la théorie de binet - faidherbe.orgfoucault/fichiers/pdf/histoire_binet.pdf · terre, la...
TRANSCRIPT
La théorie de Binet
Texte original
Compte rendu des séances de l’Académie des Sciences
Séance du lundi 17 février 1851
[...]
Mécanique - Suite de la note sur le mouvement du pendule simple en ayant égard à
la révolution diurne de la Terre, par M. Binet
Première partie de la résolution
Les équations différentielles du mouvement relatif d’un pendule simple d’une
longueur r, en ayant égard à la rotation diurne de la Terre résultent soit des formules de
Laplace, établies dans le quatrième volume de la Mécanique céleste, soit celle que Poisson a
données dans le Journal de l’École Polytechnique, 26e cahier, je vais rapporter ces formules
en me servant, à peu près de la notation de Poisson : n sera la vitesse angulaire de la Terre
de l’occident vers l’orient, γ la latitude géographique du point de suspension du pendule ; g
la pesanteur terrestre combinée avec la force centrifuge locale provenant de la rotation de la
Terre ; les coordonnées rectangulaires x, y, z auront leur origine au point de suspension ;
l’axe positif des x est dirigé vers l’Est, l’axe de y vers le Nord, et les z positifs sont dirigés de
haut en bas, dans le sens vertical de la chute des graves ; N est la tension du fil du pendule
simple, ou la pression normale que supporte la surface sphérique : cette force est dirigée
vers l’origine des coordonnées, et elle forme avec les axes des angles qui ont rx
, ry
, rz
pour
cosinus. En négligeant la résistance de l’air, les trois équations différentielles du mouvement
du pendule seront :
( )
( )
( )
( )
−=+
−=+
+=+
dtdxγcosn2g
rNz
dtzd:C
dtdxγsinn2
rNy
dtyd
:B
dtdzγcosn2
dtdy
γsinn2r
Nxdt
xd:A
a
2
2
2
2
2
2
Entre les coordonnées, on a d’où l’on tire les relations 2222 zyxr ++=
0zdzydyxdx =++ et ( ) ( ) 0dzzdyydxxd 222 =++ dydxz 222 +++ .
En multipliant par dx, dy, dz les équations (a) et en les ajoutant, tous les termes
affectés de N et de n se détruisent, et il reste simplement gdz
dtzdzdydydxdxd
2
222
=++
dont l’intégrale est ( )czg2
dtdzdydx
2
222−=
++
.
On aura la pression N en multipliant par x, y, z les mêmes équations différentielles
et en les ajoutant ; on remplacera dans la somme xd par
, et il viendra
zzdyydx 222 ++
222 dzdydx −−−
−
+
−
+++
+=dt
zdxxdzγcosn2dt
ydxxdyγsinn2
dtdzdydx
gzNr 2
222
.
On substitue la valeur ( )czg2 − , au carré de la vitesse, et il vient
−
+
−
+−=dt
zdxxdzγcosn2dt
ydxxdyγsinn2gc2gz3Nr
.
La vitesse angulaire de la Terre, représentée par le coefficient n dans ces formules,
est une très petite fraction, savoir 86400π2n =
, si l’on prend la seconde sidérale comme unité
de temps, et alors, 51n ′′= de degré ; et quand on prend la seconde de temps moyen solaire
3951 ′′=13713
186163
π2n ==, ce qui surpasse un peu la première valeur, rapportée à une
autre unité de temps.
Tous les termes multipliés par n peuvent être assimilés à des forces perturbatrices
du mouvement déterminé par les mêmes équations où l’on aurait posé n=0 : ce seraient
alors les équations du pendule conique dont on a les intégrales qui renferment quatre
paramètres arbitraires ; pour avoir égard aux termes multipliés par n, selon la méthode
connue de la variation des constantes arbitraires, on rendra variables les quatre
paramètres ; et leurs différentielle étant obtenues pourront être intégrées par
approximation.
Notre objet actuel permet de simplifier cette recherche, parce que nous pouvons
nous borner à considérer les petites digressions ou oscillations d’un pendule autour de sa
position d’équilibre, autour de la verticale, sa distance 22 yxρ += à l’axe des z doit
demeurer une petite quantité, ainsi que les vitesses dtρd
, dtdx
, dtdy
, elles seront traitées
comme des quantités du premier ordre.
