la teora del electromagnetismo, Hasta principios del siglo XIX los cientficos establecieron que la electricidad y el magnetismo son, en efecto, fenmenos relacionados. En 1820 Hans Oersted descubre que una brjula s deflecta cuando se coloca cerca de un circuito que lleve corriente elctrica. En 1831, Michael Faraday, y simultneamente, Joseph Heary, demuestran que, cuando un magneto o imn (o de manera equivalente, cuando el magneto se mueve cerca de un alambre), una corriente elctrica se observa en el alambre. En 1873, James Clerk Maxwell uso estas observaciones y otros factores experimentales como base, y formula leyes del electromagnetismo que se conocen actualmente. (Electromagnetismo es el nombre dado a la combinacin de los campos elctrico y magntico.)

la relatividad especial.

Relatividad EspecialBarbol

1 IntroduccinLa teora de la relatividad especial fue presentada por Albert Einstein en su trabajo Sobre la electrodinmica de los cuerpos en movimiento, en 1905. El formalismo bsico de la teora ya haba sido descubierto un ao antes por Poincar y por Lorentz, aunque Einstein desconoca estos trabajos (y trabajos an anteriores en los que se utilizaban las transformaciones de Lorentz, incluso antes de que las postulase fsico holands). El xito de Einstein consisti en eliminar un gran nmero de hiptesis hechas por Lorentz hasta reducir la teora de la relatividad a dos postulados muy simples que parten de la experimentacin. Posteriormente, en 1916, Einstein public la teora de la relatividad general, que globaliza todos los hechos fsicos y de la que la teora que se explica aqu es slo un caso especial (y de ah el nombre).

1.1 Las primeras sospechasA finales del siglo XIX la teora electromagntica haba demostrado su vericidad de un modo aplastante. Por otro lado la mecnica de Newton haba hecho predicciones vlidas siempre que se puso a prueba. Sin embargo, ambas teoras eran incompatibles entre s: mientras las ecuaciones de Newton eran invariantes de Galileo las ecuaciones de Maxwell resultaron no serlo. Adems en ellas apareca una velocidad constante ( 1. 2. 3. Las ecuaciones de Maxwell no son vlidas Existe un sistema de referencia preferido (ter) respecto al cual se puede medir absolutamente cualquier movimiento Las transformaciones de Galileo no son las adecuadas ) que era independiente del observador o de la velocidad de la fuente.

El hecho de que las ecuaciones de Maxwell no fuesen invariantes de Galileo se poda deber a tres motivos, principalmente:

La primera de estas opciones se descart casi de inmediato, las ecuaciones de Maxwell estaban harto comprobadas. La segunda opcin (que vena implicada por la tercera) no era muy creble, ya que el ter debera presentar unas caractersticas totalmente contradictorias entre si. Fue el experimento de Michelson-Morley, en 1887, el que proporcion pruebas experimentales de la constancia de la velocidad de la luz, que se convirti en uno de los postulados de la teora de la relatividad. Esto implicaba que las transformaciones de Galileo no eran correctas.

1.2 El experimento de Michelson-MorleyEl experimento de Michelson-Morley consista en un interfermetro que mediante un mecanismo creaba un patrn de interferencias debido al desfase de la luz causado por la velocidad de la Tierra.

Se lanzaba un rayo de luz de una longitud de onda conocida (con una lmpara de sodio) que incida en un espejo semiplateado. Este espejo tiene la propiedad de que refleja la mitad del rayo y la otra mitad la reflicte. Ahora tenemos dos rayos de igual longitud de onda que salen formando un ngulo recto entre ellos y van a dar a dos espejos donde se reflejan. Vuelven a incidir en el espejo semiplateado y vuelve a reflejarse una mitad de cada rayo y a reflectirse la otra. Sin preocuparnos de lo que le ocurre a los rayos que no nos interesan tomamos dos que vayan en la misma direccin. Si existe alguna diferencia entre las longitudes de los brazos del interfermetro aparecer un patrn de interferencias, o si esta distancia es igual pero los rayos se mueven a velocidades diferentes. Como los rayos que salen del espejo semiplateado forman un ngulo recto entre ellos uno se mover en la misma direccin que la Tierra y otra en una direccin perpendicular (en el mejor de los casos, el interfermetro se poda rotar, de modo que cualquier combinacin entre la direccin de un rayo y la direccin de movimiento de la Tierra era posible). Al mover la posicin del interfermetro (estaba situado sobre mercurio para poder girarlo) las rayas de interferencia se moveran (porque las velocidades tambin variaran) y observando cunto se movieron podramos comprobar la existencia del ter y la validez de las transformaciones de Galileo. Este interfermetro poda detectar una diferencia del 5%.

