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La progettazione a fatica

Introduzione

SS John P. Gaines 24 Novembre 1943

10 morti

Piattaforma petrolifera Alexander Kielland 27 Marzo 1980

123 morti

Boston 15 Gennaio 1919

11 morti

Fatica nei dispositivi medici

Fratture dello stelo femorale originate da fenomeni di fatica (N.B. per fortuna la percentuale è bassa rispetto ad altri tipi di fallimento)


Perchè uno stelo femorale è a rischio di rottura per fatica?

Introduzione

• Fattori comuni a queste catastrofi: la rottura IMPROVVISA e l’esistenza di sollecitazioni in qualche modo CICLICHE

• Di fatto, si è acquisita consapevolezza dell’importanza dei fenomeni di fatica solo quando il metallo ha iniziato ad essere impiegato diffusamente per realizzare elementi strutturali.

• I primi studi sul fenomeno della fatica sono stati fatti in Germania, dove nel 1829 un ingegnere minerario tedesco, W.A.J. Albert, effettuò alcuni esperimenti di carico ripetuto su catene di acciaio.

• Tra il 1852 ed il 1870 un ingegnere ferroviario tedesco, August Wöhler , condusse i primi studi sistematici sul fenomeno della fatica, per indagare su alcune inspiegabili rotture in esercizio di assili ferroviari.

• Appariva sorprendente, infatti, che tali rotture avvenissero ben al di sotto del limite elastico del materiale.

Introduzione

La fatica può essere definita come un fenomeno di danneggiamento progressivo del materiale che ha origine in una fenditura microscopica (cricca o microcricca) e che procede con una fase di propagazione del difetto fino a dimensioni critiche, tali da provocare la rottura di schianto .

Alcuni autori sostengono che l'80-90% dei cedimenti nei componenti strutturali è dovuto a questo fenomeno.

Introduzione

Gli aspetti tipici di una rottura a fatica evidenziano tre stadi di sviluppo:

1. Origine da una o più microcrepe localizzate in regioni nelle quali sono presenti irregolarità superficial i (superficie esterna, cavità interna, inclusioni del materiale, diversi pezzi a contatto ecc.)

2. Le microcrepe diventano macrocrepe che formano superfici di frattura simili ad altopiani, separati da creste longitudinali. Di solito gli altopiani sono lisci e normali alla direzione della tensione principale massima. Queste superfici vengono chiamate linee di spiaggia e, durante il ciclo di carico, si aprono e si chiudono sfregando tra loro

3. La sezione restante del pezzo non riesce più a sopportare il carico e si ha il cedimento di schianto

Introduzione

Introduzione

633 rotture su 86.000 impianti (0.7%) quasi sempre mortali


Come si progetta/verifica un componente a fatica?

Esistono diversi possibili modi di procedere:

1. L’approccio più semplice e antico, che si potrebbe definire “classico” e che non si discosta molto concettualmente dalla prima impostazione che Wöhler diede al problema, consiste nel mettere in relazione la durata del componente, intesa come numero di cicli sopportabil i, prima di giungere alla rottura, con lo stato di sollecitazion e agente sul componente stesso , basandosi sull’utilizzo di particolari curve ottenute sulla base di dati sperimentali (curve di Wöhler).

2. Le teorie più recenti, che definiscono una sorta di “approccio locale” al problema, focalizzano l’attenzione sul difetto e sulle condizioni al contorno che ne determinano l’accrescimento fino alle dimensioni critiche, mettendole in relazione con i carichi agenti e le caratteristiche di resistenza a frattura del materiale (meccanica della frattura )


Alterna

Media

Ciclo alterno simmetrico

Ciclo dallo zero

Ciclo ondulato (generico)

Impianto dentale (masticazione) � Ciclo pulsante dallo zero

Protesi vascolari � Ciclo ondulato (pressione arteriosa 80-120 mm Hg) Protesi d’anca � Ciclo ondulato (azione muscolare)

Esempi in biomeccanica

Protesi valvolari cardiache � Ciclo alternato non simmetrico


Come si ottengono i dati del materiale necessari per eseguire il dimensionamento/verifica a fatica?

• Eseguendo prove di rottura a fatica in base alle quali si traccia la curva di Wöhler .