On a .etc
r8ρ
r2ρrρryxrz 2
4222222 −−−=−=−−=
ainsi, en voulant négliger
les dans z, on aura 4ρ dt
ρdrρ
dtdz
−=. En remplaçant z par cette valeur dans la dernière des
formules de (a), on aura
( )
+
−+= 2
2
2 r2ρ
1dtdxγcosn2
rdtρdρd
gN où 2
2
r2ρ
1 + remplace le
facteur zr
: dans la première approximation, on peut négliger le terme dtdxγcosn2
, ainsi
que les termes en ρ et dtρd
qui demeurent du second ordre : on y aura égard si on le veut
dans une approximation ultérieure. La valeur de N sera ainsi réduite à gN . =
Pour abréger, nous poserons 2h
rg
rN
==, et les deux premières équations (a)
deviendront :
dtdxγsinn2yh
dtyd
dtdzγcosn2
dtdy
γsinn2xhdt
xd
22
2
22
2
−=+
+=+
Le terme dtρd
rρ
γcosn2dtdzγcosn2 −=
doit être rejeté dans l’approximation
suivante, étant de l’ordre déjà négligé dans le premier membre où N est remplacé par .
Les équations deviennent donc en posant
2rh
kγsinn = ,
( )
−=+
=+′
dtdxk2yh
dtyd
dtdy
k2xhdt
xd
a2
2
2
22
2
On satisfait à ces équations linéaires par les valeurs ( )εtµcospx += et
( )εtµsinpy += , p et étant deux constantes arbitraires, et µ une quantité constante qui
va être déterminée. La substitution dans l’une ou l’autre des équations (a) donne la même
formule, savoir
ε
( ) ( ) ( )εtµsinµkp2εtµsinµp 2 +=+−h 2. Après avoir divisé par
( )εtµsinp +
hµk2µ 22 =−+
, cela se réduit à h . On obtiendra en résolvant l’équation
, ses racines et sont de signes contraires, savoir,
µk2µ22 =−
µ 1µ
µ
0
22 k+hkµ +−= et 22
1 khk +−−=µ . On remarquera que k est une
quantité négligeable relativement à
γsinn 22=2
rgh2 =
, parce que 137131n =
et nous prendrons
et µ . On satisfait évidemment aux mêmes équations (a’) par les
valeurs
khµ −= kh −1 = −
( )1ε1µ1 cos t +px = et ( )1ε11 tµsinpy += ; or les équations différentielles étant
linéaires, l’on sait que les expressions générales des variables x et y se composent de la
somme des valeurs particulières, ainsi, l’on a ( ) ( )111 εtµcosp +εtµcospx ++= et
( ) ( )11 εtµ1 sinpεtµsinpy +++= .
L’instant à partir duquel on compte le temps étant arbitraire, on pourra rendre
égales les constantes arbitraires ; la constante ainsi supprimée sera comprise dans la
variable t : les deux autres constantes p et p
1εε =
1, quoique arbitraires, doivent cependant être
telles que x et y demeurent de petites quantités, selon l’hypothèse. Ajoutons les carrés des
coordonnées
( ) ( )( ) ( εtµεtµsinpy
εtµcosεtµcospx
1
1
++= )sinpp
1
1
++++=
( )ht2cospp2 1
cela donne, pour ρ ,
parce que
222 yx +=
ppρ 21
22 ++= ( ) ( )ht2costµ1tµcos =− .
Cette valeur revient à ( ) ( ) ( ) ( )htsinpphtcosppρ 221
221
2 −++= et en posant
et p11 ρpp =+ 21 ρp =− , on aura ( ) ( )htsinρhtcosρ 222
221
2 +=
21
22 1
ρ . Ainsi la valeur de ρ
est nécessairement comprise entre ρ et ρ , et, en posant que ρ soit supérieur à ρ , on
aura constamment ρ . Par conséquent, il suffit que la constante
2
2
2ρ>1 ρ> rρ1
soit une
petite quantité pour que ces résultats soient conformes à l’hypothèse des petites
oscillations.
