De Broglie propose una analogia fra onde e particelle. Per un’onda elettromagnetica vale il principio di sovrapposizione e si osserva l’esistenza di quanti tali che

La Tesi di laurea del duca Loius de Broglie (1924)

Analogia: se alle onde elettromagnetiche sono associati i fotoni, che si comportano come corpuscoli, vuol dire che alcuni

corpuscoli sono manifestazioni di onde. Questo modifica il concetto di corpuscolo; cosi’ ad ogni particella materiale (ad esempio un elettrone)

deve essere associata una onda.

, energia per un'onda da 1 quanto (fotone)

momentodelfotone , vettore d'onda

u h

p k k

2

, k=vettore d'onda.p k

Ad un fascio di particelle materiali di momento p, come per un quanto di radiazione, deve essere associata una

onda con

2

L'analogia non e' completa: p va modificata perche' per particelle di massa m,

la legge di dispersione e' E= .2

uABC

c

p

m

Nel caso della luce, vale la descrizione in termini di un quadripotenziale (A, f) che obbedisce alla equazione delle onde con velocita’ c.

Come descrivere le onde associate a particelle con massa, come gli elettroni,neutroni, etc.? Ci vuole una diversa ampiezza, la funzione d’onda

y(r).

3 2. , , intensita' fascio

2

ik r he p ky y

Differenza: la funzione d’onda, a differenza del campo, e’ inosservabile; deve avere un modulo e una fase ed essere

complessa.

L’intensita’ della luce va con il quadrato del campo; per il campo vale il principio di sovrapposizione .

Analogamente, l’intensita’ di un fascio di particelle va con il quadrato della funzione d’onda, e ci si devono aspettare

fenomeni di interferenza e diffrazione.

Deve valere il principio di sovrapposizione.

Distanza fra gli atomi di un solido elementare = parametro reticolare

4

Esperimento di Clinton Davisson and Lester Germer (1927): per verificare le idee di De Broglie: gli elettroni diffrangono dalle superfici come la luce fa’ da un reticolo.

.

Qualche Angstrom. Che energia deve avere un elettrone per avere l=1 Angstrom?

3424

10

6.6*106.6*10

10

h Js Jsp

m ml

2 48 22 2 2

17 17

31 2

6.6 *10 ( )

4.8*10 4.8*102 9.1*10

Js

p h J sm Jm Kg m Kgl

191 1.6*10eV J

2 17

19

4.8*10300

2 1.6*10

peV eV

m

Immagini LEED di una superficie di W(100) con elettroni da 45 eV (sinistra) and 145 eV (destra).

Moderne tecniche: LEED (low energy electron diffraction) RHEED (reflection high-energy electron diffraction)

Studiano la struttura delle superfici

(la superficie funge da reticolo, se la distanza fra atomi vicini e’ dell’ordine di l )

5

.

immagine LEED di una superficie di Si

6

cannone

lastra Schermo con fenditura

( )2

sinSiosserva la diffrazione con

kadI d

ka

Esperimenti fatti con fotoni, elettroni, neutroni,atomi,..

Oggi si possono fare con precisione esperimenti di interferenza e diffrazione che nel 1925 potevano solo essere pensati. Un cannone elettronico con particolari accorgimenti spara elettroni monocromatici.

7

cannone elettronico

Lastra fotografica

interferenza

Interferenza con elettroni (anche neutroni, atomi, molecole, etc)

Frange di interferenza

Frange evidenti se le dimensioni delle fenditure sono paragonabili alla lunghezza d’onda di De Broglie 34

2,

2

6,610

h hp k p

h Js

l l

Di dove passano gli elettroni?

Scelgono a caso?

No

8

cannone elettronico

lastra

fotografica

Di dove passano gli elettroni? Tappiamo una fenditura e l’interferenza sparisce

Di dove passano gli elettroni? da ambedue le parti insieme!

Non si puo’ sapere di dove e’ passato un elettrone quando c’e’ interferenza.

Lastra fotografica

Nel caso quantistico, l’osservazione modifica il sistema osservato

L’elettrone che passa da una fenditura ‘sa’ se l’altra e’ aperta o chiusa, anche se passa un elettrone alla volta!

9

cannone elettronico

interferenza

1 elettrone alla volta!

un elettrone interferisce con se’ medesimo!