Figura 1: Esquema del interfermetroA partir del esquema del interfermetro podemos calcular el desfase entre un patrn de interferencias y otro. Calculemos primero el tiempo que le llevara llegar de ter, entonces a y de a : sea la velocidad de la luz y la velocidad de la Tierra respecto al

(1)

Y el tiempo que tarda en ir de

a

es

Figura 2: Comportamiento de la luz en el intervalo AC

(2)

Siendo el tiempo que tarda en ir de

a

el mismo (llamamos

a la suma de estos dos ltimos). Por tanto, si

ellos:

podemos hacer una aproximacin en serie de Taylor para los dos tiempos que tenemos y calcular la diferencia entre

(3)

(4)

(5)

En donde definimos

.

Se puede ver que si giramos el interfermetro noventa grados entonces obtenemos . Esta diferencia en el camino, dividida entre el periodo de la onda, nos da el porcentaje que se desva el patrn de interferencias:

(6)

En el interfermetro usado por Michelson y Morley los datos eran

,

,

y

, con lo que nos da un valor

, que es un 37%.

El valor medido experimentalmente fue cero, las transformaciones de Galileo no valen.

2 Postulados de la RelatividadDos son los postulados a partir de los cuales se desarrolla la teora de la relatividad, la teora que nos describe con exactitud los fenmenos que ocurren a altas velocidades: 1. Las leyes que rigen los fenmenos fsicos son idnticas en todos los sistemas de referencia inerciales. La velocidad de la luz en el vaco (que se denota como movimiento relativo entre la fuente y el observador. ) es una constante universal, independiente de todo

2.

Hay que hacer notar que el primero de estos dos postulados implica que slo se pueden medir movimientos relativos de los sistemas inerciales, la idea de movimiento respecto a algo que est quieto no tiene sentido. El segundo postulado nos dice que la velodicad de la luz en el vaco es una constante, pero no que es la velocidad mxima a la que se puede transmitir la informacin, este es un resultado que se deduce ms adelante. Tenemos, pues, estos dos sencillos postulados, veamos lo que implican, durante estos apuntes se notar como se considera en reposo y como primadas estarn asociadas al sistema el sistema en movimiento constante respecto a el sistema que

, de igual modo, todas las variables .

mientras que las variables sin primar estn asociadas al sistema

3 Transformaciones de Lorentz3.1 Hiptesis linealSupongamos los sistemas de referencia y (movindose a una velocidad con respecto a ) cuyos orgenes de

coordenadas coinciden en el instante inicial (i.e.,

). Supongamos que el movimiento es a lo largo de la coordenada

.

Segn las transformaciones de Galileo sabamos que , , y . Sin embargo estamos intentando encontrar unas transformaciones diferentes a estas, pero que se reduzcan a ellas en algn caso especial. Para ello hacemos la siguiente hiptesis lineal:

(7)

La posicin del origen de coordenadas en cada uno de los dos sistemas viene dado por instante inicial ambos orgenes coincidan. Por tanto tenemos que

y

ya que en el

(8)

Por tanto vemos que es necesario hallar el valor del factor adimensional

.

3.2 Valor de gammaSi en el origen de tiempos el origen de coordenadas de los sistemas y coinciden y se emite un rayo de luz en una direccin, segn el segundo postulado de la relatividad, el frente de ondas de este rayo estar definido en ambos sistemas por1

(9)

Podemos suponer que uniformes, as que tenemos que

y

debido a que en esta teora slo tratamos con movimientos rectilneos

(10)

(11)

Es habitual definir

.