Seconde partie de la résolution
On voit qu’après chaque durée grπ
hπt ==
k
la distance ρ reprend
périodiquement sa valeur, mais il n’en n’est pas tout à fait ainsi de x et y : ces coordonnées
éprouvent de petites altérations dont nous allons reconnaître les effets. Substituons dans x
et y pour et µ les quantités hµ 1 − et kh −− ; elles deviennent
( ) ( )( ) ( )ktεhtpktεhtsinpy
ktεhtpktεhtcospx+−−+= sin
cos
1
1
−+−+−+=
ou bien
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ktεsinpphtcosktεcospphtsiny
ktεsinpphtsinktεcospphtcosx
11
11
−++−−=
−−−−+=
or p 11 ρp =+
et p , on a donc 21 ρp =−( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ktεsinhtcosρktεcoshtsinρy
ktεsinhtsinρktεcoshtcosρx
12
21
−+−=−−−=
, d’où l’on tire
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ktεcosyktεsinxhtsinρ
ktεsinyktεcosxhtcosρ
2
1
−+−−= )−+−=
Pour interpréter plus clairement ces expressions, nous concevrons le pendule
simple (ou l’extrémité du rayon sphérique) comme projeté sur le plan tangent horizontal,
inférieur à la sphère décrite avec le rayon r ; nous nommerons P cette projection mobile à
l’égard de deux axes des x et y parallèles à ceux qui passaient par le point de suspension ; le
point mobile ne s’écartant du plan tangent inférieur que d’une quantité du second ordre, est
dans toutes ces situations extrêmement voisin de sa nouvelle projection : suivre des yeux
cette projection est presque suivre des yeux le pendule lui-même.
Soit l’azimut de la projection horizontale P mesurée de l’Est vers le Nord, c’est-à-
dire dans le sens de circulation des x positifs aux y positifs ; en sorte que et
υυcosρx =
υsinρy =
( ) ; par les valeurs précédentes, on aura
( ) ( )[ ]ktεsinυcosktεcosυsinρhtsinρ2 −−−= ou bien ( ) ( ktευ )sinρhtsinρ2 = +− et
semblablement ( ) ( )ktευcosρhtcos1ρ +−= .
Soit encore ( ) ( )ktευcosρhtcosρξ 1 +−== et ( ) ( ktευsi )nρhtsinρν 2 +−== ;
on voit que ξ est la projection du point P sur une droite qui comprendra avec l’axe des
x, car elle forme alors l’angle avec ρ ; ν sera la perpendiculaire abaissée de P sur
ktε −
ktευ +−
cette même droite ; et ξ est donc une droite mobile. Cela posé, on a ( ) 2ρνhtsin = et
( ) 1ρξhtcos = et en ajoutant les carrés de ces valeurs, 21
2
22
2
ρξ
ρν1 +=
2
ainsi les coordonnées ν
et ξ appartiennent à une ellipse dont les axes 2 et sont constants ; mais le grand axe
de cette ellipse est uniformément mobile autour de son centre. La valeur de l’angle azimutal
prouve que le sens du mouvement est rétrograde du nord vers l’est, la vitesse
angulaire constante
1ρ ρ2
ktεξx^
−=
dtυd , étant γsinnk = , où γ est la latitude. Cette vitesse est nulle
quand la station est à l'équateur où 0γ = ; elle serait 86163π2n = pour une station
polaire. Quand on pose , selon l'hypothèse ordinaire où l'on néglige la rotation de la
terre, la projection devient l'ellipse invariable indiquée par M. Pouillet, dans le cas de des
petites oscillations du pendule simple.
0n =
grπ
gr
γ
La durée d’une oscillation étant , la déviation de l’axe de l’ellipse est, pendant
ce temps, de πγsinn ⋅
; quantité extrêmement petite, mais qui, se reproduisant dans le
même sens à chaque oscillation, devient promptement sensible et appréciable.
La vitesse angulaire du plan oscillatoire autour de la verticale est γsinnk = ; il
convient de remarquer qu'elle est précisément égale en grandeur, et de direction contraire à
une composante de la vitesse de rotation de la terre n décomposée en deux vitesses
angulaires : l'une aurait, pour axe de rotation la verticale, et l'autre, la méridienne dirigée
vers le nord. Ces deux droites et une parallèle à l’axe de la terre passant par le point de
suspension du pendule sont dans un même plan ; la parallèle à l’axe de la terre fait avec la
méridienne, l’angle γ, et l’angle γ90 avec la verticale ; d’après le théorème d’Euler sur les
vitesses angulaires de rotation, la composante de n avec la verticale est
−°
γcosn . Ainsi
l’angle azimutal s’accroît comme si la terre était entraînée autour de la verticale par la
composante horizontale de sa vitesse angulaire, et que le plan oscillatoire fût entièrement
fixe, sans avoir égard à la seconde composante cosn . Au pôle, cette dernière composante
est nulle ; la proposition est alors évidente et c’est le point de départ des considérations
ingénieuses qui ont amené M. Foucault à son expérience.[...]
