⋯
�� =��
��=
24
36=
2
3
�� =��
��=
16
24=
2
3
�� =��
��=
��
�
16=
2
3
Karena �� = �� = �� =�
�, maka merupakan barisan geometri.
��� = 36 ∙�2
3�
����
��� = 2� ∙3� ∙�2
3�
�
��� = 2� ∙3� ∙2�
3�
��� =2��
3�
��� =2048
2187
d. 2, 6, 10, 14, ⋯
�� =��
��=
6
2= 3
95
�� =��
��=
10
6=
5
3
�� =��
��=
14
10=
7
5
Karena �� ≠ �� ≠ ��, maka bukan merupakan barisan geometri
96
Pedoman Penskoran Tes Pemahaman Konsep Matematika
No Indikator Keterangan Skor 1 Menyatakan ulang
sebuah konsep Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal
0
Dapat menyatakan ulang sebuah konsep sesuai dengan definisi yang dimiliki oleh sebuah objek namun masih terdapat kesalahan
1
Dapat menyatakan ulang sebuah konsep sesuai dengan definisi yang dimiliki oleh sebuah objek dengan tepat
2
2 Mengklasifikasi objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsepnya
Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal
0
Dapat menganalisis suatu objek dan mengklasifikasikannya menurut sifat-sifat/ciri-ciri dan konsepnya tertentu yang dimiliki namun masih terdapat kesalahan
1
Dapat menganalisis suatu objek dan mengklasifikasikannya menurut sifat-sifat/ciri-ciri
2
3 Memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep
Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal
0
Dapat memberikan contoh dan bukan contoh sesuai dengan konsep yang dimiliki objek namun pengembangannya belum tepat
1
Dapat memberikan contoh dan bukan contoh sesuai dengan konsep yang dimiliki objek dan telah dapat dikembangkan
2
4 Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika
Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal
0
Dapat menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika sebagai suatu algoritma pemahaman konsep namun masih terdapat kesalahan
1
Dapat menyajikan konsep dalam bentuk representasi matematika dengan benar
2
5 Mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep
Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal
0
Dapat mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep dengan benar namun masih terdapat kesalahan