Di dove passano gli elettroni? da ambedue le parti insieme!

Frange di interferenza

Lastra fotografica

Frange evidenti se le dimensioni delle fenditure sono paragonabili alla lunghezza d’onda di De Broglie

Campo magnetico

Solenoide

Si puo’ fare in modo che il campo magnetico sia intenso nel solenoide e molto piccolo fuori. Questo si puo’ schematizzare come un tubo di flusso

11

cannone elettronico

interferenza

modificata

dal potenziale

vettore

1 elettrone alla volta!

Effetto Bohm-Aharonov, predetto teoricamente nel 1959: le

frange modificate da un potenziale vettore!

Tubo di flusso:

solenoide con B

solo dentro

Lastra fotografica

Frange di interferenza

B=0 B=0

B=0

B=0 B=0

B=0

Niente forza di Lorentz

12

Sorgente di

particelle

A

B

50%

50%

Esperimento con lo specchio semitrasparente (come si fa’ con la luce)

L’intensita’ si divide in parti uguali

13

Sorgente di 1

particella

alla volta

A

B

50%

50%

Esperimento con lo specchio semitrasparente

1 particella alla volta

La particella viene rivelata in A o in B con la stessa frequenza statistica.

Sceglie a caso dove andare?

14

A

B

Sorgente di

1 particella

alla volta

Se la particella scegliesse a caso da che parte andare

Ma l’esperimento non va cosi’!

50% 50%

15

A

B

Regolando le lunghezze dei percorsi, si puo’ fare in modo che la particella vada con certezza

da una parte o dall’altra. La conclusione inevitabile e’ che la particella percorre ambedue le

strade e interferisce con se stessa su distanze macroscopiche!!

Esperimento realizzato ( Iannuzzi et al., prl 2006)

100% 0%

16

A

B

Sorgente di

1 particella

alla volta

Distruggiamo la interferenza

Se si blocca uno dei rami si divide in parti uguali

50% 50%

17

Dualismo onda-corpuscolo

E h

2. , , intensita' fascio2

ik r he p ky y

18

Fullereni

Sir Harold W. Kroto, University od Sussex,Nobel Prize for Chemistry in 1996

Scoperti il 4 Settembre 1985

Fullerenes consist of 20 hexagonal and 12 pentagonal rings as the basis of an icosohedral symmetry closed cage structure.

soccerene

20 esagoni 12 pentagoni 32

20 esagoni 12 pentagoni 20*6 12*5 180 2*Spigoli Spigoli 90

Euler : Facce-Spigoli+Vertici 2 Vertici 60

Facce

per produrre i fullereni: arco elettrico, a circa 5300°K, con una corrente elevata e bassa tensione, utilizzando elettrodi in grafite in atmosfera inerte (argon) a bassa pressione.

20

The art of hitting the goal with every shot

http://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/c60/index.html

We have observed de Broglie wave interference of the buckminsterfullerene C60 with a wavelength of about 3 pm through diffraction at a SiNx absorption grating with 100 nm period. This molecule is the by far most complex object revealing wave behaviour so far. The buckyball is the most stable fullerene with a mass of 720 atomic units, composed of 60 tightly bound carbon atoms.

21

fenomeni in cui e’ importante c Relativita’

fenomeni in cui e’ importante h Teoria dei quanti

atomi, molecole, nuclei

solidi: coesione, magnetismo,fenomeni quantistici macroscopici superfluidita’ superconduttivita’........

stelle: nane bianche, stelle di neutroni

La teoria fondamentale in accordo con tutti i fenomeni noti e’ quantistica e relativistica (teoria di Dirac per l’elettrone)

che raggiunge precisioni di >10 decimali esatti

ma noi studieremo la Meccanica Quantistica non-relativistica

Confini della teoria classica

22

Meccanica Quantistica

Questa teoria ha molti aspetti contrari all’intuizione classica, ma forse il piu´strano di tutti e`che la descrizione della natura debba essere

fatta necessariamente in termini di numeri complessi, quelli che Euler chiamava numeri impossibili.

La teoria quantistica non fa un compromesso fra i punti di vista

corpuscolare ed ondulatorio. Non fa’ giochi di parole come quelli dei filosofi. Fa’ delle predizioni di estrema precisione che sono in

accordo con una miriade di fatti.