Vemos que

es un factor de proporcionalidad que toma un valor dependiendo de la velocidad

con la que se mueve un

sistema de referencia respecto al otro. Si este valor es

(el valor en el que los dos sistemas coincides, i.e. no hay

movimiento relativo de uno con respecto al otro)

, como debe ser, ya que los dos sistemas son el mismo y por tanto las

coordenadas tambin han de coincidir. Si el valor es

se puede comprobar fcilmente que

. Para valores

obtenemos en el denominador una raz de un nmero negativa, por lo que

deja de estar definida.

Por tanto vemos que

toma siempre un valor dentro del intervalo

, con

perteneciente al intervalo

(como

va al cuadrado

slo depende de su mdulo, no de su direccin).

Figura 3: Grfica de valores de gamma

El coeficiente

es la fraccin de la velocidad de la luz. Si

entonces

, mientras que si

entonces

.

3.3 Transformaciones de coordenadasConocido ya el valor de tenemos que nuestra hiptesis lineal toma la forma siguiente

(12) (13)

Y a partir de ah podemos despejar las transformaciones para el tiempo

(14)

(15)

Ya que

. Se puede demostrar de modo anlogo que

(16)

4 Implicaciones de las transformaciones de Lorentz4.1 Relatividad de la simultaneidad, causalidad

Una de las implicaciones ms importantes que acarrean las transformaciones de Lorentz es la de que si dos sucesos son simultneos en el sistema no lo son en el sistema , pero segn la transformacin temporal de Lorentz , vemoslo: si dos sucesos son simultneos en entonces

(17)

Adems se puede ver que es la mxima velocidad para una seal, ya que en este valor el factor se hace infinito y esto implicara una diferencia temporal infinita; adems tambin se observa que la causa siempre ha de ser anterior al efecto que produce en cualquier sistema.

4.2 Relatividad de la colocalidad (dilatacin temporal)Imaginemos dos sucesos que son colocales en el sistema ( ), en S

(18)

4.3 Dilatacin temporalSupongamos que tenemos una medida temporal sistema . Segn las transformaciones de Lorentz tenemos que en el sistema y queremos calcular en el

(19)

Pero estas medidas temporales se hacen en la misma localizacin, de modo que

, as que obtenemos

(20)

Fenmeno conocido como la dilatacin temporal. Hay que hacer notar que segn este resultado el tiempo medido en el sistema en reposo es siempre menor que el tiempo medido en cualquier otro sistema de referencia inercial.

4.4 Contraccin de Lorentz

Supongamos ahora que tenemos una medida de la longitud

en el sismema

y queremos calcular cuanto

valdra

usando las transformaciones de Lorentz.

(21)

Pero la medida de la longitud se hicen midiendo

y

a la vez, de modo que

, por lo tanto:

(22)

Fenmeno conocido como la contraccin de longitudes o contraccin de Lorentz. Esta ecuacin implica que la longitud medida en el sistema en reposo es siempre mayor que la longitud medida en un sistema de referencia inercial en movimiento.

4.5 Adicin de velocidadesLa velocidad es la derivada temporal de la posicin, pero hemos de tener en cuenta que el tiempo no es universal, sino relativo, de modo que al hablar de la velocidad en relatividad tenemos que saber si nos referimos al sistema en reposo al que se mueve con movimiento rectilneo uniforme:

(23)

Para calcular estas velocidades, por lo tanto, hemos de saber qu forma tienen los diferenciales de posicin y de tiempo. Estas formas salen fcilmente a partir de las transformaciones de Lorentz [(12), (15) y (16))

(24)

Y por tanto obtenemos

(25)

Y esa es la frmula de adicin de velocidades en relatividad especial. Hay que hacer notar que en el caso de que (es decir, c es muy alto en comparacin con las otras velocidades) esta relacin de velocidades se reduce a la relacin galineana que

se emplea en mecnica clsica (es decir Tambin se puede observar quw si tanto y

). obtenemos

(26)

O que si

y

(27)

Resultados consistentes con el hecho de que no se puede superar la velocidad de la luz en el vaco en ningn sistema de referencia.

