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LABORATORIO DE MECANICA NO. 2

GRAFICAS

PRESENTADO POR:

TRABAJO PRESENTADO COMO REQUISITO DE EVALUACIÓN PARCIAL EN

LA ASIGNATURA DE MECÁNICA GRUPO 08 AL PROFESOR.

JUAN PACHECO FERNANDEZ

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

FACULTAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGIA

VALLEDUPAR

2013

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CONTENIDO

Pg.

Presentación…………………………………………………….................. 3

Objetivo General……………………………………………………………. 4

Materiales y Equipo………………………………………………………… 5

Marco Teórico……………………………………………………………..…6

Procedimiento………………………………………………………………..10

Resultado y análisis…………………………………………………………16

Conclusiones…………………………………………………………………17

Bibliografía………………………………………………………………...…18

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1. PRESENTACION

La Física trata sobre las relaciones entre cantidades observadas. Establecer estas

relaciones permite que podamos anticipar lo que ocurrirá con una cantidad cuando

la otra varía de una forma determinada. Una forma básica para establecer la

relación entre dos cantidades medidas es representarlas mediante una gráfica.

En esta práctica se utilizarán las gráficas y la teoría de funciones en general, para

encontrar la relación entre las variables que intervienen en el experimento y, al

mismo tiempo, observar más fácilmente la variación de las mismas. De esta forma,

utilizar las gráficas como una herramienta para obtener información física de un

conjunto de datos.

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2. OBJETIVO GENERAL

Representar los datos obtenidos en esta partica por medio de graficas

Objetivo Especifico

Conocer y aplicar el método de rectificación de la curva para obtener la relación

funcional entre las variables y saber aplicar los diferentes métodos para la

determinación de la pendiente de la recta y para la ordenada del origen.

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3. MATERIALES Y EQUIPO

1 Regla graduada en cm (Utilizada para medir las diferentes posiciones del

resorte).

1 resorte (Utilizado para calcular la fuerza ejercida por las masas)

10 masas de diferentes tamaños (Con ayuda del resorte y la regla calculares

la fuerza que ejercen)

1 Soporte y una nuez (Usada para sujetar el resorte y las masas)

1 Una balanza análoga (Usada Para poder calcular la masa de los objetos y

el agua en la probeta utilizados)

1 probeta de 250 ml (Con esta medimos el agua

1 Calculadora Científica (Usada para calcular los resultados obtenidos)

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4. MARCO TEORICO

4.1 Confección de un Gráfico

Los gráficos se confeccionan sobre un papel especial, puede ser milimetrado,

logarítmico o semilogarítmico. En general es conveniente primero graficar los datos

en papel milimetrado, donde las unidades de ambos ejes están espaciadas

uniformemente. Si el gráfico resulta aproximadamente una línea recta, entonces la

relación entre las variables "x" e "y" es lineal, o sea de la forma: y = mx + b. Si la

representación de los datos en papel milimetrado es una curva, es posible intentar

cambiar a nuevas variables que estén relacionadas linealmente. Este proceso se

llama “rectificación de los datos” o más comúnmente conocido como “linealización”.

Para el trazado de los gráficos se deben seguir las siguientes normas generales:

El gráfico debe llevar un título que indique el fenómeno que representa y sirva de guía a quién haga uso de él.

Se elige un sistema de coordenadas; muy a menudo usaremos el sistema de coordenadas ortogonal.

Sobre los ejes se indican las magnitudes físicas que en ellos se representan con sus correspondientes unidades y la escala adecuada.

Generalmente la variable independiente se representa en el eje de la abscisa y la variable dependiente en el eje de la ordenada, aunque pueden intercambiarse.

Cuando se selecciona una escala en la representación gráfica (con papel milimetrado o logarítmico) de cualquier curva se recomienda:

a) Tratar que los puntos experimentales no queden muy juntos. Para una

mejor información los puntos deben estar separados; para lograr esto se

amplían las escalas como se indica en la siguiente figura.

b) Hay que evitar que las escalas elegidas sean complicadas.

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c) No deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectos;

el gráfico tiene que construirse con una curva suave y continua que pase lo

más cerca posible de los puntos obtenidos (curva de aproximación).

d) Si es necesario graficar con errores, generalmente el error de la variable e

independiente se desprecia y el error de la variable dependiente se puede

representar por una “barra de error”. La curva que se dibuje debe pasar por

el interior de las barras de errores ver la siguiente figura.

4.2 Análisis de un Gráfico

Se analizará a continuación como determinar la relación funcional entre variables

experimentales. Los pasos son los siguientes:

1) Obtener tabla de datos.

2) Graficar los datos. La gráfica puede ser:

a. Una relación lineal (línea recta).

b. Una relación no lineal (línea curva).

3) Para el caso (b), se intenta modificar las variables hasta que su gráfico sea una

línea recta.

4) Se escribe la ecuación de la recta, determinando el valor de las constantes. 5)

Interpretación física de la relación lineal obtenida.