• Per ottenere sperimentalmente la curva di Wöhler è necessario eseguire una serie di prove di fatica su provini normalizzati .

• I provini vengono sollecitati con un carico ciclico , generalmente alterno simmetrico e portati a rottura.

• Per ogni provino sottoposto a test si misura il carico ciclico imposto e si registra il numero di cicli trascorsi al momento della rottura.

La curva di Wöhler

La curva di Wöhler

• La curva di Wohler, ottenuta dall’interpolazione dei dati sperimentali (nuvola di punti) delimita un dominio nel quale il componente non va incontro a cedimento (punti sottostanti la curva).

• Per quanto riguarda i punti sulla curva, in essi esiste il 50% di rischio di rottura.

• Per un dato livello di sollecitazione, l’ascissa dell’intersezione tra valore di sollecitazione e curva di Wohler fornisce il numero massimo di cicli sopportabili

I tipi di fatica

N=106 N=103

Diagramma semplificato

• Nel caso non sia disponibile la curva di Wöhler per il particolare materiale che si intende utilizzare è possibile, in via approssimata , costruire la curva in modo semplificato partendo dal valore della sollecitazione di rottura e fissando due punti nei quali si rileva una variazione della pendenza. Il primo corrisponde ad un valore pari a 0.8 volte la sollecitazione di rottura

• Il secondo valore (definito genericamente «limite di fatica») dipende dal tipo di materiale. Per gli acciai il valore tipico è 0.5 ma in generale si possono avere anche limiti inferiori (fino a 0.3)

• Il diagramma può essere semilogaritmico o bilogaritmico. Ciò consente di evidenziare la presenza del «ginocchio» della curva

Dispositivi per osteosintesi

Endoprotesi

0.3-0.5

Alcune considerazioni…

La rottura per fatica è… • un fenomeno di tipo probabilistico in quanto, oltre che dalle proprietà del materiale, dipende anche dai difetti indotti dai processi tecnologici • un fenomeno prettamente locale ben diverso, per es., dallo snervamento causato da carico statico nel quale porzioni significative della sezione (se non la totalità) sono interessate dal fenomeno Un altro aspetto importante è rappresentato dall ’’’’ eterogeneità del materiale. Sia lo sviluppo che l’accumulo del danno sono processi casuali che dipendono dalla probabilità di trovare dei cristalli più deboli nelle zone di sforzo più elevato. Nella superficie libera (esterna) l ’ esistenza di sollecitazioni elevate, sommata alla inevitabile presenza di imperfezioni della struttura, aumenta la probabilità di innesco del danno Il grado di casualità del processo è così significa tivo e così ampia è la dispersione dei dati sperimentali (anche su provini apparentemente “ identici ” ) che è molto difficile effettuare previsioni sicure sulla durata di un pezzo . Da qui la necessità di progettare con coefficienti di sicurezza elevati per conseguire la necessaria affidabilità

Alcune considerazioni…

Il rischio di rottura per fatica può essere ridotto con opportune tecnologie meccaniche (finitura superficiale, trattamenti superficiali, ecc.). Nel caso di dispositivi impiantabili la fatica è sempre presente: • una protesi ortopedica compie 106 cicli in 1 anno • una protesi valvolare cardiaca, compie 106 cicli in 5 giorni � Nel caso di metalli e ceramici la frequenza di sollecitazione non influenza il comportamento a fatica (almeno fino a 150 Hz).

� Nel caso dei polimeri la frequenza di sollecitazione può modificare la temperatura influenzando le proprietà meccaniche e, di conseguenza, la resistenza a fatica.

� Inoltre la variazione di frequenza varia la velocità di sollecitazione e quindi la risposta di materiali con componente viscosa.


Quali sono i fattori che influenzano la vita a fatic a di una struttura?

Materiale

Non tutti i materiali presentano un limite di fatic a La curva di Woehler presenta un asintoto orizzontale solo per gli acciai e le leghe di titanio . Tale livello di carico rappresenta una soglia al di sotto della quale questi materiali possono sopportare qualsiasi numero di cicli (vita infinita). Le leghe di alluminio, rame, nickel e magnesio hanno un comport amento che non cambia al diminuire della sollecitazione , per cui la progettazione di componenti realizzati con questi materiali va eseguita a vita finita per qualsiasi livello di carico.