23

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (Vienna, 1887 – Vienna, 1961). E’ famoso per il suo contributo alla meccanica quantistica, in particolar modo per l'Equazione di Schrödinger, per la quale vinse il Premio Nobel nel 1933. Propose l'esperimento mentale del Gatto di Schrödinger.

l’articolo "Quantisierung als Eigenwertproblem" (Quantizzazione

come problema agli autovalori) dove espone la sua equazione. Nel 1927, segue Max Planck a Berlino, all'Univerisita Humboldt. Nel 1933, divento’ Fellow del Magdalen College, all'Universita di Oxford, e ricevette il Premio Nobel per la fisica assieme a Paul Adrien Maurice Dirac

Nel 1921, divento’ "Ordentlicher Professor" (ovvero professore a pieno titolo), a Breslavia (l'attuale Wroclaw, in Polonia) Nel 1922, passo’ all'Universita di Zurigo. Nel 1926, Schrödinger pubblico’ negli Annalen der Physik

25

Intensita’ del fascio r(x,t) >0

analoga alle onde e.m. della luce

ma l’equazione delle onde non va bene per elettroni, che non vanno a c

analoga intensita’della luce

y complesso va bene:

( , )( , ) | ( , ) | i x tx t x t e y y

una “onda” y dotata di ampiezza e fase

Intensita’ = probabilita’ di trovare la particella

2| ( , ) |x ty

Come descrivere i fatti?

fase

ampiezza

Analogia: un’onda e.m. monocromatica con ,

h

E h pc

solo che qui l’onda e’ complessa e

2

2

pE

m

(fotoni che vanno tutti nella direzione di p)

l’onda e’ complessa : modulo e fase!

Analogia di De Broglie: Onda piana di momento p ed energia E

( )( ). ( )

, ,

i p x E p t

p E x t ey

con y al posto del potenziale vettore e |y|2 al posto della intensita’ della luce; p= impulso, E= energia.

26

I principi teorici non si possono dedurre!

27

Logaritmo? NO!! Deve valere il principio di sovrapposizione:

( )( ) ( )1 1 2 2. ( ) . ( )

1 2,

i p x E p t i p x E p t

x t Ae A ey

1 1

2 2

ampiezza di probabilita' che l'impulso sia

ampiezza di probabilita' che l'impulso sia

A p

A p

Una misura di p potra’ dare uno dei due valori

con probabilita’ proporzionali a 2 2

1 2| | , | |A A

( )( )

( )

( )

( )

,

,

,

Mettiamoci in 1d e scriviamo l'onda di De Broglie

di impulso p ed energia E :

L’informazione su p e su E deve essere in .

Come si possono  estrarre p ed da  , ?

, .

,

i px E p t

p E

p E

p E

x

E

t e

x t

x t

y

y

y

Occorre una operazione lineare.

( )( )

( )

( )

( )

,

,

,

, .

,

,

con una operazione lineare

L’info su p e su E deve essere in .

Come si puo’ estrarli da

?

p da’ la frequenza spaziale, cioe’ il vettore d’onda.

E=h da’ la frequenza tempo

i px E p t

p E

p E

p E

x t e

x t

x t

y

y

y

rale,.

( )( )

( )( )

( )

,

( )

,

,

,

i px E p t

p E

i px E p t

p E

ipx t e

x

iEx t e

t

y

y

Equazioni agli autovalori

( ) ( )

( )

, ,

,

, ,

eigenwert problem = problema agli autovalori

operatore impulso

, autofunzione

autovalore

p E p E

p E

i x t p x tx

ix

x t

p

y y

y

29

( ) ( )

( )

, ,

,

, ,

eigenwert problem = problema agli autovalori

operatore energia

, autofunzione

autovalore

p E p E

p E

i x t E x tt

it

x t

E

y y

y

In 3d, ( )( ). ( )

, ,

i p x E p t

p E x t ey

( )( )

( ) ( )

. ( )

, ,

, ,

, ,

i p x E p t

p E p

p E

E

ipx t e

i x t p x ty

y

y

= autovalore di i p

= operatore impulso i

Impulso uguale a p nello

stato di onda piana ( )( ). ( )

