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Progetto SIGMAdare SIGnificato al fare MAtematica
Tema
DATI E PREVISIONIQuante combinazioni!
Laboratorio in “verticale” sviluppato nell’a.s. 2014/15 dai docenti: Luana Bacci (scuola dell’infanzia);Loretta Sestini (scuola primaria);Mario Petrillo (scuola sec. primo grado);Cecilia Magni (scuola sec. secondo grado)
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Il calcolo combinatorio è considerato un
tema piuttosto impegnativo e quindi
inadatto ad essere affrontato nella scuola
dell’obbligo.
Vogliamo invece mostrare, con le attività
che vi proponiamo, come in realtà sia un
argomento che può essere trattato
anche in modo molto concreto e
coinvolgente addirittura fin dalla scuola
dell’ Infanzia e come possa sviluppare
nei bambini e nei ragazzi la capacità di
organizzarsi per riuscire a padroneggiare
una situazione complessa.
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In particolare vogliamo affrontare attività relative a
quello che i matematici chiamano “principio
fondamentale del calcolo combinatorio” cioè quel
principio che ci permette, conoscendo il numero di
modi in cui possono essere fatte alcune scelte,di
ottenere il numero di tutte le possibili combinazioni.
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Facciamo un esempio
Supponiamo di dover ordinare al ristorante e che nel menù ci siano:
- 3 primi
pasta al ragù,tortellini in brodo,risotto con i funghi
- 3 secondi
bistecca alla brace, petto di pollo al limone, trota al forno
- 2 dolci
tiramisù,crostata
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In quanti modi diversi possiamo fare l’ordinazione?
Rappresentiamo la situazione con un “grafo ad albero”:
Percorrendo i vari “rami” dell’albero abbiamo pasti diversi: per esempio
seguendo le frecce in figura abbiamo ordinato pasta al ragù, bistecca,
tiramisù.
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Quindi, poiché ogni percorso-pasto termina nell’ultimo livello, per sapere
quanti pasti diversi possiamo ordinare basta contare le “terminazioni”
dell’albero, che nel nostro caso sono 18.
Il numero delle “terminazioni” si ottiene quindi moltiplicando
3 (possibilità per la prima scelta) *
3 (possibilità per la seconda scelta)*
2 (possibilità per la terza scelta)
Questo è il principio fondamentale del calcolo combinatorio.
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La nostra sperimentazione
La nostra sperimentazione consiste nel proporre attività sul
principio fondamentale del calcolo combinatorio per la scuola
dell’Infanzia, per la scuola Primaria , per la scuola secondaria
di primo grado e di secondo grado che , in modo diverso in
relazione all’età dei bambini e dei ragazzi, li aiutino a riflettere e
a organizzarsi per risolvere una situazione “complessa”.
E’ importante che i docenti osservino come i bambini o i ragazzi
cercano di risolvere il problema proposto senza suggerire la
soluzione, ma aiutandoli a scoprirla da soli.
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SCUOLA DELL’INFANZIA
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Candidi fiocchi stavano scendendo sul paesino di “Biancofiocco”. I bambini non attendevano altro,
tanta neve per poter finalmente costruire degli splendidi pupazzi.
Giovanni e Sofia, dopo l'abbondante nevicata, avevano passato il pomeriggio in giardino, a
costruire con cura il loro pupazzo di neve. Avevano usato due tappi di bottiglia per gli occhi, una
carota per il naso e un pezzo di stoffa rosso per la bocca.
-Che carino questo pupazzo, siamo stati bravi, vero sorellina? – esclamò felice Giovanni.
-Bellissimo, pare quasi vero, gli manca solamente... la parola! – disse Sofia.
- Brrrr…la parola...chi dice che i pupazzi di neve non parlino, eh? – fece una voce roca.
Chi aveva parlato?!I bimbi sul momento pensarono ad uno scherzo dei loro amici. Si guardarono
intorno, ma non videro nessuno.
-Ehi, piccoli! Dico a voi! – tuonò nuovamente la voce roca.
Sofia e Giovanni si girarono entrambi in direzione del pupazzo di neve, e videro che la sua bocca si
era spostata lievemente dalla posizione originale.
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-Si, si, sono proprio io che vi parlo! L'amico di neve che avete appena costruito – fece il pupazzo.
-Ma i pupazzi di neve non parlano... o almeno... -mormorò Giovanni.