Materiale

Leghe di Titanio per applicazioni biomediche

Acciaio e Alluminio

Tipo di sollecitazione

Le curve di Wohler sono generalmente ottenute da pr ove di flessione rotante

Questo significa che il diagramma fornisce un limite di fatica utile solo quando il componente esaminato è anch’esso soggetto allo stesso tipo di sollecitazione alterna Per analizzare componenti sottoposti a sollecitazioni differenti (torsione alterna, trazione-compressione) occorrerebbe realizzare campagne di test sprimentali “ad hoc” Tuttavia, sono stati calcolati dei coefficienti capaci di mettere in relazione il risultato delle prove di flessione con quelle delle altre casistiche. Si osservi che, rispetto al caso della flessione, il limite di fatica per le altre sollecitazioni risulta essere sempre inferiore

−=torsione

necompressiotrazione

flessione

ks

59.0

85.0

1

La progettazione a fatica: il metodo dello sforzo

• Il provino di laboratorio utilizzato per le prove a flessione rotante (che consentono di stabilire il limite di fatica) è preparato molto accuratamente e sottoposto alla prova in condizioni controllate

• È irrealistico aspettarsi che il limite di fatica di un componente reale sia lo stesso del provino

• Sono stati dunque identificati alcuni fattori che possiedono un ’’’’influenza significativa sul limite di fatica.

• La filosofia è quella di RIDURRE il limite di fatica mediante il prodotto de l limite determinato in laboratorio con alcuni coefficienti che si riferiscono ai diversi aspetti geometrici, ambientali ed operativi nei quali si trova ad operare il componente reale

gedcbaFF kkkkkkSS ⋅⋅⋅⋅⋅⋅='

FF SS <'

realecomponente delcorretto""faticadilimiteS

provinodel faticadilimiteS

F

F

=

='


variabilialtreli,superficiaitrattamentambiente,k

intagliodifattorek

atemperaturdifattorek

tàaffidabili di fattorek

ledimensionafattorek

lisuperficiacondizionik

g

e

d

c

b

a

I coefficienti tipicamente impiegati per ridurre il limite di fatica sono quelli sottoelencati. Essi assumono generalmente valore minore od uguale a 1 (1=ininfluenti). Sotto particolari condizioni, esistono anche dei fattori maggiori di 1.

Di essi, in realtà, il fattore generico kg può anche essere >1 e quindi incrementare il limite di fatica.

Finitura superficiale (ka)

Tutte le prove di caratterizzazione a fatica dei materiali vengono effettuate utilizzando provini lucidati a specchio per limitare al massimo la presenza di discontinuità superficiali che possano accelerare il meccanismo di nucleazione delle cricche di fatica.

Finitura superficiale (ka)

Tutte le prove di caratterizzazione a fatica dei materiali vengono effettuate utilizzando provini lucidati a specchio per limitare al massimo la presenza di discontinuità superficiali che possano accelerare il meccanismo di nucleazione delle cricche di fatica. Quindi, i dati raccolti sui provini lucidati a specchio, per poter essere applicati alla verifica di componenti reali, devono essere scalati verso il basso attraverso un coefficiente (<1) che rende conto della effettiva finitura superficiale.

Effetto dimensionale (kb)

Effetto della dimensione del componente sulla durat a a fatica.

Nei componenti di maggiori dimensioni aumenta la probabilità che un difetto si trovi in una zona con tensione sufficientemente elevata da consentirne la propagazione stabile per fatica. L’effetto della dimensione sulla durata a fatica di un componente di dimensioni superiori a quella dei provini viene valutato attraverso il coefficiente di riduzione delle prestazioni del materiale Questo fattore deve essere impiegato solo nei casi di flessione e torsione ma non di trazione-compressione (perchè????)

hbd

eequivalentdiametrocircolarinonSezioni

dkmmdper

kmmdper

circolariSezioni

b

b

⋅=

⋅=≤≤

=≤−

808.0

)(

189.12508

18097.0

rettangolo

Affidabilità (kc)