Résolution de l’équation du pendule à la manière de Binet
Première partie de la résolution
Pour la résolution de l’équation différentielle des mouvements du pendule de
Foucault, telle que Jacques Binet l’a menée, on part du système d’équations que Poisson a
établi par différents changements de base, à savoir :
( )
( )
( )
( )
−=+
−=+
+=+
dtdxγcosn2g
rNz
dtzd:C
dtdxγsinn2
rNy
dtyd
:B
dtdzγcosn2
dtdy
γsinn2r
Nxdt
xd:A
a
2
2
2
2
2
2
Remarque : N, que Jacques Binet nomme « pression », n’est pas une tension en réalité.
Calculons l’unité de N :
[ ][ ]
[ ][ ][ ]L
LnTL
2 =. Donc N s’exprime en . On pouvait
également le remarquer en notant que les équations ont été obtenues grâce à la relation
fondamentale de la dynamique puis en divisant les équations obtenues par la masse de la
sphère suspendue au fil.
12 kgNsm −− ⋅=⋅
Le fil reliant la sphère à son point d’attache étant inextensible, on a
. Donc, en différentiant cette équation une fois, puis deux fois, on obtient
les équations suivantes :
2222 zyxr ++=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0zdzydyxdx:Dzdz2ydy2xdx20
dzzrdy
yrdx
xrrd
2222
=++++=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
et
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( 0dzdy
zzddz
zdzd
22
22
=++
+
( ) ( ) dxzzdyydxxd:E
yyddyxxddx0
ydydxdxdrddrd
2222
2222
222
+++
++++=
++==
)
On obtient une nouvelle équation à partir des relations entre les différentielles et du
système d’équations du pendule de Foucault :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )D à grâce gdzdt
zdzdydydxdxd:F
gdzzdzydyxdxrN
dtzdzd
dtydyd
dtxdxd
con2gdzdt
dxdyγsinn2
dtdxdzγcosn2
dtdxdy
γsinn2dzr
Nzdt
zddyr
Nydt
yddx
rNx
dtxd
:dzCdyBdxA
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++
=+++++
−+−+=
++
++
+
++
On intègre cette équation :
( )
( ) ( )czg2dt
dzdydx:G
czgdt
dzdydx21
gdzdtdz
dtdy
dtdx
21
dddz
dtyd
dydt
xddxdt
zddz2dt
yddy2
dtxddx2
21
dtdz
dtdy
dtdxd
21
gdzdt
zdzdydydxdxd
2
222
2
222
x
0
y
0
z
c
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
x
0
y
0
z
c
x
0
y
0
z
c2
222
−=++
−=++
∫
∫
∫=
+
+
⇒
++=
++=
+
+
∫
∫
∫=∫
∫
∫
++
Dans (G), c est une constante d’intégration.
Remarque : On peut retrouver cette équation à partir du théorème de l’énergie cinétique ;
en effet, on a, d’une part, la puissance du poids qui vaut
( ) mgdzedzedyedxgmdrPP zyx =++⋅=⋅= d’où où m
est la masse de la sphère suspendue au fil, et d’autre part,
( )czmgdzmgPz
c
z
c−=∫=∫
2
+
+
=
=
222
c dtdz
dtdy
dtdxm
21
dt
drm
21E
, et puisque l’on a égalité entre les
deux, on retrouve le résultat.
En substituant les valeurs ainsi déterminées dans (a), il vient :
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
( )
−
+
−+−=
−
+
−++−=
−
+
−++
++=++=
−+
−+=+++++
−+−+=+++++
++
dtzdxxdzγcosn2
dtydxxdy
γsinn2gc2gz3Nr:H
grâce dt
zdxxdzγcosn2dt
ydxxdyγsinn2gzczg2Nr
dtzxdzγcosn2
dtydxxdy
γsinn2gzdt
dzdydxNrzyxr puisque et E à grâce
dtdxz
dtdzxγcosn2
dtdxy
dtdy
xγsinn2gzzyxrN
dtzzdyydxxd
dtdxγcosnz2gz
dtdxγsinny2
dtdzγcosnx2
dtdy
γsinnx2r
Nzdt
zdzr
Nydt
ydy
rNx
dtxdx
:zCyBxA
2
2222222
2222
222
2
2
22
2
22
2
2
Or 15 s.rad103,7
86400π2n −−×==
est négligeable devant les autres termes et :
( )r2
ρrz:I
rρo
r2ρr
rρo
rρ
211r
rρ1rρrzzρzyxr
2
2222222222222
−≈
+−=
+
−=
−=−=⇒+=++=
(On effectue un DL1(0) de t1t −a , possible car x et y sont négligeables devant z,
donc est négligeable devant r : ρ zzyxryxρ 22222 ≈++=<<+= ).