-Ma io sono speciale, mi chiamo Snow! Sono veramente felice di fare la vostra conoscenza, mi
avete costruito molto bello, però ho molto freddo avrei bisogno di …qualcosa che mi scaldi –
disse il pupazzo.
-Ti potremmo mettere il mio cappello e la mia sciarpa rosa e dei bei bottoni rosa nella pancia –
disse Sofia
-Tutto rosa… non mi piace, gli metteremo il mio cappello e la mia sciarpa rossa oppure cappello
rosso e sciarpa verde e dei bellissimi bottoni gialli-disse Giovanni
I due fratellini iniziarono a litigare e non smettevano più.
Il pupazzo allora decise di intervenire
- Bambini io avrei un’idea! Portate le vostre sciarpe i vostri cappelli e i vostri bottoni e io deciderò
come vestirmi-
LB1
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Diapositiva 10
LB1 Luana; 21/02/2015
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I bambini non lo sapevano ma Snow era un pupazzo vanitoso che adorava provarsi sciarpe, cappelli
e bottoni.
I due fratelli passarono le ultime ore del pomeriggio a fargli provare le diverse combinazioni di
sciarpe cappelli e bottoni, che di volta in volta il pupazzo chiedeva.
-Ora andiamo fratellino! Mamma e papà ci stanno aspettando per la cena!- Disse Sofia
-Ciao, ciao Snow, domani torneremo a trovarti e continueremo a giocare! – dissero i due fratelli.
Il pupazzo, sperando che arrivasse presto il nuovo giorno, chiuse gli occhi e continuò a sognare
sciarpe cappelli e bottoni colorati.
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IL GIOCOIL GIOCO
Costruiamo un gioco comune
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In quanti modi posso vestire il mio pupazzo?Registriamo ogni combinazione che troviamo
In quanti modi posso vestire il mio pupazzo?Registriamo ogni combinazione che troviamo
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Costruiamo uno schema ad alberocontrolliamo se abbiamo trovato tutte le combinazioni
Costruiamo uno schema ad alberocontrolliamo se abbiamo trovato tutte le combinazioni
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Come mi vesto a Carnevale?
A Carnevale posso travestirmi scegliendo un cappello, un
vestito e un paio di scarpe: posso scegliere tra tre cappelli
diversi (fata, strega e mago), tre vestiti diversi (rosa, rosso e
blu) e due paia di scarpe (grosse e eleganti).
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In quanti modi diversi posso travestirmi?
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Cominciamo a prendere il cappello di fata:possiamo metterci il vestito rosa con le scarpe grosse o il vestito rosa con le scarpe eleganti;possiamo metterci il vestito rosso con le scarpe grosse o il vestito rosso con le scarpe eleganti;possiamo metterci il vestito blu con le scarpe grosse o il vestito blu con le scarpe eleganti.
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Quindi abbiamo 6 travestimenti diversi con il
cappello da fata.
Prendiamo poi il cappello da mago:anche in questo
caso avremo 6 travestimenti diversi
Prendiamo infine il cappello da strega:
anche con questo cappello avremo 6 travestimenti diversi.
Quindi avremo in tutto 6+6+6=18 travestimenti diversi!
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SCUOLA PRIMARIA
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E’ necessario
(in relazione all’età degli alunni):
- PORRE IL PROBLEMA e FORMULARE IPOTESI
- SPERIMENTARE
- RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE
- TABULARE I DATI
- VERIFICARE LE IPOTESI FORMULATE
- ESTRAPOLARE REGOLE
- PASSARE DALLA COMBINATORIA ALLA
PROBABILITA’
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Provo
COME MI VESTO?
COSA MANGIO?
IN QUALE ORDINE USCIAMO?
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Immagino
LE BANBIERE DEI PIRATI
I LETTI DEI NANETTI
I TAPPETI DI ALADINO
I FORZIERI DI ALI’ BABA’
APRITI SESAMO
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Realizzo
QUALI PAROLE POSSO OTTENERE?(parole da dividere in sillabe per formarne altre)
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Che combinazione!
(gioco da inventare con schede e
cartelle, in scatola)
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LIBRO-GAME
STORIA-GAM(tre personaggi,
due ambienti,
tre oggetti magici,
due antagonisti)
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Costruisco
- DOMINO da realizzare
- DADI da disegnare, ritagliare, montare
- LANCIO DI DADI
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SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO
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Vacanza studio all’estero!
