Universidad Nacional de Ingeniería P.A.2015Facultad de Ingeniería MecánicaDAIA Control Moderno y Óptimo

Laboratorio 5 Diseño de Compensadores de orden Completo y Reducido

Discuta las diferencias entre la utilización de compensadores (control clásico) y el método de asignación de polos por realimentación de estados.R: Diseñar un compensador utilizando los métodos de control clásico es un proceso

tedioso, sujeto a la imaginación del diseñador e involucra un proceso iterativo para obtener las constantes KD, KP, KI. En contraste, la asignación de polos es un método que brinda una forma sistemática y única (para sistemas SISO) de determinar los coeficientes de la matriz de ganancia.Respecto al desempeño, un compensador de control clásico tendrá mejor desempeño ya que buscará constantemente llevar el error que tiene la salida respecto a la referencia a cero, utilizando para esto la integral y la derivada del error, los cuales reducen la influencia de las perturbaciones sobre la salida del sistema y mejoran el tiempo de estabilización (si los parámetros están bien escogidos). Todo esto comparando con el controlador por asignación de polos que si bien su ley de control es la resta de la referencia con la salida (o la variable de estado), esto solo equivaldría a un efecto proporcional si lo comparamos con el control clásico.

¿Qué factores le parecen pueden restringir la asignación de los polos de lazo cerrado?R: La capacidad de los actuadores de ejecutar señales de control debe ser tomada en

cuenta para determinar valores máximos en la matriz de ganancias K; lo cual en simples palabras se traduce a: que tan a la izquierda puedo poner los polos sin dañar el actuador.También, en sistemas con gran cantidad de polos, se debe de tener en consideración que colocarlos lo más a la izquierda posible generará una carga computacional mayor en el controlador.

Asignando los polos de lazo cerrado, ¿puede asegurar características de la respuesta transitoria como por ejemplo sobre-impulso?R: Se pueden asegurar dentro de un margen de error tolerable si se aplica el criterio de

los polos dominantes al momento de escoger los polos deseados. A partir de especificaciones como factor de amortiguamiento, porcentaje de sobre-impulso, tiempo de asentamiento, etc. se determinan los polos dominantes y el resto de polos se toman entre 5 a 10 veces más a la izquierda.

¿Con que criterio asignaría los polos de lazo cerrado en el caso de un sistema de orden 3 o superior?R: Con el criterio de polos dominantes, bajo el procedimiento explicado en la pregunta

anterior. Un criterio adicional podría ser el buscar eliminar los ceros de la planta mediante los polos del controlador.

¿Cuándo es necesario y cuando posible implementar un observador de estados?R: Para un observador de estados completo, es posible implementarlo si el par (A,C) es

completamente observable. Para un observador reducido, el par (Abb,Aab) debe ser completamente observable.

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En ambos casos, un observador es necesario cuando no se conocen las condiciones iniciales de la planta y/o no es posible obtener las variables de estado a partir de la planta (ausencia de sensores y/o C≠I). Si esto sucede para todas las variables de estado, será necesario usar un observador completo; en cambio, si solo sucede con algunas, solo será necesario un observador reducido.

¿Qué características son deseables del observador y que comportamientos indeseables pueden aparecer?R: Los polos del observador de estados deben de ser más rápidos que los del

controlador (entre 2 a 6 veces más a la izquierda) y también se debe de escoger unas condiciones iniciales del observador adecuadas para minimizar grandes valores de error en el inicio de los estados transitorios, los cuales se traducen en esfuerzos de control desbordantes en los actuadores.

Modelo de la Grúa con carro más canastilla transportadora

Después de la linealización del modelo tenemos:Datos para el ejemplo numérico:

Variables de salida (variables medidas)

x1=posición del carrox2=velocidad del carro

Consecuentemente puede ser particionadas las ecuaciones diferenciales

Aaa Aab Ba

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[ x1

x2

x3x4

]=[0 1 0 00 0 a23 00 0 0 10 0 −a43 0 ][ x1

x2

x3x4

]+[ 0b2

0−b4

]u Aba Abb Bb

El sistema matricial del Observador reducido (Dinámica del error)

Abb−LAab=[ 0 1−a43 0 ]−[0 l12

0 l22 ][ 0 0a23 0 ]=[ −l12 a23 1

−a43−l22a23 0 ]Cuya ecuación característica es:

|sI−( Abb−LAab )|=|s+l12 a23 −1

a43+l22 a23 s|=0

Desarrollando:s2+ l12 a23 s+a43+l22 a23=s2+β1 s+ β0

Por comparación de coeficientes:

l12 a23=β1a43+l22 a23=β0}⇒

l12=β1

a23

l22=β0−a43

a23

L=[0 l12

0 l22 ]Esto es:

[ 0 1−a43 0 ]−[0 β1

a23

0β0−a43

a23][ 0 0

a23 0 ]=[−β1 1−β0 0 ]

Abb−LAab=[−β 1 1−β0 0 ] , Bb−LBa=[ −l12b2

−b4−l22b2]( Abb−LAab )L=[−β 1 l12+ l22

−β0 l12 ]( Aba−LAaa)=[0 0

0 0 ] Profesora: Rosa Garrido J. Página 3

Valores conocidos

Dos salidas

Ecuación del observador reducido a implementar será:

[ ρ1

ρ2 ]=[−β 1 1−β0 0 ][ ρ1

ρ2 ]−[ l12 b2

b4+ l22b2 ]u+[0 −β 1 l12+l22

0 −β0 l12 ][ y1

y2 ][ x3

x4 ]=[ ρ1

ρ2 ]+[0 l12

0 l22 ][ y1

y2 ]O por elementos:ρ1=−β 1 ρ1+ ρ2−l12 b2u+(−β 1 l12+l22 ) y2

ρ2=−β0 ρ1−(b4+l22b2)u−β0 l12 y2

x3=ρ1+l12 y2x4=ρ2+l22 y2

Esto es:

Se pide:a) Encuentre las matrices reducidas del sistema para diseñar el observador

Reemplazando las constantes se tiene:

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b) Encuentre la matriz de realimentación del observador reducido L, si desea colocar los polos en s=-3.

c) Con el controlador obtenido en el laboratorio 4 y el observador reducido obtenido en b) simule el sistema de control de la Figura1.Use como condiciones iniciales:

Para los estados no observados: Para los estados observados:

d) Calcular la función de transferencia del compensador (reducido) usando la ganancia de control y el diseño del estimador de orden rducido y graficar su respuesta en frecuencia. Dibuje el gráfico de Bode para el diseño compensado e indique las correspondientes márgenes ganancias y de fase.

Función de transferencia del compensador:

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