La rektoj de Euklido

Christer O Kiselman

En la simpozio

Apliko de Esperanto en la Profesia Agado

AEPA 2013 middot Karlovo kaj Sopot

2013 junio 30

karlovoeutheia2013 1

Enhavo1 Du demandoj2 Miaj vojoj al tiu ci teksto3 La euklida kaj la projekcia ebenoj4 Kion signifas euteja5 Propozicio 166 Orienteblo7 Konkludoj

Referencoj

2

ResumoMi starigas du demandojn pri la Elementoj de Euklido Kielklarigi ke la propozicioj 16 kaj 27 en lia Unua Libro ne sekvasstrikte dirite el liaj postulatoj (au eble estas sensencaj) kajKiuj estas la matematikaj sekvoj de la signifoj de la terminoeutheja kiujn ni hodiau ofte preferas percepti kiel malsamaj

La respondo al la unua demando estas ke orienteblo estassubkomprenata hipotezo

La respondo al la dua estas diskuto pri klopodoj faritaj por evitifaktan nefinion kaj pri la neceso konstrui (en unu senco au alia)ekvivalent-klasojn de strekoj por akiri unikecon

3

Du demandoj

La Στοιχεια (Stojheja) de Euklido poste pli konata per sialatina traduko Elementa lsquoElementojrsquo estas la plej sukcesa verkopri geometrio de ciuj tempoj Gi povas ankorau hodiau estilegata analizata kaj komprenata Tamen mi havis malfacilonkompreni kelkajn rezultojn

4

La unua demando La propozicio 27 de Euklido en la unualibro de lia Στοιχεια ne sekvas strikte dirite el liaj postulatoj(aksiomoj) au estas eble sensenca Gia pruvo dependas de lapropozicio 16 kiu suferas de la sama malfacilo Devas ekzistikasita hipotezo Kiu povas esti tiu kasita hipotezo

La propozicio 27 diras

Se rekto falanta sur du rektoj faras la alternajn angulojnegalaj la rektoj estas paralelaj (Traduko apogita deHeath 1926a307)

La propozicio 16 diras

En ajna triangulo se unu el la lateroj estas plilongigita laekstera angulo estas pli granda ol ciu el la du internajanguloj ce la aliaj verticoj (Traduko apogita de Heath1926a279)

Kelkaj sekvantaj rezultoj estos same influitaj 5

Mi klopodos savi Euklidon per re-ekzamenado de la nocioj derekto kaj de triangulo kaj per elmontro de ebla kasita supozo

Mi ankau pruvos ke se ni limigas la grandon de la triangulojkonvene la propozicio 16 fakte estas valida ec en la projekciaebeno

La dua demando Kion signifas la vorto εὐθεια (euthejaeuteja) Gi ofte estas tradukita per lsquorektorsquo kiu en esperantokutime estas komprenata kiel nefinia rekto sed fakte ofte nepresignifas lsquostreko rektlinia segmento segmento de rektorsquo Kiujestas la matematikaj sekvoj de tiuj signifoj kiujn ni nuntempeofte preferas percepti kiel malsamaj

Provo s = sh th = t

6

Michel Federspiel konstatis

La difino de la rekto estas unu el la grekaj eldirojmatematikaj kiuj kauzis plej multajn esplorojn kajkomentojn ce la matematikistoj kaj ce la historiistoj(Tradukita el Federspiel 1991116)

Li tie ne diskutas cu eutheja signifas nefinian rekton radion austrekon signifoj kiujn Charles Mugler registras en sia vortaro

1 Rekto nefinia ankau duonrekto [ ] 2 Segmento derekto (Tradukita el Mugler 1958ndash1959201ndash202)

Mi venos al tio poste Antau ol fari tion mi fiksos la terminojnrilatajn al du modeloj por la aksiomoj de Euklido la euklidaebeno kaj la projekcia ebeno Mi diskutos la pruvon de lapropozicio 16 kaj la nocion de orienteblo 7

Miaj vojoj al tiu ci tekstoLa sekvaj konvinkoj estis la pelantaj fortoj malantau mia laboro

(1) Geometrio estas fascina speciale ties logika enhavo misuldas tion al Bertil Brostrom mia unua instruisto primatematiko

(2) Lingvoj estas fascinaj mi suldas tion al Karl Axnas miainstruisto pri la germana kaj mia plej inspira instruisto elciuj kategorioj Multe pli malfrue mi volis kompreniEuklidon kaj studis la klasikan grekan por Ove Strid

(3) Historio estas fascina mi suldas tion al mia instruisto prihistorio Nils Forssell

8

Sekve la prelego estus malfacile klasebla mi kombinas

(A) lauvortajn citajojn el la libroj de Euklido por montriekzakte kiel la terminoj estis uzataj kaj

(B) kritikan rigardon al la logiko kie mi sentas min libera uzi lakonojn kiujn mi nun posedas ne implicante ion ajn pri lakonoj kiujn estus posedinta Euklido

9

Por pruvi ke la propozicio 16 ne sekvas el la aksiomoj kutimametodo estas elmontri modelon kie la aksiomoj estas veraj dumla aserto en propozicio 16 ne veras La naturo de la modeloneniel gravas gi povas veni el iu ajn tempo kaj iu ajn loko kajne permesas konkludojn rilevajn [Wim Jansen] por la historioTiu argumento estu komparata kun la pruvo fare deLobacevskiı Bolyai kaj Gauso ke la postulato de paraleloj estassendependa de la aliaj aksiomoj

Kiel rimarkigis Ulf Persson la historio similas al la matematikopro la fakto ke gia pritraktajo ne (plu) ekzistas dum lapritraktajo de la matematiko neniam ekzistis krom eble en iumondo kie vivas Platono Por aliaj pensoj komparantaj historionkaj matematikon vidu lian eseon (2007) pri la libro de RobinGeorge Collingwood The idea of history lsquoLa ideo de la historiorsquo(1966) La nuna studo kombinas historion kaj matematikonespereble tiel ke la du perspektivoj estas distingeblaj 10

La euklida kaj la projekcia ebenojRektoj kaj strekoj en la euklida ebeno

Mi skribos E2 por tio kio nun estas konata kiel la euklida ebenoTemas pri afina spaco kiu povas esti provizita per koordinatojkonsistantaj el elementoj de R2 do el paroj de reelaj nombrojPli precize se tri punktoj abc isin E2 estas donitaj kaj se ili nekusas sur rekto ni povas doni al punkto p isin E2 la koordinatojn(x y) isin R2 se p = a+ x(bminusa)+ y(cminusa) Por paroli prianguloj kaj areoj ni bezonas provizi la respondan vektoranspacon per interna produto

En la sekvo mi uzos la jenajn terminojn

11

Rekto estas donita per (1minus t)a+ tb isin R2 t isin R kie a 6= b giestas nefinia en ambau direktoj

Streko sinonime rekta segmento segmento de rekto estas donitaper (1minus t)a+ tb isinR2 t isinR 0 6 t 6 1 Car mi volas eviti kepunkto estos deklarita streko mi postulas ke a 6= b

Figuro 1 Streko difinita per du punktoj a kaj b

Radio estas donita per (1minus t)a+ tb isin R2 t isin R 0 6 t kiea 6= b gi estas nefinia en unu direkto 12

Rektoj kaj strekoj en la projekcia ebenoLa projekcia ebeno kiun mi notos per P2 estas du-dimensiasternajo kiun oni povas konstrui el la euklida ebeno E2 peraldono de rekto nomita la rekto ce nefinio tiel aldonantepunkton ce nefinio al ciu rekto Por mallonga historio priprojekcia geometrio vidu Toretti (1984110ndash116) JohannesKepler estis lau Toretti la unua en moderna tempo kiu aldonisen 1604 idealan punkton al rekto

Ne ekzistas du malsamaj paralelaj rektoj en P2 Tamen mikonsideras ke gi plenumas la postulaton 5 13

La postulato de paraleloj

ε΄ Se rekto falanta sur du rektoj faras ke la internajanguloj ce la sama flanko estas malpli ol du ortoj la durektoj se eltirataj sufice longe renkontigas ce la flanko kietrovigas la anguloj malpli grandaj ol du ortoj (Libro Ipostulato 5 tradukita el Heath 1926a202)

Tiu postulato kompreneble devas esti submetita al interpretadoen la nova strukturo kaj tial la eldiro ke P2 estas modelo neestas absoluta vero

Pli bone konata sternajo estas la rubando de Mobius kiu povasesti konstruita el P2 per forigo de punkto Nun ekzistas iujparalelaj rektoj Tamen tiu strukturo ne plenumas la postulaton5 se ni mezuras angulojn kiel ni faros pli poste 14

La projekcia ebeno povas ricevi koordinatojn de punktoj en R3

tiel Punkto p isin P2 estas reprezentata per triopo(x y z) 6= (000) kie du triopoj (x y z) kaj (x primey primez prime)reprezentas la saman punkton se kaj nur se(x primey primez prime) = t(x y z) por iu reela nombro t 6= 0 Alivorte nipovas identigi P2 kun (R3 r(000))sim kie sim estas la rilatode ekvivalento jus difinita

Ni povos ankau diri egalvalore ke punkto en P2 estas rekto trala origino en R3 kaj ke rekto en P2 estas ebeno tra la origino enR3 15

Alia eblo estas pensi pri P2 kiel la sfero

S2 = (x y z) isin R3 x2 + y2 + z2 = 1

kun punkto signifanta lsquoparo de antipodaj punktojrsquo kaj rektosignifanta lsquocefcirklo kun antipodaj punktoj identigitajrsquo Sekvekun tia interpreto P2 = S2sim

La projekcia ebeno povas esti kovrita per koordinataj pecoj kiujestas difeomorfaj al R2 Malfermitan duonsferon ni povasprojekcii al la ebeno tanganta ce gia centro Tiam ciuj punktojkrom tiuj sur la rando de la duonsfero estas reprezentitaj 16

