labor rob ts fel fall 2012

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут» Факультет електроніки

Кафедра фізичної та біомедичної електроніки

А. О. Попов, Г. С. Порєва,

Є.С. Карплюк, В. О. Фесечко

Теорія сигналів

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт

для студентів напряму

6.050801 – мікро- та наноелектроніка

Рекомендовано Вченою радою факультету електроніки НТУУ «КПІ»

Київ – 2012

Попов, А. О. Теорія сигналів: методичні вказівки до виконання лабораторних робіт для студентів напряму 6.050801 – мікро- та наноелектроніка / А.О. Попов, Г.С. Порєва, Є.С. Карплюк, В.О. Фесечко. – К. : НТУУ «КПІ», 2012. – 34 с.

Гриф надано Вченою радою ФЕЛ НТУУ «КПІ»

(протокол № 03/12 від 26.03.2012 р.)

Затверджено на засіданні кафедри фізичної та біомедичної електроніки

(протокол № 12 від 18.01.2012 р.)

Навчально-методичне видання ТЕОРІЯ СИГНАЛІВ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ ДЛЯ СТУДЕНТІВ НАПРЯМУ

6.050801 – МІКРО- ТА НАНОЕЛЕКТРОНІКА

Укладачі:

Антон Олександрович Попов, к.т.н., доцент, доцент кафедри фізичної та біомедичної електроніки

Ганна Сергіївна Порєва, асистент кафедри фізичної та біомедичної електроніки

Євгеній Сергійович Карплюк, к. т. н., асистент кафедри фізичної та біомедичної електроніки

Володимир Опанасович Фесечко, к. т. н., професор, професор кафедри фізичної та біомедичної електроніки

Відповідальний редактор В. І. Тимофєєв, д. т. н., проф. Рецензент: О. В. Борисов, к. т. н., проф.

За редакцією укладачів

3

ЗМІСТ

ВСТУП.............................................................................................................................. 4

Вимоги до оформлення протоколів лабораторних робіт та порядок захисту .......... 5

Лабораторна робота № 1 «Основи програмування в середовищі MatLAB,

побудова функцій користувача».................................................................................... 6

Лабораторна робота № 2 «Реєстрація сигналів в MatLAB» ..................................... 10

Лабораторна робота № 3 «Моделювання лінійних дискретних систем в часовій та

частотній областях» ...................................................................................................... 12

Лабораторна робота № 4 «Спектральний та спектрально-часовий аналіз сигналів

за Фурьє» ........................................................................................................................ 15

Лабораторна робота № 5 «Фільтрация сигналів» ...................................................... 23

Лабораторна робота № 6 «Вейвлет-аналіз сигналів» ................................................ 27

Лабораторна робота № 8 «Кореляційний аналіз сигналів» ...................................... 29

Лабораторна робота № 7* «Спектральний аналіз сигналів за Уолшем та Хартлі» 30

Рекомендована література ............................................................................................ 34

4

ВСТУП Лабораторні роботи з дисципліни «Теорія сигналів» призначені для практичного

підтвердження окремих теоретичних положень дисципліни, набуття практичних навичок роботи з обчислювальною технікою та вимірювальною апаратурою, оволодіння методикою експериментальних досліджень в галузі перетворення сигналів та обробки і аналізу отриманих результатів, а саме для ознайомлення з методами та алгоритмами обробки та аналізу сигналів. В результаті виконання циклу лабораторних робіт студенти повинні набути практичних навичок обробки різноманітних сигналів фізичних та технічних систем.

Головна увага приділяється методам цифрової обробки сигналів. Всі лабораторні пропонується виконувати з використанням MatLAB – одної з найбільш вживаних в науковому та інженерному світі мови для реалізації технічних обчислень та математичного моделювання. В роботах послідовно вивчаються основні функціональні можливості системи MatLAB [1-3] у застосуванні до аналізу та обробки сигналів, методи моделювання дискретних систем в часовій та частотній області, запис та зчитування даних з файлів, способи реєстрації в MatLAB сигналів із зовнішніх пристроїв, перетворення Фурьє, Уолша, Хартлі, вейвлет-перетворення. Також досліджується робота цифрових фільтрів. В лабораторних роботах використовуються як спеціальні тестові сигнали, так і реальні сигнали електрокардіограм та електроенцефалограм.

Завдання для лабораторних робіт поділені на дві частини: обов’язкові, які призначені для опанування мінімально необхідними навичками обробки сигналів в системі MatLAB, та додаткові (позначені зірочкою), які призначені для виконання студентами, що прагнуть більш глибоко вивчити питання обробки та аналізу сигналів.

Виконання лабораторних робіт дозволить студентам освоїти середовище MatLAB для моделювання сигналів та більш глибоко вивчити сучасні методи обробки сигналів для їх використання в електронних фізичних та біомедичних інтелектуальних системах.

5

Вимоги до оформлення протоколів лабораторних робіт та порядок захисту

Протоколи лабораторних робіт друкуються з одного боку білого паперу формату А4

шрифтом не менше 10-го. Титульний аркуш повинен містити: – назву дисципліни; – номер та назву роботи; – прізвище та номер групи студента, який його здає. Вимоги до протоколу: – протокол виконання роботи оформлюється один на кожного студента. У випадку

виявлення ідентичних за змістом протоколів, студенти не допускаються до виконання всіх наступних робіт без допуску, підписаного завідувачем кафедри.

– в протоколі повинні бути викладені: мета роботи, завдання, лістінг коду програми, належно оформлені графіки та рисунки, рукописні висновки;

– в протоколі повинні бути відображені результати виконання всіх пунктів завдання (у випадку повторення завдань з різними початковими умовами – один приклад на кожний пункт, де є повторення);

– лістінг коду програми повинен містити код для виконання всіх пунктів завдання з всіма повтореннями;

– висновки не повинні дублювати завдання та мету роботи, а повинні містити оцінку та аналіз результатів, отриманих в роботі, порівняння практичних результатів з теоретичними положеннями.

Для допуску до захисту необхідно мати: - правильно оформлений протокол; - електронний варіант програми та протоколу. Захист: – захист лабораторних робіт проводиться індивідуально з використанням протоколу. – користуватися допоміжною літературою під час здачі роботи не дозволяється.

6

Лабораторна робота № 1 «Основи програмування в середовищі MatLAB, побудова функцій користувача»

Мета роботи: Ознайомлення з основними операціями у середовищі MatLAB на прикладі

використання стандартних функцій, побудови файлів-сценаріїв та створення функцій користувача.

Основні теоретичні відомості

Система MatLAB (скорочено від MATrix LABoratory – матрична лабораторія) є мовою

технічних обчислень та є найбільш поширеною у світі системою для виконання наукових та інженерних розрахунків. До основних переваг системи можна віднести:

– математичний апарат у MatLAB наближений до звичного математичного апарату інженера, а правила виконання обчислень орієнтовані на роботу з матрицями та комплексними числами;

– мова програмування системи MatLAB є простою та зручною. невелика кількість операторів доповнюється великою кількістю вбудованих та додаткових спеціальних функцій;

– MatLAB є відкритою системою, тому можна використовувати у власних програмах вбудовані функції та створювати нові функції та сценарії і користуватися ними надалі.

Робота у середовищі MatLAB може відбуватися у двох режимах: 1) в режимі калькулятора, коли формули вводяться в командному вікні, туди ж виводяться результати обчислення, користувач може присвоювати результати змінним, керувати пам’яттю, викликати та використовувати вбудовані функції, будувати графіки; 2) шляхом виконання програми, написаної користувачем на мові MatLAB.

MatLAB надає не тільки мову програмування високого рівня, а також має функції, властиві операційним системам. Він має багато можливостей, які забезпечують діалог з користувачем у режимі командного рядку або з графічним інтерфейсом, перегляд робочої області та шляхів доступу до файлів MatLAB, редактор m-файлів, можливість експорту та імпорту даних іншим апаратним та програмним системам.

