LA SEZIONE AUREA, LA SERIE DI FIBONACCI 

E LA NATURA 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DEDICATO A Φ

Stilizzazione della disposizione  in  forma di  spirali  concentriche,  visibili  sia  in  senso  orario  che  in 

senso  antiorario,  di  parti  che  compongono  oggetti  appartenenti  al  mondo  naturale  o  creati 

dall’uomo.  Il  numero  e  la  disposizione  di  tali  parti  possono  sembrare  casuali,  ma,  nella 

maggioranza dei casi, corrispondono ad un numero della serie di Fibonacci. 

 

Marzo 2013 

SETTIMANA DELLA CULTURA SCIENTIFICA E TECNOLOGICA – VIII EDIZIONE 

IIS “Ettore Majorana” di Avezzano 

LA    MATEMATICA   DOVE   MENO   TE   L’ASPETTI 

“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi 

(io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i 

caratteri ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed 

altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza 

questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto”. G.Galilei 

È  opinione  diffusa  che  i  numeri  siano  aridi  e  freddi,  che  non  si  accostano  né  alla  fantasia  né, 

tantomeno, alla poesia e alla bellezza. 

Rendiamo loro giustizia. 

Parliamo del numero aureo, associato alla  sezione aurea, detta anche, non a  caso, proporzione 

divina. Esso viene indicato con Φ (phi) perché non è possibile scrivere il suo esatto valore! Infatti è 

un numero irrazionale, poco maggiore di 1, ma composto da un numero infinito di cifre: 

 

Φ = 1,6180339887498 …..

Per  conoscerlo meglio  ci  si  può  avvicinare  ad  esso  in modo  geometrico,  attraverso  la  SEZIONE 

AUREA, che può essere visualizzata e, quindi, più facilmente compresa.  

La prima , chiara, definizione ne fu  data da Euclide, il matematico greco vissuto ad Alessandria tre 

secoli a.c., che più volte ne discute nei Libri della sua grandiosa opera, gli Elementi.   

Euclide la definì così: 

si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione strema e media quando 

l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore 

Infatti si può eseguire la sezione aurea di qualunque segmento individuando un suo punto interno 

tale che la parte maggiore è medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte minore.   

  A                                                 C                           B 

 

AB : AC = AC : CB Il segmento AC è detto parte aurea del segmento AB. 

Si può dimostrare  (con pochi e semplici passaggi: vedere le note) che dalla proporzione si ottiene 

che il rapporto tra un segmento e la sua parte aurea vale: 

 AB           √5 + 1                                         AC                2 Ed anche                             AC            √5 + 1                                        CB                 2 

Ebbene, questo rapporto vale proprio il numero Φ.

L’interesse  e  il  fascino  suscitati  dal  rapporto  aureo  a  da Φ  risiedono  nel  fatto  che  si  possono 

incontrare negli ambiti più disparati e dove meno li si aspettano, in situazioni e fenomeni che non 

sono fra loro collegati. 

Per esempio, eseguendo una sezione trasversale di una mela 

si evidenzia il pericarpo che contiene i semi disposti in modo 

da  formare una stella a cinque punte  ( o pentagramma).  In 

questa  figura  geometrica  è  possibile  ritrovare  la  sezione 

aurea:  il lato e la base di ognuno dei cinque triangoli che la 

compongono stanno in un rapporto aureo. 

Anche negli oggetti costruiti dall’uomo si può riscontrare la 

proporzione  aurea:  è  casuale  o  studiata  ad  arte  dai 

designer per far colpo sugli utenti? O, più semplicemente, 

nell’arte  del  creare  si  prova  e  riprova  fino  a  quando 

l’oggetto  non  appaga  il  senso  estetico  e,  voilà,  a  quel 

punto  si  scopre,  con  meraviglia,  che  il  soddisfacente 

risultato finale rispetta la “divina proporzione”. 

Pensate  che  persino  le  carte  di  credito  sono  rettangoli 

aurei. 