Sur la sfero ciuj anguloj estas bone difinitaj sed ne en laprojekcia ebeno Por tion klarigi prenu egallateran triangulonkun verticoj ce latitudo ϕ gt 0 kaj longitudoj 0 120 respektiveminus120 Tiam giaj anguloj θ sur la sfero povas esti kalkulitaj perla regulo de Neper kaj estas donitaj de

sinϕ= cos(90minusϕ)= cot60 cotθ

2=

1radic3

cotθ

2 0ltϕlt 90

Do θ strebas al 180 kiam ϕrarr 0 (granda triangulo proksima alla ekvatoro) La sama validas pri angulo ce vertico se ni uzaskoordinatan pecon centritan ce tiu sama vertico Sed θ strebasal 60 kiam ϕrarr 90 (malgranda triangulo proksima al la nordapoluso) 17

La projekciajo de la triangulo sur la ebenon tangantan ce(001) estas kutima egallatera triangulo sekve kun angulojegalaj al 60 por ciuj valoroj de ϕ 0 lt ϕ lt 90 Ni tial nepovos mezuri angulojn en ajna koordinata peco nur enkoordinata peco kun centro ce la vertico de la anguloegalvalore sur la sfero

Estas konvene tiel mezuri angulojn en la projekcia ebeno kielilo por kontroli la grandon de trianguloj Do kvankam estassensence paroli pri anguloj en la projekcia ebeno mem la sferopovas servi kiel pra-modelo por la projekcia ebeno kaj laanguloj sur la sfero povas esti utilaj 18

Kion signifas eutejaCharles Mugler skribas

[ ] la lingva instrumento de la greka geometrio donas alla leganto la saman impreson kiel la geometrio mem tiunde perfekto sen historio Tiu lingvo sobra kaj eleganta kunsia vortprovizo preciza kaj distingiva nevarianta krom jeiuj semantikaj sangoj dum mil jaroj de la historio de lagreka penso [ ]

kaj daurigas

la eldiroj de la Elementoj kiu fiksas la esprimojn de lamatematika pensado dum jarcentoj malkovras sin ce laanalizo kiel rezulto al kiu kontribuis multnombrajgeneracioj de geometriistoj (Traduko el Mugler1958ndash19597)

Tio suficu por montri ke ni ne klopodas analizi ci tie iunefemeran elekton de terminoj 19

LiniojEuklido difinas la nocion linio due en sia unua libro

β΄ Γραμμη δε μηκος ἀπλατές (Libro I difino 2) Kajlinio estas longo sen largo (Traduko apogita de Houel188311 Heath 1926a158 Vitrac 1990152 Fitzpatrick20116)

Ci tie ne estas menciitaj linioj de nefinia longo En la cetero dela unua libro plej multaj linioj estas rektoj por ekhavi sufice daekzemploj ni nun turnas nin al tiuj ci 20

Rektoj eutejaEuklido difinas la nocion de euteja en la kvara difino de siaunua libro tiel

δ΄ Εὐθεια γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοις ἐφrsquo ἑαυτης

σημείοις κειται (Libro I difino 4) Rekto estas tiu kiusituas egale rilate al ciuj siaj punktoj (Traduko apogita deHouel 188311 Heath 1926a165 Vitrac 1990154Fitzpatrick 20116)

Houel aldonas ke la difino estas formulita per obskuraj terminoj

21

La unua postulato de Euklido tekstas

α΄ ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ παν σημειον

εὐθειαν γραμμὴν ἀγαγειν (Libro I postulato 1) Estupostulita tiri rekton de ajna punkto al ajna punkto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a195Vitrac 1990167 Fitzpatrick 20117)

La verbformo ᾿Ηιτήσθω skribita ἠιτήσθω per minuskloj estas

en meza modo perfekta imperativo singularo tria persono dela verbo αἰτειν lsquopostulirsquo αἰτέω lsquomi postulasrsquo 22

La termino kiun li uzas por rekto en la kvara difino kaj la unuapostulato estas εὐθεια γραμμή (eutheia gramme) lsquorekta liniorsquoposte ekzemple en la dua kaj kvina postulatoj mallongigita alεὐθεια lsquorektarsquo la femala formo de adjektivo kun la sencolsquorektarsquo lsquobaldaua tujarsquo maskle εὐθύς neutrale εὐθύ

Simile une droite estas tre ofte uzata por une ligne droite en lafranca kaj prma (pryamaya) por prma lini (pryamayalınya) en la rusa

Iom surprize lau Frisk (1960) la adjektivo εὐθύς havas neniunetimologian parencon en aliaj lingvoj ldquoOhne auszligergriechischeEntsprechungrdquo 23

Rektoj eks ısu kejtajSlosila elemento en la difino 4 estas la esprimo ἐξ ἴσου [ ]

κειται (ex isou [ ] keitai) Gi estas tradukita per lsquositueesemblablement lies evenly placee de maniere egalersquo enesperanto lsquoegale situantarsquo La adverbo egale estas traduko de laprepozicia esprimo ἐξ ἴσου kiu funkcias kiel adverbo aufakte estas adverbo (Federspiel 1991120)

La verba formo κειται signifas lsquogi kusas gi estas kusantarsquo aueble lsquogi estas kusigita lokitarsquo meza au pasiva modo prezentaindikativo singularo tria persono 24

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

La unua demando La propozicio 27 de Euklido en la unualibro de lia Στοιχεια ne sekvas strikte dirite el liaj postulatoj(aksiomoj) au estas eble sensenca Gia pruvo dependas de lapropozicio 16 kiu suferas de la sama malfacilo Devas ekzistikasita hipotezo Kiu povas esti tiu kasita hipotezo

La propozicio 27 diras

Se rekto falanta sur du rektoj faras la alternajn angulojnegalaj la rektoj estas paralelaj (Traduko apogita deHeath 1926a307)

La propozicio 16 diras

En ajna triangulo se unu el la lateroj estas plilongigita laekstera angulo estas pli granda ol ciu el la du internajanguloj ce la aliaj verticoj (Traduko apogita de Heath1926a279)

Kelkaj sekvantaj rezultoj estos same influitaj 5

Mi klopodos savi Euklidon per re-ekzamenado de la nocioj derekto kaj de triangulo kaj per elmontro de ebla kasita supozo

Mi ankau pruvos ke se ni limigas la grandon de la triangulojkonvene la propozicio 16 fakte estas valida ec en la projekciaebeno

La dua demando Kion signifas la vorto εὐθεια (euthejaeuteja) Gi ofte estas tradukita per lsquorektorsquo kiu en esperantokutime estas komprenata kiel nefinia rekto sed fakte ofte nepresignifas lsquostreko rektlinia segmento segmento de rektorsquo Kiujestas la matematikaj sekvoj de tiuj signifoj kiujn ni nuntempeofte preferas percepti kiel malsamaj

Provo s = sh th = t

6

Michel Federspiel konstatis

La difino de la rekto estas unu el la grekaj eldirojmatematikaj kiuj kauzis plej multajn esplorojn kajkomentojn ce la matematikistoj kaj ce la historiistoj(Tradukita el Federspiel 1991116)

Li tie ne diskutas cu eutheja signifas nefinian rekton radion austrekon signifoj kiujn Charles Mugler registras en sia vortaro

1 Rekto nefinia ankau duonrekto [ ] 2 Segmento derekto (Tradukita el Mugler 1958ndash1959201ndash202)

Mi venos al tio poste Antau ol fari tion mi fiksos la terminojnrilatajn al du modeloj por la aksiomoj de Euklido la euklidaebeno kaj la projekcia ebeno Mi diskutos la pruvon de lapropozicio 16 kaj la nocion de orienteblo 7

Miaj vojoj al tiu ci tekstoLa sekvaj konvinkoj estis la pelantaj fortoj malantau mia laboro

(1) Geometrio estas fascina speciale ties logika enhavo misuldas tion al Bertil Brostrom mia unua instruisto primatematiko

(2) Lingvoj estas fascinaj mi suldas tion al Karl Axnas miainstruisto pri la germana kaj mia plej inspira instruisto elciuj kategorioj Multe pli malfrue mi volis kompreniEuklidon kaj studis la klasikan grekan por Ove Strid

(3) Historio estas fascina mi suldas tion al mia instruisto prihistorio Nils Forssell

8

Sekve la prelego estus malfacile klasebla mi kombinas

(A) lauvortajn citajojn el la libroj de Euklido por montriekzakte kiel la terminoj estis uzataj kaj

(B) kritikan rigardon al la logiko kie mi sentas min libera uzi lakonojn kiujn mi nun posedas ne implicante ion ajn pri lakonoj kiujn estus posedinta Euklido

9

Por pruvi ke la propozicio 16 ne sekvas el la aksiomoj kutimametodo estas elmontri modelon kie la aksiomoj estas veraj dumla aserto en propozicio 16 ne veras La naturo de la modeloneniel gravas gi povas veni el iu ajn tempo kaj iu ajn loko kajne permesas konkludojn rilevajn [Wim Jansen] por la historioTiu argumento estu komparata kun la pruvo fare deLobacevskiı Bolyai kaj Gauso ke la postulato de paraleloj estassendependa de la aliaj aksiomoj

Kiel rimarkigis Ulf Persson la historio similas al la matematikopro la fakto ke gia pritraktajo ne (plu) ekzistas dum lapritraktajo de la matematiko neniam ekzistis krom eble en iumondo kie vivas Platono Por aliaj pensoj komparantaj historionkaj matematikon vidu lian eseon (2007) pri la libro de RobinGeorge Collingwood The idea of history lsquoLa ideo de la historiorsquo(1966) La nuna studo kombinas historion kaj matematikonespereble tiel ke la du perspektivoj estas distingeblaj 10

La euklida kaj la projekcia ebenojRektoj kaj strekoj en la euklida ebeno

Mi skribos E2 por tio kio nun estas konata kiel la euklida ebenoTemas pri afina spaco kiu povas esti provizita per koordinatojkonsistantaj el elementoj de R2 do el paroj de reelaj nombrojPli precize se tri punktoj abc isin E2 estas donitaj kaj se ili nekusas sur rekto ni povas doni al punkto p isin E2 la koordinatojn(x y) isin R2 se p = a+ x(bminusa)+ y(cminusa) Por paroli prianguloj kaj areoj ni bezonas provizi la respondan vektoranspacon per interna produto