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Supponiamo di poter scegliere:
- di soggiornare in tre città europee per migliorare la conoscenza
delle tre principali lingue straniere come Barcellona (per lo
spagnolo), Parigi (per il francese) o Londra (per l’inglese)
- il mezzo di trasporto che potrebbe essere il pulman, il treno
oppure l’areo
- infine il periodo: durante le vacanze estive oppure in inverno
durante le vacanze natalizie
Con questi presupposti in quanti modi diversi è possibile
organizzare il nostro soggiorno all’estero?
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… proviamo a costruire “l’albero” delle combinazioni possibili
scuola
Parigi
Barcellona
Londra
inverno
estate
pulmanaereo treno
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… percorrendo ogni ramo dell’albero abbiamo tutte le
combinazioni delle possibili gite, ad esempio, seguendo il ramo
colorato andiamo a Barcellona con il treno durante le vacanze
estive
ma quante sono tutte le combinazioni
delle possibili vacanze studio?
Basta contare il numero delle terminazioni dei rami
del nostro albero e scopriamo che
nel nostro caso sono 18!
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… ma noi grandi matematici non possiamo
sempre fare alberi e contare una ad una le
terminazioni dei loro rami!
Scopriamo come calcolare questo numero
dunque, considerando che abbiamo:
3 possibili città
3 possibili mezzi di trasporto e
2 possibili stagioni per andare in gita …
trovato! Basta fare ……………
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Indovina la password!
Inseriamo una password a protezione di un file (con la successione di comandi strumenti-opzioni-protezione se usiamo Word altrimenti introducendola a livello di salvataggio se usiamo Open Office) in cui per esempio avremo scritto soltanto “Avete indovinato la password…bravi!”.
Proponiamo agli studenti di scoprire la pw per aprire il file…..
Naturalmente dobbiamo stabilire il numero dei caratteri della pw, se ci possono essere solo numeri o anche lettere con ripetizione o meno..
Si può partire con pw semplici, per esempio di 3 cifre scelte tra le cifre1,2,3,4 eventualmente ripetute: già così abbiamo 4*4*4=64 pwdiverse!
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SUGGERIMENTI
Può essere divertente per gli studenti stabilire essi stessi
la pw di protezione di un loro file, sfidandosi per
esempio a coppie : è importante che comunichino alla
coppia avversaria la modalità di costruzione della pw e
che le pw siano della stessa difficoltà (per esempio una
pw di tre lettere scelte tra a,b,c,d ha la stessa difficoltà di
una pw di 3 cifre scelte tra 1,2,3,4).
E’ comunque fondamentale che comprendano
l’importanza di procedere utilizzando un “metodo” per
scrivere tutte le possibili pw fino ad arrivare a quella
giusta!
Sarebbe interessante proporre ai ragazzi di descrivere per
scritto il metodo o la strategia seguita per evitare di
inserire pw a caso e poi discuterne tutti insieme.
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SCUOLA SECONDARIA
DI SECONDO GRADO
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Codici segreti
Questa attività può essere svolta in una classe seconda della scuola secondaria
superiore come introduzione al calcolo combinatorio e al calcolo delle probabilità.
Si presuppone che gli studenti conoscano, dalla scuola media, la definizione classica
di probabilità di un evento come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili(tutti
ugualmente probabili)
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L’insegnante pone agli studenti, divisi in gruppi di lavoro, il seguente problema:
“Qual è la probabilità, al primo tentativo, di scoprire un codice di cinque cifre scelte tra le dieci cifre 0,1,2….9?”
Può darsi che qualche studente chieda subito se le cifre si possono ripetere oppure no:
l’insegnante risponderà allora che si devono distinguere i due casi.
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Caso in cui le cifre non si possono ripetere
Dalla discussione collettiva alla fine dovrebbe emergere che un buon metodo per visualizzare tutti i possibili codici che si possono formare è quello di un “grafo ad albero”.
Per scegliere la prima cifra ho tutte le dieci cifre a disposizione, per scegliere la seconda cifra, se non devo ripetere le cifre, ho solo nove cifre , per scegliere la terza cifra ho otto cifre possibili e così via ottengo
678910 ⋅⋅⋅⋅ codici diversi!
000033,030240
1
678910
1)( ≅=
⋅⋅⋅⋅=−− CODICEILINDOVINAREP
Cioè una probabilità dello 0,0033% !
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Caso in cui le cifre si possono ripetere
Per la prima cifra ho 10 possibilità, ma avrò 10 possibilità anche per la
seconda cifra visto che posso ripetere le cifre e così via fino alla quinta cifra
e quindi
In questo caso la probabilità di indovinare un codice al primo colpo sarà
ancora più bassa:
e quindi una probabilità dello 0,001% !