Il concetto di affidabilità implica la conoscenza delle distribuzioni statistiche sia della resistenza a fatica e sia degli sforzi applicati. Tuttavia si può tener conto (in prima approssimazione) solo della variabilità insita nella resistenza a fatica mediante un coefficiente di affidabilità, il cui valore unitario corrisponde alla probabilità di sopravvive nza pari al 50% . Questo deriva dal fatto che la resistenza a fatica per un determinato numero di cicli viene assunta uguale al valor medio dei valori rilevati

Affidabilità kc

50% 1

90% 0.897

95% 0.868

99% 0.814

99.9% 0.753

Fattore di temperatura (kd)

Della variabilità della resistenza a fatica con la temperatura si dovrebbe tener conto con diagrammi come quello riportato in figura. Tuttavia, in mancanza di dati precisi, è possibile impiegare delle espressioni semplificate (valide per gli acciai) del tipo:

5.0500350

1350

=°≤≤=°≤

d

d

kCTper

kCT

Presenza di intagli

Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionale

Fattore d’intaglio

L’effetto della presenza di intagli viene computato attraverso un coefficiente riduttivo del limite di fatica Ke espresso come

( )11 −+= tf KqKf

e KK

1= dove: (metodo di sensibilità all’intaglio)

Fattore d’intaglio

Il fattore Kt è ancora il coefficiente di concentrazione delle tensioni già visto nel caso statico (dove era stato però applicato al solo caso dei materiali duttili) Nella fatica Kt viene usato si applica indistintamente a materiali duttili e fragili

Fattori generici (Kg): Tensioni residue

L’effetto dei trattamenti superficiali sul comportamento a fatica dipende dallo stato di tensione residuo che questi trattamenti sono in grado di generare. Gli sforzi residui sono sforzi di trazione o di compre ssione a risultante nulla che esistono indipendentemente dall ’’’’azione di carichi esterni (forze o gradienti termici) in un componente che risulta, quindi in equilibrio; solitamente essi sono presenti in zone ben delimitate ed hanno il loro massimo in superficie. Generalmente gli sforzi residui si generano a causa di una deformazione plastica non omogenea che può derivare, oltre che dall’applicazione di un carico, anche da una contrazione o dilatazione termica o da una trasformazione di fase avvenuta durante il processo di produzione del componente. In generale le tensioni residue possono migliorare o peggiorare il limite di fatica , ma poiché le rotture per fatica sono tipicamente associate a tensioni di trazione, è chiaro che tutto ciò che tende a ridurre le tensioni di trazione, riduce conseguentemente anche la probabilità di rottura.

Trattamenti superficiali

Lavorazioni e trattamenti meccanici. La rettifica e le lavorazioni alle macchine utensili possono indurre tensioni residue di trazione. Mentre, la rullatura, la pallinatura e la sabbiatura generano un positivo sistema di tensioni residuo di compressione. Trattamenti termici superficiali. La nitrurazione, la tempra superficiale e la carbocementazione portano, nell’ordine, a comportamenti a fatica migliori. Pallinatura (shot peening) Consiste nel martellamento superficiale eseguito a freddo mediante un violento getto di pallini sferici, oppure di cilindretti ottenuti tagliando un filo https://www.youtube.com/watch?v=AgPsxoZnEa0

Trattamenti superficiali

Nitrurazione Il procedimento consiste nel portare il metallo gradualmente a 550°C circa (il tempo di trattamento è quindi lungo) per introdurvi azoto atomico, il quale viene assorbito dalla ferrite superficiale del metallo e forma nitruri, prevalentemente Fe4N, molto duri e che distorcono il reticolo cristallino. Carbocementazione L'arricchimento superficiale in carbonio, e la conseguente formazione di carburi, è utile per conferire resistenza all'usura e rafforzamento unite a tenacità interna (per esempio per denti di ingranaggi). Tempra Consiste nel riscaldare rapidamente i pezzi da trattare in modo da fare superare la temperatura di circa 900°C solo ad un sottile strato di metallo immediatamente adiacente alla superficie e nel procedere subito dopo ad un brusco raffreddamento.

Altri fattori esterni

Alcuni fattori esterni possono modificare notevolme nte le prestazioni a fatica di un materiale.