En la sekvo mi uzos la jenajn terminojn

11

Rekto estas donita per (1minus t)a+ tb isin R2 t isin R kie a 6= b giestas nefinia en ambau direktoj

Streko sinonime rekta segmento segmento de rekto estas donitaper (1minus t)a+ tb isinR2 t isinR 0 6 t 6 1 Car mi volas eviti kepunkto estos deklarita streko mi postulas ke a 6= b

Figuro 1 Streko difinita per du punktoj a kaj b

Radio estas donita per (1minus t)a+ tb isin R2 t isin R 0 6 t kiea 6= b gi estas nefinia en unu direkto 12

Rektoj kaj strekoj en la projekcia ebenoLa projekcia ebeno kiun mi notos per P2 estas du-dimensiasternajo kiun oni povas konstrui el la euklida ebeno E2 peraldono de rekto nomita la rekto ce nefinio tiel aldonantepunkton ce nefinio al ciu rekto Por mallonga historio priprojekcia geometrio vidu Toretti (1984110ndash116) JohannesKepler estis lau Toretti la unua en moderna tempo kiu aldonisen 1604 idealan punkton al rekto

Ne ekzistas du malsamaj paralelaj rektoj en P2 Tamen mikonsideras ke gi plenumas la postulaton 5 13

La postulato de paraleloj

ε΄ Se rekto falanta sur du rektoj faras ke la internajanguloj ce la sama flanko estas malpli ol du ortoj la durektoj se eltirataj sufice longe renkontigas ce la flanko kietrovigas la anguloj malpli grandaj ol du ortoj (Libro Ipostulato 5 tradukita el Heath 1926a202)

Tiu postulato kompreneble devas esti submetita al interpretadoen la nova strukturo kaj tial la eldiro ke P2 estas modelo neestas absoluta vero

Pli bone konata sternajo estas la rubando de Mobius kiu povasesti konstruita el P2 per forigo de punkto Nun ekzistas iujparalelaj rektoj Tamen tiu strukturo ne plenumas la postulaton5 se ni mezuras angulojn kiel ni faros pli poste 14

La projekcia ebeno povas ricevi koordinatojn de punktoj en R3

tiel Punkto p isin P2 estas reprezentata per triopo(x y z) 6= (000) kie du triopoj (x y z) kaj (x primey primez prime)reprezentas la saman punkton se kaj nur se(x primey primez prime) = t(x y z) por iu reela nombro t 6= 0 Alivorte nipovas identigi P2 kun (R3 r(000))sim kie sim estas la rilatode ekvivalento jus difinita

Ni povos ankau diri egalvalore ke punkto en P2 estas rekto trala origino en R3 kaj ke rekto en P2 estas ebeno tra la origino enR3 15

Alia eblo estas pensi pri P2 kiel la sfero

S2 = (x y z) isin R3 x2 + y2 + z2 = 1

kun punkto signifanta lsquoparo de antipodaj punktojrsquo kaj rektosignifanta lsquocefcirklo kun antipodaj punktoj identigitajrsquo Sekvekun tia interpreto P2 = S2sim

La projekcia ebeno povas esti kovrita per koordinataj pecoj kiujestas difeomorfaj al R2 Malfermitan duonsferon ni povasprojekcii al la ebeno tanganta ce gia centro Tiam ciuj punktojkrom tiuj sur la rando de la duonsfero estas reprezentitaj 16

Sur la sfero ciuj anguloj estas bone difinitaj sed ne en laprojekcia ebeno Por tion klarigi prenu egallateran triangulonkun verticoj ce latitudo ϕ gt 0 kaj longitudoj 0 120 respektiveminus120 Tiam giaj anguloj θ sur la sfero povas esti kalkulitaj perla regulo de Neper kaj estas donitaj de

sinϕ= cos(90minusϕ)= cot60 cotθ

2=

1radic3

cotθ

2 0ltϕlt 90

Do θ strebas al 180 kiam ϕrarr 0 (granda triangulo proksima alla ekvatoro) La sama validas pri angulo ce vertico se ni uzaskoordinatan pecon centritan ce tiu sama vertico Sed θ strebasal 60 kiam ϕrarr 90 (malgranda triangulo proksima al la nordapoluso) 17

La projekciajo de la triangulo sur la ebenon tangantan ce(001) estas kutima egallatera triangulo sekve kun angulojegalaj al 60 por ciuj valoroj de ϕ 0 lt ϕ lt 90 Ni tial nepovos mezuri angulojn en ajna koordinata peco nur enkoordinata peco kun centro ce la vertico de la anguloegalvalore sur la sfero

Estas konvene tiel mezuri angulojn en la projekcia ebeno kielilo por kontroli la grandon de trianguloj Do kvankam estassensence paroli pri anguloj en la projekcia ebeno mem la sferopovas servi kiel pra-modelo por la projekcia ebeno kaj laanguloj sur la sfero povas esti utilaj 18

Kion signifas eutejaCharles Mugler skribas

[ ] la lingva instrumento de la greka geometrio donas alla leganto la saman impreson kiel la geometrio mem tiunde perfekto sen historio Tiu lingvo sobra kaj eleganta kunsia vortprovizo preciza kaj distingiva nevarianta krom jeiuj semantikaj sangoj dum mil jaroj de la historio de lagreka penso [ ]

kaj daurigas

la eldiroj de la Elementoj kiu fiksas la esprimojn de lamatematika pensado dum jarcentoj malkovras sin ce laanalizo kiel rezulto al kiu kontribuis multnombrajgeneracioj de geometriistoj (Traduko el Mugler1958ndash19597)

Tio suficu por montri ke ni ne klopodas analizi ci tie iunefemeran elekton de terminoj 19

LiniojEuklido difinas la nocion linio due en sia unua libro

β΄ Γραμμη δε μηκος ἀπλατές (Libro I difino 2) Kajlinio estas longo sen largo (Traduko apogita de Houel188311 Heath 1926a158 Vitrac 1990152 Fitzpatrick20116)

Ci tie ne estas menciitaj linioj de nefinia longo En la cetero dela unua libro plej multaj linioj estas rektoj por ekhavi sufice daekzemploj ni nun turnas nin al tiuj ci 20

Rektoj eutejaEuklido difinas la nocion de euteja en la kvara difino de siaunua libro tiel

δ΄ Εὐθεια γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοις ἐφrsquo ἑαυτης

σημείοις κειται (Libro I difino 4) Rekto estas tiu kiusituas egale rilate al ciuj siaj punktoj (Traduko apogita deHouel 188311 Heath 1926a165 Vitrac 1990154Fitzpatrick 20116)

Houel aldonas ke la difino estas formulita per obskuraj terminoj

21

La unua postulato de Euklido tekstas

α΄ ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ παν σημειον

εὐθειαν γραμμὴν ἀγαγειν (Libro I postulato 1) Estupostulita tiri rekton de ajna punkto al ajna punkto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a195Vitrac 1990167 Fitzpatrick 20117)

La verbformo ᾿Ηιτήσθω skribita ἠιτήσθω per minuskloj estas

en meza modo perfekta imperativo singularo tria persono dela verbo αἰτειν lsquopostulirsquo αἰτέω lsquomi postulasrsquo 22

La termino kiun li uzas por rekto en la kvara difino kaj la unuapostulato estas εὐθεια γραμμή (eutheia gramme) lsquorekta liniorsquoposte ekzemple en la dua kaj kvina postulatoj mallongigita alεὐθεια lsquorektarsquo la femala formo de adjektivo kun la sencolsquorektarsquo lsquobaldaua tujarsquo maskle εὐθύς neutrale εὐθύ

Simile une droite estas tre ofte uzata por une ligne droite en lafranca kaj prma (pryamaya) por prma lini (pryamayalınya) en la rusa

Iom surprize lau Frisk (1960) la adjektivo εὐθύς havas neniunetimologian parencon en aliaj lingvoj ldquoOhne auszligergriechischeEntsprechungrdquo 23

Rektoj eks ısu kejtajSlosila elemento en la difino 4 estas la esprimo ἐξ ἴσου [ ]

κειται (ex isou [ ] keitai) Gi estas tradukita per lsquositueesemblablement lies evenly placee de maniere egalersquo enesperanto lsquoegale situantarsquo La adverbo egale estas traduko de laprepozicia esprimo ἐξ ἴσου kiu funkcias kiel adverbo aufakte estas adverbo (Federspiel 1991120)

La verba formo κειται signifas lsquogi kusas gi estas kusantarsquo aueble lsquogi estas kusigita lokitarsquo meza au pasiva modo prezentaindikativo singularo tria persono 24

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Sekve la prelego estus malfacile klasebla mi kombinas

(A) lauvortajn citajojn el la libroj de Euklido por montriekzakte kiel la terminoj estis uzataj kaj

(B) kritikan rigardon al la logiko kie mi sentas min libera uzi lakonojn kiujn mi nun posedas ne implicante ion ajn pri lakonoj kiujn estus posedinta Euklido

9

Por pruvi ke la propozicio 16 ne sekvas el la aksiomoj kutimametodo estas elmontri modelon kie la aksiomoj estas veraj dumla aserto en propozicio 16 ne veras La naturo de la modeloneniel gravas gi povas veni el iu ajn tempo kaj iu ajn loko kajne permesas konkludojn rilevajn [Wim Jansen] por la historioTiu argumento estu komparata kun la pruvo fare deLobacevskiı Bolyai kaj Gauso ke la postulato de paraleloj estassendependa de la aliaj aksiomoj

Kiel rimarkigis Ulf Persson la historio similas al la matematikopro la fakto ke gia pritraktajo ne (plu) ekzistas dum lapritraktajo de la matematiko neniam ekzistis krom eble en iumondo kie vivas Platono Por aliaj pensoj komparantaj historionkaj matematikon vidu lian eseon (2007) pri la libro de RobinGeorge Collingwood The idea of history lsquoLa ideo de la historiorsquo(1966) La nuna studo kombinas historion kaj matematikonespereble tiel ke la du perspektivoj estas distingeblaj 10