 

Quando  due  segmenti  stanno  in  un  rapporto  aureo,  per  qualche  ragione misteriosa,  appaiono 

particolarmente gradevoli alla vista. Per esempio, se esaminiamo un volto umano definito “bello” 

si può scoprire come alcune distanze tra gli elementi che  lo compongono stanno  in un rapporto 

aureo. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In questa figura di volto di donna  si possono   individuare numerosi rapporti aurei A/a: rapporto tra altezza e larghezza del viso B/b: tra la posizione d ella linea degli occhi rispetto a mento e fronte C/c: tra la posizione della bocca rispetto al mento e agli occhi D/d: tra l’altezza e la larghezza del naso E/e: tra la lunghezza e l’altezza della bocca F/f: tra la larghezza degli occhi e la loro distanza H/h: tra la distanza degli occhi e la loro distanza dal centro di simmetria

Analizzando  la presenza del numero Φ nell’arte di tutti  i 

tempi si scopre che è largamente presente. Non sempre si 

può valutare se è stata una scelta consapevole, come nel 

caso  delle  piramidi  (  l’altezza  e  la  base  della  grande  

piramide  di  Cheope), ma  certo  si  rimane  esterrefatti  a 

scoprire che monumenti antichissimi hanno  tutte  le  loro 

parti  “divinamente  proporzionate”,  come,  per  esempio, 

nella Porta del Sole in Bolivia (1500 a.c.) 

In  periodo  storici  più  recente,  invece,  come  già  nel medioevo,  l’architettura  e  l’arte  in  genere 

hanno cercato volutamente il rapporto aureo tra le parti delle loro opere. L’uso del simbolo Φ per 

indicare il valore del rapporto aureo deriva proprio dall’iniziale di Fidia, il grande architetto greco 

vissuto  tra  il  490  e  il  430  a.c.  che,  secondo  numerosi  storici  dell’arte,  ha  spesso  volutamente 

applicato la proporzione aurea. 

 

Nel  famoso  uomo  di  Vitruvio  di  Leonardo  e  nella  sua  Gioconda  e  in  altre  opere  si    ritrovano 

rapporti aurei. 

 

 

 

LA SERIE DI FIBONACCI, LA SEZIONE AUREA E LA NATURA

Il  numero Φ  e  la  sezione  aurea  si  intrecciano  con  un  altro  concetto matematico:  la  serie  di 

Fibonacci. È una successione di numeri dei quali ogni membro è la somma dei due precedenti.  

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … 

Se si fa il rapporto tra un numero qualunque della serie e il precedente si ottiene un risultato che 

si avvicina (o in eccesso o in difetto) sempre più a Φ, man mano che si procede con i termini situati 

più avanti nella serie. 

Fibonacci  elaborò  la  sua  famosa  serie  per  risolvere  velocemente  un  quesito,  raccontato  in  un 

episodio ormai famoso. Leonardo Fibonacci, detto Leonardo Pisano  nacque  Pisa nel 1175 circa e morì,  presumibilmente  a  Pisa,  nel  1235  circa.    Il  padre  lavorava  per  i mercanti  pisani,  come 

impiegato di dogana, e volle che  il  figlio apprendesse nuove  forme di numerazione, oltre quelle 

conosciute  in  Italia. Così  lo portò a vivere con sé a Bugia, presso Algeri, dove  imparò ad usare  la 

numerazione  araba  nella  quale  era  inserito  il  numero  zero  e  che  solo  in  seguito,  non  senza 

resistenze, venne inserito anche nella matematica europea. 

Nel  1223  a  Pisa,    partecipò  ad  una  gara  fra matematici  indetta  dall’imperatore  Federico  II  che 

propose  un  singolare  e,  all’apparenza,  banale  quesito:  si  rinchiude  una  coppia  di  conigli  in  un 

recinto: quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce 

un'altra coppia ogni mese, che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi dal secondo mese 

di  vita  e  che  la  coppia  non  muore  mai?  Con  sorpresa  di  tutti  Fibonacci,  mentre  gli  altri  si 

arrovellavano  il cervello, risolse  il quesito scrivendo  la sua  famosa “serie” che scaturì  facilmente 

dalla pratica di manipolare i numeri: in poco tempo scoprì che i conigli sarebbero stati 377! 