Tra tutti i possibili fattori ambientali quelli che hanno maggior rilevanza nella progettazione di organi meccanici sono: Presenza di rivestimenti metallici Alcuni rivestimenti metallici (cromatura, nichelatura, cadmiatura) riducono la resistenza a fatica di quasi il 50%. La zincatura non modifica il limite di fatica, l’ossidazione delle leghe leggere riduce il limite di resistenza a fatica a flessione di circa il 39% ma non quello a torsione. Frequenza del ciclo di tensione + corrosione Se per qualche ragione il processo di fatica diventa tempo-dipendente, diventa anche frequenza-dipendente. In condizioni normali la frequenza ha scarsa (o nulla) influenza sul limite di fatica, ma in presenza di corrosione e gradienti termici anche la frequenza può avere la sua importanza . Basse frequenze ed alte temperature danno luogo, sotto certe condizioni di carico, a veloci propagazioni delle cricche. Corrosione. Il fenomeno della fatica e quello della corrosione si esaltano reciprocamente, producendo un effetto sinergico nel danneggiamento del materiale che ne riduce di molto la durata.

6

Verifica a fatica (cicli alterni simmetrici)

L’effetto complessivo dei fattori precedentemente analizzati è quello di ridurre il limite di fatica. La verifica, quindi, si esplica nelle seguenti relazioni

ξσσ

'F

fatammmaxnom

S=≤ −−

dove: ...' ⋅⋅⋅= baFF kkSS

SF = 0.5 Su

Su

S’’’’F

Esempio: verifica a fatica

Materiale: Acciaio AISI E9310 Su = 1165 MPa Sy = 952 MPa Affidabilità: 90% Finitura superficiale: rettifica media Temperatura: ambiente

D = 30 mm


Materiale: Acciaio AISI 1050 Su = 690 MPa Sy = 580 MPa Affidabilità: 90% Finitura superficiale: rettifica media Temperatura: ambiente

6800 sin ωt N

Il danneggiamento cumulativo

I dati di fatica presentati nelle curve di Wohler sono stati ottenuti da prove effettuate applicando sollecitazioni caratterizzate da ampiezza costante (a).

Tuttavia, nella realtà i carichi affaticanti fluttuano in modo irregolare e danno origine a sollecitazioni ad ampiezza variabile (c). I carichi applicati possono variare in ampiezza e frequenza da ciclo a ciclo. La memorizzazione di fluttuazioni o effetti di fatica registrati nel tempo e nelle condizioni di servizio di un componente prende il nome di storia di carico. Essa registra dunque tutti gli eventi di carico man mano che si verificano nel tempo e le corrispondenti risposte dinamiche.

Il danneggiamento cumulativo

• Nelle storie di carico i cicli di fatica hanno ampiezza variabile ad esempio n1 cicli con tensione alternata σ1, n2 cicli a σ2 etc.

• Il problema della stima della vita a fatica in queste condizioni non è stato risolto completamente e i risultati ottenuti usando gli approcci presentati sono indicativi; valori precisi possono essere ricavati solo da dati sperimentali.

• Le difficoltà principali sono dovute al fatto che la curva di Wohler viene ricavata utilizzando per ciascuna ampiezza di ciclo costante un provino diverso (vergine). In realtà l'applicazione di alcuni cicli di ampiezza elevata modifica le proprietà di resistenza a fatica del componente (in senso positivo o negativo a seconda del livello di carico) che dovrebbero essere caratterizzate da un nuovo diagramma di Wohler.

L’approccio di Miner-Palmgren

Una teoria semplice che descrive in modo approssimato il danneggiamento cumulativo a fatica è quella di Miner-Palmgren (MP). Nella teoria di MP la frazione di danno D (σai) imputabile all’azione di ni cicli di ampiezza σai applicati al provino è espresso matematicamente dalla seguente equazione: nella quale N(σai) è il numero di cicli di vita corrispondente all'ampiezza σai letto sul diagramma di Wohler. In base alla teoria di MP si verifica il cedimento quando: L'esperienza mostra che la combinazione lineare dei danneggiamenti parziali è una semplificazione a volte eccessiva della realtà; in particolare, questo approccio non tiene conto della sequenza secondo la quale i diversi livelli di deformazione vengono raggiunti dal materiale. Quindi, il danneggiamento si accumula sempre nella stessa maniera, senza riguardo alla storia temporale delle deformazioni subite fino a quel momento. Per tenere conto di questo fatto si potrebbe modificare il valore di D: valori tipici utilizzati sono D=0.7÷÷÷÷2.2.