La euklida kaj la projekcia ebenojRektoj kaj strekoj en la euklida ebeno

Mi skribos E2 por tio kio nun estas konata kiel la euklida ebenoTemas pri afina spaco kiu povas esti provizita per koordinatojkonsistantaj el elementoj de R2 do el paroj de reelaj nombrojPli precize se tri punktoj abc isin E2 estas donitaj kaj se ili nekusas sur rekto ni povas doni al punkto p isin E2 la koordinatojn(x y) isin R2 se p = a+ x(bminusa)+ y(cminusa) Por paroli prianguloj kaj areoj ni bezonas provizi la respondan vektoranspacon per interna produto

En la sekvo mi uzos la jenajn terminojn

11

Rekto estas donita per (1minus t)a+ tb isin R2 t isin R kie a 6= b giestas nefinia en ambau direktoj

Streko sinonime rekta segmento segmento de rekto estas donitaper (1minus t)a+ tb isinR2 t isinR 0 6 t 6 1 Car mi volas eviti kepunkto estos deklarita streko mi postulas ke a 6= b

Figuro 1 Streko difinita per du punktoj a kaj b

Radio estas donita per (1minus t)a+ tb isin R2 t isin R 0 6 t kiea 6= b gi estas nefinia en unu direkto 12

Rektoj kaj strekoj en la projekcia ebenoLa projekcia ebeno kiun mi notos per P2 estas du-dimensiasternajo kiun oni povas konstrui el la euklida ebeno E2 peraldono de rekto nomita la rekto ce nefinio tiel aldonantepunkton ce nefinio al ciu rekto Por mallonga historio priprojekcia geometrio vidu Toretti (1984110ndash116) JohannesKepler estis lau Toretti la unua en moderna tempo kiu aldonisen 1604 idealan punkton al rekto

Ne ekzistas du malsamaj paralelaj rektoj en P2 Tamen mikonsideras ke gi plenumas la postulaton 5 13

La postulato de paraleloj

ε΄ Se rekto falanta sur du rektoj faras ke la internajanguloj ce la sama flanko estas malpli ol du ortoj la durektoj se eltirataj sufice longe renkontigas ce la flanko kietrovigas la anguloj malpli grandaj ol du ortoj (Libro Ipostulato 5 tradukita el Heath 1926a202)

Tiu postulato kompreneble devas esti submetita al interpretadoen la nova strukturo kaj tial la eldiro ke P2 estas modelo neestas absoluta vero

Pli bone konata sternajo estas la rubando de Mobius kiu povasesti konstruita el P2 per forigo de punkto Nun ekzistas iujparalelaj rektoj Tamen tiu strukturo ne plenumas la postulaton5 se ni mezuras angulojn kiel ni faros pli poste 14

La projekcia ebeno povas ricevi koordinatojn de punktoj en R3

tiel Punkto p isin P2 estas reprezentata per triopo(x y z) 6= (000) kie du triopoj (x y z) kaj (x primey primez prime)reprezentas la saman punkton se kaj nur se(x primey primez prime) = t(x y z) por iu reela nombro t 6= 0 Alivorte nipovas identigi P2 kun (R3 r(000))sim kie sim estas la rilatode ekvivalento jus difinita

Ni povos ankau diri egalvalore ke punkto en P2 estas rekto trala origino en R3 kaj ke rekto en P2 estas ebeno tra la origino enR3 15

Alia eblo estas pensi pri P2 kiel la sfero

S2 = (x y z) isin R3 x2 + y2 + z2 = 1

kun punkto signifanta lsquoparo de antipodaj punktojrsquo kaj rektosignifanta lsquocefcirklo kun antipodaj punktoj identigitajrsquo Sekvekun tia interpreto P2 = S2sim

La projekcia ebeno povas esti kovrita per koordinataj pecoj kiujestas difeomorfaj al R2 Malfermitan duonsferon ni povasprojekcii al la ebeno tanganta ce gia centro Tiam ciuj punktojkrom tiuj sur la rando de la duonsfero estas reprezentitaj 16

Sur la sfero ciuj anguloj estas bone difinitaj sed ne en laprojekcia ebeno Por tion klarigi prenu egallateran triangulonkun verticoj ce latitudo ϕ gt 0 kaj longitudoj 0 120 respektiveminus120 Tiam giaj anguloj θ sur la sfero povas esti kalkulitaj perla regulo de Neper kaj estas donitaj de

sinϕ= cos(90minusϕ)= cot60 cotθ

2=

1radic3

cotθ

2 0ltϕlt 90

Do θ strebas al 180 kiam ϕrarr 0 (granda triangulo proksima alla ekvatoro) La sama validas pri angulo ce vertico se ni uzaskoordinatan pecon centritan ce tiu sama vertico Sed θ strebasal 60 kiam ϕrarr 90 (malgranda triangulo proksima al la nordapoluso) 17

La projekciajo de la triangulo sur la ebenon tangantan ce(001) estas kutima egallatera triangulo sekve kun angulojegalaj al 60 por ciuj valoroj de ϕ 0 lt ϕ lt 90 Ni tial nepovos mezuri angulojn en ajna koordinata peco nur enkoordinata peco kun centro ce la vertico de la anguloegalvalore sur la sfero

Estas konvene tiel mezuri angulojn en la projekcia ebeno kielilo por kontroli la grandon de trianguloj Do kvankam estassensence paroli pri anguloj en la projekcia ebeno mem la sferopovas servi kiel pra-modelo por la projekcia ebeno kaj laanguloj sur la sfero povas esti utilaj 18

Kion signifas eutejaCharles Mugler skribas

[ ] la lingva instrumento de la greka geometrio donas alla leganto la saman impreson kiel la geometrio mem tiunde perfekto sen historio Tiu lingvo sobra kaj eleganta kunsia vortprovizo preciza kaj distingiva nevarianta krom jeiuj semantikaj sangoj dum mil jaroj de la historio de lagreka penso [ ]

kaj daurigas

la eldiroj de la Elementoj kiu fiksas la esprimojn de lamatematika pensado dum jarcentoj malkovras sin ce laanalizo kiel rezulto al kiu kontribuis multnombrajgeneracioj de geometriistoj (Traduko el Mugler1958ndash19597)

Tio suficu por montri ke ni ne klopodas analizi ci tie iunefemeran elekton de terminoj 19

LiniojEuklido difinas la nocion linio due en sia unua libro

β΄ Γραμμη δε μηκος ἀπλατές (Libro I difino 2) Kajlinio estas longo sen largo (Traduko apogita de Houel188311 Heath 1926a158 Vitrac 1990152 Fitzpatrick20116)

Ci tie ne estas menciitaj linioj de nefinia longo En la cetero dela unua libro plej multaj linioj estas rektoj por ekhavi sufice daekzemploj ni nun turnas nin al tiuj ci 20

Rektoj eutejaEuklido difinas la nocion de euteja en la kvara difino de siaunua libro tiel

δ΄ Εὐθεια γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοις ἐφrsquo ἑαυτης

σημείοις κειται (Libro I difino 4) Rekto estas tiu kiusituas egale rilate al ciuj siaj punktoj (Traduko apogita deHouel 188311 Heath 1926a165 Vitrac 1990154Fitzpatrick 20116)

Houel aldonas ke la difino estas formulita per obskuraj terminoj

21

La unua postulato de Euklido tekstas

α΄ ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ παν σημειον

εὐθειαν γραμμὴν ἀγαγειν (Libro I postulato 1) Estupostulita tiri rekton de ajna punkto al ajna punkto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a195Vitrac 1990167 Fitzpatrick 20117)

La verbformo ᾿Ηιτήσθω skribita ἠιτήσθω per minuskloj estas

en meza modo perfekta imperativo singularo tria persono dela verbo αἰτειν lsquopostulirsquo αἰτέω lsquomi postulasrsquo 22

La termino kiun li uzas por rekto en la kvara difino kaj la unuapostulato estas εὐθεια γραμμή (eutheia gramme) lsquorekta liniorsquoposte ekzemple en la dua kaj kvina postulatoj mallongigita alεὐθεια lsquorektarsquo la femala formo de adjektivo kun la sencolsquorektarsquo lsquobaldaua tujarsquo maskle εὐθύς neutrale εὐθύ

Simile une droite estas tre ofte uzata por une ligne droite en lafranca kaj prma (pryamaya) por prma lini (pryamayalınya) en la rusa

Iom surprize lau Frisk (1960) la adjektivo εὐθύς havas neniunetimologian parencon en aliaj lingvoj ldquoOhne auszligergriechischeEntsprechungrdquo 23

Rektoj eks ısu kejtajSlosila elemento en la difino 4 estas la esprimo ἐξ ἴσου [ ]

κειται (ex isou [ ] keitai) Gi estas tradukita per lsquositueesemblablement lies evenly placee de maniere egalersquo enesperanto lsquoegale situantarsquo La adverbo egale estas traduko de laprepozicia esprimo ἐξ ἴσου kiu funkcias kiel adverbo aufakte estas adverbo (Federspiel 1991120)

La verba formo κειται signifas lsquogi kusas gi estas kusantarsquo aueble lsquogi estas kusigita lokitarsquo meza au pasiva modo prezentaindikativo singularo tria persono 24

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Rektoj kaj strekoj en la projekcia ebenoLa projekcia ebeno kiun mi notos per P2 estas du-dimensiasternajo kiun oni povas konstrui el la euklida ebeno E2 peraldono de rekto nomita la rekto ce nefinio tiel aldonantepunkton ce nefinio al ciu rekto Por mallonga historio priprojekcia geometrio vidu Toretti (1984110ndash116) JohannesKepler estis lau Toretti la unua en moderna tempo kiu aldonisen 1604 idealan punkton al rekto

Ne ekzistas du malsamaj paralelaj rektoj en P2 Tamen mikonsideras ke gi plenumas la postulaton 5 13

La postulato de paraleloj

ε΄ Se rekto falanta sur du rektoj faras ke la internajanguloj ce la sama flanko estas malpli ol du ortoj la durektoj se eltirataj sufice longe renkontigas ce la flanko kietrovigas la anguloj malpli grandaj ol du ortoj (Libro Ipostulato 5 tradukita el Heath 1926a202)