До системи MatLAB разом з вбудованими функціями входять пакети прикладних програм (toolbox), в яких зібрані функції, присвячені вирішенню спеціалізованих інженерних задач, наприклад:

– Signal Processing Toolbox (Обробка сигналів) – набір програм для детермінованого та статистичного спектрального аналізу, апроксимації передавальних функцій, побудови фільтрів зі скінченною та безкінечною імпульсними характеристиками, фільтрації, параметричного моделювання сигналів, обробки звуку, модуляції, генерування стандартних сигналів, розрахунку когерентності та кореляції;

– Image Processing Toolbox (Обробка зображень) – програми для візуалізації зображень різних форматів, обробки та аналізу зображень, фільтрації, роботи з кольорами;

– Statistics Toolbox (Статистика) – набір програм для оцінки параметрів законів розподілу, функцій густин імовірностей, генерації випадкових чисел, побудови лінійних та нелінійних моделей випадкових сигналів, кластерного аналізу та аналізу незалежних компонент, перевірки гіпотез;

– Mapping Toolbox (Робота з картами) – програми для обробки географічних даних; – Symbolic Math Toolbox (Символьна математика) – програми для символьних обчислень

та спрощень символьних виразів; – Fuzzy Logic Toolbox (Нечітка логіка) – програми для реалізації апарату нечіткої логіки; – Neural Network Toolbox (Нейронні мережі) – програми для створення нових нейронних

мереж, їх навчання за різними алгоритмами та для оцінки їх роботи; – Wavelet Toolbox (Вейвлет) – програми для проведення вейвлет-розкладу сигналів у

базисах вейвлетів, створення вейвлет-фільтрів, стиснення і знешумлення сигналів за допомогою вейвлетів;

– Control System Toolbox (Системи управління) – набір програм для моделювання лінійних інваріантних в часі систем, аналізу моделей у часовій та частотній областях;

7

– Optimization Toolbox (Оптимізація) – одномірна та багатомірна мінімізація функцій, пошук нулів та екстремумів, вирішення задач лінійного та квадратичного програмування;

– Matrix functions - numerical linear algebra (Матричні функції – чисельна лінійна алгебра) – набір програм для дослідження матриць (обчислення слідів, норм, рангу, визначників), вирішення алгебраїчних рівнянь, обернення матриць, факторизації, обчислення власних векторів та власних значень, матричних функцій;

– Data Acquisition Toolbox (реєстрація даних) – програми для отримання даних з зовнішніх пристроїв.

Робоча область MatLAB – це область пам‘яті, у якій розташовані змінні, з якими працює система MatLAB.

Система MatLAB використовує поняття поточного каталогу під час сеансу роботи, та список шляхів доступу до файлів.

З метою ознайомлення з принципами побудови функції користувача, розглянемо приклад побудови програми для дослідження математичної моделі відносин «хижак-жертва».

Розглянемо математичну модель спільного існування двох біологічних видів, яку називають моделлю Вольтерра-Лоткі або моделлю «хижак-жетрва».

Нехай існують два біологічних види, які спільно мешкають у деякому ізольованому місці. Навколишнє середовище вважається стаціонарним та забезпечує вид “жертв” всім необхідним для існування. Інший вид, “хижаки” також знаходиться в стаціонарних умовах, але живиться лише представниками першого виду (“жертвами”). Такими простими моделями можна приблизно описувати взаємодію популяцій карасів та щук, зайців та вовків, мікробів та антитіл, лемінгів та песців.

Побудуємо найпростішу модель розвитку популяцій хижаків та жертв. Для спрощення моделі будемо вважати їх чисельності неперервними функціями часу. До обмежень пропонованої моделі також відноситься те, що в ній не враховані просторові параметри взаємодії хижаків та жертв, залежності між величинами вважаються лінійним. Також ця модель не враховує існуючої еволюції видів жертв та хижаків.

Змінними величинами в моделі будуть:

X X t – кількість жертв,

Y Y t – кількість хижаків.

Запишемо перше рівняння моделі, яке описує зміну з часом кількості жертв. Зміна кількості dX жертв за час dt буде відбуватися внаслідок трьох причин. Оскільки

обмежень у кількості ресурсів їжі для жертв немає, то вони будуть необмежено розмножуватися пропорційно кількості: 1dX Xdt . Коефіцієнт пропорційності – узагальнений коефіцієнт,

який залежить від умов життя та народжуваності жертв. Зменшення кількості жертв буде відбуватися внаслідок вимирання популяції: кількість таких померлих жертв буде пропорційною загальній кількості існуючих жертв: 2dX Xdt . – коефіцієнт

пропорційності, який враховує природну смертність. Зміну кількості жертв внаслідок природних причин (якщо хижаки відсутні) можна записати:

12dX Xdt Xdt Xdt Xdt , де – сумарний коефіцієнт, 0 , який

відображає умови навколишнього середовища, народжуваність та смертність жертв за відсутності хижаків. Для знаходження змісту цього коефіцієнта розв‘яжемо рівняння для

деякого проміжку часу 0,t :

0

,

1.

b

a

X t

X

dXdX Xdt dt

X

dX dtX

Проінтегруємо:

8

ln 0 ln bb a

a

XX X t t

X

.

Якщо за час t кількість жертв збільшилася в e разів, то можна записати:

ln 1

1,

ae e

a

e

eXt t

X

t

тобто коефіцієнт – величина, обернена часу, за який кількість жертв збільшується в e

разів. Але оскільки в екосистемі присутні також і хижаки, які живляться жертвами, то

кількість жертв буде зменшуватися внаслідок виїдання хижаками. З‘їденою буде кількість жертв, яка пропорційна кількості хижаків та кількості жертв: 3dX XYdt . Коефіцієнт

пропорційності – сумарний коефіцієнт, який враховує кількість жертв, які можуть бути

з‘їдені одним хижаком, а також ймовірність зустрічі хижака з жертвою. Отже, перше рівняння моделі запишеться так:

,dX Xdt XYdt

dX

X XYdt

. (1)

Запишемо друге рівняння моделі, яке буде описувати зміну кількості хижаків. Оскільки

хижаки живляться тільки жертвами, то без присутності жертв популяція хижаків буде зменшуватися. Число 1dY померлих без їжі за час dt хижаків буде пропорційним кількості

хижаків: 1dY Ydt , де коефіцієнт – показник пропорційності, отриманий аналогічно

такому ж показнику для першого рівняння моделі. Але за присутності жертв хижаки зможуть збільшувати свою популяцію пропорційно і

своїй кількості і кількості жертв: 2dY XYdt , де – коефіцієнт пропорційності, який

враховує здатність хижаків до розмноження та ймовірність зустрічі хижака з жертвою. Отже, друге рівняння моделі можна записати:

dY Ydt XYdt ,

dY

Y XYdt

. (2)

Система отриманих диференціальних рівнянь:

dXX XY

dtdY

Y XYdt

(3)

називається моделлю Вольтерра-Лоткі. Набір коефіцієнтів , , , є параметрами

моделі. Орієнтовні значення параметрів: Народжуваність [0.01 0.1]

Природна смертність жертв 5[0 10 ]

Тиск хижака 2[0 10 ]

9

Смертність хижаків 1[0 10 ]

Коефіцієнт хижацтва 6 4[10 10 ]

Порядок роботи Частина 1. 1. Ознайомитися з командним вікном MatLAB, поняттями робочої області та шляхів

доступу. 2. Ознайомитися з правилами введення змінних, представлення даних у MatLAB.

Ознайомитися з операціями над числами, матрицями. 3. Ознайомитися з правилами виклику функцій MatLAB. 4. Ознайомитися з роботою команди HELP. 5. Ознайомитися з роботою функції plot для побудови графіків у MatLAB. Побудувати

графік заданої функції, позначити вісі та заголовок графіку (функції xlabel, ylabel, title), нанести координатну сітку (функція grid).

6. Ознайомитися із роботою функцій генерації випадкових чисел (rand, randn, randi) із заданими густинами розподілу імовірності.

7. Ознайомитися з роботою функції hold, побудувати два графіки в одному вікні. 8. Ознайомитися з роботою функцій save та load, зберегти дані розрахунку в файл.

Прочитати їх із файлу в іншому сценарії, побудувати графік. 9. Ознайомитися з роботою функції subplot, побудувати графіки синусоїд частот 1, 2, 5,

10, 20 Гц та випадкових амплітуд з її допомогою. 10. Ознайомитися роботою функцій strips та chirp. Побудувати з їх допомогою графік

сигналу змінної частоти. 11. Ознайомитися з роботою функцій pulstran, gauspuls, rectpuls, tripuls, sinc. Побудувати

графіки послідовності імпульсів (гаусових, прямокутних, трикутних, функцій Котельникова). 12. Написати файл сценарію, що будує графіки синусоїдального сигналу, послідовності

прямокутних імпульсів та постійного сигналу в різних вісях у одному вікні. Тривалість сигналів – 1 сек., частота дискретизації 256 Гц.

13. Ознайомитися з роботою функцій num2str, disp. Побудувати графік зваженої суми сигналів з п. 12, значення коефіцієнтів задати з клавіатури та вивести на екран в заголовку графіка.

Частина 2. 14. Написати програму для дослідження моделі Вольтерра-Лоткі. 15. Розв‘язати систему (3) методом Рунге-Кутти за допомогою функції MATLab ode45 та

отримати залежності кількості жертв та хижаків з часом для заданих параметрів моделі. 16. Знайти момент часу, коли вперше кількість хижаків дорівнює кількості жертв.

Побудувати залежність цього моменту часу від параметра .

17. Знайти максимальну та мінімальну кількості хижаків та жертв. 18*. Знайти тривалості періодів між досягненнями максимальних кількостей хижаків та

жертв.

10

Лабораторна робота № 2 «Реєстрація сигналів в MatLAB»

Мета роботи: набути навичок роботи з функціями запису та зчитування даних різних

форматів а також з сигналами, зареєстрованим зовнішніми пристроями в MatLAB.


Для імпорту (експорту) даних у робочу область системи MatLAB використовуються такі

способи: – вручну у вигляді списку; – формування даних у m-файлі; – завантаження (запис) даних у ASCII-файли; – зчитування (запис) даних з використанням спеціальних функцій вводу/виводу (для

роботи з звуковими, графічними файлами та т.і.); – використання mat-файлів MatLAB.