5 CuadrivectoresUn cuadrivector es una magnitud que consta de cuatro componentes y que se transforma de acuerdo con2

(28)

en donde

son los componentes del tensor de Lorentz:

(29)

Definimos el modulo de un cuadrivector como

(30)

donde

son los componentes de la mtrica de Minkowski:

(31)

Por lo que

(32)

El mdulo de un cuadrivector es siempre un escalar (con lo cual es un invariante)

5.1 Cuadrivector posicinDefinimos el cuadrivector posicin como , notacin que se emplea para los sumatorios). Si queremos transformar las coordenadas de este cuadrivector obtenemos (empleando el tensor de Lorentz (29)) (vemos que

(33)

que al resolverlo nos da justamente las transformaciones de Lorentz, como se comprueba fcilmente.

5.1.1 IntervaloAhora imaginemos que tenemos dos sucesos sucesos, es decir: y , el intervalo se define como el mdulo de la diferencia de estos dos

(34)

Que, al ser el mdulo de un cuadrivector, es un escalar y por tanto invariante. Hay que notar que no es definido positivo. Si el intervalo es igual a cero se dice que es un intervalo tipo-luz (light-like). Si el intervalo es negativo se dice que es un intervalo temporal (time-like), ya que en este tipo de intervalo los dos sucesos pueden estar relacionados causalmente (suceder en el mismo punto a tiempos distintos). Por ltimo, si el intervalo es positivo se llama intervalo tipo espacio (space-like), y pueden ser dos sucesos simultneos que ocurren en tiempos distintos. Se puede definir el intervalo infinitesimal como

(35)

En donde

y anlogamente para

,

y

.

5.1.2 Tiempo propioDefinimos el tiempo propio como , de modo que tenemos que

(36)

Por lo que

es el tiempo ms pequeo, es decir, el tiempo medido en el sistema solidario con el suceso.

5.2 Cuadrivector velocidadPodemos definir la velocidad como la variacin temporal de la posicin. As que podemos definir el cuadrivector velocidad como

(37)

En donde empleamos el diferencial diferencial de un componente de .

porque es el nico invariante temporal que tenemos, hay que fijarse que

es un

Podemos hallar el mdulo del cuadrivector velocidad de un modo simple, resultando

.

5.3 Cuadrivector momentoPara obtener el cuadrivector momento (cuadrimomento) debemos multiplicar la cuadrivelocidad por un escalar con dimensiones de masa, al que llamaremos , por tanto tenemos que .

5.3.1 Masa relativistaSi hacemos la analoga con el momento de la mecnica clsica obtenemos la relacin entre la masa de

un objeto y el escalar

de modo que

. A partir de ahora llamaremos masa relativista (inercial) a

y masa en

reposo a

.

6 Dinmica relativista6.1 FuerzaNewton defini la fuerza como la derivada temporal del momento lineal en sus Principia Mathematica, podramos definir el cuadrivector fuerza como , pero esta magnitud no se emplea en relatividad, por lo que no se profundiza ms en ella.

De todos modos tenemos que

6.2 EnergaPor un lado tenemos el resultado conocido donde T es la energa cintica. Por otro lado tenemos

(38)

La ltima igualdad de (38) se deduce fcilmente del clculo del mdulo de la cuadrivelocidad. Tenemos por tanto una igualdad

, que integrndola entre el reposo y un tiempo cualquiera t nos da

(39)

Ya que

por partir del reposo. Vemos por tanto que

, en donde

es la energa cintica y

es la energa en reposo que toda masa posee slo por tener masa. De este modo tenemos que la energa total es

. Si hacemos una aproximacin de la energa cintica para velocidades pequeas obtenemos el resultado conocido de

. Observamos que si dividimos la energa total por la velocidad de la luz obtenemos el primer componente del cuadrimomento, por

lo que podemos escribir

. Su mdulo segn esta expresin es

(40)

Que para una partcula sin masa (como el fotn) se reduce a la expresin

, con una indeterminacin del tipo

en el

clculo de

.