Tiu postulato kompreneble devas esti submetita al interpretadoen la nova strukturo kaj tial la eldiro ke P2 estas modelo neestas absoluta vero

Pli bone konata sternajo estas la rubando de Mobius kiu povasesti konstruita el P2 per forigo de punkto Nun ekzistas iujparalelaj rektoj Tamen tiu strukturo ne plenumas la postulaton5 se ni mezuras angulojn kiel ni faros pli poste 14

La projekcia ebeno povas ricevi koordinatojn de punktoj en R3

tiel Punkto p isin P2 estas reprezentata per triopo(x y z) 6= (000) kie du triopoj (x y z) kaj (x primey primez prime)reprezentas la saman punkton se kaj nur se(x primey primez prime) = t(x y z) por iu reela nombro t 6= 0 Alivorte nipovas identigi P2 kun (R3 r(000))sim kie sim estas la rilatode ekvivalento jus difinita

Ni povos ankau diri egalvalore ke punkto en P2 estas rekto trala origino en R3 kaj ke rekto en P2 estas ebeno tra la origino enR3 15

Alia eblo estas pensi pri P2 kiel la sfero

S2 = (x y z) isin R3 x2 + y2 + z2 = 1

kun punkto signifanta lsquoparo de antipodaj punktojrsquo kaj rektosignifanta lsquocefcirklo kun antipodaj punktoj identigitajrsquo Sekvekun tia interpreto P2 = S2sim

La projekcia ebeno povas esti kovrita per koordinataj pecoj kiujestas difeomorfaj al R2 Malfermitan duonsferon ni povasprojekcii al la ebeno tanganta ce gia centro Tiam ciuj punktojkrom tiuj sur la rando de la duonsfero estas reprezentitaj 16

Sur la sfero ciuj anguloj estas bone difinitaj sed ne en laprojekcia ebeno Por tion klarigi prenu egallateran triangulonkun verticoj ce latitudo ϕ gt 0 kaj longitudoj 0 120 respektiveminus120 Tiam giaj anguloj θ sur la sfero povas esti kalkulitaj perla regulo de Neper kaj estas donitaj de

sinϕ= cos(90minusϕ)= cot60 cotθ

2=

1radic3

cotθ

2 0ltϕlt 90

Do θ strebas al 180 kiam ϕrarr 0 (granda triangulo proksima alla ekvatoro) La sama validas pri angulo ce vertico se ni uzaskoordinatan pecon centritan ce tiu sama vertico Sed θ strebasal 60 kiam ϕrarr 90 (malgranda triangulo proksima al la nordapoluso) 17

La projekciajo de la triangulo sur la ebenon tangantan ce(001) estas kutima egallatera triangulo sekve kun angulojegalaj al 60 por ciuj valoroj de ϕ 0 lt ϕ lt 90 Ni tial nepovos mezuri angulojn en ajna koordinata peco nur enkoordinata peco kun centro ce la vertico de la anguloegalvalore sur la sfero

Estas konvene tiel mezuri angulojn en la projekcia ebeno kielilo por kontroli la grandon de trianguloj Do kvankam estassensence paroli pri anguloj en la projekcia ebeno mem la sferopovas servi kiel pra-modelo por la projekcia ebeno kaj laanguloj sur la sfero povas esti utilaj 18

Kion signifas eutejaCharles Mugler skribas

[ ] la lingva instrumento de la greka geometrio donas alla leganto la saman impreson kiel la geometrio mem tiunde perfekto sen historio Tiu lingvo sobra kaj eleganta kunsia vortprovizo preciza kaj distingiva nevarianta krom jeiuj semantikaj sangoj dum mil jaroj de la historio de lagreka penso [ ]

kaj daurigas

la eldiroj de la Elementoj kiu fiksas la esprimojn de lamatematika pensado dum jarcentoj malkovras sin ce laanalizo kiel rezulto al kiu kontribuis multnombrajgeneracioj de geometriistoj (Traduko el Mugler1958ndash19597)

Tio suficu por montri ke ni ne klopodas analizi ci tie iunefemeran elekton de terminoj 19

LiniojEuklido difinas la nocion linio due en sia unua libro

β΄ Γραμμη δε μηκος ἀπλατές (Libro I difino 2) Kajlinio estas longo sen largo (Traduko apogita de Houel188311 Heath 1926a158 Vitrac 1990152 Fitzpatrick20116)

Ci tie ne estas menciitaj linioj de nefinia longo En la cetero dela unua libro plej multaj linioj estas rektoj por ekhavi sufice daekzemploj ni nun turnas nin al tiuj ci 20

Rektoj eutejaEuklido difinas la nocion de euteja en la kvara difino de siaunua libro tiel

δ΄ Εὐθεια γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοις ἐφrsquo ἑαυτης

σημείοις κειται (Libro I difino 4) Rekto estas tiu kiusituas egale rilate al ciuj siaj punktoj (Traduko apogita deHouel 188311 Heath 1926a165 Vitrac 1990154Fitzpatrick 20116)

Houel aldonas ke la difino estas formulita per obskuraj terminoj

21

La unua postulato de Euklido tekstas

α΄ ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ παν σημειον

εὐθειαν γραμμὴν ἀγαγειν (Libro I postulato 1) Estupostulita tiri rekton de ajna punkto al ajna punkto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a195Vitrac 1990167 Fitzpatrick 20117)

La verbformo ᾿Ηιτήσθω skribita ἠιτήσθω per minuskloj estas

en meza modo perfekta imperativo singularo tria persono dela verbo αἰτειν lsquopostulirsquo αἰτέω lsquomi postulasrsquo 22

La termino kiun li uzas por rekto en la kvara difino kaj la unuapostulato estas εὐθεια γραμμή (eutheia gramme) lsquorekta liniorsquoposte ekzemple en la dua kaj kvina postulatoj mallongigita alεὐθεια lsquorektarsquo la femala formo de adjektivo kun la sencolsquorektarsquo lsquobaldaua tujarsquo maskle εὐθύς neutrale εὐθύ

Simile une droite estas tre ofte uzata por une ligne droite en lafranca kaj prma (pryamaya) por prma lini (pryamayalınya) en la rusa

Iom surprize lau Frisk (1960) la adjektivo εὐθύς havas neniunetimologian parencon en aliaj lingvoj ldquoOhne auszligergriechischeEntsprechungrdquo 23

Rektoj eks ısu kejtajSlosila elemento en la difino 4 estas la esprimo ἐξ ἴσου [ ]

κειται (ex isou [ ] keitai) Gi estas tradukita per lsquositueesemblablement lies evenly placee de maniere egalersquo enesperanto lsquoegale situantarsquo La adverbo egale estas traduko de laprepozicia esprimo ἐξ ἴσου kiu funkcias kiel adverbo aufakte estas adverbo (Federspiel 1991120)

La verba formo κειται signifas lsquogi kusas gi estas kusantarsquo aueble lsquogi estas kusigita lokitarsquo meza au pasiva modo prezentaindikativo singularo tria persono 24

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Sur la sfero ciuj anguloj estas bone difinitaj sed ne en laprojekcia ebeno Por tion klarigi prenu egallateran triangulonkun verticoj ce latitudo ϕ gt 0 kaj longitudoj 0 120 respektiveminus120 Tiam giaj anguloj θ sur la sfero povas esti kalkulitaj perla regulo de Neper kaj estas donitaj de

sinϕ= cos(90minusϕ)= cot60 cotθ

2=

1radic3

cotθ

2 0ltϕlt 90

Do θ strebas al 180 kiam ϕrarr 0 (granda triangulo proksima alla ekvatoro) La sama validas pri angulo ce vertico se ni uzaskoordinatan pecon centritan ce tiu sama vertico Sed θ strebasal 60 kiam ϕrarr 90 (malgranda triangulo proksima al la nordapoluso) 17

La projekciajo de la triangulo sur la ebenon tangantan ce(001) estas kutima egallatera triangulo sekve kun angulojegalaj al 60 por ciuj valoroj de ϕ 0 lt ϕ lt 90 Ni tial nepovos mezuri angulojn en ajna koordinata peco nur enkoordinata peco kun centro ce la vertico de la anguloegalvalore sur la sfero

Estas konvene tiel mezuri angulojn en la projekcia ebeno kielilo por kontroli la grandon de trianguloj Do kvankam estassensence paroli pri anguloj en la projekcia ebeno mem la sferopovas servi kiel pra-modelo por la projekcia ebeno kaj laanguloj sur la sfero povas esti utilaj 18

Kion signifas eutejaCharles Mugler skribas

[ ] la lingva instrumento de la greka geometrio donas alla leganto la saman impreson kiel la geometrio mem tiunde perfekto sen historio Tiu lingvo sobra kaj eleganta kunsia vortprovizo preciza kaj distingiva nevarianta krom jeiuj semantikaj sangoj dum mil jaroj de la historio de lagreka penso [ ]

kaj daurigas

la eldiroj de la Elementoj kiu fiksas la esprimojn de lamatematika pensado dum jarcentoj malkovras sin ce laanalizo kiel rezulto al kiu kontribuis multnombrajgeneracioj de geometriistoj (Traduko el Mugler1958ndash19597)

Tio suficu por montri ke ni ne klopodas analizi ci tie iunefemeran elekton de terminoj 19

LiniojEuklido difinas la nocion linio due en sia unua libro

β΄ Γραμμη δε μηκος ἀπλατές (Libro I difino 2) Kajlinio estas longo sen largo (Traduko apogita de Houel188311 Heath 1926a158 Vitrac 1990152 Fitzpatrick20116)

Ci tie ne estas menciitaj linioj de nefinia longo En la cetero dela unua libro plej multaj linioj estas rektoj por ekhavi sufice daekzemploj ni nun turnas nin al tiuj ci 20

Rektoj eutejaEuklido difinas la nocion de euteja en la kvara difino de siaunua libro tiel

δ΄ Εὐθεια γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοις ἐφrsquo ἑαυτης

σημείοις κειται (Libro I difino 4) Rekto estas tiu kiusituas egale rilate al ciuj siaj punktoj (Traduko apogita deHouel 188311 Heath 1926a165 Vitrac 1990154Fitzpatrick 20116)

