Cuerda fija por un extremo y libre por el otro

La figura muestra una cuerda que tiene un extremo fijo y el otro atado a un anillo sin masa que puede moverse con toda libertad hacia arriba y hacia abajo por una varilla vertical.

El movimiento vertical del extremo atado al anillo no tiene ninguna restricción, por lo que podemos decir que es un extremo libre.

Se pueden reproducir las condiciones en que una cuerda está fija por un extremo y libre por el otro atando un anillo que se mueve con toda libertad por una varilla vertical al extremo libre de la cuerda. El otro extremo se ata a un dispositivo mecánico que oscila con una amplitud muy pequeña, con lo cual puede suponerse que el extremo está fijo.

En el modo fundamental de vibración de una cuerda sujeta únicamente por un extremo hay un nodo en un extremo y un antinodo en el otro, por lo tanto L=1/4 (figura 16.15). (La distancia de un nodo al siguiente antinodo es /4.)

En cada modo de vibración mostrado en la figura 16.16 hay un número impar de cuartos de longitud de onda en toda la cuerda, es decir, L = nn/4, en donde n = 1,3,5,...

La condición de onda estacionaria se escribe como

con lo cual n = 4L/n. En estas condiciones, las frecuencias de resonancia vienen dadas por

en donde

es la frecuencia fundamental. Las frecuencias naturales de este sistema se presentan en las razones 1:3:5:7:..., lo que significa que se han perdido los armónicos pares.

Ondas sonoras estacionarias en columnas de aire

Un tubo de órgano es un ejemplo familiar del empleo de ondas estacionarias en columnas de aire. en estos tubos de tipo lengueta se dirige un chorro de aire contra el borde afilado de una abertura (punto A en la figura 16. 17). El movimiento turbulento complicado del aire cerca de donde dicho borde, crea vibraciones en la columna de aire. Las frecuencias de resonancia del tubo dependen de su longitud y de que su extremo esté abierto o cerrado.

En un tubo de órgano abierto, la presión en ambos extremos es igual a la presión atmosférica y no varía. Por lo tanto, existe un nodo de presión en los dos extremos del tubo. (Este resultado está basado en la hipótesis de que la onda sonora en el tubo es una onda unidimensional, lo cual es aproximadamente cierto si el diámetro del tubo es mucho menor que la longitud de onda. En la práctica, los nodos de presión están ligeramente más allá de los extremos del tubo. La longitud efectiva del tubo es Lef = L + L, en donde L es la corrección de los extremos, una distancia que es algo menor que el diámetro del tubo.) La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que para una cuerda fija por ambos extremos. Una vez que se reemplaza L por Ltí (la longitud efectiva del tubo), pueden aplicarse las mismas ecuaciones de la cuerda.

En un tubo de órgano cerrado (abierto por un extremo y cerrado por el otro) hay un nodo de presión próximo a la abertura (punto A de la figura 16.17) y un antinodo de presión en el extremo cerrado. La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que la de una cuerda con un extremo fijo y el otro libre. La longitud efectiva del tubo debe ser igual a un número impar de veces /4. Es decir, la longitud de onda del modo fundamental es 4 veces la longitud efectiva del tubo y sólo están presentes los armónicos impares.Recordemos que, una onda sonora puede considerarse como una onda de presión o como una onda de desplazamiento. Las variaciones de presión y desplazamiento en una onda sonora están desfasadas 90°. Así, en una onda sonora estacionaria, los nodos de presión son antinodos de desplazamiento y viceversa. Cerca del extremo abierto de un tubo de órgano hay un nodo de presión y un antinodo de desplazamiento, mientras que el extremo cerrado es un antinodo de presión y un nodo de desplazamiento.

Ejercicios de aplicación:

1. Ondas sonoras estacionarias en una columna de aire I

Si la velocidad del sonido es 340 m/s, ¿cuáles son las frecuencias y las longitudes de onda per-mitidas en el caso de las ondas estacionarias de un tubo abierto por los dos lados cuya longitud efectiva es 1 m?

2. Ondas sonoras estacionarias en una columna de aire II

Cuando encima del tubo parcialmente lleno de agua de la figura 2 se mantiene un diapasón de 500 Hz de frecuencia, aparecen resonancias cuando el nivel del agua está a distancias L = 16,0, 50,5, 85,0 y 119,5 cm de la parte superior del tubo, ( a ) ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? (b ) ¿A qué distancia del extremo del tubo está el antinodo de desplazamiento?

3. Una cuerda de 3,0 m de largo vibra como muestra la figura siendo la amplitud de las ondas que viajan por ella 2,0 cm y su velocidad 6,0 m/s.

a) Calcula la longitud de onda y la frecuencia de vibración.

b) Escribe la ecuación de la onda estacionaria

c) Indica otras dos frecuencias a las que pueda resonar la cuerda.

4. Una cuerda de 5,0 metros de largo vibra en forma estacionaria cuando es excitada con una frecuencia de 90 Hz. La frecuencia se va incrementando y recién aparece una nueva vibración en modo estacionario para una frecuencia de 150 Hz. La tensión de la cuerda es 3600 N.

a) Indica la condición de los extremos (fijos, libres).

b) Determina la densidad lineal de masa de la cuerda.

5. En una cuerda existen tres frecuencias de resonancia sucesivas de 75, 125 y 175 Hz.

a) Hallar los cocientes entre cada par de frecuencias sucesivas de resonancia.

b) ¿podría saber si estas frecuencias corresponden a una cuerda fija por un extremo y no a una cuerda fija por los dos extremos?

c) ¿Cuál es la frecuencia fundamental?

d) ¿Qué armónicos son esas frecuencias de resonancia?

e) Si la velocidad de las ondas transversales en esta cuerda es de 400 m/s, halla la longitud de la misma.

Ejercicios 1 y 2 son complementarios

fig 2