1
Dapat mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep dengan benar
2
6 Menggunakan dan
memanfaatkan serta
memilih prosedur atau
operasi tertentu
Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang
muncul sesuai dengan soal 0
Dapat menggunakan dan memanfaatkan serta memilih
prosedur atau operasi tertentunamun masih terdapat
kesalahan 1
Dapat menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur
dengan benar 2
7 Mengaplikasikan
konsep atau algoritma
pemecahan masalah
Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang
muncul sesuai dengan soal. 0
Dapat mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan
masalah namun masih terdapat kesalahan. 1
Dapat mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan
masalahdengan tepat. 2
Lampiran 3f
97
Lampiran 4. Validasi Instrumen
a. Validasi RPP siklus 1
b. Analisis validasi RPP siklus 1
c. Validasi RPP siklus 2
d. Analisis validasi RPP siklus 2
e. Validasi lembar observasi aktivitas guru
f. Analisis validasi lembar observasi aktivitas guru
g. Validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1
h. Analisis validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1
i. Validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 2
j. Analisis validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 2
98
Lampiran 4a
99
Analisis Validasi RPP Siklus 1
No Aspek yang dinilai Nilai
I Format RPP
1. Format jelas sehingga memudahkan melakukan penilaian. 3
II Isi RPP
1. Kompetensi inti dan kompetensi dasar pembelajaran dirumuskan dengan jelas.
4
2. Indikator dan tujuan pembelajaran dirumuskan dengan jelas. 3
3. Menggambarkan kesesuaian pendekatan pembelajaran dengan langkah-langkah pembelajaran yang dilakukan. 3
4. Langkah-langkah pembelajaran dirumuskan dengan jelas dan mudah dipahami. 4
III Bahasa dan tulisan
1. Menggunakan bahasa sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia yang baku.
4
2. Bahasa yang digunakan bersifat komunikatif dan mudah dipahami.
3
3. Tulisan mengikuti aturan EYD. 4
IV Manfaat Lembar RPP
1. Dapat digunakan sebagai pedoman untuk pelaksanaan pembelajaran.
3
2. Dapat digunakan untuk menilai keberhasilan proses pembelajaran.
3
Jumlah 34
Skor 85%
Kategori Valid
Lampiran 4b
100
Lampiran 4c
101
Analisis Validasi RPP Siklus 2
No Aspek yang dinilai Nilai
I Format RPP
1. Format jelas sehingga memudahkan melakukan penilaian. 3
II Isi RPP
1. Kompetensi inti dan kompetensi dasar pembelajaran dirumuskan dengan jelas.
4
2. Indikator dan tujuan pembelajaran dirumuskan dengan jelas. 3
3. Menggambarkan kesesuaian pendekatan pembelajaran dengan langkah-langkah pembelajaran yang dilakukan. 3
4. Langkah-langkah pembelajaran dirumuskan dengan jelas dan mudah dipahami. 4
III Bahasa dan tulisan
1. Menggunakan bahasa sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia yang baku.
4
2. Bahasa yang digunakan bersifat komunikatif dan mudah dipahami.
3
3. Tulisan mengikuti aturan EYD. 4
IV Manfaat Lembar RPP
1. Dapat digunakan sebagai pedoman untuk pelaksanaan pembelajaran.
3
2. Dapat digunakan untuk menilai keberhasilan proses pembelajaran.
3
Jumlah 34
Skor 85%
Kategori Valid
Lampiran 4d
102
Lampiran 4e
103
Analisis Validasi Lembar Observasi Aktivitas Guru (OAG)
No Aspek yang dinilai Nilai
I Format penulisan
1. Format jelas sehingga memudahkan melakukan penilaian. 3
II Isi
1. Kesesuaian dengan aktivitas guru dalam RPP. 3
2. Urutan observasi sesuai dengan urutan aktivitas dalam RPP. 3
3. Dirumuskan secara jelas, spesifik dan operasional sehingga mudah diukur. 3
4. Setiap aktivitas guru dapat teramati. 3
5. Setiap aktivitas guru sesuai tujuan pembelajaran. 3
III Bahasa dan tulisan
1. Menggunakan bahasa sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia yang baku. 4
2. Bahasa yang digunakan bersifat komunikatif dan mudah dipahami. 3
IV Manfaat lembar observasi guru
1. Dapat digunakan sebagai pedoman bagi observasi guru. 3
2. Dapat digunakan untuk menilai keberhasilan proses pembelajaran. 3
Jumlah 31
Skor 78%
Kategori Valid
Lampiran 4f
104
Lampiran 4g
105
106
Analisis Validasi Tes Pemahaman Konsep Siklus 1
No Indikator Validasi Nilai Setiap Butir Soal
1 2a 2b 3a 3b 4 5 6a 6b 7a 7b 7c 7d
I Materi
1. Masalah pada tes yang dibuat sudah mewakili indikator pemahaman konsep yang digunakan. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2. Masalah yang dibuat dapat membantu mengidentifikasi proses pemahaman konsep siswa. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3. Masalah mengukur kemampuan pemahaman konsep siswa.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4. Masalah mendorong peserta didik mencari ide-ide matematis yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
II Konstruksi
1. Rumusan butir pertanyaan menuntut jawaban uraian. 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2. Rumusan butir pertanyaan tidak memberikan makna
ganda. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3. Informasi yang ada pada masalah mudah dipahami. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