( ) ( )ai

iai N

nD

σσ =

( ) ( ) 1...11

21 ≥==+++ ∑∑==

n

i ai

in

iain N

nDDDD

σσ

Un esempio…

Una placca per osteosintesi in materiale polimerico (acido polilattico, PLA, resistenza a trazione 48 MPa) è stata applicata su una frattura di ulna.

Nel corso di alcune attività “ fisiologiche” , l’osso si trova ad essere sollecitato alternativamente a trazione e compressione. Si supponga, per semplicità, che in un certo intervallo temporale (per esempio 230 secondi) l’andamento dello spettro di carico sia il seguente: • 10 cicli a σ = ± 34 MPa • 20 cicli a σ = ± 20 MPa • 7 cicli a σ = ± 26 MPa

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

2302202102001901801701601501401301201101009080706050403020100

Un esempio…

È necessario disporre del diagramma di Wohler del materiale per determinare il valore del numero massimo di cicli Ni sopportabili per un dato livello di sollecitazione σi

60

50

40

30

20

10

0

Str

ess

(MP

a)

100

101

102

103

104

105

106

107

108

Number of cycles (N)

Per ognuno dei valori di sollecitazione dati (ordinate) ci si sposta fino ad incontrare la curva e si legge il valore dell’ascissa

Es: per σ = 34 MPa, N = 104 cicli per σ = 26 MPa, N = 4x105 cicli

… e per σ = 20 MPa ????

Un esempio…

( ) ( ) 1...11

21 ≤==+++= ∑∑==

n

i ai

in

iain N

nDDDDD

σσ

00000175.0001.020

104

7

10

1054321 ++=

∞+

⋅+=++= DDDD

1:)0000175.0001.0(:230 x=+

Nei 230 secondi considerati, viene “consumata” una frazione di resistenza a fatica pari a 0.0010175 (ricordiamo che il limite è 1) Quante ore può resistere la placca senza che avvenga la rottura??

( )0000175.0001.0

230

+=x

hsx 79.62226044 ==

Effetto della sollecitazione media

Nei cicli di sollecitazione diversi da quelli alternati simmetrici (a media nulla), la presenza di un valor medio diverso da zero influisc e significativamente sulla resistenza a fatica .

Sperimentalmente si osserva che il valore di S f corrispondente ad un determinato numero di cicli N f diminuisce al crescere di una σm positiva . Una σm negativa è di norma ininfluente poichè le zone di discontinuità nel materiale possono reagire a compressione e non generano zone di concentrazione di tensioni.

Per affrontare il problema in teoria si dovrebbe po ter disporre delle curve di Wohler modificate che includano la presenza di diversi val ori della tensione media , ma ciò comporterebbe una notevole mole di dati sperimentali da ricavare. Si ricorre, quindi a diagrammi semplificati che agevolano la verifica a fatica.

Il valor medio aumenta nella direzione della freccia

Effetto della sollecitazione media

A questo scopo si effettuano prove per indagare l'effetto sulla rottura del materiale delle diverse combinazioni di sforzo medio (in trazione o in compressione) e sforzo alternato. In un diagramma che riporta in ascisse la sollecitazione media ed in ordinata quella alternata, si riportano le coppie di valori sperimentali che provocano la rottura a fatica in un numero prefissato N di cicli Questo viene chiamato diagramma di Haigh.

Generalmente tracceremo i diagrammi di Haigh riferendoci al caso della vita infinita , ma in teoria si possono determinare qualunque sia il numero di cicli

Su

S’’’’f

L’andamento dei punti sperimentali dalla parte delle sollecitazioni di trazione, può essere approssimato in diversi modi. Noi utilizzeremo un fitting LINEARE

Il diagramma di Haigh (costruzione)

La costruzione del diagramma di Haigh richiede una notevole mole di dati sperimentali, di conseguenza sono state proposte delle rappresentazioni alternative approssimate 1. sull'asse σmedia si riportano la tensione di snervamento per trazione σs e compressione σsc e la tensione di rottura σr, sull'asse σalternata si riportano la σs e il limite di resistenza a fatica S’f, 2. si traccia una linea (1) da σalternata= Sy a σmedia= Sy per tensioni medie di compressione, 3. si traccia una linea (2) da σalternata= Sy a σmedia= Sy, per tensioni medie di trazione, 4. si traccia una linea orizzontale (3) da σalternata= S’f per tensioni medie di compressione, 5. si traccia una linea (4) da σalternata= S’f a σmedia= Su per tensioni medie di trazione.