, ,

i p x E p t

p E x t ey

30

( ) ( )2 2

, ,ˆ , ,p E p Ep x t p x ty y

( ) ( ), ,ˆ , ,p E p Ep x t p x ty y

Energia cinetica

( ) ( )2 2

, ,

ˆ, ,

2 2p E p E

p px t x t

m my y

( )( ). ( )

,Onda con impulso p ,

i p x E p t

p E x t ey

Energia cinetica p2/2m

nello stato di onda piana ( )( ). ( )

, ,

i p x E p t

p E x t ey

31

operatore impulsop i

2

operatore energia cinetica autovalore2

pT E

m

( ) ( ), ,, ,p E p Ei x t E x tty y

Energia uguale a E nello

stato di onda piana ( )( ). ( )

, ,

i p x E p t

p E x t ey

ˆi Et

operatore energia

32

( )( ). ( )

, ,

i p x E p t

p E x t ey

Impulso uguale a p nello

stato di onda piana

variabili dinamiche operatori

2

( , ) ( , )2

pH p x V x t

m Hamiltoniana di un

punto materiale

Hamiltoniano di una particella

2 2 2ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ( , ) ( , )2 2

pH V x t V x t

m m

Energia E it

ˆ ˆH Ey y

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ, ( , ) , ,2

y y y

x t V x t x t i x tm t

33

Equazione di Schrödinger

ˆ ˆ vale anche se H=H(t)

ˆ ˆ vale anche per un sistema di molti corpi.

H E

H E

y y

y y

33

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ, ( , ) , ,2

x t V x t x t i x tm t

y y y

Equazione alle derivate parziali

Descrive l’evoluzione anche in problemi non stazionari (mentre classicamente H=E solo se l’energia e’ conservata)

34 Quella appena presentata non e’ una derivazione dell'equazione di Schrödinger; questa non puo in alcun modo essere dedotta dalla teoria classica.

non e’ realmente una equazione delle onde, se mai e imparentata con una equazione di diffusione nella quale si trasforma prendendo un tempo immaginario t it

( ) ( ) ( )2 2

Per 0

( ), , ammette , exp

2

(De Broglie)

V

i px Etx t i x t x t

m ty y y

34

( ) ( ) ( )

( )

2 2

ˆ ˆ, ( , ) , ,2

Non e' relativistica. E' in derivata prima rispetto al tempo

e in derivata seconda rispetto alle coordinate.

p.xPer V=0 e' risolta da , exp[i ]exp[ i ]

con E

x t V x t x t i x tm t

Etx t

y y y

y

2

= , che va bene per Galileo.2

p

m

35

Principio di sovrapposizione: combinazioni lineari di funzioni d’onda

danno altre funzioni d’onda (come nel caso elettromagnetico)

( )( ) ( )

( )

1 1 2 2. ( ) . ( )

1 2

Interpretazione:

ampiezza nello stato che la particella sia

in x al tempo t.

, .

,

i p x E p t i p x E p t

x t Ae A e

x t y

y

y

1 1

2 2

p non e' ben definito in questo stato. Non e' certo il risultato di una misura.

ampiezza nello stato che l'impulso sia

ampiezza nello stato che l'impulso sia

C'e' incertezza e si puo' assegnare u

A p

A p

y

y

1 2

na

probabilita' a p o p .

( )( ) ( )1 1 2 2. ( ) . ( )

1 2,

i p x E p t i p x E p t

x t Ae A ey

( )( ). ( )

, ampiezza di probabilita' che la particella nello stato

sia in x al tempo t, con E e p asseg i .

,

nat

i p x E p t

p E x t e yy

Una misura di p potra’ dare uno dei due valori con probabilita’ proporzionali a

2 2

1 2| | , | |A A

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t A p ey

pacchetto d’onde

( )( ) ( )1 1 2 2. ( ) . ( )

1 2generalizza , ;

i p x E p t i p x E p t

x t Ae A ey

( ) ( ) ( )2 2

E' un caso speciale di

ˆ ˆ, ( , ) , ,2

x t V x t x t i x tm t

y y y

Equazione di Schrödinger degli stati stazionari

Se H non dipende dal tempo

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ, ( ) ,2

,y yy

x t V x it

x t xm

t

( , ) ( )Et

i

x t x ey y

Soluzione particolare

Separazione delle variabili 38 38

 𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑡𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝐸𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝐸𝜓 𝑥 𝑒−

