la modelización de variables macro económicas peruanas

LA MODELIZACION DEVARIABLES MACROECONOMICAS PERUANAS

Centro de Investigación yDesarrollo (CIDE)

Lima, agosto 2002

Los ARCH como Alternativa a los ARIMA

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Centro de Investigación y Desarrollo

LA MODELIZACION DE VARIABLES MACRO ECONOMICAS PERUANAS. LOS ARCH COMO ALTERNATIVA A LOS ARIMA

Preparado : Centro de Investigación y Desarrollo del Instituto Nacional deEstadística e Informática (INEI)

Impreso : Talleres de la Oficina Técnica de Administración del INEIDiagramación : Centro de Edición de la Oficina Técnica de Difusión del INEITiraje : 200 EjemplaresDomicilio : Av. General Garzón 658, Jesús María. Lima - PerúOrden de Impresión : Nº 504-OTA-INEIDepósito Legal Nº : 150113-2002-3190

DIRECCIÓN Y SUPERVISIÓN

Econ. Mirlena Villacorta OlazabalDirectora Técnica del CIDE

Documento Elaborado por:

Est. Edith Noemí Ordóñez Porras

Las Opiniones y conlusiones de esta investigación son de exclusivaresponsabilidad de la autora, por lo que el INEI no se solidariza necesariamente con ellos.La autora agradece a la Econ. Mirlena Villacorta por su apoyo y preocupación constante y

al Dr. Alipio Ordóñez por su gran compromiso con la investigación.

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PresentaciónEl INEI pone a disposición la investigación metodológica: "LA MODELIZACION DE VARIABLESMACRO ECONOMICAS PERUANAS. LOS ARCH COMO ALTERNATIVA A LOS ARIMA",que por su nivel de especialización está dirigida principalmente a los miembros de la comunidadacadémica, profesionales de las oficinas de estadística y los investigadores interesados enmantener la actualidad de sus procedimientos estadísticos.

Esta investigación metodológica tiene por finalidad, generar instrumentos y procedimientosque permitirán validar, mejorar y actualizar los procesos estadísticos. Se caracteriza por serinnovadora en su campo de aplicación, por contener un rigor científico en su desarrollo integral,por la validez de sus procesos, por la vigencia y actualidad de sus metodologías aplicadas.

En particular, esta investigación tiene el objetivo de contribuir con el mejoramiento metodológicode las técnicas utilizadas para realizar predicciones de variables macro económicas caracterizadaspor la alta volatilidad e incertidumbre en su comportamiento, como es el caso del tipo decambio u otras variables financieras, introduciendo para ello la moderna metodología de losmodelos ARCH, que precisamente fueron creados para solucionar este tipo de problemas queimpiden una buena toma de decisiones en el ámbito político y económico; en tal sentido elestudio está orientado a probar la eficacia de estos modelos en el caso peruano, donde aún sesigue empleando modelos como los ARIMA que si bien tienen grandes ventajas en la modelizaciónde las variables económicas, no consideran los efectos que podría ocasionar no considerar estascaracterísticas. Además, se hace un aporte a la teoría monetaria en el Perú, al probar para el casoperuano la hipótesis planteada por Friedman de que la incertidumbre inflacionaria causamayor inflación periodos más adelante, para lo cual, se hace uso precisamente de los modelosARCH.

Este estudio al igual que otros de carácter metodológico, ha sido elaborado por profesionalesdel Centro de Investigación y Desarrollo (CIDE), en el marco del desarrollo y promoción deinvestigaciones estadísticas y socioeconómicas que permitan elevar la calidad de la informacióndel INEI y el SNE.

El INEI espera como resultado de esta investigación, incorporarse en el circuito de la produccióndel conocimiento y elevar los estándares de calidad de sus procesos, sentando con ello las basesde la investigación metodológica en la institución.

Lima, agosto 2002

Gilberto Moncada VigoJefe del INEI

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Prólogo

En los últimos años, muchas extensiones del proceso ARIMA se estánaplicando con éxito y mayor frecuencia en muchas instituciones deprestigio. El objetivo principal es cuantificar mejor la realización de losdiferentes procesos, con fines de control y pronóstico.

De un lado, la estructura teórica que gobierna los procesos debe ser nomuy compleja y recaen en apenas los primeros pocos momentos de lavariable; pero paradójicamente las propiedades de los primeros momentospor ejemplo la media y la variancia ahora no son muy simples, puesobedecen a relaciones que no son lineales y están condicionadasfuertemente a su pasado, hechos que dificultan su manipulación einterpretación al proceso en investigación.

De otro lado, en la mayoría de los casos, la ley probabilística que gobiernaa estos procesos no se conoce y una forma de describirlo, consiste enrastrear sus características observándolo en algún periodo; pero esto exigede una buena medición de sus rasgos, esto es, de construir una "buenabase de datos", que permita encontrar la estructura teórica verdadera quegenera al proceso; de lo contrario nuestro trabajo estaría muy limitado.Esta exigencia raramente se cumple, y no se le da la debida importancia.

Los procesos ARCH, una de las varias extensiones del proceso ARIMA,fueron aplicados exitosamente para predecir el comportamiento de lainflación inglesa en 1982, por Engle. Un hecho que llevó a aplicar esteproceso, fue la existencia de periodos de mucha incertidumbre y otrosperiodos de mucha quietud en la ocurrencia del proceso.

Técnicamente los procesos ARCH, incorporan nuevos instrumentos paramejorar la cuantificación de un proceso, y esto asegura una supremacíasobre los procesos ARIMA; sin embargo, la ventaja teórica no estáasegurada en la práctica, pues ahora se depende de una apropiada basede datos, que aseguran su utilización. Por esta razón es aconsejablerecomendar a los procesos ARCH como complementarios más quealternativos.

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En este trabajo de investigación, se presenta una buena aplicación de lateoría ya establecida de los procesos ARCH, con el objetivo de marcar laspautas de una correcta aplicación. Dos variables muy relacionadas entre sí,y con la salud de la economía peruana: una macro económica (Inflación) yla otra financiera (Cotización diaria del dólar), son utilizadas para ilustrar laaplicación de los procesos ARCH. Ambas por su naturaleza deberían serdescritas por los procesos ARCH, sin embargo, en el caso de la variableinflación no se justificaría su utilización para el caso peruano, debido a quesu comportamiento no lo permite, pero en el caso de la cotización deldólar los ARCH muestran su supremacía.

Lima, Junio 2002

Dr. Alipio Ordóñez MercadoUniversidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ing. Económica y CCSS.

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I N D I C E

Presentación ................................................................................................ 3

Prólogo ................................................................................................ 5

Introducción ................................................................................................ 9

I. FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA ....................................... 11

1.1 Planteamiento del problema ...................................................................... 111.2 Formulación del problema ......................................................................... 131.3 Sistematización del problema .................................................................... 13

II. OBJETIVOS ......................................................................................... 15

2.1 Objetivo general ..................................................................................... 152.2 Objetivos específicos ................................................................................... 15

III. MARCO TEÓRICO ............................................................................. 17

IV. HIPÓTESIS ......................................................................................... 23

V. MÉTODOS .......................................................................................... 25

VI. MEDICIÓN, ANÁLISIS Y RESULTADOS ....................................... 27

6.1 Ajuste del modelo ARIMA a las variables Inflación mensual:1952 - 2001 y Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001 ...................... 27

6.1.1 Aplicación a la variable: Inflación mensual .............................. 276.1.2 Aplicación a la variable: Cotización diaria del dólar ............... 35

6.2 Ajuste del modelo ARCH a las variables IPC y Cotización diariadel dólar ......................................................................................................... 43

6.2.1 Aplicación a la variable: Inflación mensual ............................. 436.2.1.1 Identificación de los hechos estilizados ...................... 436.2.1.2 Aplicación del modelo ARCH ...................................... 45

6.2.2 Aplicación a la variable Cotización diaria del dólar ............... 516.2.2.1 Identificación de los hechos estilizados ...................... 516.2.2.2 Aplicación del modelo ARCH ...................................... 54

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VII. DISCUSIÓN ......................................................................................... 61

7.1 Comparación de los resultados obtenidos al aplicar ambosmodelos .......................................................................................................... 61

7.2 Establecimiento de pautas para la elección del modelooptimo ........................................................................................................... 63

VIII.INCERTIDUMBRE INFLACIONARIA: UN ANÁLISIS

EXPLORATORIO DEL CASO PERUANO ...................................... 65

8.1 Aspectos teóricos .......................................................................................... 658.2 Ajuste del modelo a la Inflación peruana ................................................ 678.3 Análisis de los resultados ............................................................................. 68

IX. CONCLUSIONES ............................................................................ 69

X. RECOMENDACIONES ..................................................................... 71

XI. ANEXO METODOLÓGICO ............................................................. 73

11.1 La metodología ARIMA ............................................................................. 7511.2 Descripción de las variables utilizadas en el estudio .............................. 7911.3 Algunos procedimientos gráficos para detectar los

hechos estilizados ..................................................................................... 83

XII. BIBLIOGRAFÍA.................................................................................. 87

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Introducción

El presente estudio está basado en lanecesidad de mejorar las metodologíasexistentes en el sistema estadístico peruano.En el INEI y en otras entidades como algunasuniversidades siguen empleándose técnicasque si bien proporcionan resultados buenosaún se mantienen lejos del estándarmetodológico de los demás países enAmérica.

En el Perú, las variables económicas engeneral, casi en su mayoría, son ajustadasmediante modelos clásicos como losARIMA, entre otros modeloseconométricos, a fin de obtener prediccionesa futuro que permitan a los decisores depolíticas, tomar las mejores decisiones conun mínimo de riesgo.

Este tipo de variables debido a suscaracterísticas, necesitan de un modelo quelogre captar su comportamiento lo máscercanamente posible, pero muchas de ellasson tratadas en forma conjunta como si todasfueran originadas por los mismos fenómenosy siguieran un mismo patrón evolutivo,llegando a cometer errores.

Los modelos ARIMA, específicamente,poseen ventajas para la estimación ypredicción de muchas variables macroeconómicas peruanas, pero en muchaseconomías donde se han realizado estudiosutilizando variables como la Inflación, losprecios, el tipo de cambio entre otras, estosmodelos han demostrado su limitación enla modelización de variables con altavolatilidad, es decir, este modelo lograpredecir solo la media mas no la varianza,

que en variables financieras es de muchanecesidad e importancia debido a que enestos casos es el riesgo el que requiere sermedido y al modelar su varianza estamosaproximándonos a ello.

Esta desventaja es cubierta, en muchoscasos, si se aplican modelos no linealescomo los ARCH (AutoregressiveConditional Hetero-cedasticity), los cualesfueron introducidos por Engle (1982) conel propósito de modelar la inflación delReino Unido, pero que con otros estudioscomo los de Bollerslev, Taylor entre otrosfueron encontrándose muchos otrosmodelos basados en la teoría condicionaly que están siendo muy útiles en lamodelización de variables con altavolatilidad. Además, los ARCH dentro deuno de sus enfoques, tienen la ventajade cubrir las deficiencias de los modelosque no logran captar bien elcomportamiento de las variablesobteniéndose residuos heterocedásticos(varianza no constante) que es elfenómeno que originó a los ARCH.

Lógicamente, cada país tiene sus propiascaracterísticas económicas, pero esnecesario probar en el caso peruano si sonposibles las mejoras metodológicas alestudiar sus variables macro económicas.

De esta manera se planteó el problemaque nos conllevó al estudio de las variablesInflación mensual en el periodo 1952 -2001 y la cotización diaria del dólar en elperiodo 1998 - 2001, la primera porquees muy importante dentro la política

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económica y porque hemos vistoconveniente incluirla debido a su relevanciaen el estudio que se hace en cuanto a lateoría de Friedman; la segunda porque esuna variable esencialmente financiera yque va directamente de la mano connuestro propósito.

El método consistió en realizar un estudiode carácter analítico comparativo,mediante la aplicación de dos posiblesmodelos ARIMA - ARCH en ambasvariables. Primero se aplicó los modelosARIMA dentro del Enfoque de Box yJenkins, de la cual se obtuvo resultadospreliminares. Luego se aplicó los modelosARCH dentro de dos enfoques a las dosvariables, con la cautela necesaria en casode aplicar los Tests y los periodos paraobtener resultados comparables.

Luego dentro de la teoría de optimizaciónse obtuvo resultados basadosprincipalmente en la bondad de ajuste decada uno de los modelos y su capacidadde predecir con la mayor precisión.

Los resultados giraron en torno a la lógicaexistente en la aplicación de modelos auna economía específica: En el casoperuano y para las variables estudiadas,los modelos ARCH son mejores que losARIMA pero en un grado relativo.

En cuanto a la Inflación Mensual, elModelo ARIMA nos proporcionó mejoresresultados que los ARCH aplicado dentrode un primer enfoque.

En cuanto a la Hipótesis planteada porFriedman en la teoría monetaria se pudoverificar la aseveración de que en el Perú,en el periodo de 1952 - 2001, la inflacióncausó una mayor incertidumbreinflacionaria y que la incertidumbre causóuna mayor inflación (ésta podría

considerarse como la ventaja másimportante de los ARCH con respecto alos ARIMA).

En este primer enfoque se utilizó lacombinación de los modelos ARIMA -ARCH, que en el caso peruano seconstituye como un instrumento potentepara la modelización de las variablesmacro económicas peruanas.

En el caso de la cotización diaria del dólar,debido a las características quepresentaba, pudo ser ajustada mejor porlos ARCH, dentro de un segundo enfoqueen la que tiene que ver la teoría de losretornos financieros.

El documento se encuentra estructuradode la siguiente forma: En el capítulo I seplantea el problema de investigación, enel capítulo II se detallan los objetivos, enel capítulo III, el Marco Teórico, en elcapítulo IV las hipótesis a probar, en elcapítulo V, la medición análisis y losresultados, en el capítulo VI se hacehincapié a un tema importante que es laIncertidumbre Inflacionaria, que incluyedesde un planteamiento del problemahasta la prueba de la hipótesis deFriedman, en el capítulo VII se hace unadiscusión basándose en los resultadosobtenidos y en los demás capítulos selistan algunas conclusiones y seproporciona algunas recomendaciones alcaso, además de complementar con losAnexos metodológicos donde se detallanbrevemente la metodología ARIMA, ladescripción de las variables utilizadas enel estudio y algunos procedimientosgráficos de detección utilizados pero queno han sido muy difundidos. Por últimose lista la bibliografía que ha sido utilizaday algunas que podrían ser de utilidad paralos lectores que estarían interesados enrealizar estudios posteriores.

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I. FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA

1.1 PLANTEAMIENTO DELPROBLEMA

En el campo macro económico, siemprese planteó el problema de la toma dedecisiones, es decir, la elección de unaopción entre diversas alternativas. Cadaopción dará resultados distintos quepueden ser medidos en términos deutilidad, costos, beneficios o cualquiermagnitud dependiendo del problema quese esté considerando.

Con las técnicas de modelización, se tratade hacer pronósticos "lo más cercanamenteposible" sobre sucesos que todavía no hantenido lugar, pero, ¿qué pasa si no se eligela técnica adecuada para modelar lasvariables macroeconómicas?.

Los estudios que se han venido realizandoen el INEI, como ente rector del SistemaNacional de Estadística, para el análisisde las variables macroeconómicas, giran entorno al enfoque clásico y al enfoque dedominio del tiempo, propuesta por Box yJenkins (1976), quien introdujo sumetodología para la modelización devariables en el tiempo, planteando unesquema que parte de la identificación yva hasta la validación del modelo.

Estos modelos, esencialmente los ARIMA,requieren del cumplimiento de ciertossupuestos para proceder a suaplicación, supuestos como normalidad,estacionariedad tanto en media como envarianza, la correlación entre dosobservaciones distintas, igual a la de otrasdos cualquiera separadas por la mismadistancia, entre otros supuestos que

hacen posible contar con resultadosconfiables.

Muchas series históricas, son modelizadasutilizando estos criterios, obteniendoresultados que incurren en erroresmínimos; lógicamente, estas series hantenido que cumplir con los supuestos antesmencionados. Asimismo, son modeladasaquellas que en un inicio faltaban a lossupuestos, pero que necesitaron de unatransformación para hacer posible suadaptación, haciendo uso de teoríascentradas en la diferenciabilidad de la seriey en la existencia o no de raíces unitariasa partir de Tests como los de Dickey yFuller.

El caso es que en muchas ocasiones, enEconomía se habla de sucesoscondicionados por movimientos que seprodujeron en el pasado. Por ejemplo,todos relacionan inmediatamenteestabilidad o inestabilidad en la economíacon el cómo ha sido su comportamientoanterior, produciéndose fuertes sobresaltosen la evolución de sus variables (a estosmovimientos bruscos de altas y bajas enla economía se denomina volatilidad).

A cualquiera se le puede ocurrir entoncesque, en variables de este tipo, elcomportamiento en el momento actualresponde a una expectativa generada porsu pasado; es decir, a un valor esperadocondicionado por cuál ha sido sucomportamiento anterior.

Es aquí donde nace la primera inquietud:¿No es que para usar los Modelos ARIMA,tendría que considerarse una

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homocedasticidad (varianza constante) enla variable? Y es por la respuesta quepodría implicar esta interrogante, quepodemos decir que la utilización de estosmodelos permite constatar un hecho queno deja de ser preocupante: la volatilidadmanifestada en un determinado periodode tiempo no es independiente de lavolatilidad manifestada en otros periodosinmediatamente anteriores (es decir, lavarianza no es constante en el tiempo),lo que pone en tela de juicio, el hechode modelar variables económicas conciertos modelos que no se ajustan a estosrequerimientos.

Además, muchos estudios han mostradoque el comportamiento de algunasvariables tienden a mostrar característicasque se alejan de los supuestos denormalidad, de media nula y varianzaconstante, especialmente cuando secuenta con información variante.

Es importante tener en cuenta que,mucho influye la coyuntura económicaexistente en un determinado ámbito deestudio, donde las variables macroeconómicas presentan características quesi bien la experiencia internacionaldemuestra que pueden adaptarse a estetipo de modelos, se debería constatar sueficiencia en economías con menorinestabilidad.