Una vez lograda la relación lineal entre las originales o nuevas variables se debe

determinar las constantes o parámetros de la recta.

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La ley física entre las variables puede expresarse como: y = f (x,m,b) = mx + b;

donde: y: variable dependiente x: variable independiente f: función lineal m y b:

constantes por determinar; m pendiente de la recta y b, ordenada del origen.

4.2.1 Ajuste lineal: De acuerdo a lo anterior, si las variables originales o las

nuevas variables que seguiremos llamando x, y, muestran una relación

aproximadamente lineal, la tarea de encontrar una recta que pase por todos

los puntos es normalmente una tarea imposible, puesto que en general se

tienen varios puntos (xi, yi) con i =1, 2, 3,.., n y una recta queda determinada

por dos puntos. La tarea que podemos resolver es la de encontrar la “mejor”

recta que ajuste los datos. La ecuación general de una recta es: y = mx + b.

Para determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b para la recta que

se aproxime a los datos, explicaremos dos métodos:

Método gráfico: Se utiliza para un conjunto de puntos de moderada

precisión. Simplemente grafique sus puntos de datos, dibuje la mejor recta

que usted estime se aproxima mejor a los puntos. El intercepto con el eje Y

nos da el valor de “b” y la pendiente será:

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

Método de promedios: Se define el residuo como la diferencia entre el valor

experimental y el valor dado por la expresión mx + b esto es ri = y − (mx +b),

valores que no son nulos porque los puntos no caen exactamente sobre la

recta. Si los datos los dividimos en dos grupos (I) y (II) de parecido tamaño,

el método se basa en que la suma de los residuos en ambos grupos es cero,

en otras palabras:

0 = ∑ 𝑦i

𝑖

− 𝑚 ∑ 𝑥i

𝑖

− 𝑏 ∑ i

𝑖

0 = ∑ 𝑦i

𝑛

− 𝑚 ∑ 𝑥i

𝑛

− 𝑏 ∑ i

𝑛

Con estas dos ecuaciones se determina m y b. Están se pueden escribir en términos

de promedios sobre cada en la forma:

m(x) I + b=y I

m(x) I + b=y II

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4.2.1 Rectificación: Representados los puntos en papel milimetrado, la

curva obtenida podría ser una función polinomial, exponencial o logarítmica

complicada y aun así, presentar aproximadamente la misma apariencia a la

vista. Con frecuencia puede estimarse la relación funcional entre las variables

si el experimentador tiene idea del tipo de función que representarán los

datos, basándose en consideraciones teóricas y el resultado de experimentos

previos similares.

Para determinar la relación funcional entre dos variables x e y, en algunos

casos se rectifica la curva mediante una adecuada transformación de las

variables, tanto de la variable independiente y/o de la variable dependiente.

Las transformaciones se intentan hasta obtener una relación lineal en las

nuevas variables X e Y, a partir de las cuales se deben calcular los

parámetros A y B de la relación lineal Y = AX + B; luego desde esa última

relación se podrá obtener la relación funcional entre las variables originales

y = f(x).

4.3 Interpolación y Extrapolación

El número limitado de puntos obtenidos en un experimento no permite dibujar una

curva continua, sin embargo, tratamos de hacerlo como si lo fuera con lo cual

suponemos que se trata de una función continua, sin variaciones bruscas, entre los

puntos vecinos. Dibujada la curva se puede obtener de ella el valor de una ordenada

correspondiente a una denominada abscisa que aunque no haya sido determinada

por el experimento mismo se encuentra comprendida entre dos valores

experimentales, en tal caso el valor de la ordenada se ha obtenido por

“interpolación”.

Cuando este valor se obtiene usando las prolongaciones de la mejor curva trazada

entre los valores experimentales, se dice que se ha hecho una “extrapolación”.

Ambas operaciones suelen estar limitadas por las condiciones de la experiencia.

Los puntos extrapolares en el caso de dependencia lineal, los obtendremos

prolongando la recta que corresponde a la gráfica rectificada.

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5. PROCEDIMIENTO

Con soporte, la nuez, las masas, el resorte y la regla realizamos el montaje

que se muestra en la figura 1

Registramos los datos de las masas en el extremo del resorte previamente

medido sin estirar con la regla y suspendimos las diez masas una por una y

medimos la nueva posición del resorte estirado calculando el desplazamiento

de la masa con la siguiente formula (∆𝑥 = 𝑋𝑓 − 𝑋𝑖) registramos los datos en

la tabla 1.

Teniendo ya los datos realizamos una gráfica de Fuerza vs Desplazamiento

a continuación la gráfica la gráfica 2.

Masa (g) Fuerza (Dinas) ∆𝑿(cm)

446.6 436774,8 25,3 341.8 334280,4 21,6 294.6 288118,8 18,5 201.1 196675,8 13,2 196,6

192079,2 12,7

147.2 143961,6 9,3 100.4 98191,2 6,3 47.5 42738,6 3,3 43.7 40587 3,2 20 19560 1,5

Figura 1. Montaje para resorte, regla y masas.