𝑖𝐸𝑡ℏ

⇒ 𝜓 𝑥 , 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑒−𝑖𝐸𝑡ℏ    autostato  di  𝐸 = 𝑖ℏ

𝜕

𝜕𝑡

Separazione delle variabili

( ) ( )poiche'iEt iEt

i x e E x ety y

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ( )2

iEt iEt iEt

x e V x x e E x em

y y y

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ( )2

iEt iEt iEt

x e V x x e E x em

y y y

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ, ( ) ,2

,y yy

x t V x it

x t xm

t

( , ) ( )Et

i

x t x ey y

sostituendo

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ( )2

x V x x E xm

y y y

equazione degli stati stazionari

39 39

Stati stazionari, cioe’ stati di energia definita E

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ( )2

n n n nx V x x E xm

y y y

L’equazione degli stati stazionari e’ una equazione agli autovalori da risolvere con certe condizioni al contorno e puo’ avere autovalori continui o discreti:

( , ) ( ) : situazione chenon evolven

n n

E ti

x t x ey y

La piu’ generale soluzione del’equazione di Schrödinger con H che non dipende dal tempo e’

( , ) ( , ), con costanti.nn n

n

x t a x t ay y

In particolare la condizione iniziale e’

( ,0) ( )nn

n

x a xy y

E determina passato, presente e futuro del sistema (equazione in d/dt).

Nel caso classico l’equazione e’ in derivata seconda.

40 40

Stati stazionari : particella libera (V=0)

)()(2 2

22

xExdx

d

myy

In 1d equazione differenziale ordinaria:

),(),( txt

itxH

( ) ( ) ( )( )( )..

,

i p x E p tip x

p px x e x t ey y y

ˆ ˆ ( ) ( ) ( )Et

i

E i Ef t Ef t f t et

E

Separiamo le variabili:

41

( , ) ( ) ( )x t x f ty

Sperimentalmente questo si realizza approssimativamente con un

cannone elettronico che genera un fascio monocromatico.

41

+

-

campo

+

+ -

-

fascio Fascio monocromatico e collimato

( )( )( ).

,

i p x E p t

p x t ey

Cannone elettronico

La soluzione generale dal principio di sovrapposizione:

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t g p ey

pacchetto d’onde

Il filamento metallico emette elettroni per effetto termoionico in una camera

a vuoto spinto con una opportuna ottica elettronica

42

Applicazione semplicissima in 1d: muro di potenziale.

Trovare gli stati stazionari di

energia E

, 0( )

0, 0

xV x

x

y=0 per x<0

( )( )( )

( )2

, , ,2

i px E p t

p

px t e E p p k

my

Senza il muro

( ) ( ), sin i t

E x t kx e

p k

E

y

Con il muro (sovrapposizione)

Impulsi -p e p (incidente e

riflesso)

( ) ( ) ( )2 2

ˆ ˆ, ( ) , ,2

x t V x x t i x tm t

y y y

43 sin( )

2

ix ixe ex

i

43

5 10 15 20x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

^2 Sin x ^2

Applicazione semplicissima in 1d: muro di potenziale.

44

( ) ( ), sin con ,

Interferenza distruttiva per ; la particella dovrebbe

passare di li', ma non puo' mai esserci trovata!

i t

E

n

x t kx e p k E

kx n

y

Abbiamo separiato le variabili e scritto l’equazione degli stati stazionari non si descrive una evoluzione nel tempo, ma una distribuzione in x dell’ampiezza di trovare una particella, in un esperimento in cui c’e’ un flusso incidente verso il muro e un flusso riflesso. Classicamente sarebbe una costante per x>0.

44

Classicamente noi pensiamo a un punto materiale in x che viene lanciato

verso il muro con una certa velocita’ v , raggiunge il muro e rimbalza

con v -v.

Per descrivere una situazione del genere in meccanica quantistica uno deve

sovrapporre molte onde di De Broglie per fare un pacchetto che sia piu’ o

meno localizzato intorno a x. Questo si fa’ usando molti k

( ) ( )

( )

2( ) k

, sin ( ) , (k)=2m

0, 0.

i k tx t dk kx k e

x t

f

),(),( txt

itxH

L’andamento dipende dalla forma precisa del pacchetto.

