laboratorio2 algebralineal
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
1/14
Tarea 2
Algebra Lineal, MAT 1203 Lunes 21 de Marzo de 2015
Fecha de Entrega: Hasta Lunes 4 de Abril 15:30
Nombre Integrante 1: Vicente De La Carrera
Nombre Integrante 2: Samuel Billikopf
Nombre Grupo: Sasko
Sección e Laboratorio: ! "
Observaciones:
Ud. puede ocupar Wolfram-Alpha o Mathematica para calcular escalonadas
reducidas o realizar cálculos matriciales incluyendo con copy/paste los comandosINPUT y los resultados !UTPUT" en el informe. #in em$ar%o ud. de$e sa$er
realizarlos con lapiz y papel como preparaci&n para la I'. (sta tarea es
preparaci&n para la I'"
Problemas
Problema 1) )esuel*a los pro$lemas del te+to
a" Pro$lema , secci&n '.
a" 0 No puede ser inconsistente ya 1ue siempre ha$rá al menos una soluci&n 2+'0 +,03+n4 5 6
$" 0 Para 1ue sea no tri*ial0 al menos una entrada tiene 1ue ser distinta de 60 no necesariamentetodas.
c" 0 el efecto de sumar p a un *ector es mo*er a * en una direcci&n paralela a la recta 1ue pasa por
p y 6.
d" 7 ya 1ue al multiplicar el *ector 6 por la matriz A o$tendremos el *ector $ 5 60 por lo 1ue elsistema es homo%8neo.
$" Pro$lema ',0 secci&n '.9
:'5,6
:,5+;,6
:
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
2/14
Por lo tanto0 para 1ue el flu>o de +
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
3/14
A5
1 2 0 0
0 0 0 0
0 2 0 1
0 1 0 −1
"
%" Pro$lema 'F #ecci&n ,.' Demuestre"1. #upon%a 1ue la tercera columna de G es la suma de las dos primeras columnas. Hu8 se puede
decir acerca de la tercera columna de AGJ HPor 1u8J
ue es la suma de la primera y se%unda columna de AG.Por1ue AG5
A 2$'0 $,0 $';$,4 5
A$'0 A$,0 A2$';$,4 5
A$'0 A$,0 A$';A$, 5 AGh" Pro$lema ,' #ecci&n ,.'. Demuestre"
#on linealmente dependientes ya 1ue
(a bc d )(e f g h)=(ae+bg af +bhce+dg cf +dh) 0 es decir0 cada una de las columnas de A soncom$inaciones de las restantes
i" Pro$lema #ecci&n ,.'
>" Pro$lema '6 secci&n ,.,
a" also0 esas operaciones corresponden a la in*ersa de A
$" also0 A−1
eslainversa y no A . Distinto seria si di>era Kla in*ersa de A−1
L
c" also0 es el producto de sus in*ersas en orden apuesto
d" 70 ya 1ue + representara las operaciones a realizar para lle%ar a la matriz identidad0 lo 1ue se
llama A in*ersae" 70 ya 1ue las operaciones representadas por las operaciones elementales representarán a la
in*ersa.
" Pro$lema ,6 secci&n ,.,
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
4/14
a" (s in*erti$le ya 1ue por propiedad0 el producto de dos matrices in*erti$les tam$i8n es
in*erti$le
$" :0 A son in*erti$les por1ue nos dice el enunciado y G por el pro$lema a
( A – AX )−1 5 X −1
G /A-A:" por la iz1uierda
I 5 A-A:" X −1
G 5
I 5 A X
−1G- AIG/ A
−1 por la iz1uerda 5
A−1
I 5 I X −1
G - I 2
G / B−1
por la derecha 5
A−1
I B−1
5 I X −1
I - I 3
/ I −1
por la derecha 5
A−1
I B−1
I −1
- I 2
5 I X −1
/ I −1
por la iz1uerda 5
I −1
A−1
I B−1
I −1
- I 3
5 X −1
/ ¿−1
5
X =¿ I −1
A−1
I B−1
I −1
- I 3
¿−1
l" Pro$lema
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
5/14
a" 7 los dos enunciados son *erdaderos
$" 70 los dos enunciados son *erdaderos
c" 0 el primer enunciado no implica el se%undod" 70 los dos enunciados son *erdaderos
e" 70 los dos enunciados son *erdaderos.
a. Pro$lemas ,? #ecci&n ,.<
n" Pro$lemas ,? #ecci&n ,.<
(+iste un W tal 1ue AB−1 5 W
Por lo tanto
AG W5IA GW" 5 I
Por lo tanto la in*ersa de A es GW" y 1ueda demostrado.