Houel aldonas ke la difino estas formulita per obskuraj terminoj

21

La unua postulato de Euklido tekstas

α΄ ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ παν σημειον

εὐθειαν γραμμὴν ἀγαγειν (Libro I postulato 1) Estupostulita tiri rekton de ajna punkto al ajna punkto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a195Vitrac 1990167 Fitzpatrick 20117)

La verbformo ᾿Ηιτήσθω skribita ἠιτήσθω per minuskloj estas

en meza modo perfekta imperativo singularo tria persono dela verbo αἰτειν lsquopostulirsquo αἰτέω lsquomi postulasrsquo 22

La termino kiun li uzas por rekto en la kvara difino kaj la unuapostulato estas εὐθεια γραμμή (eutheia gramme) lsquorekta liniorsquoposte ekzemple en la dua kaj kvina postulatoj mallongigita alεὐθεια lsquorektarsquo la femala formo de adjektivo kun la sencolsquorektarsquo lsquobaldaua tujarsquo maskle εὐθύς neutrale εὐθύ

Simile une droite estas tre ofte uzata por une ligne droite en lafranca kaj prma (pryamaya) por prma lini (pryamayalınya) en la rusa

Iom surprize lau Frisk (1960) la adjektivo εὐθύς havas neniunetimologian parencon en aliaj lingvoj ldquoOhne auszligergriechischeEntsprechungrdquo 23

Rektoj eks ısu kejtajSlosila elemento en la difino 4 estas la esprimo ἐξ ἴσου [ ]

κειται (ex isou [ ] keitai) Gi estas tradukita per lsquositueesemblablement lies evenly placee de maniere egalersquo enesperanto lsquoegale situantarsquo La adverbo egale estas traduko de laprepozicia esprimo ἐξ ἴσου kiu funkcias kiel adverbo aufakte estas adverbo (Federspiel 1991120)

La verba formo κειται signifas lsquogi kusas gi estas kusantarsquo aueble lsquogi estas kusigita lokitarsquo meza au pasiva modo prezentaindikativo singularo tria persono 24

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Rektoj eutejaEuklido difinas la nocion de euteja en la kvara difino de siaunua libro tiel

δ΄ Εὐθεια γραμμή ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοις ἐφrsquo ἑαυτης

σημείοις κειται (Libro I difino 4) Rekto estas tiu kiusituas egale rilate al ciuj siaj punktoj (Traduko apogita deHouel 188311 Heath 1926a165 Vitrac 1990154Fitzpatrick 20116)

Houel aldonas ke la difino estas formulita per obskuraj terminoj

21

La unua postulato de Euklido tekstas

α΄ ᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ παν σημειον

εὐθειαν γραμμὴν ἀγαγειν (Libro I postulato 1) Estupostulita tiri rekton de ajna punkto al ajna punkto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a195Vitrac 1990167 Fitzpatrick 20117)

La verbformo ᾿Ηιτήσθω skribita ἠιτήσθω per minuskloj estas

en meza modo perfekta imperativo singularo tria persono dela verbo αἰτειν lsquopostulirsquo αἰτέω lsquomi postulasrsquo 22

La termino kiun li uzas por rekto en la kvara difino kaj la unuapostulato estas εὐθεια γραμμή (eutheia gramme) lsquorekta liniorsquoposte ekzemple en la dua kaj kvina postulatoj mallongigita alεὐθεια lsquorektarsquo la femala formo de adjektivo kun la sencolsquorektarsquo lsquobaldaua tujarsquo maskle εὐθύς neutrale εὐθύ

Simile une droite estas tre ofte uzata por une ligne droite en lafranca kaj prma (pryamaya) por prma lini (pryamayalınya) en la rusa

Iom surprize lau Frisk (1960) la adjektivo εὐθύς havas neniunetimologian parencon en aliaj lingvoj ldquoOhne auszligergriechischeEntsprechungrdquo 23

Rektoj eks ısu kejtajSlosila elemento en la difino 4 estas la esprimo ἐξ ἴσου [ ]

κειται (ex isou [ ] keitai) Gi estas tradukita per lsquositueesemblablement lies evenly placee de maniere egalersquo enesperanto lsquoegale situantarsquo La adverbo egale estas traduko de laprepozicia esprimo ἐξ ἴσου kiu funkcias kiel adverbo aufakte estas adverbo (Federspiel 1991120)

La verba formo κειται signifas lsquogi kusas gi estas kusantarsquo aueble lsquogi estas kusigita lokitarsquo meza au pasiva modo prezentaindikativo singularo tria persono 24

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Rektoj semejonVitrac (1990189ndash190) konstatas ke Euklido pritraktas punktojnkiel markojn kiujn oni povas situigi sur rektoj au en rilato kunrektoj Ke punktoj fakte estas markoj au markiloj estas plueevoluigita en du artikoloj de Federspiel kiu detale diskutas lasignifon de la vorto σημείοις en difino 4 pluralo dativo deσημειον Li estis atendanta la vorton πέρασι lsquoekstremajojrsquo en laloko de σημείοις ci tie (1992387) kaj argumentas ke kvankamgenerale σημειον certe signifas lsquopunktonrsquo en tiu ci specialadifino gi havas pra-euklidan signifon nome lsquoreperersquo (ldquoToutemarque servant a signaler un point un enplacement a des finsprecisesrdquo (Grand Larousse 1977)) lsquoextremitersquo (1992388)lsquosigne distinctifrsquo (1992389) au lsquomarque reperersquo (199867)(eble redonita en esperanto kiel marko markilo ekstremajodistinga signo gvidosigno gvidomarko orientilo)

La referento estas preskau ciam vertico de angulo en plurlatero25

En la astronomio la termino semejon signifas stelon kiu situasperiferie en konstelacio alivorte kiu estas en ekstrema poziciorilate al la konstelacio pli-malpli kiel la verticoj de plurlatero(1992395) kvinlatero (199858) kubo (199858) au dudekedro(199859)

Sajnas kredeble ke la difino de euteja unuavice celis strekonsed ke poste pli vasta uzo de la termino devigis matematikistojnakcepti pli largan interpreton 26

La matematika signifo de eutejaKion signifas euteja matematike Proklos en sia komentario alla unua libro de Euklido (Proclus 194892 199283) rimarkigaske euteja havas kion oni kutime ankau tiam perceptis kiel trimalsamajn signifojn lsquorektorsquo lsquostrekorsquo kaj lsquoradiorsquo

Euklido ofte parolas pri disvastigo de rektoj ekzemple en lafama postulato 5 la Aksiomo de paraleloj jam citita kiu estisokuponta matematikistojn dum du jarmiloj La postulatoimplicas ke la du rektoj dekomence ne nepre renkontigas tialklaras ke li celas strekojn Ni povas konkludi ke almenau ci tieeuteja signifas strekon ne nefinian rekton 27

Nefinie longaj linioj kontrauekvivalent-klasoj de strekojSe du punktoj estas donitaj ili determinas unikan rektonVerdire postulato 1 ne eksplice diras tion sed la diskuto enHeath (1926a195) kiu kondukas al la konkludo ke tio estas laintencita signifo estas tre konvinka Ci tie estus nature por ni enla dudekunua jarcento pensi pri nefinie longaj rektoj sed estasankau eble limigi la konsiderojn al strekoj per la formado de lafamilio de ciuj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojnau almenau al familio de strekoj kiuj iras ajne longe en ambaudirektoj

Se tiel ni povas eviti faktan nefinion kaj labori nur pripotenciala nefinio 28

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Michel Federspiel skribas tute kategorie ldquoNe ekzistas faktanefinio en la greka geometriordquo (1991118 noto 10) Tion onikontrastigu al aserto de Reviel Netz ldquo[ ] Arhimedo kalkuliskun faktaj nefinioj rekte kontrau cio kionmatematik-historiistoj ciam kredis pri sia fakordquo La citajo rilatasal kalkulado de volumeno en palimpsesto nun troviganta en laWalters Art Museum en Baltimore MD Usono (Netz amp Noel2007199) Al mi sajnas ke la bazo de tiu aserto estas ne trefirma Pli trafa estas la eldiro de Euklido mem en lia Libro Xγ΄ [ ] ὑπάρχουσιν εὐθειαι πλήθει ἄπειροι [ ] (Libro Xdifino 3) [ ] ekzistas nefinia aro de rektoj [ ] (Tradukoapogita de Fitzpatrick 2011282) 29

Ni notu ke Proklos distingas inter ldquopartie infinies en acterdquo (faktanefinio) kaj ldquoen puissance seulementrdquo (potenciala nefinio)(1948140) ldquoLa dua aserto [nefinia nombro de partoj] farasnefinian nombron fakta la unua [grando estas nefinie dividebla]nur potenciala la dua asignas ekziston al la nefinio la alia nurnaskigeblonrdquo (1992125) 30

Tamen se ni agas tiel cu sub la premo de Aristotelo au neestos multaj strekoj kiuj enhavas la du donitajn punktojn ebleunu kun la longo de unu hemiplethron poste unu kun la longode unu plethron unu stadion unu hippikon poste unu kun lalongo de parasang kaj unu kun la longo de unu stathmos kajtiel plu ne estos halto Sed ciuj tiuj strekoj reprezentas lasaman rekton estu nur unu rekto Ke la strekoj prezentas aureprezentas la saman linion oni hodiau konvene esprimas en lalingvajo de ekvivalent-klasoj La formado de ekvivalent-klasojestas metodo akiri unuecon unuigi la multajn strekojn en unusolan enton 31

Mi emfazu ke du punktoj determinas strekon se ni estas en E2kaj ke inverse streko determinas unike du punktojn nome siajnfinpunktojn Se tio estus cio ni havus perfektan unikecon enambau direktoj Sed se ni vastigas strekon al pli longa streko niricevas du malsamajn strekojn kiuj tamen reprezentas lasaman rekton Kion do signifas reprezentas Kaj kion signifasla saman Mi ne scias kiel pensis Euklido sed li devus estikonscia pri la problemo de ne-unikeco Se ni nuntempe povasparoli pri ekvivalent-klasoj tio estas konvena metodo komprenila verbon (re)prezenti sed tio estas nur helpo por la hodiaualeganto kaj ne implicas ion ajn rilate al la pensoj de Euklido 32