45

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t A p ey

pacchetto d’onde

( ) contiene tutta l'informazione, ed e' una ampiezza.A p

ampiezza che l’elettrone abbia impulso p al tempo t

( ) ampiezza nello stato che la particella sia

in x al

,

tempo t

x ty y

Rappresentazione delle coordinate

Non possiamo rinunciare alla liberta’ di scelta che classicamente viene dalle trasformazioni canoniche. Ci sono infinite rappresentazioni o ‘pitture’ della realta’.

Trasformazioni canoniche e ‘pitture’

( )

i

i

Nel formalismo hamiltoniano classico, coordinate e momenti

si possono anche scambi

( , , ) ( , , ).

Non rinunceremo a questa liber

are:

Con F=

Vedremo che ,

ta'.

0

i i i i i i

i

i i

i

F Fp Q P q

q Q

H P Q t

x

H p t

q Q

q

l ll

y

( ) e' una trasformazione canonica.A p

Rappresentazione degli impulsi

( )( ) trasformata di ,0 e'

la funzioned' onda

nella rappresentazione p.

.

A p xy

Principio di sovrapposizione e valor medio:

2| ( ) |x dx x xy *( ) ( )x dx x x xy y

2| ( , ) |x ty= intensita’ del fascio di particelle= probabilita’ di trovare la particella in x,t

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t g p ey

pacchetto d’onde

Si puo’ formare uno stato localizzato in una regione

( )xy

x

mediox x

48 ( ),In particolare, ,0 ( ) particella in x=0 certamente.p E x xy

2| ( , ) |x ty= intensita’ del fascio di particelle= probabilita’ di trovare la particella in x,t

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t g p ey

pacchetto d’onde

x

( )g p ampiezza che l’elettrone abbia impulso p

( )g p funzione d’onda nella rappresentazione p 49

Rappresentazione degli impulsi

Rappresentazione delle coordinate

Werner Heisenberg (1901-1976)

50

)(),()( xtxKpg

y P indefinito e x definito

0 2

0( ) ( ) ( , ) | ( , ) | costanteip x

g p p p x t e x t y y

p definito e x indefinito

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t g p ey

pacchetto d’onde

51

Casi limite

Questa e' una situazione sperimentale in cui errore su x e' grande,

errore su p e' piccolo. Al contrario,

x

p

Situazione sperimentale in cui errore su p e' grande,

errore su x e' piccolo

p

x

In ogni caso vale il Principio di indeterminazione

di W. Heisenberg:

2

errore su x, errore su p

x p

x p

52

Einstein non lo ha mai accettato come principio fondamentale

della Fisica

Classicamente ogni cosa si puo’ misurare bene.

Pero’ e’ una proprieta’ matematicamente ineliminabile della

funzione d’onda.

( )( )

( )( ).3

3, ( , )

2

i p x E p td p

i x t i g p t ey

( )

( )( ).3

3( , )

2

i p x E p td p

pg p t e

( )( )

( )( )

( )

.3

3Dato il pacchetto , ( , )

2

ˆ ˆconsideriamo , , con .

i p x E p td p

x t g p t e

p x t p i

y

y

53

( )

( )

( ),0 ( ) e' una

( , ) t

tra

rasforma

sformazi

contien

one can

e la stessa inforta di ,

( , ) trasformata di , .

ˆNella rappresentazione degli impulsi

operatoreche moltipl

on

ic

m

a p

az

ic

i

e

a

r

.

oneg p t x t

g p t p i x

p

p

p

g

p

x

t

y

y

y

ˆOperatore p nella rappresentazione dei p

( )( )

( )( ).3

3, ( , )

2

i p x E p td p

x t g p t ey

*media di x sul pacchetto : ( ) ( )x dx x x xy y

Quale sara’ la media di p ? Ragioniamo per analogia

( ) ( )

( )

3 3* 2

3 3

Ma come si

( ) ( ) | ( ) |2

scrive direttamente in termin

2

i di x ?

d p d pp g p pg p g p p

y

54

Impulso medio di un pacchetto d’onde

Per un trattamento rigoroso e’ utile un teorema.