III Bahasa
1. Bahasa yang digunakan dalam masalah sederhana. 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3
2. Bahasa yang digunakan mudah dipahami. 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3
3. Kata/kalimat yang digunakan tidak menimbulkan makna ganda. 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3
4. Kata/kalimat yang digunakan dalam masalah komunikatif.
4 3 3 3 3 3 2 4 3 3 3 3 3
5. Masalah menggunakan kaidah bahasa Indonesia yang baik.
4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3
Total 42 36 36 36 36 36 35 41 36 36 36 36 36
Skor 88% 75% 75% 75% 75% 75% 73% 85% 75% 75% 75% 75% 75%
Kategori
Sangat valid
Valid Valid Valid Valid Valid Valid Sangat valid
Valid Valid Valid Valid Valid
Lampiran 4h
107
Lampiran 4i
108
109
Analisis Validasi Tes Pemahaman Konsep Siklus 2
No Indikator Validasi Nilai Setiap Butir Soal
1 2a 2b 3a 3b 4 5 6a 6b 7a 7b 7c 7d
I Materi
1. Masalah pada tes yang dibuat sudah mewakili indikator pemahaman konsep yang digunakan.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2. Masalah yang dibuat dapat membantu mengidentifikasi proses pemahaman konsep siswa. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3. Masalah mengukur kemampuan pemahaman konsep siswa.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4. Masalah mendorong peserta didik mencari ide-ide matematis yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
II Konstruksi
1. Rumusan butir pertanyaan menuntut jawaban uraian. 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2. Rumusan butir pertanyaan tidak memberikan makna ganda. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3. Informasi yang ada pada masalah mudah dipahami. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
III Bahasa
1. Bahasa yang digunakan dalam masalah sederhana. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 2. Bahasa yang digunakan mudah dipahami. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3
3. Kata/kalimat yang digunakan tidak menimbulkan makna ganda. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3
4. Kata/kalimat yang digunakan dalam masalah komunikatif. 4 3 3 3 3 3 2 4 4 3 3 3 3
5. Masalah menggunakan kaidah bahasa Indonesia yang baik. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3
Total 42 36 36 36 36 36 35 41 41 36 36 36 36
Validitas 88% 75% 75% 75% 75% 75% 73% 85% 85% 75% 75% 75% 75%
Kategori
Sangat valid
Valid Valid Valid Valid Valid Valid Sangat valid
Sangat valid
Valid Valid Valid Valid
Lampiran 4j
110
Lampiran 5. Data Hasil Penelitian
a. Analisis pemahaman konsep matematika siklus 1
b. Analisis pemahaman konsep matematika siklus 2
c. Analisis observasi aktivitas guru siklus 1 dan siklus 2
111
ANALISIS TES PEMAHAMAN KONSEP SIKLUS 1
No Nama
Indikator 1
Indikator 2
Indikator 3
Indikator 4
Indikator 5
Indikator 6 Indikator
7
No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 1 Achmad Khoirul Mahmudin 1 2 2 1 2 2 2 2
2 Aditya Hardiyanto 2 2 2 1 2 2 2 2 3 Ageng Wiratmoyo 1 2 2 1 2 2 2 2 4 Alfiyan Satriya 1 2 2 1 2 2 2 2 5 Alip Frendi Saputro 1 1 1 1 2 2 1 2 6 Amylia Vernanda 2 2 2 1 2 2 2 2 7 Andik Nurrohman 2 1 1 1 2 1 2 2 8 Anita Safitri 2 2 2 1 1 2 1 2 9 Bagus Aji Pangestu 2 2 2 2 2 2 2 2
10 Bintang Zakarya Yahya 2 2 2 1 2 2 2 2 11 Choirotul Umah 1 2 2 1 1 2 1 2 12 Dafid Ilyas Khamdani 2 2 2 1 2 2 2 2 13 Dedy Karisma Nugroho 2 2 2 1 2 2 2 2 14 Dedy Khustani Arivai Keluar 15 Dimas Yusul Prijanargo 2 2 2 1 1 2 2 1 16 Edi Setyawan 2 2 2 2 2 2 2 2 17 Ellisa Mudzakiroh 1 2 2 1 2 2 2 2 18 Fajar Megantoro Wahyu N 1 1 1 2 2 2 1 1
19 Fitri Diah Palupi 2 2 2 2 2 2 1 1 20 Gigih Aji Laksono 2 2 2 1 2 2 1 1