Otro aspecto también importante y quetendrá que ser discutido en estainvestigación es referente al estudio quehicieron Taylor y Poon (quienes hacenintuir que los Modelos ARIMA ycualquier otro modelo econométrico noson en principio excluyentes) y es que sibien existe un sinfín de metodologías,

cada uno creado a partir de estudios decasos particulares y adaptados a ellos, portanto es posible pensar en la aplicaciónde la combinación de dos o más modelosque nos proporcionen resultados aunmejores, lo que no implicaría que en síuna metodología no sería alternativa deotra, y es que una vez hecha algunaadaptación a un modelo a cierto tipo decoyuntura, ésta ya es alternativa a la quese había estado empleando en unprincipio.

En si el problema está planteado sobre lanecesidad de verificación en el caso dela economía peruana, si es que losmodelos que vienen siendo aplicados sonlo suficientemente eficaces para obtenerbuenos resultados o acaso como ocurreen otras economías este tipo de modeloshan sido desplazados por otros queproporcionan resultados mucho mejores,lo cual está ligado a la mejor toma dedecisiones.

Otra inquietud es saber si existe un perfilque determina la posible aplicación deestos modelos. Por ejemplo, sianalizásemos la serie de producción, quedebido a la estabilidad que presenta (sinconsiderar fenómenos al azar ya seapolítico económico o natural que podríanafectar esta condición), cumple con lossupuestos necesarios para poder aplicarun modelo desde el enfoque clásico, peroes necesario constatar un hechoampliamente probado en muchaseconomías en el ámbito mundial, el casodel Índice de Precios al Consumidor (enconsecuencia la Inflación), desde queestá altamente relacionada con el factorprecio, se vuelve volátil, por tanto podríaser difícil su tratamiento con modelos

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lineales como los ARIMA. Otro casocomo la cotización del dólar, variableesencialmente financiera donde lasfluctuaciones son diarias en economíasaltamente inestables como es el caso deeconomías norteamericanas, europeasentre otras y en menor grado eneconomías estabilizadas, sería otravariable que probablemente no cumpliríaciertos supuestos.

Podemos destacar además que desde elpunto de vista estadístico, uno de loshallazgos más importantes es que enpresencia de heterocedasticidad (varianzano constante), si bien el estimador clásicode mínimos cuadrados ordinarios siguesiendo el mejor dentro de la familia delos estimadores lineales (típicamenteutilizados para estimar los parámetros delos modelos ARIMA), el estimador demáxima verosimilitud, el cual no es lineal,tiene mayor precisión y por tanto es másconfiable (Cermeño, Rodolfo). Elproblema se complica cuando se sabeque el estimador clásico lineal, no permiteidentificar el proceso que gobierna lavolatilidad de la varianza.

El desarrollo de nuevas técnicaseconométricas, para el análisis delcomportamiento de las variables macroeconómicas en estas dos últimas décadasy la experiencia de otros países quevienen aplicando estas metodologías,dejan claro la necesidad de hacer unestudio de las variables macroeconómicas peruanas, mediante lautilización de técnicas avanzadas ydemostrar cuán eficaces son estosmodelos en comparación con los quetradicionalmente se han venidoutilizando.

De continuar esta sintomatología, es decir,de seguir analizando el comportamientode las variables macro económicas con losprocedimientos tradicionales, no permitiríaconocer y aplicar métodos que podríanproporcionar mejores resultados, es decir,se seguiría corriendo el riesgo de tomardecisiones que no reflejan la realidadperuana.

Por tanto, para la obtención de mejoresresultados, se hace indispensable,proponer y probar la eficacia de la nuevametodología para la modelización de lasvariables macro económicas en el Perú,que permite evaluar cómo se ha idoanalizando estas variables en el tiempo ylos errores que se hayan estado pudiendocometer y a la vez obtener nuevosresultados que nos permitan descubrir sugrado de adaptabilidad.

1.2 FORMULACIÓN DELPROBLEMA

¿En qué medida afectaría la toma dedecisiones en el ámbito políticoeconómico, continuar aplicandometodologías tradicionales para modelizarvariables macro económicas en el Perú?.¿Podrían considerarse mejorasmetodológicas? ¿Se obtendrían mejoresresultados que los que se han venidoobteniendo?.

1.3 SISTEMATIZACIÓN DELPROBLEMA

Para responder a nuestras preguntasplanteadas al formular nuestro problemade investigación, éstas lasdesagregaremos en las siguientessubpreguntas:

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- ¿Cómo ha sido el comportamiento delas variables Cotización del dólar e Índicede Precio al Consumidor?

- ¿Qué características presentan estasvariables macro económicas peruanas?

- ¿Qué resultados proporciona laaplicación de los modelos ARIMA en elestudio del comportamiento de lasvariables macro económicas peruanas?

- ¿Qué resultados proporcionaría laaplicación del modelo alternativo en el

estudio del comportamiento de estasvariables macro económicas peruanas?

- ¿Esta nueva propuesta logra captarcaracterísticas que presentan ciertasvariables macro económicas en el Perú,las cuales no son captadas por los modelosARIMA?

- ¿En qué grado, se logran obtenermejores predicciones al aplicar el modeloalternativo en comparación a los ARIMAa las variables macro económicas en elPerú?

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II. OBJETIVOS

2.1 Objetivo general

Contribuir con el mejoramientometodológico de las técnicas utilizadaspara realizar predicciones de las principalesvariables macro económicas en el Perú.

2.2 Objetivos específicos

- Presentar la metodología ARCH, paraanalizar y predecir el comportamientode las principales variables macroeconómicas peruanas.

- Describir el comportamiento de lasvariables macro económicas en el

tiempo, identificando las principalescaracteríst icas que puedanpresentarse.

- Comprobar s i los resultadosobtenidos mediante la aplicación delos modelos ARCH, proporcionamejores resultados que lostradicionalmente utilizados en lamodelización de las variables macroeconómicas peruanas.

- Proponer pautas para construir elperfil de variables que podrían sermodel izadas bajo uno u otromodelo.

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III. MARCO TEÓRICO

En la teoría clásica de series temporales(metodología de Box y Jenkins)1, eldesarrollo estadístico se realiza a partir deun proceso estacionario (ya sea en sentidoamplio o débil), es decir, un proceso quecumpla con las siguientes condiciones:

- Media constante- Varianza constante- Correlación entre dos observaciones

distintas igual a la de otras doscualquiera separadas por la mismadistancia (mismo número de periodos)

Un caso especial de estos procesos es eldenominado Ruido Blanco.

Existen muchos estudios sobre este tipode series que cumplen con los supuestosanteriormente mencionados, sin embargo,el estudio del supuesto de varianzaconstante es menos extenso y, no teneren cuenta la no - constancia de la varianza,puede dar lugar a diversos problemasestadísticos cuando se estiman modeloseconométricos (problemas ligados a laeficiencia de los parámetros estimados porejemplo).

Robert Engle en 1982, al pretenderobtener una predicción adecuada para lainflación en el Reino Unido2 y basándoseen las evidencias mostradas por estavariable financiera que presentaba ciertascaracterísticas propias de su naturaleza,como una fuerte volatilidad seguida deperiodos de calma y otros movimientosbruscos, características que solo se podíanidentificar en este tipo de variables,propuso un modelo econométricodenominado: Modelo Autoregresivo con

Heterocedasticidad Condicional (ARCH),modelo no lineal que logra captar estascaracterísticas, obteniéndose mejorespredicciones que las que se obtuvieronmediante la aplicación de otros modelosque no consideraban la presencia de estoselementos, contrarrestando los problemasque tienen que ver con la eficiencia delos parámetros estimados.

Las distintas variantes de modelos quetienen raíz en los ARCH, tienen comoobjetivo desde un primer enfoque, explicarel comportamiento de las varianzas de losresiduos de un modelo ARIMA para losmismos, y desde un segundo enfoque,explicar el comportamiento de las varianzasde los rendimientos financieros a partir deuna función del pasado de esosrendimientos.3 Bajo el supuesto de quevienen generados por un proceso ruidoblanco de variables incorrelacionadas perono independientes.

Es decir, la modelización de la varianzacondicional en la práctica es muydependiente del modelo que se propongapara las variables.Engle consideró la necesidad de plantearun modelo que recogiera el problema delos modelos convencionales los cuales noconsideraban la varianza cambiante en eltiempo, proponiendo el siguiente modelo:

1/ Para mayor detalle, ver el anexo metodológico, donde seexplica en forma resumida, la fase de la modelizaciónsegún Box y Jenkins, o en todo caso remitirse a labibliografía.

2/ Engle, R. F. 1982, Autorregressive ConditionalHeterocedasticity with Estimates of the Variance of the UnitedKingdom Inflation, Econométrica 50(4), 987-1007.

3/ En realidad, como veremos, el primer enfoque parte delsegundo ya que los residuos se obtienen a partir de lafunción de regresión del segundo.

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Donde

Además, es un proceso Ruido Blanco(No correlacionado con su pasado y portanto no está correlacionado con el pasadode )Tanto para la media, como para la varianzacondicional, en un determinado periodot, el valor de t-1 es una realización yaconocida.

A partir de este modelo original, comomencionamos anteriormente, diversosinvestigadores econometras, dieronsolución a problemas económicosreferentes por ejemplo a la modelizaciónde la incertidumbre inflacionaria, predicciónen variables financieras entre otros.

En el primer enfoque, se parte del hechode que si bien el supuesto deestacionariedad implica que no debe existirautocorrelación entre las observacionesdel ruido blanco en el tiempo, esto nosignifica necesariamente que no hayadependencia entre éstas pero de manerano lineal, es decir, nada nos indica quepodría existir una relación de dependenciacuadrática, exponencial o de cualquier otrotipo entre y .

Se plantea bajo el modelo ARCH propuestopor Engle, la existencia de un procesodefinido a partir de un ruido blanco en elque la media y la varianza condicional noson constantes, (respondiendo al hecho deque la dependencia entre la evolución enperiodos precedentes y el valor de variacióndel periodo actual nos lleva necesariamentea introducirnos en el campo de lasprobabilidades condicionales)

Sean los momentos condicionales delruido blanco:

Donde representa toda la infor-mación disponible hasta el momento

Si suponemos, por ejemplo que:

con

se tiene un modelo ARCH. (En este casose tendría un modelo ARCH (1), puestoque la varianza condicional depende deun retardo de .)

Como es lógico, este ruido blanco podríatomarse como el comportamiento de loserrores provenientes de un modelo deregresión dinámico dado por:

Donde es un vector de variablespredeterminadas que incluye los términosde en periodos anteriores y el vectorde parámetros que tendría que estimarse.

Este modelo de regresión se denominamodelo de regresión ARCH, en el sentidode que ahora es el término de error de unmodelo de regresión el que adopta unaestructura ARCH4.

Es demostrable además que como veremosmás adelante, debido a la no-linealidad delproceso, que los errores al cuadrado tienenun comportamiento AR por tanto, en la fasede identificación de los modelos ARCH sepodrá identificar el orden mediante la

ttt hY ε=

12

102

−+= tt Yh αα

tε

tY

tε jt −ε

0)/( 1 =Ψ −ttE ε

ttt hVar 21)/( =Ψ −ε

1−Ψt

t

12

102

−+= tth εαα 1,0 10 ≥> αα

tε

εβ += tt XY

tX

tY β

4/ Estadística Española: Revista Cuatrimestral del InstitutoNacional de Estadística. Volumen 35, Enero - Abril 1993.

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utilización de la función de autocorrelaciónsimple (f.a.s.) y la función de autocorrelaciónparcial (f.a.p.) de los residuos al cuadrado.

Estimación de los modelos ARCH

Existe una amplia literatura relacionada conla modelización de variables cuya varianzano es constante en el tiempo, lo que haceque la familia de los ARCH siguecreciendo. Sin embargo en cuanto a suestimación, todas las metodologías giranen torno a la aplicación de dos: la primeraes la de Máxima Verosimilitud y elsegundo es el método de momentosgeneralizados, ambos superan lasdesventajas que presenta el método demínimos cuadrados, en cuanto a suineficacia para identificar el proceso quegobierna la evolución de la varianza,además ambos se aplican partiendo delmodelo de regresión ARCH.

El modelo GARCH

El modelo ARCH que Engle presentó,mostraba ciertas dificultades de estimacióncuando se aplicaba a estructuras dinámicasen los cuadrados de la variable (o en loserrores), es decir una desventaja en estosmodelos era el problema de parsimoniaya que se necesita valores grandes de q(orden de un proceso ARCH general) paracapturar el comportamiento de la funciónde autocorrelación.

El mismo Engle propuso en 1983 ciertasrestricciones a los parámetros del ARCH(1) que simplificaba su estimación; peroestos cambios no fueron suficientes, porlo que Tim Bollerslev en 19865, propusoel modelo GARCH que es lageneralización del ARCH (GARCH:Generalized Auto Regressive ConditionalHeterocedasticity).

Se determinó que la especificación ARCHpresentaba características de un procesode promedios móviles (MA) y que nosólo presentaba un proceso autoregresivo.

En su artículo Bollerslev presentó la parteteórica del modelo GARCH considerandoque este modelo poseía una ventajaconsiderable sobre los ARCH, ya queGARCH consideraba una mejorestructura de rezagos y por tanto laobtención de estimadores más robustos,eliminando en cierta forma el problemade la falta de parsimonia.

En el modelo ARCH, se supuso que lavarianza condicional de los errores siganun proceso ARCH. Análogamentecuando se planteó el modelo GARCH sesupuso que éste permitía que la varianzacondicional siga un proceso ARMA.

El modelo dentro del primer enfoque (esdecir aplicado a partir de la aplicación deun modelo de regresión ARCH) es:

donde: es un proceso ruido blanco.La varianza de es uno.

Como en el caso anterior, para laidentificación del orden del proceso sehará uso de la función de autocorrelaciónsimple y parcial, teniendo en cuenta quelos errores al cuadrado siguen uncomportamiento tipo ARMA.

5/ Bollerslev T., 1986, Generalized Autorregressive ConditionalHeterocedasticity, Journal of Econometrics. 31, 307 - 327.

)( ttt hσε =

tεtσ

∑∑ −− ++=p

it

q

tit hh βεαα 12

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En resumen, este primer enfoque sugiereque apliquemos un primer modelo en laserie original que bien podría ser linealcomo los ARIMA y si se comprueba laexistencia de Heterocedasticidad en losresiduos habría que aplicarles un modeloARCH/GARCH de un orden determinado,resultando un modelo final denominadoARIMA-ARCH, con lo que se lograríamodelar la media y la varianza condicional.

El segundo enfoque está basado en lateoría monetaria y la teoría financiera. Porsimples suposiciones, los portafolios deactivos financieros son tomados comofunciones de las medias y varianzasesperadas de los retornos.

Activos, tipo de cambio, tasa de interésentre otras variables son negociadas en losmercados de los valores, y la secuenciade los valores negociados de cada una deesas variables conforman una seriefinanciera.

Estas variables financieras presentancaracterísticas peculiares conocidas comoHechos Estilizados, por tanto para entendersu comportamiento, necesitamos contarcon un modelo que precisamente seacapaz de reproducir estas característicasademás que tenga en cuenta la necesidadde los inversionistas de predecir elcomportamiento en el futuro.

Para la implementación de estos modelosusualmente es fundamental conocer elvalor de una variable que no es observable:volatilidad, que podría ser definida dealguna manera como el grado devariabilidad que presentan los cambios deprecios, estos cambios en la teoríafinanciera son denominados retornos6 yque en los mercados es interpretada comouna medida de riesgo asociada a los

productos. Por tanto, al tratar estas seriesse estudiarán sus retornos.

Se sabe que las series financieras tienenconsiderable dispersión con relación a lamedia, observándose además que lamagnitud de tal dispersión tiene uncomportamiento variante, lo que hace quela volatilidad se convierta en una de lascaracterísticas peculiares de este tipo devariables.

Los Hechos Estilizados

Entre los principales hechos estilizadosencontrados en la literatura7 con referenciaa las series de retornos financieros talescomo tipo de cambio, activos, etc., seencuentran los siguientes:

No - normalidad: Mandelbrot (1963)probó que la distribución de los retornos(residuos) no era Normal.

Autocorrelación: Los retornos (residuos)nos son autocorrelacionados, pero loscuadrados de los residuos si lo están conuna pequeña autocorrelación de primerorden y una subsiguiente queda bastantelenta, en caso de los autoregresivos y uncomportamiento mixto en caso de losautoregresivos - media móvil.

6/ Se define retornos (Rt) como la diferencia de logaritmos natu-rales de una variable en un periodo determinado t, conrespecto al anterior:

Para mayor detalle del porqué su utilización, puede dirigirseal Anexo II.

7/ El lector puede consultar los artículos de Flavio A. Ziegelmanny Pedro L. Valls Pereira: Modelos de Volatilidad Estocásticacom Deformaçao Temporal: um estudio empírico para oíndice IBOVESPA y Rodrigo F. Aranda: Modelos de Volatilidad,Especificación, Estimación y Prueba de Hipótesis.

=

−1t

tt P

PLnR

· 21



No - independencia: Suponer normalidady no - correlación significa independencia,pero debido a la no - normalidad de lasseries financieras la suposición deindependencia no es válida.

No - linealidad: La autocorrelación en loscuadrados de los retornos (residuos)constituye una evidencia de carácter nolineal del proceso generador de losretornos.

Conglomerados de volatilidad: Estosignifica que grandes cambios en lasvariables tienden a ser seguidos porgrandes cambios, de cualquier signo,mientras que pequeños cambios en lasvariables tienden a ser seguidos porpequeños cambios de cualquier signo, conlo cual se probaría una vez mas más queel comportamiento de las variables estálejos de ser una normal.

Asimetría: Los retornos presentan uncomportamiento asimétrico ya que no secumple con el supuesto de normalidad.

