la trasformata di fourier: basi matematiche ed …...la trasformata di fourier: basi matematiche ed...
TRANSCRIPT
![Page 1: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/1.jpg)
La Trasformata di Fourier:
basi matematiche ed applicazioni
Parte III
Metodi di Calcolo per la Chimica
A.A. 2016-2017
Marco Ruzzi
“Showing a Fourier transform to a physics student
generally produces the same reaction as showing a crucifix to Count Dracula”
A Student’s Guide to Fourier Transformswith Applications in Physics and Engineering
J. F. JamesSecond Edition
![Page 2: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/2.jpg)
Il Sia x (t) : una funzione a valori complessi. Se l’integrale:
La Trasformata di Fourier [1]
Definizione.
esiste finito per ogni , allora x (t) è detta trasformabile secondo Fourier ela funzione:
viene chiamata trasformata di Fourier di x (t).
Una classe importante di funzioni continue a tratti trasformabili secondo Fourier ècostituita dalle funzioni assolutamente integrabili, ossia dalle funzioni in .
Sia x (t) : una funzione continua a tratti. Diciamo che x (t) è assolutamenteintegrabile se l'integrale:
esiste finito.
![Page 3: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/3.jpg)
La Trasformata di Fourier [2]
Condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata.
Supponiamo che x (t) sia continua a tratti e assolutamente integrabile. Allora x (t) ètrasformabile secondo Fourier.
Vale:
e quindi vale anche:
Trasformata di Fourier di funzioni reali.
La trasformata di Fourier F(ω) di un segnale reale f (t) è in generale complessa.
e la trasformata di Fourier si può scrivere come:
Vale:
![Page 4: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/4.jpg)
La Trasformata di Fourier [3]
Per visualizzare graficamente X (ω) è allora necessario considerare separatamente ilmodulo |X (ω)| e la fase arg(X (ω)) della trasformata:
arg
La parte reale Re {F(ω)} e la parte immaginaria Im{F(ω)} sono rispettivamente:
Poiché la funzione coseno è pari e la funzione seno è dispari, si ha che:
Vale di conseguenza:
,
arg arg
-
![Page 5: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/5.jpg)
La Trasformata di Fourier [4]
si vede che talvolta (quando x(t) è reale e simmetrica) è possibile semplificare ilcalcolo della trasformata di Fourier:
se la funzione x (t) è reale e pari, valgono:
se invece la funzione x(t) è reale e dispari, valgono:
Dall’equazione trovata:
e la trasformata X (ω ) è reale e pari;
e la trasformata X (ω ) è immaginaria pura e dispari.
•
•
![Page 6: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/6.jpg)
1
1/2-1/2
La Trasformata di Fourier [5]
Esempio1. Segnale impulso rettangolare unitario di durata 1.
Consideriamo la funzione porta unitaria, definita da:
È immediato verificare che e che quindi la trasformata di Fourieresiste finita e il suo calcolo appare immediato:
il calcolo è ancora più semplice:
Per :
Per ω = 0 :
;
.
![Page 7: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/7.jpg)
La Trasformata di Fourier [6]
in virtù del limite notevole
Il risultato trovato:
può essere scritto in termini di funzione seno cardinale (sinc):
1
dove la funzione al secondo membro si intende estesa per continuità nell'origine.
2π−2π
![Page 8: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/8.jpg)
La Trasformata di Fourier [7]
dove a > 0 è un parametro reale positivo.
Esempio 2. Segnale Funzione decadimento esponenziale.
Siccome x (t) è una funzione pari, vale:
Consideriamo la funzione decadimento esponenziale, definita come:
e si ottiene:
La funzione e dunque esiste la sua trasformata.
L’aver considerato in x (t) il modulo dell’esponente ha permesso di considerare lafunzione x (t) una funzione pari e dunque di considerare nel calcolo della trasformatasolo il termine cosinusoidale.
Il risultato ottenuto qui, ponendo t in modulo, è un caso particolare del risultato piùgenerale ottenuto in precedenza con t esteso sull’intero asse dei tempi, ossia:
![Page 9: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/9.jpg)
La Trasformata di Fourier [8]
Alcune proprietà della trasformata
Se , allora la sua trasformata di Fourier X (ω ) è una funzione limitata.
Vale infatti:
e l'ultimo integrale esiste finito dato che .
1. Convergenza.
2. Linearità.
La linearità è una diretta conseguenza della definizione di trasformata di Fourier, edella linearità dell'integrale.
Se x (t) e y (t) sono funzioni trasformabili secondo Fourier con trasformate X (ω ) eY (ω ), allora è trasformabile anche ogni loro combinazione lineare, e vale:
.
![Page 10: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Scalatura
Se a ≠ 0 è un parametro reale, vale:
La relazione si dimostra facilmente risolvendo l’integrale per sostituzione con ilcambio di variabile at = T :
In ogni caso vale:
La Trasformata di Fourier [9]
−
![Page 11: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/11.jpg)
La Trasformata di Fourier [10]
4. Modulazione.
Per ogni , vale:
5. Traslazione.
Per ogni , si ha:
È sufficiente eseguire il cambiamento di variabile T = t − a nell'integrale:
La verifica è semplice:
![Page 12: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/12.jpg)
6. Coniugio.
La Trasformata di Fourier [11]
Indicando con il complesso coniugato di x, si ha:
La verifica è immediata:
Dalla proprietà di coniugio segue facilmente la seguente uguaglianza di Parseval.