Порядок роботи Вісі на всіх графіках, яки треба включити в протокол, необхідно належним чином

підписати (виходячи із частоти дискретизації та фізичних величин, які вимірюються). Вісі повинні бути правильно промасштабовані.

1. Прочитати за допомогою функції load в робочу область сигнал ЕКГ, отриманий з

допомогою комп’ютерного електрокардіографа та збережений у mat-файлі. Вивести графік, позначити вісі. (файл архіву ECG_rec.rar на сайті, обрати сигнал згідно номеру за списком; ЕКГ дискретизована з частотою 400 Гц, значення напруги в мілівольтах отримується діленням величин відліків на 500). Визначити (програмно) тривалість записаного сигналу.

2. Прочитати за допомогою функції load в робочу область сигнали ЕЕГ здорової та хворої людини, отримані з допомогою комп’ютерного електроенцефалографа та збережені у mat-файлі. Вивести графік, позначити вісі. (файли архіву EEG_healthy.rar та EEG_sick.rar на сайті, обрати сигнал згідно номеру за списком; ЕЕГ дискретизована з частотою 256 Гц,

11

значення напруги подано в мікровольтах). Визначити (програмно) тривалість записаного сигналу.

3. Прочитати в робочу область сигнал внутришньочерепного тиску за допомогою функції fscanf (файл TBI_ICP.txt; сигнал одноканальний, записаний з частотою дискретизації 125 Гц, одиниці виміру – ммHg), вивести графік на екран, позначити вісі. Зберегти отриманий сигнал у вигляді mat-файлу.

4. Прочитати в робочу область сигнал артеріального тиску (файл TBI_ABP.txt; сигнал одноканальний, записаний з частотою дискретизації 125 Гц, одиниці виміру – ммHg) за допомогою функції textread, вивести графік на екран, позначити вісі. Зберегти отриманий сигнал у вигляді mat-файлу. Визначити тривалість записаного сигналу.

5. Побудувати файл-функцію для виводу на графік ділянки сигналів, отриманих в пп. 1-4. В функцію передавати: час початку та закінчення ділянки (в секундах), вектор з відліками сигналу, а також інші необхідні дані. Передбачити перевірку правильності введення моментів часу.

6. Побудувати файл сценарію для виводу на графік потрібної ділянки сигналів, отриманих в пп. 1-4. Значення початку та закінчення ділянки задавати з клавіатури.

7*. Прочитати в робочу область сигнал, отриманий з допомогою комп’ютерного електроецефалографа (eeg.txt; сигнал має 19 каналів електроенцефалограми, також зареєстровано один канал ЕКГ та канал з маркерами лікаря. Відведення сигналів розташовані по стовпцям, перший стовпець містить відліки часу. Перший рядок містить службову інформацію). Використати функції fgetl, sscanf.

8*. Побудувати функцію, яка виводить на екран обрані відведення ЕЕГ (п. 7) в одному вікні з можливістю задавати потрібний діапазон значень початкового та кінцевого часу відрізку сигналу. Значення задавати з клавіатури в ході роботи програми.

9. Зареєструвати за допомогою реанімаційного монітору багатоканальний сигнал ЕКГ та сигнал плетизмограми, зберегти дані у вигляді бінарного файлу.

Частота дискретизації сигналів дорівнює 151.51 Гц в кожному каналі. В бінарному файлі відліки відведень розташовані по стовпцях. Кожний рядок відповідає окремому відведенню.

Прочитати дані з бінарного файлу в робочу область MatLAB, вивести графіки всіх сигналів на екран в одному вікні за допомогою функції subplot. Зберегти отримані сигнали в матриці у mat-файлі.

10. Записати звук тривалістю 5 сек. в робочу область за допомогою функції wavrecord. Записати однакові фрази з частотою дискретизації 8 кГц та 44.1 кГц. Записати дані в .wav- файл. Засобами операційної системи оцінити об’єм пам’яті, необхідний для збереження сигналу.

11. Прочитати з файлу та прослухати отримані записи з допомогою функції wavread. Засобами MatLAB отримати з файлу дані про частоту дискретизації та кількість бітів на відлік.

12. Побудувати функцію, яка будує графік запису звуку заданої тривалості. Значення початку та закінчення ділянки задавати з клавіатури.

13*. Сформувати випадковий сигнал тривалістю 100 000 відліків. Сформувати синусоїдальний сигнал тривалістю 50 періодів з частотою дискретизації 100 відліків/період. Для задавання відліків аргументу можна використати функцію linspace. Прослухати ці сигнали з допомогою функції sound з частотами дискретизації 100 Гц, 1000 Гц, 10 кГц. Зробити висновки.

12

Лабораторна робота № 3 «Моделювання лінійних дискретних систем в часовій та частотній областях»

Мета роботи: дослідити роботу лінійних систем обробки дискретних сигналів; набути

навичок моделювання лінійних стаціонарних дискретних систем в MatLAB.

Основні теоретичні відомості Математичне моделювання обробки сигналів лінійною дискретною системою (ЛДС)

включає в себе: – розрахунок характеристик ЛДС в часовій області, z-області, та частотній області; – розрахунок реакції ЛДС на вхідний сигнал по різницевому рівнянню; – аналіз вхідних сигналів та реакцій ЛДС в часовій та частотних областях. В MatLAB математичною моделлю ЛДС називають співвідношення між входом та

виходом у вигляді різницевого рівняння або системи рівнянь, які дозволяють розрахувати реакцію системи на заданий вхідний вплив.

В часовій області основною характеристикою ЛДС є імпульсна характеристика h n , а

моделювання роботи ЛДС (розрахунок реакції) виконується з використанням одного з таких співвідношень між входом та виходом:

1. Різницевого рівняння

0 1 1

1 2 1

1 ... 1

1 2 ... 1

N

M

y n b x n b x n b x n N

a y n a y n a y M

яке задається векторами коефіцієнтів 0 1 1, ,..., Nb b b b та 0 1 1, ,..., Ma a a a . В MatLAB

всі функції аналізу систем побудовані для випадку, коли перший елемент вектору коефіцієнтів

а дорівнює одиниці: 0 1a .

2. Формули згортки

0 0k k

y n x k h n k h k x n k

3. Системи рівнянь змінних стану. В z-області основною характеристикою ЛДС є характеристична (схемна) функція:

1

11 20 0 1 2 11 11 2

1 2 1

0

...

1 ...

Nn

Nnn N

M Mm M

mm

b zY z b b z b z b z

H zX z a z a z a za z

,

яка, подібно до різницевого рівняння, задається векторами коефіцієнтів b та a та може мати різні вигляди математичного запису.

В частотній області основною характеристикою ЛДС є комплексна частотна характеристика, а також її модуль (амплітудно-частотна характеристика, АЧХ) та аргумент (фазо-частотна характеристика, ФЧХ):

arg jj H e jj jH e H e e K e

.

Порядок роботи

Моделювання роботи ЛДС з використанням різницевого рівняння. 1. На основі власної дати народження записати два різницевих рівняння:

13

3 1 1 22 4 2 21 2 3 4 510 20 20 30 20 20

P D M MM P D My n x n x n x n x n x n x n

(1)

1 2 4 2 2 21

3 1 1 22 4 2 2

2 1 2 3 530 40 50 50

1 2 3 4 510 20 20 30 20 20

D D P D M DDy n y n y n y n y n

P D M MM P D Mx n x n x n x n x n x n

(2)

Сформувати вектори коефіцієнтів рекурсивної та не рекурсивної частини двох лінійних дискретних систем.

2. Сформувати відліки синусоїдального сигналу частоти 10 Гц тривалістю 2 сек. амплітуди 1 В, дискретизованого з частотою 256 Гц. Розрахувати реакцію систем (1) та (2) на отриманий сигнал (функція filter) для двох випадків:

2.1. нульові початкові умови 2.2. випадкові початкові умови (скористатися функцією rand) Побудувати графіки вхідного та вихідного сигналів в одному вікні, позначивши точки

графіку, що відповідають відлікам, та огинаючі графіків. Побудувати в окремому вікні та порівняти перші 0.1 сек. вхідного та вихідного сигналу. Зробити висновки.

3. Програмно визначити коефіцієнт передачі напруги систем 1 і 2 на частоті 10 Гц, а також різницю фаз між вихідним і вхідним сигналом.

4. Розрахувати за допомогою функції filter перші 50 відліків імпульсної характеристики систем (1) та (2) подавши на вхід системи потрібний тестовий сигнал. Побудувати графіки вхідних та вихідних сигналів (функція stem), зробити висновки.

5. Розрахувати імпульсну характеристику систем (1) та (2) по коефіцієнтам різницевих рівнянь з використанням функції impz. Розрахувати 50 та 500 відліків. Порівняти результати з результатами п. 3, побудувати графіки, зробити висновки.

6. Сформувати два синусоїдальних сигнали частоти 3 та 20 Гц тривалістю 1 с. Проілюструвати властивість адитивності системи, визначивши реакцію системи спочатку на кожний з сигналів окремо, а потім на суму цих сигналів.