5101010101010 =⋅⋅⋅⋅ diversi possibili codici!
00001,010
1)(
5==−− CODICEILINDOVINAREP
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Giochiamo al lotto!
Ricordiamo che nel gioco del LOTTO vengono estratti (su ciascunaRuota) 5 numeri scelti tra i numeri da 1 a 90.
Se gioco un numero al LOTTO su una determinata ruota qual è la probabilità di vincere? (si parla di probabilità di vincere un “estratto semplice”)
Nota storica
E’ interessante far ricercare agli studenti le origini storiche del gioco del LOTTO: nel
XVI secolo a Genova venivano estratti a sorte, tra 90 candidati, i cinque
“Reggitori” che dovevano governare la Repubblica.
Poiché su questa estrazione la popolazione effettuava scommesse il gioco fu
regolamentato.
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In quanti modi diversi possono essere estratti i 5 numeri?
Bisogna guidare gli studenti ad osservare che questa situazione è diversa da quella del
codice segreto (o della pw) perché nel codice è importante l’ordine in cui si susseguono
i numeri mentre se per esempio vengono estratti i numeri
23 45 1 33 20
l’ordine dei numeri estratti non è affatto importante e se anche fossero stati
estratti in diversa successione avrei sempre gli stessi 5 numeri estratti.
Quindi il primo numero potrebbe essere
uno dei cinque (5 possibilità), il secondo numero potrebbe essere uno dei 4
rimanenti e così via….cioè avrei modi diversi di avere
sempre estratto gli stessi 5 numeri.
Quindi per trovare quanti gruppi di cinque numeri (cioè il numero delle
combinazioni di cinque numeri che si possono formare scegliendoli tra 90
numeri ) devo dividere per8687888990 ⋅⋅⋅⋅ 12345 ⋅⋅⋅⋅
12345
86878889905,90 ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=C
12345 ⋅⋅⋅⋅
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Ma allora come si calcola la probabilità di vincere un estratto semplice?
Abbiamo visto che tutti i casi possibili sono
Ma quanti sono i casi favorevoli?Occorre pensare che possono esserci tanti gruppidi 5 numeri che contengono il numero che ho giocato io: se per esempio ho giocato il 90 gli altri 4 numeri usciti possono essere 4 numeri tra i rimanenti 89 numeri cioè le combinazioni di 4 oggetti scelti tra 89 oggetti cioè
12345
86878889905,90 ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=C
Quindi abbiamo18
1
90
5)(
5,90
4,89 ===−C
Csempliceestrattop
1234
868788894,89 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=C
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Un ultimo spunto
Si può trarre spunto da questa attività sul gioco del lotto per parlare del concetto di
GIOCO EQUO.
Un gioco tra due giocatori A e B (oppure un giocatore e il banco) che scommettono
su un evento E (A scommette su E , B scommette sul non verificarsi di E cioè
sull’evento contrario che viene indicato con ), si dice equo quando
la somma rischiata da A e la somma rischiata da B (cioè il guadagno di A)
sono nello stesso rapporto delle rispettive probabilità di vincere di A e di B cioè
nello stesso rapporto tra i casi favorevoli e sfavorevoli ad E
Nota: se per esempio nel lancio di un dado scommetto sull’evento “esce il 6” se
rischio 10 euro devo guadagnare 50 euro perché il gioco sia equo poiché c’è 1 caso
favorevole e 5 sfavorevoli
E
)(:)(: EpEprr BA =
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Si capisce così che il gioco del LOTTO, come del resto tutti
giochi d’azzardo, non è un gioco equo e che quindi non
conviene giocare al Lotto!
Se il gioco del Lotto fosse un gioco EQUO quanto dovrebbe essere pagato
l’estratto semplice?
Poiché la probabilità di vincere è 1/18 e quindi la probabilità di perdere è
17/18 dovrei guadagnare 17 volte quello che ho rischiato (la “posta”) e
quindi l’estratto semplice dovrebbe essere pagato 18 volte la posta .
Invece l’estratto-semplice viene pagato solo 11,232 volte la posta!
Nello stesso modo si può controllare, con il calcolo delle probabilità, che
anche l’ambo, il terno, la quaterna e la cinquina vengono pagati molto meno
di quello che dovrebbero perché il gioco fosse equo.