Tabla 1. En esta tabla vemos los valores de masa, fuerza y desplazamiento de masa obtenidos

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Grafica 2. Grafica masas en el resorte Fuerza vs Desplazamiento

F

X

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Determinamos la relación entre F y X calculando la pendiente y la ecuación

que las liga del gráfico con las siguientes ecuaciones.

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏

Hallamos la pendiente con la ecuación 1 (Ec. 1).

𝑚 =436774,8 − 19560

25,3 − 1,5

𝑚 =417214,8

23,8

𝑚 = 17530,033

Hallamos la ecuación de la gráfica con la ecuación 2 (Ec.2) de la cual

despejamos b para hallar su valor.

𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥

𝑏 = 417214,8 − (17530,033)

𝑏 = 399684,767

Remplazamos en la ecuación 1 y ya tenemos la ecuación de la gráfica.

𝐹(𝑥) = 17530,033𝑥 + 399968,767

Relación entre volumen y masa de un líquido

Con una probeta de 250 ml la cual vacía nos dio un peso de 155g medimos

11 medidas diferentes aumentado de 30 ml en 30 ml y pesándolo a medida

que fuéramos agregando el agua estableciendo la masa del agua con la

formula m=x-xi registramos los datos en la siguiente tabla masa vs volumen

tabla 1.2.

Ec. 1. Con esta ecuación hallaremos la pendiente

Ec. 2. Con esta ecuación hallaremos la ecuación

y=f(x)

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Masa del agua (g) Volumen (ml)

247,8

250

228 230

207 210

189 190

169 170

149

150

128 130

110,5 110

89,3 90

71 70

48 50 Tabla 2. Datos masa vs Volumen

Kdffmv

|

A continuación veremos la gráfica Volumen vs Masa ver Grafica 2.

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Grafica 2. En esta grafica apreciamos los valores del volumen vs masa del agua

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Determinamos la relación entre F y X calculando la pendiente y la ecuación

que las liga del gráfico con las mismas ecuaciones que utilizamos para el

anterior experimento.

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏

Hallamos la pendiente con la ecuación 1 (Ec. 1).

𝑚 =247,8 − 48

250 − 50

𝑚 =199,8

200

𝑚 = 3,996

Hallamos la ecuación de la gráfica con la ecuación 2 (Ec.2) de la cual

despejamos b para hallar su valor.

𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥

𝑏 = 199,8 − 3,996

𝑏 = 195,804

Remplazamos en la ecuación 1 y ya tenemos la ecuación de la gráfica.

𝐹(𝑥) = 3,996𝑥 + 195,804

Ec. 1. Con esta ecuación hallaremos la pendiente

Ec. 2. Con esta ecuación hallaremos la ecuación

y=f(x)

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6. RESULTADO Y ANALISIS

1. Las características de la gráfica son parámetros que nos ayudan a describir

el movimiento del objeto bajo estudio. La representación gráfica viene a ser

lo más representativo del fenómeno que se está estudiando y en su

interpretación se reflejará el comportamiento límite del fenómeno bajo las

condiciones en que se realizó y además algunas informaciones matemáticas

2. No se obtuvimos ningún término independiente ya la recta pasa por el punto

(0.0). para que exista un término independiente la gráfica debería intersectar

al eje Y en un punto distinto a cero (0).

3. Analice y responda las siguientes preguntas:

a) Porque no es conveniente graficar una función punto a punto, es decir

uniendo todos los puntos (con línea recta) en una gráfica de

laboratorio?

No es conveniente ya que si lo hacemos con pequeñas curvas

tendremos un mejor análisis de la gráfica ya que son más precisos. Y

además así podemos ver el error con el cual se obtuvo de los datos

obtenidos.

b) Que factores causan los errores en el desarrollo de esta práctica.

Las operaciones matemáticas.

La precisión de los materiales.

La mala manipulación de los instrumentos

La mala lectura de las herramientas de medición

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7. CONCLUSIONES

Se debe hacer un buen uso de los instrumentos de medición para tener resultados

más claros y exactos en nuestras gráficas.

Las gráficas son muy importante para la física ya que podemos tener los para

representar dato y sus diferencias, todo para tener un comparativo y así tener una

mejor visualización de estos y dar un mejor entendimiento a las personas que las

vean.

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8. BIBLIOGRAFÍA

1. Física Re – Creativa, Salvador Gil y Eduardo Rodríguez. Prentice Hall – Buenos

Aires. 2001.

2. Alonso, M. Finn, J.E., Física, volumen 1, Addison-Wesley Iberoamericana,

México, 1995.

3. Serway, Raymond A. FÍSICA, tomo 1, cuarta edición, McGraw-Hill, México,

1997.

4. Guías de laboratorio PASCO 2004

5. http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica (Fecha de búsqueda 15-09.2013)

6. https://sites.google.com/site/timesolar/fisicamatematica/pendiente (Fecha de búsqueda 15-09.13)