Colas anchas: Si surgen valores extremos,ya sea positivos o negativos (o sea valoresextremos en los cuadrados), debido a laautocorrelación de los cuadrados, habríatendencia a que los próximos cuadradostambién sean extremos, originándose unexceso de estos extremos, esto es, colasanchas.

Entre los modelos que se ocupan decuantificar la volatilidad son conocidos comoModelos de Volatilidad donde destacaprecisamente el Modelo Autoregresivo deVarianza Condicional (ARCH)

Para su aplicación, el modelo original ARCHdeberá recoger las características de losretornos. Es decir se aplicará toda lametodología descrita anteriormente,directamente a los retornos.

(Cabe destacar que el enfoque que setome no implica que estas característicassolo se hayan cuando se trabaja conretornos, sino que si la variable presentalas características es precisamenteporque necesita de la aplicación de unmodelo de este tipo y por tanto seránecesario hacer un análisis exploratorioa las variables que se investigarán).

Estimación y contraste de losmodelos

Según el modelo de Regresión ARCH,la estimación del modelo dada lapresencia de Heterocedasticidadcondicional, mediante el estimadorclásico de Mínimos Cuadrados Ordinarios(MCO), no permite identif icar elproceso que gobierna la evolución de lavarianza por lo que el estimador deMáxima Verosimilitud que a diferenciadel MCO no es lineal, tiene mayorprecisión y por tanto es más confiable.

Para testar la especificación del modelo,se puede uti l izar el Contraste delMultiplicador de Lagrange (LM)8 dehomocedasticidad por el modelo ARCHu cualquier otra extensión. (Habría quetener cuidado con las conclusiones quese obtengan para el caso de lasextensiones).

Además, y esto es muy importante,habría que probar que los parámetros entotal deben sumar una cantidad menorque la unidad ya que sino tendríaproblemas de falta de especificación ode series sumamente explosivas envarianzas, (que va más allá de queconcluir que la serie no es estacionaria).

8/ El Test del Multiplicador de Lagrange LM se basa en lasiguiente hipótesis:Ho: No existe heterocedasticidad en los residuos (o retornos)H1: Existe heterocedasticidad en los residuos (o retornos)

22 ·



Para probar la normalidad del proceso ruidoblanco, se puede recurrir a su valoraciónen términos estandarizados de laestimación, se puede realizar una regresión

de sobre una constante y lasestimaciones de la varianza. La R2 puedeservir como una medida de la bondad delajuste logrado.

En el caso que se tengan dos o másposibles modelos se utilizarán criterioscomo el de Akaike y el de Schwartz para

tY2

CONTRASTE MÉTODO

Especificación Homocedasticidad Multiplicador de Lagrange

ARCH(q) ⇒ T . R2

Normalidad de tε Contraste de normalidad sobre tεestandarizada con la varianzaestimada.

Insesgadez

Pagan y Swert (1990)

Regresión:

tttY εσβα ++= 22 ˆ

Bondad de Ajuste R2 de la regresión anterior.

Autocorrelación Ljung - Box

Contraste y Validación (*)

(*) Según Ruiz E. (1993): Modelos para series temporales heterocedásticas. Cuadernos Económicos ICE, 56,

Pgs: 73-108

elegir el modelo óptimo, además de otrosestadísticos referidos al error que seincurre si se ajustara el modelo elegido.

· 23



IV. HIPÓTESIS

4.1 PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS

- Los modelos ARCH, proporcionanmejores resultados que los ARIMA almodelar las variables IPC y Cotizacióndiaria del dólar.

- Cuando las variables en estudiopresentan ciertas características comocomportamientos bruscos y cambiantesen periodos cortos de tiempo, varianzano constante, asimetría en sudistribución, no linealidad, entre otroshechos estilizados, es preferible aplicarlos Modelos ARCH.

- Cuando las variables en estudio (ovariables transformadas), cumplen consupuestos de homocedasticidad, espreferible aplicar modelos linealescomo los ARIMA.

4.2 OPERACIONALIZACIÓN DE LASHIPÓTESIS

Se analizará el comportamiento de las dosvariables en estudio, aplicando ambosmodelos ARCH y ARIMA, mediante laaplicación de software econométrico yestadístico que permitirá en primerainstancia, realizar un análisis exploratoriocompleto de las variables, luego verificarlos supuestos básicos y analizar quésucedería si se aplicara uno u otro modelo.

Se identificará la presencia de los hechosestilizados en cada una de suspresentaciones, interpretando su origeny sus posibles efectos.

Se procederá a la fase de estimación,obteniendo valores estimados para losparámetros, calculando los estadísticos delos estimadores y de los residuos, enambos modelos.

Luego se procederá a la fase de validaciónde ambos modelos, verificando si losmodelos ajustados son los adecuados encomparación a otros posibles modelos (delmismo tipo pero distinto orden)

El siguiente paso será predecir elcomportamiento futuro de las variablesinvestigadas al aplicar ambos modelos,interpretando los resultados obtenidos.Estas dos últimas fases serán claves parala comparación entre los dos modelos,mediante criterios tanto estadísticos comoeconométricos lo que permitirá establecerconclusiones que nos conllevarán a laprueba de las hipótesis planteadas.

Para una mejor presentación y evitaralgunas confusiones, estos procesos seejecutarán en primera instancia para losmodelos ARIMA y luego para los modelosARCH, dejando al final las conclusionesextraídas de la comparación.

24 ·



· 25



V. MÉTODOS

5.1 MÉTODO DE INVESTIGACIÓN

Dentro de la teoría de optimización,nuestra investigación se basará primero enla observación, de la variable Índice dePrecios al Consumidor en el periodo1952 - 2001 y la Cotización diaria del dólaramericano en el periodo 1998 - 2001,pues esto nos permite identificar lasprincipales características delcomportamiento de las variables que seestudiarán, relacionando nuestro MarcoTeórico y los objetivos planteados.

En segundo término, la investigación sebasará en la inducción debido a que,partiendo de la observación de fenómenoscaracterísticos denominados hechosestilizados u otros fenómenos y, mediantela comparación se podrán establecerconclusiones que podrán serán de utilidadpara explicar otros fenómenos.

Y en tercera instancia, se utilizará ladeducción para construir el de variablesque podrán ser modelizables bajo uno uotro modelo, definiendo pautas para suelección.

Fuentes y técnicas para recolección deinformación

Nuestra principal fuente de informaciónes la base de datos conteniendo las dosvariables seleccionadas para lainvestigación, que será proporcionada porla Dirección Técnica de IndicadoresEconómicos del INEI, la cual será depuradadebidamente. Además se hará uso defuentes secundarias como bibliografías,

papers, que se obtendrá mediante la visitaa bibliotecas especializadas y a través deInternet, se contará con asesorías en eltema que ayudarán a ampliar y mejorar lametodología aplicada.

Tratamiento de la Información

Como se citó anteriormente, se depuraráy estandarizará la base de datos comoprimer paso.Luego, se procederá a la aplicación tantode técnicas estadísticas comoeconométricas.

Las técnicas estadísticas, permitiránrealizar primeramente, un análisisexploratorio como un control de calidadprevio, luego se procederá a construiralgunos estadísticos y tabulados comoproceso descriptivo. Se utilizarán estastécnicas como herramientas de mayorutilidad al momento de interpretar losresultados y el análisis de la significaciónde los parámetros y la confiabilidad de losintervalos de confianza.

Las técnicas econométricas, nosproporcionarán modelos que se aplicaránen la investigación con sus respectivostests que confirmarán la presencia oausencia de características importantes delas series en estudio y del cumplimientode los respectivos supuestos.

Cada una de estas técnicas estaránapoyadas por un análisis gráfico quepermitirá al usuario, tener una idea másclara del propósito de esta investigación yde los resultados que se puedan obtener.

26 ·



· 27



VI. MEDICIÓN, ANÁLISIS Y RESULTADOS

De acuerdo a los objetivos y a laoperacionalización de las hipótesis acontrastar, se presentará a continuación elanálisis de la modelización de las variablescon ambos modelos (ARIMA en primerainstancia y luego ARCH).9

6.1 AJUSTE DEL MODELO ARIMA ALAS VARIABLES IPC YCOTIZACIÓN DEL DÓLAR

6.1.1 Aplicación a la variable: Inflaciónmensual: 1952 - 2001

El primer paso para cualquier análisis es elanálisis de la serie en su forma original, esdecir, como paso primero analizaremos elgráfico original de la serie. Veamos:Como se puede observar en el gráficooriginal de la serie, en los meses de las

décadas del 50 al 80, en un mismo añobase10, hubo una marcada esta-cionariedad, es decir, no existieroncambios significativos, pero es clara laperturbación que significó el cambio degobierno del 85 al 90, donde hubo unahiperinflación que "desestabilizó" laeconomía para luego tornarse aún másconstante en los últ imos años. Esimportante resaltar que estos datos hacenque si no se ajusta un modelo adecuadose tenderá a sobrestimar los parámetrosy nos conllevará a conclusioneserróneas.

Una vez analizado el gráfico de la serieoriginal, sigamos ahora sí el esquema demodelización propuesta por Box yJenkins:

Gráfico Nº1

Inflación mensual: 1952:2001

-100

0

100

200

300

400

500

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

INFLACION

9/ En esta sección sólo se consideraran los cuadros y gráficos más importantes, los demás podrían ser reproducidos por el lector.10/Para ver cómo se ha procedido para estandarizar la base de datos a un mismo año base, así como una breve descripción de la

variable, puede ver el Anexo II.

28 ·



a) Análisis de la estacionariedad

Figura Nº1

Función de autocorrelación: Inflación mensual: 1952:2001

Es de suma importancia en la aplicaciónde la teoría de Box y Jenkins, probar elcumplimiento de los supuestos básicospara modelizar una serie de tiempo, comola estacionariedad (por lo menos en sentidodébil o amplio). Para su detección, existendiversos instrumentos básicamenteestadísticos y gráficos.

Entre las pruebas gráficas, contamos conlas funciones de autocorrelación simple yparcial (f.a.s. y f.a.p. respectivamente). Lafigura 1, nos muestra una posible noestacionariedad (debido a que la caída esun tanto lenta en la f.a.s. en tanto que enla f.a.p., existen varios valores deautocorrelación fuera de las bandas deconfianza). (Algunos autores proponen quepara contar con estacionariedad, el númerode autocorrelaciones que caen fuera delas bandas no puede superar a 3). En todocaso la decisión se tomaría después deprobar mediante la utilización de pruebasestadísticas.

En cuanto a las pruebas estadísticas, secuenta con el estadístico Q de Box y Piercey el Test de raíces unitarias de Dickey yFuller aumentado.

Tal como se puede observar en la figura2, el Test de Dickey y Fuller aumentado,permite rechazar al 5% de nivel designificancia, la hipótesis nula de presenciade raíces unitarias, que nos conlleva aconcluir que la serie de la variaciónmensual del IPC (o inflación) esestacionaria.Se demuestra que no existen problemasde raíces unitarias, pero, para un análisismás detallado, es necesario distinguir lasraíces unitarias de los quiebresestructurales.11

11/Perron y Rappoport y Reichlin concordaban en la hipótesisde que eventos como esta crisis inflacionaria se deben aquiebres estructurales, que podría ser motivo de otro estudioy probar para el caso de las variables peruanas.

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Figura Nº2

Test de Dickey y Fuller Aumentado.Inflación mensual: 1952 - 2001

Una vez que ya contamos con una seriede tiempo estacionaria12 podemos dar elsiguiente paso que es la identificación delmodelo, la cual se presenta a continuación:

b) Identificación del modelo

Trabajando ya con la serie de variaciónmensual o inflación y obteniendo lasfunciones de autocorrelación simple yparcial, mostradas en el gráfico 1, se puedeobservar el decaimiento lento, tanto en lafunción de autocorrelación simple comoen la parcial, lo que nos haría pensar enun modelo mixto ARMA de primer orden

o de algún orden mayor, (podríaconsiderarse hasta un orden máximo dep=4 y q=4).

De acuerdo con esto la fase deidentificación culminaría con la eleccióndel mejor modelo, por tanto, cabría lanecesidad de probar todos los posiblesmodelos mixtos, tipo ARMA(p,q).

12/Hasta ahora solo estamos tratando la estacionariedad enmedia, la estacionariedad en varianza aun no ha sido tratadaen esta sección.

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Cuadro Nº1

Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARIMAInflación mensual: 1952 - 2001

El cuadro 1 muestra los resultadosobtenidos al modelar la serie para valoresde p=2 y q=2 (para valores mayores seobtuvieron parámetros no significativos).

Para elegir el mejor modelo, se hanpropuesto otros criterios a partir delenfoque Bayesiano, de los cuales los másutilizados son el criterio de Akaike (1974)y el de Schwarz (1978), ambos se basanen la elección del mejor modelo como elque presenta menor varianza residual deentre aquellos modelos con igual númerode parámetros13 (entonces no habríanproblemas para nuestro caso)14.

Por tanto, por todo lo descritoanteriormente, el modelo óptimo que seajusta al comportamiento de la serie seríael proceso mixto de primer orden

Modelo Parámetros Coeficientes Significación EstadísticosR2 Ajust. 0.164427SCReg 16.64616AR(1) 0.970437 0.0000SCE 165148.4AIC 8.465575Schwarz 8.480269

ARMA(1,1)

MA(1) -0.845188 0.0000D-W 1.898738R2 Ajust. 0.166114

AR(1) 1.049218 0.0000SCReg 16.64273SCE 164526.3

AR(2) -0.071749 0.1379AIC 8.466836Schwarz 8.488906

ARMA(2,1)

MA(1) -0.873478 0.0000D-W 2.000057R2 Ajust. 0.166137

AR(1) 0.975347 0.0000SCReg 16.62911SCE 164533.8

MA(1) -0.800356 0.0000AIC 8.465191Schwarz 8.487232

ARMA(1,2)

MA(2) -0.061820 0.1430D-W 1.998828

AR(1) -0.019688 0.5340 R2 Ajust. 0.162889

SCReg 16.67488AR(2) 0.961664 0.0000SCE 164884.4

AIC 8.472361MA(1) 0.1500065 0.0001

Schwarz 8.501788

ARMA(2,2)

MA(2) -0.884246 0.0000 D-W 1.906395

ARMA(1,1), el cual no considera laconstante por no ser esta significante (seestá considerando un nivel de confianzadel 95% aún cuando esta serie presentadatos discordantes que ocultan osobrestiman al modelo).15 Además es estemodelo el que mejores ajustes presenta,considerando criterios como el Test deDurbin Watson, los errores y el grado deajuste.

13/Se debe tener en cuenta que este criterio es un tantodesventajoso en el caso de procesos AR ya que tiende a lasobreparametrización.

14/La principal diferencia entre estos dos criterios, es que elcriterio de Schwarz supone una mayor penalización a laintroducción de nuevos parámetros, en ambos la utilidad semanifiesta cuando se comparan los valores obtenidos enmodelos alternativos.

15/Se probó para ordenes mayores de cada uno de los procesospero resultaron no significativos o con un valor de estadísticoAIC y Schwarz mayor a los que se presentan en el cuadro 1.

· 31



c) Estimación del modelo identificado

Cuando se identificó el modelo incurrimosnecesariamente en la estimación delmismo, por lo que este paso ya está dado

y los resultados obtenidos con los cualesse construyó el cuadro de resumenanterior fueron obtenidos de las salidasdel paquete econométrico. Presentamosla salida solo para el modelo óptimo.

Por tanto, el modelo estimado sería:

d) Validación del modelo

Como mencionamos en el marco teórico,todo modelo que tiene como objetivoprincipal predecir el comportamiento futurode la serie de tiempo, debe ser validado.

Existen diferentes maneras de validar unmodelo, las más conocidas son: los residuosdel modelo estimado tienen uncomportamiento aproximado al del ruidoblanco (es decir que su función deautocorrelación simple y parcial debenpresentar valores cercanos a cero), ademásque su distribución debe tender a una

Figura Nº3

Estimación del modelo óptimoInflación mensual: 1952 - 2001

11 845188.0970437.0 −− += ttt INFINF ε

normal, el modelo estimado es estacionarioo invertible, los coeficientes sonestadísticamente significativos y el grado debondad de ajuste es mayor comparado conotros modelos. Aun más importante y el quenos permitirá concluir que el modeloajustado es bueno, es probar su calidad obondad de ajuste mediante el cálculo delerror al que se incurre si pronosticamos yluego comparamos con los valores originalesen un periodo determinado.

Para nuestro modelo, a medida que fuimosavanzando según el esquema, hemospodido notar que éste ha cumplido con casitodos los supuestos, faltando verificar si losresiduos tienen un comportamiento aleatorio,además del cumplimiento de ciertas hipótesisen las que se basan algunos Tests quedescribiremos luego.

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Analizando la figura 4, se puede decir quelos residuos siguen un comportamientoaleatorio, ya que los valores de lascorrelaciones están dentro de las bandas,además los valores de significación delestadístico Q son mayores que el nivel designificación necesario para no rechazar lahipótesis de que los errores siguen uncomportamiento ruido blanco.

Los gráficos 2 y 3 nos muestran que aúncuando se ha elegido el modelo óptimo ylos residuos siguen un comportamiento

aleatorio, no se logra cumplir con elsupuesto de normalidad de los residuos.El histograma nos muestra una distribuciónleptocúrtica (con una curtosis mayor que3), el estadístico de Jarque Bera tiene unp - valor menor que el 0.05 de significanciaque rechaza la hipótesis de normalidad enlos residuos y por último el gráfico decuantiles nos muestra la ausencia denormalidad al no tener un comportamientolineal como se espera cuando los residuossiguen un comportamiento normal.

Figura Nº4

Función de autocorrelación de los erroresModelo ARMA(1,1)

Inflación mensual 1952 - 2001

Gráfico Nº2

Histograma, Estadísticos y Prueba de Normalidad de los residuosInflación mensual: 1952 - 2001

0

100

200

300

400

-50 0 50 100 150 200 250 300 350

Series: ResidualsSample 1952:03 2001:12Observations 598

Mean 0.836041Median 0.078291Maximum 366.2088Minimum -61.96174Std. Dev. 16.61115Skewness 17.99843Kurtosis 395.8875

Jarque-Bera 3878437.Probability 0.000000

16/ Estos resultados son válidos desde las bases de un modelo lineal.