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 

28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811 … 

(Il gioco è semplice: all’inizio c’è solo una coppia di conigli,  il primo mese ce ne sono 2 di cui una 

fertile, quindi  il  secondo  ce  ne  sono 3  di  cui 2  fertili,  quindi il  terzo mese ce  ne  sono  5  di  cui  3 

fertili, quindi il quarto mese ce ne sono 8 di cui 5 fertili e così via. Fibonacci nota che ogni termine 

della sequenza è la somma dei due precedenti. Nasce così la celebre successione di Fibonacci) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oltre alle foglie, nelle piante anche altri elementi  si dispongono secondo schemi basati su numeri appartenenti alla serie di Fibonacci. L’ananas  ne  è  un magnifico  esempio,  ognuna  delle  squame  che  la  rivestono  appartiene  a  tre diverse spirali che, nella maggior parte di questi frutti, sono in numero di 5, 8 e 13 (proprio numeri di Fibonacci) 

 

 

 

 

 

La  successione    di  Fibonacci  si  ritrova  in  una  varietà 

incredibile di fenomeni che non sono collegati fra loro, ma 

forse  è  nel  mondo  naturale  che  appare  con  grande 

spettacolarità.  Il  caso  più  documentato  riguarda  la 

FILLOTASSI. Essa Studia  il modo  in cui  le  foglie e  i  rami si 

distribuiscono  intorno al fusto. Che  la disposizione sia tale 

da permettere che  le foglie non si coprano fra di  loro, ma 

che ognuna  riceva il massimo possibile di luce e di pioggia 

è  comprensibile,  ma  si  rimane  esterrefatti  quando  si 

scopre  che  questi  schemi  sono  esprimibili  in  termini 

matematici ed hanno un legame con la serie di Fibonacci. 

Infatti,  il  numero  di  giri  compiuti  per  trovare  la  foglia 

allineata  con  la  prima  è  generalmente  un  numero  di 

Fibonacci. 

È detto quoziente di  fillotassi  il  rapporto  tra  il numero di 

giri  e  il  numero  di  foglie  tra  due  foglie  simmetriche, tale 

quoziente  è  quasi  sempre  il  rapporto  tra  due  numeri 

consecutivi o alternati della successione di Fibonacci.    Per 

esempio,  nel  disegno  a  lato,  occorrono  3  giri  completi  e 

passare attraverso 8 foglie per ritornare alla foglia allineata 

con la prima: il quoziente di fillotassi è 3/8 . 

Altri  esempi.  Nei  tigli  le  foglie  si  dispongono  intorno  al 

ramo con un quoziente di fillotassi pari a1/2. Nel nocciolo, 

nel faggio e nel rovo è di 1/3.  Il melo, l’albicocco e alcune 

specie di querce hanno le foglie ogni 2/5 di giro e nel pero 

e nel salice piangente ogni 3/8 di giro. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

 

Si osservino anche la distribuzione di foglie e spine nelle piante grasse. 

 

 

Non meno spettacolare è il centro dei girasoli dove è possibile notare due serie di spirali che si  avvitano l’una in senso orario l’altra in senso antiorario. 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il numero dei petali delle asteracee è appartiene alla seri di Fibonacci ( nella foto 21) 

 

 

 

 

Il numero di spirali 

in senso orario e 

quelle in senso 

antiorario di una 

pigna sono termini 

contigui della 

successione di 

Fibonacci (nella 

foto a lato: 8 e 13 ) 

 

ALCHIMIE MATEMATICHE

“Giocando”  con  i  numeri  della  serie  si  possono  trovare  sviluppi  affascinanti  e  inaspettati: 

meraviglia della capacità di manipolare  la matematica!  Il rapporto aureo e  i numeri di Fibonacci 

possono  assumere  anche  la  forma  di  spirali  e  apparire  sia  nel  mondo  microscopico  sia 

nell’immensità dell’universo. 