Teorema di Plancherel

55

( )

( )

* *

* ( ) *

* *

( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2

Scambiando le integrazioni,

( ) ( ) ( ) ( )

i x i t

i x t

d ddx x e dt t e

ddx x dt t e dx x dt t x t

dt t dx x x t dt t t

( )

( ) ( )

2

* *

Siano ( ), funzioni L

( ) ( )2

t t

ddt t t

La dimostrazione e’ facile se si usa la delta.

Il Teorema di Plancherel dice che:

56

( ) ( )* * ( ) ( )2

ddt t t

( )* *

i

i

NB ( ) somiglia a un prodotto scalare

dove al posto di i c'e' un indice continuo t.

Il teorema implica che e'un prodottoscalare

fra due vettori e che non cambia passando

dallecompo

idt t t

nenti t allecomponenti . Possiamo calcolarlo

nella rappresentazione x o p e viene uguale.

*

i

i

La definizione di prodotto scalare fra vettori complessi e e'

i

( )( )

3

3

* *( ) ( ) Primo membro: ( )2 2

d pg p p g p

d

( ) ( )

( )

* *

3

3

A tal fine, usiamo Plancharel : ( ) ( )2

con , ( ) ( ) ( )2 (2 )

ddt t t

d d ppg p g p

57

( ) ( )

( )

3 3* 2

3 3( ) ( )Nella rappresentazione ,

Vogliamo scrivere direttamente in termin

| ( ) | .2

i i

2

d x .

d p d pp g p pg p g pp p

p

y

( )( )

( )( ).3

3Data la funzione d'onda , ( , ) ,

2

i p x E p td p

x t g p t ey

ˆTrasformiamo p dalla rappresentazione p

ˆ alla rappresentazione x .

( ) ( )* *3 , [ ],doSecondo membro ( ) ( ve

[ ] e' la trasformata di Fourier di) )

)

( ( .

dt t t pg p

p

d x

g p p

x t F

F g p

y

( )

( )( )

( ).3

3Tale trasformata vale ( ) , .

2

i p x E p td p

p g p e i x ty

( ) ( ) ( )*3*secondo membro: ( ) , ,i d xdt x t xt tt y y

( )( )

3

3

* *( ) ( ) Primo membro: ( )2 2

d pg p p g p

d

( ) ( )* 3 *, , ( ) ( ).

Ritroviamo che nella rappresentazione x.

p i dx x t x t d p g p pg p

p i

y y

A partire da *( ) ( )x dx x x xy y

( )( )

( )( ).3

3, ( , )

2sostituendovi

i p x E p td p

x t g p t ey

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

'. ' .3 3*

3 3

'. ' .3 3*

3 3

3 3*

3 3

'( ( ', ) ) ( , ) .

2 2

Scambiando le integrazioni,

'( ', ) ( , )

2 2

'( ', ) ( , )

2 2

i p x E p t i p x E p t

i p x E p t i p x E p t

i

d p d px dx g p t e x g p t e

d p d px g p t g p t dxe xe

d p d pg p t g p t e

( ) ( )( )' '. .

( )

E p E p t ip x ip x

pdxe i e

x nella rappresentazione dei p.

Analogamente possiamo scrivere

59

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

' '. .3 3*

3 3

'3 3*

3 3

'( ', ) ( , ) ( )

2 2

Ora portiamo( ) fuori e introduciamo la delta di Dirac:

'( ', ) ( , ) ( )

2 2

i E p E p t ip x ip x

p

p

i E p E p t

p

d p d px g p t g p t e dxe i e

i dx

d p d px g p t g p t e i dxe

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

' .

'3 33*

3 3

'( ', ) ( , ) ( ) 2 ' .

2 2

Ricordando la derivata della delta,

i p p x

i E p E p t

p

d p d pg p t g p t e i p p

( )

3*

3( , ) ( )( ) ( , )

2p

d px g p t i g p t

ˆpx i

61

ˆ ˆRappresentazione p: p=p px i

ˆˆ ˆRappresentazione x: x=x p xi

Ma attenzione all’ordine dei fattori !

Medie Quantistiche

( ) ( )*3ˆ ˆA d x x A xy y

Ogni osservabile ha un operatore corrrispondente. Se conosciamo la funzione d’onda possiamo calcolare un valore medio come se si trattasse di un problema statistico.