Sy

Sy Su Sy

S’’’’f

Sy

Sy Su Sy

S’’’’f

Diagramma di Haigh

S’’’’f

Su Sy Sy

Sy

Dal diagramma è possibile osservare che quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σm prima di sentirne l’effetto e diminuire.

Il diagramma di Haigh (significato)

Le linee (1) e (2) delimitano le coppie di valori σm, σa per le quali la tensione massima del ciclo si mantiene al di sotto di quella di snervamento. Nella parte delle σmedia>0 la retta di snervamento (2), detta retta di Langer , è descritta dalle seguenti equazioni:

−=

=+

mya

y

a

y

m

S

SS

σσ

σσ1

Le linee (3) e (4) costituiscono una semplificazione delle curve di fatica per tensione media variabile e delimitano i valori σm, σa per i quali la vita a fatica è maggiore o uguale a quella corrispondente a S’f, cioè: N≥Nf. Nella parte delle σmedia>0 la retta (4), detta retta di Goodman , è rappresentata dalle equazioni:

⋅−=

=+

mu

FFa

F

a

u

m

S

SS

SS

σσ

σσ

''

'1

)1( −=+−= mqxy

Langer

Goodman

Sy

Sy Su Sy

S’’’’f

Il diagramma di Haigh (significato)

Dal punto di lavoro P il sistema può raggiungere la rottura in infiniti modi, a seconda delle modalità di crescita del carico (σm, σa). Per esempio: 1.Resta costante la tensione alterna e aumenta la media (si finisce su P3) 2.Resta costante la tensione media e aumenta quella alterna (si finisce su P2) 3.Resta costante il rapporto tra tensione media e alterna (si finisce su P1) Per il punto P passano infinite rette che individuano possibili combinazioni di sollecitazione media e alterna Si possono calcolare infiniti coefficienti di sicurezza

σm

σa

Eseguire una verifica

Per la verifica a fatica nel caso di presenza di valor medio non nullo, considereremo solo la condizione nella quale le sollecitazioni medie e alterne variano in modo tale che il rapporto σmedia/σalterna si mantenga costante

Il luogo dei punti che rappresenta le coppie σa, σm al variare del carico esterno è una retta passante per l’origine di inclinazione differente a seconda del caso, definita retta di carico.

Il punto limite P′ di coordinate σ′a, σ′m, corrispondente alla situazione assegnata, può essere ottenuto dall’intersezione tra la retta di carico e la retta di Goodman Il coefficiente di sicurezza, a sua volta, può essere ottenuto come rapporto tra i segmenti della retta di carico compresi tra il punto O′ e i punti P′ e P rispettivamente, cioè:

PO

PO

'

''=ξ

+

=

'

1

F

a

u

m

SS

σσξche nel caso specifico diventa

Sy Su Sy

S’’’’f

Flesso-torsione materiali duttili

Quando sono presenti contemporaneamente ed in fase 1.Sollecitazioni normali alterne ( σa)

2.Sollecitazioni normali medie ( σm)

3.Sollecitazioni torsionali alterne ( τa)

4.Sollecitazioni torsionali medie ( τm) La verifica, ed il relativo calcolo del coefficiente di sicurezza, possono essere eseguite utilizzando il Criterio di Gough-Pollard

2

'

2

'

1

++

+=

f

a

r

m

f

a

r

m

SS ττ

ττσσ

ξ

Limite di rottura

Limite di fatica (corretto)

Limite di fatica a torsione (approx 0.5 S’f)

Eseguire una verifica

m

m

a

a

PO

PO

σσ

σσξ

''

'

'' ===

+

=⋅+⋅

⋅=

'

'

' 1

F

a

u

muaFm

uF

SS

SS

SS

σσσσξ

ξσσξσσ⋅=

⋅=

mm

aa

'

'

sostituendo

+

=

'

1

F

a

u

m

SS

σσξ

⋅−=

=+

mu

FFa

F

a

u

m

S

SS

SS

σσ

σσ

''

'1

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