À partir de là, on dérive z par rapport au temps, et il vient :
( ) ( )dtρd
rρ
dtdz:J
dtρdρ2
r21
dtρd
r21
r2ρr
dtd
dtdz 22
−=⇒
−==
−=
D’où, en réalisant un DL1(0) de t11t−
a à partir de l’équation (C) :
( ) ( )
+
−+=
−
+−=
−=
−+
−
−=
−+
−=+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r2ρ1
dtdxγcosn2
rdtρdρdgN:K
rρ1
1dtρdρ
rdtd
dtdxγcosn2gN
dtdxγcosn2g
rρ1N
dtρd
rρ
dtd
dtdxγcosn2g
r2ρr
rN
dtdz
dtd
dtdxγcosn2g
rNz
dtzd
Lorsqu’on néglige les termes du second ordre, c’est-à-dire,
dtρdρ
dtd
, 2
2
rρ
et le
terme dtdxγcosn2
(négligeable car n est petit de même que dtdx
, on peut le considérer
comme un terme du second ordre). On a ( ) gN:L = .
Remarque : Ce résultat est prévisible étant donné que les oscillations sont de faible
amplitude, donc la tension du fil est quasiment verticale puisqu’elle suit sa direction. De
plus, à l’équilibre, le poids et la tension du fil s’annulent, d’après la relation fondamentale
de la dynamique.
On note maintenant N , mais aussi rhg 2== kγsinn = . On obtient alors, en
remplaçant N et γsinn par leurs valeurs dans (a) :
( )
( )
( )
( )
−=+′
−=+′
+=+′
′
dtdxγcosn2gzh
dtzd:C
dtdxk2yh
dtyd
:B
dtdzγcosn2
dtdy
k2xhdt
xd:A
a
22
2
22
2
22
2
.
Or ( )
dtρd
rρ
γcosn2dtdzγcosn2
dtρd
rρ
dtdz:J −=⇒−=
qui est assimilable à un
terme du second ordre, puisqu’il comporte n, vitesse angulaire de rotation de la Terre, qui
est petite et dtρd
qui est une quantité du premier ordre. On peut donc négliger ce terme. On
trouve donc :
( )
( )dtdxk2yh
dtyd
:B
dtdy
k2xhdt
xd:A
22
2
22
2
−=+′
=+′
.
Selon Jacques Binet, les solutions sont de la forme
( ) ( )( ) ( )εtµsinpy:M
εtµcospx:M
y
x
+=+=
.
Remarque : Ces solutions ne sont pas justifiées. En effet, à l’époque de la publication de
cet ouvrage, lorsqu’une solution était juste, on considérait que toutes les solutions étaient
de cette forme (si une solution convenait, alors, les autres étaient de la même forme).
Aujourd’hui, on retrouve ces résultats grâce à la méthode complexe. En effet,
( ) ( )dtdxik2
dtdy
k2yihxhdt
ydi
dtxd:BiA 22
2
2
2
2−=+++′+′
i. Si on considère le complexe
yxu +=
( ) ( )
, on obtient l’équation différentielle linéaire d’ordre deux
0uhdtduik2
dtud
dtduik2
dtdy
idtdx
ik2
dtdy
dtdxik2uh
dtud: 2
2
22
2
2=++⇔−=
+=
+−=+
0hikr2 22 =++
BiA ′+′
. Alors, on retrouve les mêmes solutions que Binet : l’équation caractéristique associée à
l’équation différentielle ci-dessus est r et a pour solutions r et r1 tels que
+−−=
++−=⇒−
221
222
khiikr
khiikrk−=′ 2h∆
, donc les solutions pour u sont
( ) ( )tkhkitkhki 2222
BeAeu ++−++− += , on peut en conclure que les solutions pour x et y sont
de la forme :
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tkhksinBtkhksinAtkhksinBtkhksinAy
tkhkcosBtkhkcosAtkhkcosBtkhkcosAx22222222
22222222
++−++−=++−+++−=
+++++−=++−+++−=
On a donc ici les valeurs de µ, µ1, ε et ε1.