Supponiamo che x (t) sia trasformabile secondo Fourier, e che l'integrale:
7. Uguaglianza di Parseval
sia finito. Allora vale la seguente relazione:
![Page 13: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/13.jpg)
La Trasformata di Fourier [12]
La relazione segue dalla diretta applicazione della definizione di trasformata diFourier. Infatti:
Invertendo l’ordine di integrazione si ha:
Il termine tra parentesi quadre è la trasformata di Fourier di x (t), quindi:
.
![Page 14: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/14.jpg)
La Trasformata di Fourier [13]
L’energia del segnale può essere scritta:
La relazione di Parsifal dunque fornisce l’energia di un segnale in termini della suatrasformata di Fourier:
Il quadrato del modulo della trasformata di Fourier è il contributo all’energia delsegnale offerto dalle sue componenti con frequenza compresa tra ω e ω + dω :
Dato un segnale x (t), in generale complesso, si definisce potenza istantanea (insenso lato) la funzione:
da cui deriva la definizione di potenza media:
7. Senso fisico della trasformata di un segnale
![Page 15: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/15.jpg)
La Trasformata di Fourier [14]
Proprietà importanti…
![Page 16: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/16.jpg)
Di seguito viene proposta la giustificazione di alcune proprietà delle trasformate e neviene mostrato l’impiego in alcuni esempi, rimandando a una letteratura piùspecializzata le dimostrazioni matematiche formali.
La Trasformata di Fourier [15]
Si calcoli la trasformata di Fourier della funzione porta centrata con:
Si tratta di una funzione porta di ampiezza 1, durata T e centrata nell'origine.
e applicando sulla trasformata la proprietà di riscalamento con si ottiene:
ovvero:
1. Porta centrata
La porta pT (t) può essere riscritta in termini di porta unitaria:
![Page 17: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/17.jpg)
La Trasformata di Fourier [16]
Si calcoli la trasformata di Fourier della funzione porta decentrata:
Si tratta di una funzione porta di ampiezza 1, durata 4 e centrata nel punto a = 8.
Dalla proprietà di traslazione e dall'esempio della porta centrata si ottiene alla fine:
2. Porta decentrata
Per il calcolo della trasformata conviene eseguire una traslazione e ricondursi allaporta centrata:
106
1
![Page 18: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/18.jpg)
La Trasformata di Fourier [17]
3. Delta di Dirac
La funzione impulso di durata infinitesima (o delta di Dirac) δ (t) non èmatematicamente descrivibile mediante una funzione e necessita del concetto di“distribuzione” per essere definita.
Sia ( )tf una funzione complessa di variabile reale, continua nel punto t0
del suo dominio ( ) ⊆tfD ..
valga la seguente relazione:
Vale ovviamente, con t0 = 0 :
:
( )[ ] =tfδ0t
( )[ ]=tfδ0
•[ ] =•0tδ •
Si definisce delta di Dirac la distribuzione δ tale che, definito il funzionale lineare e continuo:
con la proprietà:
.
![Page 19: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/19.jpg)
La Trasformata di Fourier [18]
La funzione δ (t) non è una funzione nel senso di Dirichelet e deve essere pensatacome una funzione generalizzata:
Ricordando la definizione di impulso rettangolare di durata ∆ e ampiezza V :
vale:
con la proprietà:
.
→ +∞ → → +∞
![Page 20: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/20.jpg)
Il calcolo della trasformata della funzione delta di Dirac è immediato. Ricordandoche, se f (t) è una funzione continua in t0, allora vale:
si può concludere che:
da cui i ricava la nota coppia di trasformate:
La Trasformata di Fourier [19]
La trasformata di Fourier della funzione delta centrata su t0=0 (nel dominio deitempi) è una funzione costante e unitaria (nel dominio delle frequenze)!
Questo risultato indica che una funzione δ (t) (ad esempio un impulso di duratainfinitamente breve nel tempo) ha un contenuto spettrale che include tutte lefrequenze in modo uguale.
![Page 21: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/21.jpg)
4. Segnale costante
Si osservi che in questo caso l’ultima condizione di Dirichlet non è verificata.
Per il calcolo della trasformata della funzione costante si può partire considerando lafunzione impulso nel dominio delle frequenze δ (ω − ω0). Antitrasformando siricava:
La Trasformata di Fourier [20]
e trasformando su entrambi i membri (vale F−1 F = �) si ottiene la coppia:
Di conseguenza per ω0 = 0 vale:
La trasformata di Fourier di una funzione costante nel tempo è la funzione Delta diDirac centrata alla frequenza ω0 = 0 .
Il risultato mostra come un segnale continuo e costante nel tempo è costituito da unasola componente in frequenza, e precisamente la frequenza zero (periodo illimitato).