· 33



Por último, veamos los resultados que seobtienen al ajustar el modelo en elperiodo 2001:01 - 2001:12, con el fin decontrastar los resultados al compararlos con

la serie original mediante el errorcuadrático medio, el error medio absolutoentre otros.

Gráfico Nº3Gráfico de cuantiles para normalidad de los residuos

Inflación mensual: 1952 - 2001

-4

-2

0

2

4

-1 0 1 2 3 4

R E S ID U O S

Cu

an

til No

rma

l

Gráfico Nº4Pronóstico con el modelo ARMA(1,1)Inflación mensual: 2001:01 - 2001:12

11 845188.0970437.0 −− += ttt INFINF ε

La magnitud del error que se produce alajustar el modelo estimado es bastantepequeña lo que sugeriría que está captandobien su comportamiento.

e) Predicción con el modelo estimado

Ahora presentaremos el pronóstico parala variación porcentual del IPC un año

hacia delante, es decir para el periodo2002:01 2002:6

La ecuación de pronóstico es el siguiente:

-40

-20

0

20

40

01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

PRONOSTVALID ± 2 S.E.

Forecast: PRONOSTVALIDActual: INFLACForecast sample: 2001:01 2001:Included observations: 12

Root Mean Squared Error 0.334270Mean Absolute Error 0.256489Mean Abs. Percent Error 210.7970Theil Inequality Coefficient 0.712701 Bias Proportion 0.368874 Variance Proportion 0.582280 Covariance Proportion 0.048846

34 ·



Tal como se puede observar en los gráficos5 y 5.117, el comportamiento de lainflación en los 6 primeros meses tienealgunas ligeras bajas y subidas pero queno se espera que haya un fenómenoatípico, es decir, su comportamiento semantendrá constante con respecto a losúltimos meses del 2001.

El error de predicción en promedio alaplicar el modelo ARIMA en la inflación

Gráfico Nº5

Predicción con el modelo ajustado ARMA(1,1)Enero 2002 - Junio 2002

(Método: Dinámico)

-40

-20

0

20

40

02:01 02:02 02:03 02:04 02:05 02:06

INFLACIONF ± 2 S.E.

Forecast: INFLACIONFActual: INFLACIONForecast sample: 2002:01 2002:Included observations: 6


Enero -0.02737

Febrero -0.02655

Marzo -0.02577

Abril -0.02501

Mayo -0.02427

Junio -0.02356

Valores predecidos para laInflación 2002:01 - 2002:06

Gráfico Nº5.1

Predicción con el modelo ajustado ARMA(1,1)Enero 2002 - Junio 2002

(Método: Estático)

mensual produjo una magnitud para elerror dado por la raíz del cuadrado mediodel error de 0.45.18

Forecast: INFLACIONFSActual: INFLACIONForecast sample: 2002:01 2002:Included observations: 6


-40

-20

0

20

40

02:01 02:02 02:03 02:04 02:05

INFLACIONFS ± 2 S.E.

Enero -0.02737

Febrero -0.08826

Marzo -0.07961

Abril 0.00035

Mayo 0.091729

Junio 0.095063

Valores predecidos para laInflación 2002:01 - 2002:06

17/E Views 3.1 proporciona dos tipos de pronóstico, el dinámicoque es multi - periodos adelante y el estático que realizapronósticos un paso adelante.

18/ Las predicciones se realizaron en los primeros 6 meses del2002, que no fueron considerados para las fases deidentificación, estimación y validación.

· 35



6.1.2 Aplicación a la variable Cotización diaria del dólar:1998 - 200119

El gráfico 6 nos muestra que, durante elperiodo de 1998 a 1999, el dólarexperimentó una subida con respecto a lamoneda nacional, para luego tener uncomportamiento de alzas y bajas hasta quea finales del año 2000 presentó su mayoralza llegando a 3.65 nuevos soles por dólar,en series de tiempo, este comportamientoes propio de series que no tienen uncomportamiento estacionario en media yun tanto en varianza (se puede notar unaclara tendencia), el cual sería necesariopase por una prueba de estacionariedadcomo primer paso.

La figura 5, nos presenta la función deautocorrelación simple y parcial para la

Gráfico Nº6

Cotización diaria del dólar 1998 - 2001

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

200 400 600 800 1000

COTIZACI

serie, en la cual se puede notar claramentesu comportamiento no estacionario ya queninguno de las autocorrelaciones caendentro de la banda y no existe algunacaída, por tanto esto debería verificarsecon la prueba de raíces unitarias de Dickeyy Fuller20 que se presenta en la figura 6,en la que se comprueba que la serie decotización del dólar no tiene uncomportamiento estacionario.

a) Análisis de la serie original

19/El análisis ya no será con detalle de cada uno de losestadísticos como en el caso del IPC. En el Anexo II, se dauna breve reseña acerca de la variable.

20/En la prueba se incluyó la tendencia y el intercepto, en baseal análisis de la serie.

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De acuerdo a los resultados obtenidosde ambas pruebas estadísticas ygráficas, podemos plantear unatransformación que es la de

Figura Nº5

Función de autocorrelaciónCotización diaria del dólar 1998 - 2001

Figura Nº6

Test de Dickey y Fuller AumentadoCotización diaria del dólar 1998 - 2001

diferencias21, obteniendo los resultadosque se muestran a continuación:

21/Se realizó el proceso de modelización trasformando la seriecon logaritmos, pero no dio resultados positivos.

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En primera instancia el gráfico de la seriediferenciada (Ver gráfico 7) nos muestraun comportamiento estacionario enmedia, (Que podría ser verificada alobservar la función de autocorrelaciónmostrada en la figura 7 y probada a travésdel Test de Dickey y Fuller, mostrado enla figura 8), pero que no podría decirse lo

mismo para el caso de la varianza, esto sedebe a (1) la periodicidad de lasobservaciones, (2) Las variaciones de lascotizaciones, en algunos casos confluctuaciones mayores que en otras; estopodría influenciar en la estabilidad de laserie y en todo lo que implica suestimación y por tanto su predicción.

Gráfico Nº7

Serie diferenciada (d=1)Cotización diaria del dólar 1998 - 2001

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

200 400 600 800 1000

DCOTIZACION

Figura Nº7

Función de autocorrelación serie diferenciada (d=1)Cotización diaria del dólar 1998 - 2001

38 ·



b) Identificación del modelo

Trabajando ya con la serie diferenciada yobservando el correlograma mostrado en lafigura 7, podemos identificar los siguientes

Figura Nº8

Test de Dickey y Fuller AumentadoCotización diaria del dólar 1998 - 2001 (d=1)

Cuadro Nº2

Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARIMA.Cotización diaria del dólar 1998 - 2001

procesos: AR(1), MA(1) y ARMA(1,1),delos cuales debe elegirse el mejor. Losresultados se muestran a continuación:

Modelo Parámetros Coeficientes Significación EstadísticosR2 Ajust. 0.022974SCReg 0.007406C 0.000717 0.0095SCE 0.054688

AIC -6.970981

Schwarz -6.961157

AR(1)

AR(1) 0.151571 0.0000D-W 1.989898

R2 Ajust. 0.024092

SCReg 0.007398C 0.000718 0.0082SCE 0.054626

AIC -6.973119

Schwarz -6.963304

MA(1)

MA(1) 0.159193 0.0000D-W 2.004063

R2 Ajust. 0.0024267C 0.000718 0.0008

SCReg 0.007405

SCE 0.054616AR(1) -0.088761 0.6516

AIC -6.970303

Schwarz -6.955568

ARMA(1,1)

MA(1) 0.245852 0.1989D-W 1.999571

· 39



Según los resultados mostrados en el cuadro2, podemos desechar la posibilidad de unmodelo mixto (sus coeficientes no sonsignificativos), concluyendo que la variablecotización diaria del dólar en el periodo deestudio, puede haber sido generado a travésde un proceso MA(1) (que aplicado a la seriediferenciada sería: ARIMA(0,1,1)

c) Estimación del modelo

Después de haber identificado el procesogenerador de la serie en estudio y deacuerdo a los resultados del cuadro 2, ésteestá denotado por:

,para la serie en diferencias y,

,

para la serie original.

d) Validación del modelo

Se puede observar en la función deautocorrelación de la figura 9 que losresiduos caen dentro de la banda deconfianza, el estadístico Q nos muestra queno existe evidencia para afirmar que existacorrelación entre los errores, además susvalores no son significativos al 95 % deconfianza (p- valores mayores que 0.05)1159193.0000718.0 −−= ttDCotizc ε

=tCotizc

11 15919.0000718.0 −− −+ ttCotizc ε

Figura Nº9

Función de autocorrelación de los residuosCotización diaria del dólar (d=1)

40 ·



El histograma presentado en el gráfico 8,nos muestra claramente que la distribuciónde los errores no sigue un comportamientonormal (su distribución es leptocúrtica conuna curtosis mayor que 3), además el Testde normalidad de Jarque Bera no nos da

Gráfico Nº8

Histograma, estadísticos y prueba de normalidad de los residuosCotización diaria del dólar (d=1) 1998 - 2001

0

100

200

300

400

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

Series: RESIDUOSSample 2 1001Observations 1000

Mean -4.70E-08Median -0.000256Maximum 0.046821Minimum -0.058901Std. Dev. 0.007395Skewness -0.367513Kurtosis 10.24678

Jarque-Bera 2210.671Probability 0.000000

evidencia para afirmar lo contrario, por otraparte y para fortalecer esta afirmación elgráfico de distribución mostrado en elgráfico 9 dado su comportamiento nolineal que los errores no son normales.22

Gráfico Nº9

Gráfico de cuantiles para normalidad de los residuosCotización diaria del dólar (d=1)

-4

-2

0

2

4

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

RESIDUOS

Nor

mal

Qua

ntile

Lo que se muestra a continuación, es elpronóstico para los retornos de lacotización del dólar para los últimos días

de Diciembre, para validarlo según losestadísticos que presente.

22/ Note que el gráfico de normalidad si bien no es completamentelineal, tiene un comportamiento parecido, esto podría debersea los datos discordantes de la serie.

· 41



El ajuste del modelo mostrado en el gráfico10, es bastante bueno, porque cuenta conun error mínimo. La proporción de Biasnos muestra que la media del pronósticoestá bastante cerca de la media de la serie

original, al igual que la proporción devarianzas con respecto a la variación.

e) Predicción con el modelo ajustado

Gráfico Nº10

Pronóstico con el modelo ARIMA(0,1,1)Cotización diaria del dólar (Ultimos días de Diciembre)

3.36

3.38

3.40

3.42

3.44

3.46

3.48

3.50

990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 10001001

RETORNVALID ± 2 S.E.

Forecast: RETORNVALIDActual: COTIZACIONForecast sample: 990 1001Included observations: 12


Gráfico Nº11

Predicción con el modelo ARIMA(0,1,1)Cotización diaria del dólar. Enero 2002

(Método Dinámico)

3.35

3.40

3.45

3.50

3.55

10021004 10061008 10101012 1014 10161018 1020 10221024

COTIZACIONF ± 2 S.E.

Forecast: COTIZACIONFActual: COTIZACIONForecast sample: 1002 1024Included observations: 23


42 ·



Tal como se puede apreciar en las figuras11y 11.5, la cotización del dólar semantendrá constante los primeros días,para luego sufrir una ligera subida.

Gráfico Nº11.5

Predicción con el modelo ARIMA(0,1,1)Cotización diaria del dólar. Enero 2002

(Método Estático)

3.42

3.44

3.46

3.48

3.50

100210041006100810101012101410161018102010221024

COTIZACIONFS ± 2 S.E.

Forecast: COTIZACIONFSActual: COTIZACIONForecast sample: 1002 1024Included observations: 23


02-01 3.44385 17-01 3.46076

03-01 3.44111 18-01 3.45578

04-01 3.43981 21-01 3.45953

07-01 3.44236 22-01 3.46066

08-01 3.44368 23-01 3.46222

09-01 3.44638 24-01 3.46079

10-01 3.45758 25-01 3.46103

11-01 3.48020 28-01 3.46332

14-01 3.47588 29-01 3.46644

15-01 3.47019 30-01 3.46544

16-01 3.45540 31-01 3.47427

Valores predecidos para laCotización diaria del dólar Enero

2002

El error de predicción medida por la raízdel cuadrado medio del error es enpromedio de 0.04.

· 43



6.2 AJUSTE DEL MODELO ARCH ALAS VARIABLES IPC YCOTIZACIÓN DEL DÓLAR

6.2.1 Aplicación a la variable: Inflaciónmensual: 1952 - 2001

6.2.1.1 Identificación de los HechosEstilizados

Tal como se vio en el marco teórico,existe un conjunto de característicaspeculiares en el comportamiento dedeterminadas variables macroeconómicas, sobretodo las variablesfinancieras.

Estas características denominadas hechosestilizados, son identificadas mediantealgunos gráficos conocidos como elhistograma, la función de autocorrelación yel gráfico de líneas, además de algunosgráficos no muy difundidos como el desimetría y de varianzas recursivas.23

Se identificarán las siguientes: Noestacionariedad, Colas anchas, Asimetría,Conglomerados de Volatilidad, Auto-correlación, ausencia de normalidad, ausenciade independencia y ausencia de linealidad,mediante los gráficos y procedimientos segúnla tabla de correspondencia que se presentaa continuación:

Cuadro Nº3

Cuadro de correspondencia: Hechos estilizados - Gráfico/procedimiento a utilizar

En el caso de la inflación, se trataránlos residuos de acuerdo al primerenfoque, es decir, se tratarán con losresiduos del modelo ajustadoARMA(1,1).

No detallaremos cada una de estascaracterísticas, pero si las identificaremoscon una interpretación concisa (primero se

mostrarán los gráficos y luego un cuadro deinterpretaciones). Veamos:

22/Estos procedimientos serán detallados en el anexometodológico, con el ánimo de que el lector pueda reproducirlos resultados e implementarlos en posteriores análisis. Elprocedimiento de varianzas recursivas y otros Tests seránpresentados para el estudio de la variable cotización diariadel dólar, por razones que luego daremos.

24/También se podría analizar el gráfico original.25/Se puede medir mediante un índice denominado: "Indice de

colas".

Gráficoresiduos

cuadrados24

Histogramade los

residuos

Función deautocorrelación

residuos cuadrado.

Gráfico desimetría

VarianzaRecursiva

No estacionariedad X

Colas anchas25

X

Asimetría X

Conglomerados devolatilidad

X

Autocorrelación X

NoNormalidad

X

NoIndependencia

X X

NoLinealidad

X

HeterocedasticidadX

44 ·



Interpretación de los HechosEstilizados

En el caso de la serie Inflación mensual,de acuerdo al gráfico 2 que muestra elhistograma y el Test de normalidad deJarque Bera, podemos concluir que estaserie no es normal, teniendo en cuenta

Figura Nº10

Función de autocorrelación de los residuos al cuadrado.Inflación mensual: 1952-2001

UI

.04.03.02.010.00-.01

VI

5

4

3

2

1

0

-10

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

RESIDCUADRAD

que este comportamiento estabafuertemente influenciado por los valoresdiscordantes del periodo 1986 - 1991.

Una consecuencia de la no - normalidades que si no cumple con este supuesto sudistribución tenderá a tener colas anchas,como puede apreciarse en el histograma.

Gráfico Nº12

Simetría: Inflación 1952 � 2001

Gráfico Nº13

Residuos al cuadradoInflación 1952:2001Gráfico de simetría (Inflación 1952:2001)

· 45



El gráfico de simetría (Ver gráfico 12) nosmuestra claramente un comportamientoasimétrico en la distribución, que comose detalla en el anexo metodológico tieneun comportamiento no esperado, es decir,los puntos (ui, vi) no están sobre una línearecta que pasa por el origen.

Los conglomerados de volatilidad (Vergráfico 13) no son visibles a primera vista,solo en los casos del periodo donde existióhiperinflación, este gráfico no es más queun reflejo del gráfico de la serie originalde residuos.

Si observamos la figura 10 la cual nosmuestra la función de autocorrelación delos residuos al cuadrado, nos muestraclaramente que éstos no estánautocorrelacionados y esto solo nos podíaindicar una cosa: el modelo ajustado estádando resultados satisfactorios.

Esta afirmación corrobora que la variableen estudio podría tratarse con resultadosfavorables mediante la aplicación de algúnmodelo lineal.

Por último, al no confirmar uncomportamiento normal, estamosrechazando la hipótesis de independenciaen los residuos del modelo ajustado. Estopodría resultar contradictorio con laafirmación anterior donde probamos quelos residuos no están correlacionados, peroes importante tener en cuenta que desdeel rigor estadístico, independencia es unaidea general que engloba la no -correlación.

6.2.1.2 Aplicación del modelo ARCH

Como se vio, esta variable presentaalgunos hechos estilizados, motivo parapensar en la aplicación de un modelo nolineal, pero habría que probar susuficiencia ya que la teoría nos presentaun ARCH desde su primer enfoque,aplicado a los errores de estimación, esdecir que éste será necesario (cuando elobjetivo principal es la predicción), si esque los errores presentanheterocedasticidad (la varianza de loserrores no es constante en el tiempo), portanto, el primer paso es probar la noestacionariedad en varianza de los residuosobtenidos al ajustar la serie mediante unmodelo ARMA(1,1).

La figura 11, nos presenta los resultadosdel Test LM ARCH, donde la hipótesis nulaplantea la no presencia deheterocedasticidad en los residuales.Estos resultados no nos muestranevidencia de rechazar la hipótesis nula,por tanto esto me podría dar la idea de lainnecesariedad de aplicar de modelos nolineales, en caso de que como dijimos elobjetivo fuera predecir, pero por un aporteque haremos más adelante26 es necesarioaplicar el modelo ARCH. Podría darse elcaso de que los resultados mejoren aunmás o que se obtenga un modelo muypor debajo de las expectativas.