Проілюструвати властивість однорідності системи. Моделювання роботи ЛДС з використанням рівняння згортки. 7. Розрахувати реакцію систем (1) та (2) на сигнал з п. 2 з використанням функції

розрахунку згортки conv. Побудувати графіки вхідного та вихідного сигналу, аналогічні п. 2 (з нульовими початковими умовами). Порівняти з результатами виконання п. 2. Зробити висновки.

8. Відновити імпульсну характеристику ЛДС (1) та (2) по відомим реакції та вхідному сигналу з використанням результатів п. 6 (функція deconv). Зробити висновки.

Моделювання роботи ЛДС в частотній області. 9. Обчислити комплексну частотну характеристику систем (1) та (2) з використанням

функції freqz, побудувати графіки АЧХ та ФЧХ. Розрахувати 100 значеннь КЧХ: 9.1. для частоти дискретизації 256 Гц; 9.2. для частоти дискретизації 1024 Гц. Зробити висновки. 10. Розрахувати АЧХ та ФЧХ систем (1) та (2) по обчисленій в п. 9 комплексній

частотній характеристиці з використанням функцій abs та phase. Побудувати графіки, порівняти з результатами п.9. Зробити висновки щодо характеру зміни модуля коефіцієнта передачи системи з частотою. Порівняти дві системи.

11. Побудувати функцію, яка визначає значення АЧХ та ФЧХ систем 1 та 2 на довільній частоті. Перевірити за допомогою отриманої функції правильність розрахунків з п. 3, зробити висновки.

14

12. Розрахувати реакцію ЛДС (1) та (2) на послідовність прямокутних імпульсів зі шпаруватістю 30 %. Побудувати графіки вхідного та вихідного сигналів, зробити висновки щодо спотворення вихідного сигналу відносно вхідного.

13. Розрахувати реакцію ЛДС (1) та (2) на вхідний сигнал виміряної раніше власної ЕКГ тривалістю 5 секунд. Побудувати графіки вхідного та вихідного сигналів.

14. Розрахувати реакцію ЛДС на записаний звуковий сигнал. Прослухати вихідний сигнал. Зробити висновки щодо спотворень, які вносять до сигналів системи (1) та (2).

Контрольні питання

1. Як описується робота лінійних систем в часовій, частотній та z-області? 2. Як визначається імпульсна характеристика системи та для чого її можна

використати? 3. Як засобами Матлаб розрахувати реакцію системи на вхідний сигнал?

15

Лабораторна робота № 4 «Спектральний та спектрально-часовий аналіз сигналів за Фурьє»

Мета роботи: дослідити зв’язок між часовими та спектральними характеристиками

сигналів; набути навичок використання основних засобів спектрального та спектрально-часового аналізу сигналів за Фурьє у середовищі MatLAB.


Будь-яку неперервну функцію f t , що описує фізичний сигнал, можна представити у

вигляді зваженої суми більш простих складових функцій з набору 0n n

t

:

0

n nn

f t a t

,

де na - коефіцієнти розкладу.

У випадку, коли обраний дослідником набір функцій складає ортогональний базис,

коефіцієнти na розкладу сигналу f t в базисі 0n n

t

отримуються як проекція сигналу

f t на відповідну базисну функцію:

*n na f t t dt

.

Тут зірочка позначає комплексно спряжену функцію. Кожний коефіцієнт na показує

кількісний вклад відповідної елементарної складової n t у досліджуваний сигнал. Якщо

проекція сигналу на певну базисну функцію велика, це значить, що сигнал великою мірою схожий на дану функцію, тобто вони мають спільні властивості. У загальному випадку повної

системи функцій набір 0n n

a

повністю характеризує досліджуваний сигнал, описуючи

можливий вклад в нього всіх функцій з базису. Для випадку, коли сигнали та базисні функції є дискретними, їх можна розглядати як

впорядковані набори чисел – вектори. Проекція сигналу на базисну функцію обчислюється за формулою скаляного добутку двох векторів:

1

*

0

, 0, 1N

kn

a k f n n k N

,

де a k n-ий коефіцієнт розкладу сигналу в базисі;

f n дискретна функція, яка описує сигнал, 1,k K ;

k n n-та базисна функція.

Серед розповсюджених базисів у практиці обробки сигналів можна вказати базис тригонометричних функцій (розклад за Фурьє), вейвлетів, функцій Уолша, поліномів Лежандра, Ерміта, Чебишова, локалізовані тригонометричні базиси.

У випадку, коли для дослідника бажано отримати уяву про те, як можна скласти даний сигнал з гармонічних коливань, використовується розклад за тригонометричним базисом (Рис. 1).

16

0 Гц

1 Гц

2 Гц

3 Гц

10 Гц

30 Гц

Рисунок 1 – Приклади базисних функцій ортогонального тригонометричного

базису

Базисний набір ортогональних функцій при розкладі за Фурьє складається з синусоїдальних або косинусоїдальних коливань кратних частот:

0 0 0 0 0 0

0 0

1, sin , cos , sin 2 , cos 2 , sin 3 , cos 3 ,...

sin( ), cos , 0, 1, 2,...

n t t t t t t t

n t n t n

0 - деяка найменша частота для даного базису («основна» частота), частоти всіх

гармонічних функцій в базисі є кратними цій частоті. Такі базисні функції періодичні з кратним періодом, тому будь-яка їх сума теж буде

періодичною функцією. Через це нескінченний періодичний сигнал можна точно представити в такому базисі у вигляді

0 0 00 0

sin cos cosn n n nn n

f t a n t b n t A n t

Реальні сигнали, які зустрічаються в техніці, задані не для всіх значень часу від -∞ до

+∞, а на певному проміжку спостереження 0,t T . Для того, щоб скористатися апаратом

розкладу таких сигналів у тригонометричному базисі, вважають, що за межами цього проміжку

сигнал повторюється, тобто функція f t є періодичною з періодом Т. В цьому випадку

основна частота визначається так: 0

2

T

.

Набір значень амплітуд гармонічних складових 0n n

A

називають амплітудним

спектром сигналу, а набір початкових фаз гармонік 0n n

- фазовим спектром.

Вираз для отримання спектру дискретного сигналу, заданого N відліками, можна записати у вигляді:

21

0

1, 0, 1

N j nkN

n

S k f n e k NN

.

17

При такому записі S k – комплексна амплітуда гармоніки 2

j nkNe

:

, argn nA S n S n .

Використання тригонометричного базису доцільне в тому випадку, коли у сигналі потрібно знайти можливу періодичність, наявність та вираженість синусоідальних компонентів. Для виявлення у сигналі інших властивостей необхідно обрати для розкладу інший базис, який обрано або створено для відповідних цілей.

Задачі розкладання функції у різних базисах використовують у обробці та аналізі сигналів, стисненні, знешумленні, фільтрації, кодуванні, розпізнаванні образів, у експертних системах.

Для позбавлення від ефекту Гіббса треба усунути нерівність значень сигналу на початку та в кінці проміжку, на якому він заданий (на інтервалі часу вимірювання). Перетворення Фурьє дискретного скінченого сигналу дасть нам правильний результат тільки у випадку, коли в проміжок аналізу потрапляє ціла кількість періодів синусоїдальних компонент з частотою, яка кратна основній частоті («фундаментальній частоті»), в цьому випадку не буде явища розтікання спектру.

Можна застосовувати інший підхід – використати так звані вагові функції (віконні функції). В цьому випадку сигнал перед розрахунком дискретного перетворення Фурьє

перемножається на деяку вагову функцію w k , яка повинна спадати біля кінців того

сегменту, на якому ми розглядаємо сигнал. Вираз для прямого перетворення Фурьє в цьому випадку матиме вигляд:

j tF f t w t e dt

21

0

N j nkN

n

F k f n w n e

Якщо розглядати процес множення у часовій області, то ми побачимо, що в разі, коли

вагова функція має максимум в центрі аналізованої ділянки сигналу 2

Nn і спадає до її країв,

це приводить до послаблення ефектів, які зв’язані зі стрибками сигналу при періодичному повторенні аналізованої послідовності, а отже, до зменшення ефекту Гіббса.

Така операція називається зважуванням, віконним перетворенням, перетворенням з вікном, windowing.

Але ми платимо за зменшення розтікання спектру сигналу тим, що спотворюємо його спектр самі, бо зміна амплітуд відліків сигналу в часі не може не привести до зміни його спектру. Треба мати на увазі, що, згідно з властивостями перетворення Фурьє, множення сигналів в часовій області відповідає згортці спектрів. Звичайно, коли ми замість розкладу

сигналу f n розраховуємо спектр сигналу f n w n , то отримаємо в спектральній області

спотворене описання спектру нашого сигналу. Спектр сигналу трохи розшириться внаслідок згортання, але разом з тим бокові частини (що виникли внаслідок розтікання) стануть меншими.

З цього випливає вимога до віконних функцій – їх спектри повинні якомога менше спотворювати спектр сигналу при згортці у частотній області, тобто бути максимально сконцентрованими в околі точки 0 .