A. Las transformaciones de Lorentz como rotacin imaginariaVeamos en (33) que la transformacin de Lorentz del cuadrivector posicin se calcula mediante

(41)

Que podemos reducir a

(42)

Expresin que recuerda a la de una rotacin. En efecto, vemos que resolviendo el determinante de la ``matriz de giro'' tenemos

. Llamemos entonces

y

:

(43)

Por

tanto

.

Si

denotamos

tenemos

que

y

,

por

tanto

,

que

es

lo

mismo

que

, con lo que nos queda la expresin

(44)

Que es la expresin de una rotacin. Esto demuestra que las rotaciones de Lorentz son ``rotaciones complejas'' en el espacio de cuatro dimensiones. Este hecho fue descubierto por Minkowski y demuestra que el espacio y el tiempo estn mucho ms ligados de lo que parece a la vista de las transformaciones de Lorentz.

B. Comentario a la ptica relativistaComo vimos en la ecuacin (22) un cuerpo se ve acortado desde un sistema de referencia respecto al que se est moviendo, y este acortamiento (en la direccin del movimiento) ser mayor o menor dependiendo de la velocidad relativa entre los dos sistemas.

Por tanto un cubo de lado

ser un prisma, supongamos que se mueve en la direccin de una de sus caras, entonces el cubo ser

un prisma de altura

pero de longitud

.

Sin embargo lo que un observador vera no sera un prisma de esas caractersticas, sino un cubo girado un cierto ngulo que depende de la velocidad relativa entre ambos sistemas. Este hecho se debe a que para que la luz procedente de los diferentes vrtices alcance al obserador en el mismo instante, la luz procedente de cada vrtice debe atravesar una distancia diferente y por tanto se encontrar, en realidad, en otra posicin. Igualmente una esfera mvil no se vera con forma elptica, sino que se vera como una esfera de igual radio (girada un cierto ngulo, pero como es una esfera esto no se aprecia).3

C. Lnea de universo, diagramas de MinkowskiLa historia de una partcula en movimiento describe una lnea en el espacio de Minkowski. Cuando se considera slo una dimensin el espacio de Minkowski se representa como en la figura 4. En el caso de dos dimensiones espaciales se representara mediante un cono (llamado cono de luz) y en el caso de representar las tres dimensiones un hipercono.

Figura 4: Diagrama de MinkowskiCuando se unen dos sucesos con un intervalo tipo luz entre ellos la historia de la partcula transcurre por la frontera entre la regin rallada y la regin sin rallar. Si los sucesos estn unidos con un intervalo tipo tiempo la lnea de historia est dentro del cono de luz (la regin rallada). Si los sucesos estn unidos con un intervalo tipo espacio estn fuera del cono de luz. Hay que remarcar que la lnea de historia de una partcula est siempre dentro del cono de luz, ya que es la regin en la que los sucesos pueden estar relacionados causalmente. Por la misma razn, ninguna lnea de historia puede atravesar el cono de luz. La lnea de coordenada espacial es el presente, siendo el origen del cono de luz la posicin de la partcula. Normalmente al cono superior se le llama cono futuro (porque estn en un tiempo posterior al presente de la partcula) y al cono inferior se le llama cono pasado. Al resto de las regiones se las suele llamar meta-presente. Las transformaciones de Lorentz lo que hacen es estrechar el cono de luz, de modo que los ejes y se van acercando a la lnea de luz. Este estrechamiento del cono depende de la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia y en el caso de que la velocidad sea el cono colapsa en una lnea (vase (25)).