26/ Además es necesario para probar nuestras hipótesis planteadasen las primeras secciones

46 ·



La modelización ARCH, sigue un esquemasimilar que en el caso de los ARIMA, esdecir que irá desde una identificación del

Figura Nº11

Test LM ARCH de HomocedasticidadResiduos del modelo ajustado

ARMA(1,1)Inflación mensual: 1952 - 2001

Cuadro Nº4

Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARCH a los residuos.Inflación mensual 1952:2001

Modelo Parámetros Coeficientes Significación EstadísticosR2 Ajust. -0.517926AR(1)

MA (1)0.9530520.124264

0.00000.0000 SC. Reg 22.43608

SCE 299006.5Ecuación de varianzaAIC 4.695477

C 2.369672 0.0000 Schwarz 4.724866

ARMA(1,1)ARCH(1)

ARCH (1) 3.114776 0.0000 D-W 3.054299AR (1)MA(1)

0.8719370.500161

0.00000.0000

R2 Ajust. -1.418489

Ecuación de varianza SC. Reg. 28.32004

C 21.52482 0.0000 SCE 475600.6ARCH (1) 1.712056 0.0000 AIC 5.767966

Schwarz 5.804702

MA(1)GARCH(1,1)

GARCH (1) -0.19406 0.0000D-W

modelo óptimo, su estimación, su validacióny por último su predicción.

a) Identificación del modelo

Para la identificación del orden del modeloautoregresivo condicional, necesitamoscontar con la función de autocorrelación perode los residuos al cuadrado, ya que comose mencionó en el marco teórico, ha sidoprobado que los residuos al cuadrado de unmodelo ARCH/GARCH tienen uncomportamiento propio de los ARIMA, portanto la identificación del orden se basaráen los resultados que muestra elcorrelograma.

La figura 10 nos permite observar quecuando el nivel de confianza disminuye, loserrores podrían seguir un comportamientomixto de primer orden, es decir debemoselegir el mejor entre un grupo de modelos:ARMA(1,1) con ecuaciones de varianzaARCH(1) y GARCH(1,1).

De los resultados obtenidos (Ver cuadro 4),y según los criterios de Schwarz y el AIC,además de la marcada diferencia en cuanto

a la suma de los cuadrados de los residuos,el modelo elegido para modelar la varianzade los residuos es: ARCH(1).

· 47



b) Estimación del modelo

El modelo estimado es el siguiente:

(Proceso Mixto de primer orden: ARMA(1,1))

(Ecuación de Vza. error Proceso ARCH(1)

c) Validación del modelo

Un modelo válido será aquel que en primera,cumpla los supuestos y que sea el que mejorse ajuste entre todos los modelos posibles.

El comportamiento de sus residuos, los Testpara probar los supuestos, son los aspectosque se tendrán que analizar, además delpronóstico de los últimos años que alcomparar con la serie original nosproporcionará una magnitud del error, el cualdeberá ser analizado.

tTtt INFINF µε +−= −− 11 124264.0953052.0

21

2 114776.3369672.2 −+= ttµσ ε

Figura Nº12

Función de autocorrelación de los residuosModelo ajustado: ARMA(1,1)ARCH(1)

0

50

100

150

200

250

-2 0 2 4 6 8

Series: Standardized ResidualsSample 1952:03 2001:12Observations 598



Gráfico Nº14

Histograma, Estadísticos y prueba de Normalidad: ResiduosModelo ajustado: ARMA(1,1) ARCH(1)

48 ·



Los resultados que se muestran, nos indicanque los residuos siguen un comportamientoaleatorio, en sus primeros valores27 (Verfigura 12), pero el supuesto de normalidad(El Test de Jarque Bera es rechazado). Vergráfico 14 aun no puede ser probado y esque los valores discordantes aun estáninfluenciando en las estimaciones.

¿Y qué pasó con el supuesto dehomocedasticidad de los residuos?

La figura 13 muestra que el modeloARCH aplicado con el objetivo demodelar la varianza de los residuos, hatenido éxito, ya que se ha eliminado casien su totalidad el efecto de correlaciónentre los residuos. (Como en todos loscasos, el valor de la autocorrelación 25,que representa a los periodos dehiperinflación presenta un valor designificación más alto que los demás, peroque no es significativo).

Figura Nº13

Función de autocorrelación de los residuos al cuadrado.Modelo ajustado: ARMA(1,1) ARCH(1)

27/ Cuando se realiza un análisis de la correlación de los residuos, se espera un comportamiento ruido blanco en toda su estructura,pero se considera condición necesaria y suficiente la no-correlación de los primeros valores de la autocorrelación de los residuos(en caso de no presentar estacionalidad)

· 49



-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

VALIDARCH ± 2 S.E.

Forecast: VALIDARCHActual: INFLACForecast sample: 2001:01 2001:Included observations: 12


0

200000

400000

600000

800000

1000000

01:01 01:03 01:05 01:07 01:09 01:11

Forecast of Variance

Además veamos qué error se estácometiendo al aplicar este modelo, al

pronosticar la serie original para el últimoaño: 2001.

Gráfico Nº15

Pronóstico con el modelo estimado ARMA(1,1) ARCH(1)Enero 2001: Diciembre 2001

Inflación mensual

Al aplicar un modelo no lineal, talcomo lo sug i r i e ron l a s demáspruebas de validación y ahora nosmuestra el gráfico 15, el error al quese incurre es mínimo, lo que validaríalos resu l tados que se obtengancuando se dé el siguiente paso quees la predicción. En cuanto al valormedio de la inflación, nos indica queseguirá un curso constante, en tantoque la va r ianza t i ende a uncrecimiento.

d) Predicción con el modelo ajustado.

Como en el caso de los pronósticos realizadospara validar el modelo ajustado, haremos usode la serie original de la variación porcentual delIPC, pero ahora lo haremos con un año adelante.El gráfico 16 y el cuadro adjunto nos muestrancasi el mismo comportamiento de los añosanteriores, lo que resulta obvio por elcomportamiento que ha tenido esta variable enestos últimos años, por tanto, las prediccionesque se hagan se encontrarán alrededor de unvalor promedio.

50 ·



La predicción mediante el métododinámico proporcionó una estructurasimilar a la que se obtuvo cuando se ajustóel modelo ARIMA. La raíz del cuadrado

medio del error es de 0.44. (La predicciónpor el método estático no ha sidoconsiderada por presentar resultadosparecidos al que se está considerando)

Gráfico Nº16

Predicción con el modelo ajustado: ARMA(1,1) ARCH(1)Inflación mensual: Enero - Junio 2002

-100

-50

0

50

100

2002:01 2002:02 2002:03 2002:04 2002:05

INFLACIONF1 ± 2 S.E.

Forecast: INFLACIONF1Actual: INFLACIONForecast sample: 2002:01 2002:Included observations: 6


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

2002:01 2002:02 2002:03 2002:04 2002:05 2002:06


Enero -0.03217

Febrero -0.55621

Marzo 0.02602

Abril 0.57852

Mayo 0.71455

Junio 0.06203

Valores predecidospara la Inflación

2002:01 - 2002:06

· 51



6.2.2 Aplicación del Modelo ARCH ala variable Cotización diaria deldólar 1998 - 2001

6.2.2.1 Identificación de los HechosEstilizados

Al igual que en el caso del IPC, para lavariable Cotización diaria del dólar se

analizarán la presencia de los hechosestilizados, que según la teoría son másfrecuentes o aun más, son característicaspropias de las variables financieras, lapresencia de éstas es condición necesariapara plantear el problema de necesidadde aplicación de modelos no lineales quelogren capturar estos fenómenos.

Gráfico Nº17Serie de Retornos al cuadrado

Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001

0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0.00025

0.00030

200 400 600 800 1000

RETORNCUADR

Figura Nº14

Función de autocorrelación: Retornos cuadradosCotización diaria del dólar: 1998 - 2001

52 ·



Gráfico Nº18

Histograma, Estadísticos y Prueba de NormalidadSerie de Retornos: Cotización diaria del dólar.

0

50

100

150

200

250

300

-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015

Series: RETORNCOTIZACSample 1 1001Observations 1001

Mean 0.000235Median 0.000144Maximum 0.015057Minimum -0.015976Std. Dev. 0.002264Skewness -0.030504Kurtosis 9.297318


Gráfico Nº19

Prueba de estacionariedad: Varianzas RecursivasSerie de Retornos: Cotización diaria del dólar

Varianza Recursiva

0

0.000001

0.000002

0.000003

0.000004

0.000005

0.000006

0.000007

0.000008

0.000009

0.00001

6/19/97 1/5/98 7/24/98 2/9/99 8/28/99 3/15/00 10/1/00 4/19/01 11/5/01 5/24/02

Tiempo (dias)

Vza

. Rec

.

· 53



Gráfico Nº20

SimetríaSerie de Retornos: Cotización diaria del dólar

Gráfico de simetría

UI

.02.010.00-.01

VI

.016

.014

.012

.010

.008

.006

.004

.002

0.000

-.002

Interpretación de los Hechos Estilizados

El gráfico 17 nos presenta la serie deretornos al cuadrado, en el cual se puedeapreciar que los retornos grandes tienenuna mayor probabilidad de estaracompañados de retornos de la mismamagnitud, mientras que los retornospequeños están seguidos de retornostambién pequeños, a esto se denominaconglomerados de volatilidad.

La figura 14 nos muestra la función deautocorrelación de los residuos al cuadrado,que presenta un comportamiento diferenteal ruido blanco, por tanto podríamosasegurar que no se está cumpliendo conla condición de no - correlación.

De acuerdo al gráfico 18 que nos muestrael histograma y el Test de Jarque y Berapara normalidad, se puede concluir que losretornos de la Cotización diaria del dólarno siguen una distribución normal, por tantoes posible distinguir la presencia de lascolas anchas en una distribuciónleptocúrtica, además no cumpliendo el

supuesto de normalidad, no se podrácumplir con el supuesto de independencia.

El gráfico de simetría mostrado en el gráfico20, nos muestra un comportamientoligeramente asimétrico, debido a quepresentan un comportamiento un tantolineal pero no pasan sobre el origen.

El gráfico 19 nos muestra el análisis de laestacionariedad mediante un proceso aunno muy difundido denominado varianzasrecursivas, donde se espera que lasvarianzas condicionales converjan a unaconstante. Por tanto tal como se puedeapreciar en la figura, la varianza estáconvergiendo a 0.00006 y por tanto sepuede decir que estos datos están listospara ser tratados.28

28/Es importante señalar que los retornos en un primer momentono fueron estacionarios en media de acuerdo al análisisprevio con ARIMA, por lo que se hizo un tratamiento dediferenciación antes de realizar cualquier otro estudio.

54 ·



6.2.2.2 Aplicación del modelo ARCH

Una vez identificado los hechos estilizadosen la cotización diaria del dólar, podemosdecir que contamos con las condicionesnecesarias para continuar con el procesode modelización de la variable.

El esquema es el mismo que se haestado presentando para todos loscasos: Identificación - Predicción.

a) Identificación del modelo

Cuadro Nº5

Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARCHSerie de Retornos: Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001

Modelo Parámetros Coeficientes Significación Estadísticos

R 2 Ajust. -0.010738SC Reg. 0.002278C 3.41 E – 06 0.0000SCE 0.005182AIC -9.415187Schwarz -9.408379

ARCH (1)

ARCH(1) 0.171555 0.0000

D – w 1.68410R 2 Ajust. -0.010738

C 2.63 E – 06 0.8792SC Reg. 0.002279SCE 0.005182

ARCH (1) 0.150012 0.0573AIC -9.244815Schwarz -9.230103

GARCH (1,1)

GARCH (1) 0.600012 0.0020D – w 1.684072R 2 Ajust. -0.010738

C 3.50 E – 06 0.0000SC Reg. 0.002279SCE 0.005182

ARCH (1) 0.150000 0.0000AIC -9.445696Schwarz -9.430984

ARCH (2)

ARCH (2) 0.050000 0.0010D – w 1.684072R 2 Ajust. -0.010738

C 7.58 E – 07 0.6991SC Reg. 0.002280

ARCH (1) 0.133351 0.0992 SCE 0.005182ARCH (2) 0.044462 0.6538 AIC -9.513842

Schwarz -9.494227

GARCH (1,2)

GARCH (1) 0.533351 0.0090D – w 1.684072

b) Estimación del modelo

De acuerdo a los resultados obtenidos, elmodelo óptimo que se consideraría mejorsimula el comportamiento del proceso esun ARCH de segundo orden ARCH(2) (Losmodelos de orden superior no se eligieronporque aunque tuvieron resultadossignificativos, los estadísticos que seobtuvieron fueron similares y además esimportante tener en cuenta la parsimonia)Entonces, el modelo será:

, donde

Podemos destacar además con estosresu l tados , la condic ión paraestac ionar iedad que d ice que secumplirá con este supuesto, s i secumple que los coef ic ientes de lmodelo estimado suman una cantidadmenor que uno. Por tanto, podemosdecir que se está cumpliendo con elsupuesto.

ttCotizc hRt

ε*2/1. =

22

21-t 0500.0R1500.00663.2 −++−= tt REh

· 55



c) Validación del modelo

Como en todos los casos anteriores, laadecuacidad o validez del modelo ajustadose basará en los resultados que se obtengan

de la función de correlación de los residuosy de los residuos al cuadrado con el TestARCH para heterocedasticidad, así como lanormalidad de los residuos y del pronóstico,comparando con la serie original.

Figura Nº15

Función de autocorrelación de los residuosModelo ajustado: ARCH(2). Cotización diaria del dólar 1998 - 2001

Gráfico Nº21

Histograma, Estadísticos y prueba de NormalidadResiduos del modelo ARCH(2)

0

50

100

150

200

250

300

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Series: Standardized ResidualsSample 1 1001Observations 1001

Mean 0.047706Median -0.004836Maximum 7.487213Minimum -8.139341Std. Dev. 1.041534Skewness -0.001480Kurtosis 10.26022


56 ·



Es claramente verificable que los residuosdel modelo pueden considerarsealeatorios, según el estadístico Q (Verfigura 15), pero aún no se ha podidosustraer el efecto de los puntosdiscordantes, porque aun los residuos nopueden cumplir con los supuestos denormalidad (Ver gráfico 20), donde sudistribución sigue siendo leptocúrtica y el

Test de Jarque Bera nos muestra que noexiste evidencia para no rechazar lahipótesis de normalidad.

La pregunta es: y ¿qué habrá pasado conel supuesto de homocedasticidad en losresiduos?

La figura 16 nos mostrará la respuesta.

Figura Nº16

Test ARCH para Homocedasticidad.Modelo ARCH(2).

Serie de retornos: Cotización Diario del Dólar

Este Test nos confirma que al ajustar laserie de Cotización diaria del dólar se haeliminado el efecto de heterocedastidaden los residuos (El Test de no - presenciade heterocedastidad no ha sidorechazado).

Y ahora observamos los resultados de estaúltima prueba pero de rigor, que es el de

validación mediante la capacidad de ajustedel modelo, medido a través del error. Seutilizarán los últimos datos de la serie.

29/El lector puede comprobar que al aplicar el modelo demedia móvil MA(1) se rechazó la hipótesis de ausencia deheterocedasticidad en los residuos (Se obtuvo una significaciónde 0.00002).

· 57



Gráfico Nº22

Pronóstico de los retornos.Cotización diaria del dólar. Ultimos días de Diciembre

Modelo ajustado: ARCH (2)

El gráfico 22 nos muestra la magnitud delerror al que se incurre cuando se ajustó elmodelo ARCH(2), el cual es bastantesatisfactorio, que nos dará luz verde paradar el siguiente paso que es la predicción.

d) Predicción con el modelo ajustado.

Tal como se pudo observar en el gráfico22, en el que el objetivo fue la validacióndel modelo, la media de la serie deretornos de cotización del dólar, están

sobre la l ínea cero, y la varianzaconverge a un valor también cero. Perola interpretación estaría de acuerdo alsignificado de los retornos, es decir lacómo ha sido la evolución de lacotización del dólar en el periodo deestudio y cómo será en un futuro cortoplazo.

Si es que se requeriría un pronóstico alvalor real de la cotización, entonces seríanecesaria la transformación inversa.

-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 10001001

RETORNCOTIF ± 2 S.E.

Forecast: RETORNCOTIFActual: RETORNCOTIZACForecast sample: 990 1001Included observations: 12


0.0000034

0.0000036

0.0000038

0.0000040

0.0000042

0.0000044

990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 10001001


58 ·



El modelo ajustado a esta serie nosproporciona resultados con un errorbastante pequeño y una estructura decomportamiento volátil. La raíz delcuadrado medio del error esaproximadamente de 0.001.

Según los resultados que se han idoobteniendo, surge una inquietud, y esque si el modelo autoregresivo pudorecoger buenos resultados en la partedeterminística pero los residuospresentaban aún los efectos de laheterocedasticidad y por otro lado al

ajustar un modelo autoregresivocondicional se obtuvo un modelo aúnbueno pero que eliminaba el efecto de laheterocedastidad, ¿no se esperaría unmodelo que supere los resultadosobtenidos con ambos, al aplicar un modelobajo el primer enfoque, como se aplicóen el caso del IPC?. Hagamos la prueba.

Al realizar el ya conocido proceso paraalcanzar el modelo óptimo, se obtuvo queel modelo que mejor resultadosproporcionaba era: MA(1) GARCH (1,1),con los siguientes parámetros y estadísticos:

Gráfico Nº23

Predicción de la serie de retornosCotización diaria del dólar

Primeros días de Enero 2002

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

1002 1004 1006 1008 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022

RETORNOSF ± 2 S.E.