Energia cinetica 2ˆˆ2

pT

m

Momento angolare ˆ ˆ ˆL r p

classicamente e’ vero anche , ma qui !L p r NO 62

Commutatori ˆ ˆ ˆ e non commutano, cioe' non si possono scambiare:

infatti ( ) funzione di prova, derivabil:

ˆ ˆ ˆ( )

e

( ) ( ) ( )

dp i x p

dx

d dpf x i f x xpf x i x f x

dx

f x

dx

ˆ ˆinvece, ( ) ( ( )) ( ) ( )d d

pxf x i xf x xi f x i f xdx dx

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ( ) ( )

, 1

,px xp p x p x f x i f x p x i

dx

dx

Proprieta’ generali dei commutatori

_ _, ,A B AB BA B A

_, 0A A

_ _ _

_ _ _

, ( ) ( ) , ,

, , ,

A B C A B C B C A A B A C

A B C A C B C

dicesi commutatore fonˆ dameˆ, ntalep x i

64 64

_

_ _

_ _ _

, per definizione, ma aggiungendo e togliendo

, , , .

Analogamente,

, , ,

AB C ABC CAB ACB

AB C ABC ACB ACB CAB A B C A C B

A BC ABC BCA ABC BAC BAC BCA B A C A B C

Parentesi di Poisson classiche: lo stesso con […,…]{…,…}

( ) ( ) ( )

1

1

e iterando il procedimento [ , ]

ci si arriva anche direttamente :

n n

n n n

x p i nx

x p x px x i nx xf f f

[ , ] [ , ] [ , ]

Esempio:con , ,

AB C A B C A C B

A x B x C p

2[ , ] [ , ] [ , ] 2 x p x x p x p x i x

espedienti di calcolo

( )( )

( )( ).3

3, ( )

2

i p x E p td p

x t g p ey

pacchetto d’onde

( ) ( ).

3Qui, ( ) , 0 pacchetto ,

ampiezza che una misura di impulso sul pacchetto dia q.

autofunzione diiq x

g q d x xe t p x ty y

65

( )( )

( ).

( ) ampiezza dell'onda nel pacchetto ,

i p x E p t

g p e x ty

Spazio vettoriale di funzioni

( )

( )

( )( ).

autofunzione di pacchetto ,

pacchetto ,

autofunzione di

autofun ( ), dovzione autofunzione e

p

i p x E p t

p

x t

p

di p di

p

g p p e

x ty

y

Le funzioni d’onda sono vettori di uno spazio vettoriale, come le funzioni L2 nella teoria delle trasformate di Fourier.

( )*3

Bra-Ket dove Bra , Ket

( ) prodotto scalared x x x

l

l l

Notazione di Dirac

( ) ( ) ( )*3 ( ) 0 stati ortogonali:

se il sistema e' in nessuna misura lo trovera' in

x x d x x x l l

l

Significato fisico dell’ortogonalita’

( )y

y y

y

y y

2

Normalizzazione: , 1

significa 1.

Un insieme { } di vettori ortogonali e normalizzati

si chiama set ortonormale.

i

i j ij

dx x t

Set ortonormale

( ) 2| |x dx x x xy y y

( )2 2 2| |x dx x xy

( ) 2| | purche' converga.n n nx x dx x xy y y

( )

0

2

In tal modo data una funzione f(x)= si puo' definire

( ) ( ) | |

n

n

n

f x

f x dx f x xy

Valori medi o valori di aspettazione: per esempio prendiamo l’operatore x

67

( )xy

( ) ( )2 2

La media di una costanteC viene

( ) C | | =C | | =C

0

f x dx x dx x

x x

y y

Non e’ detto che sia il valore piu’ probabile, e’ solo la media dei valori: se testa=1 e croce=0 in media si ha ½ che pero’ non esce mai! Parlare di valori di aspettazione e’ improprio.

68

( )xy

Ma non solo la media e’ interessante; e’ importante anche sapere quanto i dati sono sparpagliati.

E’ una stima della larghezza della

distribuzione statistica

( ) ( )2 22 media di .

si chiama deviazione standard, come in statistica.

x x x x

0x x

( ) ( ) ( )22 22 2 2x x dx x x x x x y

22 2x x x x 22 2x x

Ovvero scarto quadratico dalla media

69

( )xy