On a alors
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )εtµsinµpdt
ydεtµcosµp
dtdy
εtµsinpy:M
εtµcosµpdt
xdεtµsinµpdtdxεtµcospx:M
22
2
y
22
2
x
+−=+=+=
+−=+−=+=
( )A′
. Si on
reporte ces valeurs dans , on obtient l’équation du second degré en µ :
( ) ( ) ( ) 0hµk2µµk2hµεtµcosµkp2εtµcosphεtµcosµp 222222 =−+⇔=+−⇔+=+++−
. De même, le report de ces mêmes valeurs dans l’équation ( )B′ permet de retrouver le
résultat précédent :
( ) ( ) ( ) 0hµk2µµk2hµεtµsinµkp2εtµsinphεtµsinµp 222222 =−+⇔=+−⇔+=+++−22 hk∆ +=′On peut maintenant résoudre cette équation donc, les solutions sont
22 khkµ ++−= et 22
1 khkµ +−−= .
Or
2292
222 srad103,586400
π2γsinnk −− ⋅⋅≈
≤=
et 14,0
6881,9
rg
h 2 ≈≈=
hkµ +−=
,
donc est négligeable devant , on peut donc considérer que et
.
2k
k −−
2h
hµ1 =
Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme
( ) ( )111 εtµcospεtµcospx +++= et ( ) ( )111 εtµsinpεtµsinpy +++= .
Binet pose ensuite ε . 1ε=
Remarque : On a vu, dans la résolution moderne de l’équation du pendule, que la
résolution de l’équation différentielle donnant le complexe u en fonction du temps donne
l’égalité entre ε, ε1 et zéro.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )tµµcosppppεtµεtµcos21pp2ppρ
εtµsinεtµsinεtµcosεtµcospp2εtµsinεtµcospεtµsinεtµcospρ
yxρ
εtµsinεtµsinpp2εtµsinpεtµsinpyεtµsinpεtµsinpy
tµcosεtµcospp2εtµcospεtµcospxεtµcospεtµcospx
1121
211
21
22
111
12
122
12222
222111
221
22211
11122
1222
11
−++=
+−+++=
+++++++++++++=
+=
++++++=⇒+++=
++++++=⇒+++=
En remplaçant par leurs valeurs les quantités µ et µ1, on obtient :
( ) ( )( )[ ]( ) ( )ht2cosppppρ:P
thkhkcosppppρ
121
221
21
22
++=
−−−+−++=
, que l’on transforme :
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )htsinpphtcosppρ:Q
htsinpp2pphtcospp2ppρ
htsinhtcospp2htsinhtcosppρ
221
221
2
21
21
221
21
22
221
2221
22
−++=
−++++=
−+++=
On pose deux nouvelles inconnues : ρ 11 pp += et ρ 12 pp −= . On a donc
. Étudions la fonction ρ en fonction du temps : ( ) ( ) ( )htsinρhtcosρρ:Q 222
221
2 += 2
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )( )21
22
2
22
21
2
ρρhtsinhtcosh2dtρd
htcoshtsinh2ρhtsinhtcosh2ρdtρd
−=
+−=
. si on suppose ρ 12 ρ< ,
on a le tableau de variation suivant :
t 0 h2π hπ h2π3 hπ2
( )htcos + - - +
( )htsin + + - -
( )21
22 ρρ −
- - - -
( ) dtρd 2
- + - +
2ρ 21ρ
22ρ
21ρ
22ρ
21ρ
Les variations de nous indiquent clairement que 2ρ 12 ρρρ << :
Donc, il est nécessaire que r1ρ soit une petite quantité pour que ρ soit une petite
quantité, c’est-à-dire, pour que l’on se trouve dans le cadre de petites oscillations. Et par
définition, , où p et p11 ppρ +=1 sont des réels tels que ( ) ( )εtµcospεtµcospx 11 +++=
et ( ) ( )εtµsinpεtµsinpy 1 += 1++ . Les longueurs x et y restant négligeables devant r ; p et
p1 restent eux aussi négligeable devant r, donc, rρ1 est une petite quantité.