Forecast: RETORNOSFActual: RETORNOSForecast sample: 1002 1023Included observations: 22


0.000000

0.000004

0.000008

0.000012

0.000016

0.000020

1002 1004 1006 1008 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022


02-01 0.00073 17-01 0.000723

03-01 -0.00581 18-01 -0.001010

04-01 -0.00436 21-01 0.000723

07-01 0.00058 22-01 0.000434

08-01 0.00044 23-01 0.000433

09-01 0.00073 24-01 -0.002890

10-01 0.00290 25-01 0.000000

11-01 0.00605 28-01 0.000578

14-01 -0.00014 29-01 0.000866

15-01 -0.00158 30-01 -0.000144

16-01 -0.003897 31-01 0.002162

Valores predecidos para los retornos Cotización diaria del dólar Enero 2002

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Los residuos tuvieron las siguientes características:

Cuadro Nº6

Resultados obtenidos con el modelo MA(1) GARCH (1,1)

Figura Nº17

Función de Autocorrelación de los residuosModelo ajustado: MA (1) GARCH (1,1)

Serie de retornos. Cotización diaria del dólar

Figura Nº18

Función de autocorrelación de los residuos cuadradosModelo ajustado MA (1) GARCH (1,1)

Serie de retornos. Cotización diaria del dólar

MA (1) 0.149026 0.0000 R2 Ajust. 0.014048Ecuación de varianza SC. Reg. 0.014048C 2.53 E-06 0.0000 SCE 0.055023ARCH (1) 0.252666 0.0000 AIC -7.254080

Schwarz -7.234449

MA(1)GARCH(1,1)

GARCH (1) 0.736382 0.0000D-W 1.969928

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Tanto la función de autocorrelación de losretornos y los retornos al cuadrado, nos estánmostrando que el modelo está ajustandobien y que el problema deheterocedasticidad que antes existía (Y que

ARIMA no recogía) está casi eliminado ensu totalidad. (Ver figura 16, donde sepresenta el Test ARCH deheterocedasticidad el cual no puede serrechazado).

Gráfico Nº24

Histograma estadísticos y prueba de normalidad de los residuosModelo ajustado: MA (1) GARCH (1,1)

Cotización diaria del dólar

0

50

100

150

200

250

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Series: Standardized ResidualsSample 2 1001Observations 1000



El Test de normalidad nos muestra que aúnno se ha podido obtener residuos que siganuna distribución normal (El Test de JarqueBera aun sigue siendo rechazado), pero esta

deficiencia es controlada con lascaracterísticas de los residuos presentadasen las figuras anteriores.

Figura Nº19

Test ARCH de HomocedasticidadModelo ajustado: MA (1) GARCH (1,1)

Serie de retornos: Cotización diaria del dólar

Pronóstico para validación

El pronóstico con el objetivo de validacióndel modelo, nos "arrojó" un valor de 0.0095para el error (que es de utilidad cuando elrequerimiento es la comparación de este valor

con los obtenidos en la aplicación de otrosmodelos, ya que su valor depende de los datosoriginales y en este caso se está obteniendoun valor pequeño porque los retornos tienenvalores pequeños)

· 61



7.1 COMPARACIÓN DE LOSRESULTADOS OBTENIDOS ALAPLICAR AMBOS MODELOS

En la sección anterior, se aplicó ambosmodelos a cada una de las variables quese está estudiando, siguiendo un esquemaplanteado al hacer la operacionalizaciónde las hipótesis planteadas, obteniendoresultados que nos permiten entrar endiscusión, basados en la teoría de lamodelización de series económicas y enla teoría de optimización.

En primera instancia, con respecto a lavariable: Variación porcentual mensual oinflación mensual, su evolución en los años1952 a 2001, presenta una claradiferenciación entre periodos, es decirhubo un comportamiento entre losúltimos años de los 80 y los primeros delos 90, muy diferente a los que lesantecedieron y les sucedieron, es decir, sise "obviara" el periodo de hiperinflacióndel estudio se podría considerar que casien todo el periodo no se sufrió cambiossignificativos, pero como todo fenómenode este tipo, éste tuvo que ser estudiado.En este caso se trató a la serie en formaconjunta, teniendo en cuenta que cuandose presenta estos casos hay que tenermucho cuidado con los resultados que seobtengan ya que todos estos estáninfluenciados por los datos extremos querepresentan al fenómeno atípico, comoes la sobreparametrización o el que no secumplan los supuestos necesarios paravalidar un modelo, esto pudo comprobarse

VII. DISCUSIÓN

cuando se analizó la estacionariedad quepor el lado de la función de autocorrelaciónnos indicaba que habría que transformarla serie de inflación pero la prueba deraíces unitarias no nos confirmó estasospecha.

Cuando se aplicó los modelos ARIMA,éstos resultaron buenos en el sentido quelos errores fueron bastante pequeños,cumpliendo con supuestos, a excepciónde la normalidad pues su distribuciónpresentaba un coeficiente de curtosis alto,debido lógicamente a los valores altos delos que se habló anteriormente, pero engeneral se puede considerar que estemodelo se ajusta bien ya que los residuosson aleatorios y casi consideran toda lainformación posible.

En cuanto a la presencia de losdenominados hechos estilizados, éstos sepresentaron en muy pocos de sus casos loque nos hizo pensar que los resultados noserían buenos, en primera porque ya sehabía probado que los residuos nopresentaban correlación y por tanto lametodología ARCH no sería necesaria. Sinembargo por cuestiones que se explicaronen su momento, basados en la necesidadde cumplir o verificar las hipótesisplanteadas y un aporte que se hace en lasiguiente sección se quiso modelar lainflación mediante la utilización de estosmodelos no lineales desde un primerenfoque. Los resultados obtenidosconfirmaron nuestra sospecha: si bien losresultados no fueron totalmente

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inadecuados, éstos no superaron losanteriores y aun más los errores ya nolograban cumplir con el supuesto deindependencia entre ellos. (Además si secomparan los errores, los obtenidos conlos ARIMA son ligeramente menores quelos que se obtuvieron con los ARCH). Perosu utilidad como medida de incertidumbrehace de los modelos ARCH/GARCH uninstrumento de mucha utilidad ya queaunque se haya probado su bajo poderpredictivo en las variables macroeconómicas peruanas, posee una ventajaque los ARIMA no presenta y es que esteúltimo no considera la modelización de lavarianza.

Este resultado se debe lógicamente a queaunque hubo un periodo dehiperinflación, éste no influyó en lavariación de la inflación, es decir, lascaracterísticas que presentaba esta variablenos sugirieron que un modelo podría serutilizado sin mayores complicaciones y selograrían buenos resultados, y porque lamisma economía peruana se encontrósiempre en un estado de recesión sincambios a corto plazo, contrariamente aotras economías donde los cambios sepresentan con más frecuencia.

En cuanto a la variable cotización diariadel dólar, ésta debido principalmente asu periodo presentó variaciones en estostres últimos años, en la que se observócaídas y subidas en periodos específicos.

Cuando se modelizó la cotización con elmodelo ARIMA, se obtuvieron resultadosque podrían ser considerados buenos porla magnitud de los errores a los que seincurrieron, pero cuando se hizo lavalidación del modelo mediante laverificación de los supuestos encontramosque los residuos estaban correlacionados

y esto nos indicaba que aun existíainformación que no se había logrado captarpor este modelo, que dicho sea de pasohabía sido elegido de entre un grupo deposibles modelos basándonos en criteriosrelacionados a la bondad de ajuste.

Pero este defecto se debía a que por lamisma desventaja que mencionamosanteriormente en caso de la inflación, elARIMA no lograba captar las variaciones,que en un principio se trató de cubrirmediante la transformación en logaritmos,sin resultados positivos, además elcomportamiento de los residuos alcuadrado era especial, no se cumplía conel supuesto de estacionariedad ypresentaban otras características como lascolas anchas, la asimetría y losconglomerados de volatilidad ya que sepodía observar que al momento dedecretarse las alzas en el tipo de cambio,éstas tenían un efecto escalado en lossiguientes días, al igual que en los periodosdonde el tipo de cambio caía.Este comportamiento, como se comentóen el desarrollo del marco teórico, fue elque llevó a Engle proponer el modeloARCH para captar este tipo decaracterísticas.

Al aplicar los ARCH, se obtuvieronmejores resultados, en el sentido de quepor un lado se obtuvo un error menor alque se obtuvo con los ARIMA, los ARCHlograron captar el comportamiento de lavarianza que el modelo ARIMA no pudo,obteniéndose errores aleatorios y ademásincorrelacionados y con una magnitudmucho menor a los que se obtuvo alaplicar el modelo ARIMA.

Además si nos basamos en la comparaciónde ambos modelos con respecto a subondad de ajuste al modelar las variables,

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mediante los estadísticos de Akaike ySchwarz (los cuales pueden ser utilizadosporque fueron calculados teniendo encuenta que son útiles cuando se comparandos modelos con los mismos parámetros),éstos nos muestran que al modelar en elcaso de la Inflación, no hubo diferencia,pero en el caso de la cotización del dólarsi y fue en buen grado.

Pero, también es importante señalar quesi bien los resultados nos demuestran queexiste una mejora, ésta no es losuficientemente grande para decir enforma contundente que los modelosARCH/GARCH son mejores que losARIMA para modelizar las variables macroeconómicas peruanas, aún más cuandosegún nuestros resultados la utilización deestos primeros desde un primer enfoquetiene una potencia mayor, es decir conesto se podría confirmar lo expuesto porPoon y Taylor, quienes argumentaban queen un principio estos dos modelos no sonexcluyentes, en muchos casos (teniendoen cuenta lo que argumentaba en laformulación del problema: una vez quese ha hecho una adaptación omodificación a un modelo que se veníautilizando, ésta se considera ya alternativa;además este enfoque no nos dice quenecesariamente tenemos que aplicar elmodelo ARIMA para modelar la partedeterminística, sino que éste ha sidoutilizado para probar la hipótesis en ciertosentido).

Claro también está, que es notoria laventaja que tienen los ARCH cuando setrata de modelizar variables que presentanalta variabilidad conjuntamente con la

presencia de los que se han denominadohechos estilizados, y esto lo pudimosverificar cuando se analizó la cotizacióndiaria del dólar, esto nos sugeriría que estametodología sería muy útil cuando sedesea tratar con variables aun más volátilescomo los precios de activos en el mercadode valores, ¡pero! Hay que tener encuenta que estamos analizando variablesen una economía donde no existenmuchos cambios.

7.2 ESTABLECIMIENTO DE PAUTASPARA LA ELECCIÓN DELMODELO ÓPTIMO

Según lo expuesto en los párrafosanteriores, tomando como prueba losresultados obtenidos en el capítuloanterior, se puede decir que existencriterios determinantes para la aplicaciónde uno u otro modelo cuando se quieremodelizar una variable.

En sí, los criterios que determinan laaplicación de un modelo ARCH o algunode la familia de éste, recaen en dosprincipales, la primera: si es que existeuna marcada variabilidad y están presenteslos hechos estilizados y la segunda estámás basada en una desventaja de una deellas: la presencia de una marcadaheterocedasticidad en los residuos.

En el caso de los modelos ARIMA, suteoría y los beneficios que nos proporcionaya son conocidos y los criterios quedeterminan su utilización se basan en elcumplimiento del supuesto deestacionariedad tanto en media como envarianza.

64 ·



· 65



8.1 ASPECTOS TEÓRICOS

Friedman (1977) y Ball (1992), argumentaronque una posible causa para el costo deinflación radicaba en el hecho de que lainflación podría estar creando mayorincertidumbre sobre el comportamientofuturo de la inflación.

Por tanto, esto indicaría que según la hipótesisde Friedman, un incremento en lavariabilidad o incertidumbre de la inflación,influenciará en el aumento de la misma,periodos más adelante.

De acuerdo a la experiencia de Uruguay,Paraguay y Chile30, nuestro objetivo, comoun aporte al estudio de la economía peruana,será verificar empíricamente para el casoperuano, la hipótesis anteriormenteseñalada.

"Uno de los canales mediante el cual unamayor inflación podría afectar el nivel deactividad económica, es a través de laincertidumbre, creada por la misma, sobrelos niveles futuros de la inflación. Laincertidumbre inflacionaria, además dedificultar el cálculo económico y afectarnegativamente el proceso de decisión delos consumidores y productores, imponeimportantes costos sociales a la economía.Sin la incertidumbre, los agentes económicosplanearían mejor el futuro y se facilitaría latoma de decisiones óptimas por parte deellos"

Muchas de las investigaciones han giradodentro de este entorno entre ellos Golob(1994), quien en su estudio distinguió dos

VIII. INCERTIDUMBRE INFLACIONARIA: UN ANÁLISISEXPLORATORIO DEL CASO PERUANO

tipos de efectos de la incertidumbreinflacionaria en la economía, en primerainstancia, la incertidumbre induce a losagentes económicos a tomar decisiones quepodrían distinguirse de aquellas decisionesque podrían tomarse si es que no existieseun ambiente de incertidumbre, este tipo deefectos fueron denominados Ex ante, el otroefecto es el Ex post, que se da cuando lainflación determinada difiere de lasexpectativas previas de los agenteseconómicos. Entre los efectos Ex ante, Golobdistingue los siguientes:

- La incertidumbre inflacionaria afecta losmercados financieros al elevar la tasa deinterés, especialmente, la de largo plazoy es que al incorporar el riesgo que sederiva del error de estimación de losniveles futuros de inflación, seincrementa las tasas de interés, afectandode esta manera a variablesmacroeconómicas como la formación decapital (en el caso de que las tasaselevadas implicarán que se inviertanmenos en maquinarias y equipos porparte de los productores y una menorinversión en viviendas y bienes durablespor parte de los consumidores) y el nivelde empleo.

- El riesgo asociado a los resultados quese obtengan al realizar contratos sin estar

30/ Ver: Inflación e incertidumbre inflacionaria: el caso de Para-guay, Carlos Fernández Valdovinos (Banco Central de Para-guay y Universidad Católica de Asunción); Explorando laincertidumbre inflacionaria: 1973 - 1995, Umberto DellaMea y Alejandro Pena (Revista de Economía - SegundaEpoca Vol. III Nº2 - Banco Central de Uruguay) y Inflacióne Incertidumbre inflacionaria en Chile: Igal Magendzow.Documento de Trabajo del Banco Central Nº15, Octubre1997.

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indexados a la inflación, la incertidumbreque se presenta interfiere con lacapacidad de tomar las mejoresdecisiones por parte de los consumidoresy productores.

- En el aspecto económico social, laincertidumbre inflacionaria induce a unamayor asignación de recursos por partede los agentes económicos, con destinoa la estimación de la inflación futura yevitar sus implicancias en la mismaeconomía.

Los efectos Ex post, que se derivan de laincertidumbre inflacionaria, estánrelacionadas con su error de predicción unavez producida la inflación, los cuales traencomo consecuencia la transferencia noprevista de riqueza entre las partes de loscontratos que a su vez resultan muydifíciles de evaluar en un nivelmacroeconómico.Friedman en su exposición al recibir elPremio Nobel de Economía en 1977,planteó la siguiente hipótesis:31

"Existe una correlación positiva entrelas tasas de inflación y la incertidumbrede dichas tasas en el futuro"

Argumentó además que la causalidad vadesde la inflación hacia la incertidumbre.

Uno de los argumentos que podría serutilizado para fundamentar la necesidadde mantener la inflación a nivelesreducidos, consiste en la relación positivaque existiría entre el nivel de inflación yel grado de incertidumbre respecto almismo en el futuro. Por tanto esto noslleva a explorar esta evidencia empírica enel caso de Perú que si bien es cierto hatenido una inflación un tanto estable estosúltimos años, ha tenido en su historiaperiodos de hiperinflación.

Como dijimos al inicio de este capítulo,basándonos en el aporte de los estudiosrealizados por investigadores en Paraguay,Uruguay y Chile, nos atrevemos a hacer unestudio exploratorio para confirmar lahipótesis de Friedman.Con este objetivo, seguiremos lametodología propuesta en estasinvestigaciones, en la que propone a losmodelos de Engle: ARCH / GARCH comomedida de la incertidumbre inflacionaria yporque está sujeto a los objetivos de nuestrainvestigación en sí.

¿Porqué utilizar el modelo GARCH comomedida de la incertidumbreinflacionaria?

Algunos estudios, entre ellos Ball, se hanbasado en la utilización de la variabilidad odesviación estándar para la modelización dela incertidumbre usando este término(volatilidad), indistintamente del deincertidumbre, los cuales demostraron teneralgunos inconvenientes, por lo que esconveniente diferenciarlos.La volatilidad es un término Ex post que sederiva de los valores que toma la inflaciónperiodo a periodo y sus fluctuacionesalrededor de un término medio.La incertidumbre por otra parte, es unconcepto Ex ante32, que depende delproceso generador de expectativas.

De acuerdo a estas diferencias, es necesariotener en cuenta una metodología distintapara medir la incertidumbre inflacionaria,33

31/ Existen dos formas de evaluar el nivel de incertidumbre, laprimera consiste en aproximar una medida directa, a travésde encuestas, por ejemplo, Cukierman y Wachtel (1982),proponen como medida de incertidumbre el error cuadráticomedio cometido por los pronosticadores en la encuesta. Loque se hace es medir la relación entre el ECM y la Tasa deInflación. La otra forma es aquella que veremos en estecapítulo.

32/ Evans (1993) argumenta que si los individuos poseen pocainformación, éstos pueden ver el futuro con muchaincertidumbre aun cuando al hacer un estudio se observópoca volatilidad en la inflación ex post y viceversa.

33/ Metodología que según el criterio de Golob, se clasificadentro de aquellos que usan la estrategia de modelospredictivos.

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y es precisamente la metodología queestamos presentando en esta investigación:Los modelos ARCH / GARCH, que como sedescribió en el marco teórico, son útiles paraestimar la varianza de las innovacionesimpredecibles en la inflación, en lugar de sólocalcular una medida de volatilidad basada enrealizaciones de la variable (nos referimos aaquellos donde se utiliza la desviaciónestándar). Por tanto la aplicación de los ARCHno solo permite el cálculo de una esperanzacondicional, sino también el cálculo de suvarianza condicional que precisamente puedeser asociada a la idea de incertidumbre a cortoplazo (o en términos financieros, riesgo detomar la decisión incorrecta).