Основні стандартні вікна: Прямокутне (Діріхле):

1, 0 1

0,

n Nw n

18

Основне вікно, яке використовують для аналізу, і те вікно, яке ми неявно використовували досі, коли говорили про Фурьє-аналіз дискретних сигналів та скінченних сигналів. Можна пересвідчитися, що вираз для ДПФ дискретного скінченного сигналу та

1

0

Nj n

n

F x n e

є лише частковою сумою нескінченного ряду j n

n

F x n e

, який є

Фурьє-перетворенням нескінченного дискретного сигналу. Відомо, що така апроксимація є найкращою в середньоквадратичному сенсіі.

Трикутне (Бартлета):

, 0/ 2 2

, 12

n Nn

Nw nN

w N n n N

Головний пелюсток спектра цього вікна вдвічі більший за головний пелюсток прямокутного вікна.

Родина вікон cos X

Це різноманітні вікна, що отримуються за виразом

cos ,2 2

n N Nw n n

N

Найчастіше використовують значення степеню від 1 до 4, найбільш розповсюдженим є випадок 2 (вікно Хенна):

2 1 2

cos 1 cos , 02

0,

n nn N

w n N N

Вікно Хеммінга (для 25

0.5446

):

1 6cos 2 , 0 1

0,

nn N

w n N

Родина вікон вигляду:

2

0

1 cos 2 , 0 1

0,

N

m

mm

mna n Nw n N

За умови 2

0

1 1

N

m

mm

a

Вікно Блекмена:

2 4

0.42 0.5cos 0.08cos , 0

0,

n nn N

w n N N

19

Серед інших вікон використовують вікна Ріца, Пуассона, Гауса, Ла Валя, Чебишева та

т.і. Пряме Фурьє-перетворення сигналу дає нам його спектральну густину:

j tF f t e dt

. Обернене перетворення 1

2j tf t F e d

показує, що наш

сигнал може бути представлений у вигляді сукупності комплексних синусоїд нескінченної тривалості з різними амплітудами та початковими фазами.

При звичайному розкладі за Фурьє вважається, що кожна спектральна складова присутня у сигналі у всі моменти часу, коли існує сигнал, тобто, що спектральний склад не змінюється з часом.

Але переважна більшість сигналів є такими, чиї спектральні характеристики змінюються з часом. Спектральний аналіз за Фурьє не дає нам інформації про те, коли саме в сигналі з’явилася та чи інша частотна складова – спектральне представлення втрачає часову інформацію. Для аналізу таких сигналів нам потрібне інше представлення сигналів – двомірне частотно-часове представлення.

Часто в обробці сигналів використовують так зване короткочасове перетворення Фурьє,

або віконне перетворення Фурьє. Воно отримується множенням сигналу f t на віконну

функцію w t , яка має компактний носій та сконцентровану в околі точки 0t . Після цього

розраховується спектр за Фурьє добутку f t w t . Надалі ця процедура повторюється разом

зі зміщенням функції вікна на певний крок ( 0 0, 2 ...w t t w t t ), де 0t – відповідно

обраний крок зміщення. По суті, таким чином ми отримуємо набір спектрів для ділянок сигналу, а отже можемо спостерігати за зміною спектрального складу у часі.

Представлення розподілу густини потужності спектральних складових, яке відображає зміну спектру в часі, називається спектрограмою (для неперервного випадку):

2

, j t

wS f t w t e dt

.

В дискретному випадку вираз для спектрограми можна записати:

2

, sj nT

wn

S k m f n w n m e

.

Отже, для аналізу реальних сигналів, як правило, необхідно застосовувати частотно-часові перетворення, які дають змогу спостерігати за зміною спектрального складу сигналу у часі.

Порядок роботи Як відомо, спектри всіх дискретних сигналів періодичні, а амплітудні спектри є

парними функціями частоти. Засобами MatLAB можна розрахувати дві половини одного періоду спектру, які є дзеркальними копіями одна одної відносно частоти Найквіста. Через це на всіх графіках амплітудних спектрів достатньо і необхідно виводити лише половину періоду спектру, оскільки вона повністю описує амплітудний спектр. Для того, щоб мати уяву про дійсні значення амплітуд гармонік, значення відліків половини спектру треба поділити на половину кількості відліків.

1. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 1 с для частоти дискретизації 128 Гц.

Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 2, 2.5, 40, 100, 600, 600.5 Гц. Врахувати необхідність дотримання періодичності дискретного сигналу для отримання адекватного спектру. Побудувати за допомогою функції stem графіки сигналів та їх амплітудних спектрів.

20

Зробити висновки щодо відповідності отриманих спектрів тим, які повинні бути отримані згідно теоретичних міркувань.

2. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 256 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 10 Гц (S1) та 100 Гц (S2). Сформувати на їх основі три сигнали:

2.1. сигнал (тривалістю 10 с), що дорівнює сумі цих двох сигналів; 2.2. сигнал, який спочатку містить сигнал 2*S1, а потім сигнал 2*S2 (матиме тривалість

20 с); 2.3. сигнал, який спочатку містить сигнал 2*S2, а потім сигнал 2*S1 (матиме тривалість

20 с). Побудувати за допомогою функції stem графіки сигналів та їх амплітудних спектрів,

зробити висновки щодо можливості розрізнити коливання, присутні у сигналі, по їх спектральному складу, а також щодо відповідності характеристики сигналу у часі та їх спектрів.

3. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 3 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнал ділянки синусоїди частотою 20 Гц. Створити розрив (вставити 10 нульових відліків замість відліків сигналу) в сигналі в момент часу 1.05 с. Отримати спектр сигналу. Перемістити розрив в інший момент часу, розрахувати спектр. Побудувати за допомогою функції stem графіки сигналів та амплітудних спектрів, зробити висновки.

4. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 3 с для частоти дискретизації 512 Гц. Сформувати сигнал послідовності прямокутних імпульсів (функція square) з частотою 1, 10, 30 та 100 Гц. Побудувати за допомогою функції plot графіки сигналів та їх амплітудних спектрів, зробити висновки. Графіки будувати для таких частот, щоб було видно особливості спектру.

5. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 30 с для частоти дискретизації 512 Гц. Сформувати сигнал одиночного прямокутного імпульсу (функція rectpuls) для тривалості імпульсу 0.1, 1, 10 сек. (для величин зсуву відносно початку відліку часу 0 та 5 с). Побудувати за допомогою функції plot графіки сигналів та їх амплітудних і фазових спектрів (функція phase), зробити висновки. Графіки будувати для таких частот, щоб було видно особливості спектру.

6*. Сформувати вектор відліків часу від -20 с до 20 с для частоти дискретизації 512 Гц.

Сформувати сигнал функції Котельникова sin(10 )10

xx , sin( )x

x sin(0.1 )0.1

xx (функція sinc).

Побудувати за допомогою функції plot графіки сигналів та їх амплітудних спектрів, зробити висновки. Графіки будувати для таких частот, щоб було видно особливості спектру.

7. Сформувати випадкові сигнали тривалістю 10 с для частоти дисктеризації 100 Гц та 1000 Гц. Побудувати за допомогою функції plot графіки сигналів та їх амплітудних спектрів, зробити висновки.

8. Для довільного сигналу виконати пряме та обернене перетворення Фурьє, порівняти початковий сигнал та відновлений сигнал. Побудувати графік відхилення між початковим та відновленим сигналами. Знайти середньоквадратичну похибку відновлення. Зробити висновки.

9. Для оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини та плетизмограми побудувати за допомогою функції plot амплітудні та фазові спектри.

10. Побудувати функцію (за допомогою функції function) для розрахунку спектральної густини потужності сигналу, прочитаного з mat-файлу. В функцію передавати назву файлу з сигналом та інші необхідні дані.

11*. Виконати розклад за Фурьє звукових сигналів, які отримані з різною частотою дискретизації. Побудувати амплітудний та фазовий спектри, спектр потужності, зробити висновки.

12. Побудувати функцію (за допомогою функції function), яка дозволяє розрахувати амплітудний та фазовий спектр частини звукового сигналу та побудувати їх графіки. В функцію передавати вектор всіх відліків сигналу, час початку та закінчення необхідної ділянки сигналу, частоту дискретизації. Дослідити спектральний склад запису звуку для різних ділянок тривалістю 1 с, зробити висновки.

21

13. За допомогою функції wintool ознайомитися з часовими характеристиками та спектрами всіх вагових віконних функцій.

14. Згідно варіантів, вказаних в таблиці 1 (за списком, відрахувати свій номер двічі і взяти два рядки з таблиці; після останнього номеру починати рахувати спочатку), сформувати вікна заданого типу та тривалості 16 відліків та 256 відліків (функція window). Побудувати графіки вікон та їх амплітудних спектрів.

15. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 1 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 2, 2.5 Гц. Побудувати амплітудний спектр сигналів без використання віконної функції та з використанням обох вікон згідно варіанту. Тривалість вікон обрати рівною тривалості сигналів. Порівняти з результатами п. 1. Зробити висновки щодо спотворення спектрів та доцільності використання віконної обробки.

16. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 15 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали:

16.1. синусоїди частотою 40 Гц; 16.2. прямокутного імпульсу ширини 1 с в момент часу 10 с; 16.3. випадкового сигналу; 16.4. суми сигналів 16.1 – 16.3. Побудувати спектрограми сигналів за допомогою двох вікон згідно варіанту тривалістю

0.2 с без використання перекриття вікон. Зробити висновки щодо вигляду спектрограм та відповідності часових, спектральних та спектрально-часових властивостей сигналів.

Таблиця 1

17. Для сигналів з п. 2 побудувати спектрограми: – з вікном тривалості 0.1 с, 1 с та 10 с (без перекриття);

22

– з вікном тривалості 1 с з перекриттям 90%, 50%, 10%. Побудувати спектрограми сигналу. Застосувати функції colormap та colorbar. Зробити

висновки щодо відображення часових властивостей сигналів у спектрограмі. Порівняти з п. 2. Побудувати тривимірні графіки двох різних спектрограм з отриманих за допомогою

функції surf. 18. Для сигналів з п. 3 побудувати спектрограми сигналу з використанням вікна,

тривалість і перекриття якого підібрані оптимально для визначення моменту розриву в сигналі. Обґрунтувати свій вибір та зробити висновки.

19. Побудувати функцію (з використанням функції function), яка будує графік зміни в часі середньої спектральної густини потужності в заданому частотному діапазоні для заданого сигналу.

20. Побудувати спектрограми оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми для обох вікон різної тривалості та різного перекриття вікон. Побудувати тривимірні графіки модуля спектральної функції за допомогою функції surf.

21. Побудувати спектрограми звукових сигналів, які отримані з різною частотою дискретизації для вікна тривалістю 1 с та перекриття вікон на 50%. Побудувати тривимірні графіки модуля спектральної функції за допомогою функції surf.

22*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнал послідовності прямокутних імпульсів. Сформувати відліки одної віконної функції тривалості 0.2 секунди та 2 секунди. Побудувати спектрограми сигналу. Побудувати тривимірні графіки модуля спектральної функції за допомогою функції surf.

23*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 512 Гц. З допомогою функції chirp сформувати сигнал змінної частоти: від 0 Гц в момент часу 0 с до 256 Гц в момент часу 10 с з квадратичною зміною частоти. Сформувати два синусоїдальних сигнали тривалістю 1 с частотою 150 Гц (S1) та 200 Гц (S2) амплітудами 1 В. Вбудувати (додати) в сигнал змінної частоти сигнал S1 від 1-ї до 2-ї секунди, а сигнал S2 – від 4-ї до 5-ї секунди. Побудувати спектрограму сигналу. Побудувати тривимірний графік модуля спектральної функції за допомогою функції surf.


1. В чому полягає спектральний аналіз сигналів та навіщо він виконуються? 2. Записати математичний вираз розкладу сигналу у ряд Фурьє та вираз дискретного

перетворення Фурьє. 3. Що таке гармоніка і чим вона характеризується? 4. Що таке амплітудний та фазовий спектр сигналу, яку інформацію він несе? 5. Для чого використовують віконні функції при спектральному аналізі сигналів? 6. В чому полягає спектрально-часовий аналіз сигналів та яку інформацію за допомогою

нього можна отримати?

23

Лабораторна робота № 5 «Фільтрация сигналів» Мета роботи: набути навичок проектування цифрових фільтрів, задавання специфікації

фільтрів залежно від властивостей сигналів, які треба фільтрувати; набути навичок реалізації дискретної фільтрації сигналів у середовищі MatLAB.

Короткі теоретичні відомості

Апроксимація фільтрів – апроксимацію форми амплітудно-частотної характеристики

(АЧХ) фільтрів. Як правило, параметри реального фільтра задаються формулюваннями «повинен мати параметри, не гірші за такі …».

Апроксимація фільтру полягає у підборі аналітичного опису передавальної функції (характеристичної функції), яка задовольняє умови фільтрації та легко реалізується у вигляді конкретного схемотехнічного блоку або чисельного алгоритму.

Для неперервної системи комплексна частотна характеристика (КЧХ) може бути записана в операторній формі через оператор Лапласа:

20 1 2

20 1 2

2 201 11 02 12 22 0 1 2

2 201 11 02 12 22 0 1 2

mm

nn

m m m

n n n

Y p A A p A p A pK p

X p B B p B p B p

a a p a a p a p a a p a p

b b p b b p a p b b p b p

у вигляді дробу, чисельник та знаменник якої є добутками поліномів не вище другого ступеню. Сукупність значень нулів чисельника називають нулями передавальної функції, сукупність значень нулів знаменника – полюсами.

Порядок фільтра – це кількість полюсів передавальної функції. Характеристична функція також може бути записана у вигляді:

1

0 0 1

10

0 1

1

1

MMm

mmm m

N Nk

k mk k

c zb zY z b

H zX z aa z d z

.

Кожний із множників 11 mc z чисельника відповідає простому нулю характеристичної

функції в точці kz c і простому полюсу в точці 0z . Аналогічно, множник знаменника

11 kd z відповідає полюсу в точці kz d і нулю в точці 0z .

Вираз для комплексної частотної характеристики K p доцільно представляти у

вигляді добутків множників не вище другого порядку:

1 2H p k p k p

Кожний з таких множників є передавальною функцією деякої простої схемної ланки. Тобто фільтр будь-якого порядку можна отримати при послідовному з’єднанні фільтрів першого та другого порядку.

Задача апроксимації полягає у знаходженні кількості нулів та полюсів передавальної функції, а також всіх коефіцієнтів передавальної функції.

Фільтри всіх типів проектуються з використанням низькочастотного прототипу – еквівалентного НЧ фільтра для того фільтру, який потрібно спроектувати. Від специфікації необхідного фільтру переходять до специфікації НЧ-прототипу, апроксимують його АЧХ та за допомогою процедури перетворення частот отримують коефіцієнти передавальної функції потрібного фільтру.

Фільтри Баттерворта

24

Особливістю апроксимації за Батервортом є те, що АЧХ фільтру над смугою пропускання є максимально плоскою. Інша властивість – монотонність АЧХ. Квадрат АЧХ ФНЧ має вигляд:

2

2

1

1n

c

H

Переваги: АЧХ плоска в смузі пропускання, без спотворень передає НЧ-сигнали. Недоліки: погана вибірковість, мала крутизна характеристики в перехідній смузі. Отже,

часто необхідно брати велику кількість ланок. Порядок фільтру повністю визначає весь фільтр.

Порядок фільтру, який на частоті t забезпечує рівень АЧХ 1

A, можна знайти зі

співвідношення:

2lg 1

2lg s

c

An

.

У випадку, коли специфікації фільтру виражені в термінах максимальної похибки апроксимації, то похибка буде нерівномірно розподілена по смузі пропускання. Похибка буде більшою біля частоти зрізу, і специфікації будуть перевищені на НЧ та правіше частоти відсічки.

Фільтри Чебишова Найбільш ефективний підхід, що приводить до фільтру найменшого порядку, полягає в

тому, що похибку апроксимації можна рівномірно розподілити по смузі пропускання або смузі затримки. Це досягається вибором рівномірно пульсуючої кривої апроксимації. АЧХ фільтрів Чебишова І роду рівномірно коливається над смугою пропускання та рівномірна над смугою затримки, а ІІ роду – над смугою пропускання є рівномірною, а в смузі затримки має пульсації. Квадрат АЧХ фільтру Чебишова І роду має вигляд:

2

2 2

1

1 nc

H

V

де nV x – поліном Чебишова n -го порядку:

cos arccos , 1

, 1n

n x xV x

ch nArch x x

,

Функція коливається між 1 та 2

1

1 в межах від 0 до c та монотонно спадає при

c .

Для задавання конкретного фільтру потрібно задати три параметри: , ,c N . В

реальних задачах визначається допустимими пульсаціями в смузі пропускання, c –

бажаною частотою зрізу. Після задавання цих параметрів підбирають прийнятний порядок фільтра виходячи з необхідної смуги затримки.

Квадрат АЧХ фільтру Чебишова ІІ роду має вигляд:

25

2

2

2

1

1 n s

sn

H

V

V

Тут s – найменша частота, на якій в смузі затримки досягається заданий рівень

ослаблення 2

1

A.

Еліптичні фільтри (фільтри Кауера) В такій апроксимації похибка апроксимації розподіляється по обом смугам. Можна

довести, що такий тип апроксимації є оптимальними в смислі, що при фіксованому порядку фільтра та значеннях частоти затримки і допустимих коливань в смугах затримки та пропускання, ширина перехідної смуги виявляється найменшою.

Квадрат АЧХ має вигляд:

2

2 2

1

1 ,n

HU R

,

де nU – раціональна функція Чебишова, еліптична функція Якобі;

R – параметр, який характеризує пульсації.

Введемо перехідне відношення: p

s

k

та параметр 1 2 1k

A

. Тоді порядок

еліптичного фільтра можна розрахувати за формулою:

21

21

1

1

K k K kn

K k K k

Де K – повний еліптичний інтеграл І-го роду.

Фільтри Бесселя Характеризуються мінімальним часом групової затримки сигналу, максимальною

лінійністю ФЧХ, вносять найменші фазові спотворення у сигнал.