Problema 2) #ea A= [⃗a1 ⃗a2 ⃗ a3 ⃗a4 ] una matriz con columnas ⃗ai , i=1,2,3,4 tales 1ue
⃗a1+2⃗ a
2−3⃗ a
3+⃗a
4=0
.
a. Determine infinitas soluciones para la ecuaci&n homo%8nea
A ⃗ x=
0
0denota al *ector nulo"
$. Determine infinitas soluciones para el sistema
A ⃗ x=2⃗ a1+⃗a2+4⃗ a3−⃗a4
#oluci&n
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
6/14
a" A [
1
2
−31 ] 56 A ∝ [
1
2
−31 ] 56 A+56 tiene como soluci&n a ∝[
1
2
−31 ] .
$" A [ 2
1
4
−1]+ A∝[ 1
2
−31 ]=2⃗ a1+⃗a2+ 4⃗ a3−⃗a4
sol [ 2
1
4
−1]+∝[
1
2
−31 ]
Problema 3) #ea A
matriz de3 ×3
tal 1ue
A [ 1
−11 ]=[
2
1
2] , A [
0
1
1]=[
−10
1 ]
a. Determine a lo menos un *ector ⃗x
1ue satisfa%a A⃗ x=[
8
4
8]
$. Determine a lo menos un *ector ⃗x
tal 1ue A ⃗ x=[
7
2
1] ayudaprimero escri$a
[ 7,2,1 ]T como com$inaci&n lineal de [ 2,1,2 ]T
y [−1,0,1 ]T
"
c. #i0 además
A [
1
1
4]=[
0
0
0] ,
#in encontrar A ,
determine infinitas soluciones de A ⃗ x=[
7
2
1]
#oluci&n
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
7/14
a" A [
1
−11 ]=[
2
1
2] / O A [
1
−11 ]=[
8
4
8] por propiedades de la matriz A [
1
−11 ] 5 A
[ 4
−44 ]
Por lo tanto0 A [ 4
−44 ] 5 [
8
4
8]
$" #i [2
1
2] O, - [
−10
1 ] O-< 5 [
7
2
1]
Por lo tanto
A 2, [ 1
−11 ] < [
0
1
1] 45 A [
2
−5−1]
⃗x=[ 2
−5−1]
c" A [
1
1
4]=[
0
0
0]
Por lo tanto
x=[ 2
−5−1] ; Q [
1
1
4]
Problema !) Demuestre 1ue si A
satisface
A [ 1
−11 ]=[
2
1
2] , A [
0
1
1]=[
−10
1 ] , A [
1
1
4]=[
0
0
0]
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
8/14
entonces A [
1 0 1
−1 1 11 1 4
]=[2 −1 01 0 0
2 1 0] . De a1u concluya 1ue
A=
[2 −1 0
1 0 02 1 0] [
1 0 1
−1 1 11 1 4]
−1
y o$ten%a A .
#oluci&n $asta con reordenas las filas y columnas y escri$ir la matriz como una trasformaci&n0 lue%o0
Al tener esto A=[
2 −1 01 0 0
2 1 0] [
1 0 1
−1 1 11 1 4
]−1
Gasta con multiplicar a la derecha por [ 1 0 1
−1 1 11 1 4
]−1
R o$tenemos AI5 [2 −1 01 0 0
2 1 0] [
1 0 1
−1 1 11 1 4
]−1
#implificando A5 [2 −1 01 0 0
2 1 0] [
1 0 1
−1 1 11 1 4
]−1
Problema ") Sonsidere el sistema de ecuaciones A ⃗ x=b , donde
⃗b=[−11−3
3 ] 0 ⃗x=[ x
1
x2 x
3
x4
x5]
tal 1ue la forma escalonada reducida de la matriz ampliadaC =[ A b ]
es
RowReduce [ C ]=¿
a" (scri$a la escalonada reducida de la matriz ampliada[ A ⃗0 ]
.
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
9/14
$" (scri$a la soluci&n %eneral de la ecuaci&n homo%8nea Ax=0
en forma param8trica
*ectorial.
c" (scri$a la soluci&n %eneral de A ⃗ x=b en forma param8trica *ectorial.
d" Determine si⃗a
4 es com$inaci&n lineal o no de las otras columnas de A
0 y si lo es
escr$ala e+plcitamente.
e" Determine si⃗a
5 es com$inaci&n lineal o no de las otras columnas de A
0 y si lo es
escr$ala e+plcitamente.
