D

CB

A FE

H

DEFINICIÓN 1

ÑO

B

A

C

GT

SR

F

H

V

K

LM

NF

A

BC

D

EHG

Pirámide cuadrangular

Pirámide octagonalPirámide hexagonal

• Una pirámide es regular si su base es un polígono regular.

• Una pirámide regular tiene: arista, altura, apotema de la pirámide, apotema de la base, lado de la base y radio de la base.

DEFINICIÓN 2

Arista (ar ): son los segmentos de recta que se forman por la intersección de las caras laterales de la pirámide.

Lado de la base (l): son los segmentos de recta que representan la intersección de cada una de las caras laterales con la base de la pirámide.

DEFINICIÓN 3

H

E FA

B C

D

ar

l

Apotema de la pirámide (ap): es la altura de una de los triángulos o caras laterales de la pirámide.

DEFINICIÓN 4

E

ap

B

G

F

A H

C

D

T

Apotema de la base (ab): es la altura de los triángulos que forman la base de la pirámide.

E

ab

B

G

F

A H

C

D

TP

La altura de la pirámide (h): es el segmento trazado en forma perpendicular desde la cúspide de la pirámide hasta el puno central de la base de la pirámide.

El radio de la base de la pirámide (r): es el segmento que une, el centro del polígono correspondiente a la base de la pirámide, con un vértice de dicha base.

DEFINICIÓN 5

E

B

A

C

D

h

rF

ar

E

B

A

C

D

h

rF

ar

ar2 = r2 + h2ar2 = r2 + h2

1

CONSIDERANDO LAS DEFINICIONES 3,4 y 5, PODEMOS CONCLUIR:

E

B

A

C

D

2

h

ab

ap

Hap

2 = ab2 + h2ap

2 = ab2 + h2T

EJEMPLO 1Si la apotema de una pirámide ap, mide8 cm y la altura de la pirámide h, mide 6 cm; calcule el valor de la apotema de la base de la pirámide, ab.

E

B

A

C

D

h

ab

ap

HT

= 6cm= 8cm

Respuesta:

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

aa

72

28

28

3664

68

h

2

2

222

2b

22p

EJEMPLO 2Encuentre la longitud de la arista ar, de una pirámide, si la altura h es de 15 m y el radio de la base, r = 10m.

E

ar

r = 10m

h = 15m

A F

Respuesta:

ma

ma

a

a

ra

135

325

100225

1015

h

r

r

2r

222r

222r

DEFINICIÓN 6

DEFINICIÓN 6.1

Área lateral (AL): el área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.

E

B

A

C

D

GP

H

J

F

J

B

K

E

GA

U

D

HC

EJEMPLO: Encuentre el área lateral AL, de una pirámide pentagonal regular si el lado de la base mide 6 cm y la apotema de la pirámide es de 8cm.

cmaFJ

cmlDE

p 8

6

Respuesta:

2

2

2

120

245

#

24

2

862

2

cmA

cmA

AsdeA

cmA

A

alA

AlturaBaseA

L

L

L

p

DEFINICIÓN 6.2

2pb

L

aPA

A FMELDKCJI B HPGN

V VVVV VV

ap

AL es la suma de las áreas de los triángulos

l

Número de triángulos

2

2

#2

22222

654321

pbL

pL

pL

pppppL

L

aPA

alnA

sdenal

nA

alalalalalA

AAAAAAA

l = 5cm

EJEMPLO: Encuentre el área lateral, AL de una pirámide regular hexagonal, si el lado de la base mide 5cm y la altura de la pirámide corresponde a 8cm.

H

E FA

B C

D

H

KK PP

ap

ab

h = 8cm

Respuesta:

22

2222222

2222

50,1362

10,930

2

10,9833,4

33,432

5554

2

14

2

1

3056

cmcmaP

A

cmhaahaa

rl

cmcmcmlra

cmcmlnP

pbL

bpbp

b

b

DEFINICIÓN 7

2

bpbT

aaPA

22bbpb

T

bLT

aPaPA

AAA

E

B

A

C

D

EJEMPLO: Dada una pirámide de base cuadrada de 8cm de lado y 12 cm de altura, encuentre el área total, AT

E

B

A

C

D

GG

4cm

ap

ab

h

4cm8cm

222

2

22

2222

39,2666439,202

642

432

2

39,20210642

10432

2

3284

104412

42

8

2

cmcmcmAAA

cmcmcmaP

A

cmcmcmcmaP

A

cmcmlnP

aha

cml

a

bLT

bbb

pbL

b

bp

b

DEFINICIÓN 8

El volumen de la pirámide (V):

hAV b 3

1

l = 4m

h= 6,5m

ab = 3,46m

EJEMPLO: El tejado de una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. Si el lado de la base y la apotema de la base respectivamente 4m y 3,46m; y la altura de la pirámide mide 6,5m, ¿cuál es el volumen del tejado?

252,41

2

46,3242

mA

mmA

aPA

b

b

bbb

Respuesta:

3

2

96,89

5,652,413

13

1

mV

mmV

hAV b

Presentación elaborada y expuesta por Anthony Alfaro, estudiante de

undécimo año, Liceo Santa Gertrudis

generación 2006