Lampiran 5a
112
No Nama
Indikator 1
Indikator 2
Indikator 3
Indikator 4
Indikator 5
Indikator 6 Indikator
7
No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 21 Gita Rosita 2 2 2 1 2 2 2 2 22 Harnum Anggraeni 2 1 1 1 1 2 2 2 23 Hendri Kurniawan 1 1 1 1 2 1 2 2 24 Ilham Kuncoro Jati 2 1 1 1 1 2 1 2 25 Intan Permatasari 2 1 1 2 1 2 1 2 26 Irene Selly Puspitasari 1 2 2 2 2 2 2 2 27 Irfan Budi Prasetyo 2 1 1 1 2 2 1 2 28 Irfan Dwi Kuncoro 1 2 2 1 1 2 2 2 29 Jeky Aditya Werdana 2 1 1 1 1 2 1 1 30 Jovanka Adi Prayoga 2 2 2 1 1 2 2 2 31 Komang Agung Setiawan 1 1 1 1 1 2 2 1
Jumlah 49 50 50 36 50 58 50 54
Kategori Baik Baik Baik Cukup Baik Baik Baik Baik
113
ANALISIS TES PEMAHAMAN KONSEP SIKLUS 2
No Nama
Indikator 1
Indikator 2
Indikator 3
Indikator 4
Indikator 5
Indikator 6 Indikator
7
No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 1 Achmad Khoirul Mahmudin 1 2 2 1 2 2 2 2
2 Aditya Hardiyanto 1 2 2 2 1 2 2 1 3 Ageng Wiratmoyo 1 2 2 2 2 2 1 2 4 Alfiyan Satriya 1 1 1 2 2 2 2 2 5 Alip Frendi Saputro 1 1 1 2 2 2 2 1 6 Amylia Vernanda 2 2 2 2 2 2 2 1 7 Andik Nurrohman 1 1 1 2 2 1 2 2 8 Anita Safitri 2 2 2 2 2 1 2 2 9 Bagus Aji Pangestu 1 2 2 1 2 2 2 2
10 Bintang Zakarya Yahya 2 2 2 1 2 2 2 2 11 Choirotul Umah 2 1 1 1 2 2 2 2 12 Dafid Ilyas Khamdani 2 2 2 2 2 2 2 2 13 Dedy Karisma Nugroho 2 2 2 2 2 2 2 2 14 Dedy Khustani Arivai Keluar 15 Dimas Yusul Prijanargo 1 2 2 2 2 2 2 2 16 Edi Setyawan 2 2 2 2 2 2 2 2 17 Ellisa Mudzakiroh 2 2 2 1 2 2 2 2 18 Fajar Megantoro Wahyu N 1 1 1 1 2 1 2 2
19 Fitri Diah Palupi 2 2 2 1 2 1 1 2 20 Gigih Aji Laksono 1 2 2 2 2 2 1 2 21 Gita Rosita 2 2 2 2 2 2 2 2
Lampiran 5b
114
No Nama
Indikator 1
Indikator 2
Indikator 3
Indikator 4
Indikator 5
Indikator 6 Indikator
7
No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 22 Harnum Anggraeni 2 1 1 1 2 2 2 1 23 Hendri Kurniawan 2 2 2 2 2 2 1 1 24 Ilham Kuncoro Jati 2 1 1 2 2 2 2 2 25 Intan Permatasari 2 1 1 1 2 2 2 2 26 Irene Selly Puspitasari 2 2 2 1 2 2 2 2 27 Irfan Budi Prasetyo 1 1 1 1 2 2 1 1 28 Irfan Dwi Kuncoro 1 2 2 1 2 2 1 2 29 Jeky Aditya Werdana 1 1 1 1 1 2 2 2 30 Jovanka Adi Prayoga 1 1 1 2 2 2 2 1 31 Komang Agung Setiawan 2 1 1 2 2 1 2 2
Jumlah 46 48 48 47 58 55 54 53
Kategori Baik Baik Baik Baik Baik Baik Baik Baik
115
ANALISIS LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS GURU
No Aspek yang Diamati Siklus 1 Siklus 2
1 2 3 1 2 3
1 Pendahuluan
a. Memotivasi/membangkitkan minat siswa. 2 2 3 3 3 3
b. Menghubungkan dengan materi sebelumnya. 3 3 3 4 3 4
c. Menyampaikan tujuan pembelajaran. 3 3 3 3 3 3
2 Kegiatan Inti
a. Memberikan masalah kontekstual. 2 3 4 3 4 4
b. Mengarahkan siswa untuk menemukan jawaban dan cara menjawab soal. 3 3 3 4 3 4
c. Mengamati cara siswa menyelesaikan masalah. 3 3 4 3 4 4
d. Mendorong siswa untuk mendiskusikan jawaban dengan teman sekelompoknya. 3 4 3 4 3 3
e. Mendorong siswa untuk mengemukakan pendapatnya atau menanggapi pendapat temannya pada diskusi kelas. 3 3 3 3 3 3
f. Menghargai berbagai pendapat siswa. 3 3 3 3 3 3
g. Mengarahkan siswa untuk menarik kesimpulan. 3 3 3 3 3 3
h. Memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai materi yang belum
dipahami. 3 3 3 3 4 4
3 Penutup
a. Menegaskan kembali kesimpulan materi. 2 3 3 3 4 4
b. Memberi tugas pada siswa. 3 3 3 3 4 4
4 Pengelolaan waktu 3 3 3 3 3 3
5 Penampilan guru (menarik, rapi, ceria) 3 3 4 4 4 4
6 Suasana kelas
a. Antusias siswa. 3 4 3 4 4 3
b. Antusias guru. 3 3 4 4 4 4
Jumlah 48 52 55 57 59 60
Nilai Tiap Pertemuan 70,5882 76,4706 80,8824 83,8235 86,7647 88,2353
Nilai Tiap Siklus 75,98039216 86,2745098
Lampiran 5c
116
117
118
119
120
121