0

n

dH p

B p

де

0

2 !

2 !n

nd

n ,

nB s – функція Бесселя n -го порядку:

0

,

2 !

2 ! !

nk

n kk

k n k

B s d s

n kd

k n k

Частота зрізу фільтрів Бесселя залежить від їх порядку: 1/0

nc d

26

Порядок фільтра можна визначити за формулою:

0 , ,

20lg

задер

задер

среза

K дБ K дБn

f

f


Для всіх завдань в програмі будувати: графік сигналу та його амплітудного спектру,

графік шуму та його амплітудного спектру, графік зашумленого сигналу та його амплітудного спектру, графік АЧХ фільтра, графік відфільтрованого сигналу та його амплітудного спектру. Для всіх фільтрів максимальний припустимий коефіцієнт передачі на частоті зрізу обрати 3 дБ, а мінімальний припустимий коефіцієнт передачі на частоті затримки обрати так, щоб порядок фільтра був не менше 5-го та не більше 10-го.


Сформувати прямокутний імпульс в момент часу 3 с тривалості 0.1 с. Спроектувати ФНЧ Батерворта для позбавлення сигналу від шуму (функції buttord, butter, filter). Оцінити відношення сигнал/шум на вході та виході фільтра.

2. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 1 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 10 Гц амплітуди 1 В. Додати випадковий сигнал з нульовим середнім значенням амплітуди 2 В. Спроектувати ФНЧ, ФВЧ та СФ Чебишова І-го роду для позбавлення сигналу від шуму. Оцінити відношення сигнал/шум на вході та виході фільтра, зробити висновки щодо якості фільтрації.

3. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати випадковий сигнал амплітуди 10 мВ з нульовим середнім значенням, який зашумлений мережевою перешкодою частоти 50 Гц амплітуди 1 В. Спроектувати еліптичний ЗФ для позбавлення сигналу від перешкоди. Оцінити відношення сигнал/шум на вході та виході фільтра, зробити висновки щодо якості фільтрації.

4. Для оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми спроектувати фільтри для позбавлення від мережевої перешкоди 50 Гц.

5. Для звукових сигналів, які отримані з різною частотою дискретизації, виконати розділення на три спектральні діапазони: до 450 Гц; від 450 Гц до 1 кГц; від 1 кГц до 4 кГц з використанням фільтрів Кауера. Прослухати отримані сигнали, зробити висновки.

6*. Побудувати функцію (за допомогою функції function) яка для сигналу ЕЕГ, прочитаної з файлу, для заданого каналу та проміжку часу за допомогою фільтрації розраховує середню спектральну густину потужності в спектральних діапазонах - ритму (1-4 Гц), - ритму (4-8 Гц), - ритму (8-14 Гц), - ритму (14-40 Гц). Отримати графіки кожного ритму.


1. В чому полягає фильтрація сигналів та з якою метою вона проводиться? 2. Як реалізується фільтрація в середовищі Матлаб, та які попередні дані для фільтрації

необхадно мати? 3. Внаслідок чого наявна відмінність в результатах застосування різних фільтрів для

фільтрації одних і тих самих сигналів?

27

Лабораторна робота № 6 «Вейвлет-аналіз сигналів» Мета роботи: дослідити відображення властивостей сигналів у вейвлет-скейлограмі;

набути навичок реалізації вейвлет-перетворення сигналів у середовищі MatLAB. Основні теоретичні відомості

Вейвлет-перетворення – це розклад сигналу у набір функцій-вейвлетів, кожна з яких є

розтягнутою або стисненою та зміщеною копією одної (для кожного сигналу) функції, яка називається материнським вейвлетом.

Неперервне вейвлет-перетворення функції 2f t L – це функція двох змінних:

,

,

, ,

1 1, , , 0,

a

a

W f a f t t

tf t t dt f t dt a a

aa a


1. Обрати материнські вейвлет-функції за варіантом з таблиці 1. Отримати та уяснити

інформацію щодо обраної вейвлет-родини (функція waveinfo). Розрахувати значення вейвлет-функцій та масштабуючих функцій (якщо вони існують) побудувати їх графіки (функція wavefun). Сформувати вектор масштабних коефіцієнтів a=[.01:.02:.11 .2:.2:1 2:2:30].

2. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 5 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 2, 2.5, 40, 100 Гц. З використанням одної з материнських функцій згідно варіанту побудувати графік модулів вейвлет-коефіцієнтів (функція cwt), скейлограмму (квадрат вейвлет-коефіцієнтів) та тривимірний графік вейвлет-коефіцієнтів. Зробити висновки щодо скейлограми періодичних синусоїдальних функцій.

3. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 15 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали:

3.1. синусоїди частотою 40 Гц; 3.2. прямокутного імпульсу ширини 1 с в момент часу 10 с; 3.3. випадкового сигналу; 3.4. суми сигналів 3.1 – 3.3. Побудувати скейлограми сигналів, зробити висновки щодо можливості визначити

наявність синусоїдального сигналу в шумі. Порівняти з результатами виконання п. 16 роботи № 6.

Таблиця 1

28

4. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 256 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 10 Гц (S1) та 100 Гц (S2). Сформувати на їх основі три сигнали:

4.1. сигнал (тривалістю 10 с), що дорівнює сумі цих двох сигналів; 4.2. сигнал, який спочатку містить сигнал 2*S1, а потім сигнал 2*S2 (матиме тривалість

20 с); 4.3. сигнал, який спочатку містить сигнал 2*S2, а потім сигнал 2*S1 (матиме тривалість

20 с). З використанням одної з материнських функцій згідно варіанту побудувати скейлограму.

Повторити для частот 15 та 16 Гц. Зробити висновки щодо можливості визначити момент зміни частоти сигналу за скейлограмою. Порівняти з результатами роботи № 6.

5. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнал ділянки синусоїди частотою 20 Гц. Створити розрив (вставити п’ять нульових відліків) в сигналі в момент часу 5 с. З використанням материнських функцій згідно варіанту побудувати скейлограмму. Зробити висновки щодо можливості часової локалізації моменту розриву в сигналі за скейлограмою.

6. З використанням материнських функцій згідно варіанту побудувати скейлограму та тривимірний графік вейвлет-коефіцієнтів оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми.

7*. Побудувати скейлограму та тривимірний графік вейвлет-коефіцієнтів звукових сигналів, які отримані з різною частотою дискретизації.

8*. Побудувати функцію (з використанням функції function), яка будує графік зміни в часі суми модулів вейвлет-коефіцієнтів в заданому діапазоні масштабів для заданого сигналу.

9*. З допомогою символьних обчислень побудувати графіки перших 10 вейвлетів Гауса які є похідними від функції Гауса (функції sym, eval, diff). Виконати нормування вейвлетів.

10*. З використанням функції wavemenu виконати неперервний вейвлет-аналіз одновимірних сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми з використанням двох довільних різних материнських функцій.

11. Ознайомитися з можливостями та застосуванням вейвлет-аналізу за допомогою функції wavedemo.


1. В чому полягає вейвлет-аналіз сигналів та з якою метою він виконується. 2. Які попередні відомості треба мати, щоб провести вейвлет-аналіз? 3. Як представляються результати вейвлет-аналізу сигналів та яку інформацію можна з

них отримати?

29

Лабораторна робота № 8 «Кореляційний аналіз сигналів» Мета роботи: дослідити властивості сигналів з використанням кореляційного аналізу;

набути навичок кореляційного аналізу сигналів у середовищі MatLAB.

Основні теоретичні відомості Дана тема призначена для самостійного вивчення. Див.: стор. 281 – 347, Айфичер, Э.

Цифровая обработка сигналов. Практический подход / Э. Айфичер, Б. Джервис. – М. : Издательский дом «Вильямс», 2008. – 992 с. – ISBN 978-5-8459-0710-3.



Сформувати сигнал випадкового білого гаусівського шуму (функція randn). Розрахувати та побудувати графік автокореляційної функції за формулою 5.1, зробити висновки


Сформувати дискретний аналог сигналу 5cos 2 50 2cos 2 100x t t t . Побудувати

графік автокореляційної функції, зробити висновки. 3. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 10 с для частоти дискретизації 256 Гц.

Сформувати сигнали прямокутний імпульс амплітуди 1 В. тривалості 1 сек. в момент часу 3 сек. (сигнал 1), та прямокутного імпульсу амплітуди 1 В тривалістю 1 сек. в момент часу 0 сек. (сигнал 2). Побудувати графік взаємнокореляційної функції (формула 5.8), зробити висновки. Повторити для сигналу 2 амплітуди 10 В.

4. Повторити п. 3 попередньо додавши до сигналу 1 шум з нульовим середнім значенням. Зробити висновки.

5. Розрахувати та побудувати графіки взаємнокореляційних функцій для пар зареєстрованих сигналів: ЕКГ та плетизмограма, ЕКГ з різних каналів. Зробити висновки щодо зв’язку між цими сигналами.

6*. Розрахувати та побудувати графіки автокореляційних функцій для оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми.