Metodología

Para este análisis se utilizarán los datos de lainflación mensual 1952 - 2001, los cuales

serán modelados mediante los modelosARIMA de Box y Jenkins y los modelosARCH / GARCH, aplicados a los residuos(que ya ha sido realizado en el análisisdel capítulo anterior), y para verificar larelación entre inflación e incertidumbreinflacionaria se incluirá en la ecuaciónde la varianza, el primer rezago de lainflación, lo que permitirá verificar si elnivel de la inflación en este periodoafecta positiva y significativamente a lavarianza de la inflación en el siguienteperiodo.

8.2 AJUSTE DEL MODELO A LAINFLACIÓN PERUANA

Utilizando el E views, de acuerdo a lametodología detallada en el párrafoanterior, se obtuvo los siguientesresultados:34

Figura Nº 20

Resultados obtenidos al modelar la incertidumbre inflacionariaInflación Mensual: 1952 - 2001

34/El modelo utilizado es el mismo que se obtuvo en el análisis de la sección anterior, por lo que ya no se detallará su validez.

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8.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Los resultados obtenidos (Ver figura 20) nosproporcionan la siguiente relación:

¿Y la hipótesis de Friedman?

Con esto hemos probado para el casoperuano, que el nivel de inflación aumenta lavarianza condicional de la inflación con un nivelde significación del 5%.

Sin embargo, sería razonable no restringir aque los efectos de la inflación sobre laincertidumbre ocurran sólo con un periodo

de rezago. Además es importante señalar queesta hipótesis es bidireccional en muchaseconomías, es decir no solo las altas tasas deinflación en un periodo causan incertidumbreen periodos posteriores sino que el fenómenotambién se da en un contexto de dependenciade ambas partes, por tanto es necesario probarque la incertidumbre causa mayores tasas deinflación. Como alternativa (o complemento)a la metodología aplicada anteriormente sepodría utilizar el Test de Granger, el cual sebasa en una idea simple: Si X causa Y,entonces cambios en X deberían precedercambios en Y. Esta hipótesis es testadautilizando regresiones donde se incorporan,como variables explicativas de la variable Y,no sólo valores pasados de Y sinó igualmentede X y se estudia el grado de significancia delos coeficientes en estas últimas variables.Veamos que resultados se obtienen:

11 101942.0929603.0 −− −= ttt InfInf µ

2 =t

σ ε

12

1 798926.0360888.2471825.1 −− ++ tt Infµ

Figura Nº21

Test de Causalidad de Granger para la inflación yla incertidumbre inflacionaria

Se plantearon las siguientes hipótesis:Ho: La inflación no causa incertidumbre

inflacionaria.H1: La inflación causa incertidumbre

inflacionaria.Ho: La incertidumbre inflacionaria no causa

inflación.H1: La incertidumbre inflacionaria causa

inflación.

La figura 21 nos muestra el Test de Grangercon 2 rezagos para verificar ambas hipótesisdonde INFLAC representa la serie de lainflación e INCERTID, la incertidumbreinflacionaria.

Los p - valores, nos muestran evidencia clarapara rechazar las hipótesis planteadas, portanto, la hipótesis planteada por Friedman hasido verificada para el caso peruano,concluyendo que en Perú en el periodo de1952 al 2001, el aumento en la tasa de lainflación causa una mayor incertidumbreinflacionaria y a la vez una mayor incertidumbreinflacionaria causa una mayor inflación.

35/Una inquietud por parte de los lectores, sería saber si estahipótesis podría ser verificada en el periodo de hiperinflación,donde existió una fuerte incertidumbre en la poblaciónperuana. Para este efecto, se realizó el mismo procedimientoy se obtuvo resultados contundentes, que confirmaban lahipótesis de Friedman.

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1. Se ha observado que los modelos ARCHson mejores que los ARIMA cuando laserie presenta alta volatilidad, tiene uncomportamiento asimétrico y no cumplecon los supuestos de estacionariedad ynormalidad.Además cuando se ha empleado unaserie para modelar la partedeterminística, encontrándose que losresiduos no logran captar toda lainformación, es decir no cumplen conel supuesto de tener una varianzaconstante en el tiempo, presentando aúnfluctuaciones, es mejor aplicar el modeloARCH.

2. El Modelo ARIMA ofrece muy buenosresultados cuando no se tienenproblemas de heterocedasticidadlográndose cumplir los supuestos deestacionariedad en media y en varianza.

3. Cuando el objetivo es modelar laincertidumbre, se aplican los ARCH,debido a que éstos a diferencia de losARIMA, nos permiten modelar lavariabilidad que desde un sentido puedeentenderse como incertidumbre o riesgosi se está hablando en términosfinancieros.

4. En el caso de las variables macroeconómicas peruanas, tanto los ARIMAcomo los ARCH, proporcionan buenosresultados, el primero un tanto mejorque el segundo cuando se trataba demodelar el Indice de Precios alConsumidor porque esta serie nopresentaba patrones de alta volatilidad,

IX. CONCLUSIONES

sin embargo cuando se trataba de lacotización diaria del dólar, los ARCHproporcionaban resultados muchomejores que los obtenidos al aplicar elARIMA porque justamente esta variablepresentaba las características propiciaspara plantear la necesidad de aplicaciónde los modelos propuestos por Engle.

5. En cuanto a la predicción se refiere, losmodelos ARIMA, tienen ciertadesventaja con respecto a los ARCH, yes que estos últimos proporcionanmejores resultados si se desea unpronóstico a mediando y largo plazo.

6. Una conclusión importante a la que se hallegado, es que las variables macroeconómicas peruanas pueden ser muybien ajustadas mediante la aplicación deambas metodologías, es decir la mixturade los ARIMA - ARCH es un instrumentopotente para captar su comportamiento;esto se debe a que la economía peruanano ha sufrido muchos cambios en estosúltimos años y las desventajas que podríanpresentar los ARIMA en cuanto aheterocedasticidad, podrían ser cubiertaseficazmente por los ARCH.

7. Es necesario se tenga en cuenta losperiodos en las que se está realizando elanálisis, porque los resultados dependenen buen grado de éstos. Tal como se pudover los modelos ARCH/GARCHproporcionan mejores resultados cuandose está tratando con una serie muy variantey con una periodicidad menor a lamensual.

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1. Todos estos resultados deben tomarsecon mucha cautela, debido a que lamedición del Indice de Precios alConsumidor, y por tanto la inflación,se basan en una muestra de Limametropolitana, por lo que esteindicador está siendo objeto demejoras en estos meses.

2. No se descarta la aplicación de otromodelo o proceso diferente a losARIMA para modelizar la partedeterminística de las variables, esnecesario tener en cuenta que lanecesidad de aplicación de undeterminado modelo es elcomportamiento y las cualidades quelas caracterizan.

3. En el análisis de la serie de la Inflaciónmensual, no se ha analizado lapresencia de quiebres estructurales enlos periodos donde existióhiperinflación, lo que podría plantearsecomo parte de un nuevo estudio delas variables económicas peruanas ytalvez plantear un modelo nuevo quelogre superar los resultados obtenidosen esta investigación.

4. No se descarta la posibilidad que si sehubiera probado la eficacia de losmodelos ARCH con respecto a losARIMA en la modelización de las

X. RECOMENDACIONES

variables esencialmente financierashubiéramos obtenidos resultadoscontundentes, pero existe la posibilidadde llegar a concluir lo mismo que enesta oportunidad dada lascaracterísticas económicas peruanas.

5. En cuanto a los softwares, se debetener mucho cuidado con losresultados que podrían llevarnos aconclusiones falsas, porque la mayoríade éstos ofrecen estadísticos y Pruebasbasados en suposiciones que nonecesariamente se cumplen enalgunos casos, como por ejemplo elde normalidad. También es el casodel criterio utilizado para la estimacióndel modelo (De Mínimos cuadrados,ordinarios, generalizados o de MáximaVerosimilitud).

6. Sería importante tener en cuenta queexisten diferentes tipos de pruebaspara la identificación y validación deun modelo, pero es necesario saberdiferenciarlos de acuerdo a su utilidady a su posibilidad de aplicación. Ademásmuy aparte de los que comúnmentese han venidos utilizando existenmuchas otras pruebas que nos ayudana decidir correctamente y queactualmente no están siendo muydifundidas en nuestro ámbito.

XI. AnexoMetodológico

1. La Metodología ARIMA

2. Descripción de las Variables Utilizadas en el Estudio

3. Algunos Procedimientos Gráficos para Detectar losHechos Estilizados

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ANEXO 11.1

LA METODOLOGÍA ARIMA

Brevemente se darán pautas de lametodología de Box y Jenkinsconsiderando que los lectores de estainvestigación tienen ya una noción de estametodología. No se detallarán notacionesengorrosas.36

EL MODELO ARIMA

Es una herramienta de prediccióndesarrollado por Box y Jenkins en 1976,el cual se concentra en las propiedadesprobabilísticas de las series de tiempo,adoptando diferentes formas estructuralescomo los procesos autoregresivos demedia móvil y el proceso que resulta dela combinación de ambas ARMA. A estosse le agrega el término de integración conlo que estamos englobando el estudio delos modelos ARIMA.

Para su modelización, nos basaremos enla estructura planteada originalmente y queconsta de 5 etapas que serán desarrolladasbrevemente posteriormente:

1. Estacionariedad2. Identificación3. Estimación4. Validación5. Predicción

Algunos autores, toman el primer puntocomo parte del segundo, es decir, el primerpaso para la identificación es probar si laserie es estacionaria o no. Pero con finesdidácticos (por llamarlo de una manera),detallamos la estacionariedad como unpunto aparte pero que no deja de estar

correlacionado con los demás que dichosea de paso se deben cumplir con un ordenestricto.

1. ESTACIONARIEDAD

La modelización ARIMA, se fundamentaen el supuesto básico de que el procesoestocástico (familia de variables aleatoriascorrespondientes a momentos sucesivosen el tiempo) que se quiere modelar, esestacionaria ya sea en sentido débil o ensentido estricto.

Definimos un proceso estocásticoestacionario como una sucesión ordenadade variables aleatorias, cuya función dedistribución no varía ante valoresequidistantes, es decir, la distribución esinvariante en el tiempo.

Esto implicaría que tendría que probarsela independencia de sus momentos en eltiempo, pero debido a que en la práctica,resulta dificultoso conocer la verdaderafunción de distribución de muchasfunciones, esta definición se sueleconfirmar solo para el primer y segundoorden (media, varianza y autocovarianza,respectivamente), originándose de estamanera la estacionariedad en sentido débilo amplio. Por tanto, un proceso estocásticosería estacionario en sentido amplio, si secumplen las siguientes condiciones:

36/Si se requiere de alguna especificación o detalle de algunode estos tópicos, el lector podrá remitirse a la bibliografíaque se presentará al final de la investigación.

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- Media constante:

- Varianza constante:

- Autocovarianza constante:

No obstante, podría decir que la mayorparte de las variables macroeconómicaspresentan características que conllevan alrechazo del supuesto de estacionariedad.

En este sentido, en el caso que se pruebela no estacionariedad en la serie, seprocederá a diferenciarla, es decir, setransformará realizando una serie dediferenciaciones sucesivas hasta conseguirla estacionariedad.

El número de veces que ha de serdiferenciada la serie hasta hacerlaestacionaria, se conoce como orden deintegración, recogido por el parámetro "I"del modelo ARIMA. Por ejemplo, si laserie original es estacionaria, entonces, Itomará el valor de cero, si fue necesariouna diferencia I tomará el valor de 1 y asísucesivamente.Cabe destacar además que esteinstrumento es más eficiente cuando sequiere tratar el problema deestacionariedad en media. Existen otrosinstrumentos conocidos como latransformación de Box y Cox que resultanmás eficaces cuando se presenta noestacionariedad en varianza (es decirpresenta Heterocedasticidad)

2. IDENTIFICACIÓN

En esta etapa se procede a determinar elorden de la parte autoregresiva (p) y el

orden de la parte de medias móviles (q)del proceso ARMA que se considere hayapodido generar a la serie estacionaria.

Los instrumentos utilizados en esta faseson la función de autocorrelación simple(FAS) y la función de autocorrelaciónparcial (FAP). Veamos brevemente en quéconsiste cada uno de ellos:

La Función de Autocorrelación Simple(FAS): Nos proporcionará el grado dedependencia que muestran lasobservaciones respecto del conjunto dela serie temporal. Entre sus propiedadesse encuentra primero, el hecho de sersimétrica y como segunda propiedad cabedestacar el hecho que se encuentraacotada entre -1 (correlación negativa) y1 (Correlación positiva).Es posible realizar inferencias sobre lasignificación estadística de los coeficientesde la función de autocorrelación.

La función de Autocorrelación Parcial(FAP): Trata de recoger los efectos dedeterminado rezago sobre la variableexplicada, corregido por los rezagosmedios. Por ejemplo, la correlaciónparcial para el rezago 3, mide la mejoramarginal del poder predictivo de 3−tYcuando 1−tY y 2−tY están incluidos en elmodelo. Es decir, la función deautocorrelación 3φ es el coeficiente de

3−tY en una regresión donde los dosprimeros rezagos y han sido utilizados.

Los procesos AR(p) presentan comocaracterística una FAS que va decayendogeométricamente mientras que larepresentación de su función deautocorrelación parcial (FAP) cuenta con lasprimeras " p " observaciones diferentes acero, mientras que a partir de la observación

1+p el valor de ésta es nulo.

µ=)( tYE

2)()( µ−= tt YEYVar

),(),( 1 jmtmttt YYCovYYCov −++− =

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En el caso de un proceso MA(q), elcomportamiento de estas funciones escontrario. La función de autocorrelaciónsimple decae a cero a partir de lasobservaciones siguientes a las " q" primeras,mientras que la representación de la FAPpresenta un decaimiento geométrico. Es poreste motivo que la identificación de unproceso AR(p) se logra utilizando la FAPmientras que para identificar un procesoMA(q), se requiere de una representaciónde la FAS.

En el caso de un proceso ARMA(p,q),ninguna de las dos funciones puedeidentificar exactamente sucomportamiento. Sin embargo, el empleode la función de autocorrelación parcialcomo la función de autocorrelación simple,puede dar algunas luces en ese sentido,pero se debe tener el cuidado necesariopara concluir en un determinado modelo.

3. ESTIMACIÓN

Una vez que se han elegido los posiblesmodelos, se procederá a estimar loscoeficientes, para lo cual se podrá aplicar elMétodo de Mínimos Cuadrados (MCO),entre otras aproximaciones.

Con respecto al estimador obtenidomediante la aplicación de MCO, cabe indicarque este procedimiento estima parámetrosconsistentes siempre y cuando los errores

tε no estén correlacionados con las variablesexplicativas pasadas. Esta condición esequivalente a decir que el término de errorno presenta autocorrelación.

Para elegir un modelo óptimo debemos teneren cuenta lo siguiente:

- La significancia de los parámetros.

- Que presente la menor suma deerrores de cuadrados, lo quesignificaría un mejor grado de ajuste.

- Se debe buscar la parsimonia, es decirel modelo debe ser aquel que conpocas variables logra un buen ajuste.

Este último punto hace más complejo laelección de los modelos ARMA, por loque se emplean otros criterios como elde Akaike (AIC)y el Criterio de Schwarz(SBC).

4. VALIDACIÓN

Al construir un modelo ARIMA, elobjetivo es encontrar un modelo que sealo más adecuado posible para representarel comportamiento de la serie estudiada.El modelo ideal sería aquel que cumplieselos siguientes requisitos:

- Los residuos del modelo estimado seaproximen al comportamiento de unruido blanco.

- El modelo es estacionario.

- Los coeficientes del modelo sonestadísticamente significativos y estánpoco correlacionados entre sí.

- Los coeficientes del modelo sonsuficientes para representar la serie.

- El grado de ajuste es elevado encomparación al de otros modelosalternativos.

Como se puede notar, el modelo idealserá aquel que además de ser el óptimo,deberá presentar errores que sigan uncomportamiento aleatorio.

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5. PREDICCIÓN

Una vez que se ha concluido de maneraiterativa cada una de las fases anteriores,estaremos en la capacidad de continuarcon la última etapa de la modelizaciónARIMA, que es el objetivo de lametodología que estamos presentando.

Mediante la Función de Predicción,podemos elaborar estimaciones delcomportamiento de la serie en el futuro;esta función se basa en la estructura decada proceso que se ha elegido comoel que mejor describe elcomportamiento de los datos en elperiodo que se está estudiando, quepuede ser autoregresivo, de media móvilo un proceso mixto y los valores quetomará la serie en periodos posteriores(t+1, t+2,...), la cual está condicionadaal conjunto de información con la quese cuenta hasta el periodo t.

Con respecto a la función de prediccióndel modelo AR, existen tres aspectosque la caracterizan, primero, las últimasobservaciones de la serie, influyen cadavez menos en la predicción, mientrasque el peso de la esperanzaincondicional va aumentado(dependiendo del orden del proceso);segundo, el valor a la cual converge elvalor estimado en el futuro es igual a suesperanza incondicional, y la últimacaracterística es que en forma generalpara todo proceso AR(p), es que incluyelas p últimas observaciones de la serie.

La función de predicción para el procesoMA(q), se comprueba que para todo

periodo mayor que 1, los valoresproyectados son iguales a cero.

Con respecto a la función de predicciónpara un proceso ARMA(p,q), ésta es untanto similar a la de un procesoautoregresivo , donde también se cumpleque como en todo proceso estacionario,la predicción para valores muy alejadosconverge a la media incondicional de eseproceso.

Después de haber obtenido los valores depredicción, es necesario conocer cuál esla magnitud del error que se ha cometido,el cual es denominado error depredicción, que se define como ladiferencia entre la realización de la serie yla predicción de la misma. Lascaracterísticas que puedan presentar loserrores de predicción dependen de laespecificación de los modelos, por lo quepodremos estar seguros de que si se haelegido el mejor modelo se obtendrá porerror de predicción una serie de ruidosblancos, y si se da lo contrario, la malaespecificación del modelo incurrirá en lavarianza de los errores. En la teoría, loserrores de predicción siguen unadistribución normal.