Seconde partie de la résolution
ρ est périodique, c’est-à-dire qu’on remarque qu’après chaque période
hrπ
hπt ==
, ρ reprend la même valeur ( ( ) ( )htsinρhtcosρρ 222
221 += ). Mais il n’en va
pas de même pour x et y :
Remplaçons µ et µ1 par leurs valeurs (respectivement kh − et ) dans
l’expression de x et de y :
kh −−
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (
( )( ) ( )( ) ( )
+−−−+=+−+−+=
−+−+−+=+++=−+
)−+−++++=
ktεhtsinpktεhtsinpyktεhtcospktεhtcospx
:R
ktεhtsinpktεhtsinpεtµsinpεtµsinpyktεhtcospktεhtcospεtµcospεtµcospx
1
1
111
111
que l’on transforme de sorte que cela devienne :
( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ([ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
)
( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
−++−−=
−−−−+=
−++−−=−−−+−+−=
−−+−+=−−−−+=
−+−+−−−=−−+−+=
ktεsinpphtcosktεcospphtsinyktεsinpphtsinktεcospphtcosx
:R
ktεsinpphtcosktεcospphtsinyhtcosktεsinktεcoshtsinphtcosktεsinktεcoshtsinpy
ktεhtsinpktεhtsinpyktεsinpphtsinktεcospphtcosx
ktεsinhtsinktεcoshtcospktεsinhtsinktεcoshtcospxktεhtcospktεhtcospx
11
11
11
1
1
11
1
1
1p+ 1pp− 1 2
( ) ( )On remplace p et par leur valeur respective ρ et ρ , on a donc
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )−+−=−−−=
ktεsinhtcosρktεcoshtsinρktεsinhtsinρktεcoshtcosρ
12
21
1
( )ktεcos −
yx
:R
2ρ. D’où l’on tire l’expression de ρ et de
en fonction de x, y, et ( )ktεsin − :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )ktεsinyktεcosxktεsinktεsinhtcosρktεcoshtsinρktεcosktεsinhtsinρktεcoshtcosρktεsinhtcosρktεsinktεcoshtsinρ
ktεsinktεcoshtsinρktεcoshtcosρ
ktεsinhtcosρktεcoshtcosρ
ktεsinktεcoshtcosρhtcosρ
12
21
212
22
1
21
21
2211
−+−=−−+−+−−−−=−+−−+
−−−−=
−+−=
−+−=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )ktεcosyktεsinx
ktεcosktεsinhtcosρktεcoshtsinρktεsinktεsinhtsinρktεcoshtcosρktεsinktεcoshtcosρktεcoshtsinρ
ktεsinhtsinρktεsinktεcoshtcosρ
ktεsinhtsinρktεcoshtsinρ
ktεsinktεcoshtsinρhtsinρ
12
21
12
2
221
22
22
2222
−+−−=−−+−+−−−−−=−−+−+
−+−−−=
−+−=
−+−=
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
−+−−=−+−=
ktεcosyktεsinxhtsinρktεsinyktεcosxhtcosρ
:S2
1
On considère maintenant que les coordonnées x et y de la sphère suspendue au fil
sont celles du projeté P de la sphère sur le sol comme décrit par le schéma suivant :
Ceci est possible étant donné qu’on se trouve dans le cas de petites oscillations,
donc la sphère rase le sol et se trouve non loin de P.
Soit tel que et υ υcosρx = υsinρy =
Remarque : Binet appelle υ un « azimut de la projection horizontale P mesurée de l’Est
vers le Nord », c’est-à-dire une direction ; mais, en réalité, puisque x et υcosρ=
υsinρy = , on peut considérer que l’on se place en coordonnées polaires où ρ et υ sont les
coordonnées polaires, ρ étant la distance de P au pôle et υ l’angle entre l’axe polaire des x et
la droite (OP).
En remplaçant les coordonnées cartésiennes x et y par les coordonnées polaires de
P ρ et υ dans les équations (S), on obtient :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
+−=+−=
+−=−+−−=−+−−=
−+−−=+−=
−+−=−+−=
−+−=
ktευsinρhtsinρktευcosρhtcosρ
:T
ktευsinρhtsinρktεcosυsinktεsinυcosρhtsinρktεcosυsinρktεsinυcosρhtsinρ
ktεcosyktεsinxhtsinρktευcosρhtcosρ
ktεsinυsinktεcosυcosρhtcosρktεsinυsinρktεcosυcosρhtcosρ
ktεsinyktεcosxhtcosρ
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
À partir de maintenant, on notera ( ) ( ktευcosρhtcosρξ 1 +− )== et
( ) ( )ktευsinρhtsinρν 2 +−==
υcosρx = υsi. Concrètement, on remarque que, puisque ρ et
et
22 yx +=
nρy = , ξ et ν sont les projections de P dans un plan tel que les
coordonnées polaires de P soient ρ et ν, on a donc un axe polaire en décalage par rapport à
l’axe des x, et ce décalage vaut ktε − : on note ξ l’axe des abscisses et ν celui des
coordonnées dans cette nouvelle base, qui, il faut le rappeler, est mobile dans le repère
(Oxyz), en effet, l’angle où S est la projection orthogonale au sol du point de suspension
du pendule, vaut et dépend donc du temps.