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Pri fakta kontrau potenciala nefinio ni rajtas kompari kun laprimoj kelkfoje estas dirite ke Euklido pruvis ke ekzistasnefinie multaj primoj sed fakte li pruvis en sia naua libropropozicio 20 ke se estas donita tri primoj li povas trovikvaran Klare la pruvo funkcias por ajna finia aro de primojkun la ideo de la pruvo ni povos iri de n primoj al n+1 primojpor ajna n gt 1 Ciuj primoj ne nepre ekzistas samtempe Tioestas instrua ekzemplo de potenciala nefinio ni ne bezonaskredi je la ekzisto de fakta nefinio 33

Aristotelo esprimis tre klaran opinion pri la neceso konsiderinefinie longajn rektojn

Mi argumentis ke ne ekzistas ia fakta nefinio kiu estusnetransirebla sed tiu pozicio ne forrabas de lamatematikistoj ilian studon Kiel la aferoj estas ili nebezonas nefinion car ili ne uzas gin Cio kion ili bezonasestas finie longan strekon de ajna dezirata longo (FizikoLibro III parto 7 citita de Aristotle 199675ndash76 kajtradukita el la angla)

La postulo pri unikeco tiam kondukas nin al la bezono formiekvivalent-klasojn de ciuj tiuj strekoj

Fakta nefinio estas ne nur nenecesa por la geometrio gi estasankau neebla en la fizika mondo 34

[ ] ne povas ekzisti grando kiu superas ciun specifangrandon tio signifus ke ekzistus io pli granda ol launiverso (Fiziko Libro II parto 7 citita el Aristotle199675 kaj tradukita el la angla)

Tamen kiel substrekas Rosenfeld (1988183) la doktrino deAristotelo ldquoke matematikaj nocioj estas akiritaj per abstrakto elobjektoj de la reala mondo kapabligas onin disigi sin de lafinieco de fizikaj grandojrdquo Ibn Rushd (Averroes) skribis kegeometriisto rajtas allasi ldquoajnajn grandojn kion fizikisto nepovas fari [ ]rdquo

Ni ankau aldonu ke sur la sfero rekto en la ebeno respondas alcefcirklo μέγιστος κύκλος (megistos kuklos Mugler1958ndash195919) Certe Aristotelo ne objetus al la konsidero decirklo sur sfero kiel de kompleta ekzistanta ento Sed midivenas ke li ne vidis cefcirklon kiel kompaktigajon de rektokiel ni nun faras post tiom da jaroj 35

EkzemplojEuteja barita

Ke la angla termino straight line au straight-line povas signifistrekon estas klare el multaj ekzemploj kaj la sama validas porla responda termino greka ekzemple en la unuaj propozicioj enLibro I

β΄ Πρὸς τωιδοθέντι σημείω

ιτη

ιδοθείση

ιεὐθεια

ιἴσην

εὐθειαν θέσθαι (Libro I propozicio 2) Meti en punktodonita kiel ekstremajo rekton egalan al donita rekto(Traduko apogita de Houel 188316 Heath 1926a244Vitrac 1990197 Fitzpatrick 20118)

Egaleco de linioj ci tie signifas egalecon de iliaj longoj 36

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

γ΄ Δύο δοθεισων εὐθειων ἀνίσων ἀπὸ της μείζονος τηι

ἐλάσσονι ἴσην εὐθειαν ἀφελειν (Libro I propozicio 3)Se donitaj estas du malegalaj rektoj fortranci de la plilonga rekton kun longo egala al tiu de la pli mallonga(Traduko apogita de Houel 188317 Heath 1926a246Vitrac 1990199 Fitzpatrick 20119)

37

Euteja nebarita

Tamen kelkfoje εὐθεια portas alian kvalifikon

β΄ Καὶ πεπερασμένην εὐθειαν κατὰ τὸ συνεχὲς ὲπrsquo

εὐθείας ἐκβαλειν (La verba formo ἐκβαλειν estas en laaktiva modo forta aoristo infinitivo) (Libro Ipostulato 2) Plivastigi finian rekton kontinue al rekto(Traduko apogita de Houel 188314 Heath 1926a196Vitrac 1990168 Fitzpatrick 20117)

El tio estas evidente ke εὐθεια povas esti eksplice kvalifikitakiel barita kio indikas ke la termino povus referenci ankau alnebarita linio Au kun potenciala nefinio al familio de strekojAlivorte ni povas interpreti postulaton 2 tiel ke ni povasplilongigi donitan strekon al alia streko de kiom ajn grandalongo sed ciam de finia longo 38

α΄ ᾿Επὶ της δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον

ἰσόπλευρον συστήσασθαι (Libro I propozicio 1) Surfinia rekto donita konstrui egallateran triangulon (Tradukoapogita de Houel 188315 Heath 1926a241 Vitrac1990194 Fitzpatrick 20118)

39

ι΄ Τὴν δοθεισαν εὐθειαν πεπερασμένην δίχα τεμειν

(Libro I propozicio 10) Duonigi finian rekton donitan(Traduko apogita de Houel 188322 Heath 1926a267Vitrac 1990216 Fitzpatrick 201115)

La atributo πεπερασμένη lsquofinia baritarsquo (pasiva modo perfektaparticipo singularo femala nominativo) ne estus necesa se citie εὐθεια ciam signifus lsquostrekorsquo

En la pruvo de propozicio 12 Euklido uzas la fakton ke eutejadividas la ebenon en du duon-ebenojn Tio kompreneble nepreimplicas ke la linio estas nefinia en ambau direktoj 40

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Euteja kiel radio

Finfine ni notu ke kelkfoje εὐθεια povas signifi lsquoradiorsquo

᾿Εκκείσθω τις εὐθεια ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ

ἄπεροις δὲ κατὰ τὸ Ε [ ] (Libro I Proof of Proposition22) Ni tiru rekton DE limigitan en unu direkto ce Dnefinian en la direkto de E (Traduko apogita de Houel188331 Heath 1926a292 Vitrac 1990237 Fitzpatrick201125)

En la aserto de tiu ci propozicio la linioj estas ciuj de finialongo sed en ties pruvo subite aperas radio 41

Propozicio 16La propozicio 16 diras kiel ni vidis ke ekstera angulo entriangulo estas pli granda ol ciu el la du kontrauaj internajanguloj Estu donita triangulo kun verticoj abc Ni trarigardula pruvon ke la ekstera angulo c estas strikte pli granda ol lainterna angulo angbac ce a Euklido plivastigas la lateron [bc]trans c al punkto d tia ke c kusas inter b kaj d (la ekzaktalokigo de d ne gravas gi servas nur por difini la eksteranangulon angacd ce c) La problemo nun estas pruvi ke la eksteraangulo angacd estas pli granda ol la interna angulo angbacEuklido enkondukas novan punkton e kiel la mezpunkton de lalatero [ac] kaj plivastigas la strekon [be] al punkto f difinitatiel ke e estas la mezpunkto de [b f ] Li tiel akiras du kongruajntriangulojn4abe kaj4cfe Sekve la angulo ce c en la triangulo4cfe egalas al la angulo ce a en la triangulo4abe Gis ci tiecio bonas Tiam Euklido diras 42

μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ της ὑπὸ ΕΓΖ (Sjostedt196822 Fitzpatrick 201121) Sed la angulo angecdestas pli granda ol la angulo angecf En Interlingue MaECD es plus grand quam ECF (Sjostedt 196823)

Tio estas io kion ni vidus el (trompa) diagramo

Je tiu ci etapo estas konvene daurigi la argumenton sur sfero Nibezonas nur rigardi triangulon sur sfero tian ke la distanco interb kaj e estas 90 Tiam la distanco inter f kaj b estas 180 teili estas antipodoj kaj estos identigitaj en la projekcia ebenoSekva la cefcirklo determinita de la latero [bc] kaj la cefcirklotra b kaj e renkontigas ce f kaj la ekstera angulo ce c estasegala al la interna angulo ce a 43

Tiu ci estas la plej simpla ekzemplo kiun mi trovis per iometaperturbo (prenante la distancon inter b kaj e iom pli granda ol90) ni povas arangi ke la ekstera angulo ce c estas plimalgranda ol la interna angulo ce a Fakte la decida grando citie estas la longo de la mediano [be] 44

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Propozicio

Estu donita triangula regiono sur la sfero kun verticoj en abcNi supozu ke ciuj lateroj kaj ciuj anguloj estas malpli ol 180Estu e la mezpunkto sur la latero [ac](1) Se la distanco inter b kaj e estas malpli granda ol 90 tiamla konkludo en la propozicio 16 de Euklido validas la eksteraangulo ce c estas pli granda ol la interna angulo ce a(2) Se la distanco inter b kaj e egalas al 90 tiam la eksteraangulo ce c egalas al la interna angulo ce a(3) Se la distanco inter b kaj e estas pli granda ol 90 tiam laekstera angulo ce c estas malpli granda ol la interna angulo cea

Estas motivite supozi ke neniu latero au angulo egalas al auestas pli granda ol 180 ni evitas la penon difini eksteranangulon de konkava angulo 45

a

b

c d

e f

46

a

b

cd

e f ba

47

a

b

cd

e f = ba

48

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

a

b

c

d

e fba

49

Notu ke tiu rezulto estas fakte rezulto pri la geometrio de laprojekcia ebeno Mi elektis formuladon por la sfero nur car tielgi estas pli facile videbla

Pruvo Ni ne povas paroli pri la mezpunkto inter dune-antipodaj punktoj de la sfero car ekzistas du mezpunktoj (iliestas antipodaj) Tamen se triangula regiono estas donita niprenas la mezpunkton kiu apartenas al gi Tiel ni difinas lapunkton e

Per la Sfera sinus-teoremo aplikata al la triangulo4bcf niricevas

sin(πminusangecd +angecf )sind(bc) = sin(angbfc)sind(b f )