Scopriamo  dove  si  può  arrivare  scomponendo  un 

rettangolo  aureo  ( è  tale quando  i  suoi  lati  stanno  in un 

rapporto  aureo,  cioè  la  loro  misura  è  espressa  da  due 

termini consecutivi della  serie di Fibonacci). Si  sottrae da 

questo  rettangolo  un  quadrato  di  lato  uguale  al  lato 

minore del rettangolo; come risultato si ottiene un piccolo 

rettangolo che è ancora aureo. Procedendo sempre nello 

stesso modo si formano rettangoli sempre più piccoli. 

Quello  aureo  è  l’unico  rettangolo  dal  quale  se  ne 

ottiene  uno  simile  quando  vi  si  sottrae  un  quadrato. 

Inoltre  tracciando  le  diagonali  di  ogni  coppia  di 

rettangoli  ( quello  “genitore”  e  quello  “figlio”)  si  nota 

che  si  incontrano  in un punto nel quale  converge una 

serie di rettangoli aurei sempre più piccoli. Con  questa 

figura si può costruire una spirale disegnando un arco di 

circonferenza  entro  ogni  quadrato.  Si  ottiene  una 

spirale logaritmica. 

La spirale  logaritmica è definita anche   proporzionale perché ogni raggio vettore sarà più ampio 

del  precedente  secondo  una  progressione  geometrica  , 

facendo  sì  che  la  curva  crescendo  non  cambi  forma.  La 

spirale proporzionale non  raggiunge mai  il polo  (cioè    il 

punto attorno al quale si avvolge infinite volte) , poiché il 

centro della  spirale è un punto asintotico.  La  sua  forma 

non  cambia quando  se ne modificano  le dimensioni,  sia 

che  si  aumentino  sia  che  si  riducano;  per  questo  viene 

detta autosomigliante. 

È  interessante  il fatto che questa proprietà è  importante 

per molti  fenomeni  di  accrescimento  naturale. 

Famoso  l’esempio  del  nautilo  (Nautilus 

pompilius) che, nella sua conchiglia, aumenta di 

grandezza  e  si  costruisce  camere  sempre  più 

spaziose  sigillando  quelle  vecchie  perché 

diventate piccole. Come  la spirale  logaritmica  la 

forma  della  conchiglia  non  cambia  forma  e 

l’animale  può  cresce  mantenendo  le  stesse 

proporzioni. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

Ammonite fossile

Una chiocciola  dei nostri prati 

Nell’ariete le corna crescono secondo 

una spirale logaritmica, anche se si 

sviluppa  su piani diversi. 

Il falco pellegrino durante la caccia compie una 

traiettoria a spirale per abbattersi sulla preda.

Immagini di crop circle. La suggestione è  intricante:  gli  alieni  conoscono  la matematica?  

Oggetti  con  forma  di  spirale  si  ritrovano    dal  mondo”  infinitamente  piccolo”  all’universo 

“infinitamente grande” 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conclusioni

È  possibile  spiegare  il  senso  di  questa  stupefacente  corrispondenza  tra  elementi matematici  e 

figure naturali? Per quel che si sa nessuno ha trovato un perché e  il rapporto aureo rimane uno 

straordinario  esempio  di  quel  senso  di  stupore  che  può  pervadere  la 

mente dell’uomo e che non deve essere vissuto con imbarazzo ma come 

segno  di  una  interiorità  pulsante,  come  lo  ha mirabilmente  descritto 

Einstein  quando  afferma  “quella  del  mistero  è  la  più  straordinaria 

esperienza che ci è dato di vivere. È  l’emozione fondamentale situata al 

centro della vera arte   e della vera scienza. Da questo punto di vista chi 

sa e non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente è come  simile 

ad un morto, ad una candela che non fa più luce” 

 

Foraminifero  

fossile ( guscio di 

un organismo 

unicellulare, 

dentro ci viveva 

una specie di 

Organismi unicellulari costituenti il plancton

Veder un mondo in un grano di sabbia

e un universo in un fiore di campo, 

possedere l’infinito sul palmo della mano 

e l’eternità in un’ora. 

William Blake (peta e pittore inglese. 1757‐1827 

La galassia spirale NGC 1232 

NOTE