#oluci&n
a" (scri$a la escalonada reducida de la matriz ampliada[ A ⃗0 ]
.
[1 2 0 −1 0 00 0 1 −1 0 00 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0]
$" +' ; +, +
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
10/14
c" A [ 1
−1+ β β
β
0] 5 b
d" ⃗a
4 n
o es com$inaci&n lineal de las demás columnas de la matriz A
e" ⃗a
5 n
o es com$inaci&n lineal de las demás columnas de la matriz A
Problema #) #eaT
una transformaci&n lineal de R2
en R2
tal 1ue
T [21]=[−12 ],T [11]=[ 2−3 ] 0
calculeT
[
5
6
]
#oluci&n
T [56 ]=7 T [11]−T [21]=7 [ 2−3]−[−12 ]=[ 15−23] ,
Tam$i8n0 puede resol*erse usando la matriz estándar de transformaci&n (a bc d ) .
(a b
c d
)[2
1
]=
[−1
2
](a bc d )=[11]=[ 2−3]
,a;$5-' a5-<,c;d5, $5
a;$5, c5
c;d5-< d5-=
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
11/14
(−3 55 −8)[56]=[ 15−23]
Problema $) #ea
S el plano
x− y+2 =1 en
R3
. #ea
A=[1 0 1
2 1 1
2 −1 2] . Demuestre 1ue A (S )= !u"ue#re $ue ecuacir"inar una rec#a facenla ecuaciayinfini#as "aneras de ha
es tam$i8n un plano y determine su ecuaci&n cartesiana
#oluci&n
[1 0 1
2 1 12 −1 2]
[1+ y−2
y ]
5
+' 5 ';y-z5 6
+, 5 ,';y-,z" ;y ; z5 6 +, +< ;+' 5 ';
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
12/14
d. #i las columnas de AB
son linealmente independientes entonces las columnas de
B son linealmente independientes.
7erdadero0 ya 1ue al hacer un proceso in*erso al anterior0 y acorde al enunciado0
o$tenemos
:'A$'";+,A$,";+
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
13/14
I − A 3=( I − A ) ( A2+ A+ I ) %
¿ I A2+ IA+ I 2− A 3− A2− AI
¿ A2+ A+ I − A3− A 2− AI
¿ I − A 3 % ueda entonces demostrado 1ue I − A3=( I − A ) ( A 2+ A+ I ) %
Ba in*ersa de I − A
si A3=0 es ( A
2+ A+ I ) , usandola de"os#raci)nan#erior %
I − A 3=( I − A ) ( A 2+ A+ I ) %Co"o A3=0,
I =( I − A ) ( A 2+ A+ I ) %
Ba in*ersa de de I − A
si A4=0 es A
2+ A+ I ya 1ue0
I − A 3=( I − A ) ( A 2+ A+ I ) /¿ Multiplicamos por A a la derecha
IA− A 4=( I − A ) ( A3+ A2+ A )
A= ( I − A ) ( A 3+ A 2+ A )/"ul#i'lica"os A−1 por la derecha
I =( I − A ) ( A 2 I + AI + I )
I =( I − A ) ( A 2+ A+ I )
Problema 11) Demuestre 1ue si A3+2 A 2+3 A−4 I =0 entonces A tiene in*ersa.
(ncu8ntrela en t8rminos de A
.
A3+2 A2+3 A−4 I =0/ A−1
A2+2 A 1+3=¿ A
−1 A
−1 5
A2+2 A1+3
4 por lo tanto A posee
in*ersa
Problema 12)
a-. #i A , B
son matrices cuadradas y A B2
es la in*ersa deB
. Demuestre 1ue B3
tiene
in*ersa y 1ue ( B3 )−1= A % Demuestre además 1ue necesariamente se tiene 1ue AB=BA .
-
8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal
14/14
I =B ( A B2 )
I =BA B2 Por demostraci&n anterior AG5GA si am$as son de n+n0 es el caso"
I = A B 3
ueda entonces demostrado 1ue A es la in*ersa de B3
0 y por ende0 1ue B3
tiene in*ersa.
$-. #i BT
es la in*ersa de A2
0 entoncesB
es la in*ersa de ( AT )
2
BT
A2= I / ( )
#
A2
#
B= I por propiedad0
A
(¿¿ # )2= A2#
¿
A
(¿¿ # )2 B= I ¿
ueda demostrado 1ue si BT
es la in*ersa de A2
0 entoncesB
es la in*ersa de ( AT )2
c-. Una matriz real A
se dice unitaria si AT = A−1 % Demuestre 1ue el producto de matrices
unitarias es unitaria.