50

Nun

sin(πminusangecd+angecf )= sin(angecdminusangecf )= sin(angecdminusangbac)

kaj car sind(bc) kaj sin(angbfc) = sin(angabc) estas pozitivaj pronia supozo la sinuso de la diferenco angecdminusangbac havas lasaman signon kiel sind(b f ) = sin2d(be) La tri kazoj (1) (2)(3) aperas se respektive d(be)lt 90 = 90 kaj gt 90

Sekve se ciuj tri medianoj en la triangulo estas malpli grandajol 90 Euklido pravas 51

OrientebloOrienteblo de sternajo signifas iom krude dirite ke vi povospromeni kun horlogo kaj la montriloj de la horlogo daure irosen la sama direkto (rigardate el la ekstero) kiam vi revenos al ladeirpunkto post la ekskurso La euklida ebeno E2 kaj la sfero S2ambau estas orienteblaj Sed la sfero ne estas modelo por laaksiomoj (postulatoj) de Euklido car du rektoj generaleintersekcas en du punktoj ne en unu kaj du antipodaj punktojne determinas unikan cefcirklon Guste tio devigas nin identigiantipodoj la projekcia ebeno farigas bona fide modeloalmenau ni tiel argumentis sed orienteblo estas perditaTamen ofte estas konvene argumenti sur sfero kiel mi faris 52

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Postulato 5 la postulato de paraleloj citita en la komencodiras ke du linioj renkontigas ce certa flanko En la projekciaebeno estas sensence paroli pri flanko de rekto Se punkto surrekto estas donita vi povas difini du flankojn en najbarajo de lapunkto sed se vi promenas lau la rekto kun via horlogo surmaldekstra brako vi revenas post iom da tempo kun la horlogosur via dekstra brako (vidite de la ekstero) La nura fakto keEuklido parolas pri ldquola sama flankordquo kaj ldquotiu ci flankordquo signifaske li supozas la ebenon orientebla Sekve projekcia geometrioestas ekskludita

Ni povas konservi de postulato 5 nur ke linioj ne estas paralelajte ke ili renkontigas ie ne menciante iun flankon En tiumodifita formo la postulato 5 veras ankau por la projekciaebeno 53

KonkludojLa unua demando

Propozicioj 16 kaj 27 farigas veraj se ni supozas orienteblo auenkondukas alian hipotezon kiu ekskludas la projekcian ebenonKaj orienteblo estas motivita hipotezo Euklido en sia postulato5 parolas pri flankoj de rekto kio estas sensenca sen orienteblo

Kun la projekcia ebeno kiel modelo ni povas au konkludi ke lapropozicio 16 estas sensenca car ni ne povas kompari angulojnau malvera se ni mezuras angulojn kiel ni faris

Propozicio 27 povas esti interpretata kiel dirante ke la menciitajrektoj ne renkontigas kaj se tiel gi estas malvera cu ni mezurasla angulojn au ne La sola motivita vojo ekster tiu ci haosoestas denove akcepti la silentan hipotezon de orienteblo 54

Se nia amata instruisto povus vidi mian tekston li povus reagien du eblaj direktoj Au

α΄ Certe filo mia mi jes ja supozas orienteblon mi nurforgesis enskribi gin (Mi estis tro okupita pensante pripostulato Kvin) En la venonta eldono kiu nun estaspreparata ci tie en la Μουσειον mi inkludos orienteblonkiel postulaton Ses Kiu cetere volas vivi sur rubando deMobius

au 55

β΄ ᾿Ιδού mdash Ha Estas interese Sajnas esti pli generalageometrio Mi verkos pri gi en Libro Dek Kvar Kaj misatas la regulon de Neper kaj la Sfera sinus-teoremo kiujnvi lernis de via naviganta patro Sam Svensson ec antau olstudi mian geometrion kaj la ebenan trigonometrion porBertil Brostrom Ni ciuj estas navigantoj ci tie en Afrikocu ne Navigare necesse est kiel iu spritulo baldauformulos sian sagon

Divenu cu li elektus α΄ au β΄ 56

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

La dua demando

1 Ni observis ke la termino εὐθεια ofte signifas strekonVersajne tiu estas gia plej origina kaj baza signifo

2 En aliaj kuntekstoj gi povas esti interpretata kiel nefinianrekton sed ankau se ni deziras eviti faktan nefinion kielfamilion de ekvivalentaj strekoj do kiel potencialan nefinionTamen en la projekcia geometrio la nefiniaj rektoj estas nurcefcirkloj kun antipodaj punktoj identigitaj do apenau nefiniegrandaj Tio donas al ni unu plian argumenton kredi ke Euklidone pensis pri projekcia geometrio

3 Finfine sed malofte gi povas signifi lsquoradionrsquo 57

Por rektoj kiuj estas nefiniaj en unu au du direktoj aperas laproblemo de fakta nefinio se ni evitas gin per konsidero nur destrekoj ni devas akiri unikecon per la formado deekvivalent-klasoj kio certe estas anakronisma vidpunkto sedeble estas ekzakte tio kion Euklido faris implice

Ni ankoraufoje auskultu nian amatan instruiston cifoje prieuteja 58

γ΄ Ληρειτε mdash Baf Kio estas rekta estas rekta kaj lasaguloj komprenos Mi ne malsparas vortojn en miageometrio Vi junuloj uzas tro da ili Versajne vi forlasisAfrikon tro frue Mi timas ke vi devos krei Terminologiancentron en vana klopodo kontraubatali la inundon

Kaj pri la nefinio

δ΄ Aristotelo kaj lia bando de fizikistoj ninmatematikistojn turmentas Lia disciplo kiel linomigas kredis ke li povas konkeri la tutan mondonsed cio kion li atingis estis perturbi niajn cirklojnNuntempe ni devas esti prudentaj skribante pri nefiniopotenciala nefinio rapide farigis ΠΟ sed dumnokte miestas libera pensi pri fakta nefinio Mi povas gin ec vidi

59

ReferencojAristotle (1996) Physics Translated by Robin Waterfield with an introduction and

notes by David Bostock Oksfordo Nov-Jorko Oxford University PressCollingwood R[obin] G[eorge] (1966) The idea of history Oksfordo Oxford

University PressEuclide drsquoAlexandrie (1990) Les Elements traduits du texte de Heiberg Vol I

Introduction generale par Maurice Caveing Livres IndashIV Geometrie planeTraduction et commentaires par Bernard Vitrac Parizo Presses Universitairesde France

Federspiel Michel (1991) Sur la definition euclidienne de la droite EnMathematiques et philosophie de lrsquoantiquite a lrsquoage classique Hommage a JVuillemin (R Rashed Ed) pp 115ndash130 Parizo Editions du Centre nationalde la Recherche scientifique

Federspiel Michel (1992) Sur lrsquoorigine du mot σημειον en geometrie Revue desEtudes grecques Publication de lrsquoAssociation pour lrsquoEnseignement des Etudesgrecques Volumo 105 385ndash405

60

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion

Federspiel Michel (1995) Sur lrsquoopposition definiindefini dans la langue desmathematiques grecques Les Etudes Classiques 63 249ndash293

Federspiel Michel (1998) Sur un emploi de semeion dans les mathematiquesgrecques En Sciences exactes et sciences appliquees a Alexandrie Actes duColloque International de Saint-Etienne (6ndash8 juin 1996) pp 55ndash78 SaintEtienne Universite de Saint-Etienne

Federspiel Michel (2005) Sur lrsquoexpression linguistique du rayon dans lesmathematiques grecques Les Etudes Classiques 73 97ndash108

Fitzpatrick Richard (2011) Euclidrsquos Elements Translated from the Text of HeibergVolume I Books I and II Dua eldono Kembrigo Cambridge UniversityPress Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko de Dover Publications Incx + 432 pp

Heath Thomas L (1926b) The Thirteen Books of Euclidrsquos Elements Translated fromthe Text of Heiberg Volume II Books IIIndashIX Dua eldono KembrigoCambridge University Press Reeldonita en 1956 kaj poste en Nov-Jorko deDover Publications Inc 436 pp

Houel J [Guillaume-Jules] (1883) Essai critique sur les principes fondamentaux dela geometrie elementaire ou commentaire sur les XXXII premierespropositions drsquoEuclide Dua eldono Parizo Gauthiers-Villars (Unua eldono1867 reeldonita 2011)

61

Kiselman Christer O (2011) Characterizing digital straightness and digitalconvexity by means of difference operators Mathematika 57 355ndash380

Mugler Charles (1958ndash1959) Dictionnaire historique de la terminologiegeometrique des Grecs Parizo Librairie C Klincksieck

Netz Reviel Noel William (2007) The Archimedes codex revealing the secrets ofthe worldrsquos greatest palimpsest Londono Weidenfeld amp Nicolson ix + 305pp

Persson Ulf (2007) The idea of history (Pri la samtitola libro de Robin GeorgeCollingwood) Havigebla cewwwmathchalmersse˜ulfpReviewcollingwoodpdf (kontrolita2013-04-15)

Proclus (1948) Les commentaires sur le premier livre des Elements drsquoEuclideTranslated and with an introduction and notes by Paul Ver Eecke BrugoDesclee de Brouwer

62

Proclus (1992) A Commentary on the First Book of Euclidrsquos Elements Translatedwith introduction and notes by Glenn R Morrow Princeton NJ PrincetonUniversity Press

Rosenfeld B A (1988) A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of theConcept of a Geometric Space Translated from the Russian by Abe ShenitzerNov-Jorko ka Springer

Sjostedt C E [Carl-Erik] (1968) Le axiome de paralleles de Euclides a Hilbert Unprobleme cardinal en le evolution del geometrie Stokholmo Natur och KulturXXVIII + 940 + 14 pp

Vitrac Bernard (1990) Traduction et commentaires En Euclide drsquoAlexandrie(1990149ndash531)

63

Dankon por via atento

Blagodar

Kaj dankon por la invito64

• Du demandoj
• Miaj vojoj al tiu ci teksto
• La euklida kaj la projekcia ebenoj
• • Lines
  • • Proposition 16
    • Orienteblo
    • Conclusion