En cuanto a los intervalos de confianza quese obtengan para las predicciones, en elcaso de los procesos AR, éstos iráncreciendo continuamente en formaconjunta a medida que el horizonte depredicción aumente.

En el caso de los procesos de media móvilMA, éstos permanecerán constantes apartir del periodo q hacia al futuro.

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ANEXO 11.2

DESCRIPCIÓN DE LAS VARIABLES UTILIZADAS EN EL ESTUDIO

EL INDICE DE PRECIOS ALCONSUMIDOR37

El Indice de Precios al Consumidor, es unindicador estadístico que muestra lasvariaciones promedio de los precios de losbienes y servicios que se consumen demanera habitual en los hogares de LimaMetropolitana.

Este indicador está referido a un año base,asumiendo de esta manera que laestructura de consumo permanececonstante.

La definición del Indice de Precios alConsumidor, de acuerdo a suscaracterísticas, podría girar en torno a lossiguientes conceptos:

- El IPC mide únicamente la evoluciónde los precios.

- Es representativo del consumo integralde los hogares y no de un hogar enforma específica.

- Es un estimador estadístico.

Para construir el IPC, es necesario:

- Definir la población a la cual va a estarreferida el comportamiento de losprecios.

- Definir los Bienes y Serviciosconsumidos, así como la estructura deconsumo de los hogares, con la cualse construirá la Canasta Básica Familiary su estructura de ponderaciones.

- Realizar el seguimiento periódico delos precios.

El método de cálculo del Indice dePrecios al Consumidor de LimaMetropolitana con año base 1994 = 100,al igual que los anteriores años base, escon base a la fórmula de Laspeyres, lacual se expresa como un promedioponderado de relativos de precios índicesde variedades (la mínima división de laestructura de consumo), multiplicados porsu ponderación (dentro de la estructurade gasto), correspondiente al periodobase.

Una de las utilidades del IPC, es que sirvecomo indicador de la Inflación, ya quelas variaciones de este índice de precios,nos permiten mostrar el ritmo de lainflación, mediante la aplicación de lasiguiente fórmula:

donde:

IPCt: Indice de Precios al Consumidordel mes actual t.

IPCt-1:Indice de Precios al Consumidor delmes anterior t-1.

¿Y en la investigación?

37/Para un mayor detalle de toda la metodología del Indice dePrecios al Consumidor el lector puede consultar: Metodologíade Cálculo del Indice de Precios al Consumidor de LimaMetropolitana: INEI, Octubre de 2001.

100*)1(.%1

−=−t

t

IPC

IPCmensVar

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En nuestro estudio, hemos consideradolos datos del Indice de Precios alConsumidor, para el periodo1952:2001, que como es lógico, éstoshan sido medidos con diferentes añosbase.

- De 1952: 1988 se obtuvieron datoscon año base 1979 = 100

- De 1988: 2001 se obtuvieron datoscon año base 1994 = 100

Por tanto, fue necesario estandarizarnuestra base de datos. El proceso deestandarización consideró al año basede 1994 para todo el periodo.

Se consideró los datos del año 1988,que estaban dispuestos para ambasbases y lo que se hizo fue encontraruna ponderación de una base conrespecto a la otra, para luego multiplicaral dato original.

Una vez que se estandarizó la base dedatos, se procedió a calcular la inflaciónmensualizada (variación mensual), conla que se ha trabajado todo el análisis.

LA COTIZACIÓN DIARIA DEL DOLAR

Esta variable recoge el valor de cambiode nuestra moneda (nuevo sol) y eldólar en un periodo diario. El INEIrecopila dos datos, el dólar bancario yel libre en el cierre de jornada, los cualesse pueden obtener en laSuperintendencia de Banca y Seguros.

En la investigación se consideró comodato original, el promedio de ambos enel periodo 1998 - 2001.

Esta base de datos no necesitó serestandarizada, ya que en ese periodoexistió un solo tipo de moneda.

¿Porqué se consideró los "Retornos"?

Para el análisis y aplicación del modeloARCH, se consideró los retornos, que sedefine como la variación del precioocurrida en un determinado periodo detiempo, los cuales pueden ser calculadosen términos absolutos, relativos ologarítmicos. Calculado en términoslogarítmicos, el retorno de la cotizacióndel dólar en nuestro caso, Rt, está dadopor:

(1.1)

Donde Cotizt es la cotización diaria deldólar en el periodo t.

La ventaja de la especificación de retornodada por la ecuación anterior, es que losretornos logarítmicos se aproximansatisfactoriamente a la variación relativade los precios, para grandes cantidadesde datos, que es el caso de usar datosdiarios.

Podemos ver mejor el porqué usamoseste tipo de retorno a partir del siguienteanálisis:

Se sabe que xxLn ≈+ )1( , cuando

0→x . Para datos diarios es suponer que

11

→

−t

t

Cotizc

Cotizc.

Entonces si consideramos

=x 11

−

−t

t

Cotizc

Cotizc, tenemos:

=

−1t

tt Cotizc

CotizcLnR

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(1.2)

Donde 1−

∆

t

t

Cotizc

Cotizc es la variación relativa.

Luego, la especificación logarítmicaaproxima satisfactoriamente la variaciónrelativa de precios, justificando suutilización.

La ecuación (1.2) fue obtenida pues tR fuedescompuesta en una Serie de Taylor. Si,

entonces.

Luego,

Como tr es pequeño, podemos considerar

tt rR = y, así obtener la ecuación (1.2).Esto NO necesariamente es cierto paramercados altamente volátiles.

Una ventaja de usar la ecuación (1.1), esque el logaritmo natural es más realista, puessi los retornos tR siguen una distribuciónNormal, entonces no se obtienen preciosnegativos.

Otra ventaja de usar el retorno, es quepermite una descomposición enmultiperiodos debido a las propiedadesmatemáticas de la función logaritmo. Asíes posible calcular el retorno mensual dedatos diarios simplemente sumando losretornos diarios. Por ejemplo, siconsideramos 2−tR dado en un periodo dedos meses. El retorno puede serdescompuesto en:

11

1−−

=−

≈

t

t

t

t

Cotizc

Cotizc

Cotizc

CotizcLn

( )11

1

−−

− ∆=−

t

t

t

tt

Cotizc

Cotizc

Cotizc

CotizcCotizc

122 )

−−− +

=

=

t

t

t

tt L

Cotizc

CotizcLn

Cotizc

CotizcLnR

12

1−

−

− +=

tt

t

t RRCotizc

CotizcLn

11

−

=

−t

tt Cotizc

Cotizcr

( )tt

tt rLn

Cotizc

CotizcLnR +=

=

−

11

...3

2

2

1 32 −+−= tttt rrrR

82 ·



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ANEXO 11.3

ALGUNOS PROCEDIMIENTOS GRÁFICOS PARA DETECTAR LOSHECHOS ESTILIZADOS

1. EL GRAFICO DE SIMETRÍA

Dadas las desventajas del histograma, enlos que no podemos detectar lasobservaciones extremas (característica delas series de retornos). Debido a la presenciade éstas, habría que tener mucho cuidadoen utilizar el coeficiente de simetría.

Considerando esto, es aconsejable utilizarun gráfico para testar la hipótesis desimetría en la distribución. Esteprocedimiento se denomina: Gráfico deSimetría, el cual se basa en al comparación

de las distancias de los cuantiles ( )αQ y

( )1−αQ con relación a la mediana.

Sobre la hipótesis de simetría, las distanciasmencionadas poseen el mismo valor. Dadauna muestra nyyy ,..., 21 , podemos estimaresas distancias de la siguiente manera:

Sean las estadísticas de orden

[ ] [ ] [ ]nyyy ,..., 21 y la mediana m, entonces,

[ ]ii ymu −= es estimador de [ ]niQ / y

[ ] myv ini −= +− 1 estimador de [ ]niQ /1−

donde [ ]2/,...2,1 ni = .

Finalmente se construye un gráfico de lospares ( )ii vu , . De esta forma, si ladistribución de los valores muestralesfuese simétrica, entonces los puntos delgráfico estarían sobre una línea recta quepasa por el origen con coeficiente angularigual a 1 (que en estadística es igual si sehabla de correlación).

2. PRUEBA PARA ESTACIONARIEDAD:LAS VARIANZAS RECURSIVAS

Si se observa la presencia deestacionariedad ya sea en la serie deresiduos o en los retornos, es necesariotener mucho cuidado con los gráficos quese han venido utilizando como la funciónde autocorrelación y otros tests ya queéstas pruebas están basadas ensuposiciones de normalidad que, se sabe,no son cumplidas por estas series con estetipo de características.

La Prueba de la varianza recursiva, es unaprueba robusta para probar la presenciade varianza infinita y su cálculo se damediante la aplicación de la siguienteecuación:

Donde, Ns ,...,2,1=

Para tal efecto, se realizará el gráfico querelacione las varianzas recursivas paradeterminado periodo y el tiempo.Estaremos frente a un problema deheterocedasticidad, si se observa en elgráfico, "saltos" que surgen además delos puntos extremos.

Si los valores de esta secuencia noconvergen a un valor, obtenemos laevidencia de que la varianza puede noexistir y por tanto la serie no esestacionaria.

∑=

−+=s

i

its Rs

vr1

121

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RELACION DE GRAFICOS, FIGURAS Y CUADROS

Gráficos

Gráfico 1: Inflación mensual: 1952 - 2001Gráfico 2: Histograma, estadísticos y prueba de normalidad de los residuos. Inflación mensual:

1952 - 2001Gráfico 3: Gráfico de cuantiles para normalidad de los residuos: Inflación mensual: 1952 - 2001Gráfico 4: Pronóstico con el modelo ARMA(1,1). Inflación mensual: 1952 - 2001.Gráfico 5: Predicción con el modelo ajustado ARMA(1,1). Enero - Junio 2002. (Método: Dinámico)Gráfico 5.1: Predicción con el modelo ajustado ARMA(1,1). Enero - Junio 2002 (Método: Estático)Gráfico 6: Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001.Gráfico 7: Serie diferenciada (d=1). Cotización diaria del dólar: 1998-2001.Gráfico 8: Histograma, estadísticos y prueba de normalidad de los residuos. Cotización diaria del dólar

(d=1). 1998 -2001.Gráfico 9: Gráfico de cuantiles para normalidad de los residuos. Cotización diaria del dólar (d=1).Gráfico 10: Pronóstico con el modelo ARIMA (0,1,1). Cotización diaria del dólar últimos días de

Diciembre.Gráfico 11: Predicción con el modelo ARIMA (0,1,1). Cotización diaria del dólar. Enero 2002

(Método Dinámico).Gráfico 11.5: Predicción con el modelo ARIMA (0,1,1). Cotización diaria del dólar. Enero 2002

(Método Estático)Gráfico 12: Simetría: Inflación mensual: 1952 - 2001.Gráfico 13: Residuos al cuadrado: Inflación mensual 1952 - 2001.Gráfico 14: Histograma, estadísticos y prueba de normalidad. Residuos. Modelo ajustado: ARMA(1,1)

ARCH(1).Gráfico 15: Pronóstico con el modelo ajustado ARMA (1,1) ARCH(1): Enero 2001 - Diciembre 2001.

Inflación mensual.Gráfico 16: Predicción con el modelo ajustado ARMA(1,1) ARCH(1). Inflación mensual: Enero - Junio

2002.Gráfico 17: Serie de retornos al cuadrado: Cotización diaria del dólar 1998 - 2001.Gráfico 18: Histograma, estadísticos y prueba de normalidad. Serie de retornos: Cotización diaria del

dólar.Gráfico 19: Prueba de estacionariedad: Varianzas recursivas. Serie de retornos: Cotización diaria del

dólar.Gráfico 20: Gráfico de simetría. Serie de retornos: Cotización diaria del dólar.Gráfico 21: Histograma, estadísticos y prueba de Normalidad. Residuos del modelo ajustado ARCH(2).Gráfico 22: Pronóstico de los retornos. Cotización diaria del dólar: Ultimos días del mes de diciembre.

Modelo ajustado ARCH(2).Gráfico 23: Predicción de la serie de retornos. Cotización diaria del dólar: Primeros días de Enero 2002.Gráfico 24: Histograma, estadísticos y prueba de normalidad de los residuos. Modelo ajustado:

MA(1)GARCH(1,1). Cotización diaria del dólar.

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Figuras

Figura 1: Función de autocorrelación. Inflación mensual: 1952 - 2001.Figura 2: Test de Dickey y Fuller aumentado. Inflación mensual: 1952 - 2001.Figura 3: Estimación del modelo óptimo. Inflación mensual: 1952 - 2001.Figura 4: Función de autocorrelación de los errores. Modelo ARMA(1,1). Inflación mensual

1952 - 2001.Figura 5: Función de autocorrelación. Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001.Figura 6: Test de Dickey y Fuller aumentado. Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001.Figura 7: Función de autocorrelación. Serie diferenciada (d=1). Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001.Figura 8: Test de Dickey y Fuller aumentado. Cotización diaria del dólar 1998 -2001 (d=1).Figura 9: Función de autocorrelación de los residuos. Cotización diaria del dólar (d=1).Figura 10: Función de autocorrelación de los residuos al cuadrado: Inflación mensual: 1952 - 2001.Figura 11: Test LM ARCH de homocedasticidad. Residuos del modelo ajustado: ARMA(1,1). Inflación

mensual: 1952 - 2001.Figura 12: Función de autocorrelación de los residuos. Modelo ajustado: ARMA(1,1) ARCH(1).Figura 13: Función de autocorrelación de los residuos al cuadrado. Modelo ajustado: ARMA(1,1)

ARCH(1,1).Figura 14: Función de autocorrelación. Retornos cuadrados: cotización diaria del dólar 1998 - 2001.Figura 15: Función de autocorrelación de los residuos. Modelo ajustado: ARCH(2). Cotización diaria del

dólar 1998 2001.Figura 16: Test ARCH para homocedasticidad. Modelo: ARCH(2). Serie de retornos: Cotización diaria

del dólar 1998 - 2001.Figura 17: Función de autocorrelación de los residuos. Modelo ajustado: MA(1) GARCH(1,1). Serie de

retornos: Cotización diaria del dólar.Figura 18: Función de autocorrelación de los residuos al cuadrado. Modelo ajustado MA(1) GARCH(1,1).

Serie de retornos: cotización diaria del dólar.Figura 19: Test ARCH de homocedasticidad. Modelo ajustado MA(1) GARCH (1,1). Serie de retornos:

Cotización diaria del dólar.Figura 20: Resultados obtenidos al modelar la incertidumbre inflacionaria. Inflación mensual:

1952 - 2001.Figura 21: Test de Causalidad de Granger para la inflación y la Incertidumbre inflacionaria.

Cuadros

Cuadro 1: Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARIMA. Inflación mensual: 1952 - 2001.Cuadro 2: Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARIMA. Cotización diaria del dólar: 1998 - 2001Cuadro 3: Cuadro de correspondencia: Hechos estilizados - Gráfico/Procedimiento.Cuadro 4: Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARCH a los residuos. Inflación mensual:

1952 - 2001.Cuadro 5: Resultados obtenidos al aplicar el modelo ARCH. Serie de retornos: Cotización diaria del

dólar: 1998 - 2001.Cuadro 6: Resultados obtenidos con el modelo MA(1) GARCH(1,1).

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- Aranda, Rodrigo F. Modelos deVolatilidad: Especificación, Estimación yPrueba de Hipótesis. Universidad deSantiago, Octubre 2000.

- Bollerslev Tim: GeneralizedAutoregressive ConditionalHeterocedasticity. Journal Econometrics,31.

- Cermeño, Rodolfo: Modelando laincertidumbre en grupos de economías:Centro de Investigación y DesarrolloEconómico.

- Cuyán Paz, Otto: Volatilidad del Tipode Cambio y Precios Internos (Unaaplicación a una economía pequeña,el caso de Guatemala). Banco de Gua-temala Departamento deInvestigaciones.

- De Arce, Rafael: Introducción a losmodelos autoregresivos conheterocedasticidad condicional (ARCH).I. L. Klein, diciembre de 1998.

- Della Mea, H. Y Pena, A: Explorandola incertidumbre inflacionaria: 1973 -1985. Revista de Economía. BancoCentral de Uruguay. Volumen 3, Nº2,Noviembre 1996.

- Engle, Robert F. ARCH SelectedReadings. Oxford University Press1995.

- Engle, Robert F., Estimates of the Vari-ance of U. S. Inflation based upon theARCH model, Journal of Money, Creditand Banking 15, 286 - 301.

XII. BIBLIOGRAFIA

- Fernández Valdovinos, Carlos:Inflación e Incertidumbre Inflacionaria:el caso de Paraguay. Banco Central deParaguay y Universidad Católica deAsunción.

- Gimeno Ricardo, Morales Eduardo:Modelos de Volatilidad al futuro sobreel bono Nacional a 10 años. UniversidadPontificia Comillas y Universidad SanPablo CEU, Madrid.

- Magendzo Ivan: Inflación eincertidumbre inflacionaria en Chile.Documento de trabajo. Banco Centralde chile, Nº15. 1997.

- Mills, Terence C. The Econometric Mod-elling of Financial Time Series. Cam-bridge University Press. Segunda edición1999.

- Pulido Antonio: En busca de losHechos Estilizados en el crecimientoeconómico. Instituto de PredicciónEconómica. España 1999.

- Valls Pereira, Pedro: Estimaçao deVolatilidades. RiskTech.com - o PortalBrasileiro de Risco(www.risktech.com.br)

- Vera de Serio, Virginia, Balacco Hugo:Dinámica no lineal en Economía: Unanálisis introductorio.

- Ziegelmann, Flavio, Valls Pereira,Pedro: Modelos de VolatilidadEstocástica com deformaçao temporal:um estudio empírico para o índiceIBOVESPA.

la modelización de variables macro económicas peruanas

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