La relazione trovata dimostra che la trasformata dell’esponenziale complesso eiω0t èun impulso δ traslato in ω0 .
![Page 22: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/22.jpg)
La Trasformata di Fourier [21]
Il calcolo della trasformata di Fourier di un segnale cosinusoidale è eseguitosfruttando la proprietà di linearità della trasformata:
3. Funzione cosinusoidale
Usando la relazione di Eulero possiamo riscrivere l’espressione per f (t) come:
Sapendo che la trasformata dell’esponenziale complesso eiω0 è un impulso traslato in ω0, ossia:
per la linearità vale:
La trasformata di Fourier della funzione coseno è la somma di due funzioni delta diDirac centrate rispettivamente sui valori +ω0 e –ω0 con ω0 frequenza del coseno.
Questo risultato indica che la funzione coseno definita sull’intero asse dei tempi haun contenuto spettrale che include una sola frequenza.
t t t t
t
t t
![Page 23: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/23.jpg)
Nell’ambito di un esperimento NMR, considerando un campione di spin conun’unica frequenza di risonanza ωL la componente y della magnetizzazione variasecondo la legge:
( ) ( ) 20
T
t
L etcosItI−
ω=
La trasformata di Fourier della funzione I (t) risulta una riga di forma Lorentzianacentrata sulla frequenza di risonanza ωL = 2π νL e con larghezza W ∼ 1 /T2
(Free Induction Decay) .
corrispondentecomponente spettrale
FID
tempo
T2
νLνLfrequenza
W ∼ 1/T2
Traformata
di FourierI(t) I(ν)
La Trasformata di Fourier [22]
4. FID
![Page 24: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/24.jpg)
La Trasformata di Fourier [23]
Per il calcolo della trasformata di Fourier del FID conviene esprimere la funzionetramite un esponenziale, eseguire l’integrazione e considerare alla fine solo la partereale del risultato:
( ) ( ) ( ) ( )
=
πν=
−πν
−
tueeItuet2ItIT
t
tL2iT
t
L2
02
0 Recos
( )( )
( )
ν−νπ−−
==
ν−νπ−−
ν−νπ−−∞+
∫L
LiT
t
LiT
t
iT
eIdteI
21
2
22
1
0
22
1
00
0
+∞
( ) ( ) dteeeIdtetIItiT
t
tLiti πν−∞+ −
πνπν−∞+
∞−
∫∫
==ν 2
0
220
2
( )
ν−νπ−
=
LiT
I
21
1
2
0
con u (t) gradino unitario (u (t) = 0 se t < 0 e u (t) = 1 se t > 0 ).
t=0
I (t)FID
t
![Page 25: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/25.jpg)
La trasformata è una funzione complessa perché la I (t) è reale e asimmetrica.Razionalizzando…
( )( )
ν−νπ−
=ν
LiT
II
21
1
2
0
( )
( )
( )
( )
( )
ν−νπ+
ν−νπ+
=
ν−νπ+
ν−νπ+
⋅
ν−νπ−
=22
22
20
2
2
2
0
41
21
21
21
21
1
L
L
L
L
LT
iT
I
iT
iT
iT
I
( )
( )[ ]
( )
ν−νπ+
ν−νπ+
ν−νπ+
=22
22
022
22
20
41
2
41
1
L
L
LT
Ii
T
TI
( )[ ]νIRe ( )[ ]νIIm
componente in assorbimento componente in dispersione
La Trasformata di Fourier [24]
![Page 26: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/26.jpg)
La Trasformata di Fourier [25]
Lorentziana centrata su νL
e di larghezza W∼1 /T2
( )[ ]( )
ν−νπ+
=ν22
22
20
41
1
Re
LT
TII
La riga in assorbimento dello spettro NMR è la parte reale della trasformata:
La trasformata di Fourier della funzione I (t) che descrive il FID risulta una riga diforma Lorentziana centrata alla frequenza di risonanza νL di Larmor e con larghezzadi riga W ∼ 1 /T2 .
( )222
22
041 ν−νπ+
=LT
TI
νL
W ~ 1/T2
ν
![Page 27: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/27.jpg)
MatLab e Trasformate di Fourier [1]
V V
La figura riporta il grafico della coppia trasformata e antitrasformata nel casodell’impulso rettangolare.
Il seguente programma in MatLab mette in evidenza il comportamento duale che esiste tratempo e frequenza: a fronte di una maggiore “concentrazione” nel tempo si ha una maggiore“dilatazione” nelle frequenze e viceversa, maggiore è la “concentrazione” nelle frequenze,maggiore è la “dilatazione” nel tempo. Per illustrare questa attitudine il programma confrontagli spettri relativi a due impulsi con durata temporale T1 e T2 con T2 = 10 T1.
![Page 28: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/28.jpg)
MatLab e Trasformate di Fourier [2]
![Page 29: La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed …...La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte III Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/5f1bffe4805eb874951424c5/html5/thumbnails/29.jpg)
Confronto tra spettri relativi adue impulsi aventi duratatemporale, rispettivamente diT1=10 sec e T2=100 sec.
MatLab e Trasformate di Fourier [3]