1. В чому полягає кореляційний аналіз сигналів та з якою метою виконується? 2. Як представляються результати кореляційного аналізу і яку інформацію можна з них

отримати? 3. В чому відмінність автокореляційної та кроскореляційної функції?

30

Лабораторна робота № 7* «Спектральний аналіз сигналів за Уолшем та Хартлі»

Мета роботи: дослідити відображення властивостей сигналів у спектрах за Уолшем та

Хартлі; набути навичок реалізації у середовищі MatLAB спектрального аналізу сигналів у нестандартних базисах.


Загальні положення про розклади сигналу в базисі наведені в теоретичних відомостях до роботи № 4.

Серед розповсюджених базисів у практиці обробки сигналів можна вказати базис тригонометричних функцій (розклад за Фурьє), вейвлетів, функцій Уолша, поліномів Лежандра, Ерміта, Чебишова, локалізовані тригонометричні базиси.

Сигнал можна представити у вигляді розкладу за системою ортогональних дискретних базисних функцій Уолша (Рис. 1).

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рисунок 1 – Приклади базисних функцій ортогонального базису Уолша Одним зі шляхів отримання функцій Уолша є використання матриць Адамара. В цьому

випадку відліки дискретних базисних функцій містяться у рядках або стовпцях матриці Адамара. Матриця Адамара порядку 2 має вигляд:

11

112H .

Матриці Адамара порядку N=2k (k=2,3,…n) отримуються за рекурентним співвідношенням:

kk

kk

kHH

HHH

22

222 1 .

Наприклад, матриця Адамара восьмого порядку отримується з чотирьох матриць

четвертого порядку:

31

32

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

H

1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

.

Рядки такої матриці є ортогональними векторами:

1

2

8

[1 1 1 1 1 1 1 1]

[1 1 1 1 1 1 1 1]

[1 1 1 1 1 1 1 1]

,

і їх можна використати для розкладу сигналу.

Якщо F – вектор-стовпець з N відліків функції f n , (N=2k, k=2, 3,…n), то пряме та

обернене перетворення Уолша у матричній формі можна записати:

NW F H F ,

1NF H W F

N .

Набір коефіцієнтів розкладу сигналу в базисі Уолша W(F) називають спектром сигналу по Уолшу.

Ще одним ортогональним перетворенням, за допомогою якого можна проводити аналіз сигналів, є перетворення Хартлі. Відмінністю цього перетворення від перетворення Фурьє є те, що в ньому використовують дісні, а не комплекснозначні гармонічні функції. Перетворення Хартлі виникло в результаті пошуку можливості дослідити гармонічний склад сигналу без використання розрахунків з комплексними числами.

У 1942 році Р. Хартлі ввів пару формул для прямого та оберненого перетворення Хартлі сигналу x t :

2

2

H f x t cas ft dt

x t H f cas ft df

Тут cos sincas t t t .

Для того, щоб знайти зв’язок між перетворенням Хартлі та перетворенням Фурьє, вводять до розгляду парну та непарну компоненти H f :

cos 22

sin 22

H f H fE f x t ft dt

H f H fO f x t ft dt

Ці вирази відомі як косинусне та синусне перетворення Фурьє.

32

Комплексний спектр за Фурьє буде дорівнювати F f E f jO f

В свою чергу, перетворення Хартлі можна знайти як різницю між дійсною та уявною

частиною перетворення Фурьє: Re ImH f F f F f .

Енергетичний спектр за Фурьє сигналу можна розрахувати

22 2

2

H f H fP f

Фазовий спектр сигналу за допомогою перетворення Хартлі визначається як

O ff arctg

E f

Також вводяться до розгляду пряме та обернене перетворення Хартлі для дискретних сигналів:

1

0

1

0

1 2

2

N

n

N

m

nmH m x n cas

N N

nmx n H m cas

N

Воно використовується при виконанні двовимірних та тривимірних швидких перетворень сигналів, для інтерполяції сигналів.


До всіх пунктів завдання зробити висновки. Результати виконання всіх пунктів

порівняти з результатами відповідних завдань лабораторної роботи № 6 та зробити висновки щодо спектрів однакових сигналів.

1*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 1 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 2, 2.5, 40, 600 Гц. Виконати пряме перетворення Уолша та отримати спектр сигналу за Уолшем (за допомогою функції hadamard). Побудувати графіки сигналів та їх спектрів.

2*. Для спектру за Уолшем синусоїдального сигналу частоти 2 Гц з п. 1 виконати обернене перетворення Уолша. Порівняти отриманий та початковий сигнал.

3*. Для спектру за Уолшем синусоїдального сигналу частоти 2 Гц з п. 1 виконати обернене перетворення Уолша за неповним спектром. Для відновлення використати: а) три функції Уолша, проекції на які мають найбільші абсолютні значення, та б)* третину функцій Уолша, проекції на які мають найбільші абсолютні значення (можна скористатися функцією sort). Побудувати графіки початкового та відновлених сигналів. Порівняти отриманий та початковий сигнал за критерієм середньоквадратичного відхилення.

4*. Побудувати функцію (за допомогою функції function), яка відновлює сигнал з його спектру за Уолшем з наперед заданим середньоквадратичним відхиленням. В функцію передавати початковий сигнал, вектор відліків спектру та середньоквадратичне відхилення.

5*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 2 с для частоти дискретизації 256 Гц. Сформувати сигнал послідовності прямокутних імпульсів (функція square) з частотою 1, 2, 2.1, 3, 10 та 123 Гц. Побудувати графіки сигналів та їх спектрів за Уолшем.

6*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 5 с для частоти дискретизації 256 Гц. Сформувати сигнал одиночного прямокутного імпульсу (функція rectpuls) для тривалості імпульсу 0.1, 1 сек. (для величин зсуву відносно початку відліку часу 0, 1, 2 с). Побудувати графіки сигналів та їх спектрів за Уолшем.

7*. Сформувати випадковий сигнал тривалістю 3 сек. Побудувати графік сигналу та його спектру за Уолшем.

33

8*. Для оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми обрати в кожному по дві ділянки, які не перетинаються, тривалістю 2 секунди. Побудувати спектри за Уолшем за допомогою функції plot.

9*. В звукових сигналах, які отримані з різною частотою дискретизації, обрати в кожному по дві ділянки, які не перетинаються, тривалістю 2 секунди. Побудувати спектри за Уолшем.

10*. Побудувати функцію (за допомогою функції function), яка дозволяє розрахувати спектр Уолша звукового сигналу заданої тривалості та побудувати їх графіки. В функцію передавати вектор всіх відліків сигналу, час початку та закінчення необхідної ділянки сигналу. Дослідити спектральний склад запису звуку для різних ділянок тривалістю 1 с.

11*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 1 с для частоти дискретизації 128 Гц. Сформувати сигнали ділянки синусоїди частотою 2, 2.5, 40, 600 Гц. Виконати пряме перетворення Хартлі та отримати спектр сигналу за Хартлі. Побудувати графіки сигналів та їх спектрів.

12*. Для синусоїдального сигналу частоти 2 Гц з п. 10 виконати обернене перетворення Хартлі. Порівняти отриманий та початковий сигнал.

13*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 2 с для частоти дискретизації 256 Гц. Сформувати сигнал послідовності прямокутних імпульсів (функція square) з частотою 1, 2, 2.1, 3, 10 та 123 Гц. Побудувати графіки сигналів та їх спектрів за Хартлі.

14*. Сформувати вектор відліків часу тривалістю 5 с для частоти дискретизації 256 Гц. Сформувати сигнал одиночного прямокутного імпульсу (функція rectpuls) для тривалості імпульсу 0.1, 1, 2 сек. (для величин зсуву відносно початку відліку часу 0, 1, 2 с). Побудувати графіки сигналів та їх спектрів за Хартлі.

15*. Сформувати випадковий сигнал тривалістю 10 сек. Побудувати графіки сигналу та його спектру за Хартлі.

16*. Для оцифрованих сигналів електрокардіограми, електроенцефалограми, прочитаної з файлу, а також ЕЕГ здорової та хворої людини, сигналів артеріального та внутрішньочерепного тиску та плетизмограми обрати дві ділянки тривалістю 2 с та побудувати спектри за Хартлі за допомогою функції plot.

17*. Побудувати спектри за Хартлі звукових сигналів, які отримані з різною частотою дискретизації. В кожному сигналі обрати дві ділянки тривалістю 2 с.


1. В чому полягає аналіз сигналів за Уолшем та Хартлі? 2. Назвіть особливості перетворення Уолша та Хартлі порівняно з перетворенням Фурьє.

34

Рекомендована література

1. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко. - СПб. : Питер, 2002. - 608 с. – ISBN 5-318-00666-3.

2. Лазарев, Ю. Ф. МatLAB 5.x / Ю. Ф. Лазарев. – К. : Издательская группа BHV, 2000. – 384 с. – ISBN 966-552-068-7.

3. Лазарев Ю. Ф. Начала программирования в среде MatLAB : учеб. пособие. / Ю. Ф. Лазарев. – К. : НТУУ"КПИ", 2003. – 424 с.

4. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. – М.: Техносфера, 2006. – 856 с.

labor rob ts fel fall 2012

Documents