Notas al pie... por1 Ntese que aqu hay ya una diferencia con la visin clsica: mientras en esta el tiempo sera igual en ambas y la velocidad de la luz dependera del sistema, en la teora de la relatividad ambos sistemas es la misma y es el tiempo el que vara en

... con2

En relatividad es normal denotar con letras griegas los ndices que van desde 0 a 3 (o en alguna literatura de 1 a 4) y con letras latinas los que van de 1 a 3; tambin se emplean ndices covariantes (subndices) y contravariantes(superndices, no confundir con exponentes), pero no se explicar la distincin aqu. ... aprecia).3 Vase Dinmica clsica de las Partculas y Sistemas, Jerry B. Marion, Ed. Revert

el principio de la relatividad de Galileo EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD Por qu se llama Teora de la Relatividad a la Teora de la relatividad? En realidad no es por que "todo es relativo", sino por el principio de relatividad. Galileo Galilei estableci el principio de relatividad por vez primera. Era un principio de relatividad del movimiento: "Todo movimiento es relativo a un sistema de referencia". Segn esto no podemos determinar si un objeto se mueve o no de modo rectilneo y uniforme si no tomamos primero un sistema de referencia respecto al cual exista ese movimiento. Se puede resumir en un principio de indeterminacin del reposo absoluto, pues si pudiramos determinar que algo est en reposo absoluto, entonces ya tendramos un sistema de referencia privilegiado al que referir todos los dems movimiento y el principio de relatividad no sera vlido. Cuando se descubri que la velocidad de la luz no era infinita se pens que el principio de relatividad ya no sera vlido, pues la velocidad de la luz debera depender de la direccin del movimiento del sistema de referencia y midiendo la velocidad de la luz en distintas direcciones se podra determinar hacia que direccin se mueve el sistema de referencia (por ejemplo la Tierra). Pero con la experiencia de Michelson y Morley y otras experiencias similares se comprob que segua sin poderse determinar la ubicacin del reposo absoluto o simplemente determinar a que velocidad se mova un objeto a travs del espacio. El principio de relatividad se mantena intacto. A partir de aqu Lorentz desarroll sus ecuaciones relativistas, las transformadas de Lorentz para cambio de sistema de coordenadas. Adems Einstein desarroll sus teoras de la relatividad especial y general, y todas sus frmulas relativistas, con lo que muchas experiencias cobraron sentido y otras fueron predichas con precisin. Una de las consecuencias que surge del propio principio de relatividad es la existencia de las ondas gravitatorias, la idea de que la gravedad se transmite a la velocidad de la luz. Esto es as porque si se transmitiera de modo instantneo podramos idear una experiencia de sincronizacin, digamos "absoluta" (cosa imposible de momento), de relojes y con ello podramos determinar DONDE est el SISTEMA DE REFERENCIA ABSOLUTO. (Una sincronizacin perfecta y el hecho de que la velocidad de la luz sea limitada lo permitira). As que si creemos que el principio de relatividad es correcto debemos creer tambin que ni la gravedad ni ninguna otra cosa se puede transmitir a mayor velocidad que la luz.

En realidad por eso se dice que la velocidad de la luz es la mxima posible del universo: porque si no fuera as el principio de relatividad no sera vlido. Newton deca que el espacio absoluto o sistema absoluto de referencia deba entenderse como "una visin divina". Era algo que slo poda ser percibido "desde fuera" de nuestro universo, por ejemplo por Dios. Tal y como est el principio de relatividad actualmente, tal vez esta concepcin sea la nica posible del reposo absoluto o el movimiento de modo absoluto. Esto parece en principio absurdo e inabarcable para el ser humano, pero el universo de Einstein es curvo y puede ser cerrado y finito por lo tanto. En este supuesto el espacio se cierra sobre si mismo de modo que si avanzamos lo suficiente en lnea "recta" podramos volver al punto de partida. Bajo este modelo de universo finito y cerrado al estilo de una hipersuperficie esfrica (igual que para nosotros la superficie de la Tierra es cerrada y finita, pero con una dimensin ms) es posible imaginar un "ente" observando nuestro universo desde un punto exterior a dicho universo, observando por medios no lumnicos sino con otras percepciones instantneas y viendo nuestro universo de un modo ABSOLUTO. Desde otra dimensin.

transformaciones de Galileo

Transformaciones de GalileoSupongamos dos sistemas de referencia k y k'. El sistema k' en reposo y el sistema k movindose con velocidad constante v (v