ξSx
ktε −
On a donc ( )
1ρξhtcos =
et
( )2ρνhtsin =
. Ces relations donnent l’équation :
( ) ( )
( ) 22
2
21
2
2
2
2
1
22
ρν
ρξ1:U
ρν
ρξhtsinhtcos
+=
+
=+
.
Ceci est l‘équation d’une ellipse, en effet, ρ1 et ρ2 sont fixés, donc, ξ et ν sont les
coordonnées d’un point qui décrit une ellipse, donc le grand axe est et le petit axe est
. Mais il ne faut pas oublier que le grand axe de cette ellipse possède un mouvement
rétrograde par rapport à la rotation de la Terre, tel que l’orientation de cet axe par rapport à
l’axe de référence des x soit de ε .
1ρ2
2ρ2
kt−
Interprétation des résultats obtenus
Lorsqu’on donne un mouvement au pendule, l’oscillation se trouve dans le plan
. La vitesse de rotation du plan du pendule est donc de ktε −( ) k
dtktεd
−=−
, soit, en valeur
absolue, γsinn=k .
Si on se trouve au pôle, on a °= 90γ , donc nk = , le plan d’oscillation du pendule
tourne à la même vitesse que la Terre ; au contraire, si on se trouve à l’équateur, °= 0γ ,
donc , c’est-à-dire que le plan d’oscillation du pendule ne change pas, on se trouve
dans le cas du pendule simple dans un référentiel galiléen, comme si on négligeait la
rotation de la Terre.
0k =
Durée d’une oscillation
grπ
Déviation du plan du pendule pendant une oscillation
grπγsinn ⋅
Vitesse de rotation du plan d’oscillation du pendule γsinnk =
Conclusion
Jean Léon Foucault fût un véritable touche à tout génial. Rares sont les disciplines
scientifiques où il ne laissa pas sa trace. D’un point de vue pratique, nous sommes
aujourd’hui les héritiers de son gyroscope, de sa méthode dite de « Foucaultage » (contrôle
de la surface des miroirs encore utilisé par les astronomes et les opticiens) mais aussi dans
le domaine de la microphotographie ou des télescopes. D’un point de vue théorique, il
apporta également une contribution non négligeable que ce soit par ses mesures de la
vitesse de la lumière ou par ses recherches sur les courants dits de « Foucault ».
C’est par cet équilibre entre recherches fondamentales et recherches appliquées
que vient l’originalité du savant qu’était Foucault et qui ont fait de lui le grand chercheur
que nous connaissons.
Toutefois c’est surtout pour l’expérience du pendule qui porte son nom que l’on se
souvient de Foucault. En effet, cette dernière s’est distinguée des autres expériences
scientifiques qui sont le plus souvent réservées aux initiés, par la relative simplicité de sa
mise en œuvre et le fait qu’elle mettait à la portée du regard de tous, du plus grand
physicien au plus modeste citoyen, la rotation de la Terre. Son caractère spectaculaire fit sa
grande popularité qui provoqua une véritable manie du pendule à travers le monde. Dans le
cercle restreint des physiciens, cette expérience fut le prétexte à de nombreuses théories
plus ou moins proches de la réalité qui, d’un côté, révélèrent des erreurs commises par
certains par le passé et de l’autre, confirmèrent des travaux alors non vérifié par la pratique.
Dans la continuité de cette expérience, Foucault créa le gyroscope, outil qui a eu et
qui a encore une importance capitale de nos jours, avec les gyro-lasers, dans le domaine de
l’aéronautique ou de la marine.
Aujourd’hui, Foucault n’est pas oublié, son pendule est devenu, en quelque sorte,
une œuvre d’art que l’on peut admirer partout dans le monde que ce soit en Europe, aux
Amériques, en Asie ou sur tout autre continent et qui continue à fleurir ici et là.